精品解析：甘肃省白银市靖远县第四中学2025-2026学年高二上学期9月月考数学试题

靖远县第四中学2025--2026学年高二9月月考数学试卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 各项为正的等比数列中，与的等比中项为3，则＝（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 《算法统宗》是我国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公的长儿的年龄为（ ） A. 23岁 B. 32岁 C. 35岁 D. 38岁 3. 已知数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 过点且倾斜角为的直线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示是一系列有机物的结构岗图，图中的“小黑点”表示原子，两基点间的“短线”表示化学键，按图中结构第n个图有化学键（ ） A. 6n B. C. D. 6. 在等比数列中，是函数的两个零点，则（ ） A. B. C. 5 D. 7. 已知等比数列的前n项和为，若，，则的值为（ ） A 81 B. 145 C. 256 D. 273 8. 已知数列的通项公式为，下列说法正确的是（ ） A. 数列从第3项起各项数值逐渐增大 B. 当时，取最大值 C. 是该数列的项 D. 数列的图象与的图象相同 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知等差数列的公差为，前项和为，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 当时，取得最小值 D. 当时，满足的最大整数的值为25 10. 对于直线：，下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线斜率可以不存在 C. 时直线的倾斜角为 D. 时直线在轴上的截距为 11. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则数列是以2 为公比的等比数列 B. 若，则数列是以2为公差的等差数列 C. 若，则数列是以1为公差等差数列 D. 若，则数列是以为公差的等差数列 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知数列的前n项和为，且，则____． 13 已知数列，满足，则______ 14. 已知点，，直线l过定点，且直线l与线段有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是__________ 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列满足，且当，时，有，设，. （1）求证：数列为等差数列； （2）试问是否是数列中项？如果是，是第几项；如果不是，请说明理由. 16. 已知数列的前项和，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 17. 已知等差数列 的前 项和为，且. （1）求数列 的通项公式; （2）记 ，求数列 前 项和 . 18. 已知直线． （1）若直线l与x轴的交点的横坐标与其在y轴上的截距相等，求k的值； （2）若直线l交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程． 19. 已知等差数列满足，，数列满足，，. （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）求数列的前项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 靖远县第四中学2025--2026学年高二9月月考数学试卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 各项为正的等比数列中，与的等比中项为3，则＝（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由题得，再利用对数的运算性质和等比数列的性质求解. 【详解】解：∵各项为正的等比数列中，，与的等比中项为3， ∴， ∴. 故选：B 2. 《算法统宗》是我国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公的长儿的年龄为（ ） A. 23岁 B. 32岁 C. 35岁 D. 38岁 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意设第n个儿子的年龄为岁，易知是等差数列，，利用等差数列前n项和公式求出即可. 【详解】设第n个儿子的年龄为岁，由题可知是等差数列，设其公差为d，前n项和为， 易得，则 ， 解得， 即这位公公的长儿的年龄为35岁． 故选：C. 3. 已知数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知分别求出数列的前4项，可得数列是以3为周期的周期数列，从而可求． 【详解】解：因为，， 所以，，， 所以数列是以3为周期的周期数列， 因为， 所以. 故选：B. 4. 过点且倾斜角为的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线的点斜式方程即可得出答案. 【详解】解：因为直线的倾斜角为135°，所以直线的斜率， 所以直线方程为，即. 故选：D． 5. 如图所示是一系列有机物的结构岗图，图中的“小黑点”表示原子，两基点间的“短线”表示化学键，按图中结构第n个图有化学键（ ） A. 6n B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由图分别得到第1个图,第2个图,第3个图中化学键的个数,由数的规律找到第个图中化学键的个数. 【详解】由图,第1个图中有6个化学键； 第2个图中有11个化学键； 第3个图中有16个化学键, 观察可得,后一个图比前一个图多5个化学键, 则第个图有个化学键, 故选:B 【点睛】本题考查图形的规律,考查等差数列的通项公式的应用. 6. 在等比数列中，是函数的两个零点，则（ ） A B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据韦达定理结合等比中项可求. 【详解】因为是函数的两个零点， 所以是方程的两个根，则，， 所以都为负数，又因为是等比数列，, 所以，则， 故选：B 7. 已知等比数列的前n项和为，若，，则的值为（ ） A. 81 B. 145 C. 256 D. 273 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列的性质，计算即可得出答案. 【详解】因为等比数列，，， 所以成等比数列， 因为，，所以， 所以， 所以. 故选：D 8. 已知数列的通项公式为，下列说法正确的是（ ） A. 数列从第3项起各项数值逐渐增大 B. 当时，取最大值 C. 是该数列的项 D. 数列的图象与的图象相同 【答案】C 【解析】 【分析】利用数列的函数特性，结合二次函数的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，，由二次函数的性质可知从起起各项数值逐渐增大，故A错误； 对于B，由，可知时，取最小值，无最大值，故B错误； 对于C，令，可得，解得或， 所以是数列中的项，故C正确； 对于D，数列的图象是函数的图象中横坐标为正整数的孤立的点， 所以数列的图象与的图象不相同，故D错误. 故选：C. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知等差数列的公差为，前项和为，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 当时，取得最小值 D. 当时，满足的最大整数的值为25 【答案】ABD 【解析】 【分析】由得到，进而求得即可判断A；，，成等差数列，即可判断B；因为，分类讨论当，，即可判断C；因为，所以，，所以，，即可判断D. 【详解】因为， 所以， 即，所以，故A正确． 因为，，成等差数列， 所以，而，则，故B正确． 因为，由得， 即，所以，所以对称轴为：， 所以当时，开口向上，当，取得最小值， 当时，开口向下，当，取得最大值，故C错误． 因为，数列单调递增，所以，， 则，，又因为， 所以当时，满足的最大整数的值为25，D正确． 故选：ABD 10. 对于直线：，下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线斜率可以不存在 C. 时直线的倾斜角为 D. 时直线在轴上的截距为 【答案】AB 【解析】 【分析】求出直线过定点坐标即可判断A；当时斜率不存在，即可判断B；求出直线的斜率，从而得到倾斜角，即可判断C；求出直线与轴的交点，即可判断D. 【详解】对于A，直线，令，则，所以直线过定点，故A正确； 对于B，当时，直线，斜率不存在，故B正确； 对于C，当时，直线，即，所以直线的斜率为，倾斜角为，故C错误； 对于D，当时，直线，令，得，即直线在轴上的截距为，故D错误. 故选：AB. 11. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则数列是以2 为公比的等比数列 B. 若，则数列是以2为公差的等差数列 C. 若，则数列是以1为公差的等差数列 D. 若，则数列是以为公差的等差数列 【答案】BC 【解析】 【分析】本题可根据数列的前项和与的关系、等差数列和等比数列的定义，对选项逐一分析即可. 【详解】对于选项A，已知，当时，； 当时，. 当时，，所以数列不是等比数列，A错误. 对于选项B，由，两边取倒数可得，即. 又，则，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，B正确. 对于选项C，由，两边同时除以可得： ，即. 又，则，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，C正确. 对于选项D，由，移项可得，两边同时除以得. 又，则，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，D错误. 故选：BC . 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知数列前n项和为，且，则____． 【答案】 【解析】 【分析】分当和结合依次求出和，再检验是否满足即可得解. 【详解】当时，， 当时，，此时不成立， 所以. 故答案为： 13. 已知数列，满足，则______ 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件可得，，进而求结果. 【详解】由， 则,， 两式作差，得,， 所以，故 故答案为： 14. 已知点，，直线l过定点，且直线l与线段有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是__________ 【答案】 【解析】 【分析】画出图象，结合图象求得的取值范围. 详解】设， 画出图象如下图所示， ， 结合图象可知，直线的斜率的取值范围是. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列满足，且当，时，有，设，. （1）求证：数列为等差数列； （2）试问是否是数列中的项？如果是，是第几项；如果不是，请说明理由. 【答案】（1）证明见详解；（2）是数列中的第11项. 【解析】 【分析】（1）将变形为，即可证明数列为等差数列； （2）先求出，然后算出，然后解出方程即可. 【详解】（1）因为 所以将两边同时除以可得 即，因为 所以数列是以首项为5，公差为4的等差数列 （2）由（1）可得 所以 所以，，令，解得 所以是数列中的第11项 【点睛】本题考查的是等差数列的定义及其基本运算，考查了学生对基础知识的掌握情况，属于基础题. 16. 已知数列的前项和，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用分步求解即可； （2）根据分组求和和并项求和思想，结合等比数列求和公式求解即可. 【小问1详解】 当时，； 当时，. 也满足，故数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）知，故，记数列的前项和为， 则. 记， 则， . 故数列的前项和. 17. 已知等差数列 的前 项和为，且. （1）求数列 的通项公式; （2）记 ，求数列 的前 项和 . 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列前 项和公式、通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出数列的通项公式. （2）由 ，得 ，当 时，，此时 ; 当 时，，此时 ，由此能求出结果. 【小问1详解】 设数列 的公差为， 由 ， 得 ， 解得 ， . 【小问2详解】 由 ，得 当 时，， 此时 当 时，， 此时 ， 所以. 18. 已知直线． （1）若直线l与x轴的交点的横坐标与其在y轴上的截距相等，求k的值； （2）若直线l交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程． 【答案】（1）或 （2）最小值为16，此时直线l的方程为 【解析】 【分析】（1）先分别求出直线l与x轴交点横坐标和在y轴上的截距，再根据二者相等列方程求解k的值； （2）先求出两点的坐标，进而得到的面积表达式，然后利用基本不等式求出面积的最小值，最后根据面积取最小值时k的值确定直线l的方程． 【小问1详解】 当时，直线l的方程为，与x轴无交点，不符合题意； 当时，直线l的方程为， 令，则， 令，则， 由题意得，即， 即，解得或，经检验，均成立． 综上，k的值为或． 【小问2详解】 由题可知，由（1）知A，， 故, 当且仅当，即时取等号， 故S的最小值为16，此时直线l的方程为． 19. 已知等差数列满足，，数列满足，，. （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的性质可求得首项与公差，可求得，由已知可得是等比数列.，计算可求得； （2）利用裂项相消法可求得数列的前项和； （3）利用错位相减法可求得数列的前项和. 【小问1详解】 由，得. 因为，所以， 则公差为，所以， 所以. 因为，所以，则是等比数列. 设其公比为，因为，，所以，，则. 【小问2详解】 因为， 所以. 【小问3详解】 因为，所以， 所以， 两式相减得， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $