专题08（A基础）多面体与旋转体-2021-2022学年高二数学秋季班精讲教案（沪教版2020必修第三册）

第8课：多面体与旋转体 教学目标 1、理解多面体的概念，明晰点线面之间的关系； 2、理解旋转体的概念，明晰几何体的旋转由来； 3、会对几何体进行等价转化和拆解组合，从而对复杂题目进行降维求解； 4、记忆简单多面体欧拉公式，会求较简单的点线面相关数量问题. 重 点 1、理解多面体的概念，明晰点线面之间的关系； 2、理解旋转体的概念，明晰几何体的旋转由来； 3、会对几何体进行等价转化和拆解组合，从而对复杂题目进行降维求解. 难 点 会对几何体进行等价转化和拆解组合，从而对复杂题目进行降维求解 （一）多面体 知识梳理 1、多面体 多面体可以用它的面的数量进行命名，有几个面的多面体就叫做几面体． 例如，三棱锥有一个底面和三个侧面，所以是四面体；长方体（四棱柱）有六个面，是六面体．一般地，一个棱锥有一个底面和个侧面，所以是面体；棱柱或棱台有两个底面和个侧面，所以是面体. 【知识补充】 一个多面体至少有四个面． 这是因为，如果在一个多面体中任意选定一个面，那么这个面至少有三条边，即它的边界上至少有多面体的三条棱．每条棱还是这个面与另一个面的交线，于是得到了另外三个面．这三个面互不重合，否则有一个面与预先选定的面有两条公共棱，从而与选定的面重合，这是不可能的. 面数最少的多面体是四面体，即三棱锥． 四面体在立体几何中的作用相当于三角形在平面几何中的作用．例如，平面上的多边形都可以由三角形拼合而成，而空间中的多面体都可以由四面体拼合而成. 2、正多面体 如果一个多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这个多面体就叫做正多面体． 下图给出了五种不同的正多面体．事实上只有这五种正多面体. 正多面体又称为柏拉图立体. 例题精讲 【例1】如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是　　 A．该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体 B．该几何体有12条棱、6个顶点 C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形 D．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形 【难度】★★ 【答案】 【解析】解：根据几何体的直观图，得该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体， 且有棱、、、、、、、、、、和，共12条； 顶点是、、、、和共6个；且有面、面、面、面、面、面、面和面共个，且每个面都是三角形．所以选项、、正确，选项错误． 故选：． 【例2】一个棱柱至少有___________条棱，一个棱锥至少有___________个顶点． 【难度】★★ 【答案】9；4 【解析】解：棱长最少的棱柱为三棱柱，有9条棱；顶点最少的棱锥为三棱锥，有4个顶点． 故答案为：9；4． 【例3】三棱锥的四个表面中最多可以有___________个直角三角形． 【难度】★★★ 【答案】4． 【解析】解：如图可画出如下三棱锥： 平面，，连接、．此三棱锥的四个面都是直角三角形．故答案为：4． 【例4】下面几何体为正多面体的是　　 A．长方体 B．正三棱柱 C．正四棱柱 D．棱长均相等的四面体 【难度】★★ 【答案】 【解析】解：如图，三棱锥中，若，则每个面都是边长相等的正三角形． 三棱锥是正四面体．即棱长均相等的四面体是正多面体,故选：． 【例5】棱长为1的正方体中，为正方体表面上的一个动点，且总有，则动点的轨迹所围成图形的面积为　　 A． B． C． D．1 【难度】★★★ 【答案】 【解析】解：连接，，，则可证平面，故点轨迹围成图形为△， 又，．故选：． 【例6】堑堵和阳马都是中国古代算数中的几何体，堑堵是指底面为直角三角形的直三棱柱，阳马是指底面为长方形，一条侧棱垂真于底面的四棱锥，在如图所示的堑堵中，面积最大的侧面是边长为2的正方形，则四棱锥的体积的最大值为　　 A． B． C．1 D． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】解：依题意，，且，作于，则有平面，要使的体积最大，则只需最大，而当为中点，即为等腰直角三角形时，取得最大，且最大值为1，故的体积的最大值为．故选：． 【例7】如图所示的屋脊状楔体，下底面是矩形，假设屋脊没有歪斜，即的中点在底面上的投影为矩形的中心点．，，，，（长度单位：丈），则楔体的体积为　　（体积单位：立方丈） A． B． C．8 D．5 【难度】★★★ 【答案】 【解析】解：将楔体分成一个三棱柱、两个四棱锥，则立方丈， 立方丈，故立方丈． 故选：． 【例8】如图，以等腰直角三角形斜边上的高为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论： ①异面直线与所成角为； ②； ③三棱锥是正三棱锥； ④平面和平面垂直． 其中正确的是　　 A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【难度】★★★ 【答案】 【解析】解：由已知条件知，，所以即为二面角的平面角， 又因为和互相垂直，所以