精品解析：重庆市第一中学校2025-2026学年上学期九年级阶段性消化作业(五)数学试卷

重庆一中初2026届初三上阶段性消化作业(五) 数学试卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答． 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项． 3、作图(包括辅助线)请一律用黑色2B铅笔完成． 一、选择题：(本大题10个小题，每小题4分，共40分)在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请把答题卡上正确答案的标号涂黑． 1. 下列函数属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义．一般地，形如（a，b，c为常数，且）的函数是二次函数．据此对各选项的函数化简后进行判断即可． 【详解】解：A、函数不符合二次函数的形式，故不是二次函数； B、函数化简为，不符合二次函数的一般形式，故不是二次函数； C、函数化简为，是二次函数； D、函数不符合二次函数的形式，故不是二次函数． 故选：C 2. 下列重庆地标建筑标识图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 3. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段上，若，则和的面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查位似图形的性质，位似图形肯定是相似图形，位似比等于相似比，相似图形的面积比等于相似比的平方，由此可解． 【详解】解：， ， 和的相似比为， 和的面积之比为， 故选C． 4. 已知，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的是求无理数的取值范围，二次根式的加减和乘法运算，掌握求算术平方根的取值范围的方法是解决此题的关键．先求出，再根据即可求出实数的范围． 【详解】解：， ∵， ∴， 故选：B． 5. 若函数是关于的二次函数．则常数的值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2或 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的定义，列出关于的方程和不等式是解题的关键．根据二次函数的定义即可得出关于的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：是关于的二次函数， ， 解得：． 故选：B． 6. 对于二次函数，下列说法中正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 函数的最大值为1 C. 图象的对称轴为直线 D. 当时y随x的增大而增大 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确 【详解】解：A．∵二次函数，， ∴该函数图象开口向上，故选项A正确； B．函数的最小值为1，故选项B错误； C．函数图象的对称轴为直线，故选项C错误； D．当时y随x的增大而减小，故选项D错误； 故选：A． 7. 如图，△的顶点是正方形网格的格点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了网络作图．熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理，正弦定义，是解题的关键 ．取点D，连接，根据，得，得是直角三角形，，即得． 【详解】解：取点D连接， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 故选：B． 8. 如图，菱形中，对角线交于点，点是边上一点，连接，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，再根据三角形外角性质解答即可求解，掌握菱形的性质是解题的关键．由菱形的性质可得，，，进而得到． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 9. 如图，正方形中，对角线，交于点，点为上一点，点为上一点，连接，交于点，与交于点，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】证明，得出，设，则，，作于，则，证明为等腰直角三角形，得出，设，则，解直角三角形得出，求出，即可得解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴设，则，， 如图，作于，则， ， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 10. 已知整式，其中n，，，…，，为自然数，为正整数，，且满足．下列结论正确的是（ ） ①当时，满足条件的整式M有6个； ②满足条件的整式M中只有15个单项式； ③满足条件的整式M共有23个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查数式的操作，涉及整式的相关概念，不等式的性质，熟练理解题意是解题的关键，利用n，，，…，，为自然数，为正整数，，且满足，分别列出当、、、、 时，整式M的情况，即可解决问题． 【详解】解：当时，，， ∵为正整数， ∴或2或3或4或5， 共5个，都是单项式， 故①错误； 当时，，，即， ∵n，，，…，，为自然数，为正整数，， ∴，可以为或或或或或或或，共8个，其中单项式的是或或或，共4个； 当时，，，即， ∵n，，，…，，为自然数，为正整数，， ∴，，可以为或或或或或，共6个，其中单项式的是或或，共3个； 当时，，，即， ∵n，，，…，，为自然数，为正整数，， ∴，，，可以为或或，共3个，其中单项式的是或，共2个； 当时，，，即， ∵n，，，…，，为自然数，为正整数，， ∴，，，，可以为，共1个，其中单项式的是，共1个； 当时，为正整数， ∴，不存在， 综上所述，满足条件的整式M中，单项式有（个），故②正确； 满足条件的整式M共有（个），故③正确， 即正确的有②③，共2个， 故选：C． 二、填空题：(本大题6个小题，每小题4分，共24分)请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】首先求得特殊角的三角函数值，然后利用绝对值的性质即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查实数的综合运算能力，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握绝对值等考点的运算． 12. 桌面上有四张背面完全一样的卡片，卡片正面分别标有数字1，2，3，4．把四张卡片背面朝上，随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张，则两次抽取卡片上的数字之和为5的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了画树状图求概率，先理解题意，再画树状图，共有种等可能的结果，两次抽取卡片上的数字之和为5的结果有4种，即可列式计算，得出两次抽取卡片上的数字之和为5的概率． 【详解】解：依题意，画树状图，如图所示： 共有种等可能的结果，两次抽取卡片上的数字之和为5的结果有4种， ∴两次抽取卡片上的数字之和为5的概率是， 故答案为：． 13. 已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，熟练地运用二次函数的性质进行推理是解答本题的关键． 根据二次函数的图象上点的坐标特征得出结果即可． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴抛物线开口向下，当时，函数值随自变量的增大而增大， ∵关于直线的对称点为，，，， ∴， 故答案为：． 14. 在中，则边的长为__________． 【答案】3或5 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，解非直角三角形问题，根据题意，将非直角三角形转化为直角三角形，分类讨论求解是解决问题的关键． 根据解直角三角形的方法，在中，，则得到，由，，确定，分两种情况讨论即可得到答案． 【详解】解：在中，， ， 在中，，，， ， 分两种情况讨论： ①，设，如图所示： 在中，，，， 则， 在中，，，， 则， ； ②，令，如图所示：     在中，，，， 则， 在中，，，， 则， ； 综上所述，的长为或， 故答案为：3或5． 15. 如图，在中，，D为的中点，将直角三角形纸片的直角顶点放置在点D处，点E在的延长线上，点F在上，且．若，，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过点D分别作的垂线，垂足分别为，易证四边形是矩形，再证明，推出，再证明，由，，求出，设，则，，得到，再求出，由建立方程求解出的值，进而得到，，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过点D分别作的垂线，垂足分别为， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，合理作出辅助线构造三角形全等，三角形相似是解题的关键． 16. 现有一个四位自然数，它的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，满足，称这个四位数为“1234数”，例如：6742，满足，则称6742是一个“1234数”．则最大的“1234数”是__________；现有一个“1234数”M，将它的百位数字和千位数字交换位置，再将它的十位数字和个位数字交换位置，得到一个新的四位数，则是一个整数，且是一个完全平方数，则所有满足条件的M的和为__________． 【答案】 ①. 9990 ②. 7062 【解析】 【分析】本题综合考查了新定义下的实数运算、整除性、完全平方数等数论相关知识点，解决本题的关键是需要通过代数变形、分类讨论并熟练理解“1234 数”的概念． ①对于求最大的“1234 数”，要使四位数最大，应从高位到低位尽量取较大数字，根据来确定各个数位数字； ②对于求满足条件的M的和，先表示出M和，进而得出的表达式，再结合以及是完全平方数来确定的值． 【详解】解：∵要使四位数最大，千位数字a要尽可能大，a最大为9， 百位数字b也应尽可能大，设， 由，将，代入可得，即， ∵，为整数且，， 要使c尽可能大，从开始尝试，若， ∴， ∴， 解得， 所以最大的“1234数”是9990； 设“1234数”， ∴； ∴交换百位与千位、十位与个位得，且， ∴， ∵为整数，即， 故需为整数． 需是11的倍数， ∵是完全平方数． ， ∴， 需为偶数的平方，因此需为． 当时， 可能的组合：， ∵，故不符合题意，排除． 时， 可能的组合：， ∵，故需舍去． ∵，解得唯一整数解． 检查：仅时，，可得 ． ∴，符合． 时， 可能的组合：． ，解得整数解． 检查：仅且时，，对应． ∴，符合题意． 满足条件的M为4202和2860，其和为． 故答案为：9990，7062． 三、解答题(本大题9个小题，其中17、18题8分，其余每小题10分，共86分)请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤． 17. （1）计算：． （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，解一元二次方程，掌握相关的知识是解题的关键． （1）先代入特殊角的三角函数值，再计算加减乘除即可； （2）运用配方法求解即可． 【详解】解：（1） ； （2）， 配方，得， ∴， 开方，得， ∴，． 18. 如图，四边形是矩形，连接． （1）用尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线，交于点E，交于点F，交于点，连接（保留作图痕迹，不写做法）． （2）已知：在矩形中，为的垂直平分线，求证：四边形为菱形．证明：四边形是矩形 ∴① ∵为的垂直平分线， ∴且② ∴在和中 ∴ ∴③ 又∵ ∴．四边形是平行四边形又∵④ ∴平行四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）． 【答案】（1）见解析 （2），，， 【解析】 【分析】此题考查了垂直平分线的作图和性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定等知识，准确作图和证明是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的作图步骤进行作图即可； （2）由为的垂直平分线得到且，证明，得到，由得到四边形是平行四边形，又由即可证明平行四边形是菱形． 【小问1详解】 解：如图即为所求， 【小问2详解】 证明：四边形是矩形 ∴ ∴ ∵为的垂直平分线， ∴且 ∴在和中 ∴ ∴ 又∵ ∴．四边形是平行四边形 又∵ ∴平行四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）． 故答案为：，，， 19. 学校团委举行以“传承五四精神，展现青春风采”为主题的团史知识竞赛．现从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生的成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析（成绩得分用表示，单位：分，成绩均为整数，满分为100分，95分及95分以上为优秀），共分成四组：A．；B．；C．；D．，部分信息如下：七年级20名学生的竞赛成绩为：75，77，78，79，79，81，85，87，87，87，89，90，91，93，93，94，95，96，97，98： 八年级20名学生的成绩在组的数据是：； 七、八年级所抽学生成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 88 八年级 91 八年级所抽学生成绩扇形统计图 （1）上述图表中______，______，_______； （2）通过以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的团史基础知识竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）． （3）该校七年级有1600名学生、八年级有1000名学生参加了此次知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次知识竞赛成绩优秀的学生共有多少人？ 【答案】（1），，； （2）我认为八年级学生的竞赛成绩更好，理由见解析； （3）估计该校七、八年级参加此次知识竞赛成绩优秀的学生共有620人． 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据众数和中位数的定义求解即可； （2）根据众数的意义可得出结论； （3）用总数乘以优秀学生所占的比例即可． 【小问1详解】 解：∵七年级20名学生的竞赛成绩中，出现次数最多的是， ∴， 由题意得：， ∴， 八年级中A组的人数为：（人）， B组的人数为：（人）， C组的人数为：（人）， D组的人数为：（人）， ∴八年级20名学生的竞赛成绩排在中间两个数为， ∴中位数， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：我认为八年级学生的竞赛成绩更好，理由如下： 因为八年级学生竞赛成绩的众数91分，大于七年级学生竞赛成绩的众数87分，所以八年级学生的竞赛成绩更好．（理由合理即可） 【小问3详解】 解：（人） 答：估计该校七、八年级参加此次知识竞赛成绩优秀的学生共有620人． 20. 先化简，再求值：，其中 【答案】;6 【解析】 【分析】本题考查了整式乘法、分式混合运算及零指数幂、立方根的计算，解题的关键是正确化简代数式并代入求值． 先计算a的值；再化简整式与分式部分，合并后代入的值计算． 【详解】解：． 代入：原式． 21. 某小区计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足小区内新能源汽车车主日益增长的充电需求，2024年商家报价双枪充电桩单价比单枪充电桩单价高2000元，小区购得的3个单枪充电桩和5个双枪充电桩共花费34000元． （1）求2024年单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； （2）2025年商家对新能源充电桩进行促销，小区花费15000元购入单枪新能源充电桩，花费16000元购入双枪新能源充电桩，此次购入的双枪新能源充电桩的单价比单枪新能源充电桩的单价高1500元，单枪新能源充电桩的数量比双枪新能源充电桩的数量多，请问2025年该小区购入单枪、双枪新能源充电桩各多少个？ 【答案】（1）3000元；5000元 （2）6个；4个 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程，分式方程的应用，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． （1）设2024年单枪充电桩的单价为x元,根据双枪充电桩单价比单枪充电桩单价高2000元，小区购得的3个单枪充电桩和5个双枪充电桩共花费34000元，列出一元一次方程，解方程即可； （2）根据双枪新能源充电桩的单价比单枪新能源充电桩的单价高1500元，单枪新能源充电桩的数量比双枪新能源充电桩的数量多，列出分式方程，解方程即可。 【小问1详解】 解：设2024年单枪充电桩的单价为x元，则双枪充电桩的单价为元 由题意知： 解得： ∴ 答：2024年单枪充电桩的单价为3000元，则双枪充电桩的单价为5000元． 【小问2详解】 解：设：2025年购入双枪充电桩的数量为m个，则单枪充电桩的数量为个． 由题意知： 解得： 经检验：是分式方程的解，且符合题意 ∴ 答：2025年购入单枪充电桩的数量为6个，则双枪充电桩的数量为4个． 22. 如图，在中，，，，动点M从点C出发，沿C→A→B方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点B时停止运动，连接，．点N以每秒个单位长度的速度从点C出发，沿C→A方向匀速运动，至点A停止．两点同时出发，设运动时间为x秒（），过点N作于点E．的面积为，的周长与的周长之比为． （1）请直接写出、关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数、图象，并写出函数的一条性质； （3）结合图象，当时，请直接写出x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【答案】（1）；； （2） 函数、图象如图， 性质：当时，随的x增大而增大，当时，随x的增大而减小． （3） 【解析】 【分析】（1）分两种情况讨论，当点M在C→A上运动时，由相似三角形的性质，即边长成比例，求解的高；当点M运动到上时，可得，即，根据三角形面积公式表示即可；先求出的周长，再根据相似三角形的性质表示出的周长即可求解； （2）先列表，再描点画函数图象即可，再根据一次函数的性质，观察增减性可得到其一条性质； （3）根据一次函数与一元一次不等式的关系观察图象找到函数的图象在函数的图象的上方的x的取值范围即可求解． 【小问1详解】 解：∵在中，，，， 由勾股定理可得，， ∵动点M从点C出发，沿C→A→B方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动， 当点M在C→A上运动时，即时， ∴， 过点M作，如图， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 当点M在C→A→B上运动，即点M运动到上时，即时， 连接，如图， ∴，即， ∴； ∴； ∵，，， ∴的周长为， ∵点N以每秒个单位长度的速度从点C出发，沿C→A方向匀速运动，至点A停止， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴的周长为， 的周长与的周长之比为， 即； 【小问2详解】 解：由（1）知，，， 列表如下： 1 5 7 6 3 10 2 性质：当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小． 【小问3详解】 解：根据图象可知，若， 则表示函数的图象在函数的图象的上方的x的取值范围， ∴由图象可得，x的取值范围为． 【点睛】本题考查了勾股定理解三角形，相似三角形的判定与性质，一次函数与反比例函数的图象与性质，一次函数与一元一次不等式，熟练掌握一次函数的性质并正确观察图象是解决本题的关键． 23. 现有港口和四座小岛，一批物资需要从港口运往小岛．甲、乙两艘货船均可完成此次运输工作，甲货船运输路线为，乙货船的运输路线为．已知小岛在港口的东北方向50海里处，小岛在小岛的北偏东方向上，小岛在港口的北偏东方向上，小岛在港口的正东方向，小岛、均在小岛的正北方向上，且两岛相距30海里．（，，） （1）求小岛与小岛之间的距离．（结果保留整数） （2）若甲、乙两艘货船的运费分别为13元/海里和11元/海里，请计算说明选择哪艘货船更划算？ 【答案】（1）33海里 （2）选择乙船更划算 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是： （1）过E作于F，并反向延长，作于H，先判断四边形是矩形，，，，得出，，然后在、中，利用锐角三角函数求出、、、，进而求出，在中，利用锐角三角函数求出、即可； （2）利用（1）中所求数据，分别求出甲、乙船的路费，进而求出对应的费用，然后比较即可． 【小问1详解】 解：如图，过E作于F，并反向延长，作于H， 根据题意，得，，，，海里，海里， ∴四边形是矩形，，，， ∴，， 在中，海里，海里， 在中，海里，海里， ∴海里， 在中，海里，海里， 答：小岛与小岛之间的距离为33海里； 【小问2详解】 解：由（1）知海里， ∴甲船的路程为海里， 乙船的路程为海里， ∴甲船的费用为元， 乙船的费用为元， ∵， ∴选择乙船更划算． 24. 如图1，在平面直角坐标系中直线：交坐标轴于A、B两点，直线：过点B交y轴于点C，且． （1）求直线的解析式； （2）点H为线段上一动点，连接，且，点P，Q为y轴上的两个动点，点P在点Q的上方，且，G为线段的中点，连接，，求最小值； （3）如图2，在（2）的条件下，将直线沿着水平方向向右平移2个单位长度得到直线，交直线于点E，交y轴于点F，点M为上一动点，连接，当时，请直接写出点M的坐标，并写出其中一种情况的求解过程． 【答案】（1） （2） （3），；求解过程见解析 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，一次函数解析式的求解，一次函数的图像平移，熟练掌握一次函数函数的性质是解决本题的关键． （1）先由直线：求出A、B两点的坐标，再根据可求解C点的坐标，将B、C两点代入即可求解； （2）构造辅助线，利用面积求解点H的坐标，当点，Q，G三点共线时，即可求得最小值； （3）先求解出直线的解析式，再根据点M在点E的右侧即可求解． 【小问1详解】 解：∵直线：交坐标轴于A、B两点， 令，解得，即， 令，即，解得，即， ∵， ∴， ∵直线：过点B交y轴于点C， ∴，解得， ∴直线的解析式为：； 【小问2详解】 解：过点H作y轴平行线交直线BC于点K，如图， 设H点得坐标为，则K点坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴H点的坐标为， 将点H沿着y轴向下平移个单位得到点， 作点关于y轴的对称点，连接，， ∴点的坐标为， 由题意知点G坐标为， ∴， 当点，Q，G三点共线时取等号， ∴的最小值为，当点，Q，G三点共线时取得最小值． 【小问3详解】 解：， 由题意知：直线的解析式为：， 当点M在点E的右侧时， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴直线的解析式为：， 令：，得：， 解得， ∴． 25. 已知，，，于点，． （1）如图1，若，取的中点F，连接，，求的长度； （2）如图2，连接，点在线段上，且，连接、，若，为中点，证明：； （3）如图3，在（2）的条件下，将绕点逆时针旋转得，连接，点是中点，连接，若，在旋转过程中，当最大时，直线与直线交于点，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2）见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）解，进而求得结果； （2）连接，作于，不妨设，可证得，从而，进而得出点、、、共圆，从而，从而求得的值，进而得出，从而得出是等边三角形，进一步得出结论； （3）取的中点，连接，在上截取，可推出点在以为圆心，为半径的圆上运动，可证得，从而得出，进而推出，从而当、、共线时，最大；作于，作于，解求得，根据求得，解求得，从而得出，根据求得，进一步得出结果． 【小问1详解】 解：如图1， 作于， ∵是的中点， 在中，， 【小问2详解】 证明：如图2， 连接，作于，不妨设， 四点共圆， 是中点， 是等边三角形， 【小问3详解】 解：如图3， 取的中点，连接，在上截取， ∵是的中点， ∴点在以为圆心，为半径的圆上运动， ∴， ∴当、、共线时，最大， 作于，作于，在中， 由得， 在中， 由得， 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，确定圆的条件，解直角三角形，等边三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是较强的计算能力． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆一中初2026届初三上阶段性消化作业(五) 数学试卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答． 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项． 3、作图(包括辅助线)请一律用黑色2B铅笔完成． 一、选择题：(本大题10个小题，每小题4分，共40分)在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请把答题卡上正确答案的标号涂黑． 1. 下列函数属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列重庆地标建筑标识图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段上，若，则和的面积之比为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 5. 若函数是关于的二次函数．则常数的值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2或 6. 对于二次函数，下列说法中正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 函数的最大值为1 C. 图象的对称轴为直线 D. 当时y随x的增大而增大 7. 如图，△的顶点是正方形网格的格点，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，菱形中，对角线交于点，点是边上一点，连接，若，，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形中，对角线，交于点，点为上一点，点为上一点，连接，交于点，与交于点，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，其中n，，，…，，为自然数，为正整数，，且满足．下列结论正确的是（ ） ①当时，满足条件的整式M有6个； ②满足条件的整式M中只有15个单项式； ③满足条件的整式M共有23个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：(本大题6个小题，每小题4分，共24分)请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：______． 12. 桌面上有四张背面完全一样的卡片，卡片正面分别标有数字1，2，3，4．把四张卡片背面朝上，随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张，则两次抽取卡片上的数字之和为5的概率是___________． 13. 已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是_____________． 14. 在中，则边的长为__________． 15. 如图，在中，，D为的中点，将直角三角形纸片的直角顶点放置在点D处，点E在的延长线上，点F在上，且．若，，则的长为_______． 16. 现有一个四位自然数，它的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，满足，称这个四位数为“1234数”，例如：6742，满足，则称6742是一个“1234数”．则最大的“1234数”是__________；现有一个“1234数”M，将它的百位数字和千位数字交换位置，再将它的十位数字和个位数字交换位置，得到一个新的四位数，则是一个整数，且是一个完全平方数，则所有满足条件的M的和为__________． 三、解答题(本大题9个小题，其中17、18题8分，其余每小题10分，共86分)请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤． 17. （1）计算：． （2）解方程：． 18. 如图，四边形是矩形，连接． （1）用尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线，交于点E，交于点F，交于点，连接（保留作图痕迹，不写做法）． （2）已知：在矩形中，为的垂直平分线，求证：四边形为菱形．证明：四边形是矩形 ∴① ∵为的垂直平分线， ∴且② ∴在和中 ∴ ∴③ 又∵ ∴．四边形是平行四边形又∵④ ∴平行四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）． 19. 学校团委举行以“传承五四精神，展现青春风采”为主题的团史知识竞赛．现从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生的成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析（成绩得分用表示，单位：分，成绩均为整数，满分为100分，95分及95分以上为优秀），共分成四组：A．；B．；C．；D．，部分信息如下：七年级20名学生的竞赛成绩为：75，77，78，79，79，81，85，87，87，87，89，90，91，93，93，94，95，96，97，98： 八年级20名学生的成绩在组的数据是：； 七、八年级所抽学生成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 88 八年级 91 八年级所抽学生成绩扇形统计图 （1）上述图表中______，______，_______； （2）通过以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的团史基础知识竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）． （3）该校七年级有1600名学生、八年级有1000名学生参加了此次知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次知识竞赛成绩优秀的学生共有多少人？ 20. 先化简，再求值：，其中 21. 某小区计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足小区内新能源汽车车主日益增长的充电需求，2024年商家报价双枪充电桩单价比单枪充电桩单价高2000元，小区购得的3个单枪充电桩和5个双枪充电桩共花费34000元． （1）求2024年单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； （2）2025年商家对新能源充电桩进行促销，小区花费15000元购入单枪新能源充电桩，花费16000元购入双枪新能源充电桩，此次购入的双枪新能源充电桩的单价比单枪新能源充电桩的单价高1500元，单枪新能源充电桩的数量比双枪新能源充电桩的数量多，请问2025年该小区购入单枪、双枪新能源充电桩各多少个？ 22. 如图，在中，，，，动点M从点C出发，沿C→A→B方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点B时停止运动，连接，．点N以每秒个单位长度的速度从点C出发，沿C→A方向匀速运动，至点A停止．两点同时出发，设运动时间为x秒（），过点N作于点E．的面积为，的周长与的周长之比为． （1）请直接写出、关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数、图象，并写出函数的一条性质； （3）结合图象，当时，请直接写出x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 23. 现有港口和四座小岛，一批物资需要从港口运往小岛．甲、乙两艘货船均可完成此次运输工作，甲货船运输路线为，乙货船的运输路线为．已知小岛在港口的东北方向50海里处，小岛在小岛的北偏东方向上，小岛在港口的北偏东方向上，小岛在港口的正东方向，小岛、均在小岛的正北方向上，且两岛相距30海里．（，，） （1）求小岛与小岛之间的距离．（结果保留整数） （2）若甲、乙两艘货船的运费分别为13元/海里和11元/海里，请计算说明选择哪艘货船更划算？ 24. 如图1，在平面直角坐标系中直线：交坐标轴于A、B两点，直线：过点B交y轴于点C，且． （1）求直线的解析式； （2）点H为线段上一动点，连接，且，点P，Q为y轴上的两个动点，点P在点Q的上方，且，G为线段的中点，连接，，求最小值； （3）如图2，在（2）的条件下，将直线沿着水平方向向右平移2个单位长度得到直线，交直线于点E，交y轴于点F，点M为上一动点，连接，当时，请直接写出点M的坐标，并写出其中一种情况的求解过程． 25. 已知，，，于点，． （1）如图1，若，取的中点F，连接，，求的长度； （2）如图2，连接，点在线段上，且，连接、，若，为中点，证明：； （3）如图3，在（2）的条件下，将绕点逆时针旋转得，连接，点是中点，连接，若，在旋转过程中，当最大时，直线与直线交于点，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $