11.4 球 讲义- 2025-2026学年高二上学期数学沪教版必修第三册

2025-2026学年高二数学必修三同步培优讲义【精英班课程】 专题11.4 球 知识点一、球面与球的概念 1、球与球的概念 名称 定义 图形表示 相关概念 球 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球 如图可记作：球O 球心：半圆的圆心 半径：连接球心和球面上任意一点的线段 直径：连接球面上两点并经过球心的线段； 2、地球的经纬度 用平行于赤道平面的平面截地球得到的小圆（如图）的圆周称为纬线，按照南北方向分为南纬和北纬；过球心的大圆的半圆周（如图）称为经线；按照约定，通过英国伦敦格林尼治天文台原址的那条经线称为０度经线； 知识点二、球的性质 1、空间与定点距离等于定长的点集（轨迹）是球面 2、球的对称性。球具有丰富的对称性，所有经过球心的直线都可以作为球的旋转轴，每条旋转轴与球面交点之间的线段都是球的直径； 3、同球（或等球）的半径相等，直径是半径的2倍 4、平面截球。球的截面均是圆面，球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆．球心和截面圆心的连线垂直于截面； 球心到截面的距离与球半径及截面的半径的关系为． 5、不过球心的截得的是球的小圆，其半径和面积都小于球的大圆的半径和面积；经过球心的截面截得的是球的大圆，是最大的截面圆 知识点三、球的表面积与体积 1、球的体积公式：设球的半径为R，则球的体积V＝πR3. 2、球的表面积公式：设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍； 知识点四、球与几何体的接、切问题 定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面体， 这个球是这个多面体的外接球． 定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球． 题型一、球的结构特征辨析 【例1】下列说法正确的是： A.用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆； B.球的直径是球面上任意两点间的连线段； C.用一个平面截一个球，得到的是一个圆； D不过球心的截面截得的圆叫做球的小圆.则正确命题的序号是 . 【答案】D 【例2】下列命题中，假命题的是 ．（选填序号） A.球的半径是球面上任意一点与球心的连线； B.球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径； C.以半圆的直径所在直线为轴旋转形成的曲面叫做球； D.空间中到定点的距离等于定长的所有的点构成的曲面是球面． 【答案】C 【例3】下列说法正确的是（     ） A．半圆弧以其直径所在的直线为轴旋转所成的曲面叫球； B．球的大圆的半径等于球的半径； C．球面和球是同一个概念； D．经过球面上不同的两点只能做一个最大的圆. 【答案】B 【分析】根据球面和球的定义判断ABC，根据球的性质判断D 【详解】对于A，半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫球面，而球面围成的几何体叫球，所以A错误， 对于B，球的大圆的半径等于球的半径，所以B正确， 对于C，因为半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫球面， 而球面围成的几何体叫球，所以球面和球是不同的概念，所以C错误， 对于D，如果球面上的两点是球的直径的两个端点，则可以作无数个大圆，所以D错误， 故选：B 题型二、球的截面的性质及计算 【例4】一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是 A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】A 【分析】由题意分析截面的各种情况确定截面图形可能的情形即可. 【详解】当截面平行于正方体的一个侧面时得③；当截面过正方体的体对角线时可得④； 当截面既不过体对角线又不与任一侧面平行时，可得①．但无论如何都不能截得②． 本题选择A选项. 【点睛】本题主要考查截面的特征，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和空间想象能力. 【例5】球的体积为，用一个平面截球，若球心到截面的距离为，则截面圆的半径为 . 【答案】 【来源】河北省张家口市尚义县第一中学等校2023-2024学年高一下学期5月阶段测试数学试题（A） 【分析】求出球的半径，再利用球的截面小圆的性质列式计算即得. 【详解】令球半径为，则，解得， 所以截面圆的半径. 故答案为： 【例6】半径为cm的球被两个平行平面所截，两个截面圆的面积分别为cm2，cm2，则这两个平行平面的距离为（    ）cm. A．2 B．14 C．2或14 D．6或8 【答案】C 【详解】设两个截面圆的半径分别为、，球心到截面的距离分别为、，球的半径为. 由，得cm，cm， 由，得cm，cm， 如图所示， 当球的球心在两个平行平面的外侧时， 这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之差， 即cm. 如图所示， 当球的球心在两个平行平面之间时， 这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之和，即cm. 故选：C. 【例7】如图，已知正三角形的三个顶点都在表面积为的球面上，球心到平面的距离为2，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是 . 【答案】 【分析】先根据勾股定理、球的截面圆性质与正三角形的性质等知识得到当截面与OE垂直时截面圆的半径最小，相应地截面圆的面积有最小值，再算出截面圆半径的最小值，进而可得截面面积的最小值． 【解析】设正的中心为，连结， 因为是正的中心，、、三点都在球面上， 所以平面， 因为球的半径，且球心到平面的距离为2， 所以， 所以在中，， 又因为E为AB的中点，是等边三角形， 所以， 当截面与OE垂直时，该截面圆的半径最小， 所以当截面与OE垂直时，截面圆的面积取得最小值． 此时截面圆的半径，可得截面面积为. 故答案为：. 题型三、球面距离 【例8】已知地球半径为，处于同一经度上的甲乙两地，甲地纬度为北纬75°，乙地纬度为北纬15°，则甲乙两地的球面距离是 【答案】 【分析】同一纬度的两地之间与球心共在一个大圆上,根据纬度差即可求得圆心角,进而求得两地间距离. 【解析】由题意可知,同一纬度的两地之间与球心共在一个大圆上 当甲地纬度为北纬75°,乙地纬度为北纬15°,则两地间所在的大圆圆心角为60° 所以两地的球面距离为 故答案为 【点睛】本题考查了球的截面性质,大圆及球面距离的求法,属于基础题. 【例9】上海地处东经至，北纬至之间，地球半径约为6371千米，则上海所辖区域纬线所在两平面的距离为 千米.（结果保留到1千米） 【答案】135 【分析】求出纬度差，纬线所在两平面的距离为以地球为半径的圆，角度为纬度差所对应的弧长，由弧长公式求解即可. 【详解】上海在北纬至之间，则纬度差为度， 上海所辖区域纬线所在两平面的距离为以地球的半径为半径的圆，角度为所对应的弧长， 于是， 所以上海所辖区域纬线所在两平面的距离为. 故答案为：135 【例10】已知地球半径约为6371千米．上海的位置约为东经121°、北纬31°，大连的位置约为东经121°、北纬39°．若飞机以平均速度720千米/小时飞行，则从上海到大连的最短飞行时间约为 小时．（飞机飞行高度忽略不计，结果精确到0.1小时） 【答案】1.2 【分析】设上海、大连分别为点，先求出，再计算时间即可. 【详解】 由题意知：上海与大连在同一经线上，所以它们在地球的同一个大圆上，设地球球心为，上海、大连分别为点， 则，地球半径约为6371千米，则千米，小时， 故从上海到大连的最短飞行时间约为1.2小时. 故答案为：1.2. 题型四、球的体积 【例11】若一个球的半径为3，则其体积为 . 【答案】 【分析】根据球的体积公式计算即可. 【详解】因为球的半径为， 所以球的体积为. 故答案为： 【例12】球的表面积增大为原来的9倍，那么球的体积增大为原来的（ ） A．9倍 B．18倍 C．27倍 D．81倍 【答案】C 【分析】根据球的表面积公式可确定变化前后球的半径的关系，结合球的体积公式，即可求得答案. 【详解】设原来球体的半径为，则原来球体的表面积为：， 原来球体的体积为：， 当球的表面积增大为原来的9倍时，则此时球的半径， 此时球体体积为：，由， 所以球的体积增大为原来的27倍. 故选：C. 【例13】已知球的体积为，则球的表面积为 ． 【答案】 【分析】求出球的半径长，利用球体的表面积公式可求得球的表面积. 【详解】设球的半径长为，则该球的体积为，解得， 所以，球的表面积为. 故答案为：. 【例14】一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，则该球的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由球的半径、圆面半径、球心到这个平面的距离构成直角三角形，由勾股定理求得半径即可求解； 【详解】设球的半径为，圆面半径为，球心到这个平面的距离为， 根据球的截面性质，有， ． 故选：C 【例15】圆柱形容器内盛有高度为6 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，如图．则球的半径是________ cm. 答案　3 解析　设球半径为r cm，则由3V球＋V水＝V柱，可得3×πr3＋πr2×6＝πr2×6r，解得r＝3. 题型五、球的表面积 【例16】一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为(　　) A.π B.π C.π D.π 答案　B 解析　设这个球的半径为R，则4πR2＝16π，得R＝2，所以这个球的体积V＝πR3＝π.故选B. 【例17】两个球的体积之比为8：27，那么这两个球的表面积的比为　 　． 【分析】由题意，设两个球的半径，表示出求的表面积和体积；根据体积比，得到表面积的比． 【解答】解：设两个球的半径分别为r，R，由两个球的体积之比为8：27， 得到r3：R3＝8：27，所以r：R＝2：3，那么这两个球的表面积的比为r2：R2＝4：9； 故答案为：4：9． 【点评】本题考查了球的体积和表面积；明确体积、表面积公式是关键． 【例18】若平面截球O所得截面圆的半径为3，且球心O到平面的距离为2，则球O的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由条件可得球的半径，再由球的表面积公式代入计算，即可得到结果. 【详解】设球O的半径为R，则，所以球O的表面积为. 故选：B 【例19】若一个实心球对半分成两半后表面积增加了4π cm2，则原来实心球的表面积为(　　) A．4π cm2 B．8π cm2 C．12π cm2 D．16π cm2 答案　B 解析　设球半径为R，由题意可得πR2＝2π，S球＝4πR2＝8π(cm2)． 【例20】已知半球的半径为2，如图，截面圆平行于半球的底面的，以该截面圆为底面挖去一个圆柱，则剩下的几何体的表面积的最大值为 .    【答案】 【分析】画图，设球的半径为，圆柱的高为，底面半径为，建立方程由基本不等式求出的最大值，然后求出剩下的几何体的表面积 【解析】依题意，设球的半径为，圆柱的高为，底面半径为， 如图所示：    则， 所以， 当且仅当时，取到等号， 因此剩下的几何体的表面积为： . 题型六、直线与球、平面与球的位置关系 【例21】现有一个棱长为3的正方体，如果以这个正方体的一个顶点为球心，以为半径作球面，那么该球面被这个正方体的表面所截得的所有弧长的和为 . 【答案】 【来源】福建省连城县第二中学等校2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题 【分析】画出图形，说明截面弧长，利用弧长公式求解即可. 【详解】如图，以为球心，为半径的球面被正方体表面所截得的弧， 即分别在平面､平面､平面上， 以为圆心､3为半径的圆与所在平面形成的弧，弧，弧， 三条弧所对圆心角都是， 所以所求弧长的和为. 故答案为：    【例22】将一个半径为1的球形石材加工成一个圆柱形摆件，则该圆柱形摆件侧面积的最大值为 . 【答案】 【分析】设圆柱形工件的高为h，底面半径为r，得到圆柱形工件的侧面积为，再结合基本不等式求解侧面积的最大值. 【详解】设圆柱形工件的高为h，底面半径为r，， 则圆柱形工件的侧面积为， 又因为，当且仅当时等号成立， 所以， 故答案为：. 【例23】若平面α，β截球O所得截面圆的面积分别为，，且球心O到平面α的距离为3，则球心O到平面β的距离为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】设平面，截球所得截面圆的半径分别为，，再根据圆的面积公式，结合球内的垂径定理列式求解即可. 【详解】设平面，截球所得截面圆的半径分别为，，则，，则，. 设球的半径为，球心到平面的距离为，则，所以. 故选：A 【例24】如图，已知点P､A､B､C都在球O的面上，平面ABC，，，，点是的外接圆的圆心. (1)若三棱锥的体积，求圆的半径； (2)若点Q是棱BC上的动点，直线PQ与平面ABC所成的角为，且的最大值为，求球O的表面积和体积. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由体积得出，结合正余定理即可求解； （2）依题意得，当时，取最大值，从而得出，根据正弦定理得圆O的半径，即可求出球半径，进而求得球得表面积与体积． 【解析】（1）依题意可得，又， 所以，由余弦定理可得 由正弦定理得，解得； （2）由平面ABC，则直线PQ与平面ABC所成的角为 则，所以当时，取最大值为，此时 所以，得， 故圆的半径 设球O的半径为，则， 则球O的表面积，球O的体积． 题型七、球与几何体的外接问题 【方法技巧】柱体的外接球的球心 （1）正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点． （2）正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点． （3）直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点 锥体的的外接球的球心 （1）正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算找到． （2）若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心． （3）一般棱锥的外接球的球心是经过棱锥的底面多边形外接圆的圆心且垂直于这个平面的直线上． 【例25】在正方体中，，则该正方体外接球的表面积为 ． 【答案】36π 【分析】如图，正方体外接球的半径为，结合勾股定理和球的表面积公式计算即可求解. 【详解】如图，    设该正方体外接球的半径为R， 则， 所以该正方体外接球的表面积为． 故答案为： 【例26】若一个正四棱柱的底面积为32，高为6，则该正四棱柱的外接球的表面积为 . 【答案】 【分析】正四棱柱的对角线就是外接球的直径，求出直径即可求出球的表面积． 【详解】设正四棱柱底面边长为，由题意，则， 由于正四棱柱的外接球的直径，就是正四棱柱的对角线的长， 所以球的直径为：， 所以该正四棱柱的外接球的表面积为：. 故答案为：. 【例27】在直三棱柱中，，，，，则直三棱柱的外接球的表面积 . 【答案】 【解析】 ，故. 外接圆的半径， 外接球的的半径， ∴外接球的表面积． 【例28】已知三棱锥所在顶点都在球的球面上，且平面，若，，则球的表面积为 ． 【答案】 【解析】记底面的外接圆的半径为, 则，∴记球的半径为， ∵平面， 则， ∴球的表面积为． 【例29】正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，设球的半径为， ∵棱锥的高为4，底面边长为2 ∴，∴． ∴球的表面积为． 【例30】我国古代数学名著《九章算术》，将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．如图所示，在长方体中，已知，．该“阳马”的外接球的表面积 ． 【答案】 【分析】根据长方体的外接球即为四棱锥的外接球，长方体的对角线就是外接球的直径，结合球体的表面积公式求解. 【详解】长方体的外接球即为四棱锥的外接球， 因为，. 长方体的对角线长为， 则长方体的外接球的半径， 该“阳马”外接球的表面积为. 故答案为： 【例31】一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】球心为两底面中心连线的中点， 由已知可得， ∴球的半径． ∴． 题型八、球与几何体的相切问题 【例32】若半径为1的球与正三棱柱的各个面均相切，则该正三棱柱外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为半径为1的球与正三棱柱的各个面均相切，所以正三棱柱的高，底面正三角形的内切圆半径为1，则底面正三角形的外接圆半径，所以该正三棱柱外接球半径为，所以外接球的表面积为． 故选：D． 【例33】在棱长为2正四面体中，正四面体的内切球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据正四面体的性质求出正四面体的高；再利用等体积法求出内切球的半径；最后根据球的表面积公式即可解答. 【详解】 正四面体底面的中心记为点，连接，. 由正四面体的性质可得：面. 因为正四面体棱长为2， 所以底面三角形的高为， 则， 所以正四面体的高. 设正四面体内切球的半径为，球心为. 由等体积法可得：， 即，解得：. 所以正四面体的内切球表面积为. 故选：B. 【例34】一个高为的圆锥形容器（容器壁厚度忽略不计）内部能完全容纳的最大球的半径为，若，则这个圆锥的体积与这个最大球的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角形的相似比求得底面半径，然后根据圆锥和球的体积公式即可求解. 【详解】作圆锥的轴截面，如图，由题可知，,， 所以，即，解得， 则， 所以 故选：D    【例35】若一个正六棱柱既有外接球又有内切球，则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图：分别为底面中心，为的中点，为的中点 设正六棱柱的底面边长为 若正六棱柱有内切球，则，即内切球的半径 ，即外接球的半径 则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为 故选：C． 题型九、综合提升 【例36】如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知半球的直径是6 cm，圆柱筒长2 cm． (1)这种“浮球”的体积是多少?（结果精确到0.1) (2)要在2500个这样的“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需涂胶约多少克?附：． 【答案】(1) (2)3768 【分析】（1）分别求出两个半球的体积，和圆柱体的体积，即可求出“浮球”的体积； （2）先求出一个“浮球”的表面积，再求出2500个的面积，即可求解. 【详解】（1）该半球的直径， 所以“浮球”的圆柱筒直径也是，得半径， 所以两个半球的体积之和为， 而， 该“浮球”的体积是； （2）上下两个半球的表面积是， 而“浮球”的圆柱筒侧面积为， 所以1个“浮球”的表面积为， 因此，2500个“浮球”的表面积的和为， 因为每平方米需要涂胶100克， 所以总共需要胶的质量为：（克）． 【例37】如图，已知点在圆柱的底面圆上，为圆的直径，，，三棱锥的体积为. (1)求圆柱的表面积； (2)求三棱锥外接球的体积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求出、，即可得到，再由求出，最后根据圆柱的表面积公式计算可得； （2）三棱锥外接球即为圆柱的外接球，求出外接球的半径，再根据球的体积公式计算可得. 【详解】（1）∵在中，， ∴， 又在中，，，∴， 而点的圆柱的底面圆上，∴， 所以， 于是由，得， ∴， ∴圆柱的表面积. （2）三棱锥外接球即为圆柱的外接球， 则外接球的球心是的中点，半径， 所以三棱锥外接球的体积. 一、填空题 1．(2024上海高二上阶段练习）用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为________ 【答案】8π ； 【解析】设球的半径为R，则截面圆的半径为， ∴截面圆的面积为S＝π()2＝(R2－1)π＝π，∴R2＝2， ∴球的表面积S＝4πR2＝8π； 2．(2024上海高二上阶段练习）某地球仪上北纬30°纬线圈的长度为12π cm，如图所示，则该地球仪的半径是________cm. 【答案】4； 【解析】如图所示，由题意知，北纬30°所在小圆的周长为12π， 则该小圆的半径r＝6，其中∠ABO＝30°， 所以该地球仪的半径R＝＝4 cm； 3．(2024上海高二上阶段练习）一个球内有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为和，则球的表面积为___________. 【答案】 【分析】对截面的位置分类讨论，利用勾股定理求解球的半径，再求解表面积即可. 【详解】当截面在球心的同侧时，如图所示为球的轴截面，由球的截面性质知， 且，为两截面圆的圆心，则，． 设球的半径为，，． ，． 设，则． 在中，，记为①式， 在中，，记为②式， 联立①②可得，． ，故球的表面积为． 当截面在球心的两侧时，如图所示为球的轴截面， 由球的截面性质知，，且，分别为两截面圆的圆心， 则，．设球的半径为， ，． ，． 设，则． 在中，．在中，． ，解得，不合题意，舍去． 综上所述，球的表面积为． 4．(2024上海高二上阶段练习）长、宽、高分别为的长方体的外接球表面积为_______. 【分析】求出长方体外接球半径，再利用球的表面积公式即可得到答案. 【详解】长方体的外接球的半径. 则接球表面积为. 5．(2024-25高二上上海普陀期中）已知正方体的内切球的体积为，则该正方体的外接球的表面积为__________ 【分析】利用正方体的内切球、外接球的半径与正方体边长关系可求解. 【详解】设正方体的边长为， 则正方体内切球的半径为，内切球的体积等于，解得， 所以正方体的体对角线等于， 所以正方体外接球的半径等于，则外接球的表面积等于， 6．(2024-25高二上上海徐汇期中）已知一个圆柱的底面直径与其外接球半径均为2，则该圆柱的侧面积为___________ 【分析】画出轴截面，利用长度关系求出圆柱半径和母线，进而得到答案. 【详解】如图，轴截面为   ， 所以圆柱的侧面积为， 7．(2024-25高二上上海奉贤期中）在直三棱柱中，，，，则此三棱柱外接球的表面积为________. 【分析】由条件得该直三棱柱底面为等腰直角三角形，补全为长方体求外接球半径即可得表面积. 【详解】 因为，，所以为等腰直角三角形， 将直三棱柱补全为如图长方体， 则长方体的外接球即直三棱柱的外接球， 因为，，所以外接球直径， 所以外接球半径，表面积. 8．(2024-25高二上上海宝山期中）一个体积为的球在一个正三棱柱的内部，且球面与该正三棱柱的所有面都相切，则此正三棱柱的表面积为_________ 【分析】先根据内切球得出三棱柱的高，再计算得出底面边长，进而计算得出表面积即可. 【详解】设球的半径为，因为，所以， 因为球面与该正三棱柱的所有面都相切， 所以正三棱柱的高为，设正三棱柱底面边长为， 因为球的半径等于底面正三角形的内切圆半径， 所以，所以， 则正三棱柱的表面积为. 9．(2024-25高二上上海青浦期中）圆锥的底面半径为1，母线长为2，在圆锥体内部放入一个体积最大的球，该球的表面积为 ． 【答案】 【分析】根据球的半径是边长为2的等边三角形的内切圆半径来求解. 【详解】球的半径是边长为2的等边三角形的内切圆半径，即半径为， 所以球的表面积． 故答案为：. 10．(2024-25高二上上海杨浦期中）已知圆锥的底面半径为1，圆锥内能容纳的最大球的表面积为2π，则圆锥的表面积为________ 【分析】根据给定条件，将问题转化为圆锥的内切球，进而转化为圆锥轴截面等腰三角形内切圆求解. 【详解】依题意，圆锥的底面半径，设母线长为l，则圆锥的高为， 圆锥内能容纳的最大球的表面积为2π，即圆锥的内切球的表面积为2π，则内切球的半径为， 因此该圆锥的轴截面靠腰三角形的内切圆半径为，因此，解得， 所以圆锥的表面积为. 11．(2024-25高二上格致中学期中）已知圆锥的母线长为6，其外接球表面积为，则该圆锥的表面积为___________ 【分析】由圆锥及其外接球的轴截面可得关系，再结合和即可计算. 【详解】圆锥及其外接球的轴截面如图， 该其外接球的半径为，则外接球表面积为，则， 即， 设圆锥的高为，圆锥的底面圆半径为，则， 由，解得， 则此圆锥的表面积为. 12．(2024-25高二上建平中学期中）一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个体积为V的球，则该球的体积V的最大值是_________ 【分析】根据圆锥侧面展开图可得圆锥的半径和高，由三角形面积公式即可求解内切球半径，进而由球的体积公式求出答案. 【详解】由题意得，扇形的弧长， 所以该圆锥的底面圆的半径， 所以该圆锥的高． 设该圆锥内的球的最大半径为R，圆锥的轴截面如图所示： 则依题意得， 所以， 所以该球的体积V的最大值是． 二、选择题 13．(2024-25上海实验学校高二上期中）《九章算术》是我国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中非常重要的一部．在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知“堑堵”的所有顶点都在球的球面上，且．若球的表面积为，则这个三棱柱的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件确定球心的位置，根据球的半径求得棱柱的高，可计算表面积. 【详解】设，的中点分别为，，连接，取的中点． 直三棱柱中，，， 四边形是平行四边形，有， 因为三棱柱的底面是直角三角形，，所以，， ，分别是，的外接圆圆心． 因为平面，所以平面， 所以为的外接球的球心． 连接，因为球的表面积为，所以球的半径为1，即， ，则，，可得，， 所以三棱柱的表面积， 故选：C． 14.(2023-24七宝中学高二上期中）已知球的半径为，三点在球的球面上，球心到平面的距离为，，, 则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵，,， ∴，∴．设外接圆的半径为，则,∴． ∴，得．∴球的表面积为． 15．(2024-25市北中学高二上期中）如图，桌面上放置着两个底面半径和高都是的几何体，左边是圆柱挖去一个倒立的圆锥（以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点）剩余的部分，右边是半球，用平行于桌面的平面截这两个几何体，截得左边几何体的截面面积为，截得半球的截面面积为，则（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 【答案】B 【详解】设截面与圆柱底面的距离为， 该平面截半球所得圆面的半径为，圆的面积为， 由于圆柱的底面半径与高相等，所以，圆环的内圆半径为， 所以，圆环的面积为，故， 故选：B. 16．(2024-25高二上上海奉贤期中）如图，设地球的半径为，两地的纬度均为，经度差为，飞机从地沿大圆（经过球心的平面截球面所得的圆弧）飞行到地的弧长为（飞机的飞行高度忽略不计），则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，在中，求得，且，利用余弦定理，得到，结合，得到，得出，即可求解. 【详解】如图所示，连接，在中，可得，且， 在中，由余弦定理，可得 ，所以， 因为从地沿大圆飞行到地的弧长为，可得，所以， 所以，解得. 故选：B. 三、解答题 17.(2024-25高二上上海嘉定期中）如图，半球内有一内接正四棱柱（即正四棱柱的一个面在半球的底面圆上，其余顶点在半球面上）. (1)若正四棱柱的各棱长均为（即为正方体），求半球的表面积和体积； (2)若半球的底面圆的半径为10，求正四棱柱表面积的最大值. 【答案】(1)表面积，体积； (2). 【分析】（1）根据给定条件，求出半球半径，再借助球的表面积及体积公式列式计算即得. （2）设半球内接正四棱柱的底边长为2a，高为b，求出的关系，再求出正四棱柱表面积的关系，借助三角代换求出最大值. 【详解】（1）依题意，半球内接正方体下底面正方形中心为半球底面圆圆心， 而正方体下底面正方形外接圆半径为， 因此半球的半径， 所以半球表面积，体积. （2）设半球内接正四棱柱的底边长为2a，高为b， 依题意，，即，令，， 该正四棱柱的表面积 ，其中锐角由确定， 则当，即时，， 所以正四棱柱表面积的最大值. 18．(2024-25高二上上海崇明期中）已知长方体中， ，若该长方体的各顶点都在球O的表面上.求： (1)异面直线CD与所成角的大小； (2)求球O的表面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行得出异面直线CD与所成角等于直线与所成角，再在三角形中计算结合反三角函数求角； （2）长方体的外接球的直径即为长方体体对角线的长度，即可求出半径，从而求出球O的表面积． 【详解】（1）连接，因为，所以异面直线CD与所成角等于直线与所成角， 在中，， 因为，所以， ，， 所以异面直线CD与所成角的大小； （2）长方体，， 所以长方体的对角线长为. 因为长方体的对角线为球O的直径， 所以球O的半径为， 所以球的表面积是. 19.(2024-25高二上上海闵行期中）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为6cm.不计容器的厚度. (1)求球的体积； (2)正方体上底面所在平面将球分割成两部分，体积较小的部分称为“劣球缺”.根据祖暅原理，其体积为一个圆柱的体积减去一个圆台的体积.请根据以下示意图，求出本题中“劣球缺”的体积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设球的半径为，根据球和正方体的结构特征结合题意可得球心到正方体上底面中心的距离为和过正方体上底面截球所得截面圆的半径，再根据即可求解. （2）分别计算圆柱的体积，小圆锥的体积和大圆锥的体积，从而计算出圆台的体积，从而得到劣球缺的体积. 【详解】（1）设球的半径为， 则由题可知球心到正方体上底面中心的距离为，且过正方体上底面截球所得截面圆的半径为， 所以即，， 所以球的体积为. （2）圆柱体的体积为小圆锥的体积为大圆锥的体积为圆台的体积为 则劣球缺的体积为 20．(2024-25高二上文来高中期中）如图，边长为4的正方形是圆柱的轴截面，是圆柱底面圆周上一点. (1)求证：； (2)若直线和平面所成的角为，求三棱锥的体积； (3)设圆柱的外接球为球，求直线与球的两个交点间的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）由线面垂直的性质可得，结合可得证明平面，再由线面垂直的性质即可证明； （2）由（1）可得，可求得和，根据棱锥的体积公式即可求解； （3）过作，垂足为，根据等面积法及勾股定理求出即可. 【详解】（1）因为正方形是圆柱的轴截面，是圆柱底面圆周上一点， 所以. 因为平面，平面， 所以. 因为平面， 所以平面. 因为平面, 所以. （2）由（1）可得平面， 所以直线和平面所成的角为，即. 因为正方形的边长为4， 所以， 所以,， 所以. （3）过作，垂足为， 因为, 所以. 由等面积法可得， 所以. 易知圆柱的外接球的半径为，即, 所以, 所以直线与球的两个交点间的距离为. 21．(2024-25华师二附中高二期中）已知完全封闭且内部中空的圆柱底面的半径为R，母线长为l，如图． (1)当，时，在圆柱内放一个半径为1的实心球，求圆柱内空余部分的体积；（结果用精确值表示） (2)在（1）的条件下，在圆柱内部空余的地方放入和实心球、侧面及相应底面均相切的半径为r的同样大小的小球n个，求n的最大值． 【答案】(1) (2)30 【分析】（1）圆柱体积减去球的体积即可； （2）分别拿出垂直底面截面和平行底面截面进行分析，结合内切知识，得出，再求出每个小圆占整个空间的圆心角，进而得解. 【解析】（1）由题意可得：，， 所以圆柱内空余部分的体积为． （2）垂直底面截面如图．所示， ，，， 在中，，． 因为，所以， 即，解得． 平行底面截面如图所示，． ，所以， 所以下方空余位置可以放，因为为整数，所以， 所以整个空余空间最多可以放个． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学必修三同步培优讲义【精英班课程】 专题11.4 球 知识点一、球面与球的概念 1、球与球的概念 名称 定义 图形表示 相关概念 球 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球 如图可记作：球O 球心：半圆的圆心 半径：连接球心和球面上任意一点的线段 直径：连接球面上两点并经过球心的线段； 2、地球的经纬度 用平行于赤道平面的平面截地球得到的小圆（如图）的圆周称为纬线，按照南北方向分为南纬和北纬；过球心的大圆的半圆周（如图）称为经线；按照约定，通过英国伦敦格林尼治天文台原址的那条经线称为０度经线； 知识点二、球的性质 1、空间与定点距离等于定长的点集（轨迹）是球面 2、球的对称性。球具有丰富的对称性，所有经过球心的直线都可以作为球的旋转轴，每条旋转轴与球面交点之间的线段都是球的直径； 3、同球（或等球）的半径相等，直径是半径的2倍 4、平面截球。球的截面均是圆面，球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆．球心和截面圆心的连线垂直于截面； 球心到截面的距离与球半径及截面的半径的关系为． 5、不过球心的截得的是球的小圆，其半径和面积都小于球的大圆的半径和面积；经过球心的截面截得的是球的大圆，是最大的截面圆 知识点三、球的表面积与体积 1、球的体积公式：设球的半径为R，则球的体积V＝πR3. 2、球的表面积公式：设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍； 知识点四、球与几何体的接、切问题 定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面体， 这个球是这个多面体的外接球． 定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球． 题型一、球的结构特征辨析 【例1】下列说法正确的是： A.用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆； B.球的直径是球面上任意两点间的连线段； C.用一个平面截一个球，得到的是一个圆； D不过球心的截面截得的圆叫做球的小圆. 【例2】下列命题中，假命题的是 ．（选填序号） A.球的半径是球面上任意一点与球心的连线； B.球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径； C.以半圆的直径所在直线为轴旋转形成的曲面叫做球； D.空间中到定点的距离等于定长的所有的点构成的曲面是球面． 【例3】下列说法正确的是（     ） A．半圆弧以其直径所在的直线为轴旋转所成的曲面叫球； B．球的大圆的半径等于球的半径； C．球面和球是同一个概念； D．经过球面上不同的两点只能做一个最大的圆. 题型二、球的截面的性质及计算 【例4】一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是 A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③ 【例5】球的体积为，用一个平面截球，若球心到截面的距离为，则截面圆的半径为 . 【例6】半径为cm的球被两个平行平面所截，两个截面圆的面积分别为cm2，cm2，则这两个平行平面的距离为（    ）cm. A．2 B．14 C．2或14 D．6或8 【例7】如图，已知正三角形的三个顶点都在表面积为的球面上，球心到平面的距离为2，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是 . 题型三、球面距离 【例8】已知地球半径为，处于同一经度上的甲乙两地，甲地纬度为北纬75°，乙地纬度为北纬15°，则甲乙两地的球面距离是_______ 【例9】上海地处东经至，北纬至之间，地球半径约为6371千米，则上海所辖区域纬线所在两平面的距离为 千米.（结果保留到1千米） 【例10】已知地球半径约为6371千米．上海的位置约为东经121°、北纬31°，大连的位置约为东经121°、北纬39°．若飞机以平均速度720千米/小时飞行，则从上海到大连的最短飞行时间约为 小时．（飞机飞行高度忽略不计，结果精确到0.1小时） 题型四、球的体积 【例11】若一个球的半径为3，则其体积为 . 【例12】球的表面积增大为原来的9倍，那么球的体积增大为原来的（ ） A．9倍 B．18倍 C．27倍 D．81倍 【例13】已知球的体积为，则球的表面积为 ． 【例14】一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，则该球的体积是（   ） A． B． C． D． 【例15】圆柱形容器内盛有高度为6 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，如图．则球的半径是________ cm. 题型五、球的表面积 【例16】一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为(　　) A.π B.π C.π D.π 【例17】两个球的体积之比为8：27，那么这两个球的表面积的比为　 　． 【例18】若平面截球O所得截面圆的半径为3，且球心O到平面的距离为2，则球O的表面积为（    ） A． B． C． D． 【例19】若一个实心球对半分成两半后表面积增加了4π cm2，则原来实心球的表面积为(　　) A．4π cm2 B．8π cm2 C．12π cm2 D．16π cm2 【例20】已知半球的半径为2，如图，截面圆平行于半球的底面的，以该截面圆为底面挖去一个圆柱，则剩下的几何体的表面积的最大值为 .    题型六、直线与球、平面与球的位置关系 【例21】现有一个棱长为3的正方体，如果以这个正方体的一个顶点为球心，以为半径作球面，那么该球面被这个正方体的表面所截得的所有弧长的和为 . 【例22】将一个半径为1的球形石材加工成一个圆柱形摆件，则该圆柱形摆件侧面积的最大值为 . 【例23】若平面α，β截球O所得截面圆的面积分别为，，且球心O到平面α的距离为3，则球心O到平面β的距离为（    ） A． B．2 C． D．4 【例24】如图，已知点P､A､B､C都在球O的面上，平面ABC，，，，点是的外接圆的圆心. (1)若三棱锥的体积，求圆的半径； (2)若点Q是棱BC上的动点，直线PQ与平面ABC所成的角为，且的最大值为，求球O的表面积和体积. 题型七、球与几何体的外接问题 【方法技巧】柱体的外接球的球心 （1）正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点． （2）正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点． （3）直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点 锥体的的外接球的球心 （1）正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算找到． （2）若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心． （3）一般棱锥的外接球的球心是经过棱锥的底面多边形外接圆的圆心且垂直于这个平面的直线上． 【例25】在正方体中，，则该正方体外接球的表面积为 ． 【例26】若一个正四棱柱的底面积为32，高为6，则该正四棱柱的外接球的表面积为 . 【例27】在直三棱柱中，，，，，则直三棱柱的外接球的表面积 . 【例28】已知三棱锥所在顶点都在球的球面上，且平面，若，，则球的表面积为 ． 【例29】正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（　　） A． B． C． D． 【例30】我国古代数学名著《九章算术》，将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．如图所示，在长方体中，已知，．该“阳马”的外接球的表面积 ． 【例31】一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（ ） A． B． C． D． 题型八、球与几何体的相切问题 【例32】若半径为1的球与正三棱柱的各个面均相切，则该正三棱柱外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【例33】在棱长为2正四面体中，正四面体的内切球表面积为（    ） A． B． C． D． 【例34】一个高为的圆锥形容器（容器壁厚度忽略不计）内部能完全容纳的最大球的半径为，若，则这个圆锥的体积与这个最大球的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【例35】若一个正六棱柱既有外接球又有内切球，则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为（    ） A． B． C． D． 题型九、综合提升 【例36】如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知半球的直径是6 cm，圆柱筒长2 cm． (1)这种“浮球”的体积是多少?（结果精确到0.1) (2)要在2500个这样的“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需涂胶约多少克?附：． 【例37】如图，已知点在圆柱的底面圆上，为圆的直径，，，三棱锥的体积为. (1)求圆柱的表面积； (2)求三棱锥外接球的体积. 一、填空题 1．(2024上海高二上阶段练习）用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为________ 2．(2024上海高二上阶段练习）某地球仪上北纬30°纬线圈的长度为12π cm，如图所示，则该地球仪的半径是________cm. 3．(2024上海高二上阶段练习）一个球内有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为和，则球的表面积为___________. 4．(2024上海高二上阶段练习）长、宽、高分别为的长方体的外接球表面积为_______. 5．(2024-25高二上上海普陀期中）已知正方体的内切球的体积为，则该正方体的外接球的表面积为__________ 6．(2024-25高二上上海徐汇期中）已知一个圆柱的底面直径与其外接球半径均为2，则该圆柱的侧面积为___________ 7．(2024-25高二上上海奉贤期中）在直三棱柱中，，，，则此三棱柱外接球的表面积为________. 8．(2024-25高二上上海宝山期中）一个体积为的球在一个正三棱柱的内部，且球面与该正三棱柱的所有面都相切，则此正三棱柱的表面积为_________ 9．(2024-25高二上上海青浦期中）圆锥的底面半径为1，母线长为2，在圆锥体内部放入一个体积最大的球，该球的表面积为 ． 10．(2024-25高二上上海杨浦期中）已知圆锥的底面半径为1，圆锥内能容纳的最大球的表面积为2π，则圆锥的表面积为________ 11．(2024-25高二上格致中学期中）已知圆锥的母线长为6，其外接球表面积为，则该圆锥的表面积为___________ 12．(2024-25高二上建平中学期中）一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个体积为V的球，则该球的体积V的最大值是_________ 二、选择题 13．(2024-25上海实验学校高二上期中）《九章算术》是我国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中非常重要的一部．在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知“堑堵”的所有顶点都在球的球面上，且．若球的表面积为，则这个三棱柱的表面积是（    ） A． B． C． D． 14.(2023-24七宝中学高二上期中）已知球的半径为，三点在球的球面上，球心到平面的距离为，，, 则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 15．(2024-25市北中学高二上期中）如图，桌面上放置着两个底面半径和高都是的几何体，左边是圆柱挖去一个倒立的圆锥（以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点）剩余的部分，右边是半球，用平行于桌面的平面截这两个几何体，截得左边几何体的截面面积为，截得半球的截面面积为，则（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 16．(2024-25高二上上海奉贤期中）如图，设地球的半径为，两地的纬度均为，经度差为，飞机从地沿大圆（经过球心的平面截球面所得的圆弧）飞行到地的弧长为（飞机的飞行高度忽略不计），则（    ） A． B． C． D． 三、解答题 17.(2024-25高二上上海嘉定期中）如图，半球内有一内接正四棱柱（即正四棱柱的一个面在半球的底面圆上，其余顶点在半球面上）. (1)若正四棱柱的各棱长均为（即为正方体），求半球的表面积和体积； (2)若半球的底面圆的半径为10，求正四棱柱表面积的最大值. 18．(2024-25高二上上海崇明期中）已知长方体中， ，若该长方体的各顶点都在球O的表面上.求： (1)异面直线CD与所成角的大小； (2)求球O的表面积. 19.(2024-25高二上上海闵行期中）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为6cm.不计容器的厚度. (1)求球的体积； (2)正方体上底面所在平面将球分割成两部分，体积较小的部分称为“劣球缺”.根据祖暅原理，其体积为一个圆柱的体积减去一个圆台的体积.请根据以下示意图，求出本题中“劣球缺”的体积. 20．(2024-25高二上文来高中期中）如图，边长为4的正方形是圆柱的轴截面，是圆柱底面圆周上一点. (1)求证：； (2)若直线和平面所成的角为，求三棱锥的体积； (3)设圆柱的外接球为球，求直线与球的两个交点间的距离. 21．(2024-25华师二附中高二期中）已知完全封闭且内部中空的圆柱底面的半径为R，母线长为l，如图． (1)当，时，在圆柱内放一个半径为1的实心球，求圆柱内空余部分的体积；（结果用精确值表示） (2)在（1）的条件下，在圆柱内部空余的地方放入和实心球、侧面及相应底面均相切的半径为r的同样大小的小球n个，求n的最大值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $