11.1柱体讲义- 2025-2026学年高二上学期数学沪教版必修第三册

2025-2026学年高二数学必修三同步培优讲义【精英班课程】 专题11.1 柱体 知识点01：棱柱与圆柱 1.棱柱定义、相关概念、结构特征与分类 定义 有一对互相平行的面，且这两个面是两个全等的三角形或平面多边形；同时，不在这两个面上的棱都相互平行；我们把这样的多面体叫做棱柱； 图示及相关概念 底面：两个互相平行的面； 侧面：底面以外的其余各面； 侧棱：不在底面上的棱； 顶点：侧面与底面的公共顶点； 高：棱柱的两个底面之间的距离称为棱柱的高； 分类1 按底面多边形的边数分：三棱柱、四棱柱…… 分类2 侧棱垂直于底面的棱柱称为直棱柱； 否则称为斜棱柱； 底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱； 常见四棱柱及其关系： 2.圆柱定义、相关概念、结构特征 定义 将矩形绕其一条边所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆柱；（或者理解为：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体） 图示及相关 概念 轴：旋转轴叫做圆柱的轴； 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面； 侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面； 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边； 高：圆柱的两个底面间的距离（即的长度）叫做该圆柱的高； 备注 易知圆柱有两个相互平行的底面，有无穷多条母线，且所有母线都与其轴平行； 方便起见，我们把棱柱和圆柱统称为柱体； 轴截面 定义：是指过圆柱的轴的截面分别叫做圆柱轴截面；也泛指过任意一轴的“面”。 性质：1、同一圆柱轴截面都全等；2、圆柱的轴截面是全等的矩形； 知识点02：祖暅原理与柱体的体积 1、祖暅原理：夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面都有相等的面积，那么这两个几何体的体积必相等. 【说明】祖暅 [gèng]，又名祖暅之，字景烁，是我国南北朝时代南朝的数学家、科学家祖冲之的儿子。 （1）“幂势既同，则积不容异”，即“夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”. （2）作用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等. 2、柱体的体积 V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高) V圆柱＝πr2h(r为底面半径) 知识点03：柱体的表面积 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和；所以，棱柱、圆柱的表面积就是围成它们的各个面的面积的和； 图形 表面积公式 多面体 多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积 直棱柱 S直棱柱侧＝ch（c为直棱柱的底面周长，h为直棱柱的高） S表＝S侧＋2S底 圆柱 （l为圆柱的母线长，r为圆柱底面的半径） 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝2πrl 表面积：S＝2πrl＋2πr2 题型01：棱柱定义、相关概念、结构特征 【例1】下列说法中正确的是（    ） A．棱柱的侧面都是矩形 B．棱柱的侧棱不全相等 C．棱柱是有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体 D．棱柱中至少有两个面平行 【答案】D 【分析】根据棱柱的定义依次判断选项即可. 【详解】对选项A：由棱柱的定义知：棱柱的侧面是平行四边形，不一定是矩形，故A错误； 对选项B：由棱柱的定义知：棱柱的侧棱相等，故B错误； 对选项C：如图所示，有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体，但不是棱柱，故C错误； 对选项D：由棱柱的定义可知：棱柱的上下底面一定平行， 所以至少有两个面互相平行，故D正确. 故选：D. 【例2】下列命题中正确的是（　　） A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面 C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形 【答案】D 【来源】8.1基本立体图形【第一课】“上好三节课，做好三套题“高中数学素养晋级之路 【分析】根据题意，结合棱柱的几何结构特征，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，如图所示满足有两个面互相平行，其余各面都是四边形，但该几何体不是棱柱，故A不正确； 对于B中，正六棱柱中有四对互相平行的面，但只有一对面为底面，所以B不正确； 对于C中，长方体、正方体的底面都是平行四边形，故C不正确； 对于D中，根据棱柱的几何结构特征，可得棱柱的侧棱都相等，且侧面都是平行四边形，所以D正确. 故选：D. 【例3】下列说法正确的是（    ） A．棱柱中相邻两个面的公共边叫做侧棱 B．棱柱中至少有两个面的形状完全相同 C．棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面 D．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱 【答案】B 【来源】8.1基本立体图形【第二课】“上好三节课，做好三套题“高中数学素养晋级之路 【分析】根据棱柱的结构特征，判断选项中的结论是否正确. 【详解】A错误，底面和侧面的公共边不是侧棱； B正确，根据棱柱的特征知，棱柱的两个底面一定是全等的，故棱柱中至少有两个面的形状完全相同； C错误，正六棱柱的两个相对侧面互相平行； D错误，“其余各面都是平行四边形”并不能保证“相邻两个四边形的公共边都互相平行”，如图所示的几何体就不是棱柱． 故选：B. 题型02：棱柱的分类与判断 【例4】设，，，，则这些集合的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由各几何体的特点得到集合之间的关系. 【详解】根据几何体的特点可知，长方体是底面为矩形的直四棱柱，正四棱柱是底面为正方形的直四棱柱，正方体是侧面均为正方形的正四棱柱可以得到这些集合的关系， 故选：B. 【例5】给出下列命题： ①平行六面体是斜四棱柱； ②有两个相邻侧面为矩形的棱柱是直棱柱； ③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体； ④有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形，这些面围成的几何体叫做棱柱. 其中正确的是个数是 . 【答案】 【详解】对于①，平行六面体可以是斜棱柱，也可以是直棱柱，①错； 对于②，有两个相邻侧面为矩形的棱柱是直棱柱，②对； 对于③，各侧面都是正方形的四棱柱不一定是正方体， 如直四棱柱，底面是菱形，底面边长和高相等，但该四棱柱不为正方体，③错； 对于④，有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形，这些面围成的几何体不一定是棱柱，如下图所示： 该几何体不是棱柱，④错. 故答案为：. 【例6】下列命题不正确的是（    ） A．正方体一定是正四棱柱 B．平行六面体的六个面均为平行四边形 C．有相邻两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 D．底面是正多边形的棱柱是正棱柱 【答案】D 【分析】根据正四棱柱、正棱柱、直棱柱、平行六面体的概念和结构特征对选项逐一判断， 即可得答案. 【详解】对于A，上、下底面都是正方形，且侧棱垂直于底面的棱柱叫做正四棱柱，所以正方体是正四棱柱，故A正确； 对于B，底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体，而棱柱的各个侧面都是平行四边形，故B正确． 对于C，有两个相邻的侧面是矩形，说明公共侧棱与底面两条相交直线垂直，则侧棱与底面垂直，而侧棱与底面垂直的棱柱为直棱柱，所以有相邻两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱，故C正确； 对于D，底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，底面是正多边形但侧棱与底面不垂直的棱柱不是正棱柱，故D错误； 故选：D. 【例7】下列命题： ①有两个面平行，其他各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱； ②有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱； ③过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形； ④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱． 其中正确命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】①②③④均可举出反例. 【详解】①如图1，满足有两个面平行，其他各面都是平行四边形， 显然不是棱柱，故①错误； ②如图2，满足两侧面与底面垂直，但不是直棱柱，②错误； ③如图3，四边形为矩形， 即过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形可能是矩形，③错误； ④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱不一定是正四棱柱，因为两底面不一定是正方形，④错误． 故选：A 【例8】有下列四个命题，其中正确的是（    ） A．底面是矩形的平行六面体是长方体 B．棱长相等的直平行六面体是正方体 C．有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体 D．对角线相等的平行六面体是直平行六面体 【答案】D 【解析】对于A，底面是矩形的平行六面体，它的侧面不一定是矩形，故它也不一定是长方体，即A不正确； 对于B，若底面是菱形，则棱长都相等的直四棱柱不是正方体，故B不正确； 对于C，若侧棱垂直于底面两条平行边，则侧棱不一定垂直于底面，故侧棱垂直于底面两条边的平行六面体不一定是直平行六面体．故C不正确；. 对于D，若平行六面体对角线相等，则对角面皆是矩形，于是可得侧棱垂直于底面，因此对角线相等的平行六面体是直平行六面体，故D正确. 故选：D. 题型03：圆柱定义、相关概念、结构特征 【例9】下列关于圆柱的说法中不正确的是（    ） A．圆柱的所有母线长都相等 B．用平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是与底面全等的圆面 C．用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个圆面 D．一个矩形以其对边中点的连线为旋转轴，旋转所形成的几何体是圆柱 【答案】C 【分析】根据圆柱的结构特征逐个分析判断即可 【详解】对于A，圆柱的所有母线长都等于圆柱的高，且都相等，所以A正确， 对于B，用平行于圆柱底面的平面截圆柱，由圆柱的性质可知截面是与底面全等的圆面，所以B正确， 对于C，用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是椭圆面或椭圆面的一部分，所以C错误， 对于D，一个矩形以其对边中点的连线为旋转轴，旋转所形成的几何体是圆柱，所以D正确， 故选：C 【例10】给出下列说法： （1）圆柱的底面是圆面； （2）经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面； （3）圆台的任意两条母线所在的直线可能相交，也可能不相交； （4）夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体． 其中说法正确的是 ． 【答案】（1）（2） 【分析】由圆柱的性质判断(1)、(2)、(4)；由圆台的性质判断(3). 【详解】解：圆柱的底面是圆面，故（1）正确； 圆柱的母线都平行且相等，且都垂直于底面，则经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面，故（2）正确； 圆台是由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到的，则圆台的任意两条母线所在的直线相交，故（3）错误； 当两个截面不平行或截面平行但不与底面平行时，两个截面间的几何体不是旋转体，故（4）错误． 故答案为：（1）（2）． 【例11】给出下列命题： ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线； ③在圆台的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线； ④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的； ⑤圆台所有母线的延长线交于一点其中正确的命题是（    ） A．①②④ B．②③④ C．①③⑤ D．②④⑤ 【答案】D 【解析】由于圆柱母线所在的直线互相平行且与旋转轴平行，而在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点， 这两点的连线与旋转轴不一定平行，故①错误，④正确；由圆锥母线的定义知②正确； 在圆台的上、下底面的圆周上各取一点，这两点的连线不一定是母线， 且圆台所有母线的延长线交于一点，故③错误，⑤正确.故选：D. 题型04：棱柱与圆柱的截面问题 【例12】如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（    ） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（4） D．（1）（5） 【答案】D 【解析】当该平面过圆柱上、下底中心时截面图形为（1）；当不过上、下底的中心时，截面图形为（5）. 所以只有（1）、（5）正确.故选：D. 【例13】一个透明密闭的正方体容器中恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体容器，则水面在容器中形成的所有可能的形状是（ ） ①三角形     ②非正方形的菱形     ③五边形     ④正方形     ⑤正六边形 A．②④ B．③④⑤ C．②④⑤ D．①②③④⑤ 【答案】C 【分析】正方体容器中盛有一半容积的水，无论怎样转动，其水面总是过正方体的中心，从而将问题转化为过正方体中心，作正方体的截面问题. 【解析】因为正方体容器中盛有一半容积的水，无论怎样转动，其水面总是过正方体的中心， 过正方体一面上一边的中点和此边外的顶点以及正方体的中心作一截面，其截面形状为菱形，且不为正方形，所以②是正确的；      过正方体一面上相对两边的中点以及正方体的中心作一截面，得截面形状为正方形，所以④是正确的；      过正方体的一个面相邻两边的中点以及正方体的中心作一截面，得截面形状为正六边形，所以⑤是正确的；      过正方体的中心的平面截正方体得到的截面，且该截面将正方体的体积平分，显然截面不能是三角形和五边形； 故选：C. 【例14】一个圆柱的侧面展开图是长为4，宽为2的矩形，则该圆柱的轴截面的面积为（    ） A．32 B． C． D． 【答案】D 【解析】若4为底面周长，则圆柱的高为2，此时圆柱的底面直径为，故圆柱的轴截面的面积为； 若2为底面周长，则圆柱的高为4，此时圆柱的底面直径为，故圆柱的轴截面的面积为. 故选：D. 【例15】用一张的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，接头忽略不计，则圆柱的轴截面面积是 . 【答案】 【详解】若圆柱的高为，则底面圆的周长为4，设，则， 此时圆柱的轴截面为两边长分别为和的矩形， 所以轴截面面积； 若圆柱的高为，则底面圆的周长为8，设，则， 此时圆柱的轴截面为两边长分别为和的矩形， 则轴截面面积. 综上可知，圆柱的轴截面面积为. 故答案为：. 【例16】轴截面图形为正方形的圆柱叫做等边圆柱．已知某等边圆柱的轴截面面积为，则该等边圆柱的底面周长为 cm． 【答案】 【分析】由等边圆柱的轴截面面积可计算圆柱的底面半径，从而求出底面周长. 【详解】如图所示，作出等边圆柱的轴截面， 由题意知，四边形为正方形，设圆柱的底面半径为r，则． 轴截面的面积，解得． 故该等边圆柱的底面周长． 故答案为： 题型05：棱柱及其有关计算 【例17】若正方体的棱长为a，则正方体的对角线长为 ；对角面面积为 ． 【答案】 【分析】由正方体的几何性质求解相应问题． 【详解】如图： 正方体的对角线长为：， 对角面面积为：， 故答案为： 【例18】长方体中，，，则此长方体的对角线长是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，作图，根据勾股定理和锐角三角函数，分别计算出长方形的长宽高，进而利用长方体的对角线的计算公式，直接计算可得答案 【详解】 由已知得，，，根据勾股定理和锐角三角函数，在直角三角形中，得，，在直角三角形中，由，可得，，则此长方体的对角线长为. 故选：B 【例19】已知正方体的棱长为1，则正方体的体对角线长为 . 【答案】 【分析】由正方体体对角线公式即可求解 【详解】因为正方体的棱长为1， 所以体对角线长为， 故答案为： 【例20】长方体中，分别为棱中点，则两点的距离为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】连接，利用两次勾股定理求解. 【解析】连接， 在中，， 在中，. 故选：D.    题型06：祖暅原理与柱体的体积 【例21】若正六棱柱的高为4，底面边长为2，则这个正六棱柱的体积是 ． 【答案】 【分析】由柱体的体积公式即可求解. 【详解】由题意，该正六棱柱的底面边长为2， 则其底面面积， 又因为该正六棱柱的高， 所以该正六棱柱的体积. 故答案为：. 【例22】中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作经验，提出“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高．详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．上述原理在中国被称为祖暅原理．一个上底面边长为2，下底面边长为4，高为6的正四棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为 ．    【提示】由题目所给信息可得即求相应台体体积，由台体体积公式可得答案. 【答案】56 【解析】由题可得即求相应台体体积，设台体上底面面积为，下底面面积为，台体高为，则台体体积为. 故答案为：56； 【例23】一张矩形纸的边长分别为、，把它作为一个圆柱的侧面，再添加圆柱的两个底，可以得到高分别为和的两个圆柱体，其体积为和，则和的大小关系是（    ）. A． B． C． D．不确定 【答案】C 【分析】根据圆柱的体积公式即可求解． 【详解】当高为时，底面周长为，则底面半径为， 所以， 同理可得当高为时，， 因为，所以， 故选：C． 【例24】在修建铁路时，路基需要用碎石铺垫．已知路基的形状及尺寸如图所示（单位：m），每修建1km铁路需要碎石多少？ 【答案】 【分析】根据柱体的体积公式计算可得. 【详解】由题意，路基是四棱柱，其体积为：. 所以每修建铁路需要碎石. 【例25】如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为1，高为2，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这是水面恰好是中截面，则图1中容器水面的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】图2中水所占部分为四棱柱，求出其底面积和高，根据棱柱的体积公式求出四棱柱的体积，同理在图1中，求同三棱柱的体积，能求出图1中容器内水面的高度. 【详解】在图2中，水中部分是四棱柱， 四棱柱底面积为，高为2， ∴四棱柱的体积为， 设图1中容器内水面高度为h， 则V，解得h. ∴图1中容器内水面的高度是. 故选：D. 题型07：柱体的展开图与表面积 【例26】下图有一个正方体纸盆的平面展开图，则以下图形中，可能是展开前的正方体的是（   ）.    A．   B．   C．    D．   【答案】C 【分析】由各个面图像相对位置来排出错误选项. 【详解】A选项：直线和长方形在直观图中一定没有交点，故错误； B和D选项由展开图得到的直线和黑色三角没有交点，而直观图由交点，故错误； 故C选项符合题意. 故选：C. 【例27】以长为8cm，宽为6cm的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的一个底面面积为（    ） A．； B．； C．或 D．． 【答案】C 【知识点】圆柱表面积的有关计算 【分析】分别以长所在的直线旋转和以宽所在的直线旋转两种情况求解即可 【详解】若以长为8cm的一边为轴旋转，则圆柱的底面半径为6cm， 所以圆柱的一个底面面积为， 若以宽为6cm的一边为轴旋转，则圆柱的底面半径为8cm， 所以圆柱的一个底面面积为， 故选：C 【例28】如图，已知一个直四棱柱的侧棱长为6，底面是对角线长分别是9和13的菱形，则这个四棱柱的侧面积是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】棱柱表面积的有关计算 【分析】利用直四棱柱的结构特征及已知条件求相关棱长，进而求棱柱的侧面积. 【详解】如图，连接交点为O，    则对角线，，所以， 因为直四棱柱的底面是菱形，所以， 所以， ∴直四棱柱的侧面积. 故选：D. 【例29】如图所示，一个正方体的棱长为2，以相对两个面的中心连线为轴，挖去一个直径为1的圆柱形孔，则所得几何体的表面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】圆柱表面积的有关计算、求组合多面体的表面积 【分析】根据圆柱的侧面积公式以及正方体的表面积公式即可求解. 【详解】所得几何体的表面积为， 故选：D 【例30】长方体的12条棱的总长度为56，表面积为112，那么长方体的对角线长为_____ 【答案】 【分析】设出该长方体的长宽高分别为a，b，c，由已知有：，，解之可得出对角线的长. 【详解】设该长方体的长宽高分别为a，b，c，则有：，即···① ，即···② ∴ ∴长方体的对角线的长为：， 故答案：. 【点睛】本题考查长方体的边长，表面积，对角线之间的关系，属于基础题. 【例31】小明同学用两个全等的六边形木板和六根长度相同的木棍搭成一个直六棱柱，由于木棍和木板之间没有固定好，第二天他发现这个直六棱柱变成了斜六棱柱，如图所示.设直棱柱的体积和侧面积分别为和，斜棱柱的体积和侧面积分别为和，则（    ）. A． B． C． D．与的大小关系无法确定 【答案】A 【分析】根据柱体体积、表面积的求法，分别表示出和，分析即可得答案. 【详解】设底面面积为S，底面周长为C， 则，，所以， 设斜棱柱的高为，则， , 所以. 故选：A 【例32】如图，四边形是圆柱的轴截面，是圆柱的一条母线，已知，，，求该圆柱的侧面积与表面积． 【答案】侧面积为，表面积为 【分析】圆柱的侧面积，圆柱的表面积. 【详解】易知：，因为，， 所以，即，因为， 所以圆柱的侧面积， 圆柱的表面积． 题型08：最短距离与最小值问题 【例33】在正四棱柱中，，分别为侧棱上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．14 【答案】A 【详解】如图所示： ， 将正四棱柱（图1）的侧面展开，得到展开图（图2）， 当五点共线时，取得最小值， 且最小值为. 故选：A 【例34】已知正三棱柱的底面边长为，高为，一质点从点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据侧面展开图可得最短距离. 【详解】由已知，需绕三棱柱的侧面绕行两周， 则将三棱柱沿展开，并沿底边扩大倍， 如图所示， 则展开图是以为底，为高的矩形， 则最短路径即为其对角线长为， 故选：D. 【例35】如图，是底面半径为的圆柱侧面上两点，它们在底面上的射影分别为，若，弧，则沿圆柱侧面从到的最短距离是 .    【答案】 【详解】画出侧面展开图，如下，已知，则，弧， 侧面从到的最短距离是.根据勾股定理知道. 故答案为：.    【例36】几何体是由一个正方体切剖一个角得到的，其直观图如图所示．已知，M是上一动点．则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题、正弦定理解三角形 【分析】以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，设点的新位置为，连接，则即为所求的最小值，理由余弦定理运算求解.． 【详解】以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，设点的新位置为，连接， 因为，所以，所以三点共线， 在中，根据正弦定理可得， 可得， 所以的最小值为. 故答案为：. 【例37】已知在直三棱柱中，底面为直角三角形，且是上一动点，则周长的最小值为 . 【答案】 【分析】把面沿展开与在一个平面上如图，连接，则的长度即为的最小值，即可得周长的最小值. 【详解】由题意知，在几何体内部，但在面内， 把面沿展开与在一个平面上如图，连接， 则的长度即为的最小值， 因为在直三棱柱中，平面， 而平面，则， 因为，则，即， 又平面，则平面， 而平面，所以，即， 因为，易知，所以 所以， 而，， 所以在中，， 所以，即的最小值为， 在原图中，所以周长的最小值为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：对于空间中线段和最值问题，常常把两个平面折叠成一个平面，再结合平面的性质运算求解. 【例38】正方体的棱长为2，M是棱上的一个动点（含端点），则的最大值为_________ 【分析】将绕翻折至与共平面，当、、共线时，最小，与（或）重合时最大，可得结论. 【详解】由正方体的性质可得为等边三角形，边长为， 为等腰直角三角形，其直角边长为， 将左图中绕翻折至与共平面（如右图）， 因为，， 所以当、、共线时最小， 此时为中点，，， 此时，， 则最小值为； 当与（或）重合时最大，最大值为. 题型09：柱体综合 【例39】已知正四棱柱中，.    (1)求正四棱柱的表面积； (2)求证：平面平面． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1）正四棱柱的表面积为. （2）为正方形，故， 正四棱柱，故平面，平面， 故， ，平面，故平面， 又平面，故平面平面. 【例40】如图（图中单位：）是一种铸铁机器零件，零件下部是实心的直六棱柱（底面是正六边形，侧面是全等的矩形），上部是实心的圆柱. (1)已知铁的密度为，求生产一件这样的铸铁零件需要多少克铁？（结果精确到）； (2)要给一批共5000个零件镀锌，若电镀这批零件每平方厘米要用锌，求需要用锌的总量（结果精确到）. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助圆柱与棱柱的体积公式计算可得体积，结合铁的密度即可求解； （2）借助圆柱与棱柱的表面积公式计算可得表面积，即可得解. 【详解】（1）圆柱部分体积为， 直六棱柱部分体积为， 则此零件的体积为， 又铁的密度为， 故生产一件这样的铸铁零件需要克铁. （2）此零件的表面积为 . 则5000个零件的表面积为. 故需锌的质量为. 【例41】如图，在长方体中，，，． (1)求点和点C的距离； (2)求点到棱BC的距离； (3)棱和平面ABCD的距离． 【答案】(1)； (2)5cm； (3)3cm. 【分析】（1）根据长方体的性质及勾股定理即得； （2）利用长方体的性质及点到直线的距离的概念即得； （3）根据直线到平面的距离的概念结合条件即得. 【详解】（1）如图，连接、AC， ∵平面ABCD，而平面ABCD， ∴， 由勾股定理，得； （2）如图，连接，∵平面，而平面， ∴． ∴就是点 到棱 BC 的距离， ． ∴点到棱 BC 的距离是5cm； （3）显然棱平面ABCD，平面ABCD， ∴就是棱和平面ABCD的距离， ∵， ∴棱和平面ABCD的距离是3cm． 一、填空题 1.（2024-25高二上上海普陀期中）下列说法正确的是________ (1)直四棱柱是长方体 (2)正方体是平行六面体 (3)长方体是平行六面体 (4)平行六面体是四棱柱 【答案】(2) (3) (4) 2.（2023-24高二上上海大同中学期中）若长方体的长、宽、高分别为3 cm，4 cm，5 cm，则长方体的体积为 (cm3) 【答案】60 cm3 ； 【解析】V长方体＝3×4×5＝60(cm3). 3.（2024-25高二上上海松江期中）长方体过一个顶点的三条棱的棱长的比是1∶2∶3，体对角线长为2，则这个长方体的体积是______ 【答案】48； 【解析】依题意，设三条棱的长分别为x，2x，3x，则＝2，解得x＝2，即三条棱长分别为2，4，6，于是体积V＝2×4×6＝48. 4.（22-23高二上·上海黄浦·期末）若正四棱柱的底面边长为，与底面成角，则到底面的距离为 . 【答案】 【解析】∵正四棱柱， ∴平面平面， 平面， 平面, 到底面的距离为正四棱柱的高 ∵正四棱柱的底面边长为，与底面成角， 故答案为:． 5．（2024-25高二上上海嘉定期中）一个圆柱的侧面展开图是长为4，宽为2的矩形，则该圆柱的轴截面的面积为_______ 【分析】根据圆柱侧面展开图的特征，分4为底面周长和2为底面周长两种情况讨论求解. 【详解】若4为底面周长，则圆柱的高为2，此时圆柱的底面直径为，故圆柱的轴截面的面积为； 若2为底面周长，则圆柱的高为4，此时圆柱的底面直径为，故圆柱的轴截面的面积为. 6．（23-24高二上·上海浦东新·期中）若一个圆柱的高为5，底面积为，则该圆柱的体积为 . 【答案】 【解析】因为圆柱的高为5，底面积为， 所以该圆柱的体积为， 故答案为：. 7．（2024-25高二上上海黄浦期中）如图，已知正方体的棱长为，沿图1中对角面将它分割成两个部分，拼成如图2的四棱柱，则该四棱柱的全面积为________ 【分析】拼成的几何体比原正方体的表面增加了两个截面，减少了原来两个正方形面，据此变化，进行求解. 【详解】由题意，拼成的几何体比原正方体的表面增加了两个截面，减少了原来两个正方形面， 由于截面为矩形，长为，宽为，所以面积为， 所以拼成的几何体的表面积为. 8．（2024-25高二上上海闵行期中）如图，已知正六棱柱的最大对角面的面积为，互相平行的两个侧面的距离为2m，则这个六棱柱的体积为_________    【分析】设六棱柱的底面边长为，高为，根据面积公式得到，，计算体积即可. 【详解】设六棱柱的底面边长为，高为. 则，，，故， . 9.（2024-25高二上上海青浦期中）已知一个圆柱的侧面积等于表面积的一半，且其轴截面的周长是18，则该圆柱的体积是______． 【答案】 【分析】设圆柱的底面圆的半径为，高为，由题意两个条件可列出关于两个未知数的方程组，进而可求出，即可求圆柱的体积. 【详解】解：设圆柱的底面圆的半径为，高为．由题意可得，解得， 则该圆柱的体积是． 故答案为:. 【点睛】本题考查了圆柱体积的求解，考查了圆柱的侧面积.本题的关键是求出圆柱底面圆的半径和高.本题的难点在于轴截面的周长这一条件的理解. 10.（2024-25高二上上海杨浦期中）如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCD­A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________cm. 【答案】； 【解析】由题意，若以BC为折叠线展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm，3 cm，故两点之间的距离是 cm.若以BB1为折叠线展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1,4，故两点之间的距离是 cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是 cm.； 11、（2024-25华师大二附高二上期中）正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面边长为，侧棱长为1，则动点从A沿表面移动到点D1时的最短的路程是________． 【答案】； 【解析】将所给的正六棱柱按图1部分展开，则AD1＝＝， AD1′＝＝，∵AD1＜AD1′， ∴从A点沿正侧面到上底面到D1的路程最短，最短路程为. ； 12．（2024高一下·辽宁·期末）如图，在圆柱中，，分别为圆，的直径，，，为的中点，则一只蚂蚁在圆柱表面从爬到的最短路径的长度为_________    【分析】把半圆柱侧面展开得到侧面展开图为矩形，结合矩形的性质，即可求解. 【详解】如图所示，把半圆柱侧面展开，得到侧面展开图为矩形 ， 在圆柱中，因为，可得， 即矩形中，，，则最短路径的长度为．    二、选择题 13．（2024高三·全国·专题练习）如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是（    ） A．四棱台 B．四棱锥 C．四棱柱 D．三棱柱 【答案】C 【分析】根据几何体结构特征直接判断即可. 【详解】记水面与三棱柱四条棱的交点分别为，如图所示， 由三棱锥性质可知，和是全等的梯形， 又平面平面， 平面分别与平面和相交于， 所以，同理， 又，所以互相平行， 所以盛水部分的几何体是四棱柱. 故选：C 14．（2024-25七宝中学高二上期中）下列说法中正确的是（    ）． A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行 B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 C．棱柱中一条侧棱就是棱柱的高 D．棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形 【答案】A 【分析】根据棱柱的几何特征得到A正确；举出反例，得到BCD错误； 【详解】A选项，棱柱的面中，上下底面必平行，侧面可能平行，故至少有两个面互相平行，A正确； B选项，棱柱中两个互相平行的平面可能是棱柱的底面，也可能是侧面，比如正方体，B错误； C选项，若棱柱为斜棱柱，此时棱柱中侧棱不是棱柱的高，C错误； D选项，棱柱的侧面一定是平行四边形，它的底面可能是平行四边形，比如长方体，D错误. 故选：A 15.（2024-25上海实验学校高二上期中）若正方体八个顶点中有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】棱柱表面积的有关计算、棱锥表面积的有关计算 【分析】设正方体的棱长为，可求出正四面体的棱长，继而求得两种几何体的表面积即可. 【详解】正方体的棱长为，此时正四面体的棱长为， 则正方体的表面积为， 正四面体的表面积为， 两者之比为， 故选：A. 16.如图，直四棱柱的底面ABCD是菱形，，点G是棱的中点，若动点P满足，点P的轨迹截该四棱柱所得形状为Ω，则不正确的是（    ） A．Ω为平行四边形 B．Ω为梯形 C．的最小值为 D．的最小值为2 【答案】A 【分析】确定点的轨迹，即可判断AB，根据，判断C，根据几何关系推得，再根据几何关系计算. 【详解】如图，连接，因为动点P满足， 所以点P的轨迹是过的中点且与垂直的平面， 连接，易知过的中点且与垂直. 设的中点为E，连接，易证平面，所以． 设的中点为F，连接EF，AF，则，所以． 因此点P的轨迹是平面， 所以点P的轨迹截该四棱柱所得形状Ω是四边形，易知Ω为梯形，B正确，A错误． 因为，所以， 连接，得， 所以， 当P为与平面的交点时取“=”，C正确． 连接，易知，所以平面， 设点O是的中点，则点，O关于平面对称， 连接GO，则，当P为GO与平面的交点时取“=”． 连接OE，GE，易知，， 因为，所以，， 又，所以, 所以，D正确. 故选：A． 三、解答题 17．（2024-25三林中学高二上期中）正三棱柱中，是上一点，若． （）若底面边长为，侧棱长为，求该正三棱柱的表面积、体积． （）求证：平面． 【答案】（），（）见解析 试题分析：（1）由等边三角形、矩形的面积公式可得柱体的表面积；由体积公式可得柱体的体积。（2）由题意可证得点D为BC的中点，连，交于点，则点O为的中点，连接，可得，从而可证得平面． 试题解析：（）在正三棱柱中，为等边三角形， ∵ 的边长为， ∴ ， ∴正三棱柱的表面面积， 体积． （）证明： ∵ ，， ∴ 点D为BC的中点。 连接，交于点，则点为的中点。 连接， 在中，，分别为，中点， ∴ ， 又平面，平面， ∴ 平面． 18.（1）如图1，底面半径为1cm，高为3cm的圆柱，在点A处有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱，由点A爬到点B，求蚂蚁爬行的最短路线长（π取3）； （2）如图2，在长方体中，M是CC1的中点，，，一只蚂蚁从点A出发沿长方体表面爬行到点M，求蚂蚁爬行的最短路线长. 【答案】（1）；（2） 【来源】安徽省A10联盟2023-2024学年高一下学期期中数学试卷 【分析】（1）根据题意，把圆柱侧面沿过点A的母线剪开，然后展开成为矩形，由此分析可得答案； （2）根据题意，沿长方体的一条棱剪开，分3种情况讨论，求出AM的值，比较可得答案. 【详解】解：（1）根据题意，把圆柱的侧面沿过点A的母线剪开，然后展开成为矩形，如图所示， 连接AB，则AB就是为蚂蚁爬行的最短距离， 因为， 所以 ， 所以蚂蚁爬行的最短路线长为； （2）根据题意，沿长方体的一条棱剪开，有三种剪法， ①如图1，以DC为轴展开， 此时， ②如图2.以BC为轴展开， 此时，， ③如图3、以 BB1为轴展开， 此时， 综上，蚂蚁爬行的最短路线长为 . 19．（2024-25高二上上海徐汇期中）有一堆规格相同的铁制（铁的密度为）六角螺帽共重，已知该种规格的螺帽底面是正六边形，边长是，内孔直径为，高为， （1）求一个六角螺帽的体积；（精确到） （2）问这堆六角螺帽大约有多少个？ （参考数据：） 【答案】（1）；（2）261个. 【分析】（1）利用六棱柱的体积减去圆柱的体积即得解； （2）计算即得解. 【详解】（1）由题得 （2）这堆螺帽的个数为：（个） 答：每个螺帽的体积为，共有261个螺帽. 【点睛】本题主要考查空间几何体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 20．（2024-25高二上上海奉贤期中）如图，在正三棱柱中，已知，、分别是、的中点. (1)求正三棱柱的表面积； (2)求证：平面平面； (3)求证：直线平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据多面体表面积的求法求解. （2）证明出线面垂直，从而证明面面垂直； （3）证明出，从而证明出线面平行. 【详解】（1）正三棱柱的侧面积为：，底面积为. 所以正三棱柱的表面积为：. （2）如图： 因为为等边三角形，为的中点，故， 又三棱柱为直三棱柱，故平面平面， 因为平面，平面平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （3）连接，交与点，连接. 因为四边形为正方形，所以为中点， 又为中点，所以，又平面,平面， 所以平面. 21.（23-24高二上·上海虹口·期中）如图，已知点P在圆柱的底面圆O的圆周上，AB为圆O的直径，圆柱的表面积为，，．    (1)求直线与平面所成角的正切值； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由题意知，平面，所以直线与平面的夹角，即为， 易知，， 又， 故，进而有，， 由圆柱的表面积为， 可得，故， 故直线与平面的正切值为． （2）设点到平面的距离为， 则， 故，又， 因为平面，平面,所以， 又，平面, 所以平面，平面,即， 在 中，， 故， 所以，即点到平面的距离为．    2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学必修三同步培优讲义【精英班课程】 专题11.1 柱体 知识点01：棱柱与圆柱 1.棱柱定义、相关概念、结构特征与分类 定义 有一对互相平行的面，且这两个面是两个全等的三角形或平面多边形；同时，不在这两个面上的棱都相互平行；我们把这样的多面体叫做棱柱； 图示及相关概念 底面：两个互相平行的面； 侧面：底面以外的其余各面； 侧棱：不在底面上的棱； 顶点：侧面与底面的公共顶点； 高：棱柱的两个底面之间的距离称为棱柱的高； 分类1 按底面多边形的边数分：三棱柱、四棱柱…… 分类2 侧棱垂直于底面的棱柱称为直棱柱； 否则称为斜棱柱； 底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱； 常见四棱柱及其关系： 2.圆柱定义、相关概念、结构特征 定义 将矩形绕其一条边所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆柱；（或者理解为：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体） 图示及相关 概念 轴：旋转轴叫做圆柱的轴； 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面； 侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面； 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边； 高：圆柱的两个底面间的距离（即的长度）叫做该圆柱的高； 备注 易知圆柱有两个相互平行的底面，有无穷多条母线，且所有母线都与其轴平行； 方便起见，我们把棱柱和圆柱统称为柱体； 轴截面 定义：是指过圆柱的轴的截面分别叫做圆柱轴截面；也泛指过任意一轴的“面”。 性质：1、同一圆柱轴截面都全等；2、圆柱的轴截面是全等的矩形； 知识点02：祖暅原理与柱体的体积 1、祖暅原理：夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面都有相等的面积，那么这两个几何体的体积必相等. 【说明】祖暅 [gèng]，又名祖暅之，字景烁，是我国南北朝时代南朝的数学家、科学家祖冲之的儿子。 （1）“幂势既同，则积不容异”，即“夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”. （2）作用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等. 2、柱体的体积 V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高) V圆柱＝πr2h(r为底面半径) 知识点03：柱体的表面积 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和；所以，棱柱、圆柱的表面积就是围成它们的各个面的面积的和； 图形 表面积公式 多面体 多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积 直棱柱 S直棱柱侧＝ch（c为直棱柱的底面周长，h为直棱柱的高） S表＝S侧＋2S底 圆柱 （l为圆柱的母线长，r为圆柱底面的半径） 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝2πrl 表面积：S＝2πrl＋2πr2 题型01：棱柱定义、相关概念、结构特征 【例1】下列说法中正确的是（    ） A．棱柱的侧面都是矩形 B．棱柱的侧棱不全相等 C．棱柱是有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体 D．棱柱中至少有两个面平行 【例2】下列命题中正确的是（　　） A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面 C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形 【例3】下列说法正确的是（    ） A．棱柱中相邻两个面的公共边叫做侧棱 B．棱柱中至少有两个面的形状完全相同 C．棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面 D．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱 题型02：棱柱的分类与判断 【例4】设，，，，则这些集合的关系是（    ） A． B． C． D． 【例5】给出下列命题： ①平行六面体是斜四棱柱； ②有两个相邻侧面为矩形的棱柱是直棱柱； ③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体； ④有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形，这些面围成的几何体叫做棱柱. 其中正确的是个数是 . 【例6】下列命题不正确的是（    ） A．正方体一定是正四棱柱 B．平行六面体的六个面均为平行四边形 C．有相邻两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 D．底面是正多边形的棱柱是正棱柱 【例7】下列命题： ①有两个面平行，其他各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱； ②有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱； ③过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形； ④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱． 其中正确命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【例8】有下列四个命题，其中正确的是（    ） A．底面是矩形的平行六面体是长方体 B．棱长相等的直平行六面体是正方体 C．有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体 D．对角线相等的平行六面体是直平行六面体 题型03：圆柱定义、相关概念、结构特征 【例9】下列关于圆柱的说法中不正确的是（    ） A．圆柱的所有母线长都相等 B．用平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是与底面全等的圆面 C．用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个圆面 D．一个矩形以其对边中点的连线为旋转轴，旋转所形成的几何体是圆柱 【例10】给出下列说法： （1）圆柱的底面是圆面； （2）经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面； （3）圆台的任意两条母线所在的直线可能相交，也可能不相交； （4）夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体． 其中说法正确的是 ． 【例11】给出下列命题： ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线； ③在圆台的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线； ④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的； ⑤圆台所有母线的延长线交于一点其中正确的命题是（    ） A．①②④ B．②③④ C．①③⑤ D．②④⑤ 题型04：棱柱与圆柱的截面问题 【例12】如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（    ） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（4） D．（1）（5） 【例13】一个透明密闭的正方体容器中恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体容器，则水面在容器中形成的所有可能的形状是（ ） ①三角形     ②非正方形的菱形     ③五边形     ④正方形     ⑤正六边形 A．②④ B．③④⑤ C．②④⑤ D．①②③④⑤ 【例14】一个圆柱的侧面展开图是长为4，宽为2的矩形，则该圆柱的轴截面的面积为（    ） A．32 B． C． D． 【例15】用一张的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，接头忽略不计，则圆柱的轴截面面积是 . 【例16】轴截面图形为正方形的圆柱叫做等边圆柱．已知某等边圆柱的轴截面面积为，则该等边圆柱的底面周长为 cm． 题型05：棱柱及其有关计算 【例17】若正方体的棱长为a，则正方体的对角线长为 ；对角面面积为 ． 【例18】长方体中，，，则此长方体的对角线长是（    ） A．2 B． C． D． 【例19】已知正方体的棱长为1，则正方体的体对角线长为 . 【例20】长方体中，分别为棱中点，则两点的距离为（    ） A． B． C．3 D． 题型06：祖暅原理与柱体的体积 【例21】若正六棱柱的高为4，底面边长为2，则这个正六棱柱的体积是 ． 【例22】中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作经验，提出“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高．详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．上述原理在中国被称为祖暅原理．一个上底面边长为2，下底面边长为4，高为6的正四棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为 ．    【例23】一张矩形纸的边长分别为、，把它作为一个圆柱的侧面，再添加圆柱的两个底，可以得到高分别为和的两个圆柱体，其体积为和，则和的大小关系是（    ）. A． B． C． D．不确定 【例24】在修建铁路时，路基需要用碎石铺垫．已知路基的形状及尺寸如图所示（单位：m），每修建1km铁路需要碎石多少？ 【例25】如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为1，高为2，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这是水面恰好是中截面，则图1中容器水面的高度是（    ） A． B． C． D． 题型07：柱体的展开图与表面积 【例26】下图有一个正方体纸盆的平面展开图，则以下图形中，可能是展开前的正方体的是（   ）.    A．  B．  C．    D．   【例27】以长为8cm，宽为6cm的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的一个底面面积为（    ） A．； B．； C．或 D．． 【例28】如图，已知一个直四棱柱的侧棱长为6，底面是对角线长分别是9和13的菱形，则这个四棱柱的侧面积是（    ）．    A． B． C． D． 【例29】如图所示，一个正方体的棱长为2，以相对两个面的中心连线为轴，挖去一个直径为1的圆柱形孔，则所得几何体的表面积为（    ）    A． B． C． D． 【例30】长方体的12条棱的总长度为56，表面积为112，那么长方体的对角线长为_____ 【例31】小明同学用两个全等的六边形木板和六根长度相同的木棍搭成一个直六棱柱，由于木棍和木板之间没有固定好，第二天他发现这个直六棱柱变成了斜六棱柱，如图所示.设直棱柱的体积和侧面积分别为和，斜棱柱的体积和侧面积分别为和，则（    ）. A． B． C． D．与的大小关系无法确定 【例32】如图，四边形是圆柱的轴截面，是圆柱的一条母线，已知，，，求该圆柱的侧面积与表面积． 题型08：最短距离与最小值问题 【例33】在正四棱柱中，，分别为侧棱上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．14 【例34】已知正三棱柱的底面边长为，高为，一质点从点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线长为（    ） A． B． C． D． 【例35】如图，是底面半径为的圆柱侧面上两点，它们在底面上的射影分别为，若，弧，则沿圆柱侧面从到的最短距离是 .    【例36】几何体是由一个正方体切剖一个角得到的，其直观图如图所示．已知，M是上一动点．则的最小值为 ． 【例37】已知在直三棱柱中，底面为直角三角形，且是上一动点，则周长的最小值为 . 【例38】正方体的棱长为2，M是棱上的一个动点（含端点），则的最大值为_________ 题型09：柱体综合 【例39】已知正四棱柱中，.    (1)求正四棱柱的表面积； (2)求证：平面平面． 【例40】如图（图中单位：）是一种铸铁机器零件，零件下部是实心的直六棱柱（底面是正六边形，侧面是全等的矩形），上部是实心的圆柱. (1)已知铁的密度为，求生产一件这样的铸铁零件需要多少克铁？（结果精确到）； (2)要给一批共5000个零件镀锌，若电镀这批零件每平方厘米要用锌，求需要用锌的总量（结果精确到）. 【例41】如图，在长方体中，，，． (1)求点和点C的距离； (2)求点到棱BC的距离； (3)棱和平面ABCD的距离． 一、填空题 1.（2024-25高二上上海普陀期中）下列说法正确的是________ (1)直四棱柱是长方体 (2)正方体是平行六面体 (3)长方体是平行六面体 (4)平行六面体是四棱柱 2.（2023-24高二上上海大同中学期中）若长方体的长、宽、高分别为3 cm，4 cm，5 cm，则长方体的体积为 (cm3) 3.（2024-25高二上上海松江期中）长方体过一个顶点的三条棱的棱长的比是1∶2∶3，体对角线长为2，则这个长方体的体积是______ 4.（22-23高二上·上海黄浦·期末）若正四棱柱的底面边长为，与底面成角，则到底面的距离为 . 5．（2024-25高二上上海嘉定期中）一个圆柱的侧面展开图是长为4，宽为2的矩形，则该圆柱的轴截面的面积为_______ 6．（23-24高二上·上海浦东新·期中）若一个圆柱的高为5，底面积为，则该圆柱的体积为 . 7．（2024-25高二上上海黄浦期中）如图，已知正方体的棱长为，沿图1中对角面将它分割成两个部分，拼成如图2的四棱柱，则该四棱柱的全面积为________ 8．（2024-25高二上上海闵行期中）如图，已知正六棱柱的最大对角面的面积为，互相平行的两个侧面的距离为2m，则这个六棱柱的体积为_________   9.（2024-25高二上上海青浦期中）已知一个圆柱的侧面积等于表面积的一半，且其轴截面的周长是18，则该圆柱的体积是______． 10.（2024-25高二上上海杨浦期中）如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCD­A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________cm. 11、（2024-25华师大二附高二上期中）正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面边长为，侧棱长为1，则动点从A沿表面移动到点D1时的最短的路程是________． 12．（2024高一下·辽宁·期末）如图，在圆柱中，，分别为圆，的直径，，，为的中点，则一只蚂蚁在圆柱表面从爬到的最短路径的长度为_________   二、选择题 13．（2024高三·全国·专题练习）如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是（    ） A．四棱台 B．四棱锥 C．四棱柱 D．三棱柱 14．（2024-25七宝中学高二上期中）下列说法中正确的是（    ）． A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行 B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 C．棱柱中一条侧棱就是棱柱的高 D．棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形 15.（2024-25上海实验学校高二上期中）若正方体八个顶点中有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比是（    ） A． B． C． D． 16.如图，直四棱柱的底面ABCD是菱形，，点G是棱的中点，若动点P满足，点P的轨迹截该四棱柱所得形状为Ω，则不正确的是（    ） A．Ω为平行四边形 B．Ω为梯形 C．的最小值为 D．的最小值为2 三、解答题 17．（2024-25三林中学高二上期中）正三棱柱中，是上一点，若． （）若底面边长为，侧棱长为，求该正三棱柱的表面积、体积． （）求证：平面． 18.（1）如图1，底面半径为1cm，高为3cm的圆柱，在点A处有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱，由点A爬到点B，求蚂蚁爬行的最短路线长（π取3）； （2）如图2，在长方体中，M是CC1的中点，，，一只蚂蚁从点A出发沿长方体表面爬行到点M，求蚂蚁爬行的最短路线长. 19．（2024-25高二上上海徐汇期中）有一堆规格相同的铁制（铁的密度为）六角螺帽共重，已知该种规格的螺帽底面是正六边形，边长是，内孔直径为，高为， （1）求一个六角螺帽的体积；（精确到） （2）问这堆六角螺帽大约有多少个？ （参考数据：） 20．（2024-25高二上上海奉贤期中）如图，在正三棱柱中，已知，、分别是、的中点. (1)求正三棱柱的表面积； (2)求证：平面平面； (3)求证：直线平面. 21.（23-24高二上·上海虹口·期中）如图，已知点P在圆柱的底面圆O的圆周上，AB为圆O的直径，圆柱的表面积为，，．    (1)求直线与平面所成角的正切值； (2)求点到平面的距离． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $