专题2.1 直线的倾斜角与斜率（举一反三讲义）高二数学人教A版选择性必修第一册

专题2.1 直线的倾斜角与斜率（举一反三讲义） 【人教A版（2019）】 【题型1 求直线的倾斜角】 2 【题型2 求直线的斜率】 2 【题型3 斜率与倾斜角的变化关系】 2 【题型4 已知直线的倾斜角或斜率求参数】 3 【题型5 直线与线段的相交关系求斜率范围】 4 【题型6 两条直线平行的判定】 5 【题型7 已知两直线平行求参数】 5 【题型8 两条直线垂直的判定】 6 【题型9 已知两直线垂直求参数】 7 【题型10 直线平行、垂直的判定在几何中的应用】 7 知识点1 直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 ①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． ②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2．直线的斜率 (1)直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. (2)斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 (3)过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 【注】(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系． (2)涉及直线与线段有交点问题，常根据数形结合思想，利用斜率公式求解． 【题型1 求直线的倾斜角】 【例1】（24-25高二上·浙江金华·期末）已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高二上·浙江杭州·期末）若一条直线经过两点和，则该直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知直线l过点和，则l的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高二上·广东广州·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 【题型2 求直线的斜率】 【例2】（24-25高二上·新疆巴音郭楞·期末）若直线经过点，，则直线的斜率是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高二上·河南三门峡·期末）经过两点的直线的斜率是（   ） A． B． C． D．1 【变式2-2】（24-25高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知直线经过点，则的斜率为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高二上·江西·阶段练习）若将直线沿轴正方向平移3个单位长度，再沿轴负方向平移5个单位长度，又回到了原来的位置，则直线的斜率是（    ） A． B． C． D． 【题型3 斜率与倾斜角的变化关系】 【例3】（24-25高二上·四川南充·期末）如图所示，直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，直线、、、中，斜率最小的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二上·北京·阶段练习）已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-3】（24-25高二上·河北张家口·期中）如图，直线，，，的斜率分别为，，，，则（    ）    A． B． C． D． 【题型4 已知直线的倾斜角或斜率求参数】 【例4】（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）过两点，的直线的倾斜角是，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高二上·江苏·期中）已知经过两点的直线的斜率为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高二上·河北张家口·期中）三点，，在同一条直线上，则的值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【变式4-3】（24-25高二上·江苏连云港·期末）经过两点，的直线的倾斜角是锐角，则实数m的范围是（    ） A． B． C． D． 【题型5 直线与线段的相交关系求斜率范围】 【例5】（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段（含端点）总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高二上·陕西安康·阶段练习）已知直线过点，且与以和为端点的线段相交. (1)求直线的斜率k的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 【变式5-3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若是线段上一动点，求的取值范围. 知识点2 两条直线平行的判定 1．两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 【题型6 两条直线平行的判定】 【例6】（24-25高二上·全国·课后作业）过点和点的直线与直线的位置关系是（   ） A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直 【变式6-1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【变式6-2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线的倾斜角为，直线经过点，则直线的位置关系是（   ） A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合 【变式6-3】（24-25高二·全国·课后作业）直线和直线平行，则直线和直线的位置关系是（    ） A．重合 B．平行 C．平行或重合 D．相交 【题型7 已知两直线平行求参数】 【例7】（24-25高二上·安徽淮南·期中）已知直线与直线平行，则的值为（   ） A．3 B． C．1或 D．或3 【变式7-1】（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知，若，则a的值为（   ） A． B． C．1 D．或1 【变式7-2】（24-25高二上·广东深圳·期末）直线，则 “”的充要条件是（    ） A． B． C．或 D．以上均不对 【变式7-3】（24-25高二上·吉林通化·阶段练习）“”是“直线和直线不重合而平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 知识点3 两条直线垂直的判定 1．两条直线垂直的判定 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2 【注】判断两条直线是否垂直时： 在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于-1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直． 【题型8 两条直线垂直的判定】 【例8】（24-25高二上·河南开封·期中）直线和直线的位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【变式8-1】（24-25高一下·江西抚州·期末）已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，那么与（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【变式8-2】（24-25高二下·山东济南·期末）直线与直线的位置关系是（    ） A．垂直 B．相交且不垂直 C．平行 D．平行或重合 【变式8-3】（24-25高二上·江苏淮安·期中）下列哪条直线与直线垂直（   ） A． B． C． D． 【题型9 已知两直线垂直求参数】 【例9】（24-25高二上·江苏南京·期末）已知直线与直线垂直，则（    ） A． B． C．或 D．或 【变式9-1】（24-25高二上·江苏南京·期末）已知直线：，：，当时，实数的值为（    ） A．0 B． C．3 D． 【变式9-2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线经过点，直线经过点.若，求a的值. 【变式9-3】（24-25高二上·上海·期中）已知、为实数，平面直角坐标系内三条直线，直线，，：，：. (1)若，且经过点，求实数，的值； (2)若且，求实数，的值. 【题型10 直线平行、垂直的判定在几何中的应用】 【例10】（24-25高二上·全国·课后作业）已知四边形的四个顶点分别为，，试判断四边形的形状，并给出证明． 【变式10-1】（24-25高二上·全国·课前预习）如图所示，已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明.    【变式10-2】（24-25高二上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，，点是线段上的一点（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点，若，求证： .    【变式10-3】（24-25高二·全国·课后作业）已知，，. （1）若，，，可以构成平行四边形，求点的坐标； （2）在（1）的条件下，判断，，，构成的平行四边形是否为菱形. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 直线的倾斜角与斜率（举一反三讲义） 【人教A版（2019）】 【题型1 求直线的倾斜角】 2 【题型2 求直线的斜率】 3 【题型3 斜率与倾斜角的变化关系】 4 【题型4 已知直线的倾斜角或斜率求参数】 6 【题型5 直线与线段的相交关系求斜率范围】 8 【题型6 两条直线平行的判定】 11 【题型7 已知两直线平行求参数】 12 【题型8 两条直线垂直的判定】 14 【题型9 已知两直线垂直求参数】 16 【题型10 直线平行、垂直的判定在几何中的应用】 17 知识点1 直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 ①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． ②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2．直线的斜率 (1)直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. (2)斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 (3)过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 【注】(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系． (2)涉及直线与线段有交点问题，常根据数形结合思想，利用斜率公式求解． 【题型1 求直线的倾斜角】 【例1】（24-25高二上·浙江金华·期末）已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出直线的斜率，即得直线的倾斜角. 【解答过程】由，可得直线的斜率为， 故直线的倾斜角为. 故选：B. 【变式1-1】（24-25高二上·浙江杭州·期末）若一条直线经过两点和，则该直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求出直线的斜率，进而求出直线的倾斜角. 【解答过程】直线的斜率为，设该直线的倾斜角为， 故，解得. 故该直线的倾斜角为. 故选：D. 【变式1-2】（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知直线l过点和，则l的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由两点坐标可求得其斜率，再根据倾斜角与斜率之间的关系可得结果. 【解答过程】易知直线l的斜率为， 设l的倾斜角为，则，由，可得. 故选：D. 【变式1-3】（24-25高二上·广东广州·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据直线表示出斜率，求出其范围，再根据正切函数性质求出倾斜角的范围. 【解答过程】因为，所以， 设其倾斜角为，当时，直线为，， 当，直线的斜率，则， 由正切函数性质可知. 故直线的倾斜角的范围是 故选：C. 【题型2 求直线的斜率】 【例2】（24-25高二上·新疆巴音郭楞·期末）若直线经过点，，则直线的斜率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据斜率公式即可求解. 【解答过程】由于直线经过点，，故斜率为， 故选：D. 【变式2-1】（24-25高二上·河南三门峡·期末）经过两点的直线的斜率是（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解题思路】由斜率计算公式即可求解； 【解答过程】由， 可得， 故选：C. 【变式2-2】（24-25高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知直线经过点，则的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由斜率公式即可求解； 【解答过程】由， 可得：， 故选：C. 【变式2-3】（24-25高二上·江西·阶段练习）若将直线沿轴正方向平移3个单位长度，再沿轴负方向平移5个单位长度，又回到了原来的位置，则直线的斜率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据两点斜率公式即可求解. 【解答过程】设是直线上任意一点，则平移后得点，于是直线的斜率. 故选：A. 【题型3 斜率与倾斜角的变化关系】 【例3】（24-25高二上·四川南充·期末）如图所示，直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】应用斜率与倾斜角的关系即可判断． 【解答过程】由，结合的函数图象， 直线对应的倾斜角为钝角，则， 直线与都为锐角，且的倾斜角大于的倾斜角， 则，故． 故选：B. 【变式3-1】（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，直线、、、中，斜率最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据直线斜率与倾斜角的关系可得出结论. 【解答过程】由图可知的倾斜角为锐角，、、的倾斜角为钝角， 则直线的斜率为正数，直线、、的斜率均为负数， 且、、中，直线的倾斜角最小，故直线的斜率最小. 故选：B. 【变式3-2】（24-25高二上·北京·阶段练习）已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解题思路】利用倾斜角与斜率的关系，利用赋值法可得结论. 【解答过程】因为直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，， 所以，， 取，，满足，可求得，，此时， 所以“”是“”的不充分条件； 取，，满足，但，此时， 所以“”是“”的不必要条件； 所以“”是“”的既不充分又不必要条件. 故选：D. 【变式3-3】（24-25高二上·河北张家口·期中）如图，直线，，，的斜率分别为，，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由图可知直线的倾斜角为钝角，斜率为负，直线的倾斜角为锐角，斜率为正，以及根据倾斜角的大小判断斜率的大小可得答案. 【解答过程】直线的倾斜角为钝角，斜率为负，且直线的倾斜角大于直线的倾斜角， 直线的倾斜角为锐角，斜率为正，直线的倾斜角大于直线的倾斜角， 所以． 故选：D. 【题型4 已知直线的倾斜角或斜率求参数】 【例4】（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）过两点，的直线的倾斜角是，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由过两点的斜率公式求解即可. 【解答过程】解：因为直线过两点､，且倾斜角是， 所以直线的斜率， 又因为， 所以， 解得. 故选：A. 【变式4-1】（24-25高二上·江苏·期中）已知经过两点的直线的斜率为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用两点求斜率的公式列方程，化简求得的值. 【解答过程】依题意，. 故选：B. 【变式4-2】（24-25高二上·河北张家口·期中）三点，，在同一条直线上，则的值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【解题思路】根据两点斜率表达式得到方程，解出即可. 【解答过程】显然，则，即，解得. 故选：D. 【变式4-3】（24-25高二上·江苏连云港·期末）经过两点，的直线的倾斜角是锐角，则实数m的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意列出相应的不等式，即可得答案. 【解答过程】由题意经过两点，的直线的倾斜角是锐角， 可知 ，且 ， 解得 ，即实数m的范围是， 故选：C. 【题型5 直线与线段的相交关系求斜率范围】 【例5】（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先利用直线的斜率公式计算，；再结合图形，利用直线与线段有交点的条件建立不等式，即可得出结果. 【解答过程】由直线的斜率公式可得： ；. 结合图形，要使直线l经过点，且与线段AB有交点，l的斜率需满足或. 故选：C. 【变式5-1】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段（含端点）总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题意作图，利用斜率的计算公式，可得答案. 【解答过程】由题意作图如下： 设直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为， 由图可知， 由，，，则，， 所以. 故选：B. 【变式5-2】（24-25高二上·陕西安康·阶段练习）已知直线过点，且与以和为端点的线段相交. (1)求直线的斜率k的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 【答案】(1) (2). 【解题思路】（1）在平面直角坐标系中画出图象，根据图象分析，，三点之间的关系，不难给出直线的斜率的取值范围； （2）根据直线斜率与倾斜角的关系，结合图象即可求解直线的倾斜角的取值范围． 【解答过程】（1）在平面直角坐标系中画出图象如图： ， 直线过点，且与以和为端点的线段相交. 所以直线的斜率的取值范围. （2）由（1）可知，， 直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 由此可得此时直线的倾斜角的取值范围， 由图可知，当直线斜率不存在时，所得直线符合题意，故此时直线的倾斜角， 综上，直线的倾斜角的取值范围. 【变式5-3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若是线段上一动点，求的取值范围. 【答案】(1)斜率为1，倾斜角为； (2). 【解题思路】（1）先由斜率公式求斜率，然后根据斜率定义可得倾斜角； （2）将问题转化为求直线的斜率的取值范围，然后结合图形分析可得. 【解答过程】（1）由斜率公式得直线的斜率为， 记倾斜角为，则， 因为，所以直线的倾斜角为. （2）由题知为直线的斜率. 记直线和的倾斜角分别为，直线的倾斜角为， 由图可知，， 又，， 所以，由正切函数性质可得，直线的斜率的取值范围为， 即的取值范围为. 知识点2 两条直线平行的判定 1．两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 【题型6 两条直线平行的判定】 【例6】（24-25高二上·全国·课后作业）过点和点的直线与直线的位置关系是（   ） A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直 【答案】B 【解题思路】根据斜率公式求得的斜率，得出直线的方程，进而得出两直线的位置关系. 【解答过程】由题意，由点和点，可得，所以的方程为， 又由直线的斜率为，且两直线不重合，所以两直线平行. 故选：B． 【变式6-1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】B 【解题思路】根据直线的斜率来进行判断. 【解答过程】， 由图可知不共线，所以． 故选：B.    【变式6-2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线的倾斜角为，直线经过点，则直线的位置关系是（   ） A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合 【答案】A 【解题思路】由斜率的定义及坐标公式分别求出两条直线的斜率即可判断位置关系. 【解答过程】依题意，直线的斜率，直线的斜率， 即，所以或重合. 故选：A. 【变式6-3】（24-25高二·全国·课后作业）直线和直线平行，则直线和直线的位置关系是（    ） A．重合 B．平行 C．平行或重合 D．相交 【答案】B 【解题思路】利用两直线平行的等价条件即可求解. 【解答过程】因为直线和直线平行， 所以， 故直线为，与直线平行 故选：B. 【题型7 已知两直线平行求参数】 【例7】（24-25高二上·安徽淮南·期中）已知直线与直线平行，则的值为（   ） A．3 B． C．1或 D．或3 【答案】B 【解题思路】根据两条直线平行列出方程，再代入验证即可. 【解答过程】因为直线与直线平行， 所以,解得，或； 当时，两条直线为：两条直线重合，舍去； 当时，两条直线为：两条直线平行； 故选：B. 【变式7-1】（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知，若，则a的值为（   ） A． B． C．1 D．或1 【答案】C 【解题思路】根据两直线平行的公式求解即可. 【解答过程】若，则，即，解得或. 当时，满足； 当时，重合； 故. 故选：C. 【变式7-2】（24-25高二上·广东深圳·期末）直线，则 “”的充要条件是（    ） A． B． C．或 D．以上均不对 【答案】B 【解题思路】先根据两直线平行的条件列出方程，求出可能的值，再分别代入检验两直线是否重合，从而确定两直线平行的充要条件. 【解答过程】因为直线， 当时，，解得或， 当时，，此时两直线重合，舍去， 又时，，此时， 所以 “”的充要条件是“”. 故选：B. 【变式7-3】（24-25高二上·吉林通化·阶段练习）“”是“直线和直线不重合而平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】利用平行的位置关系可列出系数满足的关系式，从而求解进行判断即可. 【解答过程】当时，直线和直线是不重合而平行关系，即满足充分性， 当直线和直线不重合而平行时， 有，解得，故满足必要性， 故选：C. 知识点3 两条直线垂直的判定 1．两条直线垂直的判定 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2 【注】判断两条直线是否垂直时： 在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于-1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直． 【题型8 两条直线垂直的判定】 【例8】（24-25高二上·河南开封·期中）直线和直线的位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】A 【解题思路】由两直线的斜率关系即可判断. 【解答过程】直线和直线的斜率分别为， 因为，所以． 故选：A． 【变式8-1】（24-25高一下·江西抚州·期末）已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，那么与（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】A 【解题思路】分别求出两直线的斜率，根据斜率即可得出两直线的关系. 【解答过程】由题意， 所以， 所以. 故选：A. 【变式8-2】（24-25高二下·山东济南·期末）直线与直线的位置关系是（    ） A．垂直 B．相交且不垂直 C．平行 D．平行或重合 【答案】A 【解题思路】分和讨论，其中时，写出两直线斜率，计算其乘积即可判断. 【解答过程】当时，直线，直线，此时两直线垂直， 当时，直线的斜率，直线的斜率， 因为，则两直线垂直， 综上两直线位置关系是垂直， 故选：A. 【变式8-3】（24-25高二上·江苏淮安·期中）下列哪条直线与直线垂直（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先求得出直线的斜率，利用两直线垂直的斜率公式对各个选项进行验证即可求解. 【解答过程】直线的斜率为2, 若直线m与直线垂直，则，， 对于A,的斜率为2,不与直线垂直; 对于B,的斜率为2,不与直线垂直; 对于C,的斜率为-1，不与直线垂直； 对于D,的斜率为 ,与直线垂直. 故选:D. 【题型9 已知两直线垂直求参数】 【例9】（24-25高二上·江苏南京·期末）已知直线与直线垂直，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解题思路】根据两直线方程垂直，分类求解的值. 【解答过程】若则直线与垂直，满足题意， 若则,则. 综上所述，则或. 故选：C. 【变式9-1】（24-25高二上·江苏南京·期末）已知直线：，：，当时，实数的值为（    ） A．0 B． C．3 D． 【答案】C 【解题思路】利用两条直线相互垂直列式计算得解. 【解答过程】由直线：与：垂直，得， 所以. 故选：C. 【变式9-2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线经过点，直线经过点.若，求a的值. 【答案】或 【解题思路】求出直线的斜率，按直线的斜率存在与否讨论，并结合两条直线垂直的斜率关系计算即得. 【解答过程】依题意，直线的斜率， 当，即时，直线的斜率不存在，此时，直线不垂直； 因此，直线的斜率存在，， 由，得，则，整理得，解得或， 所以或. 【变式9-3】（24-25高二上·上海·期中）已知、为实数，平面直角坐标系内三条直线，直线，，：，：. (1)若，且经过点，求实数，的值； (2)若且，求实数，的值. 【答案】(1)或； (2) 【解题思路】（1）由直线垂直的特征及直线过的点可得关于、的方程组，即可得解； （2）由直线平行和垂直满足的系数关系，列方程即可求解，． 【解答过程】（1）因为，，且，所以， 又直线过点， 所以， 所以， 所以， 所以或； （2）若且，则或， 解得，或， 由于不能同时为，故这组解舍去， 故. 【题型10 直线平行、垂直的判定在几何中的应用】 【例10】（24-25高二上·全国·课后作业）已知四边形的四个顶点分别为，，试判断四边形的形状，并给出证明． 【答案】四边形是平行四边形，证明见解析 【解题思路】根据直线的斜率和图象进行判断. 【解答过程】由题得，边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 因为，所以， 所以四边形是平行四边形． 【变式10-1】（24-25高二上·全国·课前预习）如图所示，已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明.    【答案】平行四边形，证明见解析. 【解题思路】通过计算得到，，从而判断出四边形的形状. 【解答过程】由已知可得边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率. 因为，，所以，. 因此四边形是平行四边形. 【变式10-2】（24-25高二上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，，点是线段上的一点（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点，若，求证： .    【答案】证明见解析 【解题思路】利用斜率公式求得直线与的斜率，从而利用直线垂直的性质得到，再求得直线与的斜率之积，由此得证. 【解答过程】由点和点，知直线的斜率为， 由点和点，知直线的斜率为， 因为，所以，即； 由点和点，知直线的斜率为， 由点和点，知直线的斜率为， 则直线与的斜率之积为， 所以. 【变式10-3】（24-25高二·全国·课后作业）已知，，. （1）若，，，可以构成平行四边形，求点的坐标； （2）在（1）的条件下，判断，，，构成的平行四边形是否为菱形. 【答案】（1）（-1，6）或（7，2）或（3，-2）；（2）平行四边形为菱形,平行四边形,不是菱形. 【解题思路】（1）分四边形、、是平行四边形三种情况讨论，分别利用对边的斜率相等求解，即可； （2）分别验证对角线是否垂直，即对角线斜率乘积是否为，即可. 【解答过程】（1）由题意得， ，，设. 若四边形是平行四边形，则，， 即，解得，即. 若四边形是平行四边形， 则，， 即，解得，即. 若四边形是平行四边形， 则，， 即，解得，即. 综上，点的坐标为（-1，6）或（7，2）或（3，-2）. （2）若的坐标为（-1，6）， 因为，， 所以，所以， 所以平行四边形为菱形. 若的坐标为（7，2）， 因为，， 所以，所以平行四边形不是菱形. 若的坐标为（3，-2），因为，直线的斜率不存在，所以平行四边形不是菱形. 因此，平行四边形为菱形,平行四边形,不是菱形. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $