专题05 直线的倾斜角与斜率 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

　直线的倾斜角与斜率 05 题型1 认识正数和负数 6 题型2 具有相反意义的量 8 题型3 有理数的概念和分类 9 题型4 数轴及应用 10 题型5 相反数和绝对值 12 题型6 多重符号的化简 13 题型7 有理数的大小比较 14 题型8 数轴上的动点问题 15 储备区 知识储备 技巧总结 1 知识清单 1.倾斜角与斜率 （1）确定直线位置的几何要素 （2）直线的倾斜角 （3）直线的斜率 （4）直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系 2.两条直线平行与倾斜角、斜率的关系 （1）两条直线平行与倾斜角、斜率的关系 （2）两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系 （3）方程组解的个数与两直线的位置关系 2 知识储备 直线的倾斜角知识点 01 （1）定义 在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，把轴正方向按逆时针方向旋转到与直线重合时所转过的最小正角，叫做直线的倾斜角，记作． 对于与轴平行或重合的直线，规定其倾斜角为（或弧度）． （2）取值范围 倾斜角的取值范围是（或用弧度表示为）． 当直线与轴平行/重合时，； 当直线从水平位置逆时针旋转至垂直于轴时，从增大到； 当直线垂直于轴时，； 当直线继续逆时针旋转至与轴反向平行时，从增大到（但不包括，因与对应同一直线方向）． （3）几何意义 倾斜角唯一确定了直线在平面直角坐标系中的“方向”，不同的倾斜角对应不同的直线方向（除和外，二者方向相同）．例如： 倾斜角的直线，方向是从左下向右上，与轴正方向成角； 倾斜角的直线，方向是从左上向右下，与轴正方向成角（可理解为与轴负方向成角）． 直线的斜率知识点 02 （1）定义 当直线的倾斜角时，倾斜角的正切值叫做直线的斜率，记作，即： 当直线的倾斜角时（直线垂直于轴），正切值不存在，因此此时直线的斜率不存在． （2）斜率与倾斜角的关系 斜率与倾斜角的对应关系可通过正切函数的性质推导，核心对应如下表： 倾斜角 斜率 直线特征（与轴关系） （弧度） 直线水平（平行于轴） （） ，且越大，越大 直线从左下向右上倾斜（上升） （弧度） 不存在 直线垂直于轴（竖直） （） ，且越大，越大（趋近于） 直线从左上向右下倾斜（下降） （3）斜率的坐标计算公式 若直线经过平面直角坐标系中的两点和（），则直线的斜率可通过两点坐标直接计算，公式为： 推导依据：过作轴的平行线，过作轴的平行线，两线交于点，则在直角三角形中，，结合的范围可去掉绝对值，得到． 注意事项： 1.当时（两点横坐标相同），直线垂直于轴，倾斜角，斜率不存在； 2.公式中与的顺序需一致（若分子用，分母需对应用），结果不变，即． 斜率的应用——判断三点共线知识点 03 若平面内三点、、满足以下条件，则三点共线： 直线AB的斜率与直线AC的斜率相等（即）； 且三点中任意两点的横坐标不都相等（排除斜率不存在的特殊情况：若，则三点在同一条竖直直线上，也共线）． 原理：斜率相等意味着直线AB与直线AC的倾斜角相同，且两直线有公共点，因此两直线重合，三点共线． 3 技巧总结 1.倾斜角与斜率的互化技巧 （1）已知倾斜角求斜率 若为特殊角（如、、、、、、、），直接利用特殊角的正切值计算（熟记特殊角的正切值表）； 若为非特殊角，且在或范围内，可利用正切函数的诱导公式化简（如），再结合计算器计算近似值（若题目允许）． （2）已知斜率求倾斜角 若，则； 若，则（是反正切函数，取值范围为）； 若，则（或，使落在范围内）； 若不存在，则． 2.斜率计算的“避错指南” 避免分母为零：计算斜率前先判断两点横坐标是否相等（时斜率不存在），切勿直接代入公式导致无意义； 注意坐标顺序：分子分母的坐标差需保持“后点减前点”或“前点减后点”的一致顺序，避免因顺序混乱导致符号错误； 特殊角记忆：熟记、、及它们的补角（、、）的正切值，避免计算错误． 拓展区 拓展延伸 走进名校 1.斜率与直线的“陡峭程度” 斜率的绝对值|k|越大，直线越陡峭；|k|越大，直线越陡峭；|k|越小，直线越平缓；k>0时：的直线比的直线更陡峭（上升更快）； 当时：的直线比的直线更陡峭（下降更快）； 当时：直线最平缓（水平）； 当不存在时：直线最陡峭（竖直）． 2.倾斜角的实际应用——坡度 在实际生活中，“坡度”（或“坡比”）的概念与倾斜角密切相关．坡度定义为斜坡的垂直高度与水平宽度的比值，即，而坡度恰好等于斜坡所在直线的斜率的绝对值（），坡度也常用百分比表示． 3.斜率与函数的单调性 对于一次函数（），其图像是一条直线，斜率的符号决定了函数的单调性： 当时，函数在上单调递增（增大时，随之增大）； 当时，函数在上单调递减（增大时，随之减小）； 当时，函数为常函数（图像为水平直线，不增不减）． 这一性质本质是斜率的几何意义在函数中的体现，将“代数单调性”与“直线倾斜方向”直接关联． 强化区 巩固强化 成果展示 题型1 确定直线位置的几何要素 【典例1】　（2024秋•镇海区月考）过点P（1，3）作直线l，若l经过点A（a，0）和B（0，b），且a，b均为正整数，则这样的直线l可以作出（　　） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 【答案】B 【分析】由题意可设直线l的方程为1，将点（1，3）代入直线方程，可得 3a＝（a﹣1）b，检验a＝1时的情况，当a≥2时，根据b＝3 求a、b 的值，即可得出答案． 【解答】解：∵直线l过点（a，0）和（0，b），则设直线l的方程为1， ∵直线l过点（1，3）， ∴1，即 3a＝（a﹣1）b，又a∈N*，b∈N*， ∴当a＝1时，b无解，此时，直线和x轴垂直，和y轴无交点，直线不过（0，b），故a＝1时不满足条件； 当a≥2时，b3 ①， 当a＝2时，b＝6，当 a＝4时，b＝4， 当a＞4时，由①知，满足条件的正整数b不存在， 综上所述，满足条件的直线由2条， 故选：B． 【典例2】　（2024秋•宁化县月考）若直线（2t﹣3）x+y+9﹣3t＝0不经过第一象限，则实数t的取值范围是（　　） A．（，3） B．[，3） C．[，3] D．（，3] 【答案】C 【分析】结合直线的几何特征即可求解． 【解答】解：由（2t﹣3）x+y+9﹣3t＝0可得y＝（3﹣2t）x+3t﹣9， 因为直线（2t﹣3）x+y+9﹣3t＝0不经过第一象限， 所，解得． 故选：C． 【典例3】　（2024秋•辽宁期中）已知直线l：2x+y﹣1＝0，则l不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】作出直线l的图象，可得出结论． 【解答】解：直线l：2x+y﹣1＝0， 令x＝0，可得y＝1， 令y＝0，可得x， 作出直线l的图形如下图所示： 由图可知，直线l不经过第三象限． 故选：C． 题型2 直线的倾斜角 【典例4】　（2024秋•黄山期末）直线y＝﹣2的倾斜角为（　　） A． B．0 C． D． 【答案】B 【分析】根据直线方程和倾斜角定义求解． 【解答】解：∵直线y＝﹣2为平行于x轴的直线， ∴直线y＝﹣2的倾斜角为0． 故选：B． 【典例5】　（2024秋•厦门期末）直线x＝tan60°的倾斜角为（　　） A．30° B．60° C．90° D．不存在 【答案】C 【分析】根据斜率和倾斜角的定义，直接可得答案． 【解答】解：x＝tan60°， 则该直线斜率不存在，倾斜角为90°． 故选：C． 【典例6】　（2024秋•秦淮区期末）直线l过点、B（﹣1，0），则l的倾斜角为（　　） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】D 【分析】首先求得直线的斜率，再得出倾斜角． 【解答】解：设直线倾斜角为α，则0°≤α≤180°， 由、B（﹣1，0）， 可得， 即，所以α＝150°． 故选：D． 题型3 直线的斜率 【典例7】　（2024秋•楚雄市期末）已知直线l的倾斜角为，则直线l的斜率为（　　） A． B．﹣1 C．1 D． 【答案】C 【分析】利用直线的斜率和直线倾斜角的关系进行求解即可． 【解答】解：由直线l的倾斜角为， 则直线l的斜率． 故选：C． 【典例8】　（2025春•赣州月考）直线l过（0，﹣1）与连接A（2，3），B（﹣3，2）的线段相交，则直线l的斜率k的取值范围是（　　） A．[﹣1，2] B．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞） C．[﹣2，1]∪（2，3） D．[2，+∞）∪（﹣∞，﹣1] 【答案】D 【分析】数形结合，将问题转化为直线l以直线PA为起始位置，绕点P逆时针旋转到直线PB，再由斜率的定义求解即可； 【解答】解：直线l过点P（0，﹣1）．A（2，3），B（﹣3，2）， 如图，由题意，直线l与线段AB总有公共点， 即直线l以直线PA为起始位置，绕点P逆时针旋转到直线PB即可， 直线l的斜率为k，直线PA，PB的斜率分别为kPA，kPB， 于是k≤kPB或k≥kPA， 而，因此k≤﹣1或k≥2， 即直线l的斜率k的取值范围是[2，+∞）∪（﹣∞，﹣1]． 故选：D． 【典例9】　（2024秋•安宁区期中）直线l的斜率为k，倾斜角为α，若﹣1＜k＜1，则α的取值范围（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过直线的斜率的范围，得到倾斜角的正切值的范围，然后求出α的范围． 【解答】解：直线l的斜率为k，倾斜角为α，若﹣1＜k＜1， 所以﹣1＜tanα＜1， 所以α∈． 故选：B． 题型4 直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系 【典例10】　（2025•尧都区开学）如图所示，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则下列结论正确的是（　　） A．k1＞k2＞k3 B．k2＞k3＞k1 C．k2＞k1＞k3 D．k3＞k2＞k1 【答案】B 【分析】应用斜率与倾斜角的关系即可判断． 【解答】解：由k＝tanα，设y＝tanx， 当x∈[0，）时，函数y单调递增，且y∈[0，+∞）； 当x∈（，π）时，函数y单调递增，且y∈（﹣∞，0）， 直线l1对应的倾斜角为钝角，则k1＜0， 直线l2与l3都为锐角，且l2的倾斜角大于l3的倾斜角， 则k2＞k3＞0，故k2＞k3＞k1． 故选：B． 【典例11】　（2024秋•镜湖区期中）已知直线l的斜率的范围为[﹣1，1]，则直线l的倾斜角α的取值范围为（　　） A．0°≤α≤45°或135°≤α≤180° B．45°≤α≤135° C．45°＜α＜135° D．0°≤α≤45°或135°≤α＜180° 【答案】D 【分析】利用直线的倾斜角与斜率的关系计算即可． 【解答】解：由直线l的斜率的范围为[﹣1，1]，0°≤α＜180°， 故倾斜角的范围为0°≤α≤45°或135°≤α＜180°． 故选：D． 【典例12】　（2023秋•丰城市月考）如图，若直线l1，l2，l3，l4的斜率分别为k1，k2，k3，k4，则（　　） A．k4＜k3＜k2＜k1 B．k1＜k2＜k3＜k4 C．k3＜k4＜k1＜k2 D．k2＜k1＜k3＜k4 【答案】C 【分析】由直线的倾斜角与斜率的关系，判断出4条直线的斜率的大小关系． 【解答】解：由图象知：k3＜k4＜0＜k1＜k2， 故选：C． 题型5 两条直线平行与倾斜角、斜率的关系 【典例13】　（2023秋•河北区期中）已知直线l1的倾斜角为45°，直线l1∥l2，且l2过点A（﹣2，﹣1）和B（3，a），则a的值为 　4　 ． 【答案】4． 【分析】根据已知条件，结合直线平行的性质，即可求解． 【解答】解：直线l1的倾斜角为45°，l1∥l2， 则直线l2的斜率为tan45°＝1， l2过点A（﹣2，﹣1）和B（3，a）， 则，解得a＝4． 故答案为：4． 【典例14】　已知P（﹣2，m），Q（m，4），M（m+2，3）N（1，1），若PQ∥MN，求m． 【答案】m＝1或0． 【分析】求出（m+2，4﹣m），（﹣m﹣1，﹣2），利用向量共线的条件，建立方程，即可求m． 【解答】解：∵P（﹣2，m），Q（m，4），M（m+2，3）N（1，1）， ∴（m+2，4﹣m），（﹣m﹣1，﹣2）， ∵PQ∥MN， ∴（m+2）×（﹣2）﹣（﹣m﹣1）×（4﹣m）＝0， ∴m2﹣m＝0， ∴m＝1或0． 【典例15】　（2023秋•泉州期末）已知直线l1的倾斜角为60°，且与直线l2垂直，则直线l2的斜率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线l1的倾斜角，可得它的斜率，再由直线l1与直线l2垂直，由两条直线的垂直时斜率的关系，可得直线l2的斜率． 【解答】解：因为直线l1的倾斜角为60°，可得直线l1的斜率为tan60°， 因为直线l1与直线l2垂直，所以直线l2的斜率为， 故选：D． 题型6 两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系 【典例16】　（2023秋•盐田区期末）已知直线l1过，B（4，0）两点，且l1⊥l2，则直线l2的倾斜角为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用斜率公式求得直线l1的斜率，结合l1⊥l2，求得，得到，即可求解． 【解答】解：因为直线l1过，B（4，0）两点，可得， 又因为l1⊥l2，所以，可得， 设直线l2的倾斜角为α，则，因为α∈（0，π），所以， 所以直线l2的倾斜角为． 故选：A． 【典例17】　△ABC的顶点A（5，﹣1），B（1，1），C（2，m），若△ABC为直角三角形，求m的值． 【答案】m＝﹣7或m＝3或m＝±2． 【分析】根据∠A、∠B、∠C是直角进行讨论，根据斜率乘积列方程来求得m的值． 【解答】解：若∠A为直角，则AC⊥AB，∴kAC•kAB＝﹣1，即，得m＝﹣7； 若∠B为直角，则AB⊥BC，∴kAB•kBC＝﹣1，即，得m＝3； 若∠C为直角，则AC⊥BC，∴kAC•kBC＝﹣1， 即，得m＝±2． 综上可知，m＝﹣7或m＝3或m＝±2． 【典例18】　（2024秋•江油市月考）过点A（2，5）和点B（2，﹣4）的直线与直线y＝3的位置关系是（　　） A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直 【答案】D 【分析】根据A、B的坐标可知直线AB斜率不存在，结合直线y＝3的斜率为0加以判断，可得两条直线的位置关系． 【解答】解：根据A（2，5）、B（2，﹣4），可得直线AB的方程为x＝2， 由直线AB的斜率不正在，直线y＝3的斜率为0，可知直线AB与直线y＝3的位置关系是垂直． 故选：D． 题型7 方程组解的个数与两直线的位置关系 【典例19】　（2024春•鼓楼区期中）两直线（m+2）x﹣y+m＝0，x+y＝0与x轴相交且能构成三角形，则m不能取到的值有（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0 【答案】ABD 【分析】由题知，三条直线中任意两条均有交点，且三条直线不能经过同一点．可得：①m+2≠0；②m+2≠﹣1；③（m+2）•0﹣0+m≠0．解出即可得出． 【解答】解：由题知，三条直线中任意两条均有交点，且三条直线不能经过同一点． 于是：①m+2≠0；②m+2≠﹣1；③（m+2）•0﹣0+m≠0． 综上，m≠﹣2且m≠﹣3且m≠0． 故选：ABD． 【典例20】　（2024秋•沁阳市期末）直线y＝x+1与直线y＝ax+1的交点的个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．随a值变化而变化 【答案】D 【分析】两条直线有相同的截距，当a≠1时，两条直线有一个交点，当a＝1时，两条直线重合有无数个交点，故两条直线的交点个数随a的变化而变化，得到结论． 【解答】解：直线y＝x+1与直线y＝ax+1两条直线的交点个数不确定， 当a≠1时，两条直线有一个交点， 当a＝1时，两条直线重合有无数个交点， 故两条直线的交点个数随a的变化而变化， 故选：D． 【典例21】　直线ax+8y+22＝0和直线x+2ay﹣4＝0相交，则a的取值范围是 　a≠±2　 ． 【答案】a≠±2 【分析】根据两条直线相交的位置关系，即可得解． 【解答】解：因为两条直线相交，所以，即a≠±2， 所以a的取值范围是a≠±2． 故答案为：a≠±2． 学科网（北京）股份有限公司 $ 　直线的倾斜角与斜率 05 题型1 确定直线位置的几何要素 6 题型2 直线的倾斜角 7 题型3 直线的斜率 7 题型4 直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系 8 题型5 两条直线平行与倾斜角、斜率的关系 9 题型6 两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系 9 题型7 方程组解的个数与两直线的位置关系 9 储备区 知识储备 技巧总结 1 知识清单 1.倾斜角与斜率 （1）确定直线位置的几何要素 （2）直线的倾斜角 （3）直线的斜率 （4）直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系 2.两条直线平行与倾斜角、斜率的关系 （1）两条直线平行与倾斜角、斜率的关系 （2）两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系 （3）方程组解的个数与两直线的位置关系 2 知识储备 直线的倾斜角知识点 01 （1）定义 在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，把轴正方向按逆时针方向旋转到与直线重合时所转过的最小正角，叫做直线的倾斜角，记作． 对于与轴平行或重合的直线，规定其倾斜角为（或弧度）． （2）取值范围 倾斜角的取值范围是（或用弧度表示为）． 当直线与轴平行/重合时，； 当直线从水平位置逆时针旋转至垂直于轴时，从增大到； 当直线垂直于轴时，； 当直线继续逆时针旋转至与轴反向平行时，从增大到（但不包括，因与对应同一直线方向）． （3）几何意义 倾斜角唯一确定了直线在平面直角坐标系中的“方向”，不同的倾斜角对应不同的直线方向（除和外，二者方向相同）．例如： 倾斜角的直线，方向是从左下向右上，与轴正方向成角； 倾斜角的直线，方向是从左上向右下，与轴正方向成角（可理解为与轴负方向成角）． 直线的斜率知识点 02 （1）定义 当直线的倾斜角时，倾斜角的正切值叫做直线的斜率，记作，即： 当直线的倾斜角时（直线垂直于轴），正切值不存在，因此此时直线的斜率不存在． （2）斜率与倾斜角的关系 斜率与倾斜角的对应关系可通过正切函数的性质推导，核心对应如下表： 倾斜角 斜率 直线特征（与轴关系） （弧度） 直线水平（平行于轴） （） ，且越大，越大 直线从左下向右上倾斜（上升） （弧度） 不存在 直线垂直于轴（竖直） （） ，且越大，越大（趋近于） 直线从左上向右下倾斜（下降） （3）斜率的坐标计算公式 若直线经过平面直角坐标系中的两点和（），则直线的斜率可通过两点坐标直接计算，公式为： 推导依据：过作轴的平行线，过作轴的平行线，两线交于点，则在直角三角形中，，结合的范围可去掉绝对值，得到． 注意事项： 1.当时（两点横坐标相同），直线垂直于轴，倾斜角，斜率不存在； 2.公式中与的顺序需一致（若分子用，分母需对应用），结果不变，即． 斜率的应用——判断三点共线知识点 03 若平面内三点、、满足以下条件，则三点共线： 直线AB的斜率与直线AC的斜率相等（即）； 且三点中任意两点的横坐标不都相等（排除斜率不存在的特殊情况：若，则三点在同一条竖直直线上，也共线）． 原理：斜率相等意味着直线AB与直线AC的倾斜角相同，且两直线有公共点，因此两直线重合，三点共线． 3 技巧总结 1.倾斜角与斜率的互化技巧 （1）已知倾斜角求斜率 若为特殊角（如、、、、、、、），直接利用特殊角的正切值计算（熟记特殊角的正切值表）； 若为非特殊角，且在或范围内，可利用正切函数的诱导公式化简（如），再结合计算器计算近似值（若题目允许）． （2）已知斜率求倾斜角 若，则； 若，则（是反正切函数，取值范围为）； 若，则（或，使落在范围内）； 若不存在，则． 2.斜率计算的“避错指南” 避免分母为零：计算斜率前先判断两点横坐标是否相等（时斜率不存在），切勿直接代入公式导致无意义； 注意坐标顺序：分子分母的坐标差需保持“后点减前点”或“前点减后点”的一致顺序，避免因顺序混乱导致符号错误； 特殊角记忆：熟记、、及它们的补角（、、）的正切值，避免计算错误． 拓展区 拓展延伸 走进名校 1.斜率与直线的“陡峭程度” 斜率的绝对值|k|越大，直线越陡峭；|k|越大，直线越陡峭；|k|越小，直线越平缓；k>0时：的直线比的直线更陡峭（上升更快）； 当时：的直线比的直线更陡峭（下降更快）； 当时：直线最平缓（水平）； 当不存在时：直线最陡峭（竖直）． 2.倾斜角的实际应用——坡度 在实际生活中，“坡度”（或“坡比”）的概念与倾斜角密切相关．坡度定义为斜坡的垂直高度与水平宽度的比值，即，而坡度恰好等于斜坡所在直线的斜率的绝对值（），坡度也常用百分比表示． 3.斜率与函数的单调性 对于一次函数（），其图像是一条直线，斜率的符号决定了函数的单调性： 当时，函数在上单调递增（增大时，随之增大）； 当时，函数在上单调递减（增大时，随之减小）； 当时，函数为常函数（图像为水平直线，不增不减）． 这一性质本质是斜率的几何意义在函数中的体现，将“代数单调性”与“直线倾斜方向”直接关联． 强化区 巩固强化 成果展示 题型1 确定直线位置的几何要素 【典例1】　（2024秋•镇海区月考）过点P（1，3）作直线l，若l经过点A（a，0）和B（0，b），且a，b均为正整数，则这样的直线l可以作出（　　） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 【典例2】　（2024秋•宁化县月考）若直线（2t﹣3）x+y+9﹣3t＝0不经过第一象限，则实数t的取值范围是（　　） A．（，3） B．[，3） C．[，3] D．（，3] 【典例3】　（2024秋•辽宁期中）已知直线l：2x+y﹣1＝0，则l不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型2 直线的倾斜角 【典例4】　（2024秋•黄山期末）直线y＝﹣2的倾斜角为（　　） A． B．0 C． D． 【典例5】　（2024秋•厦门期末）直线x＝tan60°的倾斜角为（　　） A．30° B．60° C．90° D．不存在 【典例6】　（2024秋•秦淮区期末）直线l过点、B（﹣1，0），则l的倾斜角为（　　） A．30° B．60° C．120° D．150° 题型3 直线的斜率 【典例7】　（2024秋•楚雄市期末）已知直线l的倾斜角为，则直线l的斜率为（　　） A． B．﹣1 C．1 D． 【典例8】　（2025春•赣州月考）直线l过（0，﹣1）与连接A（2，3），B（﹣3，2）的线段相交，则直线l的斜率k的取值范围是（　　） A．[﹣1，2] B．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞） C．[﹣2，1]∪（2，3） D．[2，+∞）∪（﹣∞，﹣1] 【典例9】　（2024秋•安宁区期中）直线l的斜率为k，倾斜角为α，若﹣1＜k＜1，则α的取值范围（　　） A． B． C． D． 题型4 直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系 【典例10】　（2025•尧都区开学）如图所示，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则下列结论正确的是（　　） A．k1＞k2＞k3 B．k2＞k3＞k1 C．k2＞k1＞k3 D．k3＞k2＞k1 【典例11】　（2024秋•镜湖区期中）已知直线l的斜率的范围为[﹣1，1]，则直线l的倾斜角α的取值范围为（　　） A．0°≤α≤45°或135°≤α≤180° B．45°≤α≤135° C．45°＜α＜135° D．0°≤α≤45°或135°≤α＜180° 【典例12】　（2023秋•丰城市月考）如图，若直线l1，l2，l3，l4的斜率分别为k1，k2，k3，k4，则（　　） A．k4＜k3＜k2＜k1 B．k1＜k2＜k3＜k4 C．k3＜k4＜k1＜k2 D．k2＜k1＜k3＜k4 题型5 两条直线平行与倾斜角、斜率的关系 【典例13】　（2023秋•河北区期中）已知直线l1的倾斜角为45°，直线l1∥l2，且l2过点A（﹣2，﹣1）和B（3，a），则a的值为 　 　 ． 【典例14】　已知P（﹣2，m），Q（m，4），M（m+2，3）N（1，1），若PQ∥MN，求m． 【典例15】　（2023秋•泉州期末）已知直线l1的倾斜角为60°，且与直线l2垂直，则直线l2的斜率为（　　） A． B． C． D． 题型6 两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系 【典例16】　（2023秋•盐田区期末）已知直线l1过，B（4，0）两点，且l1⊥l2，则直线l2的倾斜角为（　　） A． B． C． D． 【典例17】　△ABC的顶点A（5，﹣1），B（1，1），C（2，m），若△ABC为直角三角形，求m的值． 【典例18】　（2024秋•江油市月考）过点A（2，5）和点B（2，﹣4）的直线与直线y＝3的位置关系是（　　） A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直 题型7 方程组解的个数与两直线的位置关系 【典例19】　（2024春•鼓楼区期中）两直线（m+2）x﹣y+m＝0，x+y＝0与x轴相交且能构成三角形，则m不能取到的值有（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0 【典例20】　（2024秋•沁阳市期末）直线y＝x+1与直线y＝ax+1的交点的个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．随a值变化而变化 【典例21】　直线ax+8y+22＝0和直线x+2ay﹣4＝0相交，则a的取值范围是 　 　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $