11.2锥体 讲义- 2025-2026学年高二上学期数学沪教版必修第三册

2025-2026学年高二数学必修三同步培优讲义【精英班课程】 专题10.2 锥体 知识点一：棱锥的定义、相关概念、结构特征与分类 定义 有一个面是三角形或平面多边形，且不在这个面上的棱都有一个公共点，这样的多面体叫做棱锥； 图示及相关概念 记作：棱锥S­ABCD 棱锥的底面：这个三角形或平面多边形； 棱锥的侧面：其余的面； 棱锥的侧棱：不在底面上的棱； 棱锥的顶点：所有侧棱的公共点； 棱锥的高：顶点到底面的距离 分类1 按照底面多边形的边数，棱锥可以分别称为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 分类2 如果棱锥的底面是正多边形，且底面中心与顶点的连线垂直于底面，那么这个棱锥叫做正棱锥； 【说明】依据定义，正棱锥的每个侧面都是全等的等腰三角形，我们把这些等腰三角形底边上的高称为棱锥的斜高； 【备注】 1、棱锥的斜高：就棱锥而言，斜高是指其侧面三角形底边上的高，它也是棱锥顶点到该底边的距离。 棱锥的高、斜高、斜高在底面的射影构成一个非常有用的直角三角形；它不仅实现了空间问题的平面化，而且把高、斜高、斜高射影、斜高与底面所成角、侧面与底面所成角集中在一个直角三角形中。解之，可得斜高； 棱台的斜高：就棱台而言，斜高是指其侧面梯形的高，它也是该梯形上下底边的距离； 2、正棱锥 定义：如果一个棱锥的底面是多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这个棱锥叫做正棱锥； 基本性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形；正棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。 面积与体积：，。 （1）正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形） （2）正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等 知识点二：圆锥的定义、相关概念、结构特征 定义 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥； 图示及相关概念 圆锥的轴：旋转轴所在直线； 圆锥的顶点：点S； 圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面；圆锥的侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面； 圆锥的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于 轴的斜边； 圆锥的高：圆锥的顶点到底面间的距离； 1、锥体：棱锥和圆锥统称为锥体； 2、由圆锥的形成过程可以知道，圆锥有无穷多条母线，且所有的母线都交于圆锥的顶点； 3、圆锥具有的性质 (1)圆锥的底面是一个圆面，圆面的半径就是直角边OA的长， 底面和轴垂直； (2)平行于底面的截面是圆面； (3)通过轴的各个截面是轴截面，各轴截面是全等的等腰三角形，如△SAB； (4)过顶点和底面相交的截面是等腰三角形，如等腰△SAC； (5)母线都过顶点且相等，各母线与轴的夹角相等； 知识点三：锥体的体积 柱体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)； 锥体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)； 【说明】对于柱体、锥体的体积公式的三点认识 1、等底、等高的两个柱体的体积相同； 2、等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍． 3、三棱锥体积公式的推导与应用（割补法与补体法） 知识点四：棱柱、棱锥的表面积 1、几种特殊的多面体 （1）直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱． （2）正棱柱：底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱． （3）正棱锥：一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面中心，那么称这样的棱锥为正棱锥．正棱锥的侧棱长都相等；【依据定义，正棱锥的每个侧面都是全等的等腰三角形，我们把这些等腰三角形底边上的高称为棱锥的斜高】 （4）正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做正棱台． 2、棱柱、棱锥的表面积 棱柱、棱锥是由多个平面图形围成的多面体，它们的表面积就是各个面的面积和； 3、几种简单几何体的侧面展开图与侧面积 几何体 侧面展开图 侧面积公式 直棱柱 S直棱柱侧＝ch c为底面周长；h为高 正棱锥 S正棱锥侧＝ch′ c为底面周长；h′为斜高，即侧面等腰三角形的高 圆柱 S圆柱侧＝2πrl r为底面半径，l为侧面母线长 圆锥 S圆锥侧＝πrl r为底面半径，l为侧面母线长； 题型01：棱锥的定义、相关概念、结构特征 【例1】十棱锥共有（    ） A．10个顶点 B．20个顶点 C．10条棱 D．20条棱 【答案】D 【分析】根据棱锥的分类及性质，即可求出结果. 【详解】因为十棱锥共有个顶点，条棱， 故选：D. 【例2】下列描述中，不是棱锥几何结构特征的是（    ） A．三棱锥有4个面是三角形 B．棱锥的侧面都是三角形 C．棱锥都有两个互相平行的多边形面 D．棱锥的侧棱交于一点. 【答案】C 【分析】根据棱锥的定义和几何结构，逐项判定，即可求解. 【详解】A中，根据棱锥的几何结构，可得三棱锥有4个面是三角形    ，所以A正确； B中，根据棱锥的定义，可得棱锥的侧面都是三角形，所以B正确； C中，根据棱锥的定义，可得棱锥都没有两个互相平行的多边形面，所以C错误； D中，根据棱锥的定义，可得棱锥的侧棱交于一点，所以D正确. 故选：C. 【例3】下列说法中正确的是（    ） ①棱锥的各个侧面都是三角形； ②四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面； ③棱锥的侧棱平行． A．① B．①② C．② D．③ 【答案】B 【分析】根据棱锥的结构特征进行判断即可. 【详解】由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，故①正确； 四面体就是由四个三角形所围成的几何体， 因此以四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故②正确； 棱锥的侧棱交于一点，故③错误． 故选：B. 【例4】下列说法中正确的是（    ） ①棱锥的各个侧面都是三角形； ②四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面； ③棱锥的侧棱平行． A．① B．①② C．② D．③ 【答案】B 【分析】根据棱锥的结构特征进行判断即可. 【详解】由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，故①正确； 四面体就是由四个三角形所围成的几何体， 因此以四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故②正确； 棱锥的侧棱交于一点，故③错误． 故选：B. 题型02：锥体的分类与辨析 【例5】下列说法中正确的是（　　） A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥 B．各侧面都是面积相等的等腰三角形的棱锥为正棱锥 C．各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥为正棱锥 D．底面是正多边形且各侧面是全等三角形的棱锥为正棱锥 【答案】D 【来源】8.1基本立体图形【第一课】“上好三节课，做好三套题“高中数学素养晋级之路 【分析】根据题意，结合正棱锥的定义和几何结构特征，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，所以A错误； 对于B中，各侧面都是面积相等的等腰三角形，但无法保证各个等腰三角形全等且腰长均为侧棱长，所以B错误； 对于C中，各侧面都是全等的等腰三角形，但无法保证等腰三角形的腰长为侧棱长，所以C错误； 对于D中，底面是正多边形，各侧面是全等三角形，则可以保证顶点在底面的射影为底面中心，满足正棱锥定义，所以D正确. 故选：D. 【例6】下列说法正确的是 (填序号). ①底面是正多边形的棱锥为正棱锥；②各侧棱都相等的棱锥为正棱锥；③各侧面都是等腰三角形的棱锥为正棱锥；④各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥；⑤底面是正多边形且各侧面全等的棱锥为正棱锥. 【答案】⑤ 【分析】根据正棱锥的定义结合反例可判断各选项的正误，从而可得正确的选项. 【解析】对于①，如果棱锥的顶点在底面上的射影不是正多边形的中心，则此棱锥不是正棱锥， 故①错误. 对于②，如图（1），棱锥的顶点是圆锥的顶点，而底面多边形是圆锥底面圆的内接非正多边形， 此时棱锥满足各侧棱都相等，但不是正棱锥，故②错误. 对于③④，如图（2），侧面都是等腰三角形，且它们全等，但该三棱锥不是正棱锥， 故③④错误. 对于⑤，因为底面是正多边形且各侧面全等的棱锥为正棱锥， 故顶点底面上的射影为正多边形的中心，此时棱锥为正棱锥，故⑤正确. 故答案为：⑤ 题型03：圆锥的定义、相关概念、结构特征 【例7】一个直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转形成的曲面所围成的几何体是（    ） A．球体 B．圆柱 C．圆台 D．圆锥 【答案】D 【分析】根据圆锥定义可得结论. 【详解】依题意可知一个直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转形成的曲面所围成的几何体是圆锥. 故选：D 【例8】下列说法不正确的是（   ） A．以直角三角形的一条边所在的直线为轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥 B．以等腰三角形底边上的中线所在的直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥 C．经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形 D．圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆的直径 【答案】A 【分析】根据圆锥的定义及性质直接判断. 【详解】A不正确，直角三角形绕斜边所在直线旋转得到的旋转体不是圆锥； B正确，以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥； C正确，因为圆锥的母线长都相等，所以经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形； D正确，如图所示，当圆锥的母线圆锥的高夹角小于时，，即， 所以圆锥侧面的母线长l有可能大于圆锥底面圆半径r的2倍（即直径）； 故选：A． 【例9】下列说法正确的是（    ） A．以直角三角形的一条边为轴旋转一周形成的旋转体是圆锥 B．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 C．将一个等腰梯形绕着较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是一个圆锥 D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 E．圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径大于圆锥的高 【详解】对于A，以直角三角形的斜边为轴旋转一周形成的是两个圆锥的组合体，A错误； B.棱锥侧面全为三角形，有一个面是平行四边形，则此面为底面，所以该棱锥为四棱锥，故B正确； C．将一个等腰梯形绕着较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是一个简单组合体，由两个圆锥和一个圆柱组成，故选项错误，不符合题意； D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，正确，符合题意， 对于E，圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线，大于圆锥的高，D正确. 【例10】下列命题正确的是（    ） A．底面是正方形的棱锥是正四棱锥 B．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 B．棱锥的高线不可能在几何体之外 D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 【详解】底面是正方形但是侧棱不相等的棱锥不是正四棱锥，故A错误； 对于B，有一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形的几何体才是棱锥，故B错误； 斜棱锥的高线有可能在几何体之外，故C错误； 对于D，正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，D正确. 【答案】D 【例11】下列关于棱锥、棱台的说法： ①用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台； ②棱台的侧面一定不会是平行四边形； ③棱锥的侧面只能是三角形； ④由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥； ⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥． 其中正确的序号是 ． 【答案】②③④ 【分析】根据棱锥和棱台的定义、结构特征依次判断命题即可求解. 【详解】①：若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥， 棱锥底面和截面之间的部分不是棱台，故①错误； ②：棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形，故②正确； ③：由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形，故③正确； ④：由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥，故④正确； ⑤：如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥，故⑤错误； 故答案为：②③④. 题型04：锥体的截面问题 【例12】圆锥的截面形状不可能为（    ） A．等腰三角形 B．平行四边形 C．圆 D．椭圆 【答案】B 【分析】根据圆锥的特征逐项判断可得答案. 【详解】对于A，用过轴的平面去截圆锥，得到的截面形状是等腰三角形，符合题意； 对于B，圆锥的侧面是曲面，所以截面形状不可能为平行四边形，不符合题意； 对于C，用垂直于轴的平面去截圆锥，得到的截面形状是圆，符合题意； 对于D，用与轴斜交的平面去截圆锥，得到的截面形状可能是椭圆，符合题意． 故选：B. 【例13】圆锥的母线长为6，轴截面的顶角为120度，过两条母线作截面，则截面面积的最大值为（    ） A． B．18 C． D．9 【答案】B 【分析】作出过圆锥顶点的截面，两条母线的夹角是时，截面三角形的最大面积，结合母线长为6，代入可得截面面积的最大值． 【详解】解：如图，过圆锥顶点认作一截面，交底面圆与， 圆锥轴截面的顶角为， 则时，截面面积取最大值， 过圆锥顶点的截面中，最大截面面积为， 故选：B． 【例14】已知圆锥底面半径为1，高为，则过圆锥母线的截面面积的最大值为 . 【答案】 【分析】依题意求得圆锥的母线长，确定轴截面的顶角，从而求出截面面积的取值的最大值，由此得解． 【详解】依题意，设圆锥的母线长为， 圆锥的底面半径为，高为， ， 设圆锥的轴截面的两母线夹角为，显然， 则过该圆锥的母线作截面，截面上的两母线夹角设为， 故截面的面积为，当且仅当时，等号成立， 故截面的面积的最大值为． 故答案为：. 【例15】已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为4，圆心角为的扇形，过该圆锥顶点作截面，则截面面积的最大值为（   ） A． B．8 C． D．6 【答案】B 【分析】求出圆锥底面圆的半径，计算得圆锥的轴截面三角形顶角为钝角，轴截面面积的最大是为直角三角形时最大可得答案. 【详解】设圆锥的底面半径为，则，解得， 设圆锥的轴截面三角形顶角为，则， 又因为，所以，， 所以过圆锥顶点作轴截面，轴截面面积最大时即顶角为， 所以最大值为. 故选：B.      【例16】已知圆锥的高为，底面积为，平行于圆锥底面的截面面积为，则截面与底面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆锥中平行底面截面的性质求解. 【详解】设截面与底面的距离为，则，解得. 故选：C 题型05：正棱锥及其有关计算 【例17】若一个正四棱锥的底面是边长为4的正方形，高为，则侧棱长为 ． 【答案】4 【分析】根据题意，求出对角线的长度，构造直角三角形，求出侧棱长. 【详解】如图，四棱锥的底面是边长为4的正方形，则， 高 所以侧棱长． 故答案为：4. 【例18】一个正棱锥，其侧棱长是底面边长的，这个正棱锥可能是（   ） A．正三棱锥 B．正四棱锥 C．正五棱锥 D．正六棱锥 【答案】A 【分析】根据正棱锥性质分别求得正三棱锥、正四棱锥的侧棱长至少需是底面边长的倍数，即可得出结论. 【详解】设正三角形的边长为，由正三角形性质可得顶点到三角形中心的距离为， 因此正三棱锥的侧棱长要大于，即侧棱长大于底面边长的倍， 易知，因此可能是正三棱锥，即A正确； 设正方形的边长为，易知正方形对角线的一半为， 因此正四棱锥的侧棱长要大于，即侧棱长大于底面边长的倍， 易知，所以B错误； 以此类推可知正五棱锥、正六棱锥的侧棱长都大于底面边长的倍，即CD不合题意. 故选：A 【例19】已知侧棱长为的正三棱锥（底面为等边三角形）其底面周长为，则棱锥的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由底面周长可求出，进而可求出，再由勾股定理即可求出三棱锥的高，从而得解. 【详解】依题意，取中点，连接，过点作平面交底面于点，如图， 因为三棱锥为正三棱锥， 所以在平面上的射影为的中心，即O在CD上， 因为，底面周长为， 则，，， 所以三棱锥的高. 故选：A. 【例20】已知正四棱锥的底面积为64，侧棱长，则该四棱锥的高为（    ） A． B． C．8 D． 【答案】A 【分析】根据题意画出图象，结合图象利用勾股定理求解. 【详解】如图：正四棱锥的底面积为64，则， 又顶点在在底面上的射影是四边形的中心， 过点作于，连接， 则，又侧棱长为， 所以该四棱锥的高为. 故选：A. 【例21】正四棱锥的侧棱长是底面边长的倍，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意设出底面边长，列出关于的不等式求解即可. 【详解】设正四棱锥的底面边长为，正四棱锥的高为，侧棱长度为， 则，解得， 所以的取值范围是. 故选：D. 题型06：锥体的展开图及最短距离问题 【例22】画出如图所示的几何体的平面展开图（画出其中一种即可）． 【答案】平面展开图见解析 【详解】图①沿着棱，，展开，得平面展开图如图所示． 图②沿着棱展开，得平面展开图如图所示． 【例23】如图，在正四棱锥中，，．从A拉一条细绳绕过侧棱PB，PC，PD回到A点，则细绳的最短长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将侧面PAB，侧面PBC，侧面PCD，侧面PDA展开到一个平面内，求解三角形，即可求解. 【详解】如图，将侧面PAB，侧面PBC，侧面PCD，侧面PDA展开到一个平面内． 由题意可知，， 设，则， 所以，所以． 由余弦定理可得， 则，即细绳的最短长度为． 故选：C. 【例24】如图，在正四棱锥中，是棱上的动点，一只蚂蚁从A点出发，经过E点，爬到C点，则这只蚂蚁爬行的路程的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，将平面和平面展开到同一个平面，利用两点之间线段最短可得AC的长就是蚂蚁爬行的路程的最小值，由余弦定理计算以及二倍角公式可得答案. 【详解】根据题意，如图，将平面和平面展开到同一个平面， 连接，与交于点，则的长就是蚂蚁爬行的路程的最小值， 设，则， 又由得，则， 则有， 故， 则，即这只蚂蚁爬行的路程的最小值是. 故选：C. 【例25】如图，圆锥的底面直径，母线长，点在母线上，且，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点到达点，则这只蚂蚁爬行的最短距离为 ．    【答案】 【分析】蚂蚁爬行距离最短，即将圆锥侧面展开后A到C的直线距离，根据已知条件、勾股定理可求出最短距离. 【详解】如图，圆锥的侧面展开图为半径为3的扇形，弧长， 则， 则. 故答案为：.    【例26】圆锥顶点，底面半径为1，母线的中点为，一只蚂蚁从底面圆周上的点绕圆锥侧面一周到达的最短路线中，其中下坡路的长是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】将圆锥侧面沿母线剪开并展开成扇形，最短路线即为扇形中的线段，过作的垂线，垂足为，求出的长即可. 【详解】将圆锥侧面沿母线剪开并展开成扇形，    则该扇形半径，弧长为，圆心角， 最短路线即为扇形中的线段，, 过作的垂线，垂足为，当蚂蚁从点爬行到点过程中，它与点的距离越来越小， 于是为上坡路段，当蚂蚁从点爬行到点的过程中，它与点的距离越来越大， 于是为下坡路段，下坡路段长. 故选：B 【例27】《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体为鳖臑. 如图，在鳖臑中，平面，，，，分别为棱上一点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】结合垂直关系可得侧面的展开图，由此可确定当，时，取得最小值；利用长度关系和两角和差公式可求得，进而得到最小值. 【详解】平面，平面，，， ，，平面，平面， 又平面，； 将侧面沿展开，得到展开图如下图所示， 则当，时，取得最小值； ，，，， ，， ， . 故答案为：. 【例28】如图正三棱锥底面边长为，侧棱长为，，分别为，上的动点，则截面周长的最小值 . 【答案】 【分析】作出正三棱锥侧面展开图，可知所求周长最小值即为，根据平行关系、相似可推导得到的长，加和可得结果. 【详解】正三棱锥侧面展开图如下图所示： 若截面周长最小，则共线，即周长最小值为； 由对称性可知：，，， 同理可得：， ，，， ，，， 又，，， . 故答案为：. 题型07：锥体的体积 【例29】如图所示，在正方体中，点为棱上一动点，四棱锥的体积占正方体体积的（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】分别计算几何体的体积即可． 【详解】不妨设正方体的棱长为1， 则正方体的体积为：， 四棱锥的体积为：， 则四棱锥的体积占正方体体积的， 故选：B 【例30】如图，是体积为1的棱柱，则四棱锥的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】棱锥与棱柱同底同高，由棱柱的体积和棱锥的体积，可求出四棱锥的体积． 【详解】因为棱锥与棱柱同底同高， 棱柱体积为1，则棱锥的体积， 故四棱锥的体积 故选：C. 【例31】在棱长为1的正方体中，E，F分别为AB，的中点，则三棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长到K，使，易得，再利用体积转化即可求解. 【详解】如图，延长到K，使，连接KE，KD，KF， 设中点为，易得，又，为中点， 所以，即， 平面,不在平面内，所以平面, 所以， 因为，所以． 故答案为：A. 【例32】已知在四面体中，，直线与的距离为2，夹角为，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据题意把四面体补成三棱柱，把四面体体积转化为求三棱柱体积即可求解. 【详解】由题意过点作∥，且，连接，以为底面，为侧棱作棱柱， 因为∥，平面，平面，所以∥平面， 所以点到平面的距离即为直线与的距离为2， 因为，其， 所以，所以， 故选：B． 【例33】已知正三棱柱的棱长均为为的中点，则四面体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据棱锥及棱柱的体积公式计算求解. 【详解】如图所示，几何体为正三棱柱，且所有棱长均为， 底面ABC为正三角形，侧面为正方形， 则 ． 故选:A． 题型08：锥体的表面积 【例34】若正三棱锥的所有棱长均为，则该三棱锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】正三棱锥的各个面都是边长为的等边三角形，结合三角形面积公式即可求解. 【详解】正三棱锥的所有棱长均为， 则正三棱锥的各个面都是边长为的等边三角形， 等边三角形的高为， 则该三棱锥的表面积为.    故选：. 【例35】若一个圆锥的轴截面是一个腰长为，底边上的高为1的等腰三角形，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得圆锥的母线长和底面半径，从而求得圆锥的侧面积. 【详解】由题意可得该圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形，腰长为，底边长为2， 所以圆锥的母线长，底面圆半径， 所以该圆锥的侧面积为. 故选：B 【例36】侧面积为的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面半径为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】根据圆锥侧面积公式及圆的面积求解. 【详解】设底面半径为，母线长为， 则，解得， 又，解得， 故选：D 【例37】一个圆锥的底面积为4π，且该圆锥的母线与底面所成的角的大小为，则该圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【分析】根据题意可得和，即可由圆锥的侧面积公式即可求解. 【详解】设圆锥的底面圆半径和母线分别为， 则，故， 又圆锥的母线与底面所成的角的大小为，故, 所以， 故侧面积为， 故答案为： 【例38】侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a，则此棱锥的表面积是（    ） A．； B．； C．； D．都不对． 【答案】A 【分析】由已知，利用勾股定理先求出侧棱长，再利用三角形的面积公式，即可求出表面积. 【详解】 如图，由已知，两两垂直，且， 为等边三角形，， 在中， 所以， 所以此棱锥的表面积是 . 故选：A. 【例39】随着畜牧业经济的发展和牧民生活的改善，穹庐或毡帐逐渐被蒙古包代替．一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合体.如图，已知该圆锥的高为3m，圆柱的高为4m，底面直径为8m，该蒙古包的体积是 . 【答案】 【分析】由题知该蒙古包由圆柱和圆锥构成，利用圆柱和圆锥体积公式计算即可. 【详解】根据题意该蒙古包由圆柱和圆锥构成， 则该几何体体积为. 故答案为：. 【例40】已知某圆锥的轴截面是直角边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥的体积为 . 【答案】 【分析】根据题意，利用圆锥的几何结构特征，求得圆的底面半径和高，结合体积公式，即可求解. 【详解】由圆锥的轴截面是直角边长为2的等腰直角三角形，可得斜边长为，斜边上的高为， 所以圆锥的底面半径为，高为，所以所求体积. 故答案为：. 【例41】正四棱锥S﹣ABCD的底面边长为4，高为1，求： (1)求棱锥的侧棱长和斜高； (2)求棱锥的表面积. 【答案】(1)侧棱长为3，斜高为 (2) 【分析】（1）设SO为正四棱锥S﹣ABCD的高，则SO＝1，作OM⊥BC，则M为BC 中点，连接OM，OB，则SO⊥OB，SO⊥OM，由此能求出棱锥的侧棱长和斜高. （2）棱锥的表面积，由此能求出结果. 【详解】（1）设SO为正四棱锥S﹣ABCD的高，则SO＝1， 作OM⊥BC于M，则M为BC 中点， 连接OM，OB，则SO⊥OB，SO⊥OM， BC＝4，BM＝2，则OM＝2，OB＝， 在Rt△SOB中，， 在Rt△SOM中，， ∴棱锥的侧棱长为3，斜高为. （2）棱锥的表面积： . 【例42】如图，在正四棱锥中，，. (1)求四棱锥的体积； (2)求四棱锥的表面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，先求四棱锥的高，结合锥体体积公式，即可求解； （2）根据题意，结合棱锥表面积求法，即可求解. 【详解】（1）连接，，记，连接， 如图所示.棱锥为正四棱锥， 所以平面， 又平面， 所以， 因为,即, 所以， 所以四棱锥的体积 . （2）取的中点，连接，，如图所示. 因为平面， 平面， 所以，且, 所以， 所以四棱锥的表面积. 题型09：锥体体积的比值问题、最值、取值范围问题 【例43】设为正四棱台下底面的中心，且．记四棱锥和的体积分别为，则 ． 【答案】 【分析】由棱锥的体积公式求出四棱锥的体积，设正四棱台的体积为，由正四棱台的对称性可得四棱锥的体积，即可求出结果. 【解析】设四棱台上、下底面的边长分别为，高为， 则四棱锥的体积， 四棱台的体积． 由对称性可知四个侧面与点构成的四个四棱锥大小和形状完全相同， 所以四棱锥的体积．所以． 故答案为：. 【例44】四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，E为PA的中点，所在平面截四棱锥得到两个几何体，其中较小的几何体与较大的几何体的体积比为 ． 【答案】/0.6 【分析】作出平面截四棱锥所得截面，连接，借助比例法求出下部几何体的体积即可得解. 【解析】由四棱锥的底面ABCD为平行四边形，得，而平面， 平面，则平面，令平面平面，则， 又E为PA的中点，则与交点于，且是的中点，连接， 设四棱锥的体积为，则下面部分几何体的体积为， 显然，， 则，于是上面部分几何体的体积为， 所以较小的几何体与较大的几何体的体积比为. 故答案为： 【例45】已知棱长为1的正方体内有一个动点M，满足，且，则四棱锥体积的最小值为 . 【答案】 【分析】利用正方体的空间垂直关系去证明平面内的点都满足，再去证明动点M在以为圆心，以为半径的圆上，从而利用点M在圆上的性质去解决最值问题. 【解析】解：如图所示，设， 由正方体性质可知平面， 由于平面，，又因为线段的中点， 所以， 即点在平面内， 又因为，所以与点在以点为球心，1为半径的球面上， 又因为平面， 到平面的距离为的一半，由正方体的边长为1，则， 又，， 在平面内，且以H为圆心，为半径的半圆弧上， 到平面的距离的最小值为， 四棱锥体积的最小值为 故答案为： 【点睛】关键点点睛：借助空间关系可知到线段两端点距离相等的点M在线段的中垂面上，又由到定点距离为1的点M又在球面上，从而得到点M的轨迹是中垂面截平面的小圆. 【例46】已知棱长为1的正方体内有一个动点M，满足，且，则四棱锥体积的最小值为 . 【答案】 【分析】利用正方体的空间垂直关系去证明平面内的点都满足，再去证明动点M在以为圆心，以为半径的圆上，从而利用点M在圆上的性质去解决最值问题. 【解析】解：如图所示，设， 由正方体性质可知平面， 由于平面，，又因为线段的中点， 所以， 即点在平面内， 又因为，所以与点在以点为球心，1为半径的球面上， 又因为平面， 到平面的距离为的一半，由正方体的边长为1，则， 又，， 在平面内，且以H为圆心，为半径的半圆弧上， 到平面的距离的最小值为， 四棱锥体积的最小值为 故答案为： 【点睛】关键点点睛：借助空间关系可知到线段两端点距离相等的点M在线段的中垂面上，又由到定点距离为1的点M又在球面上，从而得到点M的轨迹是中垂面截平面的小圆. 【例47】如图，是圆的直径，点C是圆上异于的点，垂直于圆所在的平面，且.则三棱锥体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据勾股定理和基本不等式的性质求出的最大值，然后利用三棱锥体积公式求出体积的最大值. 【详解】依题意，，， 则，当且仅当时取等号， 即当时，. 因平面，则， 所以三棱锥体积的最大值是. 故选：D. 【例48】已知圆锥的母线长为，过圆锥的顶点作圆锥的截面，若截面面积的最大值为，则该圆锥底面半径的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定截面的顶角和母线的夹角，再利用三角形面积公式得到，结合轴截面的性质得到，进而建立不等式，求解的取值范围即可. 【详解】如图，设轴截面顶角为，两个母线的夹角为， 底面半径为，且， 由三角形面积公式得截面面积为， 若截面面积的最大值为，则，解得， 则，即，由轴截面的性质可得， 即，解得，故C正确. 故选：C 题型10：综合提升 【例49】用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形．如图，圆锥底面圆的半径是4，轴截面的面积是12． (1)求圆锥的母线长； (2)过圆锥的两条母线，作一个截面，求截面面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据面积关系可得，进而可得母线长； （2）取的中点，由题意可得，利用基本不等式求面积最大值. 【详解】（1）因为轴截面的面积为，解得， 所以圆锥的母线长为. （2）取的中点，连接，则， 可得，则， 当且仅当，等号成立，此时， 所以截面面积的最大值. 【例50】如图，正三棱柱中，，点是的中点. (1)求证：平面； (2)若三棱锥的体积为，求这个三棱柱的侧棱长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，交于点N，连接，易得，由线面平行的判定定理得证； （2）由三棱锥体积公式求解. 【详解】（1）连接，交于点N，连接， 因为四边形为矩形，所以为的中点， 又点是的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）因为为等边三角形，是的中点，所以， 又，故， 因为平面， 设，则， 所以，即，解得， 故这个三棱柱的侧棱长为3. 【例51】如图，四棱锥的底面是正方形，平面． (1)求证：平面； (2)若，直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）要证明平面，需证明垂直于平面内的两条相交直线； （2）要求四棱锥的体积，根据四棱锥体积公式，（为底面积，为高），需要先求出底面正方形的面积和四棱锥的高. 【详解】（1）因为四边形是正方形，所以， 因为平面，平面，所以, 因为，且平面, 所以平面； （2）因为平面，所以为直线与平面所成的角， 因为是正方形，且， 所以，所以， 因为与平面所成的角为， 所以，解得：， 所以四棱锥的体积为. 一、填空题 1．（24-25高二上·上海普陀期中）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为 ． 【答案】 【分析】根据题意，由圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长列出方程，即可求解. 【解析】设圆锥的母线长为， 由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则， 解得， 故答案为：. 2．（24-25高二上模范中学期中）已知圆锥的底面直径为，母线长为2，则此圆锥的体积是 . 【答案】 【分析】求出圆锥的高，再利用圆锥的体积公式即可求出答案. 【解析】记圆锥的底面半径为，母线为，高为， 则，， 故答案为：. 3．（24-25高二上复兴高级中学期中）在三棱锥中，平面，则三棱锥的表面积为 ． 【答案】/ 【分析】由平面，可证得平面，从而，可知三棱锥的四个面均为直角三角形，从而可求表面积． 【解析】 因为平面，平面， 所以，，, 又，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，，所以， 因为，，所以， 所以三棱锥的表面积为． 故答案为：. 4．（24-25高二上·上海宝山期中）正四棱锥每两条相邻侧棱所成的角都是，侧棱长为a，则它的体积为 ． 【答案】 【分析】利用已知条件求出四棱锥的高，然后求解几何体的体积． 【解析】解：正四棱锥每两条相邻侧棱所成的角都是，侧棱长为，底面边长为， 可得底面正方形的对角线的长度为：， 所以正四棱锥的高为：， 四棱锥的体积：． 故答案为：． 5．（23-24高二上·上海黄浦·阶段练习）设四面体中，有2条棱长为，其余4条棱长为1．则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分别讨论两边在一个三角形内和两边为四面体对棱这两种情况，结合等腰三角形性质和三角形两边之和大于第三边的性质求解的范围. 【详解】第一种情况，两边在一个三角形内时：    假设时，E为D在底面射影， 由题意得，假设中点为，连结，假设 则，即， 所以，则且， 即，故，则， 综上，； 第二种情况，两边不在一个三角形内时： 假设， 发现当等腰三角形两腰的夹角接近时，在减小但总是存在的，故， 假设，取中点，连接， 则，由两边之和大于第三边可知：，解得：，故.    综上，. 故答案为：. 6．（23-24高二上·上海徐汇·期中）把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比为1:4，母线（原圆锥母线在圆台中的部分）长为12，则原圆锥的母线长为（    ） A．16 B．18 C．20 D．22 【答案】A 【分析】 根据圆台的几何特征利用三角形相似即可求得结果. 【详解】由题意可得，几何体如下图所示： 取轴截面可知，圆台的上、下底面半径的比为，且， 设圆锥的母线长为，根据相似比可得，解得， 即原圆锥的母线长为. 故选：A. 7．（23-24高二上·上海长宁·期中）圆锥的母线长为2，母线所在直线与圆锥的轴所成角为，则该圆锥的高为 ． 【答案】 【分析】直接根据圆锥的图形特点计算即可. 【详解】由已知得该圆锥的高为. 故答案为：. 8．（24-25高二上·上海松江期中）已知圆锥的底面周长为，侧面积为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（   ） A．2 B．48 C．50 D．96 【答案】C 【分析】由题可求圆锥底面半径和母线长，先求当截面过中心轴时，顶角为钝角，然后得出截面面积的最大值即可. 【详解】设圆锥底面半径为，母线长为， 则， 当截面过中心轴时，所以， 所以， 由三角形面积公式得当时，截面面积最大，最大为. 故选：C. 9．（24-25高二上·上海徐汇期中）已知圆锥的母线长为4，过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8，则该圆锥底面半径的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据题意作出圆锥的轴截面，再分析其轴截面三角形的顶角是否大于等于，结合三角函数即可得解. 【详解】 如图，是圆锥的轴截面，设圆锥的底面圆半径为. 若,所得截面面积最大值为,则,故不符合题意； 若，此时所得截面面积得最大值为，符合题意， 此时有，解得，又，则. 故选：D. 10．（23-24高二上·四川内江·期中）如图，在三棱锥中，，，过点作截面，则周长的最小值为 .    【答案】 【分析】根据图形推出截面周长最小值的情形，确定展开图的有关的角，利用勾股定理求出距离即可. 【详解】如图，    沿着侧棱把正三棱锥展开在同一个平面内，原来的点被分到两处， 则线段的长度即为周长的最小值. 在中，，， 故，所以. 故答案为：. 11．（24-25高二上·上海青浦期中）如图，在正四棱锥中，，，一小虫从顶点A出发，沿该棱锥的侧面爬一圈回到点A，则小虫走过的最短路线的长为 ． 【答案】2 【分析】画出正四棱锥的侧面展开图，得到A，M，N，E共线时，小虫走过的路线最短，最长最短距离. 【详解】画出正四棱锥的侧面展开图，如图所示． 当A，M，N，E共线时，小虫走过的路线最短，最短为的长． 因为，，所以， 则是边长为2的等边三角形，则，即小虫走过的最短路线的长为2． 故答案为：2. 12．（24-25高二上·上海嘉定期中）在三棱锥中，平面，，，，点F为棱AV上一点，过点F作三棱锥的截面，使截面平行于直线VB和AC，当该截面面积取得最大值时，_______ 【分析】通过作平行线作出题中的截面，并结合线面平行以及线面垂直说明其为矩形，利用三角形相似表示出矩形的两边长，并求得其面积表达式，结合二次函数性质确定截面面积取得最大值时参数的值，解直角三角形即可求得答案. 【详解】根据题意，在平面VAC内，过点F作，交VC于点E； 在平面VBC内，过点E作，交BC于点Q； 在平面VAB内，过点F作，交AB于点D，连接DQ，如图所示， 因为，则∽，设其相似比为k，即， 则； 又因为，，， 由余弦定理得，，则，即． 又平面，平面，所以，． 又，则，． 因为，则∽，则， 因为，所以，即, 同理可得，即， 因为，，则， 故四边形为平行四边形；而平面，平面， 故平面，同理平面， 即四边形为截面图形； 又平面，平面，则， 又，所以． 故平行四边形为矩形，则， 所以当时，有最大值，则， 在中，, 二、选择题 13．（22-23高二上·上海浦东新·期中）若一个正棱锥的各棱长和底面边长均相等，则该棱锥一定不是（    ） A．正三棱锥 B．正四棱锥 C．正五棱锥 D．正六棱锥 【答案】D 【分析】对于选项A，考虑正四面体.对于B，C，D选项，画出满足部分条件的几何体，通过证明来说明是否存在满足题意的图形. 【详解】对于选项A，正四面体为满足条件的正三棱锥，故排除A； 对于选项B，考虑如图所示的正四棱锥. 满足， 为底面正方形中心，EO平面ABCD. 因底面为正方形，故， 则，，，两两全等，得. 故存在满足条件的正四棱锥，排除B； 对于选项C，考虑如图所示的五棱锥. 满足， O为底面正五边形中心，FO平面ABCDE. 因底面为正五边形，故， 则，，，，两两全等.得. 故存在满足条件的正五棱锥，排除C； 对于选项D，考虑如图所示的正六棱锥. 满足， O为底面正六边形中心.GO平面ABCDEF. 但注意到OA=AB，，则有. 这与所设满足的条件矛盾，故不存在满足条件的正六棱锥，故D正确. 故选：D 14.（23-24高二上·上海浦东新·期中）有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 分类讨论底面三角形的形状，再根据三角形三边关系列出不等式，求解即可． 【详解】根据两根长都为的直铁条的相对位置，将底面三角形的三边长分为两种情况： ①当底面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为，即两根长都为的直铁条相邻， 取中点为，连接，如图所示， 由正三角形可知，， 在中，由于，即， 解得；    ②当底面三角形边长分别为，三条侧棱长为，即两根长都为的直铁条不相邻， 取中点为，连接 ，如图所示，    由为等腰三角形，得， 在中，，即，解得； 综上所述，的取值范围是， 故选：A． 15．（22-23高二上·上海浦东新·期中）三棱锥中，E，F分别为的中点，则平面将该三棱锥所分的两部分几何体的体积之比为（    ） A．1∶3 B．1∶4 C．2∶3 D．1∶2 【答案】A 【分析】作出简图，平面AEF将三棱锥分为三棱锥和四棱锥，由A到三棱锥和四棱锥的距离相等，所以体积比即，由相似三角形求出面积比. 【详解】如图， 因为E，F分别为PB，PC的中点，所以，且， 所以，设点A到平面PBC的距离为d， 则. 故选：A. 16．（24-25高二上·上海闵行期中）“堑堵”“阳马”和“鳖臑”是我国古代对一些特殊几何体的称谓.《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”.一个长方体沿对角面斜解（图1），得到一模一样的两个堑堵（图2），再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解（图2），得一个四棱锥称为阳马（图3），一个三棱锥称为鳖臑（图4）.若长方体的体积为V，由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为，，，则下列选项不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据棱锥，棱柱的体积计算公式，结合题意求解即可. 【详解】设长方体的长宽高分别为，， 则，，， 故，，，，则B错误，ACD正确； 故选：B. 三、解答题 17．某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，已知圆柱的底面周长为，高为，圆锥的母线长为．    (1)求这种“笼具”的体积（结果精确到）； (2)现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？（结果精确到1元） 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）由题意求出圆柱的底面半径和圆锥的高，再根据圆柱和圆锥的体积公式，即可计算“笼具”的体积； （2）根据圆柱的侧面积，底面积和圆锥的侧面积公式直接计算即可． 【详解】（1）设圆柱的底面半径为，高为，圆锥的母线长为，高为， 则，解得， 则， 所以“笼具”的体积． （2）圆柱的侧面积， 圆柱的底面积， 圆锥的侧面积为， 所以“笼具”的表面积为， 所以制造50个这样的“笼具”总造价为：元． 18．用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形.如图，圆锥底面圆的半径是4，轴截面的面积是4. (1)求圆锥的母线长； (2)过圆锥的两条母线，作一个截面，求截面面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助轴截面面积可得其高，即可得其母线长； （2）借助面积公式可得夹角为时，截面面积取最大值. 【详解】（1）轴截面的面积为，所以， 所以圆锥的母线长； （2）在轴截面中，，， ，， 的面积， 当时，截面面积有最大值，最大值为. 18．（22-23高一下·重庆万州·阶段练习）如图，已知四棱锥的底面是面积为的正方形，侧面是全等的等腰三角形，一条侧棱长为.    (1)计算四棱锥的高； (2)计算四棱锥侧面三角形底边上的高. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正四棱锥的知识求得几何体的高. （2）根据等腰三角形的知识求得侧面三角形底边上的高. 【详解】（1）正方形的边长为， 由于四棱锥的侧面是全等的等腰三角形， 所以四棱锥是正四棱锥，设，连接， 则平面，由于平面， 所以，由于， 所以, 即四棱锥的高为. （2）由于正四棱锥的侧面是全等的等腰三角形， 侧面三角形底边上的高为.    19．（2023秋·高二课时练习）如图，正方体的棱长为a，连接，，得到一个三棱锥；求：      (1)三棱锥的表面积与正方体表面积的比值； (2)三棱锥的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正三棱锥及正方体的表面积公式计算即可； （2）利用割补法求体积即可. 【详解】（1）∵是正方体， ∴六个面都是正方形， ∴，即三棱锥A′­BC′D为正三棱锥， ∴， ∴. （2）显然，三棱锥是完全一样的， ∴ ＝.    20．（2022春·高二校考单元测试）在四棱锥中，底面是正方形，AC与BD交于点O，底面，F为BE的中点.    (1)求证：平面ACF； (2)求证：； (3)若，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用线线平行证线面平行即可； （2）利用线线垂直证线面垂直再证线线垂直即可； （3）根据三棱锥的体积公式计算. 【详解】（1）如图所示，连接. 由四边形是正方形可知，点O为的中点， 又F为的中点，∴， ∵平面，平面， ∴平面. （2）由底面，底面， ∴， ∵四边形是正方形，∴， 又，平面， ∴平面. 又平面，∴. （3）取中点，连接，在四棱锥中，底面，    ∵是的中位线，∴， ∴底面. ∵， 则，. ∴. 21．（2022秋·上海浦东新·高二上海市建平中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面，，． (1)求证：平面平面； (2)试在棱上确定一点，使截面把该几何体分成的两部分与的体积比为； (3)在(2)的条件下，求二面角的余弦值． 【答案】(1)见解析；(2)为的中点；(3). 【分析】(1)证明CD⊥平面PAD即可； (2)过E作EF⊥AB于F，则EF为E－ABC的高，分别求出P－ABCD和E－ABC的体积，再求出部分体积，由体积比即可得EF与PA的关系，即可知E点的位置； (3)连接、，与交于点，连接，二面角的平面角与∠EOF互余，故解三角形EOF即可. 【详解】(1)∵，∴． ∵平面，平面， ∴． ∵，∴平面． ∵平面，∴平面平面． (2)作于点， ∵在中，，∴， ∴平面． 设， 则． ． 由，得，解得， 即，故为的中点； (3)连接、，与交于点，连接， 由(2)可知平面，∴． 易知为正方形，∴． ∵，∴平面，故． ∴是二面角的平面角． 由平面，可知平面平面． ∴二面角与平面角互余． 设二面角的平面角为，则， 在中，， ， ∴二面角的余弦值为． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学必修三同步培优讲义【精英班课程】 专题10.2 锥体 知识点一：棱锥的定义、相关概念、结构特征与分类 定义 有一个面是三角形或平面多边形，且不在这个面上的棱都有一个公共点，这样的多面体叫做棱锥； 图示及相关概念 记作：棱锥S­ABCD 棱锥的底面：这个三角形或平面多边形； 棱锥的侧面：其余的面； 棱锥的侧棱：不在底面上的棱； 棱锥的顶点：所有侧棱的公共点； 棱锥的高：顶点到底面的距离 分类1 按照底面多边形的边数，棱锥可以分别称为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 分类2 如果棱锥的底面是正多边形，且底面中心与顶点的连线垂直于底面，那么这个棱锥叫做正棱锥； 【说明】依据定义，正棱锥的每个侧面都是全等的等腰三角形，我们把这些等腰三角形底边上的高称为棱锥的斜高； 【备注】 1、棱锥的斜高：就棱锥而言，斜高是指其侧面三角形底边上的高，它也是棱锥顶点到该底边的距离。 棱锥的高、斜高、斜高在底面的射影构成一个非常有用的直角三角形；它不仅实现了空间问题的平面化，而且把高、斜高、斜高射影、斜高与底面所成角、侧面与底面所成角集中在一个直角三角形中。解之，可得斜高； 棱台的斜高：就棱台而言，斜高是指其侧面梯形的高，它也是该梯形上下底边的距离； 2、正棱锥 定义：如果一个棱锥的底面是多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这个棱锥叫做正棱锥； 基本性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形；正棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。 面积与体积：，。 （1）正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形） （2）正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等 知识点二：圆锥的定义、相关概念、结构特征 定义 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥； 图示及相关概念 圆锥的轴：旋转轴所在直线； 圆锥的顶点：点S； 圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面；圆锥的侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面； 圆锥的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于 轴的斜边； 圆锥的高：圆锥的顶点到底面间的距离； 1、锥体：棱锥和圆锥统称为锥体； 2、由圆锥的形成过程可以知道，圆锥有无穷多条母线，且所有的母线都交于圆锥的顶点； 3、圆锥具有的性质 (1)圆锥的底面是一个圆面，圆面的半径就是直角边OA的长， 底面和轴垂直； (2)平行于底面的截面是圆面； (3)通过轴的各个截面是轴截面，各轴截面是全等的等腰三角形，如△SAB； (4)过顶点和底面相交的截面是等腰三角形，如等腰△SAC； (5)母线都过顶点且相等，各母线与轴的夹角相等； 知识点三：锥体的体积 柱体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)； 锥体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)； 【说明】对于柱体、锥体的体积公式的三点认识 1、等底、等高的两个柱体的体积相同； 2、等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍． 3、三棱锥体积公式的推导与应用（割补法与补体法） 知识点四：棱柱、棱锥的表面积 1、几种特殊的多面体 （1）直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱． （2）正棱柱：底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱． （3）正棱锥：一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面中心，那么称这样的棱锥为正棱锥．正棱锥的侧棱长都相等；【依据定义，正棱锥的每个侧面都是全等的等腰三角形，我们把这些等腰三角形底边上的高称为棱锥的斜高】 （4）正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做正棱台． 2、棱柱、棱锥的表面积 棱柱、棱锥是由多个平面图形围成的多面体，它们的表面积就是各个面的面积和； 3、几种简单几何体的侧面展开图与侧面积 几何体 侧面展开图 侧面积公式 直棱柱 S直棱柱侧＝ch c为底面周长；h为高 正棱锥 S正棱锥侧＝ch′ c为底面周长；h′为斜高，即侧面等腰三角形的高 圆柱 S圆柱侧＝2πrl r为底面半径，l为侧面母线长 圆锥 S圆锥侧＝πrl r为底面半径，l为侧面母线长； 题型01：棱锥的定义、相关概念、结构特征 【例1】十棱锥共有（    ） A．10个顶点 B．20个顶点 C．10条棱 D．20条棱 【例2】下列描述中，不是棱锥几何结构特征的是（    ） A．三棱锥有4个面是三角形 B．棱锥的侧面都是三角形 C．棱锥都有两个互相平行的多边形面 D．棱锥的侧棱交于一点. 【例3】下列说法中正确的是（    ） ①棱锥的各个侧面都是三角形； ②四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面； ③棱锥的侧棱平行． A．① B．①② C．② D．③ 【例4】下列说法中正确的是（    ） ①棱锥的各个侧面都是三角形； ②四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面； ③棱锥的侧棱平行． A．① B．①② C．② D．③ 题型02：锥体的分类与辨析 【例5】下列说法中正确的是（　　） A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥 B．各侧面都是面积相等的等腰三角形的棱锥为正棱锥 C．各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥为正棱锥 D．底面是正多边形且各侧面是全等三角形的棱锥为正棱锥 【例6】下列说法正确的是 (填序号). ①底面是正多边形的棱锥为正棱锥；②各侧棱都相等的棱锥为正棱锥；③各侧面都是等腰三角形的棱锥为正棱锥；④各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥；⑤底面是正多边形且各侧面全等的棱锥为正棱锥. 题型03：圆锥的定义、相关概念、结构特征 【例7】一个直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转形成的曲面所围成的几何体是（    ） A．球体 B．圆柱 C．圆台 D．圆锥 【例8】下列说法不正确的是（   ） A．以直角三角形的一条边所在的直线为轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥 B．以等腰三角形底边上的中线所在的直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥 C．经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形 D．圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆的直径 【例9】下列说法正确的是（    ） A．以直角三角形的一条边为轴旋转一周形成的旋转体是圆锥 B．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 C．将一个等腰梯形绕着较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是一个圆锥 D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 E．圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径大于圆锥的高 【例10】下列命题正确的是（    ） A．底面是正方形的棱锥是正四棱锥 B．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 B．棱锥的高线不可能在几何体之外 D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 【例11】下列关于棱锥、棱台的说法： ①用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台； ②棱台的侧面一定不会是平行四边形； ③棱锥的侧面只能是三角形； ④由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥； ⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥． 其中正确的序号是 ． 题型04：锥体的截面问题 【例12】圆锥的截面形状不可能为（    ） A．等腰三角形 B．平行四边形 C．圆 D．椭圆 【例13】圆锥的母线长为6，轴截面的顶角为120度，过两条母线作截面，则截面面积的最大值为（    ） A． B．18 C． D．9 【例14】已知圆锥底面半径为1，高为，则过圆锥母线的截面面积的最大值为 . 【例15】已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为4，圆心角为的扇形，过该圆锥顶点作截面，则截面面积的最大值为（   ） A． B．8 C． D．6 【例16】已知圆锥的高为，底面积为，平行于圆锥底面的截面面积为，则截面与底面的距离为（   ） A． B． C． D． 题型05：正棱锥及其有关计算 【例17】若一个正四棱锥的底面是边长为4的正方形，高为，则侧棱长为 ． 【例18】一个正棱锥，其侧棱长是底面边长的，这个正棱锥可能是（   ） A．正三棱锥 B．正四棱锥 C．正五棱锥 D．正六棱锥 【例19】已知侧棱长为的正三棱锥（底面为等边三角形）其底面周长为，则棱锥的高为（    ） A． B． C． D． 【例20】已知正四棱锥的底面积为64，侧棱长，则该四棱锥的高为（    ） A． B． C．8 D． 【例21】正四棱锥的侧棱长是底面边长的倍，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型06：锥体的展开图及最短距离问题 【例22】画出如图所示的几何体的平面展开图（画出其中一种即可）． 【例23】如图，在正四棱锥中，，．从A拉一条细绳绕过侧棱PB，PC，PD回到A点，则细绳的最短长度为（   ） A． B． C． D． 【例24】如图，在正四棱锥中，是棱上的动点，一只蚂蚁从A点出发，经过E点，爬到C点，则这只蚂蚁爬行的路程的最小值是（    ） A． B． C． D． 【例25】如图，圆锥的底面直径，母线长，点在母线上，且，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点到达点，则这只蚂蚁爬行的最短距离为 ．    【例26】圆锥顶点，底面半径为1，母线的中点为，一只蚂蚁从底面圆周上的点绕圆锥侧面一周到达的最短路线中，其中下坡路的长是（    ） A．0 B． C． D． 【例27】《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体为鳖臑. 如图，在鳖臑中，平面，，，，分别为棱上一点，则的最小值为 . 【例28】如图正三棱锥底面边长为，侧棱长为，，分别为，上的动点，则截面周长的最小值 . 题型07：锥体的体积 【例29】如图所示，在正方体中，点为棱上一动点，四棱锥的体积占正方体体积的（    ） A． B． C． D．不确定 【例30】如图，是体积为1的棱柱，则四棱锥的体积是（    ） A． B． C． D． 【例31】在棱长为1的正方体中，E，F分别为AB，的中点，则三棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【例32】已知在四面体中，，直线与的距离为2，夹角为，则（    ） A． B．1 C． D．2 【例33】已知正三棱柱的棱长均为为的中点，则四面体的体积为（    ） A． B． C． D． 题型08：锥体的表面积 【例34】若正三棱锥的所有棱长均为，则该三棱锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【例35】若一个圆锥的轴截面是一个腰长为，底边上的高为1的等腰三角形，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【例36】侧面积为的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面半径为（    ） A． B． C．2 D．1 【例37】一个圆锥的底面积为4π，且该圆锥的母线与底面所成的角的大小为，则该圆锥的侧面积为 ． 【例38】侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a，则此棱锥的表面积是（    ） A．； B．； C．； D．都不对． 【例39】随着畜牧业经济的发展和牧民生活的改善，穹庐或毡帐逐渐被蒙古包代替．一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合体.如图，已知该圆锥的高为3m，圆柱的高为4m，底面直径为8m，该蒙古包的体积是 . 【例40】已知某圆锥的轴截面是直角边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥的体积为 . 【例41】正四棱锥S﹣ABCD的底面边长为4，高为1，求： (1)求棱锥的侧棱长和斜高； (2)求棱锥的表面积. 【例42】如图，在正四棱锥中，，. (1)求四棱锥的体积； (2)求四棱锥的表面积. 题型09：锥体体积的比值问题、最值、取值范围问题 【例43】设为正四棱台下底面的中心，且．记四棱锥和的体积分别为，则 ． 【例44】四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，E为PA的中点，所在平面截四棱锥得到两个几何体，其中较小的几何体与较大的几何体的体积比为 ． 【例45】已知棱长为1的正方体内有一个动点M，满足，且，则四棱锥体积的最小值为 . 【例46】已知棱长为1的正方体内有一个动点M，满足，且，则四棱锥体积的最小值为 . 【例47】如图，是圆的直径，点C是圆上异于的点，垂直于圆所在的平面，且.则三棱锥体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【例48】已知圆锥的母线长为，过圆锥的顶点作圆锥的截面，若截面面积的最大值为，则该圆锥底面半径的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型10：综合提升 【例49】用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形．如图，圆锥底面圆的半径是4，轴截面的面积是12． (1)求圆锥的母线长； (2)过圆锥的两条母线，作一个截面，求截面面积的最大值． 【例50】如图，正三棱柱中，，点是的中点. (1)求证：平面； (2)若三棱锥的体积为，求这个三棱柱的侧棱长. 【例51】如图，四棱锥的底面是正方形，平面． (1)求证：平面； (2)若，直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积． 一、填空题 1．（24-25高二上·上海普陀期中）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为 ． 2．（24-25高二上模范中学期中）已知圆锥的底面直径为，母线长为2，则此圆锥的体积是 . 3．（24-25高二上复兴高级中学期中）在三棱锥中，平面，则三棱锥的表面积为 ． 4．（24-25高二上·上海宝山期中）正四棱锥每两条相邻侧棱所成的角都是，侧棱长为a，则它的体积为 ． 5．（23-24高二上·上海黄浦·阶段练习）设四面体中，有2条棱长为，其余4条棱长为1．则实数的取值范围为 ． 6．（23-24高二上·上海徐汇·期中）把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比为1:4，母线（原圆锥母线在圆台中的部分）长为12，则原圆锥的母线长为（    ） A．16 B．18 C．20 D．22 7．（23-24高二上·上海长宁·期中）圆锥的母线长为2，母线所在直线与圆锥的轴所成角为，则该圆锥的高为 ． 8．（24-25高二上·上海松江期中）已知圆锥的底面周长为，侧面积为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（   ） A．2 B．48 C．50 D．96 9．（24-25高二上·上海徐汇期中）已知圆锥的母线长为4，过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8，则该圆锥底面半径的取值集合为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二上·四川内江·期中）如图，在三棱锥中，，，过点作截面，则周长的最小值为 .    11．（24-25高二上·上海青浦期中）如图，在正四棱锥中，，，一小虫从顶点A出发，沿该棱锥的侧面爬一圈回到点A，则小虫走过的最短路线的长为 ． 12．（24-25高二上·上海嘉定期中）在三棱锥中，平面，，，，点F为棱AV上一点，过点F作三棱锥的截面，使截面平行于直线VB和AC，当该截面面积取得最大值时，_______ 二、选择题 13．（22-23高二上·上海浦东新·期中）若一个正棱锥的各棱长和底面边长均相等，则该棱锥一定不是（    ） A．正三棱锥 B．正四棱锥 C．正五棱锥 D．正六棱锥 14.（23-24高二上·上海浦东新·期中）有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 15．（22-23高二上·上海浦东新·期中）三棱锥中，E，F分别为的中点，则平面将该三棱锥所分的两部分几何体的体积之比为（    ） A．1∶3 B．1∶4 C．2∶3 D．1∶2 16．（24-25高二上·上海闵行期中）“堑堵”“阳马”和“鳖臑”是我国古代对一些特殊几何体的称谓.《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”.一个长方体沿对角面斜解（图1），得到一模一样的两个堑堵（图2），再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解（图2），得一个四棱锥称为阳马（图3），一个三棱锥称为鳖臑（图4）.若长方体的体积为V，由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为，，，则下列选项不正确的是（    ） A． B． C． D． 三、解答题 17．某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，已知圆柱的底面周长为，高为，圆锥的母线长为．    (1)求这种“笼具”的体积（结果精确到）； (2)现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？（结果精确到1元） 18．用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形.如图，圆锥底面圆的半径是4，轴截面的面积是4. (1)求圆锥的母线长； (2)过圆锥的两条母线，作一个截面，求截面面积的最大值. 18．（22-23高一下·重庆万州·阶段练习）如图，已知四棱锥的底面是面积为的正方形，侧面是全等的等腰三角形，一条侧棱长为.    (1)计算四棱锥的高； (2)计算四棱锥侧面三角形底边上的高. 19．（2023秋·高二课时练习）如图，正方体的棱长为a，连接，，得到一个三棱锥；求：      (1)三棱锥的表面积与正方体表面积的比值； (2)三棱锥的体积． 20．（2022春·高二校考单元测试）在四棱锥中，底面是正方形，AC与BD交于点O，底面，F为BE的中点.    (1)求证：平面ACF； (2)求证：； (3)若，求三棱锥的体积. 21．（2022秋·上海浦东新·高二上海市建平中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面，，． (1)求证：平面平面； (2)试在棱上确定一点，使截面把该几何体分成的两部分与的体积比为； (3)在(2)的条件下，求二面角的余弦值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $