1.1 一元二次方程 学案 2025——2026学年苏科版九年级数学上册

该初中数学导学案聚焦一元二次方程，通过矩形花圃面积、藏书增长率、梯子靠墙距离等实际问题导入，引导学生抽象方程并化简变形找共同点，搭建从现实情境到数学模型的学习支架。 以问题链驱动探究，从情境抽象到定义建构再到变式应用，体现模型意识与推理意识，分层设计能力提升与当堂检测，助力学生发展抽象能力和应用意识，培养数学思维与表达习惯。

学案1 —— 一元二次方程 编制：马雷 审核：马雷 班级 姓名 日期 【学习目标】 1.通过探索实际问题中的数量关系及其变化规律抽象出一元二次方程，进一步感受方程源于实际问题. 2.理解一元二次方程的概念，能说出一元二次方程的一般形式和各项及系数. 【教学重点 难点】 一元二次方程的意义及一般形式，会识别一般式中的“项”及“系数”. 学生活动/教学内容 一、创设情境，合作探究 问题1：如图矩形花圃一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19,如果花圃的面积是24.设花圃的长为，则花圃的宽是 可以用方程 来描述该花圃的宽与面积的数量关系. 问题2：某校图书馆的藏书在两年内从5万册增加到9.8万册，设图书馆的藏书平均每年增长的百分率是,图书馆的藏书一年后为 万册，两年后为 万册，可以用方程 来描述该图书馆藏书年平均增长的百分率与藏书量之间的数量关系. 问题3：如图长是5的梯子斜靠在墙上，梯子的底端到墙面的距离比梯子底端到墙面距离多1，设梯子的底端到墙面的距离是，可以用方程 来描述其中的数量关系. 思考与交流：将上述方程化简变形后，有什么共同特点？（尝试写出共同点） 二、构建模型，展示成果 知识梳理 【探究一】 一元二次方程的定义 总结： A C B 变式训练：在设计人体雕像时，使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比，等于下部与全部(全身)的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2 m，那么它的下部应设计为多高？（只列方程） 思考：（1）你列出的方程是一元二次方程吗？如果不是，那它属于那种方程？ （2） 怎样书写才能使所列的方程是一元二次方程？ 练习:1、下列方程中那些是二元一次方程. 活动二：把下列一元二次方程化简为右边为0的形式 【探究二】 一元二次方程的项与系数 总结：（1)一般式 （2) 项与系数 项的名称 系数 例题：将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数： （1） （2） 总结：（3）一元二次方程的判断标准 能力提升：1、利用一元二次方程的定义确定字母的取值 例1、已知(m－3)x2＋x＝1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是(　　) A．m≠3 B．m≥3 C．m≥－2 D．m≥－2且m≠3 变式训练：已知关于x的方程(m＋1)x＋1＋(m－2)x－1＝0. (1)m取何值时，它是一元二次方程？并写出这个方程； (2)m取何值时，它是一元一次方程？ 2、利用一元二次方程的项的定义求字母的取值 例2、若关于x的一元二次方程(2a－4)x2＋(3a＋6)x＋a－8＝0没有常数项，求a的值. 变式训练：已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋5x＋m2－1＝0的常数项为0，求m的值． 三、当堂检测 1．下列方程中是一元二次方程的是 （ ） A. B. C. D. 2．方程中二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A.1,-3,1 B.-1,-3,1 C.-3,3,-1 D.1,3,-1 3． 若关于的一元二次方程常数项为4，则一次项系数________. 4． （1）一个长方形操场的面积是7200，它的长是宽的2倍，设这个操场的宽为，则可得方程为 ； （2）某工厂经过两年时间将某种产品的产量从每年14400台提高到16900台，设平均每年增长的百分率为，则可得方程为 . 学科网（北京）股份有限公司 $