精品解析：辽宁省沈阳市第二十中学2024-2025学年高一上学期10月阶段验收数学试卷

沈阳市第二十中学2024-2025学年度（上） 高一年级阶段验收数学试卷 考试时间：120分钟 考试分数：150分 命题人：路逸桐 张博 校对人：郝舒 第I卷（选择题共58分） 一､单项选择题（共8小题，每题5分，共40分） 1. 下列说法中正确的是（ ） A. 与表示同一个集合 B. C. 方程的所有解的集合可表示为 D. 集合可以用列举法表示 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 设集合A={x|1＜x＜4}，集合B ="{x|-1≤x≤3}," 则A∩（CRB）= A. （1,4） B. （3,4） C. （1,3） D. （1,2）∪（3,4） 4. 已知，，，下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（　　） A. B. C. D. 6. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 若集合，，则能使成立的所有a的集合是（ ）． A. B. C. D. 8. 已知存在，使得成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､不定项选择题（共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得分） 9. 已知关于不等式的解集是，其中，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知为正实数，且，则（ ） A. 的最大值为8 B. 的最小值为8 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 当一个含有非零实数数集满足“如果，则”时，我们称就是一个数域，以下关于数域的说法：①0和1是任何数域的元素；②；③集合是一个数域；④有理数集是最小的数域（即对于任意的数域G，都有 其中正确的选项有（ ） A ① B. ② C. ③ D. ④ 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知：关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为__________. 13. 已知，则的最小值为______． 14. 已知集合.若的真子集个数是3，则实数的取值范围是__________. 四､解答题（共5小题，共77分） 15. 已知集合. （1）若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； （2）若有且只有四个子集，试求实数取值范围. 16. （1）求不等式的解集； （2）求方程组的解集. 17. 已知集合，集合. （1）若时，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 18. 如图所示，一条笔直的河流（忽略河的宽度）两侧各有一个社区（忽略社区的大小），社区距离上最近的点的距离是社区距离上最近的点的距离是，且.点是线段上一点，设. 现规划了如下三项工程： 工程1：在点处修建一座造价0.1亿元的人行观光天桥； 工程2：将直角三角形地块全部修建为面积至少的文化主题公园，且每平方千米造价为亿元； 工程3：将直角三角形地块全部修建为面积至少的湿地公园，且每平方千米造价为1亿元. 记这三项工程的总造价为亿元. （1）求实数的取值范围； （2）问点在何处时，最小，并求出该最小值. 19. 若命题：存在，命题：二次函数在的图像恒在轴上方 （1）若命题中至少有一个真命题，求的取值范围？ （2）对任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沈阳市第二十中学2024-2025学年度（上） 高一年级阶段验收数学试卷 考试时间：120分钟 考试分数：150分 命题人：路逸桐 张博 校对人：郝舒 第I卷（选择题共58分） 一､单项选择题（共8小题，每题5分，共40分） 1. 下列说法中正确的是（ ） A. 与表示同一个集合 B. C. 方程的所有解的集合可表示为 D. 集合可以用列举法表示 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合与元素的关系及集合的表示一一判断即可得结论. 【详解】对A：因为表示空集，不含任何元素，表示以0为元素的一个集合，故与不表示同一个集合，A错误； 对B：集合中含有两个元素，分别为0，，所以为集合的一个元素，故，所以B正确； 对C：方程的所有解组成的集合可表示为，集合中的元素是不同的，故C错误； 对D：集合表示大于4且小于5的全体实数，有无数个元素且无法一一列举出来，故不可以用列举法表示，故D错误． 故选：B 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据存在命题的否定即可得到答案. 【详解】根据存在命题的否定可知，存在变任意，范围不变，结论相反， 故其否定为. 故选：A. 3. 设集合A={x|1＜x＜4}，集合B ="{x|-1≤x≤3}," 则A∩（CRB）= A. （1,4） B. （3,4） C. （1,3） D. （1,2）∪（3,4） 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由得,或，再求交集得结果． 考点：集合运算． 4. 已知，，，下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】 利用特殊值或者不等式的性质即可依次判断. 【详解】解：对A，满足，但若，则，故A错误； 对B，， ，故B正确； 对C，， ，故C错误； 对D，， ，故D错误. 故选：B. 5. 若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分和两种情况，结合不等式恒成立求参数的取值范围. 【详解】当时，不等式为对一切实数都成立，符合题意， 当时，要使得不等式对一切实数都成立， 则，解得， 综上所述，的取值范围为. 故选：D． 6. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先化简得，即得解. 【详解】由得， 所以. 反之，也成立. 所以“”是“”的充分必要条件. 故选：C 【点睛】方法点睛：充分必要条件的判断，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法. 要根据已知条件灵活选择方法求解. 7. 若集合，，则能使成立的所有a的集合是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】等价于，分类讨论是否等于，求出对应a的范围即可. 【详解】因为，所以， 若，则，得，满足； 若，即时，要使，则有， 所以，此时. 综上所述. 故选：C． 8. 已知存在，使得成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由得，利用基本不等式，求的最小值，再解二次不等式可求的取值范围. 详解】当，所以. 因为， 当且仅当，即时取等号. 因存在，使得成立， 所以或. 故选：B 二､不定项选择题（共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得分） 9. 已知关于的不等式的解集是，其中，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据一元二次不等式与对应方程的关系，利于根与系数的关系，结合二次函数的图象与性质求解. 【详解】由关于的不等式的解集是，其中， 所以，且是方程的两根， 所以，， 所以，，故正确； 又因为，故错误； 作出和的图象，则为两函数图象交点的横坐标， 由图象可知，故正确； 故选：. 10. 已知为正实数，且，则（ ） A. 的最大值为8 B. 的最小值为8 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由条件消元后结合基本不等式对选项逐一判断． 【详解】对于A，因为，即，解得，即， 当且仅当时取等号，故的最大值为8，故选项A正确； 对于B，由得， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时取得最小值8，故选项B正确； 对于C，， 当且仅当，即时取等号，故选项C不正确； 对于D，， 当且仅当时取等号，此时取得最小值，选项D正确． 故选：ABD． 11. 当一个含有非零实数的数集满足“如果，则”时，我们称就是一个数域，以下关于数域的说法：①0和1是任何数域的元素；②；③集合是一个数域；④有理数集是最小的数域（即对于任意的数域G，都有 其中正确的选项有（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据有理数定义逐一分析即可. 【详解】由题意可知对任意数域G，存在非零实数， 则由数域定义，所以0和1是任何数域的元素，故①正确； 由①知，所以，以此类推，所有的正整数均属于数域G中的元素， 所以，故②正确； 集合，则，但，不满足数域的定义， 故集合P不是一个数域，故③错误； 由①知所有正整数均属于数域G中的元素，又， 以此类推所有负整数均属于数域G中的元素，所以所有的整数均属于数域G中的元素， 所以对任意整数，有， 故对有理数集，有， 又对任意的，有， 所以有理数集是数域，且有理数集是最小的数域，故④正确. 故选：ABD 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知：关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用一元二次不等式的解法，得到，且，从而得所求不等式等价于，即可求解. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 则方程的两根为和，且， 所以，得到，且， 由，得到，即， 即，解得，所以不等式的解集为， 故答案为：. 13. 已知，则最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据用1的活用，结合常值代换应用基本不等式计算即可. 【详解】， 当且仅当，即， 即当时等号成立. 故答案为： 14. 已知集合.若的真子集个数是3，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】的真子集个数是3，所以共有2个元素，分和两种情况即可解出答案. 【详解】的真子集个数是3， 共有个元素，所以，. 若，则有，； 若，则有，无解. 综上所述：实数的取值范围是. 故答案为：. 四､解答题（共5小题，共77分） 15. 已知集合. （1）若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； （2）若有且只有四个子集，试求实数的取值范围. 【答案】（1）时，；时，. （2）且. 【解析】 【分析】（1）考虑和且两种情况. （2）有且只有四个子集，则方程有两个根，即且. 【小问1详解】 时，解得符合题意； 时令解得， 此时， 解得符合题意， 故时，；时，. 【小问2详解】 若有且只有四个子集，则方程有两个不等实数根，即且， 即解得且. 综上且. 16. （1）求不等式的解集； （2）求方程组的解集. 【答案】（1）或；（2）. 【解析】 【分析】（1）先去掉绝对值符号，进而解一元二次不等式组即可； （2）消元法将解方程组变成一元二次方程求解即可. 【详解】（1）当即时，，即， 解得，又，所以； 当即时，，即， 解得，又，所以； 综上，不等式的解集为或； （2）由得，所以，即，解得， 所以或， 所以方程组的解集. 17. 已知集合，集合. （1）若时，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）或， （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，先求出集合，再利用集合的运算，即可求解； （2）根据条件得，再对进行讨论，求出集合，即可求解. 【小问1详解】 由，得到，解得，所以， 由，得到， 因为，则的解集为，所以， 则或，. 【小问2详解】 因为“”是“”的充分不必要条件，则， 又，， 若，则，此时不满足， 若，则，此时不满足， 若，则，又，则， 综上所述，实数的取值范围为. 18. 如图所示，一条笔直的河流（忽略河的宽度）两侧各有一个社区（忽略社区的大小），社区距离上最近的点的距离是社区距离上最近的点的距离是，且.点是线段上一点，设. 现规划了如下三项工程： 工程1：在点处修建一座造价0.1亿元的人行观光天桥； 工程2：将直角三角形地块全部修建为面积至少的文化主题公园，且每平方千米造价为亿元； 工程3：将直角三角形地块全部修建为面积至少的湿地公园，且每平方千米造价为1亿元. 记这三项工程的总造价为亿元. （1）求实数的取值范围； （2）问点在何处时，最小，并求出该最小值. 【答案】（1） （2）当点满足时，最小，最小值为亿元. 【解析】 【分析】（1）由直角三角形地块全部修建为面积至少和直角三角形地块全部修建为面积至少的文化主题公园湿地公园，列不等式求解即可得出答案. （2）由题意可得，由基本不等式求解即可. 【小问1详解】 因为直角三角形地块全部修建为面积至少的湿地公园， 所以，解得： 直角三角形地块全部修建为面积至少文化主题公园， 所以，解得：, 故实数的取值范围为. 【小问2详解】 依题意可得： ， 当且仅当，即时取等. 所以当点满足时，最小，最小值为亿元. 19. 若命题：存在，命题：二次函数在的图像恒在轴上方 （1）若命题中至少有一个真命题，求的取值范围？ （2）对任意的，存在，使得不等式成立，求的取值范围？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）考虑补集思想，先求出命题均为假命题时的取值范围，再求出其补集即可； （2）先得，然后该不等式左边为关于的一次函数，所以只要把和代入上式不等式可求得结果. 【小问1详解】 考虑补集思想，命题中至少有一个真命题的反面为：命题均为假命题， ，则恒成立， 故， ，则有解， ，当且仅当时取等号， 故， 故，再取补集：的取值范围为 【小问2详解】 先研究，不等式对于有解， 故：，当且仅当时，取得最小值1， 再研究，将视为主元，则该不等式左边为关于一次函数，故只须在的值均满足条件即可， 则，得，解得或 故的取值范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $