新疆维吾尔自治区巴音郭楞蒙古自治州且末县第一中学2025-2026学年高二上学期9月月考数学试题

2025-2026学年度高二数学9月月考试卷 考试时间：120分钟 一、单选题（共40分） 1．已知正方体，设向量，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平行六面体中，，相交于点，为的中点，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 3．对于空间任意一点和不共线的三点，，，且有，则，，是，，，四点共面的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．在四面体中，点在上，且，为的中点，若，则使与共线的的值为 A．1 B．2 C． D． 5．已知，且与垂直，则与的夹角为（   ） A．60° B．30° C．135° D．45° 6．如图，在长方体中，，点是的中点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为1，，则等于（   ） A． B． C． D． 8．在长方体中，和与底面所成角分别为和，则异面直线和所成角的余弦值为 A． B． C． D． 二、多选题（共18分） 9．如图，在正方体中，为对角线的三等分点，则点P到各顶点的距离的不同取值有（    ） A． B． C． D．3 10．在空间直角坐标系中，下列说法不正确的是（    ） A．向量的坐标与点的坐标相同 B．向量的坐标与点的坐标相同 C．向量与向量的坐标相同 D．向量与向量的坐标相同 11．关于点，下列说法正确的是（    ） A．点P关于Oxy平面的对称点的坐标为 B．点P关于x轴的对称点的坐标为 C．点P关于Oyz平面的对称点的坐标为 D．点P关于y轴的对称点的坐标为 三、填空题（共20分） 12．已知，，则 . 13．如图，在长方体中，，，点，分别是，的中点，则点到直线的距离为 ． 14．已知，，，若，则的值为 . 四、解答题（共72分） 15.（13分）在长方体中，已知，，，点，分别在棱，上，且． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 16．（15分）如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点，证明： (1)平面； (2)平面平面． 17．（15分）如图在四棱锥中，，，且底面为直角梯形，平面，分别为线段上靠近点的三等分点. (1)证明: 平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 18．（共17分）如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点． (1)求证：平面EGF平面ABD； (2)求平面EGF与平面ABD的距离． 19．（共17分）如图，在直三棱柱中，分别是的中点． (1)证明：∥平面． (2)设，． ①证明：平面． ②求点到平面的距离. 第4页，共4页 第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $高二9月月考 数学答题卡 姓名： 班级： 考号 1、答题前，考生务必将个人信息填写清 0□23]4☑6⑦89 楚。 准 0①23④6D89 注 2、选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题 考 ▣3]④6☑89 意 必须使用0.5毫米黑色字的签字笔书写。 证 3、必须按照题号顺序在各题目的答题区域 号 0▣I3④6刀89 事 内作答，超出答题区域书写的答案无效。 项 O①☑3团④回☑⑧ 4、保持答题卡清洁、完整，严禁折叠、不 要弄破，严禁在答题卡上作任何标记，严 禁使用涂改液和修正带。 单选题(40分) 1 AB回▣D 6 AB©D 2 AB回D 7 AB回D 3 AB▣I D] 8 A B]C]D] 4 ABIC回D 5AB@▣D 二、 多选题(18分) 9 A幻BIC网D 10 ABC]D] 11AB@D可 三、填空题(15分) 12.(5分) 13.(5分) 14.(5分) 请在各题目的答题区域作答，超出答题区域的答案无效 数学 第1页共6页 请在各题目的答题区域作答，超出答题区域的答案无效 四、解答题(77分) 15.(13分) 请在各题目的答题区域作答，超出答题区域的答案无效 数学第2页共6页 ■ 请在各题目的答题区域作答，超出答题区域的答案无效 16.(15分) 请在各题目的答题区域作答，超出答题区域的答案无效 数学第3页共6页 请在各题目的答题区域作答，超出答题区域的答案无效 17.(15分) 请在各题目的答题区域作答，超出答题区域的答案无效 数学第4页共6页 请在各题目的答题区域作答，超出答题区域的答案无效 18.(17分) 请在各题目的答题区域作答，超出答题区域的答案无效 数学第5页共6页 ■■ 请在各题目的答题区域作答，超出答题区域的答案无效 19.(17分) 请在各题目的答题区域作答，超出答题区域的答案无效 数学第6页共6页 《2025-2026学年度高中数学9月月考卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B A D C C A ABCD ABC 题号 11 答案 ACD 12．5 14.-3 15.(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，证明四边形和四边形都为平行四边形，从而可得出，再根据线面平行的判断的了即可得证； （2）以点为原点，建立空间直角坐标系，分别求出直线的方向向量和平面的法向量，利用向量法求解即可. 【详解】（1）连接， 因为且， 所以四边形为平行四边形， 所以且， 又且， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面； （2）如图，以点为原点，建立空间直角坐标系， 则， 故， 设平面的法向量为， 则有， 令，则，所以， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为．    16.(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）方法一：建立空间直角坐标系，根据正方体性质可知为平面的一个法向量，然后证明即可得证； 方法二：建立空间直角坐标系，利用平行向量的性质，证明与平面中某一向量平行即可得证． （2）方法一：证明也是平面的一个法向量即可； 方法二：由（1）知平面，再证明平面，结合面面平行的判定即可得证. 【详解】（1）以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示. 方法一：设正方体的棱长为2，则. 由正方体的性质知平面， 所以为平面的一个法向量． 由于，则，所以． 又平面，所以平面． 方法二：设正方体的棱长为2，，． 由于，，，故， 又平面，故平面． （2）方法一：由于，， 则， 所以也是平面的一个法向量， 又平面，则平面与平面不重合， 所以平面平面． 方法二：由于，，则，所以， 又平面，平面，所以平面． 由（1）知平面，又与相交于点， 所以平面平面． 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先求证平面，再根据即可求出； （2）以为原点建立空间直角坐标系，分别计算两个平面的法向量，再利用公式计算即可. 【详解】（1）因为直角梯形，，，， 则，则 ，即， 因平面，平面，则， 又平面，则平面， 因分别为线段上靠近点的三等分点，则， 则平面； （2）以为原点，为基底建立空间直角坐标系，    则， 则，由，可设， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，则， 由题意可知平面的一个法向量为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为. 18. 19. (1)证明见解析 (2)①证明见解析；② 【分析】（1）连接交于点，连接，由中位线证得，再利用线面平行的判定定理即可得证； （1）①先证得，，利用线面垂直的判定定理得平面，继而得.再利用平面图形的性质证得，进而利用线面垂直的判定定理即可得证； ②设点到平面的距离为，先由余弦定理求得，继而求得，，.再根据等体积法得，即可求得. 【详解】（1）证明：连接交于点，连接，则为的中点． 因为是的中点，所以∥． 因为平面，平面，所以∥平面． （2）①因为是直三棱柱，所以． 因为，为的中点，所以． 因为，平面，所以平面. ∵平面，∴． 因为，，所以，所以． 因为，所以，，． 因为，所以． 因为，平面，所以平面． ②在中，，，， 则． 因为，所以． 设点到平面的距离为， 由①可知平面， 所以三棱锥的体积 ．则， 即点到平面的距离为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $