精品解析：江苏省 南京市第一中学2025-2026学年上学期九年级数学第一次月考试卷

九年级数学 一、单选题 1. 下列方程属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题中错误的是（　　） A. 圆既是轴对称图形，也是中心对称图形 B. 长度相等的弧是等弧 C. 三角形的内心到三角形三边的距离相等 D. 垂直于弦的直径平分这条弦 4. 如图，是的一条弦，，垂足为C，交于点D，点E在优弧上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列关于的方程中一定有实数解的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，中，直径，，平分交圆于点，则（ ） A. 5 B. C. D. 4 二、填空题 7. 一元二次方程 的解为_______． 8. 如图，四边形内接于，若，则______°． 9. 一元二次方程的两根为、，则的值是________． 10. 如图，是圆O的直径，C是弧的中点，若，则的度数___________． 11. 已知直角三角形的两直角边分别为5、12，则它的外接圆的直径为__． 12. 如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若大圆的半径为5 cm，小圆的半径为3 cm，则弦AB的长为_______cm． 13. 如图，的直径垂直弦于点E，且，，则的半径为________． 14. 如图，是的直径，D在弦的延长线上，，的延长线交于点E，若，则的度数为_________． 15. 在半径为5的圆中，有两条平行弦，已知，，则两条平行弦的距离为______． 16. 如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB= ，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB、AC于E、F，连接EF，则线段EF长度的最小值为________． 三、解答题 17. 解下列一元二次方程： （1） （2） （3） （4） 18. 已知：关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，方程总有两个实数根； （2）若为方程的一个根，求的值及方程的另一个根． 19. 如图，在中，弦、交于点，且．求证：． 20. 某商场经销种高档水果 ，原价每千克元，连续两次降价后每千克元，若每次下降的百分率相同求每次下降的百分率 21. 2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨1元，就少卖10个．若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？ 22. （1）如图，点B在上，过点B作的切线； （2）如图，点D在外，过点D作的切线． 23. 如图，为的直径，交于点，为上一点，延长交于点，延长至，使，连接． （1）求证：为的切线； （2）若且，求的半径． 24. 关于x的一元二次方程有两个实数根分别是，，若，为整数，则称为“”点． （1） （填是或否）存在“”点； （2）若关于x的一元二次方程：的“”点为，求b，c的值； （3）关于x的一元二次方程是否存在一“”点，且该点在直线上，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 25. 阅读材料：材料1：类比解一元二次方程，解一元二次不等式， 解：，可化为， 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有 （1）或（2）解不等式组（1），得，解不等式组（2），得， 故的解集为或，即一元二次不等式的解集为或． 材料2：对于一个关于的二次三项式，除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，还可以用其他的方法：比如先令，然后移项可得：，再利用一元二次方程根的判别式来确定的取值范围，请仔细阅读下面的例子：例：求的取值范围： 解：令 即 解决问题：请根据上述材料，解答下列问题． （1）直接写出不等式的解集是__________； （2）求出代数式的取值范围； （3）若关于的代数式（其中、为常数，且）的最小值为，最大值为4，请求出满足条件的、的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 一、单选题 1. 下列方程属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行判断，即可解答． 【详解】解：A、，有2个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； B、，等号左边不是整式，不是一元二次方程，故不符合题意； C、，是一元二次方程，故符合题意； D、，是一元一次方程，故不符合题意； 故选：C． 2. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先移项，然后在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，最后整理得，即可作答． 【详解】解：依题意， ， 移项得， ， ∴， 故选：B 3. 下列命题中错误的是（　　） A. 圆既是轴对称图形，也是中心对称图形 B. 长度相等的弧是等弧 C. 三角形的内心到三角形三边的距离相等 D. 垂直于弦的直径平分这条弦 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆的相关知识点，三角形的内心，根据圆的相关知识点以及三角形的内心的性质逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、圆既是轴对称图形，也是中心对称图形，原说法正确，不符合题意； B、在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，原说法错误，符合题意； C、三角形的内心到三角形三边的距离相等，原说法正确，不符合题意； D、垂直于弦的直径平分这条弦，原说法正确，不符合题意； 故选：B． 4. 如图，是的一条弦，，垂足为C，交于点D，点E在优弧上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理和垂径定理，熟练掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 根据题意得出，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 5. 下列关于的方程中一定有实数解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，解题的关键是掌握一元二次方程有实数解的条件是．计算各方程的，的一元二次方程有实数解． 【详解】解：、根的判别式，方程没有实数解，不符合题意； B、根的判别式，方程没有实数解，不符合题意； C、根的判别式，方程没有实数解，不符合题意； D、根的判别式，符合题意； 故选：． 6. 如图，中，直径，，平分交圆于点，则（ ） A. 5 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等，熟练掌握相关知识点，并作出适当的辅助线是解题的关键；过点D作的垂线，交延长线于E，利用题中条件和圆的性质，证明，推出，，再利用勾股定理求的长． 【详解】如图，连接，过点D作的垂线，交延长线于E，则， 为的直径， ， 又，， ， 平分， ， 又在中，，， ， ， 又在中，，， ， 又，， ， ， ，， ， 由勾股定理得，， 即，解得， 故选：C． 二、填空题 7. 一元二次方程 的解为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求出方程的两个根即可得到答案． 【详解】解：， ， ∴或， 解得， 故答案为：． 8. 如图，四边形内接于，若，则______°． 【答案】80 【解析】 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形对角互补是解题关键．根据圆内接四边形对角互补求解即可． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴． 故答案为：80． 9. 一元二次方程的两根为、，则的值是________． 【答案】-2 【解析】 【分析】直接根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两根， ∴ 故答案为：-2 【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式的应用，x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=． 10. 如图，是圆O的直径，C是弧的中点，若，则的度数___________． 【答案】##40度 【解析】 【分析】根据弧、弦、圆心角的关系可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵C是弧的中点， ∴弧弧， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，熟练掌握弧、弦、圆心角的关系是解题的关键． 11. 已知直角三角形的两直角边分别为5、12，则它的外接圆的直径为__． 【答案】13 【解析】 【详解】由勾股定理得,直角三角形的斜边为：=13， 则它的外接圆的直径为13， 故答案为13. 12. 如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若大圆的半径为5 cm，小圆的半径为3 cm，则弦AB的长为_______cm． 【答案】8 【解析】 【详解】连接OA、OC根据切线的性质可知△OAC是直角三角形，OC垂直平分AB，根据勾股定理及垂径定理即可解答． 解：连接OA、OC， ∵AB是小圆的切线，∴OC⊥AB， ∵OA=5cm，OC=3cm， ∴AC==4cm， ∵AB是大圆的弦，OC过圆心，OC⊥AB， ∴AB=2AC=2×4=8cm． 13. 如图，的直径垂直弦于点E，且，，则的半径为________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理、解一元一次方程，连接，由垂径定理得，设，则，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：连接，如图， ∵是直径，， ， 设，则， 在中，， 解得， 故答案为：5． 14. 如图，是的直径，D在弦的延长线上，，的延长线交于点E，若，则的度数为_________． 【答案】##25度 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理和线段垂直平分线的性质是解答的关键． 根据圆周角定理求出，，进而求出是的垂直平分线，再根据线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质求出，最后根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：如图，连接AC， ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 在半径为5的圆中，有两条平行弦，已知，，则两条平行弦的距离为______． 【答案】1或7 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的知识，此题综合运用了垂径定理和勾股定理，特别注意有时要考虑两种情况．连接、，过点作于，交于，则，根据垂径定理求出，，根据勾股定理求出、，即可得出答案． 【详解】解：连接，．过点作于，交于， 当和在圆心的同侧时，如图所示， ，， ， ，， ，， 根据勾股定理，得 ，， 则． 当和在圆心的两侧时，如图所示， ，， ， ，， ，， 根据勾股定理，得 ，， 则． 故答案为：1或7． 16. 如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB= ，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB、AC于E、F，连接EF，则线段EF长度的最小值为________． 【答案】 【解析】 【详解】由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短， 如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H， ∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=， ∴AD=BD=1，即此时圆的直径为1， 由圆周角定理可知∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°， ∴在Rt△EOH中，EH=OE•sin∠EOH=， 由垂径定理可知EF=2EH=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，锐角三角函数，圆周角定理，垂径定理，垂线段最短等知识，确定AD垂直BC时最短是问题的关键． 三、解答题 17. 解下列一元二次方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）， （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程， （1）利用直接开平方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可； （3）利用因式分解法求解即可； （4）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：直接开平方得，， ∴，； 【小问2详解】 解：因式分解，得， 或， ； 【小问3详解】 解：移项，得， 即， 提取公因式，得， ∴或， ； 【小问4详解】 解：因式分解，得， 即， 或， ． 18. 已知：关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，方程总有两个实数根； （2）若为方程的一个根，求的值及方程的另一个根． 【答案】（1） 证明：由题意得， ， ∵， ∴， ∴无论为何值，方程总有两个实数根； （2）； 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的解的定义，一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键． （1）只需要证明即可证明结论； （2）把代入原方程求出m的值，进而可得到原方程，再解原方程即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵为方程的一个根， ∴， 解得， ∴原方程为， 解得或， ∴原方程的另一个根为． 19. 如图，在中，弦、交于点，且．求证：． 【答案】 证明：， ， ， 即， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理、全等三角形的判定与性质、圆心角、弧、弦的关系定理的推论，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 思路是根据圆心角、弧、弦的关系定理的推论得到，结合图形得到，进而得到，根据全等三角形的判定即可证明结论． 【详解】略 20. 某商场经销种高档水果 ，原价每千克元，连续两次降价后每千克元，若每次下降的百分率相同求每次下降的百分率 【答案】每次下降的百分率为20% 【解析】 【分析】设每次下降的百分率为a，然后根据题意列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设每次下降的百分率为a，根据题意得： 50（1－a）2＝32 解得：a＝1.8（舍去）或a＝0.2＝20%， 答：每次下降的百分率为20%， 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，读懂题意，列出方程是解题的关键． 21. 2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨1元，就少卖10个．若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？ 【答案】售价应定为元 【解析】 【分析】设售价应定为元，由商场计划一周的利润达到8000元，列出方程可求解；本题考查了一元二次方程的应用，找到正确的数量关系是解题的关键． 【详解】解：设售价应定为元， 由题意可得：， 整理得， 解得：，， 更大优惠让利消费者， ， 答：售价应定为元 22. （1）如图，点B在上，过点B作的切线； （2）如图，点D在外，过点D作的切线． 【答案】 （1）射线即为所求： （2）直线即为所求： 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，（1）连接并延长，以点B为圆心，的长为半径画弧，交射线于点C，再分别以点A、C为圆心，大于线段的长度为半径作弧，交于点D，再作直线即可； （2）连接，分别以点C、D为圆心，大于的长度为半径作弧，分别交于点E、F，连接交于点G，再以点G为半径，的长度为半径作弧，交于点M，作直线即可． 【详解】解：（1）略 （2）如图，连接，分别以点C、D为圆心，大于的长度为半径作弧，分别交于点E、F，连接交于点G，再以点G为半径，的长度为半径作弧，交于点M，作直线，直线即为所求，理由如下： ∵垂直平分， ∴， ∴点在以为直径的圆上， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线． 23. 如图，为的直径，交于点，为上一点，延长交于点，延长至，使，连接． （1）求证：为的切线； （2）若且，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ， ， ， ， ，， ， 即， ， 是半径， 为的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，熟记切线的判定定理是解题的关键． （1）连接，根据等边对等角结合对顶角相等即可推出结论； （2）设的半径，则，，在中，由勾股定理得得出方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的半径，则， ， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得，或舍去， 的半径为． 24. 关于x的一元二次方程有两个实数根分别是，，若，为整数，则称为“”点． （1） （填是或否）存在“”点； （2）若关于x的一元二次方程：的“”点为，求b，c的值； （3）关于x的一元二次方程是否存在一“”点，且该点在直线上，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）是 （2）， （3）存在， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，一次函数图象上点的特征，新定义及规律探究． （1）先解一元二次方程，得到方程的两个根，再根据“”点的定义判断即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得，，进而可得答案； （3）假设存在，根据题意，求出；再根据，，得到，，代入化简为，求出m，检验是否符合题意即可． 【小问1详解】 解：由，得， ∴或， 解得，， ∵，为整数， ∴是“”点， 故答案为：是； 【小问2详解】 解：∵关于x的一元二次方程：的“”点为， ∴，， 故，； 【小问3详解】 解：假设关于x的一元二次方程存在一“”点，且该点在直线上， 由， 得， 故， 由一元二次方程的根与系数的关系得，， ∴， ∵“”点在直线上， ∴， ∴， 解得，， 所以， 整理得 ， 解得或， 当时，方程为，，，“”点坐标为，符合； 当时，和不是整数解，舍去． 综上，关于x的一元二次方程存在一“”点，且该点在直线上，此时． 25. 阅读材料：材料1：类比解一元二次方程，解一元二次不等式， 解：，可化为， 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有 （1）或（2）解不等式组（1），得，解不等式组（2），得， 故的解集为或，即一元二次不等式的解集为或． 材料2：对于一个关于的二次三项式，除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，还可以用其他的方法：比如先令，然后移项可得：，再利用一元二次方程根的判别式来确定的取值范围，请仔细阅读下面的例子：例：求的取值范围： 解：令 即 解决问题：请根据上述材料，解答下列问题． （1）直接写出不等式的解集是__________； （2）求出代数式的取值范围； （3）若关于的代数式（其中、为常数，且）的最小值为，最大值为4，请求出满足条件的、的值． 【答案】（1）或 （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系及解不等式组，读懂阅读材料中的方法并明确一元二次方程的根的情况与判别式的关系是解题的关键． （1）根据题意有理数乘法法则列不等式组求解即可得到答案； （2）根据材料，令，根据判别式转化为关于y的一元二次方程，解不等式即可得到代数式的取值范围； （3）根据材料，令根据判别式转化为关于y的不等式根据根与系数的关系，列出方程组，即可得到满足条件的a、b的值． 【小问1详解】 解：∵ 或 解得：或 ∴不等式的解集是或； 【小问2详解】 解：，令 ∴． ∴． ∴． 令， ，． ∴或 【小问3详解】 解：令 ， 当时，，且， 存在一个，使得， 当时，有解， ， ， 最小值为，最大值为， ，是方程的解， 或 ∴或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $