专题1.2 椎体（高效培优讲义）数学沪教版2020必修第三册

本讲义聚焦椎体结构与计算，系统梳理棱锥、圆锥、棱台、圆台的定义特征、体积公式及表面积求法，构建从基本概念到复杂应用的知识链条，前后衔接紧密，逻辑清晰，形成完整的几何认知框架。 资料设计突出数学眼光、数学思维与数学语言三大核心素养的融合运用，例如通过正四棱锥展开图求最短路径问题，体现几何直观与空间观念，强化学生对现实情境中数量关系的抽象能力；在圆锥轴截面面积计算中，借助余弦定理推导母线与底面半径的关系，展现严谨推理过程，提升逻辑思维品质；同时用侧面积公式表达旋转体结构特征，发展数据意识和模型观念。课中可辅助教师精准讲解难点，课后便于学生查漏补缺，巩固知识体系，实现深度学习与能力进阶。

专题1.2 椎体 教学目标 1、探究锥体的体积公式的关系 2、使学生能够运用体积公式求锥体的体积。 教学重难点 教学重点：通过对实物模型的观察，归纳认知棱锥、棱台、圆锥、圆台的结构特征 教学难点：①理解棱锥、棱台、圆锥、圆台之间的关系． ②能运用棱锥、棱台圆锥、圆台的结构特征描述现实生活中简单物体的结构和有关计算 知识点01 棱锥 有一个面是三角形或平面多边形，且不在这个面上的棱都有一个 ，这样的多面体叫做 ； 棱锥的底面：这个三角形或平面多边形； 棱锥的侧面：其余的面； 棱锥的侧棱：不在底面上的棱； 棱锥的顶点：所有侧棱的 ； 棱锥的高：顶点到底面的距离 按照底面多边形的边数，棱锥可以分别称为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 如果棱锥的底面是正多边形，且底面中心与顶点的连线垂直于底面，那么这个棱锥叫做正棱锥； 【说明】依据定义，正棱锥的每个侧面都是全等的等腰三角形，我们把这些等腰三角形底边上的高称为棱锥的斜高； 【即学即练】关于正九棱锥，下列判断错误的是（   ） A．正九棱锥有18条棱 B．正九棱锥的侧棱都相等 C．正九棱锥有18个面 D．正九棱锥的底面是正九边形 知识点02 圆锥 以直角三角形的一条 所在直线为 ，其余两边旋转一周形成的面所围成 的 轴：旋转轴叫做圆锥的轴 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边 锥体：棱锥和圆锥统称为锥体 （2）圆锥的图形 （3）圆锥的表示 用表示它的轴的字母表示，如图， 【即学即练】已知圆锥底面半径为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的母线长为 知识点03棱台 用一个 于棱锥底面的平面去截棱锥，我们把 和 之间的那部分多面体叫做 上底面：原棱锥的截面 下底面：原棱锥的底面 侧面：除上下底面以外的面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 （2）棱台的图形 （3）棱台的分类及表示 由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台…… 用各顶点字母表示棱柱，如棱台 【即学即练】已知正四棱台的上底面边长为2，侧棱长为，高为1，则该正四棱台的下底面边长为 ． 知识点04 圆台 用 于圆锥底面的平面去截圆锥， 和 之间的部分叫 做 轴：圆锥的轴 底面：圆锥的底面和截面 侧面：圆锥的侧面在底面与截面之间的部分 母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分 台体：棱台和圆台统称为台体 （2）圆台的图形 （3）圆台的表示 用表示它的轴的字母表示，如图， 【即学即练】已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为，则圆台的高为 . 知识点05椎体、台体体积 锥体的体积公式 (为底面面积，为高)； 台体的体积公式 (,分别为上下底面面积，为台体的高) 【即学即练】已知圆台的上底面半径和母线长均为2，下底面半径为3，则圆台的体积为 ． 知识点06 椎体、台体表面积和侧面积 1.棱锥、棱台的表面积 棱锥、棱台是由多个平面图形围成的多面体，它们的表面积就是各个面的面积和； （4）正棱台： 被平行于底面的平面所截， 和 之间的部分叫做正棱台． 2、几种简单几何体的侧面展开图与侧面积 几何体 侧面展开图 侧面积公式 直棱柱 S直棱柱侧＝ch c为底面周长；h为高 正棱锥 S正棱锥侧＝ch′ c为底面周长；h′为斜高，即侧面等腰三角形的高 正棱台 S正棱台侧＝(c＋c′)h′ c′为上底面周长，c为下底面周长 h′为斜高，即侧面等腰梯形的高 圆柱 S圆柱侧＝2πrl r为底面半径，l为侧面母线长 圆锥 S圆锥侧＝πrl r为底面半径，l为侧面母线长； 圆台 S圆台侧＝π(r1＋r2)l r1为上底面半径，r2为下底面半径，l为侧面母线长 【即学即练】已知圆锥的母线长为，若轴截面为等腰直角三角形，则圆锥的表面积为 . 题型01棱锥的结构特征 【典例1】在三棱柱中，截去三棱锥后，剩余的部分是（    ） A．五棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱台 【变式1】下列说法中正确的是（    ） ①棱锥的各个侧面都是三角形； ②四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面； ③棱锥的侧棱平行． A．① B．①② C．② D．③ 【变式2】两个三棱锥、一个四棱锥拼在一起不可能拼成的是 （   ） A．一个三棱锥 B．一个四棱锥 C．一个三棱柱 D．一个四棱柱 【变式3】下列棱锥有6个面的是（　　） A．三棱锥 B．四棱锥 C．五棱锥 D．六棱锥 【变式4】用一个平面去截一个三棱锥，截面形状可能是 ．(填序号) ①三角形；②四边形；③五边形；④不可能为四边形． 题型02圆锥的结构特征 【典例1】如图，直角三角形绕直角边旋转，所得的旋转体为（    ） A．圆锥 B．圆柱 C．圆台 D．球 【变式1】下列关于圆锥的说法中，错误的是（    ） A．圆锥的轴截面是等腰三角形 B．圆锥的侧面展开图是扇形 C．以直角三角形一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥 D．用平行于圆锥底面的平面截圆锥可以得到圆台 【变式2】正方形绕对角线所在直线旋转一周所得到的几何体为 （    ） A．由两个圆台组成 B．由一个圆锥和一个圆台组成 C．由两个圆锥组成 D．由两个棱台组成 【变式3】以一个等边三角形的底边所对应的中线为旋转轴旋转一周所得的几何体是（    ） A．一个圆柱 B．一个圆锥 C．一个圆台 D．两个圆锥 题型03 棱锥的展开图 【典例1】如图，在正四棱锥中，，．从A拉一条细绳绕过侧棱PB到达C点，则细绳的最短长度为 ． 【变式1】如图，在正四棱锥中，是棱上的动点，一只蚂蚁从A点出发，经过E点，爬到C点，则这只蚂蚁爬行的路程的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在四棱锥中，侧棱长均为，正方形的边长为，，分别是线段，上的一点，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【变式3】如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC＝2，，A为锐角，侧棱PA＝PB＝PC＝2，一只小虫从A点出发，沿侧面绕棱锥爬行一周后回到A点，则小虫爬行的最短距离为（    ）    A． B． C． D． 【变式4】如图，在三棱锥中，，，过点A作截面，分别交侧棱PB，PC于E，F两点，则△AEF周长的最小值为 ． 题型04棱锥中的截面问题 【典例1】在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，.过点A作与棱PC垂直的平面α，则四棱锥P﹣ABCD截平面α所得截面的面积为 . 【变式1】已知正四棱锥的所有棱长都等于3，点是的重心，过点作平面，若平面平面，则平面截正四棱锥的截面面积为（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知四棱锥中，平面，四边形为正方形，，平面过，，的中点，则平面截四棱锥所得的截面面积为（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，空间四边形的边，成的角，且，，平行于与的截面分别交，，，于，则截面面积的最大值为 . 【变式4】已知正三棱锥底面面积=6，点在高上且，则经过点且平行于底面的截面面积为 . 作出截面方法： ①两条平行直线确定唯一平面 ②两条相交直线确定唯一平面 ③将椎体补充为柱体，寻找截面 题型05 圆锥中的截面有关的计算 【典例1】已知圆锥的顶点为，底面圆周上的两点、满足为等边三角形，且面积为，又知圆锥轴截面的面积为8，则圆锥的侧面积为 . 【变式1】已知圆锥的母线长为，过圆锥的顶点作圆锥的截面，若截面面积的最大值为，则该圆锥底面半径的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知圆锥的母线长为10，高为5，则圆锥的轴截面的面积为 . 【变式3】若圆锥的侧面展开图是半径为1，圆心角为的半圆，则这个圆锥的轴截面面积等于 . 【变式4】某圆锥的侧面展开图是面积为，圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积是 . 题型06 圆锥中的展开图和最短距离问题 【典例1】圆锥的底面半径为，母线长，一只蚂蚁自底面圆周上一点沿圆锥表面爬到过母线的轴截面上另一条母线的中点，问这只蚂蚁爬行的最短距离为 . 【变式1】已知圆锥的高为，底面直径的长为，那么从点A出发沿该圆锥的表面到点B的最短路径长为 ． 【变式2】如图，圆锥的底面直径，母线长，点在母线上，且，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点到达点，则这只蚂蚁爬行的最短距离为 ．    【变式3】如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为5公里，侧棱长为20公里，B是上一点，且公里，为了发展旅游业，要建设一条最短的从A绕山一周到B的观光铁路，这条铁路从A出发后首先上坡，随后下坡，则下坡段铁路的长度为 公里 【变式4】暑假将临，大学生小明同学准备利用假期探访名胜古迹．已知某座山高耸入云，整体呈圆锥形，其半山腰（母线的中点）有一座古寺，与上山入口在同一条母线上，入口和古寺通过一条盘山步道相连，且当时为了节省资金，该条盘山步道是按“到达古寺的路程最短”修建的．如图，已知该座山的底面半径，高，则盘山步道的长度为 ，其中上山（到山顶的直线距离减小）和下山（到山顶的直线距离增大）路段的长度之比为 .    将圆锥展开，在平面图形中，根据两点之间线段最短求解 题型07 椎体的体积 【典例1】在棱长为2的正方体中，为线段的中点，则四面体的体积为 ． 【变式1】已知三棱锥的底面ABC是等腰直角三角形，侧面PBC是等边三角形，且，，若平面PBC与底面ABC的夹角为30°，则三棱锥的体积为 ． 【变式2】如图1，在梯形中，，，，将沿折起，使得点落在点的位置，得到三棱锥，如图2所示，则三棱锥体积的最大值为 . 【变式3】已知正四棱台的上底面的四个顶点都在圆锥的侧面上，下底面的四个顶点都在圆锥的底面圆周上，且，则圆锥的体积为 . 【变式4】已知平行六面体中，各棱长均为，，则四棱锥的体积为 . 题型08 椎体的侧面积和表面积 【典例1】如图已知点A，在圆锥SO的底面圆周上，S为圆锥顶点，O为圆锥的底面中心，且圆锥SO的底面积为4π，∠ASB=30°，若AB与截面SAO所成角为60°，则圆锥SO的侧面积为 【变式1】已知正四面体的体积为，则其表面积为 ． 【变式2】已知圆锥底面半径为2，母线长为3，则此圆锥的侧面积为 ． 【变式3】有一正四面体木料，现欲对其进行加工处理，将木料固定并将其过中心完整切开，若所得截面是边长为2的正方形，则该木料的表面积为 【变式4】一个腰长为2的等腰直角三角形绕着它的一条直角边所在的直线旋转弧度，形成的几何体的表面积为 ． 正棱锥相关结论 ①正棱锥的底面为正多边形； ②正棱锥的顶点在底面上的射影为底面中心； ③正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜高乘积的一半； ④正三棱锥的对棱互相垂直． 正四面体相关结论 当正四面体的棱长为时，有以下结论： ①正四面体的高为； ②正四面体的表面积为，正四面体的体积为； ③正四面体的内切球半径为，外接球半径为； ④正四面体的侧棱与底面夹角的余弦值为，相邻两个面组成的二面角的余弦值为． 1．已知底面圆直径为的圆锥的表面积与其侧面积之比为，则该圆锥的高为 ．（用含的式子表示） 2．已知点，，，在半径为的同一球面上，且，，则三棱锥体积的最大值为 ． 3．现有一块棱长为2的正四面体木料，用平行于该木料底面的一个平面将木料截成两部分，若这两部分的表面积相等，则该平面在木料上的截面面积为 ． 4．已知圆锥的母线长为3，其侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为 ． 5．已知某圆锥的高为2，其侧面展开图为半圆，则该圆锥底面圆的半径为 ． 6．已知圆锥的底面半径，高为，则这个圆锥的表面积是 . 7．联结正方体各表面的中心构成一个正八面体，则正八面体的体积和正方体的体积之比为 . 8．已知圆锥的底面积为，高为，则该圆锥的侧面积为 ． 9．如图，水平的广场上有一盏路灯挂在高9m的电线杆顶上，记电线杆的底部为点.把路灯看作一个点光源，身高1.5m的女孩站在离点5m的点处，若女孩沿方向前行5m到达点，此时为的中点，然后从点出发沿着以为对角线的正方形走一圈，则女孩走一圈时头顶影子的轨迹围成图形的面积为 .    10．已知一个底面半径为的圆锥侧面展开图形的面积是底面面积的2倍，则该圆锥轴截面的面积为 ． 二、单选题 11．如图，为圆锥的底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是（    ）    A．圆锥的侧面积为 B．三棱锥的体积的最大值为 C．的取值范围是 D．若为线段上的动点，则的最小值为   12．已知圆锥的高为，它的侧面展开图的圆心角为，则此圆锥的侧面积为（ ） A． B． C． D． 三、解答题 13．如图，在四棱锥中，平面平面，底面是直角梯形，，，且，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)求二面角的余弦值． 14．如图，在三棱锥中，已知平面，点在上，.设，当为何值时，最大？求此时三棱锥的体积. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 椎体 教学目标 1、探究锥体的体积公式的关系 2、使学生能够运用体积公式求锥体的体积。 教学重难点 教学重点：通过对实物模型的观察，归纳认知棱锥、棱台、圆锥、圆台的结构特征 教学难点：①理解棱锥、棱台、圆锥、圆台之间的关系． ②能运用棱锥、棱台圆锥、圆台的结构特征描述现实生活中简单物体的结构和有关计算 知识点01 棱锥 有一个面是三角形或平面多边形，且不在这个面上的棱都有一个公共点，这样的多面体叫做棱锥； 棱锥的底面：这个三角形或平面多边形； 棱锥的侧面：其余的面； 棱锥的侧棱：不在底面上的棱； 棱锥的顶点：所有侧棱的公共点； 棱锥的高：顶点到底面的距离 按照底面多边形的边数，棱锥可以分别称为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 如果棱锥的底面是正多边形，且底面中心与顶点的连线垂直于底面，那么这个棱锥叫做正棱锥； 【说明】依据定义，正棱锥的每个侧面都是全等的等腰三角形，我们把这些等腰三角形底边上的高称为棱锥的斜高； 【即学即练】关于正九棱锥，下列判断错误的是（   ） A．正九棱锥有18条棱 B．正九棱锥的侧棱都相等 C．正九棱锥有18个面 D．正九棱锥的底面是正九边形 【答案】C 【分析】根据正棱锥的性质，即可判断选项. 【详解】正九棱锥有18条棱、10个面，正九棱锥的侧棱都相等，正九棱锥的底面是正九边形． 故选：C 知识点02 圆锥 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体 轴：旋转轴叫做圆锥的轴 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边 锥体：棱锥和圆锥统称为锥体 （2）圆锥的图形 （3）圆锥的表示 用表示它的轴的字母表示，如图，圆锥 【即学即练】已知圆锥底面半径为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的母线长为 【答案】 【分析】根据圆锥侧面展开图的知识求得正确答案. 【详解】设圆锥的母线长为，则. 故答案为： 知识点03棱台 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面和截面之间的那部分多面体叫做棱台 上底面：原棱锥的截面 下底面：原棱锥的底面 侧面：除上下底面以外的面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 （2）棱台的图形 （3）棱台的分类及表示 由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台…… 用各顶点字母表示棱柱，如棱台 【即学即练】已知正四棱台的上底面边长为2，侧棱长为，高为1，则该正四棱台的下底面边长为 ． 【答案】4 【分析】根据几何图形，利用勾股定理求出下底面的边长. 【详解】设该正四棱台下底面的边长为，则， 解得. 故答案为：4. 知识点04 圆台 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台 轴：圆锥的轴 底面：圆锥的底面和截面 侧面：圆锥的侧面在底面与截面之间的部分 母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分 台体：棱台和圆台统称为台体 （2）圆台的图形 （3）圆台的表示 用表示它的轴的字母表示，如图，圆台 【即学即练】已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为，则圆台的高为 . 【答案】3 【分析】根据圆台的侧面积求圆台的母线，再根据圆台轴截面求出高即可. 【详解】因为圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为 ， 设母线长为，高为. 则，解得. 如图所示圆台的轴截面， 在中，， 由勾股定理得：圆台的高. 故答案为：3. 知识点05椎体、台体体积 锥体的体积公式(为底面面积，为高)； 台体的体积公式(,分别为上下底面面积，为台体的高) 【即学即练】已知圆台的上底面半径和母线长均为2，下底面半径为3，则圆台的体积为 ． 【答案】 【分析】由圆台的性质先求出高，再代入体积公式计算可得结果. 【详解】如图是圆台的轴截面，圆台的上下底面圆的半径分别为2和3，母线长为2，设圆台的高为， 则，解得：， 所以圆台的体积. 故答案为： 知识点06 椎体、台体表面积和侧面积 1.棱锥、棱台的表面积 棱锥、棱台是由多个平面图形围成的多面体，它们的表面积就是各个面的面积和； （4）正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做正棱台． 2、几种简单几何体的侧面展开图与侧面积 几何体 侧面展开图 侧面积公式 直棱柱 S直棱柱侧＝ch c为底面周长；h为高 正棱锥 S正棱锥侧＝ch′ c为底面周长；h′为斜高，即侧面等腰三角形的高 正棱台 S正棱台侧＝(c＋c′)h′ c′为上底面周长，c为下底面周长 h′为斜高，即侧面等腰梯形的高 圆柱 S圆柱侧＝2πrl r为底面半径，l为侧面母线长 圆锥 S圆锥侧＝πrl r为底面半径，l为侧面母线长； 圆台 S圆台侧＝π(r1＋r2)l r1为上底面半径，r2为下底面半径，l为侧面母线长 【即学即练】已知圆锥的母线长为，若轴截面为等腰直角三角形，则圆锥的表面积为 . 【答案】 【分析】设母线长为，底面半径为，由轴截面为等腰直角三角形，即可求，根据圆锥的表面积公式即可求解. 【详解】设母线长为，底面半径为，由题意有：， 因为轴截面为等腰直角三角形，所以， 所以圆锥的表面积为， 故答案为：. 题型01棱锥的结构特征 【典例1】在三棱柱中，截去三棱锥后，剩余的部分是（    ） A．五棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱台 【答案】B 【分析】结合题意画出相应图形，即可得答案. 【详解】如图可得三棱柱中，截去三棱锥后，剩余的部分是四棱锥. 故选：B 【变式1】下列说法中正确的是（    ） ①棱锥的各个侧面都是三角形； ②四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面； ③棱锥的侧棱平行． A．① B．①② C．② D．③ 【答案】B 【分析】根据棱锥的结构特征进行判断即可. 【详解】由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，故①正确； 四面体就是由四个三角形所围成的几何体， 因此以四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故②正确； 棱锥的侧棱交于一点，故③错误． 故选：B. 【变式2】两个三棱锥、一个四棱锥拼在一起不可能拼成的是 （   ） A．一个三棱锥 B．一个四棱锥 C．一个三棱柱 D．一个四棱柱 【答案】D 【分析】两个三棱锥和一个四棱锥能否拼成某几何体，可以看该几何体可否拆割成两个三棱锥和一个四棱锥，即可判断得答案. 【详解】对于A，三棱锥中，分别取的中点，再取的中点，连接， 则三棱锥可拆割成三棱锥和四棱锥，A可能； 对于B，四棱锥，取的中点，则四棱锥可拆割 成三棱锥和四棱锥，B可能； 对于C，三棱柱中，取的中点，则三棱柱可拆割为 三棱锥和四棱锥，C可能； 对于D，一个四棱柱割去一个四棱锥后的几何体不可能由两个三棱锥拼成，D不可能. 故选：D 【变式3】下列棱锥有6个面的是（　　） A．三棱锥 B．四棱锥 C．五棱锥 D．六棱锥 【答案】C 【分析】根据棱锥的定义，即可得出选项. 【详解】由棱锥的结构特征可知，三棱锥有4个面，四棱锥有5个面，五棱锥有6个面，六棱锥有7个面； 故选：C 【变式4】用一个平面去截一个三棱锥，截面形状可能是 ．(填序号) ①三角形；②四边形；③五边形；④不可能为四边形． 【答案】①② 【分析】用一个平面去截一个三棱锥，找到所有截面的种类即可求解. 【详解】按如图①所示用一个平面去截三棱锥，截面是三角形； 按如图②所示用一个平面去截三棱锥，截面是四边形，截面形状不可能为五边形. 故答案为：①②. 题型02圆锥的结构特征 【典例1】如图，直角三角形绕直角边旋转，所得的旋转体为（    ） A．圆锥 B．圆柱 C．圆台 D．球 【答案】A 【分析】 由圆锥的定义即可求解 【详解】由圆锥的定义可得直角三角形绕直角边旋转，所得的旋转体为圆锥 故选：A 【变式1】下列关于圆锥的说法中，错误的是（    ） A．圆锥的轴截面是等腰三角形 B．圆锥的侧面展开图是扇形 C．以直角三角形一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥 D．用平行于圆锥底面的平面截圆锥可以得到圆台 【答案】C 【分析】以直角三角形的一直角边为轴旋转所得的旋转体是圆锥，以斜边为轴旋转所得的旋转体是两个圆锥的组合体． 【详解】解：在中，由圆锥的性质得圆锥的轴截面是等腰三角形，故正确； 在中，由圆锥的性质得圆锥的侧面展开图是扇形，故正确； 在中，以直角三角形的一直角边为轴旋转所得的旋转体是圆锥， 以斜边为轴旋转所得的旋转体是两个圆锥的组合体，故错误； 在中，由圆锥的性质得用平行于圆锥底面的平面截圆锥可以得到圆台，故正确． 故选：． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查圆锥和圆台的结构特征等基础知识，属于对概念和定义的考查． 【变式2】正方形绕对角线所在直线旋转一周所得到的几何体为 （    ） A．由两个圆台组成 B．由一个圆锥和一个圆台组成 C．由两个圆锥组成 D．由两个棱台组成 【答案】C 【分析】将正方形绕对角线所在的直线旋转一周，根据旋转体的定义，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，将正方形绕对角线所在的直线旋转一周，根据旋转体的定义，可知得到的组合体是两个同底的圆锥. 故选:C. 【变式3】以一个等边三角形的底边所对应的中线为旋转轴旋转一周所得的几何体是（    ） A．一个圆柱 B．一个圆锥 C．一个圆台 D．两个圆锥 【答案】B 【分析】旋转轴的左右两边都是直角三角形，并且旋转轴是直角三角形的较长直角边. 【详解】以一个等边三角形的底边所对应的中线为旋转轴旋转一周所得的几何体相当于是一个圆锥， 故选B. 【点睛】本题考查对旋转体的理解，能根据旋转过程判断所得到的旋转体，难度较易.以直角三角形的任意一条直角边为旋转轴旋转得到的几何体是圆锥. 题型03 棱锥的展开图 【典例1】如图，在正四棱锥中，，．从A拉一条细绳绕过侧棱PB到达C点，则细绳的最短长度为 ． 【答案】/ 【分析】将图形展成平面图形，进而解三角形即可求得答案. 【详解】如图，将侧面展开在一个平面， 由题意， 在中，， 所以在中，， 由余弦定理得， 所以， 即细绳的最短长度为. 故答案为：. 【变式1】如图，在正四棱锥中，是棱上的动点，一只蚂蚁从A点出发，经过E点，爬到C点，则这只蚂蚁爬行的路程的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，将平面和平面展开到同一个平面，利用两点之间线段最短可得AC的长就是蚂蚁爬行的路程的最小值，由余弦定理计算以及二倍角公式可得答案. 【详解】根据题意，如图，将平面和平面展开到同一个平面， 连接，与交于点，则的长就是蚂蚁爬行的路程的最小值， 设，则， 又由得，则， 则有， 故， 则，即这只蚂蚁爬行的路程的最小值是. 故选：C. 【变式2】如图，在四棱锥中，侧棱长均为，正方形的边长为，，分别是线段，上的一点，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】利用四棱锥的侧面展开图，由余弦定理求解，即可得，进而可求解. 【详解】如图，将正四棱锥的侧面展开，则的最小值为， 在中，， ， 所以，故，则. 故选：A 【变式3】如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC＝2，，A为锐角，侧棱PA＝PB＝PC＝2，一只小虫从A点出发，沿侧面绕棱锥爬行一周后回到A点，则小虫爬行的最短距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，求出的值，将三棱锥沿侧棱展开，分析其展开图，由余弦定理分析可得答案． 【详解】根据题意，在三棱锥中，， 则有，可得，又，则， 而，则，又△PAB，△PAC为正三角形， 将三棱锥沿侧棱展开，得到如图所示的多边形，其中，    根据余弦定理，最短距离 故选：D． 【变式4】如图，在三棱锥中，，，过点A作截面，分别交侧棱PB，PC于E，F两点，则△AEF周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】沿着侧棱把三棱锥展开在一个平面内，如图，则即为周长的最小值，在中，由余弦定理能求出的值． 【详解】如图，沿着侧棱把三棱锥展开在一个平面内，如图所示： 则即为的周长的最小值， 在中，，， 由余弦定理得：． 故答案为：. 题型04棱锥中的截面问题 【典例1】在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，.过点A作与棱PC垂直的平面α，则四棱锥P﹣ABCD截平面α所得截面的面积为 . 【答案】 【分析】作AM⊥PC，垂足为M，作MH⊥PC，交于，可得平面，设平面与交于，则MF⊥PC，从而点四点共面，故平面AFMH即为平面α， 然后利用等面积法求出AM的长度，再利用比例关系求出FH的长度，求解截面的面积即可. 【详解】作AM⊥PC，垂足为M，作MH⊥PC，交于， 又，所以平面， 设平面与交于，则MF⊥PC， 所以平面AFMH即为平面α， 底面ABCD是边长为1的正方形， 所以，PA⊥底面ABCD，， 所以， 由等面积法可得， 解得，由对称性可得到FHBD， 在△PAC中，，所以， 又，CD=1， 所以PC2=PD2+DC2，故∠PDC=90°， 在△PDC中，， 所以， 所以， 在△PBD中，，所以， 所以棱锥P﹣ABCD截平面α所得截面的面积为. 故答案为： 【点睛】在解有关空间几何体的截面问题时，先确定截面，再利用空间几何体的性质、等面积法，结合题意中相关量的关系解出答案. 【变式1】已知正四棱锥的所有棱长都等于3，点是的重心，过点作平面，若平面平面，则平面截正四棱锥的截面面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点依次在平面内作平行线，可得到截面，根据比例确定边长知截面为等腰梯形即可求面积. 【详解】 点是的重心，，过作交于，并延长交于， 过作，过作，如图四边形为截面， ∵点是的重心，，∴， ∴，，，， 四边形为等腰梯形，故面积为. 故选：C. 【变式2】已知四棱锥中，平面，四边形为正方形，，平面过，，的中点，则平面截四棱锥所得的截面面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】顺次连接E，F，G，H，I，则平面EFGHI即为过E，F，H的平面截四棱锥P-ABCD所得截面，求其面积，可得答案. 【详解】分别取，，，的中点，，，，线段上靠近的四等分点， 连接, 因为, 所以,四边形是平行四边形，即四点共面， 设中点为,易得,故，所以五点共面， 则平面即为平面，如图， 在中，,可得, 所以，，， 在等腰三角形中，，，所以高为， 故所求截面面积为矩形面积与三角形面积之和，． 故选：A 【点睛】关键点点睛：分别取，，，的中点，，，，线段上靠近的四等分点作出并证明平面即为平面是解题的关键，属于中档题. 【变式3】如图，空间四边形的边，成的角，且，，平行于与的截面分别交，，，于，则截面面积的最大值为 . 【答案】 【分析】由题意易证四边形是平行四边形，（或），，则可得，，则可表示出，再由基本不等式即可求出其最大值. 【详解】∵∥平面，平面，平面平面， ∴，同理，∴，同理， ∴四边形是平行四边形. ∵与所成的角为，∴（或）， 设，∵，∴， 由，，得， ∴， 当且仅当，即时等号成立， 即为的中点时，截面的面积最大，为. 故答案为：. 【变式4】已知正三棱锥底面面积=6，点在高上且，则经过点且平行于底面的截面面积为 . 【答案】 【分析】由平行关系确定相似关系，根据相似比定出面积比，从而得解. 【详解】由题意知, 所求截面是等边三角形, 且与点构成一个小的正三棱锥, 因为, 即, 所以该小的正三棱锥与正三棱锥 的相似比为, 所以 , 所以所求截面的面积 . 故答案为: . 作出截面方法： ①两条平行直线确定唯一平面 ②两条相交直线确定唯一平面 ③将椎体补充为柱体，寻找截面 题型05 圆锥中的截面有关的计算 【典例1】已知圆锥的顶点为，底面圆周上的两点、满足为等边三角形，且面积为，又知圆锥轴截面的面积为8，则圆锥的侧面积为 . 【答案】 【分析】由等边△SAB的面积求出母线l的值，再求出圆锥底面半径r和高h，从而求得圆锥的侧面积． 【详解】解：设圆锥母线长为l，由△SAB为等边三角形，且面积为， 所以，解得l=4； 又设圆锥底面半径为r，高为h， 则由轴截面的面积为8，得rh=8； 又，解得， 所以圆锥的侧面积 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的结构特征应用问题，也考查了三角形边角关系应用问题，是中档题． 【变式1】已知圆锥的母线长为，过圆锥的顶点作圆锥的截面，若截面面积的最大值为，则该圆锥底面半径的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定截面的顶角和母线的夹角，再利用三角形面积公式得到，结合轴截面的性质得到，进而建立不等式，求解的取值范围即可. 【详解】如图，设轴截面顶角为，两个母线的夹角为， 底面半径为，且， 由三角形面积公式得截面面积为， 若截面面积的最大值为，则，解得， 则，即，由轴截面的性质可得， 即，解得，故C正确. 故选：C 【变式2】已知圆锥的母线长为10，高为5，则圆锥的轴截面的面积为 . 【答案】 【分析】求出圆锥底面圆的半径，根据三角形面积求解即可. 【详解】设圆锥的底面圆的半径为，由题意得， 所以圆锥的轴截面的面积为. 故答案为： 【变式3】若圆锥的侧面展开图是半径为1，圆心角为的半圆，则这个圆锥的轴截面面积等于 . 【答案】 【分析】由展开图的圆心角和半径可求出圆锥底面圆的周长和半径，从而求出圆锥的高，即可求得轴截面的面积. 【详解】因为圆锥的侧面展开图是半径为1，圆心角为的半圆， 所以扇形弧长，即圆锥底面圆的周长为， 则圆锥底面圆半径， 圆锥直观图如图所示： 易知：，，则， 所以轴截面的面积. 故答案为： 【变式4】某圆锥的侧面展开图是面积为，圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积是 . 【答案】 【分析】由题意先计算出母线长，再可求出底面半径，从而可求出圆锥的高，进而可求出轴截面的面积 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为， 因为圆锥的侧面展开图是面积为，圆心角为的扇形， 所以，解得， 因为， 所以，得， 所以圆锥的高为， 所以圆锥的轴截面的面积是， 故答案为： 题型06 圆锥中的展开图和最短距离问题 【典例1】圆锥的底面半径为，母线长，一只蚂蚁自底面圆周上一点沿圆锥表面爬到过母线的轴截面上另一条母线的中点，问这只蚂蚁爬行的最短距离为 . 【答案】 【分析】圆锥半侧面展开成一个扇形，则对应的弧长是底圆周长的一半，可求出扇形的圆心角为弧度，沿圆锥侧面移动到D，利用余弦定理可求最短距离. 【详解】 如图，沿母线剪下作出半侧面展开图，得到的是扇形， 设扇形的圆心角为弧度，则根据题意知，扇形的弧长等于圆锥底面周长的一半， 得：，即， 在中，点是的中点，由余弦定理得： ， 所以，故所求的最短距离为. 故答案为：. 【变式1】已知圆锥的高为，底面直径的长为，那么从点A出发沿该圆锥的表面到点B的最短路径长为 ． 【答案】 【分析】根据已知求出圆锥底面周长和母线长，进而得到侧面展开图的圆心角，即可求最小值. 【详解】由题设，圆锥底面周长为，母线长为，故侧面展开图圆心角为， 将圆锥沿过点的母线展开，得到如下图示半径为6的半圆，且为圆弧的中点， 从到有两种方式，一种方式从圆锥体侧面，一种方式从圆锥的底面， 若沿侧面，如上图，从点A出发到点B的最短路径长； 若沿底面，此时最短路径长为直径长度； 综上，从点A出发沿该圆锥的表面到点B的最短路径长. 故答案为： 【变式2】如图，圆锥的底面直径，母线长，点在母线上，且，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点到达点，则这只蚂蚁爬行的最短距离为 ．    【答案】 【分析】蚂蚁爬行距离最短，即将圆锥侧面展开后A到C的直线距离，根据已知条件、勾股定理可求出最短距离. 【详解】如图，圆锥的侧面展开图为半径为3的扇形，弧长， 则， 则. 故答案为：.    【变式3】如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为5公里，侧棱长为20公里，B是上一点，且公里，为了发展旅游业，要建设一条最短的从A绕山一周到B的观光铁路，这条铁路从A出发后首先上坡，随后下坡，则下坡段铁路的长度为 公里 【答案】9 【分析】先展开圆锥的侧面，确定观光铁路路线，再根据实际意义确定下坡段的铁路路线，最后解三角形得结果. 【详解】沿母线将圆锥的侧面展开，如图：      记为上的任意一点，作，垂足为，连接， 因为的长为，所以， 由两点之间线段最短，知观光铁路为图中的， 易知，所以， 上坡即到山顶的距离越来越小，下坡即到山顶的距离越来越大， ∴下坡段的铁路，即图中的， 因为，所以. 故答案为：9 【变式4】暑假将临，大学生小明同学准备利用假期探访名胜古迹．已知某座山高耸入云，整体呈圆锥形，其半山腰（母线的中点）有一座古寺，与上山入口在同一条母线上，入口和古寺通过一条盘山步道相连，且当时为了节省资金，该条盘山步道是按“到达古寺的路程最短”修建的．如图，已知该座山的底面半径，高，则盘山步道的长度为 ，其中上山（到山顶的直线距离减小）和下山（到山顶的直线距离增大）路段的长度之比为 .    【答案】 【分析】利用圆锥的侧面展开图，利用余弦定理求两点间的距离，结合作图，求出上山路段及下山路段的长即可得解. 【详解】设入口为点，古寺位置为，则由题意，为母线的中点， 由底面圆半径为2km，山高为，则母线, 底面圆周长，所以展开图的圆心角， 作圆锥侧面展开图，如图，    由余弦定理可得， 由点向引垂线，垂足为点，此时为点和线段上的点连线的最小值， 即点为公路的最高点，段为上坡路，段为下坡路段， 由可得，， 所以，， 所以上山和下山路段的长度之比为. 故答案为：； 将圆锥展开，在平面图形中，根据两点之间线段最短求解 题型07 椎体的体积 【典例1】在棱长为2的正方体中，为线段的中点，则四面体的体积为 ． 【答案】 【分析】连接交于点，利用线面垂直证明为四面体的高，进而利用等体积法求得答案. 【详解】    如图，连接交于点， 因为平面，平面，平面， 所以，， 又因为， 所以四边形为矩形， 而在平面内， 又因为，，， 所以面， 所以为四面体的高， 因为正方体棱长为2，所以， 所以， 故答案为：. 【变式1】已知三棱锥的底面ABC是等腰直角三角形，侧面PBC是等边三角形，且，，若平面PBC与底面ABC的夹角为30°，则三棱锥的体积为 ． 【答案】/ 【分析】根据题意作图，注意两平面相交形成四个二面角，其中不大于90°的二面角称为两平面的夹角，故当两平面的夹角为30°时，其对应的二面角为30°或150°.因此，分两种情况讨论．找到三棱锥的高，即可得出结果. 【详解】第一种：当二面角时，如图①，取BC的中点D，连接PD，AD，过点P作，垂足为H， 因为底面ABC是等腰直角三角形，侧面PBC是等边三角形，且D为BC的中点，所以，， 因为，PD，平面PAD，所以平面PAD， 又平面PAD，所以． 因为，AD，底面ABC， 所以底面ABC，即PH为三棱锥的高． 因为侧面PBC是等边三角形，且，所以，故， 所以． 第二种：当二面角时，如图②，同理可得，． 故答案为： 【变式2】如图1，在梯形中，，，，将沿折起，使得点落在点的位置，得到三棱锥，如图2所示，则三棱锥体积的最大值为 . 【答案】/ 【分析】根据题意，可求出的面积，且翻折后，当平面平面时，点到平面的距离取最大值，即可得解. 【详解】在图1中，延长、于点，如下图所示： 因为，且，所以，， 即，，所以，，， 所以，是边长为的等边三角形， 所以，、分别为、的中点，所以，， 所以，， 易知，所以，， 翻折后，当平面平面时，点到平面的距离取最大值， 因为平面平面，平面平面， 平面，， 所以，平面， 所以，的体积的最大值为. 故答案为： 【变式3】已知正四棱台的上底面的四个顶点都在圆锥的侧面上，下底面的四个顶点都在圆锥的底面圆周上，且，则圆锥的体积为 . 【答案】 【分析】根据题意作出图形，利用正四棱台的相关边长与圆锥的关系，结合图形即可求得圆锥的底面圆半径和高，从而可求其体积. 【详解】 如图，设正四棱台的上底面中心为点，则点在上， 连接 ，则点在上，点在上，因， 由，可得， 因，， 在直角梯形中，， 又由可得. 故圆锥的体积为. 故答案为：. 【变式4】已知平行六面体中，各棱长均为，，则四棱锥的体积为 . 【答案】 【分析】先分析四棱锥和平行六面体的体积关系，根据题干数据求出高即可得到体积. 【详解】四棱锥和平行六面体同底同高， 故四棱锥的体积为平行六面体体积的， 平行六面体的高即为正四面体的高，如下图所示： 设点在平面的射影为点，则为正的中心， 由正弦定理可得，， 菱形的面积为， 所以平行六面体的体积为， 所以四棱锥的体积为 故答案为： 题型08 椎体的侧面积和表面积 【典例1】如图已知点A，在圆锥SO的底面圆周上，S为圆锥顶点，O为圆锥的底面中心，且圆锥SO的底面积为4π，∠ASB=30°，若AB与截面SAO所成角为60°，则圆锥SO的侧面积为 【答案】 【分析】根据线面角的几何法可得，即可根据余弦定理求解母线长，由侧面积公式即可求解. 【详解】设圆锥的底面半径和母线分别为， 则根据底面面积可得，所以， 过作于点,连接 由于平面平面，故, 平面， 故平面， 故即为直线AB与截面SAO所成角，故， 因此， 故，解得， 故侧面积为， 故答案为： 【变式1】已知正四面体的体积为，则其表面积为 ． 【答案】 【分析】解法一：设正四面体的棱长为，作平面，垂足为，结合图形求得和的面积，利用其体积求得，即可求出表面积；解法二：设正四面体的棱长为，运用二阶结论由体积求得，即可利用表面积公式求其表面积 【详解】解法一：设正四面体的棱长为，如图，作平面，垂足为，则为正的中心， 连接并延长，交于点，则为的中点，所以，， 所以，． 由，解得，所以， 故正四面体的表面积为． 故答案为：. 解法二：设正四面体的棱长为，则其体积为，表面积为， 依题意，由解得，故其表面积为． 故答案为：. 【变式2】已知圆锥底面半径为2，母线长为3，则此圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【分析】根据圆锥侧面积公式（其中为底面圆半径，为母线长），代入已知参数求解. 【详解】由题知，底面半径，母线长， 则圆锥侧面积. 故答案为：. 【变式3】有一正四面体木料，现欲对其进行加工处理，将木料固定并将其过中心完整切开，若所得截面是边长为2的正方形，则该木料的表面积为 ． 【答案】 【分析】由截面是边长为2正方形，可得正四面体的棱长为4，再根据三角形的面积公式求解即可. 【详解】如图正四面体，截面正方形由4条边的中点构成， 由于正四面体的对称性，这4个中点共面且形成正方形， 即四边形是边长为2的正方形， 所以正四面体的棱长为4. 又因为正四面体每个面都是等边三角形， 所以. 故答案为：. 【变式4】一个腰长为2的等腰直角三角形绕着它的一条直角边所在的直线旋转弧度，形成的几何体的表面积为 ． 【答案】 【分析】根据题意画出草图，得到形成的几何体为一个圆锥切割的几何体，再根据表面积为，计算即可. 【详解】将一个腰长为2的等腰直角三角形绕着它的一条直角边所在的直线旋转弧度， 所得几何体为一个圆锥切割的几何体， 由题意可知，圆锥的底面半径为2，高为2，则母线长为， 圆锥表面积为， ， 所以形成的几何体的表面积为. 故答案为：. 正棱锥相关结论 ①正棱锥的底面为正多边形； ②正棱锥的顶点在底面上的射影为底面中心； ③正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜高乘积的一半； ④正三棱锥的对棱互相垂直． 正四面体相关结论 当正四面体的棱长为时，有以下结论： ①正四面体的高为； ②正四面体的表面积为，正四面体的体积为； ③正四面体的内切球半径为，外接球半径为； ④正四面体的侧棱与底面夹角的余弦值为，相邻两个面组成的二面角的余弦值为． 1．已知底面圆直径为的圆锥的表面积与其侧面积之比为，则该圆锥的高为 ．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】由圆锥的表面积和侧面积公式计算即可求解. 【详解】设该圆锥的底面半径和母线长分别为， 所以表面积为，侧面积为， 所以， 所以圆锥的高为， 故答案为：. 2．已知点，，，在半径为的同一球面上，且，，则三棱锥体积的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】根据三棱锥外接球的性质及三棱锥体积公式可得解. 【详解】 如图所示，设的外接圆圆心为，三棱锥的外接球球心为， 由，， 则， 即， 且， 所以外接圆半径为， 则， 所以当点在的延长线上时，三棱锥的体积最大， 此时三棱锥的高为， 即三棱锥体积， 故答案为：. 3．现有一块棱长为2的正四面体木料，用平行于该木料底面的一个平面将木料截成两部分，若这两部分的表面积相等，则该平面在木料上的截面面积为 ． 【答案】 【分析】根据题设求出截取的小三棱锥的侧面等边三角形的面积后可求该平面在木料上的截面面积. 【详解】正四面体表面积为，故截取的小三棱锥的侧面积为， 故小三棱锥的侧面等边三角形的面积为，设该平面在木料上的截面面积为， 而底面面积为，则即， 故答案为：. 4．已知圆锥的母线长为3，其侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为 ． 【答案】 【分析】由圆锥侧面展开图及弧长公式求圆锥底面周长，进而确定底面半径，再应用圆锥表面积的求法求解. 【详解】由弧长公式知，圆锥底面周长为， 若圆锥的底面半径为，则，即， 所以圆锥的表面积为. 故答案为： 5．已知某圆锥的高为2，其侧面展开图为半圆，则该圆锥底面圆的半径为 ． 【答案】 【分析】利用侧面展开图与原几何体的轴截面之间的数量关系求解即可. 【详解】如图所示， 设圆锥底面圆的半径为，高为2，母线长为， 由题意得，， 故，解得． 故答案为：. 6．已知圆锥的底面半径，高为，则这个圆锥的表面积是 . 【答案】 【分析】先利用勾股定理求圆锥的母线长，再利用圆锥的侧面积公式求侧面积，加上底面积即可. 【详解】由题知，母线长， 所以圆锥的侧面积为， 底面积为， 所以圆锥的表面积为. 故答案为： 7．联结正方体各表面的中心构成一个正八面体，则正八面体的体积和正方体的体积之比为 . 【答案】 【分析】设正方体的边长为1，则根据题意正八面体是由两个全等的底面为正方形的四棱锥构成，再结合题意计算即可得答案. 【详解】    根据题意得，正八面体是由两个全等的底面为正方形的四棱锥构成， 设正方体的边长为，则四棱锥的底面边长为， 所以正八面体的体积为：，正方体的体积为：， 所以正八面体的体积和正方体的体积之比为：. 故答案为：. 8．已知圆锥的底面积为，高为，则该圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【分析】设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，先求底面半径，再根据求，利用圆锥的侧面积公式即可求解. 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，则，，即， 所以，所以圆锥侧面积为， 故答案为：. 9．如图，水平的广场上有一盏路灯挂在高9m的电线杆顶上，记电线杆的底部为点.把路灯看作一个点光源，身高1.5m的女孩站在离点5m的点处，若女孩沿方向前行5m到达点，此时为的中点，然后从点出发沿着以为对角线的正方形走一圈，则女孩走一圈时头顶影子的轨迹围成图形的面积为 .    【答案】18 【分析】根据题意可知，女孩头顶的影子轨迹所围成的图形是一个正方形，由此可求得女孩头顶的影子轨迹所围成的图形面积. 【详解】把路灯看作一个点光源，女孩走一圈时头顶影子的轨迹与点光源构成一个四棱锥，    头顶轨迹为截面，与底面距离为，截面是正方形， 底面即女孩走一圈时头顶影子的轨迹也是正方形，相似比为， 截面面积与底面面积之比为相似比的平方，截面边长为， 设底面面积为，则，解得. 故答案为：18. 10．已知一个底面半径为的圆锥侧面展开图形的面积是底面面积的2倍，则该圆锥轴截面的面积为 ． 【答案】 【分析】设圆锥的底面半径为，母线长为，由条件方程可得，再求轴截面的三角形面积. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为， 则圆锥的侧面展开图的面积，圆锥的底面面积， 因为圆锥的底面半径为1，所以， 因为圆锥侧面展开图形的面积是底面面积的2倍，所以， 所以， 如图，圆锥的轴截面为，圆锥的轴为， 因为，， 所以， 所以圆锥的轴截面的面积， 故答案为：. 二、单选题 11．如图，为圆锥的底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是（    ）    A．圆锥的侧面积为 B．三棱锥的体积的最大值为 C．的取值范围是 D．若为线段上的动点，则的最小值为 【答案】C 【分析】根据圆锥的侧面积公式即可求解A，根据体积公式即可求解B，根据三角形的边角关系，即可求解C，利用两点间距离最小，由余弦定理即可求解D. 【详解】在中，，则圆锥的母线长，半径， 对于选项A，圆锥的侧面积，A错误； 三棱锥的体积为，其中为点到的距离，故当时，最大，且最大值为2，三棱锥的体积最大，此时，B错误； 在中，，又，则，当点与点重合时，为最小角，当点与点重合时，达到最大值，又与不重合，则， 又，得，C正确； 由，得，又， 则为等边三角形，则， 将以为轴旋转到与共面，得到， 则为等边三角形，，如图知， 由， 得， 所以，D错误． 故选：C．    12．已知圆锥的高为，它的侧面展开图的圆心角为，则此圆锥的侧面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由弧长公式结合圆的周长公式列等量关系式得到，接着结合圆锥的高以及勾股定理依次求出圆锥底面半径和母线长即可由圆锥侧面积公式求解. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为， 因为侧面展开图的圆心角为，所以，得， 所以圆锥的高为， 所以，则. 故选：D 三、解答题 13．如图，在四棱锥中，平面平面，底面是直角梯形，，，且，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）取中点，通过证明四边形为平行四边形，从而得到，再由线面平行的判定即可证明； （2）由题知，根据面面垂直的性质可证平面，然后利用体积计算公式求解； （3）取的中点，连接，过作于，则为二面角的平面角，在中，可求，再得到即可. 【详解】（1）取中点，连接， 为的中点，为中点，所以，且， 又，，，， 所以有，且， 所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面，所以//平面． （2）底面是直角梯形，，平面，平面， 所以//平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离， 所以三棱锥的体积，     又为的中点，则点到平面的距离等于点到平面的距离的一半， 所以， 又，，， 所以，故， 又，，所以， 平面平面，且平面平面， 又平面，所以平面， 故. （3）因为平面平面，且其交线为， 又平面，， 所以平面， 取的中点，连接， 在中，，分别为，的中点， 所以， 则平面， 过作于，连接，则有， 所以为二面角的平面角，     在直角梯形中，，，所以，所以， 又，所以， 在中，，所以， 即二面角的余弦值为． 14．如图，在三棱锥中，已知平面，点在上，.设，当为何值时，最大？求此时三棱锥的体积. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用线面垂直的判定性质，结合差角的正切及基本不等式求出最大时长，进而求出体积. 【详解】在三棱锥中，由平面，平面，得，而， 平面，则平面，又平面， 因此，， ，当且仅当时取等号， 又正切函数在上递增， 则当且仅当最大时，最大，此时， （或圆周角大于圆外角，所以过的圆与相切，当切点为时，最大，） 所以三棱锥的体积. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $