精品解析：天津市汇文中学2025-2026学年九年级上学期开学考数学试卷

九年级上学期收心节【数学学科】知识锦囊 数学 （考试时间：60分钟 试卷满分：100分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，运算正确的是(　　　) A. B. C. D. 3. 下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 如图，在中，的平分线交于点E，则的长是（ ） A. 4 B. 3 C. 3.5 D. 2 5. 若一次函数y＝x+4的图象上有两点A(﹣，y1)、B(1，y2)，则下列说法正确的是( ) A. y1＞y2 B. y1≥y2 C. y1＜y2 D. y1≤y2 6. 2022年北京-张家口举办了冬季奥运会，很多学校也开设了相关的课程．下表记录了某校4名同学短道速滑选拔赛成绩的平均数与方差 队员1 队员2 队员3 队员4 平均数（秒） 51 50 51 50 方差（秒2） 3.5 3.5 14.5 14.5 据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ） A. 队员1 B. 队员2 C. 队员3 D. 队员4 7. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上，顶点坐标 B. 开口向下，顶点坐标 C. 开口向上，顶点坐标 D. 开口向下，顶点坐标 8. 已知：如图，折叠矩形ABCD，使点B落在对角线AC上的点F处，若BC=4，AB=3，则线段CE的长度是（　　） A. B. C. 3 D. 2.8 9. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 10. 参加一次绿色有机农产品交易会的每两家公司都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，如果参加这次交易会的公司共有x家，则根据题意列出的方程是（　　） A. x（x﹣1）＝45 B. x（x﹣1）＝45 C. x（x+1）＝45 D. x（x+1）＝45 二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分． 11. 要使二次根式有意义，则的取值应满足_________________． 12. 计算___________． 13. 如图，如果要测量池塘两端A、B的距离，可以在池塘外取一点C，连接、点D、E分别是、的中点，测得的长为12米，则的长为 _______米． 14. （1）方程两个根的和为___________，积为___________． （2）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为___________． 15. 已知函数，对称轴是直线___________，当___________时，随的增大而减小，当___________时，随的增大而增大． 16. 画出函数的图象，利用图象回答： （1）方程的解是什么？ （2）取什么值时，函数值大于0； （3）取什么值时，函数值小于0． 17. 如图，正方形的边长为4，点在边上，点在边的延长线上，且．点，分别在边，上，与交于点，且，则的长为______． 三、解答题：共49分． 18. 解下列方程： （1）； （2）. 19. 根据二次函数图像上三个点的坐标，求出函数的解析式： 20. 如图，已知E、F分别是□ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF ⑴求证：四边形AECF是平行四边形； ⑵若BC=10，∠BAC=90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长． 21. 如图①所示，李华的家、公园、超市依次在同一条直线上，公园距离李华家，超市距离李华家．李华从家里出发，匀速步行了到公园，他在公园停留了一段时间，之后他匀速步行了到超市，在超市停留购买商品后，再匀速骑行了返回家．下面图②中（单位：）表示李华离开家的时间，（单位：）表示李华离家的距离．图象反映了这个过程中李华离家的距离与他离开家的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）填表： 李华离开家的时间（单位：） 4 8 34 52 李华离家的距离（单位：km） 0 （2）填空： ①超市到公园的距离为_____km； ②李华在公园停留的时间为_____； ③李华从超市返回家的速度为_____； ④当时，请直接写出李华离家的距离关于时间的函数解析式； （3）当李华离开家时，他的妈妈从超市出发匀速步行了直接返回家中，那么妈妈在回家途中，两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可） 22. 某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出件，应如何定价才能使利润最大？ 23. 如图1，一次函数的图象与坐标轴交于点平分交轴于点，垂足为D． （1）点的坐标为___________，点的坐标为___________； （2）点D的坐标为___________ （3）如图2，点是线段上的一点，点是线段上的一点，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上学期收心节【数学学科】知识锦囊 数学 （考试时间：60分钟 试卷满分：100分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：A．不是整式方程，故错误． B．是一元一次方程，故错误； C．方程含有两个未知数，故错误； D．符合一元二次方程的定义，正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解答的关键． 2. 下列各式中，运算正确的是(　　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由合并同类项、二次根式的性质分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B正确； C、不能合并，故C错误； D、，故D错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，以及合并同类项的运算法则，解题的关键是掌握运算法则进行判断． 3. 下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】利用勾股定理的逆定理依次判断即可，求出两条短边的平方和等于最长边的平方． 【详解】A、，故是直角三角形，不符合题意； B、，故是直角三角形，不符合题意； C、，故是直角三角形，不符合题意； D、，故不是直角三角形，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 4. 如图，在中，的平分线交于点E，则的长是（ ） A. 4 B. 3 C. 3.5 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据角平分线及平行线的性质可得，继而可得，根据即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ， ∵平分， ， ， ， ； 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是得出，判断出，难度一般． 5. 若一次函数y＝x+4的图象上有两点A(﹣，y1)、B(1，y2)，则下列说法正确的是( ) A. y1＞y2 B. y1≥y2 C. y1＜y2 D. y1≤y2 【答案】C 【解析】 【详解】∵k=1>0， ∴y随x的增大而增大， ∵<1， ∴y1＜y2． 故选C． 6. 2022年北京-张家口举办了冬季奥运会，很多学校也开设了相关的课程．下表记录了某校4名同学短道速滑选拔赛成绩的平均数与方差 队员1 队员2 队员3 队员4 平均数（秒） 51 50 51 50 方差（秒2） 3.5 3.5 14.5 14.5 据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ） A. 队员1 B. 队员2 C. 队员3 D. 队员4 【答案】B 【解析】 【分析】找出成绩的方差较小，且平均数较小的队员即可． 【详解】解：因为方差越小，表明发挥越稳定，且， 所以应该选择队员1或队员2， 又因为队员1的成绩的平均数为51大于队员2的成绩的平均数， 所以应该选择队员2， 故选：B． 【点睛】本题考查了利用平均数和方差进行决策，熟练掌握平均数好方差的意义是解题关键． 7. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上，顶点坐标 B. 开口向下，顶点坐标 C. 开口向上，顶点坐标 D. 开口向下，顶点坐标 【答案】A 【解析】 【分析】抛物线的开口方向由a的正负确定，a＞0时开口向上，a＜0时开口向下，顶点坐标是（h，k），据此判断即可. 【详解】解：∵，其中a=2＞0， ∴抛物线的开口向上，顶点坐标（3,1）. 故选A. 【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是关键. 8. 已知：如图，折叠矩形ABCD，使点B落在对角线AC上的点F处，若BC=4，AB=3，则线段CE的长度是（　　） A. B. C. 3 D. 2.8 【答案】B 【解析】 【分析】由于AE是折痕，可得到AB=AF，BE=EF，设出未知数．在Rt△EFC中利用勾股定理列出方程，通过解方程可得答案． 【详解】设BE=x， ∵AE为折痕，∴AB=AF，BE=EF=x，∠AFE=∠B=90°， Rt△ABC中，AC==5，∴Rt△EFC中，FC=5﹣3=2，EC=4﹣x，∴（4﹣x）2=x2+22， 解得：x=． 所以CE=4﹣． 故选B． 【点睛】本题考查了折叠问题、勾股定理和矩形的性质；解题中，找准相等的量是正确解答题目的关键． 9. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象的平移“左加右减，上加下减”可进行求解． 【详解】解：由二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为； 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键． 10. 参加一次绿色有机农产品交易会的每两家公司都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，如果参加这次交易会的公司共有x家，则根据题意列出的方程是（　　） A. x（x﹣1）＝45 B. x（x﹣1）＝45 C. x（x+1）＝45 D. x（x+1）＝45 【答案】B 【解析】 【分析】利用所有公司共签订合同的数量＝参加这次交易会的公司的数量×（参加这次交易会的公司的数量﹣1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设参加这次交易会的公司共有x家， 依题意得： x（x﹣1）＝45． 故选：B． 【点睛】此题考查了一元二次方程应用题，解题的关键是正确分析题目中的等量关系． 二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分． 11. 要使二次根式有意义，则的取值应满足_________________． 【答案】 【解析】 【分析】二次根式有意义，被开方数大于等于0，列不等式求解即可． 【详解】解：由题意得：4−2x≥0， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数时，二次根式有意义． 12. 计算___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握运算的法则是解题的关键．先根据二次根式除法的运算法则进行计算，再根据二次根式性质化简，最后根据二次根式加减运算法则，得出答案即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 13. 如图，如果要测量池塘两端A、B的距离，可以在池塘外取一点C，连接、点D、E分别是、的中点，测得的长为12米，则的长为 _______米． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线，掌握“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”是解决本题的关键． 根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】点D、E分别是、的中点， 是的中位线，的长为12米， （米）， 的长为24米． 故答案为：24． 14. （1）方程两个根的和为___________，积为___________． （2）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为___________． 【答案】 ①. ②. ③. 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系． （1）根据根与系数的关系，作答即可； （2）根据根的判别式作答即可． 【详解】解：（1）方程两个根的和为，积为， 故答案为：，； （2）∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 15. 已知函数，对称轴是直线___________，当___________时，随的增大而减小，当___________时，随的增大而增大． 【答案】 ①. ②. ③. 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的对称轴及其增减性是解题的关键． 根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为， ∴当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大． 故答案为：，，． 16. 画出函数的图象，利用图象回答： （1）方程的解是什么？ （2）取什么值时，函数值大于0； （3）取什么值时，函数值小于0． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】画出抛物线的图象的草图，根据图象即可解决问题（1）（2）（3）． 【小问1详解】 根据题意，可作图如下： 由图可知，当时，或， ∴方程的解为：，． 【小问2详解】 由图可知，当或时，函数值． 【小问3详解】 由图可知，当时，函数值． 【点睛】本题主要考查了二次函数与不等式的关系以及与坐标轴的交点求法，解答此题的关键是求出图象与x轴的交点，然后由图象找出自变量x的范围，运用了数形结合的思想方法． 17. 如图，正方形的边长为4，点在边上，点在边的延长线上，且．点，分别在边，上，与交于点，且，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定及性质，勾股定理及其逆定理等；连接、，由勾股定理得 ，，，由勾股定理逆定理得，是等腰直角三角形，由平行四边形的判定方法得四边形是平行四边形，由平行四边形的性质即可求解；掌握相关性质及判定方法，根据题意构建出等腰直角三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，连接、， 四边形是正方形， ∴，，， ， ， ， 同理可求：， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 四边形是平行四边形， ， 故答案：． 三、解答题：共49分． 18. 解下列方程： （1）； （2）. 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用直接开平方法和公式法解一元二次方程是解题的关键． （1）先化简，然后运用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）先化成一般式，然后运用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 所以，． 【小问2详解】 解：， ， ∵， ∴， ∴，． 19. 根据二次函数图像上三个点的坐标，求出函数的解析式： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式．根据题意可设解析式为，进而将代入求解即可． 【详解】∵二次函数图像经过， ∴可设解析式为， ∵二次函数图像经过， ∴， 解得， ∴该函数的解析式为． 20. 如图，已知E、F分别是□ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF ⑴求证：四边形AECF是平行四边形； ⑵若BC=10，∠BAC=90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长． 【答案】⑴证明：如图 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，且AD=BC， ∴AF∥EC， ∵BE=DF， ∴AF=EC ∴四边形AECF是平行四边形 ⑵5 【解析】 【分析】（1）首先由已知证明AF∥EC，BE=DF，推出四边形AECF是平行四边形． （2）由已知先证明AE=BE，即BE=AE=CE，从而求出BE的长 【详解】⑴略 ⑵解：∵四边形AECF是菱形， ∴AE=EC ∴∠1=∠2分 ∵∠3=90°－∠2，∠4=90°－∠1， ∴∠3=∠4， ∴AE=BE ∴BE=AE=CE=BC=5 21. 如图①所示，李华的家、公园、超市依次在同一条直线上，公园距离李华家，超市距离李华家．李华从家里出发，匀速步行了到公园，他在公园停留了一段时间，之后他匀速步行了到超市，在超市停留购买商品后，再匀速骑行了返回家．下面图②中（单位：）表示李华离开家的时间，（单位：）表示李华离家的距离．图象反映了这个过程中李华离家的距离与他离开家的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）填表： 李华离开家的时间（单位：） 4 8 34 52 李华离家的距离（单位：km） 0 （2）填空： ①超市到公园的距离为_____km； ②李华在公园停留的时间为_____； ③李华从超市返回家的速度为_____； ④当时，请直接写出李华离家的距离关于时间的函数解析式； （3）当李华离开家时，他的妈妈从超市出发匀速步行了直接返回家中，那么妈妈在回家途中，两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可） 【答案】（1）填表如下： 李华离开家的时间（单位：） 4 8 34 52 李华离家的距离（单位：） 0 （2）①；②12；③； （3）两人相遇时离家的距离或． 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，求函数的解析式，列一元一次方程解决实际问题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）结合函数图象即可得出结果； （2）①根据图象作答即可； ②根据图象作答即可； ③根据图象作答即可； ④分段求解，，可得出，当时，；当时，设一次函数解析式为：，把，代入，用待定系数法求解即可； （2）李华妈妈距家的路程与李华离开家的时间的关系式，然后分两种情况分析求解即可． 【小问1详解】 解：∵公园距离李华家，匀速步行了到公园， ∴离开家时，离家的距离为：， 由函数图象得：离开家时，离家的距离为， 【小问2详解】 解：①根据图象得：超市到公园的距离为：， 故答案为： ②根据图象得：， 故答案为：12． ③根据图象得：， 故答案为：； ④当时，李华的匀速骑行速度为， ∴； 当时，； 当时，设一次函数解析式为：， 把，代入，可得出： ， 解得：， ∴， 综上：． 【小问3详解】 解：设李华妈妈距家的路程与李华离开家的时间的关系式为， 则，解得：， ∴ 当李华从公园到超市的途中相遇时， ， 解得：， ∴； 当时，设一次函数解析式为：， 把，代入，可得出： ， 解得：， ∴， 当李华从超市返回的途中相遇时， ， 解得：， ∴； 综上可得：两人相遇时离家的距离或． 22. 某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出件，应如何定价才能使利润最大？ 【答案】每件定价65元才能使所获利润最大． 【解析】 【分析】设所获总利润为y元，根据题意用二次函数表示问题中变量之间的关系，然后利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】解：设所获总利润为y元， 由题意可知， ＝， ∴当x＝65时，y有最大值，最大值是1225， 答：每件定价65元才能使所获利润最大． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是用二次函数表示问题中变量之间的关系和掌握二次函数的性质． 23. 如图1，一次函数的图象与坐标轴交于点平分交轴于点，垂足为D． （1）点的坐标为___________，点的坐标为___________； （2）点D的坐标为___________ （3）如图2，点是线段上的一点，点是线段上的一点，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将，，分别代入求解即可； （2）通过角平分线的性质证明，通过勾股定理求出，及的长度，即可得到点坐标，再由，即可求出点的坐标； （3）由平分，可得，关于对称，即，由此可得到轴距离即为所求． 【小问1详解】 解：将代入得， ； 将代入得， ； 【小问2详解】 解：由（1）可知：， 如图， 设长为，则， 平分，，， ， 在和中， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ， ． 在中，，即， 解得， ， ； ， ，， ， 即， 解得， 将代入得， 解得， ． 【小问3详解】 解：如图，连接， 由（2）知：， 点，关于对称， ， ， ∴当三点共线，且轴时，的值最小， 即到轴距离为最小值， 由（2）知：， 的最小值为． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，三角形全等的判定与性质，对称的性质，解题关键是熟练掌握一次函数的性质，掌握角平分线的性质及求线段和最值的方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $