专题3.1 勾股定理的探究同步精讲精练【课前故事+3大知识点+7大基础题型+1大强化训练+课后练习】-2025-2026学年苏科版八年级数学上册

专题3.1 勾股定理的探究同步精讲精练【课前故事+3大知识点+7大基础题型+1大强化训练+课后练习】 阿木的“直角木架”难题——勾股定理的前世小故事 春秋战国时期，鲁国有个叫阿木的小木匠，每天天不亮就跟着师傅在作坊里忙活：刨平木板的毛刺、凿出整齐的榫卯、组装各式各样的家具。这一天，师傅接了个特别的活儿——给镇上的学堂做一套“直角书桌架”，要求架子的两个直角边分别长3尺和4尺，稳固又周正。 师傅把刨好的两根木条递给阿木，笑着考他：“阿木，你跟了我半年，今天考考你——这两根直角边分别是3尺和4尺，那连接它们顶端的斜边，得锯多长才正好能拼成直角呢？” 阿木捧着木条犯了难：他试着用尺子在两根木条顶端之间比划，量出来一会儿是4尺多，一会儿是5尺少，总觉得不准；又想把木条斜着搭一搭，可一松手就歪了，根本定不了准确长度。“师傅，要是锯短了，木条接不上；锯长了，又会歪歪扭扭，不像直角……这可怎么办呀？”师傅没直接回答，而是从工具箱里拿出三根彩色的绳子，一根红绳长3尺，一根蓝绳长4尺，还有一根黄绳长5尺。他把红绳和蓝绳的一端绑在一起，让它们形成一个直角，再把黄绳拉起来，正好能把红绳和蓝绳的另一端紧紧连在一起——一个方方正正的直角三角形就出现了！ “你看，”师傅指着绳子组成的三角形说，“红绳3尺，蓝绳4尺，它们是直角边，古人把短的直角边叫‘勾’，长的叫‘股’；这根黄绳5尺，是斜边，古人叫它‘弦’。你再试试用小石子摆摆看——沿着红绳摆3个石子排成一排，能摆成一个3×3的正方形，一共9个石子；沿着蓝绳摆4个石子一排，能摆成4×4的正方形，一共16个石子。把这两堆石子合起来，正好是25个，而25个石子能摆成一个5×5的正方形，不正好是黄绳对应的‘弦’的长度吗？” 阿木蹲在地上数石子，眼睛一下子亮了：“师傅！3个石子的正方形加4个石子的正方形，正好等于5个石子的正方形！那是不是说，勾的平方加股的平方，就等于弦的平方呀？” 师傅笑着点头：“没错！这就是古人发现的‘勾股定理’——直角三角形的两直角边平方和，等于斜边的平方。你看，刚才的3尺、4尺、5尺，不就是3²+4²=5²吗？有了这个道理，不管是做书桌架，还是建房子测房梁，只要知道直角三角形的两条边，就能算出第三条边的长度，再也不用瞎比划啦！” 阿木拿着师傅给的绳子，很快就算出书桌架的斜边该锯5尺，锯好的木条一组装，果然是个方方正正的直角架。而这个藏在“直角木架”里的数学秘密，就是咱们今天要一起深入探究的——勾股定理。 【题型1 用勾股定理解三角形】 3 【题型2 以直角三角形三边为边长的图形面积】 4 【题型3 利用勾股定理证平方关系】 5 【题型4 勾股定理的证明方法】 6 【题型5 以弦图为背景的计算题】 8 【题型6 解用勾股定理构造图形解决问题】 9 【题型7 勾股定理与无理数】 10 【强化训练1 勾股定理的证明及应用】 11 知识点1 勾股定理 1.定义：直角三角形两直角边的 等于 ，如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 . 如图所示，是直角三角形，其中较短的直角边a叫做勾，较长的直角边b叫做股，斜边c叫做弦. 知识点2 勾股定理的验证 勾股定理的验证主要通过 完成，这种方法是以数形转换为指导思想，图形拼补为手段，各部分面积之间的关系为依据来实现的.用两种方式表示图形面积（算两次》，根据面积相同得到等量关系，进而进行等量变换得到勾股定理公式是证明勾股定理的常见方法. 拼图法验证勾股定理的一般步骤 （1）拼出图形 直角梯形（3个直角三角形） （2）用两种方式表示图形面积 ， （3）根据面积相同得到等量关系 （4）恒等变形 （5）推导出勾股定理 知识点3 勾股定理的应用 利用勾股定理可以解决与直角三角形有关的问题，主要应用如下： （1)已知直角三角形的任意两边长，求第三边长； （2)已知直角三角形的任意一边长，确定另外两边长的关系； （3)解决包含平方关系的几何问题； （4)构造方程计算有关线段的长度问题，解决生产生活中的一些实际问题. 【题型1 用勾股定理解三角形】 经典例题 【例1】（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）数学活动课上，赵奕用同样的火柴棒摆直角三角形，他摆两条直角边分别用了3根和4根火柴棒，他摆完这个直角三角形共用火柴棒（   ） A．14根 B．12根 C．11根 D．10根 自我练习 【练习1】（25-26八年级上·山西晋中·阶段练习）如图，为修铁路需凿通隧道，测得．若把隧道凿通需要天，则每天凿隧道的长度为（    ） A． B． C． D． 【练习2】（25-26八年级上·全国·课后作业）某研究院承担了当地山体隧道的设计工作，为了得到A，B两点之间的距离，测得山体附近地形数据简图如图所示（此为山体从上往下看得到的图形，图中测量线拐点处均为直角），则隧道的长度为（    ） A． B． C． D． 【练习3】（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）在中，，，上的高长为，则的面积为 ； 【题型2 以直角三角形三边为边长的图形面积】 经典例题 【例1】（23-24八年级上·宁夏银川·期中）以直角三角形三边为边做三个正方形的面积如图，正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 自我练习 【练习1】（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）如图，分别以直角三角形的三边作三个半圆，且，则等于（    ） A．65 B．45 C．55 D．35 【练习2】（24-25八年级下·广东韶关·阶段练习）数学史上有一个著名的希波克拉底月牙问题，如图，在中，分别以各边为直径作半圆，当，时，阴影部分的面积为（    ） A．4 B． C． D．8 【练习3】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，以为边向外作正方形，则正方形的面积是 ． 【题型3 利用勾股定理证平方关系】 经典例题 【例1】（24-25八年级上·福建宁德·阶段练习）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O．若，，则 ． 自我练习 【练习1】（24-25八年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，中，，为中点，点在边上（点不与点，重合），连接，过点作交于点，连接． (1)求证：. (2)若，，，直接写出线段的长． 【练习2】（24-25八年级上·湖北十堰·期末）如图，等腰直角，等腰直角，，连接相交于点M，则 ． 【练习3】（24-25八年级上·四川成都·期中）如图和是外两个等腰直角三角形，，下列说法正确的是： ． ①，且； ②； ③平分； ④取的中点，连，则． 【题型4 勾股定理的证明方法】 经典例题 【例1】（2023·山西·模拟预测）如图，是第14届国际数学教育大会的会标，数学元素无处不在，画面非常几何化，主画面由圆和螺线组成，呈中心对称，其中的“弦图”也是中国数学会的徽标，充分展示了中国古代数学的灿烂，利用“弦图”所证明的数学定理是（    ） A．三角形内角和定理 B．垂径定理 C．正弦定理 D．勾股定理 自我练习 【练习1】（24-25八年级下·河南许昌·期中）若a，b为直角三角形的两直角边，c为斜边，下列选项中不能用来证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 【练习2】（24-25八年级下·山西忻州·期中）“赵爽弦图”是我国古代三国时期的数学家赵爽创制的，他通过对几何图形的巧妙割补，使得图形的面积保持不变，简洁明了地证明了勾股定理，其中体现的数学思想主要是（    ） A．转化思想 B．分类讨论思想 C．数形结合思想 D．类比思想 【练习3】（23-24七年级下·江苏镇江·期中）将边长分别为的两个直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成如图所示的直角梯形．试用两种方法计算这个图形的面积，并写出一个关于的恒等式： ． 【题型5 以弦图为背景的计算题】 经典例题 【例1】（25-26七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，《周髀算经》中的“弦图”是由4个相同的直角三角形拼接而成的，每个直角三角形两条直角边长度的比是，小正方形的面积与大正方形面积比是（   ） A． B． C． D． 自我练习 【练习1】（23-24八年级下·陕西安康·期末）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，，将四个直角三角形中边长为3的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“风车”，这个风车的外围周长是（   ） A． B． C． D． 【练习2】（24-25八年级下·湖北荆门·期中）如图所示“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为，则小正方形的边长为（   ） A．10 B．9 C．8 D．6 【练习3】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，这是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为．若，则的值是 ． 【题型6 解用勾股定理构造图形解决问题】 经典例题 【例1】（24-25八年级上·江苏·期末）如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（    ） A． B． C． D． 自我练习 【练习1】（23-24八年级上·山东枣庄·期中）如果梯子的底端离建筑物底部8米，则米长的梯子可以达到建筑物的高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【练习2】（20-21八年级上·河南周口·期末）如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖处的最短距离是（    ） A．厘米 B．10厘米 C．厘米 D．8厘米 【练习3】（24-25八年级下·贵州黔东南·阶段练习）在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃（）一尺，不合二寸，问门广几何．”大意是说：如图，推开两扇门（和），门边缘D，C两点到门槛的距离为1尺（1尺寸），两扇门间的缝隙为2寸，，那么门的宽度即的长为 寸． 【题型7 勾股定理与无理数】 经典例题 【例1】（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）如图，已知于点，点对应的数是，那么数轴上点所表示的数是（   ） A． B． C． D． 自我练习 【练习1】（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在数轴上点表示的数为，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【练习2】（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图是甲、乙两张不同的纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（   ） A．甲、乙都可以 B．甲、乙都不可以 C．甲不可以，乙可以 D．甲可以，乙不可以 【练习3】（2025·江苏扬州·三模）如图所示，实数可以用数轴上的点来表示，点A表示的数为，点B表示的数为b，则 ． 【强化训练1 勾股定理的证明及应用】 经典例题 【例1】（24-25八年级下·山东济宁·阶段练习）如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如图①所示，人只要移至该门铃及以内时，即，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如图②所示，一个身高的学生走到D处，即，门铃恰好自动响起，则的长为（    ） A．2米 B．3米 C．4米 D．5米 自我练习 【练习1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图是一块等腰三角形形状的铁皮，为底边，尺寸如图所示（单位：），根据所给的条件，可知该铁皮的面积为（   ） A． B． C． D． 【练习2】（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，是边上的高，则的长为（   ） A． B． C．5 D．6 【练习3】（2024·广东·模拟预测）如图，已知与均为等腰直角三角形（），，连接，，若，，则 ． 选择题 1．（2025八年级上·重庆·专题练习）已知一个直角三角形的两边长分别为和，第三边长是（ ） A． B． C． D．或 2．（24-25八年级下·贵州遵义·期中）如图，若正方形A，B的面积分别为25和16，则正方形C的面积为（    ） A．9 B．11 C．36 D．41 3．（25-26八年级上·全国·随堂练习）在中，斜边，则的值是（   ） A．100 B．200 C．300 D．400 4．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，是一种用面积证明勾股定理的方法．下面四幅图中，不能用面积证明勾股定理的是（   ） A．B．C． D． 5．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为 b、若大正方形的面积为，小正方形的面积是 ，则等于（   ） A．19 B．13 C．42 D．29 6．（24-25九年级下·广东汕头·阶段练习）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为，则小正方形的边长为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·山西晋中·阶段练习）如图，在长方形中，在数轴上．若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于点，则点表示的数为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·辽宁鞍山·开学考试）如图，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，且点到数轴的距离为1，则数轴上点所表示的数为（　　） A． B． C．1 D．1 9．（24-25八年级下·甘肃甘南·阶段练习）如图，数轴上点A、B表示的数分别是和1，，垂足为B，，以点A为圆心，长为半径在右边作弧，交数轴于点 甲说：点D表示的数为； 乙说：点D表示的数在1和2之间． 则下列判断正确的是（　　） A．甲乙均对 B．甲乙均错 C．甲对乙错 D．甲错乙对 10．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，意大利著名画家达·芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，利用两个空洞的面积是相等的验证了勾股定理．已知两个空洞中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，若设左边图中空白部分的面积为，右边图中空白部分的面积为，则下列等式不正确的是（   ） A． B． C． D． 填空题 11．（25-26八年级上·全国·阶段练习）要在长、宽的长方形钢板上截下一个腰长为的等腰三角形，使其中一个顶点为长方形的顶点，其他顶点在长方形的边上，那么一共有 种不同的截法． 12．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形、的面积分别为25和64，则最大正方形的面积是 ． 13．（25-26九年级上·广东深圳·开学考试）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，若，则 ． 14．（23-24八年级下·陕西商洛·期末）如图，是我国古代弦图变形得到的数学风车，是由四个全等的直角三角形和中间的正方形组成，直角三角形的斜边，直角边，点在上，，则中间正方形的面积为 ． 15．（2025·浙江·模拟预测）一无人超市门口的墙AB上装有一个传感器P，离地面高度，当人从门外走到离该传感器及以内时，便自动发出语音“欢迎光临”．身高的小明走到处时，恰好响起“欢迎光临”，则的长为 ． 16．（2021·湖南株洲·模拟预测）如图，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为 ． 17．（2025·江苏南京·二模）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“最美弦图”（如图），图由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是 ． 18．（24-25八年级上·宁夏固原·期末）2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是2，直角三角形较短直角边为a，较长直角边为b，那么的值为 ． 解析题 19．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，阴影部分是一个正方形，若正方形的面积为36，直角三角形的斜边，求的长． 20．（25-26七年级上·陕西咸阳·开学考试）如图，和都是等腰直角三角形，四边形是正方形，已知三角形的面积是，求正方形的面积？ 21．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，已知，，，于点D，求AD的长． 22（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段练习）（1）一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出2尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽6尺，求竹竿长？ （2）1876年，美国总统利用图验证了勾股定理，请你利用它验证勾股定理． 23．（25-26八年级上·全国·课后作业）[传统文化]如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在中，，，． (1)求图①中小正方形的面积； (2)若将图①中的四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，求这个风车的外围周长（图中实线部分）． 24（21-22八年级下·湖北咸宁·期末）一辆装满货物的卡车，高，宽，要开进上边是半圆，下边是长方形的桥洞（如图所示）．已知半圆的直径为，长方形的另一条边长为． (1)这辆卡车能否安全通过桥洞？请说明理由． (2)为了适应车流量的增加，要将桥洞改为双行道．如果要使宽为、高为的卡车能安全通过，那么此桥洞的宽至少应增加到多少米？ 25．（25-26七年级上·全国·课后作业）在中，，若，如图1，则有；若为锐角三角形时，小明猜想：，理由如下：如图2，过点A作于点D，设．在中，，在中，． 当为锐角三角形时．所以小明的猜想是正确的． (1)请你猜想，如图3，当为钝角三角形时，与的大小关系． (2)证明你猜想的结论是否正确． 26．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）【背景介绍】千百年来，人们对勾股定理的证明乐此不疲，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春构造发现了一个新的证法：把两个全等的和按如图1方式放置，其三边长分别为a，b，c，． (1)请你利用图1证明勾股定理； (2)如图2，在中，，，，且，当是钝角三角形时，猜想与之间的关系，并说明理由； (3)已知的三边为a，b，c（c为斜边），其中a，b满足，求的斜边的长． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1 勾股定理的探究同步精讲精练【课前故事+3大知识点+7大基础题型+1大强化训练+课后练习】 阿木的“直角木架”难题——勾股定理的前世小故事 春秋战国时期，鲁国有个叫阿木的小木匠，每天天不亮就跟着师傅在作坊里忙活：刨平木板的毛刺、凿出整齐的榫卯、组装各式各样的家具。这一天，师傅接了个特别的活儿——给镇上的学堂做一套“直角书桌架”，要求架子的两个直角边分别长3尺和4尺，稳固又周正。 师傅把刨好的两根木条递给阿木，笑着考他：“阿木，你跟了我半年，今天考考你——这两根直角边分别是3尺和4尺，那连接它们顶端的斜边，得锯多长才正好能拼成直角呢？” 阿木捧着木条犯了难：他试着用尺子在两根木条顶端之间比划，量出来一会儿是4尺多，一会儿是5尺少，总觉得不准；又想把木条斜着搭一搭，可一松手就歪了，根本定不了准确长度。“师傅，要是锯短了，木条接不上；锯长了，又会歪歪扭扭，不像直角……这可怎么办呀？”师傅没直接回答，而是从工具箱里拿出三根彩色的绳子，一根红绳长3尺，一根蓝绳长4尺，还有一根黄绳长5尺。他把红绳和蓝绳的一端绑在一起，让它们形成一个直角，再把黄绳拉起来，正好能把红绳和蓝绳的另一端紧紧连在一起——一个方方正正的直角三角形就出现了！ “你看，”师傅指着绳子组成的三角形说，“红绳3尺，蓝绳4尺，它们是直角边，古人把短的直角边叫‘勾’，长的叫‘股’；这根黄绳5尺，是斜边，古人叫它‘弦’。你再试试用小石子摆摆看——沿着红绳摆3个石子排成一排，能摆成一个3×3的正方形，一共9个石子；沿着蓝绳摆4个石子一排，能摆成4×4的正方形，一共16个石子。把这两堆石子合起来，正好是25个，而25个石子能摆成一个5×5的正方形，不正好是黄绳对应的‘弦’的长度吗？” 阿木蹲在地上数石子，眼睛一下子亮了：“师傅！3个石子的正方形加4个石子的正方形，正好等于5个石子的正方形！那是不是说，勾的平方加股的平方，就等于弦的平方呀？” 师傅笑着点头：“没错！这就是古人发现的‘勾股定理’——直角三角形的两直角边平方和，等于斜边的平方。你看，刚才的3尺、4尺、5尺，不就是3²+4²=5²吗？有了这个道理，不管是做书桌架，还是建房子测房梁，只要知道直角三角形的两条边，就能算出第三条边的长度，再也不用瞎比划啦！” 阿木拿着师傅给的绳子，很快就算出书桌架的斜边该锯5尺，锯好的木条一组装，果然是个方方正正的直角架。而这个藏在“直角木架”里的数学秘密，就是咱们今天要一起深入探究的——勾股定理。 【题型1 用勾股定理解三角形】 2 【题型2 以直角三角形三边为边长的图形面积】 5 【题型3 利用勾股定理证平方关系】 8 【题型4 勾股定理的证明方法】 14 【题型5 以弦图为背景的计算题】 17 【题型6 解用勾股定理构造图形解决问题】 20 【题型7 勾股定理与无理数】 23 【强化训练1 勾股定理的证明及应用】 26 知识点1 勾股定理 1.定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么. 如图所示，是直角三角形，其中较短的直角边a叫做勾，较长的直角边b叫做股，斜边c叫做弦. 知识点2 勾股定理的验证 勾股定理的验证主要通过拼图法完成，这种方法是以数形转换为指导思想，图形拼补为手段，各部分面积之间的关系为依据来实现的.用两种方式表示图形面积（算两次》，根据面积相同得到等量关系，进而进行等量变换得到勾股定理公式是证明勾股定理的常见方法. 拼图法验证勾股定理的一般步骤 （1）拼出图形 直角梯形（3个直角三角形） （2）用两种方式表示图形面积 ， （3）根据面积相同得到等量关系 （4）恒等变形 （5）推导出勾股定理 知识点3 勾股定理的应用 利用勾股定理可以解决与直角三角形有关的问题，主要应用如下： （1)已知直角三角形的任意两边长，求第三边长； （2)已知直角三角形的任意一边长，确定另外两边长的关系； （3)解决包含平方关系的几何问题； （4)构造方程计算有关线段的长度问题，解决生产生活中的一些实际问题. 【题型1 用勾股定理解三角形】 经典例题 【例1】（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）数学活动课上，赵奕用同样的火柴棒摆直角三角形，他摆两条直角边分别用了3根和4根火柴棒，他摆完这个直角三角形共用火柴棒（   ） A．14根 B．12根 C．11根 D．10根 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的应用，是基础知识，比较简单．根据勾股定理即可求得斜边需要的火柴棒的数量，再由三角形的周长公式来求摆完这个直角三角形共用火柴棒的数量． 【详解】解：∵两直角边分别用了3根、4根长度相同的火柴棒， ∴由勾股定理，得到斜边需要：（根）， ∴他摆完这个直角三角形共用火柴棒是：（根）． 故选：B． 自我练习 【练习1】（25-26八年级上·山西晋中·阶段练习）如图，为修铁路需凿通隧道，测得．若把隧道凿通需要天，则每天凿隧道的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，解本题的关键是正确计算的长度．由题意知:则，在直角中，已知根据勾股定理即可求，据此即可求得答案． 【详解】解:∵， ∴ 在中，， ∴， ∴每天凿隧道的长度为． 故选:B． 【练习2】（25-26八年级上·全国·课后作业）某研究院承担了当地山体隧道的设计工作，为了得到A，B两点之间的距离，测得山体附近地形数据简图如图所示（此为山体从上往下看得到的图形，图中测量线拐点处均为直角），则隧道的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用．先补全长方形，可知，，进而根据勾股定理计算即可． 【详解】解：根据题意，补全长方形如图所示： ∴，， ∴， 故选：C． 【练习3】（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）在中，，，上的高长为，则的面积为 ； 【答案】或 【分析】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是根据三角形的形状进行分类讨论．分两种情况：当为锐角三角形时，当为钝角三角形时，根据勾股定理和三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：当为锐角三角形时，高在的内部， ，， ， ； 当为钝角三角形时，高在的外部， ，， ， ； 综上所述，的面积为或， 故答案为：或． 【题型2 以直角三角形三边为边长的图形面积】 经典例题 【例1】（23-24八年级上·宁夏银川·期中）以直角三角形三边为边做三个正方形的面积如图，正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理解答即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，由题意得，，， ∴由勾股定理得，， 即正方形的面积为， 故选：． 自我练习 【练习1】（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）如图，分别以直角三角形的三边作三个半圆，且，则等于（    ） A．65 B．45 C．55 D．35 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理，设直角三角形三边分别为，根据勾股定理得，再根据圆的面积公式可表示出，从而可得，据此即可求解． 【详解】解：如图，设直角三角形三边分别为， 根据勾股定理得：， 又， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【练习2】（24-25八年级下·广东韶关·阶段练习）数学史上有一个著名的希波克拉底月牙问题，如图，在中，分别以各边为直径作半圆，当，时，阴影部分的面积为（    ） A．4 B． C． D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据题意得到阴影部分的面积等于两个小半圆的面积之和加上直角三角形的面积减去大半圆的面积是解题的关键． 根据题意得：阴影部分的面积等于两个小半圆的面积之和加上直角三角形的面积减去大半圆的面积，由勾股定理得到，代入即可求解． 【详解】解：根据题意得：阴影部分的面积等于两个小半圆的面积之和加上直角三角形的面积减去大半圆的面积， ∵，， ∴， ∴阴影部分的面积等于 ． 故选：A 【练习3】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，以为边向外作正方形，则正方形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积公式． 根据勾股定理求出，根据正方形的面积公式可知即为正方形的面积． 【详解】∵在中， ∴ ∴正方形的面积 故答案为： 【题型3 利用勾股定理证平方关系】 经典例题 【例1】（24-25八年级上·福建宁德·阶段练习）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O．若，，则 ． 【答案】29 【分析】先利用勾股定理求出，，可得，然后由，得出答案． 【详解】解：由题意知， ∴， 根据勾股定理得，，， ∴， 根据勾股定理得，，， ∴， 故答案为：29． 自我练习 【练习1】（24-25八年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，中，，为中点，点在边上（点不与点，重合），连接，过点作交于点，连接． (1)求证：. (2)若，，，直接写出线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和勾股定理，中垂线的性质； （1）延长至使，连接，证明，从而得，，由得为中垂线，故，在中根据勾股定理即可的结论； （2）结合（1）中的结论可得，，在中利用勾股定理即可解决． 【详解】（1）证明：作，交延长线于，连接 ， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， ， ， （2）解：设， ，，， 则， ， ， ， 即：， 由（1）知：，，， ，， ， ， 即：， 解得：， 即：． 【练习2】（24-25八年级上·湖北十堰·期末）如图，等腰直角，等腰直角，，连接相交于点M，则 ． 【答案】50 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键．设交于点F，由等腰直角三角形的性质得，，，可证明，求得，，再证明△，得，则，推导出，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设交于点F， ∵和都是等腰直角三角形，，，， ∴，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， 故答案为：50． 【练习3】（24-25八年级上·四川成都·期中）如图和是外两个等腰直角三角形，，下列说法正确的是： ． ①，且； ②； ③平分； ④取的中点，连，则． 【答案】①③④ 【分析】①由与是等腰直角三角形，，，可证，，且， ，即可退出； ②由，由勾股定理，， ，即可； ③过点作，，可证，由性质得，结合，，即可； ④取中点，使得，易证，推出，再证，推出，由，推出即可． 【详解】与是等腰直角三角形， ，，， ，在与中， ，， ， 设交于点， 由①可知且， ， ，即， 故①符合题意． ②， ，， ， 且，， ． 故②不符合题意． ③证明，过点作，， 由①可知，且，， 在与中， ，， ，且，， 平分，故③符合题意． ④作中点，倍长，使得， 在与中，， ，则， ，， ，， ，在与中， ，， ， ，， ，即， 故④符合题意． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形全等，两直线垂直，勾股定理知识，掌握等腰直角三角形的性质，三角形全等，两直线垂直，勾股定理知识是解题关键． 【题型4 勾股定理的证明方法】 经典例题 【例1】（2023·山西·模拟预测）如图，是第14届国际数学教育大会的会标，数学元素无处不在，画面非常几何化，主画面由圆和螺线组成，呈中心对称，其中的“弦图”也是中国数学会的徽标，充分展示了中国古代数学的灿烂，利用“弦图”所证明的数学定理是（    ） A．三角形内角和定理 B．垂径定理 C．正弦定理 D．勾股定理 【答案】D 【分析】本题考查用“赵爽弦图”证明勾股定理，作出图象，设四个全等的直角三角形，边长为，围成了一个边长为c和的大正方形和小正方形，根据大正方形的面积小正方形的面积4个直角三角形的面积列出等式，化简等式即可得到勾股定理． 【详解】 如图，四个全等的直角三角形，边长为，围成了一个边长为c和的大正方形和小正方形， 则， 化简得， 此即为勾股定理， 故“弦图”所证明的数学定理是勾股定理， 故选：D． 自我练习 【练习1】（24-25八年级下·河南许昌·期中）若a，b为直角三角形的两直角边，c为斜边，下列选项中不能用来证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意根据图形的面积得出的关系，即可证明勾股定理，分别分析即可得出答案 【详解】解：A、不能利用图形面积证明勾股定理； B、根据面积得到； C、根据面积得到，整理得； D、根据面积得到，整理得. 故选：A. 【点睛】本题考查勾股定理的证明，熟练掌握利用图形的面积得出的关系，即可证明勾股定理. 【练习2】（24-25八年级下·山西忻州·期中）“赵爽弦图”是我国古代三国时期的数学家赵爽创制的，他通过对几何图形的巧妙割补，使得图形的面积保持不变，简洁明了地证明了勾股定理，其中体现的数学思想主要是（    ） A．转化思想 B．分类讨论思想 C．数形结合思想 D．类比思想 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的证明，根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想是数形结合思想即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想， 故选：C． 【练习3】（23-24七年级下·江苏镇江·期中）将边长分别为的两个直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成如图所示的直角梯形．试用两种方法计算这个图形的面积，并写出一个关于的恒等式： ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．用两种方法求图形面积，一是直接利用梯形面积公式来求；一是利用三个三角形面积之和来求． 【详解】解：根据题意得：，， ∴， 即， 整理得：． 故答案为：． 【题型5 以弦图为背景的计算题】 经典例题 【例1】（25-26七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，《周髀算经》中的“弦图”是由4个相同的直角三角形拼接而成的，每个直角三角形两条直角边长度的比是，小正方形的面积与大正方形面积比是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意可设每个直角三角形的两条直角边长分别为，根据勾股定理可得该直角三角形的斜边长为，然后可得小正方形的边长为，进而问题可求解． 【详解】解：由题意可设每个直角三角形的两条直角边长分别为， ∴该直角三角形的斜边长为，小正方形的边长为， ∴大正方形的面积为，小正方形的面积为， ∴它们的面积比为； 故选D． 自我练习 【练习1】（23-24八年级下·陕西安康·期末）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，，将四个直角三角形中边长为3的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“风车”，这个风车的外围周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理求得变化后的直角三角形的斜边长，结合周长的定义解答即可． 本题考查了勾股定理应用，通过勾股定理可将“风车”的斜边求出，然后可求出风车外围的周长． 【详解】解：依题意，设“风车”中的四个直角三角形的斜边长为x， 则， 所以， 所以风车的外围周长为． 故选：A． 【练习2】（24-25八年级下·湖北荆门·期中）如图所示“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为，则小正方形的边长为（   ） A．10 B．9 C．8 D．6 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的应用，完全平方公式的应用，算术平方根的含义，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式．首先根据已知条件易得，中间小正方形的边长为；结合题意可得，，结合完全平方公式即可求出小正方形的边长． 【详解】解：由题意，中间小正方形的边长为，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【练习3】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，这是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为．若，则的值是 ． 【答案】675 【分析】根据题意，都由直角三角形和正方形的面积组成的，故设八个全等的直角三角形其中一个的面积为，正方形的面积为，建立等式代入即可；用、表示是解题的关键． 【详解】解：设八个全等的直角三角形其中一个的面积为，正方形的面积为， ， ， ， ，， ． 故答案为：675． 【题型6 解用勾股定理构造图形解决问题】 经典例题 【例1】（24-25八年级上·江苏·期末）如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，设的长为，则，故．在直角中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意可知，，， ． 设的长为，则， 所以． 在直角中，，即， 解得：， 即绳索的长是10米． 故选：A． 自我练习 【练习1】（23-24八年级上·山东枣庄·期中）如果梯子的底端离建筑物底部8米，则米长的梯子可以达到建筑物的高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． 由题意知，如图，，，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，如图，，，    由勾股定理得，， ∴米长的梯子可以达到建筑物的高度是米， 故选：D． 【练习2】（20-21八年级上·河南周口·期末）如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖处的最短距离是（    ） A．厘米 B．10厘米 C．厘米 D．8厘米 【答案】B 【分析】把圆柱沿着点A所在母线展开，把圆柱上最短距离转化为将军饮马河型最短问题求解即可. 【详解】把圆柱沿着点A所在母线展开，如图所示， 作点A的对称点B， 连接PB， 则PB为所求， 根据题意，得PC=8，BC=6， 根据勾股定理，得PB=10， 故选B. 【点睛】本题考查了圆柱上的最短问题，利用圆柱展开，把问题转化为将军饮马河问题，灵活使用勾股定理是解题的关键. 【练习3】（24-25八年级下·贵州黔东南·阶段练习）在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃（）一尺，不合二寸，问门广几何．”大意是说：如图，推开两扇门（和），门边缘D，C两点到门槛的距离为1尺（1尺寸），两扇门间的缝隙为2寸，，那么门的宽度即的长为 寸． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 本题需画出直角三角形，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图： ， 设，过作于， 则由题知，，，． 在中， ，即， 解得． 故门的宽度（两扇门的和）为寸． 故答案为：． 【题型7 勾股定理与无理数】 经典例题 【例1】（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）如图，已知于点，点对应的数是，那么数轴上点所表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，利用勾股定理求出，进而根据点的位置即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：∵点对应的数是， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点在数轴上所表示的数是， 故选：． 自我练习 【练习1】（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在数轴上点表示的数为，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴的关系，利用勾股定理表示出长度为无理数的线段是解决问题的关键．首先利用勾股定理求出，然后得到点A表示的数． 【详解】解：在直角三角形中，根据勾股定理得， ， 则， 故点A表示的数为， 故选B． 【练习2】（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图是甲、乙两张不同的纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（   ） A．甲、乙都可以 B．甲、乙都不可以 C．甲不可以，乙可以 D．甲可以，乙不可以 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形剪拼的相关知识，熟练掌握勾股定理与无理数是解决本题的关键. 首先根据图形可得甲可以拼一个边长为的正方形；再根据图形可得图乙可以拼一个边长为的正方形，据此进行解答即可. 【详解】解：所作图形如图所示， 甲乙都可以拼一个与原来面积相等的正方形． 故选A． 【练习3】（2025·江苏扬州·三模）如图所示，实数可以用数轴上的点来表示，点A表示的数为，点B表示的数为b，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是实数与数轴，勾股定理的应用，如图，先计算，，可得，，再进一步求解即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴，， ∵点A表示的数为，点B表示的数为b， ∴， 故答案为：． 【强化训练1 勾股定理的证明及应用】 经典例题 【例1】（24-25八年级下·山东济宁·阶段练习）如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如图①所示，人只要移至该门铃及以内时，即，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如图②所示，一个身高的学生走到D处，即，门铃恰好自动响起，则的长为（    ） A．2米 B．3米 C．4米 D．5米 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意可知，，，则，再由勾股定理求出的长，即可得出结论． 【详解】解：由题意可知，，，，则， 在中，由勾股定理得：， ∴米， 即门铃恰好自动响起，则的长为4米， 故选：C． 自我练习 【练习1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图是一块等腰三角形形状的铁皮，为底边，尺寸如图所示（单位：），根据所给的条件，可知该铁皮的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线，利用勾股定理求出高是解题的关键． 过点作于点，由等腰三角形三线合一的性质以及勾股定理求解，再由三角形面积公式即可求解． 【详解】解：过点作于点， ∵， ∴ ∴， ∴， 故选：C． 【练习2】（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，是边上的高，则的长为（   ） A． B． C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理． 由等腰三角形的性质，结合已知可得为的中点，从而可得的长度，根据勾股定理即可得的长． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， 又∵， ∴为的中点， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴的长为． 故选：A． 【练习3】（2024·广东·模拟预测）如图，已知与均为等腰直角三角形（），，连接，，若，，则 ． 【答案】 【分析】通过作辅助线，先求出相关角度，再利用等腰直角三角形性质和勾股定理等求出、，进而得到． 【详解】解：如图，过点作于， ∵ 是等腰直角三角形，， ∴ ，，， ∵ ，， ∴ ， ∴ ． 在中，， ∴ ，设，则． 由勾股定理得，即， 解得（舍去负根）． ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及含角的直角三角形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键． 选择题 1．（2025八年级上·重庆·专题练习）已知一个直角三角形的两边长分别为和，第三边长是（ ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，两直角边的平方和等于斜边的平方，掌握定理内容并分类讨论是关键；根据4为直角边与斜边两种情况，利用勾股定理即可完成． 【详解】解：当3和4是直角边时， 在直角三角形中，第三边长为； 当3是直角边，4是斜边时， 在直角三角形中，第三边长为； 故选：D． 2．（24-25八年级下·贵州遵义·期中）如图，若正方形A，B的面积分别为25和16，则正方形C的面积为（    ） A．9 B．11 C．36 D．41 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理在图形面积中的应用．熟记勾股定理是解题关键．设正方形A、B、C的边长分别为：，由勾股定理即可求解． 【详解】解：设正方形A、B、C的边长分别为：， 由题意得：， ∴， 即正方形的面积为9． 故选：A． 3．（25-26八年级上·全国·随堂练习）在中，斜边，则的值是（   ） A．100 B．200 C．300 D．400 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 先画图，再利用勾股定理可求的值，从而求的值． 【详解】解：如图所示，    在中，， 又， ， ， 故选：B． 4．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，是一种用面积证明勾股定理的方法．下面四幅图中，不能用面积证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，大正方形的边长为，则大正方形面积等于，大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，则，据此可判断A；小正方形的边长为，则小正方形的面积等于，小正方形面积等于大正方形面积减去四个直角三角形的面积，则，据此可判断B；中间等腰直角三角形的面积为，中间等腰直角三角形的面积又等于梯形面积减去2个直角三角形面积，则，据此可判断C；D选项中的图形不能证明勾股定理． 【详解】解：A、大正方形的边长为，则大正方形面积等于，大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，则大正方形的面积等于， ∴， ∴， ∴，故A能证明勾股定理，不符合题意； B、小正方形的边长为，则小正方形的面积等于，小正方形面积等于大正方形面积减去四个直角三角形的面积，则小正方形的面积等于， ∴， ∴， ∴，故B能证明勾股定理，不符合题意； C、中间等腰直角三角形的面积为，中间等腰直角三角形的面积又等于梯形面积减去2个直角三角形面积，则中间等腰直角三角形的面积为， ∴， ∴， ∴，故C能证明勾股定理，不符合题意； D选项中的图形不能证明勾股定理，符合题意； 故选：D． 5．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为 b、若大正方形的面积为，小正方形的面积是 ，则等于（   ） A．19 B．13 C．42 D．29 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型． 观察图形可知，小正方形的面积＝大正方形的面积−4个直角三角形的面积，可求的值，大正方形面积为：，再将展开代入即可． 【详解】解：根据大正方形面积4个直角三角形面积=小正方形面积得：， ∴， 而大正方形面积为：， ∴， 故选：D． 6．（24-25九年级下·广东汕头·阶段练习）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为，则小正方形的边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意可知：中间小正方形的边长为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长，熟练运用勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：， ∵每一个直角三角形的面积为， ∴， ∴， ∴或（舍去）， 故选：． 7．（25-26八年级上·山西晋中·阶段练习）如图，在长方形中，在数轴上．若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于点，则点表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理等知识．解题的关键是勾股定理的灵活运用． 先利用勾股定理求出，根据，求出，由此即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是长方形， ， ， ∵以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于表示的数为， ， ， ∴点表示的数为， 故选：D． 8．（25-26九年级上·辽宁鞍山·开学考试）如图，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，且点到数轴的距离为1，则数轴上点所表示的数为（　　） A． B． C．1 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴．先用勾股定理求出，再根据数轴上的点与实数的对应关系，即可求出点C表示的数． 【详解】解：∵， ∴点C表示的数为， 故选：D． 9．（24-25八年级下·甘肃甘南·阶段练习）如图，数轴上点A、B表示的数分别是和1，，垂足为B，，以点A为圆心，长为半径在右边作弧，交数轴于点 甲说：点D表示的数为； 乙说：点D表示的数在1和2之间． 则下列判断正确的是（　　） A．甲乙均对 B．甲乙均错 C．甲对乙错 D．甲错乙对 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握勾股定理和两点间的距离公式．先根据已知条件和勾股定理求出AC，从而求出AD，再设点D表示的数为x，再根据两点间的距离公式列出关于x的方程，解方程求出x，再估算x的值，从而进行判断即可． 【详解】解：由题意可知：， ， ， 由勾股定理得：， 设点D表示的数为x， ∴， ， ， 或， 甲的说法错误， ， ， ， 乙的说法正确， 故选：D ． 10．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，意大利著名画家达·芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，利用两个空洞的面积是相等的验证了勾股定理．已知两个空洞中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，若设左边图中空白部分的面积为，右边图中空白部分的面积为，则下列等式不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的证明，直角三角形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是读懂图形信息． 根据勾股定理、直角三角形以及正方形的面积公式计算，即可解决问题． 【详解】解：由勾股定理可得， 由题意，可得， 故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意． 故选：A． 填空题 11．（25-26八年级上·全国·阶段练习）要在长、宽的长方形钢板上截下一个腰长为的等腰三角形，使其中一个顶点为长方形的顶点，其他顶点在长方形的边上，那么一共有 种不同的截法． 【答案】3 【分析】本题考查的是等腰三角形定义及勾股定理，根据等腰三角形定义分情况讨论：①在长方形的边上截取，在上截取，连接；②在长方形宽上截取，在上截取，则、，连接；③在长方形的边上截取，则，再在边上截取，由勾股定理可得，连接即可． 【详解】解：①如图1：在长方形的边上截取，在上截取，连接，即可得到满足题意的 ． ②如图2：在长方形宽上截取，在上截取，连接，则、，连接即可得到满足题意的等腰三角形． ③如图3，在长方形的边上截取，则，再在边上截取，由勾股定理可得，连接，即可得到满足题意的等腰三角形． 则一共有3种不同的截法， 故答案为：3． 12．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形、的面积分别为25和64，则最大正方形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用． 根据勾股定理，将正方形、的面积相加，即可得最大正方形的面积． 【详解】解：， ∴最大正方形的面积是． 故答案为：． 13．（25-26九年级上·广东深圳·开学考试）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，若，则 ． 【答案】34 【分析】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键． 在和中，根据勾股定理得，进一步得，再根据，，然后根据等量代换即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 在和中，根据勾股定理得：，， ∴， ∵，， ∴ ． 故答案为：34． 14．（23-24八年级下·陕西商洛·期末）如图，是我国古代弦图变形得到的数学风车，是由四个全等的直角三角形和中间的正方形组成，直角三角形的斜边，直角边，点在上，，则中间正方形的面积为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了以弦图为背景的计算题，理解题意是解题的关键．根据图形分析可得小正方形的边长为，据此即可求解． 【详解】解：，，， ， 中间正方形的边长为， 中间正方形的面积为． 故答案为：． 15．（2025·浙江·模拟预测）一无人超市门口的墙AB上装有一个传感器P，离地面高度，当人从门外走到离该传感器及以内时，便自动发出语音“欢迎光临”．身高的小明走到处时，恰好响起“欢迎光临”，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用,理解题意，正确应用勾股定理是解题的关键．过作于点，根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图，过点作于点 ∴ ∴ 由勾股定理可得： 即离门铃米远的地方，门铃恰好自动响起 故答案为：． 16．（2021·湖南株洲·模拟预测）如图，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理及实数与数轴，熟练掌握勾股定理及实数与数轴是解题的关键；由勾股定理可得，然后根据实数与数轴可进行求解． 【详解】解：如图， 由数轴可知：， ∴， ∴a的值为； 故答案为． 17．（2025·江苏南京·二模）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“最美弦图”（如图），图由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查整式的加减，全等三角形的性质，根据已知得出用含，表示出，，，再利用求出答案是解决问题的关键．根据图形的特征设四边形的面积设为，其余八个全等的三角形面积中的一个设为，从而用含，的式子表示出，，，得出答案即可． 【详解】解：设四边形的面积为，其余八个全等的三角形面积中的一个设为， 正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，， 得出，，， ， 故， ∴， 即． 故答案为：． 18．（24-25八年级上·宁夏固原·期末）2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是2，直角三角形较短直角边为a，较长直角边为b，那么的值为 ． 【答案】24 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理，知两条直角边的平方等于斜边的平方，此题中斜边的平方即为大正方形的面积13，即四个直角三角形的面积和，从而不难求得的值． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴． 故答案为：24． 解析题 19．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，阴影部分是一个正方形，若正方形的面积为36，直角三角形的斜边，求的长． 【答案】的长为 【分析】本题主要考查了算术平方根的实际应用，勾股定理．由正方形的面积可得，根据勾股定理即可得的长． 【详解】解：∵阴影部分正方形的面积为， ∴， 又∵直角三角形的斜边， ∴， ∴的长为． 20．（25-26七年级上·陕西咸阳·开学考试）如图，和都是等腰直角三角形，四边形是正方形，已知三角形的面积是，求正方形的面积？ 【答案】平方厘米 【分析】本题考查了以直角三角形三边为边长的图形面积，解题关键是掌握以直角三角形三边为边长的图形面积求法． 将三角形平均分成9份，三角形平均分成8份，阴影部分相当于这样的4份．三角形的面积是平方厘米，先用除法，求出平均1份是多少平方厘米，再用乘法，求出这样的4份是多少平方厘米，即正方形的面积，据此解答． 【详解】解：如图： （平方厘米）， （平方厘米）， 答：正方形的面积是平方厘米． 21．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，已知，，，于点D，求AD的长． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理. 由勾股定理得到，设，求出，计算即可. 【详解】∵ ∴,， ∴ 设，则， ∴ 整理得 解得 即 ∴. 22（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段练习）（1）一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出2尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽6尺，求竹竿长？ （2）1876年，美国总统利用图验证了勾股定理，请你利用它验证勾股定理． 【答案】（1）10尺；（2）见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，勾股定理的证明，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． （1）设竹竿长为x尺，根据勾股定理列出方程，解方程即可； （2）用两种方法表示出梯形的面积，然后得出，再进行化简即可． 【详解】（1）解：设竹竿长为x尺， ， 解得， 答：竹竿长10尺． （2）解：梯形的面积为： ， 或， 即， ∴直角三角形的三边满足此关系式，其中c为斜边，a，b为直角边． 23．（25-26八年级上·全国·课后作业）[传统文化]如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在中，，，． (1)求图①中小正方形的面积； (2)若将图①中的四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，求这个风车的外围周长（图中实线部分）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由全等三角形的性质可知小正方形的边长，根据正方形面积公式计算即可； （2）由题意可知,，由勾股定理得，求出，进而计算即可. 【详解】（1）解：由全等三角形的性质可知小正方形的边长， ∴， ∴图①中小正方形的面积为； （2）解：由题意可知,， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴这个风车的外围周长为． 24（21-22八年级下·湖北咸宁·期末）一辆装满货物的卡车，高，宽，要开进上边是半圆，下边是长方形的桥洞（如图所示）．已知半圆的直径为，长方形的另一条边长为． (1)这辆卡车能否安全通过桥洞？请说明理由． (2)为了适应车流量的增加，要将桥洞改为双行道．如果要使宽为、高为的卡车能安全通过，那么此桥洞的宽至少应增加到多少米？ 【答案】(1)能安全通过，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是根据题目做出辅助线，利用勾股定理进行求解. （1）通过计算卡车在桥洞中间位置时顶部到桥洞顶部半圆的垂直距离，与卡车高度比较来判断能否通过. （2）根据给定卡车的尺寸，利用勾股定理求出桥洞半圆部分所需的半径，进而得到桥洞的宽度. 【详解】（1）解：这辆卡车能安全通过桥洞．理由如下： 如图①，为卡车的宽度． 过点分别作的垂线交半圆于两点， 连接，过点作于点E， 则， 所以． 因为， 所以在中，由勾股定理，得，所以， 所以． 因为，所以这辆卡车能安全通过桥洞． （2）解：如图②，为卡车的宽度，为道路的中点． 过点E作于点F，交半圆于点B， 连接，过点作，交的延长线于点G． 根据题意可知，，所以． 在中，根据勾股定理，得， 所以． 故此桥洞的宽至少应增加到． 25．（25-26七年级上·全国·课后作业）在中，，若，如图1，则有；若为锐角三角形时，小明猜想：，理由如下：如图2，过点A作于点D，设．在中，，在中，． 当为锐角三角形时．所以小明的猜想是正确的． (1)请你猜想，如图3，当为钝角三角形时，与的大小关系． (2)证明你猜想的结论是否正确． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握题干中给定的方法，是解题的关键： （1）类比题干，猜想，即可； （2）过点作，交的延长线为点，设，得到，再根据勾股定理，得到，进行证明即可． 【详解】（1）解：猜想； （2）证明：过点作，交的延长线于点，设， 则： 在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故猜想正确． 26．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）【背景介绍】千百年来，人们对勾股定理的证明乐此不疲，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春构造发现了一个新的证法：把两个全等的和按如图1方式放置，其三边长分别为a，b，c，． (1)请你利用图1证明勾股定理； (2)如图2，在中，，，，且，当是钝角三角形时，猜想与之间的关系，并说明理由； (3)已知的三边为a，b，c（c为斜边），其中a，b满足，求的斜边的长． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)的斜边的长为 【分析】本题考查了勾股定理、完全平方公式，熟练掌握勾股定理是解题关键． （1）证明，根据列式可得； （2）过点A作交延长线于H，设，由勾股定理得，整理得，由可得，故可得结论； （3）把代入得，求出的值，再求的值即可． 【详解】（1）证明：根据题意，由图1可知： ，，，，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ ； 又∵ ， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 过点A作交延长线于H，设， 在中，， 在中，， ∴， 化简得，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：在中，， ∵ ∴， ∴， 解得，， ∵ ∴， ∴（负值舍去） ∴的斜边的长为． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $