专题2.2锥体重难点题型专训（4个知识点+10大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高二数学上册重难点专题提升精讲精练（沪教版必修第三册）

专题2.2锥体重难点题型专训 （4个知识点+10大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 棱锥的结构特征和分类 题型二 正棱锥及其有关计算 题型三 棱锥的展开图 题型四 棱锥中截面的有关计算 题型五 圆锥的结构特征辨析 题型六 圆锥中截面的有关计算 题型七 圆锥的展开图及最短距离问题 题型八 锥体体积的有关计算 题型九 棱锥表面积的有关计算 题型十 圆锥表面积的有关计算 拓展训练一 有关棱锥的综合问题 拓展训练二 有关圆锥的综合问题 知识点一：棱锥 1.定义：有一个面是三角形或平面多边形，且不在这个面上的棱都有一个公共点，这样的多面体叫做棱锥 棱锥的底面：这个三角形或平面多边形； 棱锥的侧面：其余的面； 棱锥的侧棱：不在底面上的棱； 棱锥的顶点：所有侧棱的公共点； 棱锥的高：顶点到底面的距离 按照底面多边形的边数，棱锥可以分别称为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 如果棱锥的底面是正多边形，且底面中心与顶点的连线垂直于底面，那么这个棱锥叫做正棱锥 【即时训练】 1．（24-25高一下·广东佛山·阶段练习）已知四棱锥有条棱，个顶点，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25高二上·上海·期中）三棱锥的4个面无限延展后把空间分成 个部分. 知识点二：圆锥 1.定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 圆锥的轴：旋转轴所在直线； 圆锥的顶点：点S； 圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面； 圆锥的侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面； 圆锥的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的斜边； 圆锥的高：圆锥的顶点到底面间的距离； 【即时训练】 1．（23-24高一下·河北邢台·阶段练习）在中，，D为BC的中点，以AD所在的直线为轴，其余三边旋转半周形成的面围成一个几何体，则该几何体为（    ） A．圆柱 B．圆锥 C．圆台 D．球 2．（24-25高二上·上海·期中）将一个圆锥的侧面展开后，得到一个半圆，则该圆锥轴截面的顶角等于 . 知识点三：锥体的体积 1.棱锥的体积公式：V＝Sh(S为底面面积，h为高) 2.柱体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)； 锥体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)； 【即时训练】 1．（2025高三·全国·专题练习）已知在四面体中，，直线与的距离为2，夹角为，则（    ） A． B．1 C． D．2 2．（24-25高一下·河北·阶段练习）已知圆锥的母线长为4，且其轴截面为等边三角形，则该圆锥的体积为 ． 知识点四：锥体的表面积与侧面积 1.棱锥的表面积 棱锥是由多个平面图形围成的多面体，它的表面积就是各个面的面积和； 2.锥体的侧面展开图与侧面积 几何体 侧面展开图 侧面积公式 正棱锥 S正棱锥侧＝ch′ c为底面周长；h′为斜高，即侧面等腰三角形的高 圆锥 S圆锥侧＝πrl r为底面半径，l为侧面母线长； 【即时训练】 1．（24-25高一下·内蒙古赤峰·期末）已知圆锥的侧面展开图为半圆，则该圆锥的侧面积与其表面积之比为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏常州·期末）过圆锥的轴作截面，如果截面为正三角形，则称该圆锥为等边圆锥，已知在一等边圆锥中，过顶点P的截面与底面交于CD，若（O为底面圆心），且，则这个等边圆锥的表面积为 ．    【经典例题一 棱锥的结构特征和分类】 【例1】（24-25高一下·全国·课堂例题）下列说法中正确的是（    ） ①棱锥的各个侧面都是三角形； ②四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面； ③棱锥的侧棱平行． A．① B．①② C．② D．③ 【例2】（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）如图，在边长为8的正方形中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P. (1)折起后形成的几何体是什么几何体？这个几何体共有几个面？ (2)每个面的三角形有何特点？每个面的三角形面积为多少？ 1．（23-24高三上·江苏南通·期末）从正方体的八个顶点中选择四个顶点构成空间四面体，则该四面体不可能（    ） A．每个面都是等边三角形 B．每个面都是直角三角形 C．有一个面是等边三角形，另外三个面都是直角三角形 D．有两个面是等边三角形，另外两个面是直角三角形 2．（多选)（22-23高一下·广西河池·阶段练习）在正方体的8个顶点中任意取4个不同的顶点，则下列说法正确的是（    ） A．存在四个点，使得这四个点构成平行四边形 B．存在四个点可以构成正四面体 C．不存在这样的四个点，使得构成的四面体每个面都是直角三角形 D．存在有三个面是直角三角形、一个面是等边三角形的四面体 3．（2025·福建福州·模拟预测）陈嘉豪发现，《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马．已知长方体，若阳马以该长方体的顶点为顶点，则这样的阳马的个数是 （用数字作答）． 4．（23-24高一·全国·课后作业）试从正方体的八个顶点中任取若干个点，连接后构成以下空间几何体，画图并用适当的符号表示出来. (1)只有一个面是等边三角形的三棱锥； (2)四个面都是等边三角形的三棱锥. 【经典例题二 正棱锥及其有关计算】 【例1】（24-25高二上·北京·期中）已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正四棱锥的侧面积和体积分别为（    ） A．16， B．16， C．8， D．8， 【例2】（23-24高一·全国·课后作业）正三棱锥底面边长为3，侧棱长为，求该正三棱锥的高及侧面上的斜高． 1．（24-25高一上·江苏·假期作业）已知以边长为4的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱分别为，则该四棱锥的高为（    ） A． B． C． D． 2．（2023高三·全国·专题练习）已知正四棱锥的底面积为64，侧棱长，则该四棱锥的高为（    ） A． B． C．8 D． 3．（24-25高二上·上海静安·期中）在棱长为2的正四面体中，顶点到底面的距离为 . 4．（23-24高二下·重庆·期末）平面内有一个正六边形，它的中心是，边长是2，. 求点到这个正六边形的顶点和边的距离. 【经典例题三 棱锥的展开图】 【例1】（24-25高三上·吉林长春·阶段练习）如图，是正三棱锥且侧棱长为a，E，F分别是SA，SC上的动点，的周长的最小值为，则侧棱SA，SC的夹角为（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高一·全国·课后作业）如图，在侧棱长为的正三棱锥中，，过点A作截面，求截面周长的最小值． 1．（2024高三·全国·专题练习）如图，在正三棱锥中，，，一只虫子从点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到点，则虫子爬行的最短距离是（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24高一下·云南保山·期中）如图，在正三棱锥中，，，一只虫子从点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到点，则虫子爬行的最短距离是（    ） A．4 B． C． D． 3．（23-24高一下·湖南衡阳·期中）如图，在正四棱锥中，，，一小虫从顶点A出发，沿该棱锥的侧面爬一圈回到点A，则小虫走过的最短路线的长为 ． 4．（2023高一·全国·专题练习）如图在正方形中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P. (1)折起后形成的几何体是什么几何体？ (2)若正方形边长为，则每个面的三角形面积为多少？ 【经典例题四 棱锥中截面的有关计算】 【例1】（23-24高二·全国·课后作业）一个棱锥被平行于底面的平面所截，截面面积恰好是棱锥底面面积的一半，则所截得小棱锥与原棱锥的高之比是（    ） A．1：2 B．1：4 C． D． 【例2】（23-24高二·上海·课堂例题）若棱锥的高为16，底面积为256，平行于底面的截面面积为50，求该截面与棱锥底面之间的距离． 1.（22-23高一下·河南·阶段练习）刍（chú）甍（méng）是中国古代算数中的一种几何体，是底面为矩形的屋脊状的楔体．现有一个刍甍如图所示，底面ABCD为矩形，平面，和是全等的正三角形，，，，为的重心，则过点，，的平面截该刍甍所得的截面周长为（    ）    A．11 B． C．9 D． 2．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）棱台上下底面面积分别为16和81，有一平行于底面的截面面积为36，则截面截的两棱台高的比为 A．1：1 B．1：2 C．2：3 D．3：4 3．（23-24高二下·上海·期末）已知正四面体棱长为2，所有与它四个顶点距离相等的平面截这个四面体所得的截面面积之和为 ． 4．（24-25高一下·全国·课后作业）如图给出两个几何体： (1)画出两个几何体的平面展开图； (2)图①是侧棱长为的正三棱锥，，过点作截面分别交BD，CD于点E，F，求截面三角形周长的最小值． 【经典例题五 圆锥的结构特征辨析】 【例1】（24-25高一下·云南·期中）下列命题正确的是（   ） A．正四棱柱是正方体 B．圆锥的截面是圆 C．一个棱柱至少有5个面 D．正三棱锥的所有面都是全等的等边三角形 【例2】（24-25高三下·全国·强基计划）圆锥展开图为半径为1的半圆，求圆锥的高． 1．（23-24高一下·天津河北·期末）用半径为的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，则该圆锥筒的高为（    ） A．12 B． C．9 D．3 2．（23-24高三上·贵州黔东南·期末）若一个圆锥的母线长为，且底面面积为，则此圆锥的高为（    ） A．6 B．3 C． D． 3．（23-24高二上·上海长宁·期中）圆锥的母线长为2，母线所在直线与圆锥的轴所成角为，则该圆锥的高为 ． 4．（24-25高二上·上海·随堂练习）如图所示，用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1：16，截去的圆锥的母线长是3cm，圆台的上底面半径为1cm，求圆台的高． 【经典例题六 圆锥中截面的有关计算】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）若圆锥的母线与底面所成的角为45°，则该圆锥内接正方体的棱长与圆锥底面圆半径之比为（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二·上海·课堂例题）设圆锥的母线长为1，高为，过圆锥的任意给定的两条母线作一个截面．求截面面积的最大值． 1．（2025·云南玉溪·二模）已知圆锥的底面半径为，高为2，正方体棱长为，若点A，B，C，D在该圆锥的侧面上，点，，，在该圆锥的底面上，则（） A．2 B． C．1 D． 2．（23-24高一下·广东中山·期中）已知一个圆锥的高为6，底面半径为8，现在用一个过两条母线的平面去截圆锥，得到一个三角形，则这个三角形面积的最大值为（    ） A．100 B．50 C．48 D．24 3．（2025·上海金山·二模）已知圆锥底面半径为1，高为，则过圆锥母线的截面面积的最大值为 . 4．（23-24高一·全国·课后作业）用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得的两个几何体分别为一个小圆锥和一个圆台，若小圆锥的母线与圆台的母线之比为3：1，圆台的上底面半径为3cm，求圆台的下底面面积. 【经典例题七 圆锥的展开图及最短距离问题】 【例1】（24-25高一下·浙江·期中）已知圆锥的底面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的母线长为（   ） A． B． C．1 D．2 【例2】（23-24高一·全国·课后作业）如图，圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，求该圆锥的轴截面中母线与底面直径所成的角． 1．（24-25高一下·河北邢台·期中）已知圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，是的中点，一只蚂蚁从点出发，沿着圆锥的表面爬到点，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（    ） A． B．4 C． D．6 2．（24-25高二上·北京·期中）正三棱锥中，为棱PA的中点，点M，N分别在棱PB，PC上，三角形周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·上海·期中）如图，圆锥的底面直径，母线长，点在母线上，且，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点到达点，则这只蚂蚁爬行的最短距离为 ．    4．（22-23高一下·全国·课后作业）已知圆锥底面圆的半径为1，高为，要想从底面圆周上一点出发拉一条细绳绕圆锥的侧面一周再回到，求该条细绳的最短长度.    【经典例题八 锥体体积的有关计算】 【例1】（25-26高三上·广东·开学考试）底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一下·山东聊城·阶段练习）如图，在四棱锥中，，底面为平行四边形，对角线与相交于点，，点B到平面的距离为，为的中点．    (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积． 1．（2025高三·全国·专题练习）在棱长为1的正方体中，E，F分别为AB，的中点，则三棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（2025高三·全国·专题练习）如图，三棱锥中，平面，，则下列条件中可使三棱锥体积唯一确定的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（24-25高一下·上海杨浦·期末）如图，已知平行六面体的体积为4，若将其截去三棱锥，则剩余几何体的体积为 ． 4．（24-25高一下·河南郑州·期中）如图所示，空间四边形中，E，F，G，H分别是的中点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，则形成一个三棱锥，若三棱锥的底面是边长为1的正三角形，并且三棱锥的高为2，求三棱锥的体积． 【经典例题九 棱锥表面积的有关计算】 【例1】（24-25高一下·辽宁锦州·期末）如图，攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称为攒尖，通常有圆形攒尖、三角形攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分．多见于亭阁式建筑，某个园林建筑为六角攒尖，它的顶部的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥高为1且侧棱长为，则棱锥侧面积为（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高一下·湖南株洲·期中）已知边长为2，各面均为等边三角形的四面体如图所示，求它的表面积. 1．（24-25高一下·天津滨海新·期中）已知三棱锥的所有棱长都是，则这个三棱锥的表面积是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·黑龙江大庆·期末）已知正四棱锥的底面正方形的边长为，高为，则正四棱锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·上海杨浦·期末）已知正三棱锥底面的边长为6，高为3，则该正三棱锥的侧面积为 ． 4．（22-23高一·全国·随堂练习）仓库的房顶呈正四棱锥形，量得底面的边长为2.6m，侧棱长2.1m，现要在房顶上铺一层油毡纸，那么所需油毡纸的面积是多少？ 【经典例题十 圆锥表面积的有关计算】 【例1】（25-26高三上·云南保山·开学考试）已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为（    ） A． B．1 C．2 D．4 【例2】（23-24高二·上海·课堂例题）已知圆锥侧面展开图中扇形的中心角为，底面周长为．求这个圆锥的侧面积和表面积． 1．（24-25高一下·云南玉溪·期末）圆锥的底面半径为，圆锥的高是1，则其侧面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·四川眉山·期末）已知一个圆锥的母线长为3，表面积为，则该圆锥的底面半径为（   ） A．2 B．3 C． D．5 3．（25-26高三上·广东·开学考试）已知底面圆直径为的圆锥的表面积与其侧面积之比为，则该圆锥的高为 ．（用含的式子表示） 4．（23-24高二·上海·课堂例题）过圆锥高的三等分点分别作平行于底面的截面，求它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比（从小到大）． 【拓展训练一 有关棱锥的综合问题】 【例1】（23-24高二上·上海浦东新·期中）有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024高三·全国·专题练习）四棱锥的底面为矩形，，，高，O为底面对角线的交点，过底面对角线BD作截面使它平行于SA，并求出此截面的面积. 1.（24-25高一下·江西·阶段练习）已知三棱锥的棱长均为2，点P在内，且，则点P的轨迹的长度（    ） A． B． C． D．π 2．(多选）（2024·浙江杭州·模拟预测）已知正四面体，过点的平面将四面体的体积平分，则下列命题正确的是（    ） A．截面一定是锐角三角形 B．截面可以是等边三角形 C．截面可能为直角三角形 D．截面为等腰三角形的有6个 3．（24-25高一下·河北石家庄·期中）已知正方体的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点（如图），则四棱锥的表面积是 .    4．（24-25高一下·湖南湘潭·阶段练习）如图，正四棱锥中，，，为中点. (1)求证：平面； (2)求三棱锥的表面积和体积. 【拓展训练二 有关圆锥的综合问题】 【例1】（23-24高一下·福建厦门·阶段练习）已知圆锥的母线长为4，过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8，则该圆锥底面半径的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一下·浙江·期中）圆锥的底面直径是2，其侧面展开图是一个顶角为120°的扇形. (1)一只蚂蚁从点A出发，沿圆锥侧面爬行一圈回到点A，求爬行的最短路程； (2)过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面在圆锥中挖去一个圆柱（如图所示），求剩下几何体的表面积和体积. 1．（22-23高三下·北京·阶段练习）圆锥的母线长为6，轴截面的顶角为120度，过两条母线作截面，则截面面积的最大值为（    ） A． B．18 C． D．9 2．（多选）（2025·河北秦皇岛·三模）如图，圆锥的底面半径为1，侧面积为，是圆锥的一个轴截面，是底面圆周上异于，的一点，则下列说法正确的是（    ） A．的面积为 B．圆锥的侧面展开图的圆心角为 C．由点出发绕圆锥侧面旋转一周，又回到点的细绳长度最小值为 D．若，则三棱锥的体积为 3．（24-25高一下·陕西渭南·阶段练习）已知圆锥的母线长为4，过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8，则该圆锥底面半径的取值范围为 ． 4．（23-24高一下·河北张家口·阶段练习）已知圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，母线长为3. (1)求圆锥的底面积； (2)在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的体积. 4．（24-25高一下·陕西渭南·阶段练习）已知圆锥的母线长为4，过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8，则该圆锥底面半径的取值范围为 ． 1．（25-26高二上·辽宁·阶段练习）已知圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）已知圆锥的母线长为2，底面半径为1，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）如图，正三棱锥的所有棱长都为4.点分别在棱上，满足，的个数是（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25高一下·内蒙古包头·期末）正方体中，过顶点，，作截面，截下一个三棱锥，则截下的三棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为（    ） A．1:5 B．1:6 C．5:6 D．1:4 5．（25-26高三上·湖南长沙·开学考试）已知正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的3倍，则此正四棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 6．（多选）（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）平行六面体的体积为，点在线段上运动，则下列三棱锥中，体积为的是（ ） A．三棱锥 B．三棱锥 C．三棱锥 D．三棱锥 7．（多选）（23-24高三上·山东潍坊·期末）等腰直角三角形的直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为（   ） A． B． C． D． 8．（多选）（23-24高一下·湖北武汉·期末）如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P．如果将容器倒置，水面也恰好过点P（图2），则（    ） A．若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满 B．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半 C．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P D．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P 9．（多选）（24-25高二下·河北·期末）已知一直角三角形的两条直角边分别为1cm，2cm，以这个直角三角形的一边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体，则这个几何体的体积可能是（   ） A． B． C． D． 10．（多选）（24-25高一下·广东·期中）已知圆锥的底面半径，母线长，设该圆锥的侧面展开图为扇形AOB，O为扇形圆心，则（   ） A．扇形AOB的圆心角为 B．圆锥的高h为 C．圆锥的表面积为 D．从点绕圆锥侧面一周回到点的最短距离为 11．（24-25高一下·辽宁·阶段练习）现有一块棱长为2的正四面体木料，用平行于该木料底面的一个平面将木料截成两部分，若这两部分的表面积相等，则该平面在木料上的截面面积为 ． 12．（2025高三·全国·专题练习）已知正四面体的体积为，则其表面积为 ． 13．（24-25高一下·安徽安庆·期末）已知某圆锥的轴截面是直角边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥的体积为 . 14．（25-26高二上·辽宁·阶段练习）如图，水平的广场上有一盏路灯挂在高9m的电线杆顶上，记电线杆的底部为点.把路灯看作一个点光源，身高1.5m的女孩站在离点5m的点处，若女孩沿方向前行5m到达点，此时为的中点，然后从点出发沿着以为对角线的正方形走一圈，则女孩走一圈时头顶影子的轨迹围成图形的面积为 .    15．（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）如图，一个盛满水的三棱锥容器，三条侧棱上各有一个小洞D，E，F，且知道，若仍用这个容器盛水，则最多可盛原来水的 . 16．（25-26高二上·河北张家口·开学考试）如图，正三棱柱中，，点是的中点. (1)求证：平面； (2)若三棱锥的体积为，求这个三棱柱的侧棱长. 17．（2025高三·全国·专题练习） 如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，长度分别为，高，证明：. 18．（24-25高一下·黑龙江大庆·期中）如图，在正四棱锥中，，M是PD的中点. (1)求四棱锥的表面积； (2)求三棱锥的体积. 19．（23-24高一下·陕西宝鸡·阶段练习）用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形.如图，圆锥底面圆的半径是4，轴截面的面积是4. (1)求圆锥的母线长； (2)过圆锥的两条母线，作一个截面，求截面面积的最大值. 20．（22-23高一下·福建龙岩·期中）已知一个底面半径是2的圆锥内接一个圆柱，圆锥的母线长是8.      (1)求圆柱侧面积的最大值； (2)当圆柱侧面积取得最大值时，圆柱与圆锥的母线交于点，一只蚂蚁从点处出发沿圆锥侧面爬行一周到点，求蚂蚁爬行的最短距离. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2锥体重难点题型专训 （4个知识点+10大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 棱锥的结构特征和分类 题型二 正棱锥及其有关计算 题型三 棱锥的展开图 题型四 棱锥中截面的有关计算 题型五 圆锥的结构特征辨析 题型六 圆锥中截面的有关计算 题型七 圆锥的展开图及最短距离问题 题型八 锥体体积的有关计算 题型九 棱锥表面积的有关计算 题型十 圆锥表面积的有关计算 拓展训练一 有关棱锥的综合问题 拓展训练二 有关圆锥的综合问题 知识点一：棱锥 1.定义：有一个面是三角形或平面多边形，且不在这个面上的棱都有一个公共点，这样的多面体叫做棱锥 棱锥的底面：这个三角形或平面多边形； 棱锥的侧面：其余的面； 棱锥的侧棱：不在底面上的棱； 棱锥的顶点：所有侧棱的公共点； 棱锥的高：顶点到底面的距离 按照底面多边形的边数，棱锥可以分别称为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 如果棱锥的底面是正多边形，且底面中心与顶点的连线垂直于底面，那么这个棱锥叫做正棱锥 【即时训练】 1．（24-25高一下·广东佛山·阶段练习）已知四棱锥有条棱，个顶点，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】由四棱锥的结构特征可得. 【详解】四棱锥有8条棱，5个顶点，所以. 故选：B. 2．（24-25高二上·上海·期中）三棱锥的4个面无限延展后把空间分成 个部分. 【答案】15 【分析】根据三棱锥的几何特征分析即可求解. 【详解】三个侧面平面两两相交，可以将空间分成8个部分， 再增加一个底面，其中有1个封闭的空间，另外还有6个部分， 所以三棱锥的4个面无限延展后把空间分成个部分. 故答案为：15. 知识点二：圆锥 1.定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 圆锥的轴：旋转轴所在直线； 圆锥的顶点：点S； 圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面； 圆锥的侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面； 圆锥的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的斜边； 圆锥的高：圆锥的顶点到底面间的距离； 【即时训练】 1．（23-24高一下·河北邢台·阶段练习）在中，，D为BC的中点，以AD所在的直线为轴，其余三边旋转半周形成的面围成一个几何体，则该几何体为（    ） A．圆柱 B．圆锥 C．圆台 D．球 【答案】B 【分析】由已知，先判定，然后根据题意结合圆锥的定义即可做出判断. 【详解】由题意知，为等腰三角形，，D为BC的中点，所以，所以满足：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体为圆锥，该几何体为圆锥. 故选：B. 2．（24-25高二上·上海·期中）将一个圆锥的侧面展开后，得到一个半圆，则该圆锥轴截面的顶角等于 . 【答案】 【分析】和分别表示底面圆半径和母线长，由题意得到等量关系，得到，从而知道轴截面的顶角值. 【详解】设底面半径为，母线成为， 则，即， ∴该圆锥轴截面的顶角等于， 故答案为： 知识点三：锥体的体积 1.棱锥的体积公式：V＝Sh(S为底面面积，h为高) 2.柱体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)； 锥体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)； 【即时训练】 1．（2025高三·全国·专题练习）已知在四面体中，，直线与的距离为2，夹角为，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据题意把四面体补成三棱柱，把四面体体积转化为求三棱柱体积即可求解. 【详解】由题意过点作∥，且，连接，以为底面，为侧棱作棱柱， 因为∥，平面，平面，所以∥平面， 所以点到平面的距离即为直线与的距离为2， 因为，其， 所以，所以， 故选：B． 2．（24-25高一下·河北·阶段练习）已知圆锥的母线长为4，且其轴截面为等边三角形，则该圆锥的体积为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出圆锥的底面圆半径的高，进而求出圆锥的体积. 【详解】由圆锥的母线长为4，且其轴截面为等边三角形， 得该圆锥底面圆半径，高， 所以圆锥的体积为 故答案为： 知识点四：锥体的表面积与侧面积 1.棱锥的表面积 棱锥是由多个平面图形围成的多面体，它的表面积就是各个面的面积和； 2.锥体的侧面展开图与侧面积 几何体 侧面展开图 侧面积公式 正棱锥 S正棱锥侧＝ch′ c为底面周长；h′为斜高，即侧面等腰三角形的高 圆锥 S圆锥侧＝πrl r为底面半径，l为侧面母线长； 【即时训练】 1．（24-25高一下·内蒙古赤峰·期末）已知圆锥的侧面展开图为半圆，则该圆锥的侧面积与其表面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出圆锥底面圆半径与母线的关系即可求解. 【详解】设圆锥底面圆半径为，母线长为，依题意，，则， 所以该圆锥侧面积与其表面积的比为. 故选：B 2．（24-25高一下·江苏常州·期末）过圆锥的轴作截面，如果截面为正三角形，则称该圆锥为等边圆锥，已知在一等边圆锥中，过顶点P的截面与底面交于CD，若（O为底面圆心），且，则这个等边圆锥的表面积为 ． 【答案】 【分析】连接，设圆锥的母线长为，可得圆锥的底面圆的半径为，高为，进而结合题设可求得，再根据圆锥的表面积公式求解即可. 【详解】如图，连接，设圆锥的母线长为， 则圆锥的底面圆的半径为，高为. 由已知得， 所以为等腰三角形，设其底边上的高为， 则， 则，解得， 所以圆锥的表面积为. 故答案为：.    【经典例题一 棱锥的结构特征和分类】 【例1】（24-25高一下·全国·课堂例题）下列说法中正确的是（    ） ①棱锥的各个侧面都是三角形； ②四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面； ③棱锥的侧棱平行． A．① B．①② C．② D．③ 【答案】B 【分析】根据棱锥的结构特征进行判断即可. 【详解】由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，故①正确； 四面体就是由四个三角形所围成的几何体， 因此以四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故②正确； 棱锥的侧棱交于一点，故③错误． 故选：B. 【例2】（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）如图，在边长为8的正方形中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P. (1)折起后形成的几何体是什么几何体？这个几何体共有几个面？ (2)每个面的三角形有何特点？每个面的三角形面积为多少？ 【答案】(1)三棱锥，4个面 (2)为等腰三角形，为等腰直角三角形，和均为直角三角形，，，. 【分析】（1）根据棱锥的定义判断该几何体的形状，再判断该几何体的面数， （2）根据各面的相关数据判断其形状特征，结合三角形面积公式求各面面积. 【详解】（1）如图，折起后的几何体是三棱锥， 这个几何体共有4个面. （2）由已知，，，， 所以， ， 所以为等腰三角形，为等腰直角三角形， 和均为直角三角形. ， ， . 1．（23-24高三上·江苏南通·期末）从正方体的八个顶点中选择四个顶点构成空间四面体，则该四面体不可能（    ） A．每个面都是等边三角形 B．每个面都是直角三角形 C．有一个面是等边三角形，另外三个面都是直角三角形 D．有两个面是等边三角形，另外两个面是直角三角形 【答案】D 【分析】根据正方体的性质和四面体的特征，结合图形逐个分析判断即可. 【详解】如图， 每个面都是等边三角形，A不选； 每个面都是直角三角形，B不选； 三个面直角三角形，一个面等边三角形，C不选，选D． 故选：D. 2．（多选)（22-23高一下·广西河池·阶段练习）在正方体的8个顶点中任意取4个不同的顶点，则下列说法正确的是（    ） A．存在四个点，使得这四个点构成平行四边形 B．存在四个点可以构成正四面体 C．不存在这样的四个点，使得构成的四面体每个面都是直角三角形 D．存在有三个面是直角三角形、一个面是等边三角形的四面体 【答案】ABD 【分析】由正方体的特征，结合选项即可找到对应的图形，即可求解. 【详解】对于A，如图四边形为平行四边形，所以A正确，    对于B，四面体是正四面体，所以B正确，    对于C，如图四面体中， ，故每个面都是直角三角形，所以C不正确，    对于D，如图四面体中， ，,均是直角三角形、为等边三角形，所以D正确， 故选：ABD．    3．（2025·福建福州·模拟预测）陈嘉豪发现，《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马．已知长方体，若阳马以该长方体的顶点为顶点，则这样的阳马的个数是 （用数字作答）． 【答案】24 【分析】要确定以长方体顶点为顶点的阳马个数，需要考虑长方体的面与顶点的关系，通过分析每个面作为阳马底面的情况来计算总数. 【详解】长方体有6个面. 以其中一个面为底面，比如底面. 当以底面为阳马的底面时，从顶点中任选一个顶点作为垂直于底面的侧棱的顶点， 都可以构成1个阳马，这样就有4个阳马. 因为长方体有6个面，每个面都可以像底面这样构成4个阳马. 所以阳马的总个数为.   故答案为：24. 4．（23-24高一·全国·课后作业）试从正方体的八个顶点中任取若干个点，连接后构成以下空间几何体，画图并用适当的符号表示出来. (1)只有一个面是等边三角形的三棱锥； (2)四个面都是等边三角形的三棱锥. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）3条棱是正方体的面对角线，3条棱是正方体的棱即可， （2）6条棱均为正方体的面对角线即可. 【详解】（1）如图所示，三棱锥（或三棱锥，三棱锥，三棱锥，三棱锥，三棱锥，三棱锥，三棱锥答案不唯一）. （2）如图所示，三棱锥（或三棱锥答案不唯一）. 【经典例题二 正棱锥及其有关计算】 【例1】（24-25高二上·北京·期中）已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正四棱锥的侧面积和体积分别为（    ） A．16， B．16， C．8， D．8， 【答案】D 【分析】根据正四棱锥性质及其棱长等，利用侧面积公式和体积功公式计算可得结果. 【详解】如下图所示，在正四棱锥中，易知， 为的中点，所以可得，易知并利用勾股定理可得， 所以的面积为，可得该正四棱锥的侧面积为； 又可知，所以正四棱锥的高， 因此其体积为. 故选：D 【例2】（23-24高一·全国·课后作业）正三棱锥底面边长为3，侧棱长为，求该正三棱锥的高及侧面上的斜高． 【答案】高为3，侧面上的斜高为. 【分析】根据正三棱锥的性质结合条件即得. 【详解】如图，正三棱锥，取的中心为，连接， 由正三棱锥的定义得面， 又为等边三角形，则， 所以正三棱锥的高, 作交于，又，， 则正三棱锥的斜高， 所以该正三棱锥的高为3，侧面上的斜高为． 1．（24-25高一上·江苏·假期作业）已知以边长为4的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱分别为，则该四棱锥的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意分析可知平面平面，可知平面，再结合等体积法，即可求解． 【详解】底面为正方形，边长为4，当相邻的棱长相等时， 不妨设，， 分别取，的中点，，连接，，， 如图所示：    则，，且，，平面， 故平面，且平面， 所以平面平面， 过作的垂线，垂足为，即， 由平面平面，平面， 所以平面， 由题意可得：，，， 则，即， 则， 故， 所以四棱锥的高为，当相对的棱长相等时，不妨设，， 因为，此时不能形成三角形，与题意不符，这样情况不存在． 故选：D． 2．（2023高三·全国·专题练习）已知正四棱锥的底面积为64，侧棱长，则该四棱锥的高为（    ） A． B． C．8 D． 【答案】A 【分析】根据题意画出图象，结合图象利用勾股定理求解. 【详解】如图：正四棱锥的底面积为64，则， 又顶点在在底面上的射影是四边形的中心， 过点作于，连接， 则，又侧棱长为， 所以该四棱锥的高为. 故选：A. 3．（24-25高二上·上海静安·期中）在棱长为2的正四面体中，顶点到底面的距离为 . 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用正四面体的结构特征计算即得. 【详解】依题意，正的外接圆半径，则， 所以顶点到底面的距离. 故答案为： 4．（23-24高二下·重庆·期末）平面内有一个正六边形，它的中心是，边长是2，. 求点到这个正六边形的顶点和边的距离. 【答案】； . 【分析】作的中点，连接，在直角中，由勾股定理得. 【详解】如图所示，作的中点，连接， 因为，所以为直角三角形， 因为正六边形的边长是2，， 所以 在直角中，由勾股定理得 ，. 【经典例题三 棱锥的展开图】 【例1】（24-25高三上·吉林长春·阶段练习）如图，是正三棱锥且侧棱长为a，E，F分别是SA，SC上的动点，的周长的最小值为，则侧棱SA，SC的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先将三棱锥的侧面沿着剪开，得到，即，即可得到答案. 【详解】将三棱锥的侧面沿着剪开，如图所示： 因为的周长的最小值为， 所以当四点共线时，的周长最小，即， 又因为，所以，即， 又因为三棱锥是正三棱锥， 所以，即侧棱SA，SC的夹角为. 故选：A 【例2】（23-24高一·全国·课后作业）如图，在侧棱长为的正三棱锥中，，过点A作截面，求截面周长的最小值． 【答案】6 【分析】沿着侧棱把正三棱锥展开在一个平面内，即可得出最小路径.根据已知，求出最小路径的长即可. 【详解】沿着侧棱把正三棱锥展开在一个平面内，如图 则的长即为截面周长的最小值，且. 取的中点为，连结，则，且，， 在中，，所以， 故截面周长的最小值为6． 1．（2024高三·全国·专题练习）如图，在正三棱锥中，，，一只虫子从点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到点，则虫子爬行的最短距离是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将三棱锥由展开，根据勾股定理进行求解即可. 【详解】设过点作截面与、侧棱分别交于、两点， 将三棱锥由展开，则，虫子爬行从点沿侧面到棱上的点处，再到棱上的点处，然后回到点的最短距离， 由勾股定理可得．虫子爬行的最短距离． 故选：A    2．（23-24高一下·云南保山·期中）如图，在正三棱锥中，，，一只虫子从点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到点，则虫子爬行的最短距离是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三棱锥的侧面展开图求解. 【详解】解：如图， 连接与分别交于两点， 将三棱锥由展开，则， 为虫子爬行从点沿侧面到棱上的点处，再到棱上的点处， 然后回到点的最短距离， ∵， ∴由勾股定理可得， 所以虫子爬行的最短距离4， 故选：A. 3．（23-24高一下·湖南衡阳·期中）如图，在正四棱锥中，，，一小虫从顶点A出发，沿该棱锥的侧面爬一圈回到点A，则小虫走过的最短路线的长为 ． 【答案】2 【分析】画出正四棱锥的侧面展开图，得到A，M，N，E共线时，小虫走过的路线最短，最长最短距离. 【详解】画出正四棱锥的侧面展开图，如图所示． 当A，M，N，E共线时，小虫走过的路线最短，最短为的长． 因为，，所以， 则是边长为2的等边三角形，则，即小虫走过的最短路线的长为2． 故答案为：2. 4．（2023高一·全国·专题练习）如图在正方形中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P. (1)折起后形成的几何体是什么几何体？ (2)若正方形边长为，则每个面的三角形面积为多少？ 【答案】(1)三棱锥 (2)答案见解析 【分析】（1）根据题意，将正方形，沿图中虚线将3个三角形折起，使得三点重合，即得到一个三棱锥； （2）由（1）知，其中、和都为直角三角形，为等腰三角形，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）解：根据题意，将正方形，沿图中虚线将3个三角形折起，使得三点重合，可得如图所示的一个三棱锥. （2）解：由（1）知，其中为直角三角形，面积为； 为直角三角形，面积为； 为直角三角形，面积为； 为等腰三角形，且，可得边上的高为， 所以面积为. 【经典例题四 棱锥中截面的有关计算】 【例1】（23-24高二·全国·课后作业）一个棱锥被平行于底面的平面所截，截面面积恰好是棱锥底面面积的一半，则所截得小棱锥与原棱锥的高之比是（    ） A．1：2 B．1：4 C． D． 【答案】C 【分析】利用面积之比是相似比的平方求解. 【详解】解：设截得小棱锥的高为h，原棱锥的高为H， 因为截面面积恰好是棱锥底面面积的一半， 所以，则， 故选：C 【例2】（23-24高二·上海·课堂例题）若棱锥的高为16，底面积为256，平行于底面的截面面积为50，求该截面与棱锥底面之间的距离． 【答案】 【分析】设出截面与棱锥底面的距离，利用比例关系列方程求解. 【详解】根据题意，设截面与棱锥底面的距离为，则有，解得， 故该截面和底面的距离是. 1.（22-23高一下·河南·阶段练习）刍（chú）甍（méng）是中国古代算数中的一种几何体，是底面为矩形的屋脊状的楔体．现有一个刍甍如图所示，底面ABCD为矩形，平面，和是全等的正三角形，，，，为的重心，则过点，，的平面截该刍甍所得的截面周长为（    ）    A．11 B． C．9 D． 【答案】A 【分析】延长交于点，取的中点，连接，，易得为的中点，即可得到过点，，的平面截该刍甍所得的截面为四边形，求出其周长即可得解． 【详解】如图，延长交于点，取的中点，连接，，易得为的中点， ∴，∵，∴，即过点，，的平面截该刍甍所得的截面为四边形， ∵，， ∴过点，，的平面截该刍甍所得的截面周长为．    故选：A 2．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）棱台上下底面面积分别为16和81，有一平行于底面的截面面积为36，则截面截的两棱台高的比为 A．1：1 B．1：2 C．2：3 D．3：4 【答案】C 【分析】将棱台补成棱锥，设棱锥的高被上下底面截得的三段长分别如图，利用几何体的面积比就是相似比的平方，即可求出结果． 【详解】将棱台补为棱锥，棱锥的高被棱台的上下底面截截得的三部分长分别为 ，，所以，， 故，故两棱台高的比为 故选：C    3．（23-24高二下·上海·期末）已知正四面体棱长为2，所有与它四个顶点距离相等的平面截这个四面体所得的截面面积之和为 ． 【答案】 【分析】分别找出满足条件的截面，求出面积之和即可. 【详解】如图（1）： 分别为正四面体棱的中点，此时它的四个顶点到截面的距离相等，是边长为1的等边三角形，.这样的截面有4个； 如图（2）： 分别为正四面体棱的中点，此时它的四个顶点到截面的距离相等，四边形是边长为1的正方形，，这样的截面有3个. 所以满足条件的截面的面积之和为：. 故答案为： 4．（24-25高一下·全国·课后作业）如图给出两个几何体： (1)画出两个几何体的平面展开图； (2)图①是侧棱长为的正三棱锥，，过点作截面分别交BD，CD于点E，F，求截面三角形周长的最小值． 【答案】(1)答案见解析 (2)6． 【分析】（1）作出展开图即可. （2）沿着侧棱DA把正三棱锥展开在一个平面内，利用两点间线段最短可求截面周长的最小值． 【详解】（1）展开图如下图所示．    （2）将三棱锥沿侧棱DA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图， 线段的长为所求周长的最小值，取的中点，则， 又，可求得，则，即截面三角形周长的最小值为6．    【经典例题五 圆锥的结构特征辨析】 【例1】（24-25高一下·云南·期中）下列命题正确的是（   ） A．正四棱柱是正方体 B．圆锥的截面是圆 C．一个棱柱至少有5个面 D．正三棱锥的所有面都是全等的等边三角形 【答案】C 【分析】根据柱体和锥体的定义，即可判断选项. 【详解】正四棱柱是底面为正方形，且侧棱垂直于底面的棱柱，不一定是正方体，也可能是长方体，故A错误. 圆锥的轴截面是三角形，只有平行于底面的截面才是圆，故B错误. 一个棱柱至少有5个面，比如三棱柱，故C正确. 正三棱锥的所有侧面都是全等的等腰三角形，底面是等边三角形，故D错误. 故选：C 【例2】（24-25高三下·全国·强基计划）圆锥展开图为半径为1的半圆，求圆锥的高． 【答案】 【分析】根据圆锥的几何性质求解即可. 【详解】设圆锥的母线长为，底面圆周半径为， 则，且， 因此圆锥的高为：. 1．（23-24高一下·天津河北·期末）用半径为的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，则该圆锥筒的高为（    ） A．12 B． C．9 D．3 【答案】D 【分析】设圆锥的底面半径为，高为，母线为，依题意可得、，再由勾股定理计算可得. 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，母线为，依题意可得，， 所以，则. 故选：D 2．（23-24高三上·贵州黔东南·期末）若一个圆锥的母线长为，且底面面积为，则此圆锥的高为（    ） A．6 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】利用圆锥的特征及面积公式计算即可. 【详解】由底面面积为可得底面圆半径为，所以圆锥的高为. 故选：B 3．（23-24高二上·上海长宁·期中）圆锥的母线长为2，母线所在直线与圆锥的轴所成角为，则该圆锥的高为 ． 【答案】 【分析】直接根据圆锥的图形特点计算即可. 【详解】由已知得该圆锥的高为. 故答案为：. 4．（24-25高二上·上海·随堂练习）如图所示，用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1：16，截去的圆锥的母线长是3cm，圆台的上底面半径为1cm，求圆台的高． 【答案】 【分析】由圆锥平行于底面的截面的性质求解． 【详解】∵用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1：16， ∴圆台的上、下底面半径之比是1：4． ∵截去的圆锥的母线长是3cm，圆台的上底面半径为1cm， ∴圆台的下底面半径为4cm．作大圆锥的轴截面如图， 设圆台的母线长为y，由，得，解得． ∴圆台的高． 【经典例题六 圆锥中截面的有关计算】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）若圆锥的母线与底面所成的角为45°，则该圆锥内接正方体的棱长与圆锥底面圆半径之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆锥的截面性质结合相似三角形的性质列方程求解. 【详解】设圆锥底面半径为r，高为h，所以，设圆锥的内接正方体棱长为a，则该正方体面对角线的一半为，则， 解得． 故选：B.      【例2】（23-24高二·上海·课堂例题）设圆锥的母线长为1，高为，过圆锥的任意给定的两条母线作一个截面．求截面面积的最大值． 【答案】 【分析】首先判断轴截面顶角是否大于，进一步结合三角形面积公式即可求解. 【详解】设圆锥的轴截面顶角为，则，而，所以， 解得， 由与截面等腰三角形顶角是连续变化的， 故当截面顶角三角形的顶角取，所求截面面积最大， 且最大面积为. 1．（2025·云南玉溪·二模）已知圆锥的底面半径为，高为2，正方体棱长为，若点A，B，C，D在该圆锥的侧面上，点，，，在该圆锥的底面上，则（） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】过正方体的一组对棱作圆锥的截面，利用相似三角形对应边成比例列方程即可求解. 【详解】过正方体的一组对棱作圆锥的截面，如图所示，    由题意可得： ， 面对角线 ， 所以 ， 由 ，可得 ， 所以 解得： ， 故选：C． 2．（23-24高一下·广东中山·期中）已知一个圆锥的高为6，底面半径为8，现在用一个过两条母线的平面去截圆锥，得到一个三角形，则这个三角形面积的最大值为（    ） A．100 B．50 C．48 D．24 【答案】B 【分析】首先求出母线长，即可求出，由二倍角公式求出，过圆锥的两条母线，作一个截面，求出截面面积的最大值. 【详解】如图圆锥中，，， 所以圆锥的母线， 则在轴截面中，，，所以， 所以， 所以， 设，则， 所以的面积， 所以当时，截面面积有最大值，最大值为. 故选：B 3．（2025·上海金山·二模）已知圆锥底面半径为1，高为，则过圆锥母线的截面面积的最大值为 . 【答案】 【分析】依题意求得圆锥的母线长，确定轴截面的顶角，从而求出截面面积的取值的最大值，由此得解． 【详解】依题意，设圆锥的母线长为， 圆锥的底面半径为，高为， ， 设圆锥的轴截面的两母线夹角为，显然， 则过该圆锥的母线作截面，截面上的两母线夹角设为， 故截面的面积为，当且仅当时，等号成立， 故截面的面积的最大值为． 故答案为：. 4．（23-24高一·全国·课后作业）用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得的两个几何体分别为一个小圆锥和一个圆台，若小圆锥的母线与圆台的母线之比为3：1，圆台的上底面半径为3cm，求圆台的下底面面积. 【答案】 【分析】根据三角形相似即可得下底面圆的半径，进而可求圆的面积. 【详解】如图，设PA为大圆锥的一条母线， 过PA和 的平面与两个圆锥的底面的交线分别为和，则由两个平面平行的性质定理，知，所以， 所以， 由题意，得，则， 所以，所以圆台的下底面面积为. 【经典例题七 圆锥的展开图及最短距离问题】 【例1】（24-25高一下·浙江·期中）已知圆锥的底面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的母线长为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】先由底面面积求出底面半径，然后由底面周长等于侧面展开图的弧长列方程可求出母线长. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为， 因为圆锥的底面积为，所以，得， 因为圆锥的侧面展开图是一个半圆， 所以，得, 故选：D 【例2】（23-24高一·全国·课后作业）如图，圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，求该圆锥的轴截面中母线与底面直径所成的角． 【答案】 【分析】设圆锥的母线长为l，底面半径为r，则由题意可得，从而可判断出轴截面是等边三角形，进而可求得答案. 【详解】解：设圆锥的母线长为l，底面半径为r． 由侧面展开图恰好是一个半圆知， 所以轴截面是等边三角形， 故母线与底面直径所成角的大小是． 1．（24-25高一下·河北邢台·期中）已知圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，是的中点，一只蚂蚁从点出发，沿着圆锥的表面爬到点，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（    ） A． B．4 C． D．6 【答案】C 【分析】由扇形弧长公式求得，则，由勾股定理即可求解． 【详解】由题意可知圆锥的底面半径，母线， 侧面展开所得扇形的圆心角，则， 因为是的中点，所以， 则这只蚂蚁爬行的最短距离， 故选：C． 2．（24-25高二上·北京·期中）正三棱锥中，为棱PA的中点，点M，N分别在棱PB，PC上，三角形周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将正三棱锥的三个侧面展开到同一平面内，连接，则的长即为三角形周长的最小值，由勾股定理求出答案. 【详解】如图所示，将正三棱锥的三个侧面展开到同一平面内， 对应于，点对应点，连接，分别交于点， 故， 则的长即为三角形周长的最小值， 其中，， 由勾股定理得. 故选：A 3．（24-25高二上·上海·期中）如图，圆锥的底面直径，母线长，点在母线上，且，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点到达点，则这只蚂蚁爬行的最短距离为 ．    【答案】 【分析】蚂蚁爬行距离最短，即将圆锥侧面展开后A到C的直线距离，根据已知条件、勾股定理可求出最短距离. 【详解】如图，圆锥的侧面展开图为半径为3的扇形，弧长， 则， 则. 故答案为：.    4．（22-23高一下·全国·课后作业）已知圆锥底面圆的半径为1，高为，要想从底面圆周上一点出发拉一条细绳绕圆锥的侧面一周再回到，求该条细绳的最短长度. 【答案】最短长度为. 【分析】根据展开图，通过底面周长得到弧长，通过母线得到扇形的半径，再求得圆心角，再利用三角形知识求解. 【详解】如图所示：    沿剪开，再展开后得到扇形，连接， 则由题意得细绳的最短长度为的长度. ∵圆锥底面圆的半径为1，高为， ∴扇形的弧长为，母线. 在扇形中，易得， ∴， 即该条细绳的最短长度为：. 【经典例题八 锥体体积的有关计算】 【例1】（25-26高三上·广东·开学考试）底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆锥中，圆锥的高、母线、底面半径之间的勾股关系，结合圆锥体积公式进行求解即可. 【详解】由题意可知该圆锥的底面半径为，圆锥的母线长为2， 因此圆锥的高为， 所以该圆锥的体积为， 故选：A 【例2】（24-25高一下·山东聊城·阶段练习）如图，在四棱锥中，，底面为平行四边形，对角线与相交于点，，点B到平面的距离为，为的中点．    (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）先得出，再应用线面平行判定定理证明； （2）应用点到平面的距离为，结合等体积法应用棱锥体积公式计算求解. 【详解】（1）因为点分别为的中点， 所以， 因为平面， 平面， 所以平面. （2）因为， 且为中点， 所以， 因为点到平面的距离为， 所以三棱锥的高， 所以. 即三棱锥体积为. 1．（2025高三·全国·专题练习）在棱长为1的正方体中，E，F分别为AB，的中点，则三棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长到K，使，易得，再利用体积转化即可求解. 【详解】如图，延长到K，使，连接KE，KD，KF， 设中点为，易得，又，为中点， 所以，即， 平面,不在平面内，所以平面, 所以， 因为，所以． 故答案为：A. 2．（多选）（2025高三·全国·专题练习）（多选）如图，三棱锥中，平面，，则下列条件中可使三棱锥体积唯一确定的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】ACD 【分析】根据三棱锥的体积公式为，在三棱锥中，为高，为底面，要使体积唯一确定，需要确定的长度和的面积. 【详解】设， 对于A，由可得，， 在中，由余弦定理得，解得， 所以唯一确定，故三棱锥的体积唯一确定，A正确； 对于B，在中，由正弦定理得，即， 解得，所以或，故三棱锥体积无法唯一确定，B错误； 对于C，因为平面，所以，又，， 所以平面，则． 设，则，， 故三棱锥的体积唯一确定，C正确； 对于D，由的三边已知，故三棱锥的底面积确定， 又，所以，所以三棱锥体积唯一确定，D正确． 故选：ACD. 3．（24-25高一下·上海杨浦·期末）如图，已知平行六面体的体积为4，若将其截去三棱锥，则剩余几何体的体积为 ． 【答案】 【分析】根据锥体和柱体的面积公式，结合平行六面体的性质进行求解即可. 【详解】设点到平面的距离为，四边形的面积为， 显然有， 所以， 因此剩余部分几何体的体积为. 故答案为： 4．（24-25高一下·河南郑州·期中）如图所示，空间四边形中，E，F，G，H分别是的中点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，则形成一个三棱锥，若三棱锥的底面是边长为1的正三角形，并且三棱锥的高为2，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】（1）利用中位线证明，即可； （2）利用棱锥的体积公式计算即可. 【详解】（1）因E，F，G，H分别是的中点， 则，， 则四边形是平行四边形. （2）由题意知，. 【经典例题九 棱锥表面积的有关计算】 【例1】（24-25高一下·辽宁锦州·期末）如图，攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称为攒尖，通常有圆形攒尖、三角形攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分．多见于亭阁式建筑，某个园林建筑为六角攒尖，它的顶部的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥高为1且侧棱长为，则棱锥侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设底面边长为，根据侧棱长和高求出，进而求出棱锥的斜高，最后求出侧面积即可． 【详解】设正六棱锥底面边长为，则由正六边形的性质可知底面中心到底面顶点的距离为， 又正六棱锥高为1且侧棱长为，根据正六棱锥的性质得，解得， 所以侧面等腰三角形的高， 所以棱锥侧面积为. 故选：A 【例2】（23-24高一下·湖南株洲·期中）已知边长为2，各面均为等边三角形的四面体如图所示，求它的表面积. 【答案】 【分析】易知四面体为正四面体，求出一个三角形面积即可得四面体的表面积. 【详解】因为四面体的四个面是全等的等边三角形， 所以四面体的表面积等于其中任何一个面的面积的4倍， 不妨求的面积，取的中点为，连接； 因为是边长为2的正三角形，易知， 所以. 可得四面体的表面积为. 1．（24-25高一下·天津滨海新·期中）已知三棱锥的所有棱长都是，则这个三棱锥的表面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出边长为的正三角形的面积，即可得解. 【详解】因为三棱锥的所有棱长都是，所以三棱锥为正四面体，每一个面均为正三角形， 又边长为的正三角形的面积为， 所以这个三棱锥的表面积是. 故选：C 2．（24-25高一下·黑龙江大庆·期末）已知正四棱锥的底面正方形的边长为，高为，则正四棱锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正四棱锥结构特征可求得侧面的高，由此可计算得到结果. 【详解】正四棱锥的底面边长为，高为，正四棱锥侧面的高为， 正四棱锥的侧面积. 故选：B. 3．（24-25高一下·上海杨浦·期末）已知正三棱锥底面的边长为6，高为3，则该正三棱锥的侧面积为 ． 【答案】 【分析】根据题意正三棱锥三个侧面全等，利用锥体的高及底边长求得斜高，即可得到侧面积. 【详解】 在正三棱锥中，底面边长为6，高， 且为的中心也是重心，所以， 则，所以， 即. 故答案为：. 4．（22-23高一·全国·随堂练习）仓库的房顶呈正四棱锥形，量得底面的边长为2.6m，侧棱长2.1m，现要在房顶上铺一层油毡纸，那么所需油毡纸的面积是多少？ 【答案】 【分析】求出一个侧面面积，再由四个侧面全等得出正四棱锥侧面积. 【详解】正四棱锥的侧面为全等的4个等腰三角形， 设一个等腰三角形底边上的高为，由题意则， 故正四棱锥的侧面积为. 故所需油毡纸的面积是. 【经典例题十 圆锥表面积的有关计算】 【例1】（25-26高三上·云南保山·开学考试）已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】利用圆锥表面积公式以及弧长公式列方程组求解即可. 【详解】设圆锥底面半径为，母线长为， 根据题意可知，解得； 所以圆锥底面直径为. 故选：C 【例2】（23-24高二·上海·课堂例题）已知圆锥侧面展开图中扇形的中心角为，底面周长为．求这个圆锥的侧面积和表面积． 【答案】侧面积为；表面积为 【分析】设圆锥的底面半径为，母线长为，侧面展开图的弧长为，利用圆锥侧面展开图的面积公式与圆锥表面积公式计算即可. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，侧面展开图的弧长为， 因为圆锥侧面展开图中扇形的中心角为，底面周长为， 所以，解得：， 又，解得：， 所以，侧面展开图的弧长为， 则， 1．（24-25高一下·云南玉溪·期末）圆锥的底面半径为，圆锥的高是1，则其侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出母线长，再利用圆锥的侧面积公式即可求得结果. 【详解】由圆锥的底面半径为，圆锥的高是1，即圆锥的母线长为， 所以其侧面积为，故D正确. 故选：D． 2．（24-25高一下·四川眉山·期末）已知一个圆锥的母线长为3，表面积为，则该圆锥的底面半径为（   ） A．2 B．3 C． D．5 【答案】A 【分析】设圆锥的底面半径为r，根据圆锥的表面积为，母线长为，由求解. 【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为， 因为圆锥的表面积为，母线长为， 所以， 即 ， 解得 或 （舍去） 故选：A 3．（25-26高三上·广东·开学考试）已知底面圆直径为的圆锥的表面积与其侧面积之比为，则该圆锥的高为 ．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】由圆锥的表面积和侧面积公式计算即可求解. 【详解】设该圆锥的底面半径和母线长分别为， 所以表面积为，侧面积为， 所以， 所以圆锥的高为， 故答案为：. 4．（23-24高二·上海·课堂例题）过圆锥高的三等分点分别作平行于底面的截面，求它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比（从小到大）． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用圆锥的侧面积公式，结合割补法思想求解即得. 【详解】令圆锥的底面圆半径为，母线长，点是圆锥的高的三等分点，如图， 依题意，圆锥、圆锥的底面与圆锥的底面平行，因此它们的轴截面等腰三角形都相似， 则圆锥、圆锥的底面圆半径分别为，母线长分别为， 于是圆锥、圆锥、圆锥的侧面积分别为， 所以两个截面把圆锥侧面分成的三部分的面积之比为. 【拓展训练一 有关棱锥的综合问题】 【例1】（23-24高二上·上海浦东新·期中）有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分类讨论底面三角形的形状，再根据三角形三边关系列出不等式，求解即可． 【详解】根据两根长都为的直铁条的相对位置，将底面三角形的三边长分为两种情况： ①当底面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为，即两根长都为的直铁条相邻， 取中点为，连接，如图所示， 由正三角形可知，， 在中，由于，即， 解得；    ②当底面三角形边长分别为，三条侧棱长为，即两根长都为的直铁条不相邻， 取中点为，连接 ，如图所示，    由为等腰三角形，得， 在中，，即，解得； 综上所述，的取值范围是， 故选：A． 【例2】（2024高三·全国·专题练习）四棱锥的底面为矩形，，，高，O为底面对角线的交点，过底面对角线BD作截面使它平行于SA，并求出此截面的面积. 【答案】作图见解析，. 【分析】设E是SC的中点，根据线面平行性质定理确定截面，然后在中利用余弦定理求，然后由三角形面积公式可得. 【详解】如图，设E是SC的中点，连DE，BD，    因为为平行四边形，所以是的中点，故， 因为平面，平面， 所以平面，的面积即为所求. 易知， 所以， 由，知， 又为正三角形，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以， 所以. 1.（24-25高一下·江西·阶段练习）已知三棱锥的棱长均为2，点P在内，且，则点P的轨迹的长度（    ） A． B． C． D．π 【答案】C 【分析】取CD的中点E，连接BE，过点A作，垂足为H，可求得P在以H为圆心，为半径的圆上，进而计算即可得答案. 【详解】如图1，取CD的中点E，连接BE，过点A作，垂足为H，由， 知，所以，又， 所以，所以点P在以H为圆心，为半径的圆上. 如图2，由，得， 解得（结合图形舍去），所以四边形BGHF是菱形，， 所以点P的轨迹的长度为. 故选：C. 2．(多选）（2024·浙江杭州·模拟预测）已知正四面体，过点的平面将四面体的体积平分，则下列命题正确的是（    ） A．截面一定是锐角三角形 B．截面可以是等边三角形 C．截面可能为直角三角形 D．截面为等腰三角形的有6个 【答案】AD 【分析】根据题意，结合正四面体的几何特征，以及余弦定理和三角形的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】如图所示，设过点的截面交底面于点，且， 因为过点的平面将正四面体的体积平分，即平分的面积， 可设正四面体的棱长为， 可得，解得，且， 对于A中，在中，可得， 在中，可得， 在中，可得， 则，即， 同理可得，， 即在中，任意的两边的平方和大于第三边，所以为锐角三角形，所以A正确； 对于B中，若截面为等边三角形，则满足， 若，即，可得， 此时，可得， 所以截面不是等边三角形，所以B错误； 对于C中，当点与点重合时，要使得平面平分三棱锥的体积， 即平分的面积，此时为的中点，此时， 则中，边取得最小值，且，且， 可得，此时的最大角为锐角， 所以不能为直角三角形，所以C错误； 对于D中，当过点截面过底面的一个顶点和对边的中点时， 如图（1）所示，得到截面，,，此时， 此时三个三角形都为等腰三角形，且满足把正四面体的体积平分； 如图（2）所示，在的边长上分别取， 使得，连接， 使得恰好平分的面积，此时截面恰好平分正四面体的体积，且为等腰三角形， 综上可得，截面为等腰三角形的有6个，所以D正确. 故选：AD.     3．（24-25高一下·河北石家庄·期中）已知正方体的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点（如图），则四棱锥的表面积是 .    【答案】 【分析】由题意得出四棱锥的底面是边长为的正方形，四个侧面都是边长为的等边三角形，进一步结合棱锥的表面积公式即可求解. 【详解】如图所示：    由题意可得，底面四边形为边长为的正方形，其面积， 设为中点，为正方形中心，则，， 显然，所以正四棱锥的侧棱，同理， 又，所以正四棱锥的四个侧面都是边长为的等边三角形， 设四棱锥的表面积是， 则. 故答案为：. 4．（24-25高一下·湖南湘潭·阶段练习）如图，正四棱锥中，，，为中点. (1)求证：平面； (2)求三棱锥的表面积和体积. 【答案】(1)证明见解析； (2)， 【分析】（1）连接，交于点，连接，推导出，即可证明平面． （2）三棱锥的表面积，易证平面，所以. 【详解】（1）证明：连接，交于点，连接， 四棱锥为正四棱锥，四边形是正方形， 是中点，是中点，是的中位线， ，平面，平面，平面． （2）由（1）知， ，， ，， 由四棱锥为正四棱锥得：， 为中点， ， ，即， ． 所以，，，， 所以三棱锥的表面积 . 又，又四边形是正方形，所以， ，都在平面内，平面， . 【拓展训练二 有关圆锥的综合问题】 【例1】（23-24高一下·福建厦门·阶段练习）已知圆锥的母线长为4，过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8，则该圆锥底面半径的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据题意作出圆锥的轴截面，再分析其轴截面三角形的顶角是否大于等于，结合三角函数即可得解. 【详解】 如图，是圆锥的轴截面，设圆锥的底面圆半径为. 若,所得截面面积最大值为,则,故不符合题意； 若，此时所得截面面积得最大值为，符合题意， 此时有，解得，又，则. 故选：D. 【例2】（24-25高一下·浙江·期中）圆锥的底面直径是2，其侧面展开图是一个顶角为120°的扇形. (1)一只蚂蚁从点A出发，沿圆锥侧面爬行一圈回到点A，求爬行的最短路程； (2)过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面在圆锥中挖去一个圆柱（如图所示），求剩下几何体的表面积和体积. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）作出侧面的展开图，最短路程即为的长，由余弦定理可求解； （2）求得圆锥的高，进而计算剩下几何体的表面积和体积. 【详解】（1）由题意，侧面展开图如图所示，最短路程即为的长，设为圆锥的母线长， 由，可得，即母线， 在中，由余弦定理可得 所以爬行的最短路程为； （2）因为圆锥的母线长为，所以圆锥的高为， 从而挖去的圆柱的高为，从而挖去的圆柱的侧面积为， 又圆锥的表面积为， 所以剩下几何体的表面积， 剩下几何体的体积为. 1．（22-23高三下·北京·阶段练习）圆锥的母线长为6，轴截面的顶角为120度，过两条母线作截面，则截面面积的最大值为（    ） A． B．18 C． D．9 【答案】B 【分析】作出过圆锥顶点的截面，两条母线的夹角是时，截面三角形的最大面积，结合母线长为6，代入可得截面面积的最大值． 【详解】解：如图，过圆锥顶点认作一截面，交底面圆与， 圆锥轴截面的顶角为， 则时，截面面积取最大值， 过圆锥顶点的截面中，最大截面面积为， 故选：B． 2．（多选）（2025·河北秦皇岛·三模）如图，圆锥的底面半径为1，侧面积为，是圆锥的一个轴截面，是底面圆周上异于，的一点，则下列说法正确的是（    ） A．的面积为 B．圆锥的侧面展开图的圆心角为 C．由点出发绕圆锥侧面旋转一周，又回到点的细绳长度最小值为 D．若，则三棱锥的体积为 【答案】ABC 【分析】根据给定条件，利用圆锥侧面积公式求出圆锥的母线长，再结合侧面展开图、锥体体积公式逐项判断. 【详解】由圆锥的底面半径为1，侧面积为，得圆锥母线，圆锥的高， 对于A，，A正确； 对于B，圆锥的侧面展开图扇形弧长为，圆心角为，B正确； 对于C，将圆锥的侧面沿母线剪开展成平面图形，连接，如图， 所求细绳长度最小值为，C正确； 对于D，当时，，， ，D错误. 故选：ABC 3．（24-25高一下·陕西渭南·阶段练习）已知圆锥的母线长为4，过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8，则该圆锥底面半径的取值范围为 ． 【答案】 【分析】依据题意作出圆锥的轴截面，再分析其轴截面三角形的顶角是否大于等于，结合三角函数即可得解. 【详解】如图是圆锥的轴截面，设圆锥底面圆的半径为. 若，所得截面面积的最大值为， 则，故不合题意； 若，此时所得截面面积的最大值为 ，符合题意， 此时有，解得，又，则. 故答案为：. 4．（23-24高一下·河北张家口·阶段练习）已知圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，母线长为3. (1)求圆锥的底面积； (2)在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的体积. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用扇形弧长公式求出圆锥底面圆半径即可得解. （2）设圆柱的高，，借助比例式将圆柱的侧面积表示成的函数，结合二次函数的性质求出面积最大值即可得解. 【详解】（1）依题意，圆锥的侧面展开图扇形弧长为，则圆锥底面圆半径， 所以圆锥底面圆面积为. （2）设圆柱的高，底面圆半径， 在中，，显然，则， 即，于是， 圆柱侧面积， 则当，时，圆柱的侧面积最大，此时该圆柱的体积为. 1．（25-26高二上·辽宁·阶段练习）已知圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据弧长公式可得，进而利用勾股定理求解圆锥的高，由体积公式即可求解. 【详解】设圆锥的母线长为，底面圆半径为， 则，即，解得， 所以该圆锥的高， 可得圆锥的体积. 故选:B. 2．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）已知圆锥的母线长为2，底面半径为1，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接由圆锥的侧面积公式得到. 【详解】因为，所以圆锥的侧面积. 故选：C. 3．（2025高三·全国·专题练习）如图，正三棱锥的所有棱长都为4.点分别在棱上，满足，的个数是（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据立体几何图像问题可解. 【详解】1个是水平时，2个是倾斜时（条件对称）. 故选：C. 4．（24-25高一下·内蒙古包头·期末）正方体中，过顶点，，作截面，截下一个三棱锥，则截下的三棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为（    ） A．1:5 B．1:6 C．5:6 D．1:4 【答案】A 【分析】先求出截去的三棱锥的体积，再用正方体的体积减去三棱锥的体积得余下体积，得解. 【详解】如图，设正方体的棱长为，则该正方体的体积为， 则，所以剩余部分的体积为， 所以截下的三棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为. 故选：A. 5．（25-26高三上·湖南长沙·开学考试）已知正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的3倍，则此正四棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到斜高，从而得到四棱锥体高，由体积计算公式即可求解. 【详解】如图，在正四棱锥中，为四棱锥的高，为斜高， 因为正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的3倍， 所以，解得， 所以此正四棱锥的体积为, 故选：C. 6．（多选）（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）平行六面体的体积为，点在线段上运动，则下列三棱锥中，体积为的是（ ） A．三棱锥 B．三棱锥 C．三棱锥 D．三棱锥 【答案】ABD 【分析】确定各三棱锥的底面，与六面体的高和底面进行比较，必要时使用等体积法. 【详解】 对于三棱锥.因平面平面，且平面， 所以平面.故在上运动的点距离平面的距离为定值， 等于两平面间的距离.因此三棱锥以为底，六面体以平行四边形为底， 则三棱锥的底面积为六面体的，高与六面体的高相等， 故体积为.选项A正确. 对于三棱锥.由平行六面体的性质得，且平面， 故平面.故在上运动的点距离平面的距离为定值. 不妨让与点重合，三棱锥以为底， 其体积与三棱锥的体积相等.对于三棱锥， 以为底，六面体以平行四边形为底， 则三棱锥的底面积为六面体的底面积的一半，高相等，故体积为.选项B正确. 对于三棱锥.直线与平面相交于， 故与平面不平行.三棱锥以为底， 动点距离底面的距离随点运动而变化，故该三棱锥的体积并非定值.选项C错误. 对于三棱锥.因在平面内，故平面， 所以无论运动到何处，其到平面的距离为定值.不妨设与点重合， 三棱锥的体积即与三棱锥的体积相等.该三棱锥以为底， 六面体以平行四边形为底， 则该三棱锥的底面积为六面体的一半，高与六面体的高相等， 故体积为.选项D正确. 故选：ABD 7．（多选）（23-24高三上·山东潍坊·期末）等腰直角三角形的直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】分2种情况，一种是绕直角边，一种是绕斜边，分别求形成几何体的表面积. 【详解】如果是绕直角边旋转，形成圆锥，圆锥底面半径为1，高为1，母线就是直角三角形的斜边， 所以所形成的几何体的表面积是. 如果绕斜边旋转，形成的是上下两个圆锥，圆锥的半径是直角三角形斜边的高，两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边，母线长是1， 所以写成的几何体的表面积. 综上可知形成几何体的表面积是或. 故选：AB. 8．（多选）（23-24高一下·湖北武汉·期末）如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P．如果将容器倒置，水面也恰好过点P（图2），则（    ） A．若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满 B．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半 C．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P D．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P 【答案】AC 【分析】根据题意，设图1中水的高度为，几何体的高为，底面正方形的边长为，利用水的体积，得出与的关系，从而结合选项即可逐一判断． 【详解】设图1中水的高度，几何体的高为，底面正方形的边长为； 则图2中水的体积为，即，解得， 所以正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半是错误的，即B错误． 对于A，往容器内再注入升水，水面将升高，则，容器恰好能装满，A正确； 对于C，当容器侧面水平放置时，点在长方体中截面上，占容器内空间的一半， 所以水面也恰好经过点，C正确； 对于D中，如图所示，当水面与正四棱锥的一个侧面重合时， 因为四棱锥的高为，几何体的高度为，设正四棱柱的底面边长为， 可得，由，可得，可得， 所以的体积为， 可得水的体积为，此时，矛盾，所以D不正确. 故选：AC． 9．（多选）（24-25高二下·河北·期末）已知一直角三角形的两条直角边分别为1cm，2cm，以这个直角三角形的一边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体，则这个几何体的体积可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】斜边长为，斜边上的高为，对轴分三种情况，结合圆锥的体积公式即可求解. 【详解】由题意斜边长为， 若以直角边为轴，则所求为， 若以直角边为轴，则所求为， 若以斜边为轴，则斜边上的高为，所求为. 故选：ABC. 10．（多选）（24-25高一下·广东·期中）已知圆锥的底面半径，母线长，设该圆锥的侧面展开图为扇形AOB，O为扇形圆心，则（   ） A．扇形AOB的圆心角为 B．圆锥的高h为 C．圆锥的表面积为 D．从点绕圆锥侧面一周回到点的最短距离为 【答案】BCD 【分析】根据圆锥的几何结构特征，结合圆锥的侧面积公式，以及侧面展开图的应用，逐项求解，即可得到答案. 【详解】对于A中，设圆锥的侧面展开图所得扇形的圆心角为，可得， 即，解得，所以A错误； 对于B中，圆锥的高为，所以B正确； 对于C中，由圆锥的侧面积为，底面积为， 所以圆锥的表面积为，所以C正确； 对于D中，如图所示，圆锥的侧面展开图中，可得， 即从点绕圆锥侧面一周回到点的最短距离为，所以D正确. 故选：BCD. 11．（24-25高一下·辽宁·阶段练习）现有一块棱长为2的正四面体木料，用平行于该木料底面的一个平面将木料截成两部分，若这两部分的表面积相等，则该平面在木料上的截面面积为 ． 【答案】 【分析】根据题设求出截取的小三棱锥的侧面等边三角形的面积后可求该平面在木料上的截面面积. 【详解】正四面体表面积为，故截取的小三棱锥的侧面积为， 故小三棱锥的侧面等边三角形的面积为，设该平面在木料上的截面面积为， 而底面面积为，则即， 故答案为：. 12．（2025高三·全国·专题练习）已知正四面体的体积为，则其表面积为 ． 【答案】 【分析】解法一：设正四面体的棱长为，作平面，垂足为，结合图形求得和的面积，利用其体积求得，即可求出表面积；解法二：设正四面体的棱长为，运用二阶结论由体积求得，即可利用表面积公式求其表面积 【详解】解法一：设正四面体的棱长为，如图，作平面，垂足为，则为正的中心， 连接并延长，交于点，则为的中点，所以，， 所以，． 由，解得，所以， 故正四面体的表面积为． 故答案为：. 解法二：设正四面体的棱长为，则其体积为，表面积为， 依题意，由解得，故其表面积为． 故答案为：. 二级结论 正棱锥相关结论 ①正棱锥的底面为正多边形； ②正棱锥的顶点在底面上的射影为底面中心； ③正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜高乘积的一半； ④正三棱锥的对棱互相垂直． 正四面体相关结论 当正四面体的棱长为时，有以下结论： ①正四面体的高为； ②正四面体的表面积为，正四面体的体积为； ③正四面体的内切球半径为，外接球半径为； ④正四面体的侧棱与底面夹角的余弦值为，相邻两个面组成的二面角的余弦值为． 13．（24-25高一下·安徽安庆·期末）已知某圆锥的轴截面是直角边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥的体积为 . 【答案】 【分析】根据题意，利用圆锥的几何结构特征，求得圆的底面半径和高，结合体积公式，即可求解. 【详解】由圆锥的轴截面是直角边长为2的等腰直角三角形，可得斜边长为，斜边上的高为， 所以圆锥的底面半径为，高为，所以所求体积. 故答案为：. 14．（25-26高二上·辽宁·阶段练习）如图，水平的广场上有一盏路灯挂在高9m的电线杆顶上，记电线杆的底部为点.把路灯看作一个点光源，身高1.5m的女孩站在离点5m的点处，若女孩沿方向前行5m到达点，此时为的中点，然后从点出发沿着以为对角线的正方形走一圈，则女孩走一圈时头顶影子的轨迹围成图形的面积为 .    【答案】18 【分析】根据题意可知，女孩头顶的影子轨迹所围成的图形是一个正方形，由此可求得女孩头顶的影子轨迹所围成的图形面积. 【详解】把路灯看作一个点光源，女孩走一圈时头顶影子的轨迹与点光源构成一个四棱锥，    头顶轨迹为截面，与底面距离为，截面是正方形， 底面即女孩走一圈时头顶影子的轨迹也是正方形，相似比为， 截面面积与底面面积之比为相似比的平方，截面边长为， 设底面面积为，则，解得. 故答案为：18. 15．（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）如图，一个盛满水的三棱锥容器，三条侧棱上各有一个小洞D，E，F，且知道，若仍用这个容器盛水，则最多可盛原来水的 . 【答案】 【分析】要使容器盛水最多，水面只能与平面平行，所以所装水体积就是几何体的体积，结合棱锥的性质得出. 【详解】如图，因，则，又因为， 得与相似，所以， 设点到平面的距离分别为，则. 要使容器盛水最多，水面只能与平面平行， 所以所装水体积就是几何体的体积. 所以， 得 故答案为：. 16．（25-26高二上·河北张家口·开学考试）如图，正三棱柱中，，点是的中点. (1)求证：平面； (2)若三棱锥的体积为，求这个三棱柱的侧棱长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，交于点N，连接，易得，由线面平行的判定定理得证； （2）由三棱锥体积公式求解. 【详解】（1）连接，交于点N，连接， 因为四边形为矩形，所以为的中点， 又点是的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）因为为等边三角形，是的中点，所以， 又，故， 因为平面， 设，则， 所以，即，解得， 故这个三棱柱的侧棱长为3. 17．（2025高三·全国·专题练习） 如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，长度分别为，高，证明：. 【答案】证明见解析 【分析】由侧棱两两垂直得直角三角形，用勾股定理分别表示，，，三等式相加即得证. 【详解】如图，因为，，均为直角三角形，所以， 故． 18．（24-25高一下·黑龙江大庆·期中）如图，在正四棱锥中，，M是PD的中点. (1)求四棱锥的表面积； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)表面积为 (2) 【分析】（1）由正四棱锥的性质可求得四个侧面三角形的面积，进而可求表面积； （2）求得棱锥的高，利用三棱锥的体积与三棱锥的体积的关系可求得体积. 【详解】（1）由四棱锥是正四棱锥，可得四棱锥的侧面是全等的等腰三角形， 因为，所以，， 所以表面积为. （2）由四棱锥是正四棱锥，所以在底面的射影是正方形的中心， 又， 又， 因为M是PD的中点，所以的体积是的一半， 所以. 19．（23-24高一下·陕西宝鸡·阶段练习）用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形.如图，圆锥底面圆的半径是4，轴截面的面积是4. (1)求圆锥的母线长； (2)过圆锥的两条母线，作一个截面，求截面面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助轴截面面积可得其高，即可得其母线长； （2）借助面积公式可得夹角为时，截面面积取最大值. 【详解】（1）轴截面的面积为，所以， 所以圆锥的母线长； （2）在轴截面中，，， ，， 的面积， 当时，截面面积有最大值，最大值为. 20．（22-23高一下·福建龙岩·期中）已知一个底面半径是2的圆锥内接一个圆柱，圆锥的母线长是8.      (1)求圆柱侧面积的最大值； (2)当圆柱侧面积取得最大值时，圆柱与圆锥的母线交于点，一只蚂蚁从点处出发沿圆锥侧面爬行一周到点，求蚂蚁爬行的最短距离. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）作出圆锥的半轴截面图求得圆锥的高，设圆柱的高为，底面半径为，则，进而得圆柱的侧面积表达式，即可求得最大值. （2）由题意可得点为的中点，圆锥的侧面展开图为扇形，求出扇形的圆心角，在展开图中即可求出最短距离. 【详解】（1）作出圆锥的半轴截面图，如图1，由题意得圆锥的高为， 设圆柱的高为，底面半径为， 则，即， 则圆柱的侧面积， 当时，取得最大值.    （2）由（1）可得圆柱底面半径为1，，由相似性质可得点为的中点， 设圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的圆心角为，则，即， 当蚂蚁爬行的距离最短时，则爬行的距离即展开图2中的长，即， 所以最短距离为. 学科网（北京）股份有限公司 $