11.2 椎体讲义-2025-2026学年高二上学期数学沪教版（2020）必修第三册

【阿波罗计划·数学必修三】：11.2 椎体 【知识梳理】： 1．棱锥 （1）定义 如图，有一个面是三角形或平面多边形，且不在这个面上的棱都有一个公共点，这样的多面体叫做棱锥，其中，这个三角形或平面多边形称为棱锥的底面，其余的面称为棱锥的侧面，不在底面上的棱称为棱锥的侧棱，所有侧棱的公共点称为棱锥的顶点，顶点到底面的距离叫做棱锥的高. （2）分类 如果棱锥的底面是正多边形，且底面中心与顶点的连线垂直于底面，那么这个棱锥叫做正棱锥. 类比棱柱的分类，按照底面多边形的边数，棱锥可以分别称为三棱锥、四棱锥、五棱锥等. 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形。 2．圆锥 定义：如图，将直角三角形AOB绕其中一条直角边AO所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆锥，其中，AO所在直线叫做圆锥的轴，点A叫做圆锥的顶点，直角边BO旋转而成的圆面叫做圆锥的底面，斜边AB旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面，斜边AB叫做圆锥的母线，圆锥的顶点到底面间的距离（即AO的长度）叫做圆锥的高，我们把棱锥和圆锥统称为锥体。圆锥的母线长都相等，有无数条，交于圆锥的顶点。 3．棱台与圆台 （1）棱台 如果棱锥被一个平行于底面的平面所截，那么截去一个含顶点的小棱锥后剩下的多面体称为棱台．其中，由正棱锥截得的棱台称为正棱台． （2）圆台 把一个锥体用平行于底面的平面截去含顶点的小锥体后，剩下的几何体称为台体．如图，大圆锥截去小圆锥后剩下的几何体称为圆台．由圆锥的形成过程，容易看出圆台是由直角梯形O1ABO2绕直角边O1O2旋转一周所形成的几何体．延长圆台的母线交于一点．     4．体积与表面积公式 （1）棱锥的体积：设棱锥的底面积为，高为h，得到棱锥的体积公式：． （2）圆锥的体积：设圆锥的底面积为，底面半径为r，高为h，得到圆锥的体积公式： （3）正棱锥的表面积： 正棱锥的每个侧面都是全等的等腰三角形，我们把这些等腰三角形底边上的高称为棱锥的斜高，记为h．如果棱锥底面多边形的周长是c，底面面积是，那么棱锥的侧面积，表面积 （4）圆锥的表面积： 将圆锥沿一条母线剪开，展开在一个平面内．圆锥侧面的平面展开图是一个以圆锥母线l为半径的扇形，扇形的弧长就等于圆锥底面的圆周长，如图，设圆锥的底面圆半径为r，则扇形的中心角（弧度）．由扇形的面积公式，可得圆锥的侧面积，表面积．     【同步练习】：夯实双基 一、单选题 1．若棱锥的底面是正多边形，且底面边长与所有侧棱长相等，则该棱锥一定不是（ ） A．三棱锥 B．四棱锥 C．五棱锥 D．六棱锥 2．一个棱锥被平行于底面的平面所截截面面积恰好是棱锥底面面积的一半，则截得的小棱锥与原棱锥的高之比是（    ） A． B． C． D． 3．若分别以一个锐角为的直角三角形的最短直角边，较长直角边．斜边所在的直线为轴旋转一周，则所形成的几何体的体积之比是（    ） A． B． C． D． 4．紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶形众多，经典的有相关数据如图所示（单位：cm）（可近似看作台体，不考虑壶壁厚），那么图中该壶的容积约接近于（    ）    A． B．200cm3 C． D． 5．分别以直角三角形的斜边和两直角边所在直线为轴，将三角形旋转一周所得旋转体的体积依次为､､，则（    ） A． B． C． D． 6．下面命题中正确的个数是（    ） ①侧面与底面所成角都相等的棱锥必是正棱锥； ②侧棱长都相等的棱锥的顶点在底面的射影一定在底面多边形的内部； ③斜棱柱中至多有两个侧面与底面垂直； ④正六棱锥的侧棱长可以和底面边长相等； ⑤所有棱长都相等的直平行六面体是正方体． A．0 B．1 C．2 D．3 7．柏拉图多面体，是指严格对称，结构等价的正多面体．由于太完美，因此数量很少，只有正四、六、八、十二、二十面体五种．如果用边数不同的正多边形来构造接近圆球、比较完美的多面体，那么数量会多一些，用两种或两种以上的正多边形构建的凸多面体虽不是正多面体但有些类似，这样的多面体叫做半正多面体．古希腊数学家物理学家阿基米德对这些正多面体进行研究并发现了13种半正多面体（后人称为“阿基米德多面体”）．现在正四面体上将四个角各截去一角，形成最简单的阿基米德家族种的一个，又名截角四面体．设原正四面体的棱长为6，则所得的截角四面体的表面积为 A． B．24 C． D． 二、填空题 8．半径为，圆心角为的扇形纸片卷成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面积为 ． 9．图是棱长为1的正方体，O为其体对角线的交点，从中挖去一个四棱锥，则该几何体的表面积为 . 10．已知一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的表面积为 ； 11．一个正六棱锥的体积是，底面边长为2，则该六棱锥的侧面积是 . 12．如图，圆锥的底面直径，母线长，点在母线上，且，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点到达点，则这只蚂蚁爬行的最短距离是 ． 13．四棱锥中，平面，底面是边长为2的正方形，，则四棱锥的侧面积是 ． 14．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个垂直于圆柱底面的平面去截这个组合体﹐则截面图形可能是 （填序号）． 15．农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽粒，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为 ． 16．已知圆锥的底面半径为2，高为4，在圆锥内部有一个圆柱，则圆柱的侧面积的最大值为 . 17．如图，在三棱锥D-AEF中，分别是DA，DE，DF的中点，B，C分别是AE，AF的中点，设三棱柱的体积为，三棱锥D-AEF的体积为，则 . 18．下列命题中，正确的是 ．（填序号） ①以直角三角形的一边所在的直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周所得到的旋转体是圆锥； ②以矩形的一边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周所得到的旋转体是圆柱； ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆； ④以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴，将等腰三角形旋转一周形成的几何体是圆锥； ⑤用一个平面去截圆柱，得到的截面是一个圆面或者矩形面． 19．如图，已知三棱柱的体积为，点M，N分别为棱，的中点，则棱锥的体积为 . 20．从一个底面半径和高均为R的圆柱中，挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的棱锥，得到一个如图几何体.如果用一个与圆柱下底面距离为d的平行平面去截这个几何体，截面面积为 . 21．已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且它们的长度分别为1，1，，则此三棱锥的高为 ． 22．如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，则圆台O′O的母线长为 cm.    （第19题图） （第20题图） （第22题图） 三、解答题 23．如图：圆锥底面半径为1，高为3． （1）求：圆锥内接圆柱（一底面在圆锥底面上，另一底面切于圆锥侧面）侧面积的最大值； （2）圆锥内接圆柱的表面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由． 24．如右图所示，在三棱锥中，，且，． （1）证明：； （2）求：三棱锥的体积． 25．如右图，正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，为棱的中点． （1）求：异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （2）求：该三棱锥的体积． 26．已知圆台侧面的母线长为，母线与轴的夹角为，一个底面的半径是另一个底面半径的倍． （1）求：圆台两底面的半径； （2）如图，点为下底面圆周上的点，且，求：与平面所成角的正弦值． 27．某粮仓是如图所示的多面体，多面体的棱称为粮仓的“梁”．现测得底面ABCD是矩形，AB＝16米，AD＝4米，DE＝AE＝BF＝CF，腰梁AE、BF、CF、DE分别与相交的底梁所成角均为60°．    （1）请指出所有互为异面且相互垂直的“梁”，并说明理由； （2）若不计粮仓表面的厚度，该粮仓可储存多少立方米的粮食？ 学科网（北京）股份有限公司 $$