精品解析：江苏省南京市第一中学2025--2026学年上学期八年级数学第一次月考试卷

八年级数学 一、选择题 1. 在，0，，，，，这些数中，无理数的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 如图，如果，周长是32，，，为（ ） A. 12 B. 10 C. 9 D. 8 3. 估计的值在( ) A. 1到2之间 B. 2到3之间 C. 3到4之间 D. 4到5之间 4. 下列说法错误的是（ ） A. 到角两边的距离相等的点一定在角的平分线上 B. 角平分线上的点到角两边的距离相等 C. 到线段两端点的距离相等的点一定在线段的垂直平分线上 D. 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 5. 如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 6. 如图，中，为的中点，点为延长线上一点，交射线于点，连接，则与的大小关系为　　 A. B. C. D. 以上都有可能 7. 若，则a的值是______． 8. 如图，自行车的主体结构设计成三角形，这是利用三角形具有______性． 9. 如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，请根据所学的三角形全等的有关知识，说明得出的依据是________． 10. 如图，在中，的垂直平分线、相交于点O，若，则_____． 11. 若，化简______. 12. 等腰三角形的两边长分别是3和7，则其周长为___． 13. 等腰三角形的一个内角是，则它顶角的度数是______． 14. 实数在数轴上对应点的位置如图，化简的结果为______． 15. 如图，在中，，，D为的中点，交于E，若，的大小是______． 16. 如图，在中，，，是边上的高，点E，F分别是边，上的动点，且，当的值最小时，的度数是______． 三、解答题 17. 求下列式子中的x （1） （2） 18. 计算： （1）； （2）． 19. 写出下列命题的已知、求证，并完成证明过程． 命题：如果一个三角形的两条边相等，那么两条边所对的角也相等（简称：“等边对等角”．） 已知：　 　． 求证：　 　． 证明： 20. 在已知的的两边上，分别取，再分别过点、作、的垂线，交点为，画射线，则平分，请说明理由． 21. 尺规作图（不写作法，保留作图痕迹） （1）如图1，在边找一点，使得点到边距离相等； （2）如图2，找一点，使得点到的三个顶点距离相等． 22. 如图，AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，点E在BC上． （1）求证：△ABC≌△ADE；（2）求证：∠EAC＝∠DEB． 23. 推理填空： 已知：如图，在中，是的中点，，，垂足分别为点，．求证：是的角平分线． 证明：∵，，（已知）， ∴____________（垂直的定义）， ∵是的中点（已知）， ∴______（中点的定义）， 又∵（已知）， ∴（______）， ∴______（全等三角形的对应角相等）， ∴（______）， 又∵是的中点（已知）， ∴是的角平分线（______）． 24. 如图，中，垂直平分，交于点，交于点，，垂足为，且，连接． （1）求证：点为的中点； （2）若，的周长为，求的长； （3）若，，（其中）求的周长．（用含有、的代数式表示） 25. 如图，，相交于点E，，求证：． 26. 案例学习：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，再连接，相当于把、、集中在中，利用三角形的三边关系可得，即可得到的取值范围．请你写出的取值范围 ． 学习感悟：解题时，可以构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 解决问题： （1）如图2，为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，用测角仪测得此时，测得旗杆高度，教学楼高度，求的长． （2）如图3，在四边形中，，，，以D为顶点作一个的角，角两边分别交、于点E、F，连接，探索线段、、之间的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 一、选择题 1. 在，0，，，，，这些数中，无理数的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，求一个数的立方根，根据无限不循环小数即为无理数，进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：， ，0，，都是有理数， ，，都是无限不循环小数，即都是无理数， ∴无理数的个数为3个， 故选：B 2. 如图，如果，周长是32，，，为（ ） A. 12 B. 10 C. 9 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据，得出对应边相等，再结合周长是32，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴，， ∵周长是32， ∴， 即， ∴， 故选：B． 3. 估计的值在( ) A. 1到2之间 B. 2到3之间 C. 3到4之间 D. 4到5之间 【答案】B 【解析】 【分析】根据算术平方根的性质得出，推出2＜＜3即可． 【详解】解：∵， ∴2＜＜3， 即在2和3之间． 故选B． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，解此题的关键是知道在和之间. 4. 下列说法错误的是（ ） A. 到角两边的距离相等的点一定在角的平分线上 B. 角平分线上的点到角两边的距离相等 C. 到线段两端点的距离相等的点一定在线段的垂直平分线上 D. 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了角平分线的判定和性质、垂直平分线的判定和性质等知识．根据相关知识进行判断即可． 【详解】解：A. 在角的内部,到角两边的距离相等的点一定在角的平分线上，故选项错误，符合题意； B. 角平分线上的点到角两边的距离相等，故选项正确，不符合题意； C. 到线段两端点的距离相等的点一定在线段的垂直平分线上，故选项正确，不符合题意； D. 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，故选项正确，不符合题意； 故选：A 5. 如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定方法，逐项判断即可求解． 【详解】解：根据题意得：，， A．若添加，满足边角边，能判定，故该选项不符合题意； B．若添加，满足斜边直角边对应相等，能判定，故该选项不符合题意； C．若添加，满足边边角，不能判定，故该选项符合题意； D．若添加，满足边边边，能判定，故该选项不符合题意； 故选：C． 二、填空题 6. 如图，中，为的中点，点为延长线上一点，交射线于点，连接，则与的大小关系为　　 A. B. C. D. 以上都有可能 【答案】C 【解析】 【分析】如图，延长到，使得，连接，，证明，推出，由，可得． 【详解】解：如图，延长到，使得，连接，． ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 7. 若，则a的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平方根，根据平方根的概念即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 8. 如图，自行车的主体结构设计成三角形，这是利用三角形具有______性． 【答案】稳定 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性，解题的关键在于将三角形的稳定性与自行车的三角形具有稳定性联系起来． 【详解】解：自行车的三角形车架，这是利用了三角形的稳定性． 故答案为：稳定． 9. 如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，请根据所学的三角形全等的有关知识，说明得出的依据是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是正确解答本题的关键．由作法易得，，，依据定理得到，由全等三角形的对应角相等得到． 【详解】解：由作图方法可知，，， 在与中， ， ∴， ∴（全等三角形的对应角相等）． 故答案为：． 10. 如图，在中，的垂直平分线、相交于点O，若，则_____． 【答案】10° 【解析】 【分析】连接，根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质得到，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】连接， 的垂直平分线交于点O， ， 故答案为：10°． 【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质． 11. 若，化简______. 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质进行化简即可. 【详解】, 故答案为 【点睛】考查二次根式的化简，注意 12. 等腰三角形的两边长分别是3和7，则其周长为___． 【答案】17 【解析】 【详解】解：因为边为3和7，没明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论： 当3为底时，其它两边都为7，3、7、7可以构成三角形，周长为17； 当3为腰时，其它两边为3和7，3+3=6＜7，所以不能构成三角形，故舍去． ∴等腰三角形的周长为17． 故答案为：17． 13. 等腰三角形的一个内角是，则它顶角的度数是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的顶角，根据等腰三角形的定义分为顶角和底角两种情况计算即可求解，掌握等腰三角形的定义是解题的关键． 【详解】解：当的角为顶角时，顶角的度数为； 当的角为底角时，顶角的度数为； ∴顶角的度数是或， 故答案为：或． 14. 实数在数轴上对应点的位置如图，化简的结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了数轴知识和二次根式的性质，利用二次根式的性质、绝对值的性质进行化简，再计算即可． 【详解】由数轴图可知． 故答案为：． 15. 如图，在中，，，D为的中点，交于E，若，的大小是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形内角和定理，作于M，交于，证明与，进而通过角之间的转化，最终可得出结论． 【详解】解：如图，过点A作于M，交于， 在中，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 如图，在中，，，是边上的高，点E，F分别是边，上的动点，且，当的值最小时，的度数是______． 【答案】110 【解析】 【分析】过 A 作，使得，连接，构造全等三角形，依据，即可得到，进而得出的最小值等于的长，再根据是等腰直角三角形，即可得到，进而得出结论． 【详解】解：如图所示，过 A 作，使得，连接， ∵ ∴ ∴ 又 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 当三点共线时，的最小值等于的长， 此时，，即是等腰直角三角形， ∴ 又 ∵ 在直角三角形中， ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等得出结论． 三、解答题 17. 求下列式子中的x （1） （2） 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据等式的性质和平方根的定义进行计算即可； （2）根据等式的性质和立方根的定义进行计算即可． 【小问1详解】 解： ， ， 或， 或； 【小问2详解】 解：， ， ， ． 【点睛】本题考查平方根、立方根，理解平方根、立方根的定义是正确解答的关键． 18. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）进行零指数幂和开方运算即可； （2）进行开方和去绝对值运算，再进行加减运算即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 原式； 19. 写出下列命题的已知、求证，并完成证明过程． 命题：如果一个三角形的两条边相等，那么两条边所对的角也相等（简称：“等边对等角”．） 已知：　 　． 求证：　 　． 证明： 【答案】 已知：在△ABC中，AB＝AC， 求证：∠B＝∠C， 证明：过点A作AD⊥BC于D， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， 在Rt△ABD和Rt△ACD中， ∵ ∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）， ∴∠B＝∠C． 【解析】 【分析】根据图示，分析原命题，找出其条件与结论，然后根据AB＝AC，结合全等三角形的性质，从而得出结论． 【详解】略 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，正确得出Rt△ABD≌Rt△ACD是解题关键． 20. 在已知的的两边上，分别取，再分别过点、作、的垂线，交点为，画射线，则平分，请说明理由． 【答案】 证明：，， ， 在和中， ， ， ， OP平分． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握直角三角形全等的判定定理是解题的关键．证明 ，得到，即可判定． 【详解】略 21. 尺规作图（不写作法，保留作图痕迹） （1）如图1，在边找一点，使得点到边距离相等； （2）如图2，找一点，使得点到的三个顶点距离相等． 【答案】（1） 如图： （2） 如图： 【解析】 【分析】本题考查了作图—角平分线的作法、作图—线段垂直平分线的作法： （1）作出的角平分线，要求的点为该角平分线与的交点； （2）作出三角形任意两边的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为所求点． 【小问1详解】 解：以为圆心画圆弧与分别交于，以分别为圆心，的长度为半径画圆弧，两圆弧交于，连接并延长交于，点即为所求； 【小问2详解】 解：以为圆心，大于的长度为半径画圆弧，两圆弧交于，连接； 以为圆心，大于的长度为半径画圆弧，两圆弧交于，连接； 和交于即为所求点． 22. 如图，AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，点E在BC上． （1）求证：△ABC≌△ADE；（2）求证：∠EAC＝∠DEB． 【答案】 （1）在△ABC和△ADE中 ∴△ABC≌△ADE（SSS）； （2）由△ABC≌△ADE， 则∠D＝∠B，∠DAE＝∠BAC． ∴∠DAE﹣∠ABE＝∠BAC﹣∠BAE，即∠DAB＝∠EAC． 设AB和DE交于点O， ∵∠DOA＝BOE，∠D＝∠B， ∴∠DEB＝∠DAB． ∴∠EAC＝∠DEB． 【解析】 【分析】（1）用“SSS”证明即可； （2）借助全等三角形的性质及角的和差求出∠DAB＝∠EAC，再利用三角形内角和定理求出∠DEB＝∠DAB，即可说明∠EAC＝∠DEB． 【详解】解：略． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用全等三角形的性质求出相等的角，体现了转化思想的运用． 23. 推理填空： 已知：如图，在中，是的中点，，，垂足分别为点，．求证：是的角平分线． 证明：∵，，（已知）， ∴____________（垂直的定义）， ∵是的中点（已知）， ∴______（中点的定义）， 又∵（已知）， ∴（______）， ∴______（全等三角形的对应角相等）， ∴（______）， 又∵是的中点（已知）， ∴是的角平分线（______）． 【答案】，，，，，等角对等边，三线合一 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，先证明（），得到，即得到，再根据三线合一即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】证明：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∵是的中点（已知）， ∴（中点的定义）， 又∵（已知）， ∴（）， ∴（全等三角形的对应角相等）， ∴（等角对等边）， 又∵是的中点（已知）， ∴是的角平分线（三线合一）， 故答案为：，，，，，等角对等边，三线合一． 24. 如图，中，垂直平分，交于点，交于点，，垂足为，且，连接． （1）求证：点为的中点； （2）若，的周长为，求的长； （3）若，，（其中）求的周长．（用含有、的代数式表示） 【答案】（1） 证明：∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴点为的中点． （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）由垂直平分得到，再证明，最后利用等腰三角形“三线合一”的性质即可得结论； （2）由题意得，从而得出，即，由线段垂直平分线的性质可得．可得，再由，，可得，再求解即可； （3）先求得，再由垂直平分线的性质得出，从而得出，再由，，可得，即可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵垂直平分， ∴． ∴， ∴，， ∴， ∴的周长． 25. 如图，，相交于点E，，求证：． 【答案】 证明：作， ∵是的外角， ∴， 同理， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形外角的性质．作，构造，判断出是等腰直角三角形即可得证． 【详解】略 26. 案例学习：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，再连接，相当于把、、集中在中，利用三角形的三边关系可得，即可得到的取值范围．请你写出的取值范围 ． 学习感悟：解题时，可以构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 解决问题： （1）如图2，为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，用测角仪测得此时，测得旗杆高度，教学楼高度，求的长． （2）如图3，在四边形中，，，，以D为顶点作一个的角，角两边分别交、于点E、F，连接，探索线段、、之间的数量关系，并证明． 【答案】，（1）,（2） 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的定义与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 案例学习：利用三角形全等可以得出，由三角形的三边关系建立不等式就可以得出结论； （1）如图，延长、交于点F，证明，得出，,再进一步结合线段的垂直平分线的性质，即可证明结论． （2）延长到G使，连结可以得出就有，，由，，可以得出，进而得出，就有，得出，得出结论 【详解】案例学习： 是的中线， 在和中 ， ， ， 在中 ， ， 故答案为： 解决问题： （1）如图，延长、交于点F，     ∵的中点为D， ∴， ∵由题意可得：， 而， ∴， ∴，， ∵，， ∴，是的垂直平分线， ∴； （2） 理由：如图3，延长到G使， ∵,， ∴. 在和中 ， ∴， ∴，. ∵, ∴， ∴， ∴. 在和中， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $