第7讲：基本不等式的重点题型归纳 讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2025-2026年高一数学上学期常考题型归纳 【第7讲：基本不等式的重点题型归纳】 【知识梳理】 一、基本不等式核心知识梳理 1.对于正数、，有，当且仅当时等号成立，这是基本不等式的核心形式，也称为均值不等式。其中叫做正数、的算术平均数，叫做正数、的几何平均数，所以基本不等式也可表述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 2.变形形式： （，当且仅当时等号成立），此形式常用于求两正数和的最小值。 （，当且仅当时等号成立），该形式多用于求两正数积的最大值。 （二）基本不等式的使用条件 使用基本不等式求最值时，必须满足“一正、二定、三相等”这三个条件，缺一不可： 1.一正：即参与运算的数必须是正数。若所给数为负数，需先通过变形转化为正数再使用基本不等式。例如，对于，求的最值，可先变形为，再对使用基本不等式。 2.二定：即和或积必须为定值。若和或积不是定值，需通过配凑、变形等手段构造出定值。比如教材中常见的例题：已知，求的最小值，这里与的积为（定值），满足“二定”，可直接使用基本不等式求得最小值为。 3.三相等：即当且仅当参与运算的数相等时，等号成立，才能取到最值。若等号不成立，则不能用基本不等式求最值，需改用其他方法（如函数单调性）。例如，在高考真题中曾出现过类似问题：求的最小值，若直接对与使用基本不等式，会得到，但此时等号成立的条件是，即，显然无实数解，等号不成立，所以不能用基本不等式，需令（），将函数化为，再根据函数单调性（在时单调递增）求得最小值为。 （三）基本不等式的拓展形式（均值不等式链） 对于正数、，有，当且仅当时，所有等号同时成立。其中叫做正数、的调和平均数，叫做正数、的平方平均数。在一些综合性题目中，会用到调和平均数与平方平均数的相关性质，例如在比较大小或证明不等式时，可根据题目条件选择合适的均值形式。 二、结合教材例题与高考真题的应用要点提炼 （一）教材例题中的典型应用场景 1.求简单代数式的最值：如教材中“已知正数、满足，求的最小值”，解题思路是“乘1法”，将乘以（即1），展开后得到，再对与使用基本不等式，可得，当且仅当且时等号成立，解得，。 2.解决实际问题中的最值问题：教材中常涉及几何图形（如长方形、正方形、圆柱等）的面积、体积最值问题，例如“用长为的篱笆围成一个长方形菜园，求菜园面积的最大值”，设长方形的长为，宽为，则，即，面积，根据基本不等式，当且仅当时，面积取得最大值，此时菜园为正方形。 （二）高考真题中的高频考点与解题技巧 1.与函数、方程结合求最值：高考真题中常将基本不等式与一次函数、二次函数、分式函数等结合考查。例如某高考真题：已知函数（，）的图象过点，求的最小值。由函数过点可得，则，当且仅当时等号成立，所以最小值为。解题关键是根据函数过点的条件得到的定值，再利用“乘1法”构造基本不等式的使用条件。 2.与不等式证明结合：高考真题中证明不等式时，常需用到基本不等式的变形形式。例如证明“对于任意正数、、，有”，可根据基本不等式，，，将三式相加得，两边同时除以，即可证明结论，当且仅当时等号成立。 3.与实际应用问题结合：高考真题中的实际应用问题多涉及成本最低、利润最大、效率最高等，例如某高考真题：某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量（吨）与每吨产品的价格（元/吨）之间的关系为，且生产吨产品的成本为元，求该工厂每月生产多少吨产品才能使利润最大，最大利润是多少。利润，对利润函数求导（此处虽未直接用基本不等式，但在后续分析最值时，若涉及二次函数形式，可结合基本不等式），不过本题更适合用导数求解，求得当时，利润最大，最大利润为元。但在一些简单的实际利润问题中，若能构造出“一正、二定、三相等”的条件，可优先用基本不等式求解，例如当利润函数为（，）时，可直接用基本不等式求最值。 三、常用结论总结 1.若，，且（为定值），则当时，取得最大值；若（为定值），则当时，取得最小值。这是基本不等式中最常用的“和定积最大，积定和最小”结论，在教材例题和高考真题中应用广泛。 2.对于任意实数、，有，当且仅当时等号成立，该结论可推广到多个实数的情况：对于任意实数，有，当且仅当时等号成立（柯西不等式的特殊形式）。 3.若，则（），当且仅当时等号成立；若，则（），当且仅当时等号成立。 4.若、为正数，且（），则对于正数、，有，当且仅当时等号成立，此结论常用于“乘1法”求最值的拓展题型。 5.对于正数、，有，当且仅当时等号成立，该结论可变形为，即，与结论2一致，在证明不等式和求最值时可灵活转换使用。 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型一：由基本不等式证明不等关系】 例题精选 【例题1】（25-26高一上·云南玉溪·阶段练习）（1）已知都是正数，证明：. （2）已知且，求的最小值. 【答案】（1）证明见解析（2） 【分析】（1）对不等式进行化简，然后根据基本不等式的性质验证即可. （2）分讨论，根据基本不等式的性质进行计算即可. 【详解】（1）.， 当且仅当时，等号成立. （2）由题意知. 当时，，当且仅当，即时，等号成立. 当时， ，当且仅当，即时，等号成立. 综上，的最小值为. 【例题2】（25-26高一上·全国·课后作业）（1）已知实数均大于0，证明：． （2）已知，证明：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）对括号内应用重要不等式证明即可； （2）应用基本不等式，取加法化简即可. 【详解】证明：（1）根据待证不等式结构选用 ， 当且仅当时等号成立，所以． （2）因为，所以，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， 所以，因此． 相似练习 【相似题1】（23-24高一上·四川成都·期中）已知． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）应用作差法证明不等式； （2）应用已知条件，常值代换根据基本不等式证明. 【详解】（1）因为， 所以； （2）因为， 所以 ，   当且仅当，即，时等号成立． 【相似题2】（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）（1）已知，，均为正实数，且满足．证明： ①． ②． （2）已知，若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值． 【答案】（1）① 证明见解析；②证明见解析 ；（2）． 【分析】（1）①由题意得到，，，三式相加即可证明；②由题意得到，再结合，，即可证明结论． （2）由条件可得，由此可得，换元并结合基本不等式即可求得最小值. 【详解】（1）①，，均为正实数， 则（当且仅当时取“＝”）， 同理可得：，（当且仅当，时等号成立）， 故（当且仅当时取“＝”）， 又，故； ② （当且仅当时取“＝”）， 同理（当且仅当时取“＝”）， （当且仅当时取“＝”）. 又由，， 所以，（当且仅当时取“＝”）， 所以， 故 ， （当且仅当时取“＝”）． （2）因为对任意，不等式恒成立， 所以，则，， 令，则，， 所以， 当且仅当即时等号成立， 即当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 【点睛】关键点睛：求的最小值的关键是依据题设将双元问题转化成一元问题，再结合换元法简化问题从而得解. 【解题策略】 一、通用解题步骤（核心：“定结构→选公式→构条件→推结论→验等号”） 步骤1：审题分析，明确“已知条件”与“目标不等关系” 核心目标：确定变量范围（是否为正）、目标不等式的结构（是“和≥积”“平方和≥乘积”还是“多变量组合”），找到已知条件与目标的关联。 操作要点： 1.标注变量取值范围（如“a,b>0”“a,b,c为实数”），判断是否满足基本不等式的“一正”前提； 2.拆解目标不等式的左边与右边，观察是否可通过基本不等式的“和定积最大”“积定和最小”或变形形式（如）连接。 步骤2：选择适配的基本不等式形式 根据目标不等式的结构，从以下常用形式中选择对应公式： 目标不等式类型 适配的基本不等式形式 适用前提 两正数和与积的关系 （）或 变量为正，需构造“积定”或“和定” 平方和与乘积的关系 （为任意实数） 无“正”的限制，可推广到多变量 多变量组合（如3变量） 多次使用二元基本不等式，或均值不等式链 注意多次使用时等号条件一致 步骤3：构造基本不等式的使用条件（关键：“配凑”与“变形”） 若已知条件无法直接代入公式，需通过以下方式构造“一正、二定”： 补正：若变量为负，通过符号变形转为正数（如时，，可对用基本不等式）； 配凑定值：通过“乘1法”“拆分项”“添项减项”构造“和定”或“积定”。例如：已知（），证明，可将乘以（即“1”），构造出（积为1，定值）； 拆分多变量：对3个及以上变量，拆分为多个二元组分别用基本不等式（如证明，拆为、、三组）。 步骤4：逐步推导，连接已知与目标 核心逻辑：从已知条件出发，代入选定的基本不等式，通过代数变形（如相加、相乘、移项）逐步向目标不等式靠近，每一步标注所用公式及等号成立条件。 操作要点： 1.写清“由XX基本不等式，得XXX”，保证推导严谨； 2.若多次使用基本不等式，每次都需单独标注等号成立条件（后续需验证是否一致）。 步骤5：验证等号成立条件（不可或缺） 核心目标：确认所有基本不等式的等号成立条件是否能同时满足，若能，则目标不等式的等号可取；若不能，则需调整推导思路。 操作要点： 1.列出每一步基本不等式的等号成立条件（如“当且仅当时取等号”“当且仅当时取等号”）； 2.联立条件求解，判断是否存在符合变量范围的解（如联立与，得，符合，则等号可取）。 二、典型例题演示（按步骤拆解） 例题1：已知，求证： 步骤1：审题分析 已知：（满足“一正”）； 目标：证明，左边是“和×（倒数和）”，需转化为可用品基本不等式的形式。 步骤2：选择适配公式 目标涉及两正数的和与倒数和，适配（），需先展开左边构造“积定”项。 步骤3：构造条件 展开左边：，其中与均为正数（因），且（定值，满足“二定”）。 步骤4：推导过程 1.由，得，（补正，确认“一正”）； 2.由基本不等式（令，），得： ，当且仅当（即，又，故）时取等号； 3.将上式代入展开后的左边： ，即目标不等式成立。 步骤5：验证等号成立条件 等号成立条件：（即），且； 联立求解：存在无数组解（如，等），故等号可取。 例题2：已知为实数，求证： 步骤1：审题分析 已知：为任意实数（无需“正”的前提）； 目标：证明平方和≥两两乘积和，适配（任意实数适用）。 步骤2：选择适配公式 适配（任意实数），需拆分为三组二元平方和。 步骤3：构造条件 将目标不等式左边拆为、、三组，分别用基本不等式。 步骤4：推导过程 1.由基本不等式（任意实数）： 令，得，当且仅当时取等号； 令，得，当且仅当时取等号； 令，得，当且仅当时取等号； 2.将三式相加： ； 3.左边整理为，两边同时除以2，得： ，即目标不等式成立。 步骤5：验证等号成立条件 等号成立条件：、、，联立得； 任意实数均满足条件（如，等），故等号可取。 三、常见误区与注意事项 1.忽略“一正”前提：若变量未明确为正，不可直接用，需先验证或变形（如时，，用代入）； 2.多次用不等式但等号条件矛盾：例如证明（）时，需保证三次用的等号条件均为，若条件矛盾（如与），则等号不可取； 3.未构造“定值”：直接对非定值项用不等式（如“由”，因非定值，无法推导到目标），需先通过“乘1法”“添项”构造定值。 【题型二：基本不等式求“和”或“积”的最值】 例题精选 【例题1】【多选题】（24-25高二下·重庆九龙坡·期末）设正数满足，则下列说法正确的是（   ） A．的最小值为 B．的最小值为4 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】BCD 【分析】直接利用均值不等式判断A选项，通过“1”的代换判断B选项，利用平方判断CD选项. 【详解】A选项，， 当且仅当即时等号成立，故的最大值为，A错误； B选项，，当且仅当时等号成立，故B正确； C选项，由，得， 所以，当且仅当时等号成立，故C正确； D选项，由，得， 当且仅当时等号成立，故D正确； 故选：BCD. 【例题2】【多选题】（24-25高二下·湖南·阶段练习）设正实数m、n满足，则（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为2 C．的最小值为2 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式求最值可判断ABC，利用代换1法求最小值可判断D. 【详解】因为正实数m、n满足，所以由基本不等式可得，当且仅当时取到等号，故A正确； 又由基本不等式可得，当且仅当时取到等号，故B正确； 又由基本不等式可得，当且仅当时取到等号，故C错误； 由，当且仅当时取到等号，故D正确； 故选：ABD. 相似练习 【相似题1】（25-26高三上·安徽阜阳·阶段练习）（1）若，求的最大值; （2）若，且，求的最小值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由结合已知条件可求出最大值； （2）已知条件可变形为，故对可配凑为，再利用基本不等式求解即可. 【详解】（1），且， 所以，所以， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为16. （2）因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为7. 【相似题2】（2025高三·全国·专题练习）若，且满足，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】解法一，利用代换法和均值不等式即可求解； 解法二，由权方和不等式：已知均为正实数，则，当且仅当时等号成立．来求解即可； 解法三，利用等式消元化为函数来求值域即可. 【详解】解法一：因为，， 所以 则 当且仅当时，取得最小值2. 解法二：由权方和不等式可得：， 当且仅当时，取得最小值2. 解法三：（消元化为函数值域法）由得，由，则， 即． 故当时，取得最小值为2. 故选：B. 【解题策略】 一、通用解题框架（核心：围绕“一正、二定、三相等”展开） 无论求“和的最小值”还是“积的最大值”，均需遵循以下5步核心逻辑，差异仅体现在“定值构造方向”上： 1.定范围（一正前提）：确认变量是否为正数，若不是，先通过变形转为正数； 2.定目标（和/积类型）：明确需求解的是“和的最小值”（如最小）还是“积的最大值”（如最大）； 3.构定值（二定关键）：根据目标类型构造“定值”——求积最大需构造“和为定值”，求和最小需构造“积为定值”； 4.用公式（算最值）：代入基本不等式对应形式计算初步最值，同步标注等号成立条件； 5.验等号（确认可取）：验证等号成立条件是否符合变量范围，若符合则最值有效，否则需换方法（如函数单调性）。 二、分场景具体解题步骤与例题 场景1：求“积的最大值”（核心逻辑：和定→积最大，适配公式，） 适用条件：已知两正数的“和为定值”，或可通过变形得到“和为定值”。 具体步骤： 1.确认变量为正：标注变量范围（如），若有负变量，先变形（如时，，可求与其他正数的积，再变号）； 2.构造“和为定值”：若已知条件直接给出（为正数定值），直接用；若未直接给出，通过“拆项”“凑系数”构造（如，可将与视为整体，和为3）； 3.代入公式求积的最大值：将“和为定值”的两项代入，计算最大值； 4.验证等号成立条件：令（或构造的整体相等，如），结合“和为定值”求解变量，判断是否符合正数范围。 例题1：已知，且，求的最大值。 1.定范围：，满足“一正”； 2.定目标与构定值：需求的最大值（积最大），已知（和为定值4），为适配公式，将变形为（把与视为整体，和为4）； 3.用公式计算： 由得，令，，则： ， 两边乘以得； 4.验等号：等号成立条件为，结合，联立解得，（均满足），故的最大值为2。 例题2：已知，求的最大值。 1.定范围：，（因），满足“一正”； 2.定目标与构定值：需求的最大值（积最大），（和为定值3，直接可用）； 3.用公式计算： 由，令，，则： ； 4.验等号：等号成立条件为，解得（满足），故的最大值为。 场景2：求“和的最小值”（核心逻辑：积定→和最小，适配公式，） 适用条件：已知两正数的“积为定值”，或可通过变形得到“积为定值”。 具体步骤： 1.确认变量为正：同场景1，先保证参与运算的变量均为正数； 2.构造“积为定值”：若已知（为正数定值），直接用；若未直接给出，通过“拆项补项”“乘1法”构造（如，求，可拆为，使，积为定值）； 3.代入公式求和的最小值：将“积为定值”的两项代入，计算最小值； 4.验证等号成立条件：令（或构造的整体相等），求解变量，判断是否符合正数范围。 例题3：已知，求的最小值。 1.定范围：，，满足“一正”； 2.定目标与构定值：需求的最小值（和最小），（积为定值9，直接可用）； 3.用公式计算： 由，令，，则： ； 4.验等号：等号成立条件为，解得（满足），故的最小值为6。 例题4：已知，求的最小值。 1.定范围：，故，，满足“一正”； 2.定目标与构定值：需求的最小值（和最小），直接看与的积不是定值，需拆项构造： ，此时（积为定值4）； 3.用公式计算： 由，令，，则： ， 故； 4.验等号：等号成立条件为，解得（满足），故的最小值为5。 例题5：已知，且，求的最小值。 1.定范围：，满足“一正”； 2.定目标与构定值：需求的最小值（和最小），已知，用“乘1法”构造积定值： （乘以“1”，值不变）； 3.展开并构定值： 展开得， 其中（积为定值4）； 4.用公式计算： 由，令，，则： ， 故； 5.验等号：等号成立条件为，结合，联立解得，（均满足），故的最小值为8。 三、常见易错点与避坑指南 1.跳过“一正”验证：若变量为负，直接用公式会出错。例如求时的最值，需先变形为，再用公式得（最大值，因负号作用）； 2.定值构造错误：求“和最小”时未确保积为定值，如时求，若直接用与，积不是定值，需拆为，再求最小值； 3.忽略“等号验证”：例如求的最小值，若变形为，看似积为1，但等号成立条件为（即，），实际成立，最小值为2；但类似，变形为，等号成立条件无解，需用函数单调性求最小值； 4.多变量未统一条件：多次用基本不等式时，需保证等号条件一致。例如求（，）的最小值，需确保时所有等号均成立，避免出现的矛盾条件。 【题型三：基本不等式中“和积”共存时的最值】 例题精选 【例题1】（2025高三·全国·专题练习）已知，则的最小值是（    ） A．0 B．－1 C． D．1 【答案】A 【分析】方程可变形为，由，，知，，令，，根据基本不等式构造关系求解. 【详解】方程可变形为， 由，，知，， 令，，则 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值是0． 故选：A． 【例题2】．（黑龙江省九师联盟2025-2026学年高三上学期9月质量检测数学试题）已知正实数满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】解法1：根据题意，求得，得到，结合基本不等式，即可求解； 解法2：根据题意求得，代入化简得到，结合基本不等式，即可求解； 解法3：令，得到，代入得到，结合，即可求解. 【详解】解法1：由，可得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为． 解法2：由，可得， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为． 解法3：令，则， 代入，并整理得， 由判别式，得，或（舍去）， 当时，可得，符合题设， 所以的最小值为． 故答案为：. 相似练习 【相似题1】（2025高一·全国·专题练习）若实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解法1：由题意得，利用基本不等式得，进而解二次不等式即可求解； 解法2：令得代入得，由即可求解. 【详解】解法1：因为实数满足，所以． 再由，可得（当且仅当时等号成立）， 解得，所以， 故的最大值为． 故选：A. 解法2：令，则，代入可得，， 整理得，得， 故． 故选：A. 【相似题2】【多选题】（25-26高一上·全国·单元测试）若实数a，b满足，，则下列说法正确的为（    ） A．当时，的最大值为16 B．当时，的最小值为 C．当时，的最小值为 D．当时，的最小值为 【答案】BD 【分析】利用基本不等式的变形，结合整体法逐一分析判断即可. 【详解】A错，当时，，， 解得，当且仅当时等号成立， 故有最大值，最大值为18. B对，当时，，则， 所以，即， 当且仅当时，有最小值，最小值为. C错，当时，，则， 当时，，当且仅当时等号成立， 此时无解； 当时，，当且仅当时等号成立， 此时解得或，故ab有最小值. D对，当时，，， 则，当且仅当或时等号成立， 故有最小值，最小值为. 故选：BD. 【解题策略】 一、“和积共存”的定义与通用解题框架 1.定义 “和积共存”指题目同时包含变量的和关系（如）与积关系（如），或目标函数同时含“和”与“积”项（如求的最值），需通过不等式建立和与积的关联，进而求解最值。 2.通用解题框架（核心：“定范围→析关系→选方法→算最值→验等号”） 步骤 核心操作 1.定范围 确认所有变量为正数（若为负，先变形转正，如时设），保证不等式适用前提 2.析关系 分离已知条件中的“和”（记为）与“积”（记为），明确目标函数与的关联 3.选方法 根据条件结构选工具： -简单和积转化→基本不等式 -含平方/线性组合→柯西不等式 -分式（分子平方/分母一次）→权方和不等式 4.算最值 代入对应不等式，结合已知条件建立方程或不等式，求解最值 5.验等号 验证所选不等式的等号成立条件是否与变量范围、已知条件兼容 二、分方法解题步骤与实例 方法1：基本不等式（和积转化法）——适用于简单和积关联 核心逻辑：用基本不等式（和定积最大）或（积定和最小），建立与的不等关系，将“和积共存”转化为单变量函数或不等式求解。 解题步骤： 1.设（和），（积），用已知条件建立与的等式（如→）； 2.用基本不等式将表示为的上限（）或表示为的下限（）； 3.代入与的等式，得到关于（或）的不等式，解出（或）的最值； 4.验证等号成立条件（）是否符合变量范围。 例题1：已知，且，求的最小值。 1.定范围：，满足“一正”； 2.析关系：设（目标求的最小值），，已知条件化为→； 3.用基本不等式建关联：由，代入得： →； 4.解不等式：解二次不等式，得（舍去负根，因）； 5.验等号：等号成立条件为，代入，，得→（正根，符合范围），故的最小值为。 例题2：已知，，求的最小值（目标含和，已知积，属和积共存的简单形式）。 1.定范围：； 2.析关系：已知，目标； 3.用基本不等式：； 4.验等号：，结合得，（符合范围），故最小值为。 方法2：柯西不等式——适用于“和+平方和”“和+线性组合”类和积共存 核心公式： 二维柯西：（当且仅当时取等号）； 向量形式：（，，共线时取等号）。 适用场景：已知“线性和”（如），求“平方和”（如）或“加权和”（如）的最值，属和积共存的拓展形式（平方和可通过关联和与积）。 解题步骤： 1.识别已知条件（如）与目标函数（如）的结构； 2.构造柯西不等式的“平方和×平方和”形式，使右边为已知的“线性和”（定值）； 3.展开不等式，解出目标函数的最值； 4.验证等号成立条件（向量共线，即）。 例题3：已知，，求的最小值。 1.定范围：； 2.构造柯西结构：目标是，已知，需将表示为“平方和乘积”的展开项： 由柯西不等式：； 3.代入已知条件计算： 左边：，右边：→→； 4.验等号：等号成立条件为（向量共线），结合得，（符合范围），故最小值为。 例题4：已知，，求的最小值（平方和+线性和，和积共存的间接形式）。 1.构造柯西：； 2.代入：→； 3.验等号：→，结合得，（符合范围），故最小值为32。 方法3：权方和不等式——适用于“分式+和”类和积共存 核心公式（二维）： 若，，则（当且仅当时取等号）。 适用场景：已知“线性和”（如），求“分式和”（分子为平方项，分母为一次项，如）的最值，属和积共存的分式形式。 解题步骤： 1.确认目标函数为；分母均为正数； 2.匹配权方和公式的（分子开方）与（分母）； 3.计算右边，利用已知“线性和”化简分母或分子； 4.验证等号成立条件（）。 例题5：已知，，求的最小值。 1.定范围：→，满足权方和前提； 2.匹配公式：设（分子，），； 3.用权方和计算： ； 4.验等号：等号成立条件为→，结合得（符合范围），故最小值为1。 例题6：已知，，求的最小值（简化后用权方和）。 1.简化目标函数：，已知→（）； 2.转化为权方和形式：目标可写为（或直接对用权方和，结合的表达式），更简便的是： 对用权方和（单一项可补，不影响结果），但更直接的是： 由权方和，，结合，目标函数为，令（），则，代入得： ，再用基本不等式，最小值为（此处也可全程用权方和，需调整结构，核心是匹配分子平方、分母一次）。 三、三种方法的适用场景对比表 方法 适用场景 核心公式/逻辑 等号成立条件 基本不等式（和积转化） 简单和积关联（如，求） 或 （或构造的整体相等） 柯西不等式 含平方和+线性和（如求） （向量共线） 权方和不等式 分式和（分子平方/分母一次+线性和） 一、柯西不等式记忆口诀及解读 1.记忆口诀（适配二维核心形式，可推广至多维） “柯西：平方和乘平方和，交叉积和平方躲； 等号要想取得到，比例相等不能少； 遇平方、线性组，柯西出手解你忧。” 2.口诀逐句解读（对应公式与应用） 口诀内容 对应公式/条件/场景 “平方和乘平方和” 指柯西不等式的左边结构：（两个“平方和”相乘） “交叉积和平方躲” 指不等式的右边结构：（“交叉乘积的和”再平方，“躲”表“不小于”，即左边≥右边） “等号要想取得到，比例相等不能少” 等号成立条件：（两组变量对应成比例，即向量共线） “遇平方、线性组，柯西出手解你忧” 适用场景：题目含“平方和”（如）与“线性组合”（如），需求最值时用柯西 3.口诀与例题关联 对应例题3（求最小值）： 左边是“平方和×平方和”：，右边是“交叉积和平方”：，完美匹配口诀；等号条件“”即“比例相等”，与口诀一致。 对应例题4（求最小值）： 左边“”是“平方和×平方和”，右边“”是“交叉积和平方”，直接套用口诀即可快速构造不等式。 二、权方和不等式记忆口诀及解读 1.记忆口诀（适配二维核心形式，分子平方、分母一次） “权方和：分子平方分母一，凑个和方比分母和； 等号成立有妙招，分子分母比同调； 分式求和（平方分），权方和帮你稳。” 2.口诀逐句解读（对应公式与应用） 口诀内容 对应公式/条件/场景 “分子平方分母一” 指权方和不等式的左边结构：（分子是“平方项”，分母是“一次项”） “凑个和方比分母和” 指不等式的右边结构：（“分子平方的底数和”平方，再除以“分母和”，即左边≥右边） “等号成立有妙招，分子分母比同调” 等号成立条件：（分子与对应分母的比例相同，“同调”表比例一致） “分式求和（平方分），权方和帮你稳” 适用场景：求“分式和”的最值，且分式满足“分子是平方项、分母是一次项”（如） 3.口诀与例题关联） 对应例题5（求最小值）： 左边“”是“分子平方分母一”，右边“”是“和方比分母和”，代入得，直接得最小值，等号条件“”即“比例同调”。 对应例题6（求最小值）： 先将变形为（满足“分子平方分母一”），则左边为，右边可凑“”，再结合化简，完全贴合口诀“凑个和方比分母和”的思路。 【题型四：复杂的基本不等式“1”的代换】 例题精选 【例题1】（24-25高一上·天津·期中）已知均为正数，且，则的最小值 . 【答案】 【分析】通过已知等式变形得到，再利用“”的代换将目标表达式展开，最后应用基本不等式求得最小值. 【详解】已知均为正数，且，所以， 则， 当且仅当，即时，取得等号， 又，所以当，时，取得最小值. 故答案为： 【例题2】（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到，结合基本不等式，求得的最小值，进而求得的最小值，得到答案. 【详解】由题意知：实数，且， 又 因为 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以，即的最小值为. 故选：B 相似练习 【相似题1】（25-26高三上·湖北宜昌·阶段练习）已知，，，则的最小值为 . 【答案】或 【分析】由条件和基本不等式直接可得. 【详解】由，，，得. ， 当且仅当，即，由，得时不等式等号成立. 所以当时，有最小值. 故答案为：. 【相似题2】（25-26高三上·广东深圳·开学考试）已知，则的最小值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】变形给定式子，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】当时， ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故选：A 【解题策略】 一、3步核心流程 1.找1：定已知的“1等价式”（如、），确保变量>0； 2.乘1变项：目标（和/分式和）ד1等价式”，展开拆出“积为定值”的项（如，积=ab）； 3.算值验等：积定项用求最值，联立“等号条件+1的表达式”，验变量>0。 二、3类场景速解例题 1.含系数的“1”（） 例：，，求最小值。 找1：； 乘1拆项：（积=6定）； 算值验等：≥5+2，等号，（>0）。 结果：5+2。 2.分式型“1”（） 例：，，求最小值。 找1：； 乘1拆项：（积=定）； 算值验等：≥，等号，（>0）。 结果：。 3.多变量“1”（） 例：，，求最小值。 找1：； 乘1拆项：（每对积=1定）； 算值验等：≥9，等号（>0）。 结果：9。 三、2点避坑 1.变量必正（负则设转正）； 2.拆项必须有“积定值”（无则重配“1”）。 【题型五：因式分解+换元法+消元法在基本不等式的应用】 例题精选 【例题1】（24-25高一上·河北·阶段练习）可利用基本不等式解决下列问题： (1)已知，求函数的最大值； (2)已知，且，求的最小值； (3)已知正数a，b满足，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用基本不等式求函数最小值； （2）（3）利用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值. 【详解】（1）由，可得， 所以 ， 当且仅当，即时取等号； 所以函数的最大值为. （2）根据题意，且， 则 ， 当且仅当，时取等号， 所以的最小值为. （3）因为，，，所以， 则， 又， 当且仅当且，即，时取等号， 则， 所以当，时，的最小值是. 【例题2】（2025高一·全国·专题练习）已知正数，满足，则的最小值是 . 【答案】1 【分析】首先将条件等式可转化为，再利用基本不等式求出最值. 【详解】由，得， 于是， 当且仅当，时取等号，故最小值为1. 故答案为：1 相似练习 【相似题1】（2025·河北衡水·模拟预测）已知正数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设令，故，，变形得到，由基本不等式“1”的代换求出的最小值，从而得到答案. 【详解】正数，，满足，故， 令，故，， ， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 故. 故选：D 【相似题2】（24-25高一上·福建福州·阶段练习）若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．5 【答案】B 【分析】先化简已知等式，再应用基本不等式计算求解即可. 【详解】因为，，且，则， ，同理， 则， 当且仅当时，的最小值为. 故选：B. 【解题策略】 一、3步核心流程 1.分解凑定：对已知等式因式分解，构造“乘积为定值”的结构（如）； 2.换元转化：设新元替代分解后的整式（如，），将原问题转化为“新元积定/和定”的简单模型； 3.求最值验等：对新元用基本不等式求最值，联立换元关系与等号条件（新元相等或成比例），验证原变量合理性。 二、精准例题分类解析 场景1：二元整式条件（和积共存型） 例题：正数满足，求的最小值。 关键分解：两边同乘5凑因式：→（乘积为定值3）； 换元转化：设，，则，且： ，； 用不等式： ； 验等号：结合，得，，对应，（正数，成立）。 结果：最小值为5。 场景2：三元整式条件（多变量转化型） 例题：正实数满足，求的最小值。 关键分解：分组因式：； 换元转化：设，，则，且； 用不等式：； 验等号：，对应（舍去）→调整：等号成立当，实际时取等号条件为即，此时，代入原式成立。 结果：最小值为。 场景3：分式目标函数（结构简化型） 例题：正数满足，求的最大值。 关键分解：目标函数化简为，需先求的最小值； 换元转化：设，，则，且，（均正→）； 用不等式：，结合，→更简：直接求的最小值，由，代入得→，当时，→（临界值）； 验等号：，，对应，（舍去）→实际最大值当最大时取，此处换元后用基本不等式得。 结果：最大值为。 三、2个精准应用技巧 1.分解技巧：含项时，两边同乘系数凑“十字相乘”结构（如乘5得）； 2.换元原则：新元需保证“正性”（如需先明确），避免等号条件无解。 通过“分解定积→换元降维”，可将复杂多变量问题转化为基本不等式的标准模型，核心是精准构造乘积定值的分解式。 【题型六：“齐次化”在基本不等式中的应用】 例题精选 【例题1】（24-25高三上·河南·阶段练习）已知，则的最小值为 . 【答案】 【分析】将变形为，换元，令，构造均值不等式求解即可. 【详解】，令，所以， 则， 当且仅当，即，时取等号. 所以的最小值为. 故答案为：. 【例题2】（23-24高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将目标式整理为齐次式，再结合均值不等式即可求得结果. 【详解】，因为，故， 则，当且仅当，也即取得等号， 故的最小值为. 故选：D. 相似练习 【相似题1】【多选题】 （23-24高三上·河南·期末）已知正实数a，b满足，则的可能取值为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】BD 【分析】根据变量代换将代入可得，进而利用换元法将可得，结合对勾函数的单调性即可求解. 【详解】由题意可得， 令，由于，则，， 由于对勾函数在单调递减，在单调递增，所以， ，故，所以． 故选：BD． 【相似题2】（21-22高三上·浙江·阶段练习）已知，，，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】将所求化为，利用均值不等式求出的范围，结合函数单调性可得答案. 【详解】 由，当且仅当,即时，等号成立. 所以，设函数,则 当时，，所以在上单调递减. 则（当时等号成立） 所以 故答案为： 【解题策略】 一、什么是“齐次式”？ 变量（多变量同理），式子中每一项次数相同： 一次齐次式：、（每项次数1）； 二次齐次式：、（每项次数2）； 零次齐次式（分式）：、（分子分母同次，整体次数0）。 二、5步解题流程 步骤 核心操作 关键依据 1.判齐次 目标式非齐次（如分子2次、分母1次），且已知低次定值（如），需齐次化 基本不等式适用于可构造定值的齐次式 2.补次数 用已知定值的幂次补次数（如，则，按需取1、2） 定值幂次仍为定值，不改变式子值 3.化齐次 代入幂次，展开整理为零次齐次分式（分子分母同次） 零次分式可化为的单变量式，易放缩 4.用不等式 齐次式拆“积定/和定”项，用、求最值 齐次式易满足基本不等式使用条件 5.验等号 联立等号条件与已知条件，验证变量>0 确保最值可取 三、2类典型例题 场景1：已知“一次定值”（），求分式最值 例题：，，求的最小值。 1.判齐次：目标式展开含（-2次），非齐次；已知（1次），需齐次化。 2.补次数：用（补2次，使）。 3.化齐次： 原式， 代入、，得： 原式（零次齐次分式）。 4.用不等式：令（由），在单调递减，故，原式。 5.验等号：（满足，），成立。 结果：最小值。 场景2：已知“二次定值”（），求分式最值 例题：，，求的最大值。 1.判齐次：分子1次、分母（0次+2次），非齐次；已知（2次），需齐次化。 2.补次数：目标式平方，使分子为2次：。 3.化齐次：代入，得： 分子，分母， 令（由），原式平方。 4.用不等式：，时，故原式。 5.验等号：（满足，），成立。 结果：最大值。 四、3个关键要点 1.补次依据：已知次定值，补到目标式分子分母最高次； 2.化齐次核心：多变量齐次式÷（或），化为单变量分式； 3.等号必验：联立等号条件与已知定值，确保变量为正。 【题型七:“多元”基本不等式题型】 例题精选 【例题1】（25-26高一上·江苏徐州·阶段练习）已知，，则的最小值是 . 【答案】1 【分析】将转化为,然后利用基本不等式可得的最小值. 【详解】由，得：，所以， 因为所以，所以，当且仅当即时等号成立. 所以，当且仅当时，取得最小值，最小值为. 故答案为：1. 【例题2】（24-25高三上·广东深圳·期末）已知的最小值为 . 【答案】 【分析】根据条件得到，再通过转化和构造，利用基本不等式，即可求解. 【详解】由，得到，所以， 则， 又，所以， 当且仅当，即时取等号， 又， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 故答案为：. 【点晴】关键点点晴，本题的关键在于将条件变形为，再利用基本不等进行求解. 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·江苏无锡·期中）设正实数x，y，z满足，则当取得最大值时，的最大值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】将代入后剩下关于的二元等式，经齐次化处理后使用基本不等式在时最大值时，将代入原式可得，代入，得到二次函数利用配方法即可求得其最大值. 【详解】， ，又均为正实数， （当且仅当时取"=")， ，此时. ， ，当且仅当时取得"="，满足题意. 的最大值为. 故选：D 【点睛】关键点点睛：对含有多元变量的函数求最值时通常要减少变量的个数，减少变量的个数方法有:①代入消元，把其中一个变量用其它变量表示后代入消元;②对齐次式可通过构造比值消元. 【相似题2】（24-25高一上·重庆·期中）已知正实数、、满足，则的最小值为 ，的最小值为 . 【答案】 ； / 【分析】根据基本不等式中常值代换法可得第一空；利用两次基本不等式计算即可. 【详解】因为，，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取得最小值； 易知 ， 当且仅当第一个不等号可取等号， 当且仅当第二个不等号可取等号. 故答案为：；. 【点睛】思路点睛：对于第一空可用常值代换即灵活运用“1”构造乘积为定值计算；对于第二空观察式子结构，灵活运用“1”构造齐次式，两次使用基本不等式计算即可，需注意等号成立的情况. 【解题策略】 核心逻辑：分步凑定+等号一致（2次用二元均值） 例题1：和定→分式积最值 已知，，求最小值。 1.化简目标：（代入）； 2.第一次均值：，，，相乘得； 3.第二次均值：目标式； 4.验等号：（两次等号均满足，符合>0）。 结果：8 【题型八：基本不等式的恒成立问题】 例题精选 【例题1】（24-25高二下·山东济宁·阶段练习）已知，且，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】根据题意，化简得到，利用基本不等式，求得，得到，得到，令，得到，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由，可得， 因为，两边同除，可得，即， 又因为，可得，所以， 则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以， 所以， 令，其中，则，即，解得或（舍去）， 所以，即的最小值为，此时，. 故选：A. 【例题2】（2021高一·全国·专题练习）已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．，或 C． D．，或 【答案】A 【分析】根据，由基本不等式得出的最小值8， 然后根据这个最小值确定m的取值范围. 【详解】， ，当且仅当时等号成立， 恒成立，， 解得. 故选：A. 相似练习 【相似题1】（24-25高一下·湖南·开学考试）已知，且恒成立，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据条件，得到，又，利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为，则，又恒成立， 即恒成立， 又， 当且仅当，即时取等号，所以， 故选：B. 【相似题2】（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意得到，再结合基本不等式求得最小值，进而可求解； 【详解】恒成立，即， ，当且仅当时取等号， 所以， 即， 解得：， 所以实数t的取值范围是， 故答案为： 【解题策略】 基本不等式恒成立问题解题步骤 （核心：恒成立→“参数≥函数最大值”或“参数≤函数最小值”） 一、通用5步流程 步骤 核心操作（目标） 关键注意 1.定范围 明确变量>0（负则变形转正），标注参数初范围（如a>0） 变量范围直接影响函数最值 2.析条件 整理恒成立式：将含参数的项与变量项分离，化为“参数≥f(x)”或“参数≤f(x)” 分离是转化的核心 3.转最值 恒成立等价关系： -若“f(x)≥a恒成立”→a≤f(x)的最小值； -若“f(x)≤a恒成立”→a≥f(x)的最大值 避免最值方向搞反 4.求最值 用基本不等式求f(x)的最值（按“一正二定三相等”验证） 必验等号（确保最值可取） 5.定参数 根据最值，解参数的取值范围 结合参数初范围筛选 二、2类典型例题（步骤对应） 题型1：单变量恒成立（求参数范围） 例题：已知x>0，不等式x+≥4恒成立，求正数a的取值范围。 步骤1：变量x>0，参数a>0； 步骤2：整理条件：x+≥4（无需分离参数，直接分析函数f(x)=x+）； 步骤3：恒成立等价于：f(x)的最小值≥4； 步骤4：求f(x)最值：由基本不等式，f(x)=x+≥2=2（等号x=>0，成立）； 步骤5：定参数：2≥4→≥2→a≥4。 结果：a∈[4,+∞)。 题型2：多元恒成立（已知和定，求参数最大值） 例题：已知x>0,y>0，x+y=1，不等式+≥a恒成立，求a的最大值。 步骤1：变量x>0,y>0； 步骤2：整理条件：+≥a（a≤+）； 步骤3：恒成立等价于：a≤（+）的最小值； 步骤4：求最小值：乘1法→+=(x+y)(+)=2++≥2+2=4（等号x=y=>0，成立）； 步骤5：定参数：a≤4→a的最大值为4。 结果：a_max=4。 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026年高一数学上学期常考题型归纳 【第7讲：基本不等式的重点题型归纳】 【知识梳理】 一、基本不等式核心知识梳理 1.对于正数、，有，当且仅当时等号成立，这是基本不等式的核心形式，也称为均值不等式。其中叫做正数、的算术平均数，叫做正数、的几何平均数，所以基本不等式也可表述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 2.变形形式： （，当且仅当时等号成立），此形式常用于求两正数和的最小值。 （，当且仅当时等号成立），该形式多用于求两正数积的最大值。 （二）基本不等式的使用条件 使用基本不等式求最值时，必须满足“一正、二定、三相等”这三个条件，缺一不可： 1.一正：即参与运算的数必须是正数。若所给数为负数，需先通过变形转化为正数再使用基本不等式。例如，对于，求的最值，可先变形为，再对使用基本不等式。 2.二定：即和或积必须为定值。若和或积不是定值，需通过配凑、变形等手段构造出定值。比如教材中常见的例题：已知，求的最小值，这里与的积为（定值），满足“二定”，可直接使用基本不等式求得最小值为。 3.三相等：即当且仅当参与运算的数相等时，等号成立，才能取到最值。若等号不成立，则不能用基本不等式求最值，需改用其他方法（如函数单调性）。例如，在高考真题中曾出现过类似问题：求的最小值，若直接对与使用基本不等式，会得到，但此时等号成立的条件是，即，显然无实数解，等号不成立，所以不能用基本不等式，需令（），将函数化为，再根据函数单调性（在时单调递增）求得最小值为。 （三）基本不等式的拓展形式（均值不等式链） 对于正数、，有，当且仅当时，所有等号同时成立。其中叫做正数、的调和平均数，叫做正数、的平方平均数。在一些综合性题目中，会用到调和平均数与平方平均数的相关性质，例如在比较大小或证明不等式时，可根据题目条件选择合适的均值形式。 二、结合教材例题与高考真题的应用要点提炼 （一）教材例题中的典型应用场景 1.求简单代数式的最值：如教材中“已知正数、满足，求的最小值”，解题思路是“乘1法”，将乘以（即1），展开后得到，再对与使用基本不等式，可得，当且仅当且时等号成立，解得，。 2.解决实际问题中的最值问题：教材中常涉及几何图形（如长方形、正方形、圆柱等）的面积、体积最值问题，例如“用长为的篱笆围成一个长方形菜园，求菜园面积的最大值”，设长方形的长为，宽为，则，即，面积，根据基本不等式，当且仅当时，面积取得最大值，此时菜园为正方形。 （二）高考真题中的高频考点与解题技巧 1.与函数、方程结合求最值：高考真题中常将基本不等式与一次函数、二次函数、分式函数等结合考查。例如某高考真题：已知函数（，）的图象过点，求的最小值。由函数过点可得，则，当且仅当时等号成立，所以最小值为。解题关键是根据函数过点的条件得到的定值，再利用“乘1法”构造基本不等式的使用条件。 2.与不等式证明结合：高考真题中证明不等式时，常需用到基本不等式的变形形式。例如证明“对于任意正数、、，有”，可根据基本不等式，，，将三式相加得，两边同时除以，即可证明结论，当且仅当时等号成立。 3.与实际应用问题结合：高考真题中的实际应用问题多涉及成本最低、利润最大、效率最高等，例如某高考真题：某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量（吨）与每吨产品的价格（元/吨）之间的关系为，且生产吨产品的成本为元，求该工厂每月生产多少吨产品才能使利润最大，最大利润是多少。利润，对利润函数求导（此处虽未直接用基本不等式，但在后续分析最值时，若涉及二次函数形式，可结合基本不等式），不过本题更适合用导数求解，求得当时，利润最大，最大利润为元。但在一些简单的实际利润问题中，若能构造出“一正、二定、三相等”的条件，可优先用基本不等式求解，例如当利润函数为（，）时，可直接用基本不等式求最值。 三、常用结论总结 1.若，，且（为定值），则当时，取得最大值；若（为定值），则当时，取得最小值。这是基本不等式中最常用的“和定积最大，积定和最小”结论，在教材例题和高考真题中应用广泛。 2.对于任意实数、，有，当且仅当时等号成立，该结论可推广到多个实数的情况：对于任意实数，有，当且仅当时等号成立（柯西不等式的特殊形式）。 3.若，则（），当且仅当时等号成立；若，则（），当且仅当时等号成立。 4.若、为正数，且（），则对于正数、，有，当且仅当时等号成立，此结论常用于“乘1法”求最值的拓展题型。 5.对于正数、，有，当且仅当时等号成立，该结论可变形为，即，与结论2一致，在证明不等式和求最值时可灵活转换使用。 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型一：由基本不等式证明不等关系】 例题精选 【例题1】（25-26高一上·云南玉溪·阶段练习）（1）已知都是正数，证明：. （2）已知且，求的最小值. 【例题2】（25-26高一上·全国·课后作业）（1）已知实数均大于0，证明：． （2）已知，证明：． 相似练习 【相似题1】（23-24高一上·四川成都·期中）已知． (1)求证：； (2)若，求证：． 【相似题2】（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）（1）已知，，均为正实数，且满足．证明： ①． ②． （2）已知，若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值． 【解题策略】 一、通用解题步骤（核心：“定结构→选公式→构条件→推结论→验等号”） 步骤1：审题分析，明确“已知条件”与“目标不等关系” 核心目标：确定变量范围（是否为正）、目标不等式的结构（是“和≥积”“平方和≥乘积”还是“多变量组合”），找到已知条件与目标的关联。 操作要点： 1.标注变量取值范围（如“a,b>0”“a,b,c为实数”），判断是否满足基本不等式的“一正”前提； 2.拆解目标不等式的左边与右边，观察是否可通过基本不等式的“和定积最大”“积定和最小”或变形形式（如）连接。 步骤2：选择适配的基本不等式形式 根据目标不等式的结构，从以下常用形式中选择对应公式： 目标不等式类型 适配的基本不等式形式 适用前提 两正数和与积的关系 （）或 变量为正，需构造“积定”或“和定” 平方和与乘积的关系 （为任意实数） 无“正”的限制，可推广到多变量 多变量组合（如3变量） 多次使用二元基本不等式，或均值不等式链 注意多次使用时等号条件一致 步骤3：构造基本不等式的使用条件（关键：“配凑”与“变形”） 若已知条件无法直接代入公式，需通过以下方式构造“一正、二定”： 补正：若变量为负，通过符号变形转为正数（如时，，可对用基本不等式）； 配凑定值：通过“乘1法”“拆分项”“添项减项”构造“和定”或“积定”。例如：已知（），证明，可将乘以（即“1”），构造出（积为1，定值）； 拆分多变量：对3个及以上变量，拆分为多个二元组分别用基本不等式（如证明，拆为、、三组）。 步骤4：逐步推导，连接已知与目标 核心逻辑：从已知条件出发，代入选定的基本不等式，通过代数变形（如相加、相乘、移项）逐步向目标不等式靠近，每一步标注所用公式及等号成立条件。 操作要点： 1.写清“由XX基本不等式，得XXX”，保证推导严谨； 2.若多次使用基本不等式，每次都需单独标注等号成立条件（后续需验证是否一致）。 步骤5：验证等号成立条件（不可或缺） 核心目标：确认所有基本不等式的等号成立条件是否能同时满足，若能，则目标不等式的等号可取；若不能，则需调整推导思路。 操作要点： 1.列出每一步基本不等式的等号成立条件（如“当且仅当时取等号”“当且仅当时取等号”）； 2.联立条件求解，判断是否存在符合变量范围的解（如联立与，得，符合，则等号可取）。 二、典型例题演示（按步骤拆解） 例题1：已知，求证： 步骤1：审题分析 已知：（满足“一正”）； 目标：证明，左边是“和×（倒数和）”，需转化为可用品基本不等式的形式。 步骤2：选择适配公式 目标涉及两正数的和与倒数和，适配（），需先展开左边构造“积定”项。 步骤3：构造条件 展开左边：，其中与均为正数（因），且（定值，满足“二定”）。 步骤4：推导过程 1.由，得，（补正，确认“一正”）； 2.由基本不等式（令，），得： ，当且仅当（即，又，故）时取等号； 3.将上式代入展开后的左边： ，即目标不等式成立。 步骤5：验证等号成立条件 等号成立条件：（即），且； 联立求解：存在无数组解（如，等），故等号可取。 例题2：已知为实数，求证： 步骤1：审题分析 已知：为任意实数（无需“正”的前提）； 目标：证明平方和≥两两乘积和，适配（任意实数适用）。 步骤2：选择适配公式 适配（任意实数），需拆分为三组二元平方和。 步骤3：构造条件 将目标不等式左边拆为、、三组，分别用基本不等式。 步骤4：推导过程 1.由基本不等式（任意实数）： 令，得，当且仅当时取等号； 令，得，当且仅当时取等号； 令，得，当且仅当时取等号； 2.将三式相加： ； 3.左边整理为，两边同时除以2，得： ，即目标不等式成立。 步骤5：验证等号成立条件 等号成立条件：、、，联立得； 任意实数均满足条件（如，等），故等号可取。 三、常见误区与注意事项 1.忽略“一正”前提：若变量未明确为正，不可直接用，需先验证或变形（如时，，用代入）； 2.多次用不等式但等号条件矛盾：例如证明（）时，需保证三次用的等号条件均为，若条件矛盾（如与），则等号不可取； 3.未构造“定值”：直接对非定值项用不等式（如“由”，因非定值，无法推导到目标），需先通过“乘1法”“添项”构造定值。 【题型二：基本不等式求“和”或“积”的最值】 例题精选 【例题1】【多选题】（24-25高二下·重庆九龙坡·期末）设正数满足，则下列说法正确的是（   ） A．的最小值为 B．的最小值为4 C．的最大值为 D．的最小值为 【例题2】【多选题】（24-25高二下·湖南·阶段练习）设正实数m、n满足，则（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为2 C．的最小值为2 D．的最小值为 相似练习 【相似题1】（25-26高三上·安徽阜阳·阶段练习）（1）若，求的最大值; （2）若，且，求的最小值. 【相似题2】（2025高三·全国·专题练习）若，且满足，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【解题策略】 一、通用解题框架（核心：围绕“一正、二定、三相等”展开） 无论求“和的最小值”还是“积的最大值”，均需遵循以下5步核心逻辑，差异仅体现在“定值构造方向”上： 1.定范围（一正前提）：确认变量是否为正数，若不是，先通过变形转为正数； 2.定目标（和/积类型）：明确需求解的是“和的最小值”（如最小）还是“积的最大值”（如最大）； 3.构定值（二定关键）：根据目标类型构造“定值”——求积最大需构造“和为定值”，求和最小需构造“积为定值”； 4.用公式（算最值）：代入基本不等式对应形式计算初步最值，同步标注等号成立条件； 5.验等号（确认可取）：验证等号成立条件是否符合变量范围，若符合则最值有效，否则需换方法（如函数单调性）。 二、分场景具体解题步骤与例题 场景1：求“积的最大值”（核心逻辑：和定→积最大，适配公式，） 适用条件：已知两正数的“和为定值”，或可通过变形得到“和为定值”。 具体步骤： 1.确认变量为正：标注变量范围（如），若有负变量，先变形（如时，，可求与其他正数的积，再变号）； 2.构造“和为定值”：若已知条件直接给出（为正数定值），直接用；若未直接给出，通过“拆项”“凑系数”构造（如，可将与视为整体，和为3）； 3.代入公式求积的最大值：将“和为定值”的两项代入，计算最大值； 4.验证等号成立条件：令（或构造的整体相等，如），结合“和为定值”求解变量，判断是否符合正数范围。 例题1：已知，且，求的最大值。 1.定范围：，满足“一正”； 2.定目标与构定值：需求的最大值（积最大），已知（和为定值4），为适配公式，将变形为（把与视为整体，和为4）； 3.用公式计算： 由得，令，，则： ， 两边乘以得； 4.验等号：等号成立条件为，结合，联立解得，（均满足），故的最大值为2。 例题2：已知，求的最大值。 1.定范围：，（因），满足“一正”； 2.定目标与构定值：需求的最大值（积最大），（和为定值3，直接可用）； 3.用公式计算： 由，令，，则： ； 4.验等号：等号成立条件为，解得（满足），故的最大值为。 场景2：求“和的最小值”（核心逻辑：积定→和最小，适配公式，） 适用条件：已知两正数的“积为定值”，或可通过变形得到“积为定值”。 具体步骤： 1.确认变量为正：同场景1，先保证参与运算的变量均为正数； 2.构造“积为定值”：若已知（为正数定值），直接用；若未直接给出，通过“拆项补项”“乘1法”构造（如，求，可拆为，使，积为定值）； 3.代入公式求和的最小值：将“积为定值”的两项代入，计算最小值； 4.验证等号成立条件：令（或构造的整体相等），求解变量，判断是否符合正数范围。 例题3：已知，求的最小值。 1.定范围：，，满足“一正”； 2.定目标与构定值：需求的最小值（和最小），（积为定值9，直接可用）； 3.用公式计算： 由，令，，则： ； 4.验等号：等号成立条件为，解得（满足），故的最小值为6。 例题4：已知，求的最小值。 1.定范围：，故，，满足“一正”； 2.定目标与构定值：需求的最小值（和最小），直接看与的积不是定值，需拆项构造： ，此时（积为定值4）； 3.用公式计算： 由，令，，则： ， 故； 4.验等号：等号成立条件为，解得（满足），故的最小值为5。 例题5：已知，且，求的最小值。 1.定范围：，满足“一正”； 2.定目标与构定值：需求的最小值（和最小），已知，用“乘1法”构造积定值： （乘以“1”，值不变）； 3.展开并构定值： 展开得， 其中（积为定值4）； 4.用公式计算： 由，令，，则： ， 故； 5.验等号：等号成立条件为，结合，联立解得，（均满足），故的最小值为8。 三、常见易错点与避坑指南 1.跳过“一正”验证：若变量为负，直接用公式会出错。例如求时的最值，需先变形为，再用公式得（最大值，因负号作用）； 2.定值构造错误：求“和最小”时未确保积为定值，如时求，若直接用与，积不是定值，需拆为，再求最小值； 3.忽略“等号验证”：例如求的最小值，若变形为，看似积为1，但等号成立条件为（即，），实际成立，最小值为2；但类似，变形为，等号成立条件无解，需用函数单调性求最小值； 4.多变量未统一条件：多次用基本不等式时，需保证等号条件一致。例如求（，）的最小值，需确保时所有等号均成立，避免出现的矛盾条件。 【题型三：基本不等式中“和积”共存时的最值】 例题精选 【例题1】（2025高三·全国·专题练习）已知，则的最小值是（    ） A．0 B．－1 C． D．1 【例题2】．（黑龙江省九师联盟2025-2026学年高三上学期9月质量检测数学试题）已知正实数满足，则的最小值为 ． 相似练习 【相似题1】（2025高一·全国·专题练习）若实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【相似题2】【多选题】（25-26高一上·全国·单元测试）若实数a，b满足，，则下列说法正确的为（    ） A．当时，的最大值为16 B．当时，的最小值为 C．当时，的最小值为 D．当时，的最小值为 【解题策略】 一、“和积共存”的定义与通用解题框架 1.定义 “和积共存”指题目同时包含变量的和关系（如）与积关系（如），或目标函数同时含“和”与“积”项（如求的最值），需通过不等式建立和与积的关联，进而求解最值。 2.通用解题框架（核心：“定范围→析关系→选方法→算最值→验等号”） 步骤 核心操作 1.定范围 确认所有变量为正数（若为负，先变形转正，如时设），保证不等式适用前提 2.析关系 分离已知条件中的“和”（记为）与“积”（记为），明确目标函数与的关联 3.选方法 根据条件结构选工具： -简单和积转化→基本不等式 -含平方/线性组合→柯西不等式 -分式（分子平方/分母一次）→权方和不等式 4.算最值 代入对应不等式，结合已知条件建立方程或不等式，求解最值 5.验等号 验证所选不等式的等号成立条件是否与变量范围、已知条件兼容 二、分方法解题步骤与实例 方法1：基本不等式（和积转化法）——适用于简单和积关联 核心逻辑：用基本不等式（和定积最大）或（积定和最小），建立与的不等关系，将“和积共存”转化为单变量函数或不等式求解。 解题步骤： 1.设（和），（积），用已知条件建立与的等式（如→）； 2.用基本不等式将表示为的上限（）或表示为的下限（）； 3.代入与的等式，得到关于（或）的不等式，解出（或）的最值； 4.验证等号成立条件（）是否符合变量范围。 例题1：已知，且，求的最小值。 1.定范围：，满足“一正”； 2.析关系：设（目标求的最小值），，已知条件化为→； 3.用基本不等式建关联：由，代入得： →； 4.解不等式：解二次不等式，得（舍去负根，因）； 5.验等号：等号成立条件为，代入，，得→（正根，符合范围），故的最小值为。 例题2：已知，，求的最小值（目标含和，已知积，属和积共存的简单形式）。 1.定范围：； 2.析关系：已知，目标； 3.用基本不等式：； 4.验等号：，结合得，（符合范围），故最小值为。 方法2：柯西不等式——适用于“和+平方和”“和+线性组合”类和积共存 核心公式： 二维柯西：（当且仅当时取等号）； 向量形式：（，，共线时取等号）。 适用场景：已知“线性和”（如），求“平方和”（如）或“加权和”（如）的最值，属和积共存的拓展形式（平方和可通过关联和与积）。 解题步骤： 1.识别已知条件（如）与目标函数（如）的结构； 2.构造柯西不等式的“平方和×平方和”形式，使右边为已知的“线性和”（定值）； 3.展开不等式，解出目标函数的最值； 4.验证等号成立条件（向量共线，即）。 例题3：已知，，求的最小值。 1.定范围：； 2.构造柯西结构：目标是，已知，需将表示为“平方和乘积”的展开项： 由柯西不等式：； 3.代入已知条件计算： 左边：，右边：→→； 4.验等号：等号成立条件为（向量共线），结合得，（符合范围），故最小值为。 例题4：已知，，求的最小值（平方和+线性和，和积共存的间接形式）。 1.构造柯西：； 2.代入：→； 3.验等号：→，结合得，（符合范围），故最小值为32。 方法3：权方和不等式——适用于“分式+和”类和积共存 核心公式（二维）： 若，，则（当且仅当时取等号）。 适用场景：已知“线性和”（如），求“分式和”（分子为平方项，分母为一次项，如）的最值，属和积共存的分式形式。 解题步骤： 1.确认目标函数为；分母均为正数； 2.匹配权方和公式的（分子开方）与（分母）； 3.计算右边，利用已知“线性和”化简分母或分子； 4.验证等号成立条件（）。 例题5：已知，，求的最小值。 1.定范围：→，满足权方和前提； 2.匹配公式：设（分子，），； 3.用权方和计算： ； 4.验等号：等号成立条件为→，结合得（符合范围），故最小值为1。 例题6：已知，，求的最小值（简化后用权方和）。 1.简化目标函数：，已知→（）； 2.转化为权方和形式：目标可写为（或直接对用权方和，结合的表达式），更简便的是： 对用权方和（单一项可补，不影响结果），但更直接的是： 由权方和，，结合，目标函数为，令（），则，代入得： ，再用基本不等式，最小值为（此处也可全程用权方和，需调整结构，核心是匹配分子平方、分母一次）。 三、三种方法的适用场景对比表 方法 适用场景 核心公式/逻辑 等号成立条件 基本不等式（和积转化） 简单和积关联（如，求） 或 （或构造的整体相等） 柯西不等式 含平方和+线性和（如求） （向量共线） 权方和不等式 分式和（分子平方/分母一次+线性和） 一、柯西不等式记忆口诀及解读 1.记忆口诀（适配二维核心形式，可推广至多维） “柯西：平方和乘平方和，交叉积和平方躲； 等号要想取得到，比例相等不能少； 遇平方、线性组，柯西出手解你忧。” 2.口诀逐句解读（对应公式与应用） 口诀内容 对应公式/条件/场景 “平方和乘平方和” 指柯西不等式的左边结构：（两个“平方和”相乘） “交叉积和平方躲” 指不等式的右边结构：（“交叉乘积的和”再平方，“躲”表“不小于”，即左边≥右边） “等号要想取得到，比例相等不能少” 等号成立条件：（两组变量对应成比例，即向量共线） “遇平方、线性组，柯西出手解你忧” 适用场景：题目含“平方和”（如）与“线性组合”（如），需求最值时用柯西 3.口诀与例题关联 对应例题3（求最小值）： 左边是“平方和×平方和”：，右边是“交叉积和平方”：，完美匹配口诀；等号条件“”即“比例相等”，与口诀一致。 对应例题4（求最小值）： 左边“”是“平方和×平方和”，右边“”是“交叉积和平方”，直接套用口诀即可快速构造不等式。 二、权方和不等式记忆口诀及解读 1.记忆口诀（适配二维核心形式，分子平方、分母一次） “权方和：分子平方分母一，凑个和方比分母和； 等号成立有妙招，分子分母比同调； 分式求和（平方分），权方和帮你稳。” 2.口诀逐句解读（对应公式与应用） 口诀内容 对应公式/条件/场景 “分子平方分母一” 指权方和不等式的左边结构：（分子是“平方项”，分母是“一次项”） “凑个和方比分母和” 指不等式的右边结构：（“分子平方的底数和”平方，再除以“分母和”，即左边≥右边） “等号成立有妙招，分子分母比同调” 等号成立条件：（分子与对应分母的比例相同，“同调”表比例一致） “分式求和（平方分），权方和帮你稳” 适用场景：求“分式和”的最值，且分式满足“分子是平方项、分母是一次项”（如） 3.口诀与例题关联） 对应例题5（求最小值）： 左边“”是“分子平方分母一”，右边“”是“和方比分母和”，代入得，直接得最小值，等号条件“”即“比例同调”。 对应例题6（求最小值）： 先将变形为（满足“分子平方分母一”），则左边为，右边可凑“”，再结合化简，完全贴合口诀“凑个和方比分母和”的思路。 【题型四：复杂的基本不等式“1”的代换】 例题精选 【例题1】（24-25高一上·天津·期中）已知均为正数，且，则的最小值 . 【例题2】（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（25-26高三上·湖北宜昌·阶段练习）已知，，，则的最小值为 . 【相似题2】（25-26高三上·广东深圳·开学考试）已知，则的最小值为（   ） A． B． C． D．1 【解题策略】 一、3步核心流程 1.找1：定已知的“1等价式”（如、），确保变量>0； 2.乘1变项：目标（和/分式和）ד1等价式”，展开拆出“积为定值”的项（如，积=ab）； 3.算值验等：积定项用求最值，联立“等号条件+1的表达式”，验变量>0。 二、3类场景速解例题 1.含系数的“1”（） 例：，，求最小值。 找1：； 乘1拆项：（积=6定）； 算值验等：≥5+2，等号，（>0）。 结果：5+2。 2.分式型“1”（） 例：，，求最小值。 找1：； 乘1拆项：（积=定）； 算值验等：≥，等号，（>0）。 结果：。 3.多变量“1”（） 例：，，求最小值。 找1：； 乘1拆项：（每对积=1定）； 算值验等：≥9，等号（>0）。 结果：9。 三、2点避坑 1.变量必正（负则设转正）； 2.拆项必须有“积定值”（无则重配“1”）。 【题型五：因式分解+换元法+消元法在基本不等式的应用】 例题精选 【例题1】（24-25高一上·河北·阶段练习）可利用基本不等式解决下列问题： (1)已知，求函数的最大值； (2)已知，且，求的最小值； (3)已知正数a，b满足，求的最小值. 【例题2】（2025高一·全国·专题练习）已知正数，满足，则的最小值是 . 相似练习 【相似题1】（2025·河北衡水·模拟预测）已知正数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（24-25高一上·福建福州·阶段练习）若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．5 【解题策略】 一、3步核心流程 1.分解凑定：对已知等式因式分解，构造“乘积为定值”的结构（如）； 2.换元转化：设新元替代分解后的整式（如，），将原问题转化为“新元积定/和定”的简单模型； 3.求最值验等：对新元用基本不等式求最值，联立换元关系与等号条件（新元相等或成比例），验证原变量合理性。 二、精准例题分类解析 场景1：二元整式条件（和积共存型） 例题：正数满足，求的最小值。 关键分解：两边同乘5凑因式：→（乘积为定值3）； 换元转化：设，，则，且： ，； 用不等式： ； 验等号：结合，得，，对应，（正数，成立）。 结果：最小值为5。 场景2：三元整式条件（多变量转化型） 例题：正实数满足，求的最小值。 关键分解：分组因式：； 换元转化：设，，则，且； 用不等式：； 验等号：，对应（舍去）→调整：等号成立当，实际时取等号条件为即，此时，代入原式成立。 结果：最小值为。 场景3：分式目标函数（结构简化型） 例题：正数满足，求的最大值。 关键分解：目标函数化简为，需先求的最小值； 换元转化：设，，则，且，（均正→）； 用不等式：，结合，→更简：直接求的最小值，由，代入得→，当时，→（临界值）； 验等号：，，对应，（舍去）→实际最大值当最大时取，此处换元后用基本不等式得。 结果：最大值为。 三、2个精准应用技巧 1.分解技巧：含项时，两边同乘系数凑“十字相乘”结构（如乘5得）； 2.换元原则：新元需保证“正性”（如需先明确），避免等号条件无解。 通过“分解定积→换元降维”，可将复杂多变量问题转化为基本不等式的标准模型，核心是精准构造乘积定值的分解式。 【题型六：“齐次化”在基本不等式中的应用】 例题精选 【例题1】（24-25高三上·河南·阶段练习）已知，则的最小值为 . 【例题2】（23-24高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】【多选题】 （23-24高三上·河南·期末）已知正实数a，b满足，则的可能取值为（    ） A．2 B． C． D．4 【相似题2】（21-22高三上·浙江·阶段练习）已知，，，则的最大值为 ． 【解题策略】 一、什么是“齐次式”？ 变量（多变量同理），式子中每一项次数相同： 一次齐次式：、（每项次数1）； 二次齐次式：、（每项次数2）； 零次齐次式（分式）：、（分子分母同次，整体次数0）。 二、5步解题流程 步骤 核心操作 关键依据 1.判齐次 目标式非齐次（如分子2次、分母1次），且已知低次定值（如），需齐次化 基本不等式适用于可构造定值的齐次式 2.补次数 用已知定值的幂次补次数（如，则，按需取1、2） 定值幂次仍为定值，不改变式子值 3.化齐次 代入幂次，展开整理为零次齐次分式（分子分母同次） 零次分式可化为的单变量式，易放缩 4.用不等式 齐次式拆“积定/和定”项，用、求最值 齐次式易满足基本不等式使用条件 5.验等号 联立等号条件与已知条件，验证变量>0 确保最值可取 三、2类典型例题 场景1：已知“一次定值”（），求分式最值 例题：，，求的最小值。 1.判齐次：目标式展开含（-2次），非齐次；已知（1次），需齐次化。 2.补次数：用（补2次，使）。 3.化齐次： 原式， 代入、，得： 原式（零次齐次分式）。 4.用不等式：令（由），在单调递减，故，原式。 5.验等号：（满足，），成立。 结果：最小值。 场景2：已知“二次定值”（），求分式最值 例题：，，求的最大值。 1.判齐次：分子1次、分母（0次+2次），非齐次；已知（2次），需齐次化。 2.补次数：目标式平方，使分子为2次：。 3.化齐次：代入，得： 分子，分母， 令（由），原式平方。 4.用不等式：，时，故原式。 5.验等号：（满足，），成立。 结果：最大值。 四、3个关键要点 1.补次依据：已知次定值，补到目标式分子分母最高次； 2.化齐次核心：多变量齐次式÷（或），化为单变量分式； 3.等号必验：联立等号条件与已知定值，确保变量为正。 【题型七:“多元”基本不等式题型】 例题精选 【例题1】（25-26高一上·江苏徐州·阶段练习）已知，，则的最小值是 . 【例题2】（24-25高三上·广东深圳·期末）已知的最小值为 . 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·江苏无锡·期中）设正实数x，y，z满足，则当取得最大值时，的最大值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【相似题2】（24-25高一上·重庆·期中）已知正实数、、满足，则的最小值为 ，的最小值为 . 【解题策略】 核心逻辑：分步凑定+等号一致（2次用二元均值） 例题1：和定→分式积最值 已知，，求最小值。 1.化简目标：（代入）； 2.第一次均值：，，，相乘得； 3.第二次均值：目标式； 4.验等号：（两次等号均满足，符合>0）。 结果：8 【题型八：基本不等式的恒成立问题】 例题精选 【例题1】（24-25高二下·山东济宁·阶段练习）已知，且，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【例题2】（2021高一·全国·专题练习）已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．，或 C． D．，或 相似练习 【相似题1】（24-25高一下·湖南·开学考试）已知，且恒成立，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【相似题2】（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是 ． 【解题策略】 基本不等式恒成立问题解题步骤 （核心：恒成立→“参数≥函数最大值”或“参数≤函数最小值”） 一、通用5步流程 步骤 核心操作（目标） 关键注意 1.定范围 明确变量>0（负则变形转正），标注参数初范围（如a>0） 变量范围直接影响函数最值 2.析条件 整理恒成立式：将含参数的项与变量项分离，化为“参数≥f(x)”或“参数≤f(x)” 分离是转化的核心 3.转最值 恒成立等价关系： -若“f(x)≥a恒成立”→a≤f(x)的最小值； -若“f(x)≤a恒成立”→a≥f(x)的最大值 避免最值方向搞反 4.求最值 用基本不等式求f(x)的最值（按“一正二定三相等”验证） 必验等号（确保最值可取） 5.定参数 根据最值，解参数的取值范围 结合参数初范围筛选 二、2类典型例题（步骤对应） 题型1：单变量恒成立（求参数范围） 例题：已知x>0，不等式x+≥4恒成立，求正数a的取值范围。 步骤1：变量x>0，参数a>0； 步骤2：整理条件：x+≥4（无需分离参数，直接分析函数f(x)=x+）； 步骤3：恒成立等价于：f(x)的最小值≥4； 步骤4：求f(x)最值：由基本不等式，f(x)=x+≥2=2（等号x=>0，成立）； 步骤5：定参数：2≥4→≥2→a≥4。 结果：a∈[4,+∞)。 题型2：多元恒成立（已知和定，求参数最大值） 例题：已知x>0,y>0，x+y=1，不等式+≥a恒成立，求a的最大值。 步骤1：变量x>0,y>0； 步骤2：整理条件：+≥a（a≤+）； 步骤3：恒成立等价于：a≤（+）的最小值； 步骤4：求最小值：乘1法→+=(x+y)(+)=2++≥2+2=4（等号x=y=>0，成立）； 步骤5：定参数：a≤4→a的最大值为4。 结果：a_max=4。 1 学科网（北京）股份有限公司 $