第二十二章 圆（下）（复习讲义）数学北京版九年级上册

第二十二章 圆（下）（复习讲义） 1.了解直线与圆的三种位置关系。 ①了解直线与圆相离、相切、相交的概念；②会用圆心到直线的距离d与半径r的数量关系判断直线与圆的位置关系。 2了解圆的切线的概念； 掌握直线与圆相切的性质与判定． ①能够利用切线判定定理和切线定义判定直线是圆的切线；②能够利用切线性质定理进行计算和证明。 3.了解切线长的概念，会用切线长定理进行证明与计算。 ①了解切线长、内心和三角形内切圆的概念；②能够利用切线长定理求线段长或进行证明 4.了解正多边形和圆的有关概念；会应用多边形和圆的有关知识画正多边形． ①了解正多边形和圆的有关概念；②掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用多边形和圆的有关知识画正多边形．③会进行正多边形半径和边长、边心距、中心角相关计算 知识点01 直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 无交点； 2、直线与圆相切 有一个交点； 3、直线与圆相交 有两个交点； 知识点02 切线的性质与判定定理 1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵且过半径外端 ∴是⊙的切线 2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点． 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心． 以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个． 知识点03 切线长定理 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 即：∵、是的两条切线 ∴；平分 知识点04 三角形的内切圆和内心 1、三角形的内切圆 与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆． 2、三角形的内心 三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心． 注意：内切圆及有关计算． （1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等． （2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= ． （3）S△ABC=，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径． （4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦． 如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D．        知识点05 圆内接正多边形的计算 （1）正三角形 在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：； （2）正四边形 同理，四边形的有关计算在中进行，： （3）正六边形 同理，六边形的有关计算在中进行，． 知识点06 与正多边形有关的概念 1、正多边形的中心 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． 2、正多边形的半径 正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径． 3、正多边形的边心距 正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距． 4、 中心角 正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角． 知识点07 正多边形的对称性 1、正多边形的轴对称性 正多边形都是轴对称图形．一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心． 2、正多边形的中心对称性 边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心． 3、正多边形的画法 先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形． 题型1 直线与圆的位置关系的判定 【方法点拨】解决此类问题的关键是熟练掌握直线与圆的位置关系：设的半径为，圆心到直线的距离为，则当直线与相交；当直线与相切；当直线与相离； 【例1】已知的直径为4，圆心O到直线l的距离为2，则直线l与（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【变式1-1】已知半径为，若直线上一点与圆心距离为，那么直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【变式1-2】圆的半径是cm，如果圆心与直线上某一点的距离是cm，那么该直线和圆的位置关系是（    ）. A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切 【变式1-3】已知的半径等于5，圆心到直线的距离为4，那么直线与的公共点的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 题型二 利用切线的性质求线段长 【方法点拨】解决此类问题的关键是熟练掌握切线的性质，并综合运用勾股定理，相似三角形的判定和性质，三角函数等知识。 【例2】如图，为的切线，E为切点，CD为的直径，延长与交于点B，连接，，若，，，则的长为（    ）      A．3 B． C． D． 【变式2-1】如图，点P为外一点，为的切线，A为切点，交于点B．，，则线段的长为（    ） A．3 B． C．6 D．9 【变式2-2】如图，在平面直角坐标系中，与轴相切于点，与轴分别交于点和点，则圆心与坐标原点之间的距离是（   ）    A．5 B． C． D． 【变式2-3】如图，线段经过圆心，交于点、，是的切线，点为切点．若，，则线段的长度是（　　）    A．1 B．2 C．3 D． 题型三 利用切线的性质求角度 【方法点拨】解决此类问题的关键是熟练掌握切线的性质，并综合运用平行线性质，圆周角定理，直角三角形，等腰三角形的性质等知识。 【例3】如图，B，D，E为上的三个点，，过点作的切线，交的延长线于点，连接．若，则的度数为 ． 【变式3-1】如图，是的直径，与相切于点，连接，交于点，，点在上，则 ．    【变式3-2】如图，为的直径，直线与相切于点，垂足为．求证：．    【变式3-3】如图，圆内接四边形的边过圆心O，过点C的切线与边所在直线垂直于点M，若，则等于 ．    题型四 切线的判定（连半径证垂直） 【方法点拨】解决此类问题的关键是直线与圆有交点时连接交点和圆心做半径，通过证明该半径和直线垂直，根据切线判定定理进行证明。 【例4】如图，在中，，平分交于点D，O为上一点，经过点A，D的分别交，于点E，F．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【变式4-1】如图，中，，以为直径的交于点，点在上，，的延长线交于点F．    (1)求证：与相切； (2)若的半径为3，，求的长． 【变式4-2】如图，为的直径，C为上一点，P为延长线上的一点，使得．    (1)求证：是的切线． (2)F为上一点，且经过的中点E． ①求证：； ②若，，求的半径长． 【变式4-3】如图，已知半径为的经过轴上一点，与轴交于、两点，连接、，平分，．    (1)判断与轴的位置关系，并说明理由； (2)求的长． 题型五 切线的判定（怍垂直证半径） 【方法点拨】解决此类问题的关键是直线与圆没有交点时过圆心向直线做垂直，通过证明该垂线段和半径相等从而得到该直线是圆的切线。 【例5】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，CB＝CD，连接BD，以点B为圆心，BA长为半径作⊙B，交BD于点E． （1）试判断CD与⊙B的位置关系，并说明理由． （2）若AB＝6，∠BDC＝60°，求图中阴影部分的面积． 【变式5-1】ΔABC为等腰三角形，O为底边BC的中点，腰AB与O相切于点D． 求证：AC是O的切线． 【变式5-2】如图，O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M． （1）求证：CD与⊙O相切; （2）若正方形ABCD的边长为1，求⊙O的半径． 【变式5-3】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB＝5，EB＝3． （1）求证：AC是⊙D的切线； （2）求线段AC的长． 题型六 切线的性质与判定综合 【方法点拨】切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 【例6】．如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，交于点，连接，作，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【变式6-1】如图，中，，过两点，且是的切线，连接交劣弧于点．    (1)证明：是的切线； (2)若，，求的半径； 【变式6-2】如图，在中，，的平分线交于点，点在上，且以为直径的经过点． (1)求证，是的切线： (2)当，且时，求的半径． 【变式6-3】如图，已知为的直径，直线与相切于点A，直线经过上的点B，且，连接交于点M．求证： (1)是的切线； (2)若，求的长． 题型七 切线长定理的综合运用 【方法点拨】。掌握切线的判定与性质以及切线长定理是解题的关键．过圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，圆心与这点的连线平分两切线的夹角． 【例7】如图，⊙O是梯形ABCD的内切圆，AB∥DC，E、M、F、N分别是边AB、BC、CD、DA上的切点． （1）求证：AB+CD=AD+BC （2）求∠AOD的度数． 【变式7-1】如图，，是⊙O的切线，，为切点，是⊙O的直径． (1)若，求的度数； (2)若，，求⊙O的半径． 【变式7-2】如图，AB、CB、CD分别与⊙O切于E，F，G，且AB∥CD．连接OB、OC，延长CO交⊙O于点M，过点M作MN∥OB交CD于N． （1）当OB＝6cm，OC＝8cm时，求⊙O的半径； （2）求证：MN＝NG． 【变式7-3】如图1所示，为的外接圆，为直径，、分别与相切于点D、C（）.E在线段上，连接并延长与直线相交于点P，B为中点. (1)证明：是的切线. (2)如图2，连接，，求证：. 题型八 由三角形的内切圆求解 【方法点拨】与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三个内角的角平分线的交点，叫做三角形的内心，三角形的内心到三角形三边的距离相等 【例8】如图，在中，，，若 与的三边分别相切于点，，，且的周长为，则的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式8-1】如图，中，，圆O是的内切圆，D，E，F是切点．若，则 ---- ． 【变式8-2】如图，是直角的内切圆，切点为D、E、F，若，，则的面积为 ． 【变式8-3】如图，在中，，，是的内切圆，它与、、分别相切于点D、E、F．求的半径． 基础巩固通关测 一、单选题 1．已知的直径为12，点O到直线l上一点的距离为，则直线l与的位置关系（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 2．如图，AB是圆O的直径，PA切圆O于点A，PO交圆O于点C，连接BC，若∠P＝18°，则∠B等于（    ） A．36° B．30° C．27° D．45° 3．如图，正六边形内接于⊙，若⊙的周长等于，则正六边形的边长为（    ） A． B． C．3 D． 4．在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫，如图，将“雪花”图案（边长为4的正六边形ABCDEF）放在平面直角坐标系中，若AB与x轴垂直，顶点A的坐标为（2，-3）．则顶点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．如图，，圆心在直线上的半径为，，若沿方向移动，当圆心O移动的距离为（    ）时，与直线相切． A．1 B．4 C．5 D．1或5 二、填空题 6．已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是 ． 7．在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是 ．（写一个条件即可） 8. 第29届自贡国际恐龙灯会“辉煌新时代”主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案，小华量得图中一边与对角线的夹角，算出这个正多边形的边数是    9.如图，已知正六边形的边长是6，点P是上一动点，则的最小值是 ．    10.如图，直线相交于点O，，半径为1cm的的圆心在射线上，且与点O的距离为6cm，如果以的速度沿A向B的方向移动，则经过 秒后与直线相切． 三、解答题 11．明达中学在校园里建了一个读书亭．它的地基是半径为4米的正六边形． (1)求地基的周长是多少？ (2)求地基的面积是多少？ 12.请阅读材料，并完成相应的任务：学习了圆的切线以后，某课外小组的同学们发现，过圆外一点可以画圆的两条切线．如图1，为外一点，过点可以画的两条切线，．切点分别为． [发现结论]智慧小组在操作中发现，沿直线将图形对折，可以得出结论：． [证明结论]启迪小组为了证明上述结论的正确性，做了如下证明： 如图2，连接和． ∵是⊙的两条切线， ∴．（依据） ∴． … 任务： (1)请写出括号中的依据：_________； (2)请将上面的证明过程补充完整； (3)如图2，在中，为的两条切线，分别为它们的切点，的半径为5，．连接，请直接写出的周长． 13..如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于D点，连接CD． （1）求证：∠A=∠BCD； （2）若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由． 14．如图，在中，，以为直径的交与点，过点作于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求半径长． 15．如图，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E．F是延长线上的一点，且．    (1)求证：为的切线； (2)连接．若，求的长． 能力提升进阶练 一、单选题 1．如图，有一个亭子，它的地基是边长为4m的正六边形，则地基的面积为（　　） A．4m2 B．12m2 C．24m2 D．24m2 2．如图，已知是以数轴原点为圆心，半径为1的圆，，点在数轴上运动，若过点且与平行的直线与有公共点，设，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在四边形中，，以为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为．若，则的值是（    ）    A． B． C． D． 4．如图，为的切线，E为切点，CD为的直径，延长与交于点B，连接，，若，，，则的长为（    ）      A．3 B． C． D． 5．如图，正方形的边长为2，点是射线上一个动点，点在上，且满足，则线段的最小值为　　 A． B．1 C． D． 三、填空题 6．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点重合，轴，交轴于点．将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点A的坐标为 7．在九年级《数学实验手册》中，我们探究了最小覆盖圆与图形之间的关系．现有如图所示的等边三角形，边长为，若分别以顶点为圆心作三个等圆，这三个等圆能完全覆盖，则所作等圆的最小半径是 ． 8．如图，在中，，，，的半径为．在内平移（可以沿边界移动），则点到上的点的距离最大值 ． 9. 如图，点是正六边形内一点，，当时，连接，则线段的最小值 是    10. 如图，中，，边与以为直径的相切于点B，将绕点A顺时针旋转，记旋转角度为，旋转过程中，的边与相切时，的值为 ． 四、解答题 11.我们学习了平面图形的镶嵌，即用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．镶嵌平面的图形有很多，值得我们研究的问题也有许多！如图，小亮同学用绘画的方法，设计的一个正三角形的平面镶嵌图，如果整个镶嵌图三角形ABC的面积为75，则图中阴影部分的面积是多少？    12．已知点是菱形对角线上的点，以点为圆心，为半径的圆与相切于点．    (1)求证：与相切； (2)若的半径为6，求菱形的边长． 13.如图，与的边相交于点，与相切于点、与边交于点，，是的直径． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径长． 14．如图，以为直径的上有两点E、F，，过点E作直线交的延长线于点，交的延长线于点，过作平分交于点，交于点N．    (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)如果N是的中点，且，求的长． 15．等腰Rt△ABC和⊙O如图放置，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，⊙O的半径为1，圆心O与直线AB的距离为5． （1）若△ABC以每秒2个单位的速度向右移动，⊙O不动，则经过多少时间△ABC的边与圆第一次相切？ （2）若两个图形同时向右移动，△ABC的速度为每秒2个单位，⊙O的速度为每秒1个单位，则经过多少时间△ABC的边与圆第一次相切？ （3）若两个图形同时向右移动，△ABC的速度为每秒2个单位，⊙O的速度为每秒1个单位，同时△ABC的边长AB、BC都以每秒0.5个单位沿BA、BC方向增大．△ABC的边与圆第一次相切时，点B运动了多少距离？ 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十二章 圆（下）（复习讲义） 1.了解直线与圆的三种位置关系。 ①了解直线与圆相离、相切、相交的概念；②会用圆心到直线的距离d与半径r的数量关系判断直线与圆的位置关系。 2了解圆的切线的概念； 掌握直线与圆相切的性质与判定． ①能够利用切线判定定理和切线定义判定直线是圆的切线；②能够利用切线性质定理进行计算和证明。 3.了解切线长的概念，会用切线长定理进行证明与计算。 ①了解切线长、内心和三角形内切圆的概念；②能够利用切线长定理求线段长或进行证明 4.了解正多边形和圆的有关概念；会应用多边形和圆的有关知识画正多边形． ①了解正多边形和圆的有关概念；②掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用多边形和圆的有关知识画正多边形．③会进行正多边形半径和边长、边心距、中心角相关计算 知识点01 直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 无交点； 2、直线与圆相切 有一个交点； 3、直线与圆相交 有两个交点； 知识点02 切线的性质与判定定理 1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵且过半径外端 ∴是⊙的切线 2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点． 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心． 以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个． 知识点03 切线长定理 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 即：∵、是的两条切线 ∴；平分 知识点04 三角形的内切圆和内心 1、三角形的内切圆 与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆． 2、三角形的内心 三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心． 注意：内切圆及有关计算． （1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等． （2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= ． （3）S△ABC=，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径． （4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦． 如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D．        知识点05 圆内接正多边形的计算 （1）正三角形 在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：； （2）正四边形 同理，四边形的有关计算在中进行，： （3）正六边形 同理，六边形的有关计算在中进行，． 知识点06 与正多边形有关的概念 1、正多边形的中心 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． 2、正多边形的半径 正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径． 3、正多边形的边心距 正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距． 4、 中心角 正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角． 知识点07 正多边形的对称性 1、正多边形的轴对称性 正多边形都是轴对称图形．一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心． 2、正多边形的中心对称性 边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心． 3、正多边形的画法 先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形． 题型1 直线与圆的位置关系的判定 【方法点拨】解决此类问题的关键是熟练掌握直线与圆的位置关系：设的半径为，圆心到直线的距离为，则当直线与相交；当直线与相切；当直线与相离； 【例1】已知的直径为4，圆心O到直线l的距离为2，则直线l与（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据的半径和圆心O到直线l的距离的大小，相交：；相切：；相离：；即可选出答案． 【详解】解：∵的直径为4， ∴的半径为2， ∵圆心O到直线l的距离为2， ∴， ∴直线l与的位置关系是相切，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查对直线与圆的位置关系的性质的理解和掌握，能熟练地运用性质进行判断是解此题的关键． 【变式1-1】已知半径为，若直线上一点与圆心距离为，那么直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】D 【分析】根据题意，直线上一点与圆心的距离和圆心到直线的距离不同，故无法确定直线与圆的位置关系 【详解】解：半径为，若直线上一点与圆心距离为，那么直线与圆的位置关系是无法确定， 故选：D． 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系的应用，能熟记直线和圆的位置关系内容是解此题的关键，注意：直线和圆有三种位置关系：相离，相交，相切，已知：圆的半径为，圆心到直线的距离为，那么：时，直线与圆相离，当时，直线与圆相切，当时，直线与圆相交． 【变式1-2】圆的半径是cm，如果圆心与直线上某一点的距离是cm，那么该直线和圆的位置关系是（    ）. A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切 【答案】D 【分析】已知圆的半径，圆心O到直线的距离，根据直线与圆的位置关系进行判断即可． 【详解】由题意可知： 圆的半径等于cm， 因为圆心与直线上某一点的距离是cm， 所以圆心到直线的距离小于或等于cm， 所以直线和圆的位置关系是相交或相切， 故选：D． 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系；解题的关键是圆的半径为cm，那么圆心与直线上某一点的距离是cm是指圆心到直线的距离可能等于cm也可能小于cm． 【变式1-3】已知的半径等于5，圆心到直线的距离为4，那么直线与的公共点的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 【答案】C 【分析】利用直线与圆的位置关系的判断方法得到直线与相交，然后根据相离的定义对各选项进行判断． 【详解】的的半径为5，圆心到直线的距离为4， 圆心到直线的距离小于半径， 直线与相交， 直线与有2个公共点． 故选：C． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：设的半径为，圆心到直线的距离为，则当直线与相交；当直线与相切；当直线与相离；熟练掌握直线与圆的位置关系是解本题的关键． 题型二 利用切线的性质求线段长 【方法点拨】解决此类问题的关键是熟练掌握切线的性质，并综合运用勾股定理，相似三角形的判定和性质，三角函数等知识。 【例2】如图，为的切线，E为切点，CD为的直径，延长与交于点B，连接，，若，，，则的长为（    ）      A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据切线的性质得到，在直角中，利用勾股定理求出，再证明，得到，继而求出． 【详解】解：∵为的切线， ∴，， 设， 在直角中，， 即， 解得：，即， ∴， ∴， ∵，， ∴，设， ∴，即， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是利用勾股定理求出，利用相似三角形的性质得到比例式． 【变式2-1】如图，点P为外一点，为的切线，A为切点，交于点B．，，则线段的长为（    ） A．3 B． C．6 D．9 【答案】B 【分析】直接利用切线的性质得出，进而利用直角三角形的性质得出关于半径的方程，再利用勾股定理即可确定的长度． 【详解】解：如图所示：连接，设，则， ∵为的切线， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】题目主要考查了切线的性质以及直角三角形中角的性质，正确作出辅助线是解题关键． 【变式2-2】如图，在平面直角坐标系中，与轴相切于点，与轴分别交于点和点，则圆心与坐标原点之间的距离是（   ）    A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】如图连接、，，作于，先证明四边形是矩形，根据垂径定理求出，在中求出即可． 【详解】解：如图连接、，，作于．    ∵和点， ∴，， ∴ 与轴相切于点， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 在中，． 故选：D． 【点睛】本题考查切线的性质、坐标与图形性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是正确添加辅助线，构造直角三角形． 【变式2-3】如图，线段经过圆心，交于点、，是的切线，点为切点．若，，则线段的长度是（　　）    A．1 B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】连接，根据切线的性质，得出，再根据垂线的定义，得出，再根据正切的定义，得出，进而得出，再根据角所对的直角边等于斜边的一半，得出，再根据线段之间的数量关系，结合等量代换，计算即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，    ∵是的切线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了切线的性质、锐角三角函数、含角的直角三角形的性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质． 题型三 利用切线的性质求角度 【方法点拨】解决此类问题的关键是熟练掌握切线的性质，并综合运用平行线性质，圆周角定理，直角三角形，等腰三角形的性质等知识。 【例3】如图，B，D，E为上的三个点，，过点作的切线，交的延长线于点，连接．若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】连接，利用切线的性质可得，从而可求出，根据垂直定义可得，从而求出，然后利用圆周角定理进行计算即可解答． 【详解】解：连接， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握切线的性质， 【变式3-1】如图，是的直径，与相切于点，连接，交于点，，点在上，则 ．    【答案】 【分析】如图所示，连接，由切线的性质得到，进而求出，由是的直径，得到，则，再由同弧所对的圆周角相等即可得到． 【详解】解：如图所示，连接，      ∵与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式3-2】如图，为的直径，直线与相切于点，垂足为．求证：．    【答案】证明见解析． 【分析】连接，根据切线的性质可证明，即证明，得出结论，又根据，即得出，即，即证明出． 【详解】证明：证明：如图，连接．    ∵直线是的切线， ∴． ∵， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的性质，平行线的判定和性质．连接常用的辅助线是解答本题的关键． 【变式3-3】如图，圆内接四边形的边过圆心O，过点C的切线与边所在直线垂直于点M，若，则等于 ．    【答案】/20度 【分析】由圆内接四边形的性质求出，由圆周角定理求出，得出，由过点C的切线与边所在直线垂直于点M，可得，，继而根据三角形的外角性质得出，即可求出的度数． 【详解】解：连接，    ∵圆内接四边形的边过圆心O， ∴， ∴，， ∵过点C的切线与边所在直线垂直于点M， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、三角形的外角性质等知识；熟练掌握圆内接四边形的性质和圆周角定理是解决问题的关键． 题型四 切线的判定（连半径证垂直） 【方法点拨】解决此类问题的关键是直线与圆有交点时连接交点和圆心做半径，通过证明该半径和直线垂直，根据切线判定定理进行证明。 【例4】如图，在中，，平分交于点D，O为上一点，经过点A，D的分别交，于点E，F．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为5． 【分析】（1）连接，可得，根据等边对等角，以及角平分线的定义，可得，根据“内错角相等，两直线平行”可得，根据平行线的性质，可得，再根据切线的判定方法，即可判定； （2）过点O作，交于点G，根据垂径定理可得，故，根据矩形的判定和性质，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接，则，    ， 是的平分线， ， ， ， ， 为的半径，点D在上， ∴是的切线； （2）解：过点O作，交于点G，如图，    ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 的半径为5． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆的垂径定理，矩形的判定和性质、等腰三角形的性质、角平分线的定义、平行线的判定和性质，解题的关键是准确作出辅助线． 【变式4-1】如图，中，，以为直径的交于点，点在上，，的延长线交于点F．    (1)求证：与相切； (2)若的半径为3，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）连接、，则，所以，由，得，所以，即可证明与相切； （2）由切线的性质得，，，得，则，即可根据勾股定理列方程，求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接、，    则， ， ，， ， ， 经过的半径的外端，且， 与相切． （2）解：由（1）知与相切， ∴ ∵，， ， ， ∵ ∴， ∵，， ， ， 的长为6． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、圆的切线的判定、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 【变式4-2】如图，为的直径，C为上一点，P为延长线上的一点，使得．    (1)求证：是的切线． (2)F为上一点，且经过的中点E． ①求证：； ②若，，求的半径长． 【答案】(1)见解析； (2)①见解析；②的半径为5． 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得出，进而得出，即，即可得出结论； （2）①先根据直径所对的圆周角是直角得出，进而得出，根据题意可得出，推出，即可得出结论； ②设,则，由①知，得出和都是直角三角形，在中，根据勾股定理得出，求出，，在中，根据勾股定理得出，即可得出答案 【详解】（1）证明：∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴是的切线； （2）①证明：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵经过的中点E， ∴， ∴， ∴； ②解：设,则， 由①知， ∴和都是直角三角形， 在中，， ∴， 解得：（负值舍去），即，， 在中，， ∴， 解得：，即的半径为5． 【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定，勾股定理，掌握切线的判定定理是解题的关键． 【变式4-3】如图，已知半径为的经过轴上一点，与轴交于、两点，连接、，平分，．    (1)判断与轴的位置关系，并说明理由； (2)求的长． 【答案】(1)相切，理由见解析 (2) 【分析】（1）连接，由平分可得，又，所以，进而可得，所以，可得轴，进而可得结论； （2）过点作轴于点，则，且四边形是矩形，设可分别表达和，进而根据勾股定理可建立等式，得出结论； 【详解】（1）解：与轴相切，理由如下： 如图，连接， 平分， ， 又， ， ， ， 轴， 轴， 是半径， 与轴相切 （2）如图，过点作轴于点，    ， ， 四边形是矩形， ，， 设则， ， 在中，， ， 解得或舍去， ， ． 【点睛】本题主要考查切线的定义，勾股定理，矩形的性质与判定，垂径定理，待定系数法求函数表达式，题目比较简单，关键是掌握相关定理． 题型五 切线的判定（怍垂直证半径） 【方法点拨】解决此类问题的关键是直线与圆没有交点时过圆心向直线做垂直，通过证明该垂线段和半径相等从而得到该直线是圆的切线。 【例5】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，CB＝CD，连接BD，以点B为圆心，BA长为半径作⊙B，交BD于点E． （1）试判断CD与⊙B的位置关系，并说明理由． （2）若AB＝6，∠BDC＝60°，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）相切，理由见解析；（2） 【分析】(1)过点B作BF⊥CD，证明△ABD≌△FBD，得到BF= BA，即可证明CD与圆B相切； (2)先证明△BCD是等边三角形，根据三线合得到∠ABD= 30°，求出AD，再利用阴影部分的面积= S△ABD－S扇形ABE求出阴影部分面积． 【详解】解：(1) 过点B作BF⊥CD，垂足为F， ∴∠BFD=90°， ∵ADBC，∠ABC＝90°， ∴∠ABC＝90°， ∴∠BAD=90°， ∴∠BAD=∠BFD， ∵ADBC， ∴∠ADB= ∠CBD， ∴CB= CD， ∴∠CBD= ∠CDB， ∴∠ADB = ∠CDB， 在△ABD和△FBD中 ， ， ∴△ABD≌△FBD (AAS)， ∴BF= BA，则点F在圆B上， ∴CD与⊙B相切； (2) ∵∠BCD= 60°，CB= CD， ∴△BCD是等边三角形， ∴∠CBD = 60°， ∵ BF⊥CD， ∴∠ABD= ∠DBF= ∠CBF= 30 °， ∴∠ABF= 60 °， ∵ AB= BF= 6， ∴AD= DF= АВ· tan30° = 2， ∴阴影部分的面积= S△ABD－S扇形ABE = = ． 【点睛】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积，三角函数的定义，题目的综合性较强，解题的关键是正确作出辅助线． 【变式5-1】ΔABC为等腰三角形，O为底边BC的中点，腰AB与O相切于点D． 求证：AC是O的切线． 【答案】见解析. 【分析】过点O作OE⊥AC于点E，连结OD，OA，根据切线的性质得出AB⊥OD，根据等腰三角形三线合一的性质得出AO是∠BAC的平分线，根据角平分线的性质得出OE=OD，从而证得结论． 【详解】证明：过点O作OE⊥AC于点E，连结OD，OA， ∵AB与O相切于点D， ∴AB⊥OD， ∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点， ∴AO是∠BAC的平分线， ∴OE=OD，即OE是O的半径， ∵AC经过O的半径OE的外端点且垂直于OE， ∴AC是O的切线。 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键. 【变式5-2】如图，O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M． （1）求证：CD与⊙O相切; （2）若正方形ABCD的边长为1，求⊙O的半径． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）根据正方形的性质得到AC是角平分线，再根据角平分线的性质进行证明； （2）根据正方形的边长可以求得其对角线的长，根据等腰直角三角形的性质得到OC是圆的半径的倍，从而根据对角线的长列方程求解． 【详解】证明：（1）连OM，过O作ON⊥CD于N； ∵⊙O与BC相切， ∴OM⊥BC， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC平分∠BCD， ∴OM=ON， ∴CD与⊙O相切． ：（2）∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=CD=1，∠B=90°，∠ACD=45°， ∴AC=，，∠MOC=∠MCO=45°， ∴MC=OM=OA， 又∵AC=OA+OC， 【点睛】此题综合了正方形的性质和圆的切线的性质和判定，熟练掌握性质定理是解题的关键． 【变式5-3】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB＝5，EB＝3． （1）求证：AC是⊙D的切线； （2）求线段AC的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）8 【分析】（1）过点D作DF⊥AC于F，根据切线的性质可得∠B=90°，即AB⊥BC，然后根据角平分线的性质可得DE=DF，从而证得结论； （2）根据已知DE=DC和（1）的结论可知DF⊥AC，AB⊥BC以及半径DB=DF，得证Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），进而得证EB=FC,再由AB=AF，可知AC=AF+FC=AB+EB=8． 【详解】解：（1）过点D作DF⊥AC于F； ∵AB为⊙D的切线， ∴∠B=90°， ∴AB⊥BC ∵AD平分∠BAC，DF⊥AC， ∴BD=DF， ∴AC与圆D相切； （2）在△BDE和△DCF中； ∵BD=DF，DE=DC， ∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL）， ∴EB=FC． ∵AB=AF， ∴AB+EB=AF+FC， 即AB+EB=AC， ∴AC=5+3=8． 【点睛】本题考查切线的性质与判定，直角三角形全等的判定与性质． 题型六 切线的性质与判定综合 【方法点拨】切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 【例6】．如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，交于点，连接，作，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)15 【分析】（1）连接，根据平分，，，证明即可； （2）设的半径为，则有，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：连接，    是的直径， ，即， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线． （2）设的半径为， 则有， ∵是的切线． ∴， 在中，， ， 解得， 的半径为． 【点睛】本题考查了切线的性质与判定，勾股定理，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键． 【变式6-1】如图，中，，过两点，且是的切线，连接交劣弧于点．    (1)证明：是的切线； (2)若，，求的半径； 【答案】(1)见解析 (2)的半径为 【分析】（1）直接根据“”证明即可得出结论； （2）设的半径为，则，然后根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：设的半径为， 则， 在中，， 即， 解得：， 故的半径为. 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，灵活运用所学知识点是解本题的关键． 【变式6-2】如图，在中，，的平分线交于点，点在上，且以为直径的经过点． (1)求证，是的切线： (2)当，且时，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)半径为 【分析】（1）连接，根据角平分线的定义得出，由得出，等量代换得出则，根据得出，即可得证； （2）设，则，根据中，勾股定理得出，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， 平分， ， ， ， ， ，， 即， 是半径， 为的切线 （2）解：，设，则， ， 在中，根据勾股定理得：， 即， ， 半径为． 【点睛】本题考查了切线性质的判定，勾股定理，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键． 【变式6-3】如图，已知为的直径，直线与相切于点A，直线经过上的点B，且，连接交于点M．求证： (1)是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）连接，由等边对等角及直径所对的圆周角等于即可证明； （2）根据直线是的切线，根据垂径定理得，根据直径所对的圆周角是直角得，进而得到，最后根据中位线定理即可得出答案． 【详解】（1）解：连接 ， ，， 为的直径， ， ， ， ， 是的切线； （2）解：、是的切线； ，平分， ，， 为的直径， ，即． ， 为中点， ． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，中位线定理，圆周角定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 题型七 切线长定理的综合运用 【方法点拨】。掌握切线的判定与性质以及切线长定理是解题的关键．过圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，圆心与这点的连线平分两切线的夹角． 【例7】如图，⊙O是梯形ABCD的内切圆，AB∥DC，E、M、F、N分别是边AB、BC、CD、DA上的切点． （1）求证：AB+CD=AD+BC （2）求∠AOD的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）90°. 【分析】（1）根据切线长定理可证得AE=AN，BE=BM，DF=DN，CF=CM，进而证明AB+DC=AD+BC； （2）连OE、ON、OM、OF，通过证明△OAE≌△OAN，得到∠OAE=∠OAN．同理：∠ODN=∠ODE，再利用平行线的性质：同旁内角互补即可求出∠AOD的度数． 【详解】（1）证明：∵⊙O切梯形ABCD于E、M、F、N，由切线长定理：AE=AN，BE=BM，DF=DN，CF=CM， ∴AE+BE+DF+CF=AN+BM+DN+CM， ∴AB+DC=AD+BC （2）连OE、ON、OM、OF， ∵OE=ON，AE=AN，OA=OA， ∴△OAE≌△OAN， ∴∠OAE=∠OAN． 同理，∠ODN=∠ODF． ∴∠OAN+∠ODN=∠OAE+∠ODE． 又∵AB∥DC，∠EAN+∠CDN=180°， ∴∠OAN+∠ODN=×180°=90°， ∴∠AOD=180°﹣90°=90°． 【点睛】本题考查了切线长定理和全等三角形的判定、全等三角形的性质以及平行线的性质：同旁内角互补，解题的关键是构造全等三角形． 【变式7-1】如图，，是⊙O的切线，，为切点，是⊙O的直径． (1)若，求的度数； (2)若，，求⊙O的半径． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用切线的性质得到，则利用互余计算出的度数，再根据切线长定理得到，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算的度数； (2)连接，根据切线的性质得到，，推出是等边三角形，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）∵是⊙O的切线， ∴，即． ∴． ∵，是⊙O的切线， ∴， ∴， ∴． （2）连接， ∵，且， ∴是等边三角形， ∴，． ∵为直径， ∴， 在中， 由勾股定理：，可得， ∴⊙O的半径为． 【点睛】本题考查了切线的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 【变式7-2】如图，AB、CB、CD分别与⊙O切于E，F，G，且AB∥CD．连接OB、OC，延长CO交⊙O于点M，过点M作MN∥OB交CD于N． （1）当OB＝6cm，OC＝8cm时，求⊙O的半径； （2）求证：MN＝NG． 【答案】（1）⊙O的半径为4.8；（2）见解析. 【分析】（1）根据切线的性质得到OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，再根据平行线的性质得∠GCF+∠EBF=180°，则有∠OBC+∠OCB=90°，即∠BOC=90°；连接OF，则OF⊥BC，根据勾股定理就可以求出BC的长，然后根据△BOC的面积就可以求出⊙O的半径； （2）根据切线的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）∵AB、BC、CD分别与⊙O切于E、F、G， ∴OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC， ∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB=∠DCB， 又∵AB∥CD， ∴∠GCF+∠EBF=180°， ∴∠OBC+∠OCB=90°， ∴∠BOC=90°；， 连接OF，则OF⊥BC， 由（1）知，△BOC是直角三角形， ∴BC==10， ∵S△BOC=•OB•OC=•BC•OF， ∴6×8=10×OF， ∴OF=4.8， ∴⊙O的半径为4.8； （2）证明：∵AB、BC、CD分别与⊙O切于点E、F、G， ∴∠OBC=∠ABC，∠DCB=2∠DCM， ∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠DCB=180°， ∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠DCB）=×180°=90°， ∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-90°=90°， ∵MN∥OB， ∴∠NMC=∠BOC=90°， 即MN⊥MC 且MO是⊙O的半径， ∴MN是⊙O的切线， ∴MN=NG． 【点睛】此题考查切线的判定与性质定理，勾股定理，解题关键在于掌握过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线；圆的切线垂直于过切点的半径；过圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，圆心与这点的连线平分两切线的夹角． 【变式7-3】如图1所示，为的外接圆，为直径，、分别与相切于点D、C（）.E在线段上，连接并延长与直线相交于点P，B为中点. (1)证明：是的切线. (2)如图2，连接，，求证：. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，根据直角三角形斜边上的中线的性质以及等边对等角得出，进而根据为切线，， ，得出，即可得证； （2）根据、、分别与相切于点D、E、C，根据切线长定理得出，，则，，，，即可得出，进而即可得证． 【详解】（1）证明：连接， ∵为直径， ∴.     在中，B为中点， ∴， ∴，     ∵， ∴，   又∵为切线， ∴， ∴      ∴.     即， ∴是的切线. （2）证明：∵、、分别与相切于点D、E、C， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，   ∴，     ∴； 【点睛】本题考查了切线的性质与切线长定理，掌握切线的判定方法以及切线长定理是解题的关键． 题型八 由三角形的内切圆求解 【方法点拨】与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三个内角的角平分线的交点，叫做三角形的内心，三角形的内心到三角形三边的距离相等 【例8】如图，在中，，，若 与的三边分别相切于点，，，且的周长为，则的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据切线长定理可得：，，，再证明是等边三角形即可作答， 【详解】∵内切于， ∴，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵的周长为32， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了切线长定理以及等边三角形的判定与性质，掌握切线长定理是解答本题的关键． 【变式8-1】如图，中，，圆O是的内切圆，D，E，F是切点．若，则 ---- ． 【答案】1 【分析】根据内切圆的性质先证明四边形是矩形，可得，再由切线长定理可得，设，可得，，可得到关于r的方程，即可求解． 【详解】解：∵圆O是的内切圆， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵圆O是的内切圆， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 即． 故答案为：1 【点睛】本题主要考查了三角形的内切圆，切线长定理，勾股定理，熟练掌握三角形的内切圆的性质，切线长定理是解题的关键． 【变式8-2】如图，是直角的内切圆，切点为D、E、F，若，，则的面积为 ． 【答案】30 【分析】根据切线长定理得出，，，设，根据勾股定理得出的值，再利用三角形的面积公式求得的面积即可． 【详解】解：是直角的内切圆，且，， ，，， ， 设，则，， 在中，，即， 解得或（不符题意，舍去）， ， ，， 的面积为， 故答案为：30． 【点睛】本题考查了切线长定理、勾股定理、一元二次方程的应用，熟记切线长定理是解题的关键． 【变式8-3】如图，在中，，，是的内切圆，它与、、分别相切于点D、E、F．求的半径． 【答案】 【分析】首先连接、、，进而利用切线的性质得出，进而得出四边形是正方形，再利用勾股定理求出的半径． 【详解】解：连接、、， ∵是的内切圆，切点为D、E、F， ∴， 又∵， ∴四边形是正方形， 设， 则， 在中，， ∴， 又， ∴， 得：， ∴的半径是． 【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质，切线长定理，正方形的性质和判定，解题的关键是掌握“圆的切线垂直于经过切点的半径”，“从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等”． 基础巩固通关测 一、单选题 1．已知的直径为12，点O到直线l上一点的距离为，则直线l与的位置关系（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】D 【分析】根据圆心到直线的距离与圆半径之间的大小关系，判断直线与圆的位置关系即可． 【详解】解：∵的直径为12， ∴的半径为6， ∵点O到直线l上一点的距离为，无法确定点O到直线l的距离， ∴不能确定直线l与的位置关系， 故选D． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系．熟练掌握圆心到直线的距离与圆半径之间的大小关系，判断直线与圆的位置关系，是解题的关键． 2．如图，AB是圆O的直径，PA切圆O于点A，PO交圆O于点C，连接BC，若∠P＝18°，则∠B等于（    ） A．36° B．30° C．27° D．45° 【答案】A 【分析】由切线的性质可得∠PAB=90°，根据直角三角形的两锐角互余计算出∠POA=72°，最后根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和，以及等边对等角即可求出∠B． 【详解】解：∵PA切⊙O于点A， ∴∠PAB=90°， ∵∠P=18°， ∴∠POA=90°-18°=72°， ∵∠POA =∠OCB+∠B，OC=OB， ∴∠B=∠OCB==36°， 故选A． 【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握圆的切线垂直于过切点的半径是关键． 3．如图，正六边形内接于⊙，若⊙的周长等于，则正六边形的边长为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】连接OB，OC，由⊙O的周长等于6π，可得⊙O的半径，又由圆的内接多边形的性质，即可求得答案． 【详解】解：连接OB，OC， ∵⊙O的周长等于6π， ∴⊙O的半径为：3， ∵∠BOC360°＝60°， ∵OB＝OC， ∴△OBC是等边三角形， ∴BC＝OB＝3， ∴它的内接正六边形ABCDEF的边长为3， 故选：C． 【点睛】此题考查了正多边形与圆的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 4．在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫，如图，将“雪花”图案（边长为4的正六边形ABCDEF）放在平面直角坐标系中，若AB与x轴垂直，顶点A的坐标为（2，-3）．则顶点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正六边形的性质以及坐标与图形的性质进行计算即可． 【详解】解：如图，连接BD交CF于点M，交y轴于点N，设AB交x轴于点P， 根据题意得：BD∥x轴，AB∥y轴，BD⊥AB，∠BCD=120°，AB=BC=CD=4， ∴BN=OP，∠CBD=CDB=30°，BD⊥y轴， ∴， ∴， ∵点A的坐标为（2，-3）， ∴AP=3，OP=BN=2， ∴，BP=1， ∴点C的纵坐标为1+2=3， ∴点C的坐标为． 故选：A 【点睛】本题考查正多边形，勾股定理，直角三角形的性质，掌握正六边形的性质以及勾股定理是正确计算的前提，理解坐标与图形的性质是解决问题的关键． 5．如图，，圆心在直线上的半径为，，若沿方向移动，当圆心O移动的距离为（    ）时，与直线相切． A．1 B．4 C．5 D．1或5 【答案】D 【分析】根据题意及切线的性质可分两种情况进行分析求解． 【详解】解：①设PA与相切于点D，如图： ∴， ∵，， ∴， ∴； ②设PA与相切于点E，如图： ∴， ∵，， ∴， ∴； 综上所述：当圆心O移动的距离为或5cm时，与直线相切； 故选D． 【点睛】本题主要考查切线的性质及含30°直角三角形的性质，熟练掌握切线的性质及含30°直角三角形的性质是解题的关键． 二、填空题 6．已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是 ． 【答案】相交或相切 【分析】利用因式分解法求得一元二次方程的两个根，再根据直线与圆的位置关系求解即可． 【详解】解：由可得 解得， 即的半径是3或4 当的半径是3时，，即，直线与圆相切， 当的半径是4时，，即，直线与圆相交， 故答案为：相交或相切 【点睛】此题考查了一元二次方程的求解以及直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握一元二次方程的求解以及直线与圆的位置关系． 7．在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是 ．（写一个条件即可） 【答案】∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一） 【分析】根据切线的判定条件，只需要得到∠BAT=90°即可求解，因此只需要添加条件：∠ABT=∠ATB=45°即可． 【详解】解：添加条件：∠ABT=∠ATB=45°， ∵∠ABT=∠ATB=45°， ∴∠BAT=90°， 又∵AB是圆O的直径， ∴AT是圆O的切线， 故答案为：∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，三角形内角和定理，熟知圆切线的判定条件是解题的关键． 8. 第29届自贡国际恐龙灯会“辉煌新时代”主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案，小华量得图中一边与对角线的夹角，算出这个正多边形的边数是    【答案】12 【分析】根据三角形内角和定理以及正多边形的性质，得出，然后可得每一个外角为，进而即可求解． 【详解】解：依题意，，， ∴ ∴ ∴这个正多边形的一个外角为， 所以这个多边形的边数为， 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，正多边形的性质，正多边形的外角与边数的关系，熟练掌握正多边的外角和等于360°是解题的关键． 9.如图，已知正六边形的边长是6，点P是上一动点，则的最小值是 ．    【答案】12 【分析】易知点B关于的对称点为点F，连接交于点P，根据轴对称的性质进行解答即可． 【详解】解：利用正多边形的性质可得点B关于的对称点为点F，连接交于点P， 那么有，此时最小．    ∵六边形是正六边形，对角线交于P， ∴都是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，轴对称的性质，掌握正六边形的性质以及轴对称路线最短问题的解题方法是正确解答的关键． 10.如图，直线相交于点O，，半径为1cm的的圆心在射线上，且与点O的距离为6cm，如果以的速度沿A向B的方向移动，则经过 秒后与直线相切． 【答案】4或8##8或4 【分析】分类讨论：当点P在射线时与相切，过P作与E，根据切线的性质得到，再利用含的直角三角形三边的关系得到，则的圆心在直线上向右移动了后与相切，即可得到移动所用的时间；当点P在射线时与相切，过P作于F，同前面一样易得到此时移动所用的时间． 【详解】解：当点P在射线上与相切，如图，过P作与E， ∴， ∵， ∴， ∴的圆心在直线上向右移动了后与相切， ∴移动所用的时间（秒)； 当点P在射线上与相切，如图，过P作与F， ∴， ∵， ∴， ∴的圆心在直线上向右移动了后与相切， ∴移动所用的时间（秒)． 故答案为：4或8． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：直线与有三种位置关系（相切、相交、相离）．也考查了切线的性质． 三、解答题 11．明达中学在校园里建了一个读书亭．它的地基是半径为4米的正六边形． (1)求地基的周长是多少？ (2)求地基的面积是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，求出圆心角的度数，再由等边三角形的性质即可求出正六边形的周长； （2）过O作，利用等边三角形及特殊角的三角函数值可求出的长，利用三角形的面积公式即可解答． 【详解】（1）解：如图，连接； ∵六边形是正六边形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴正六边形的周长． （2）解：过O作于G， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是正六边形及等边三角形的性质、特殊角的三角函数值，作出辅助线构造出等边三角形是解答此题的关键． 12.请阅读材料，并完成相应的任务：学习了圆的切线以后，某课外小组的同学们发现，过圆外一点可以画圆的两条切线．如图1，为外一点，过点可以画的两条切线，．切点分别为． [发现结论]智慧小组在操作中发现，沿直线将图形对折，可以得出结论：． [证明结论]启迪小组为了证明上述结论的正确性，做了如下证明： 如图2，连接和． ∵是⊙的两条切线， ∴．（依据） ∴． … 任务： (1)请写出括号中的依据：_________； (2)请将上面的证明过程补充完整； (3)如图2，在中，为的两条切线，分别为它们的切点，的半径为5，．连接，请直接写出的周长． 【答案】(1)圆的切线垂直于过切点的半径 (2)见解析 (3) 【分析】（1）直接根据切线的性质填写即可； （2）根据已知信息利用“”定理证明三角形全等，从而得出结论； （3）由已知结论确定为等边三角形，然后根据已证得的结论和已知条件求出，从而求得结论即可． 【详解】（1）解：根据圆的切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径， 故答案为：圆的切线垂直于过切点的半径； （2）证：∵是的两条切线， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴为等边三角形， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴的周长为． 【点睛】本题考查圆的切线的性质的证明和运算，以及解直角三角形等，掌握圆的切线的性质，熟练运用解三角形的方法是解题关键． 13..如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于D点，连接CD． （1）求证：∠A=∠BCD； （2）若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由． 【答案】（1）证明见试题解析；（2）M为BC的中点． 【详解】试题分析：（1）根据圆周角定理可得∠ADC=90°，再根据直角三角形的性质可得∠A+∠DCA=90°，再由∠DCB+∠ACD=90°，可得∠DCB=∠A； （2）当MC=MD时，直线DM与⊙O相切，连接DO，根据等等边对等角可得∠1=∠2，∠4=∠3，再根据∠ACB=90°可得∠1+∠3=90°，进而证得直线DM与⊙O相切． 试题解析：（1）证明：∵AC为直径， ∴∠ADC=90°， ∴∠A+∠DCA=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠DCB+∠ACD=90°， ∴∠DCB=∠A； （2）当MC=MD（或点M是BC的中点）时，直线DM与⊙O相切； 解：连接DO， ∵DO=CO， ∴∠1=∠2， ∵DM=CM， ∴∠4=∠3， ∵∠2+∠4=90°， ∴∠1+∠3=90°， ∴直线DM与⊙O相切， 故当MC=MD（或点M是BC的中点）时，直线DM与⊙O相切． 考点：切线的判定． 14．如图，在中，，以为直径的交与点，过点作于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求半径长． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为4 【分析】（1）连接，只要证明即可； （2）连接，在中，求出，再在中，求出，最后求出的半径即可． 【详解】（1）证明：连接 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴是的切线. （2）连接 在中，， ∴ 在中， ∴ ∴ ∴的半径为4. 【点睛】本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可． 15．如图，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E．F是延长线上的一点，且．    (1)求证：为的切线； (2)连接．若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图，连接．证明即可； （2）设，则，在中，，可得，再根据勾股定理可解决问题． 【详解】（1）如图，连接，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是直径，D是的中点， ∴， ∴， ∴，即， ∵是半径， ∴是的切线． （2）设，则， 在中， ∴，解得， ∴， ∵ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线． 能力提升进阶练 一、单选题 1．如图，有一个亭子，它的地基是边长为4m的正六边形，则地基的面积为（　　） A．4m2 B．12m2 C．24m2 D．24m2 【答案】D 【分析】先根据等边三角形的性质求出△OBC的面积，然后由地基的面积是△OBC的6倍即可得到答案 【详解】解：如图所示，正六边形ABCDEF，连接OB，OC，过点O作OP⊥BC于P， 由题意得：BC=4cm， ∵六边形ABCD是正六边形， ∴∠BOC=360°÷6=60°， 又∵OB=OC， ∴△OBC是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，等边三角形的性质与判定，勾股定理，熟知正多边形和圆的关系是解题的关键． 2．如图，已知是以数轴原点为圆心，半径为1的圆，，点在数轴上运动，若过点且与平行的直线与有公共点，设，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，知直线和圆有公共点，则相切或相交，相切时，设切点为C，连接，根据等腰直角三角形的直角边是圆的半径1，求得斜边是，所以x的取值范围是． 【详解】解：设切点为，连接，则 圆的半径，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理，原点左侧的距离也是，且线段是正数 所以x的取值范围是 故选：B． 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，以及直径所对的圆周角是直角等知识，解题关键是求出相切的时候的x值，即可分析出x的取值范围． 3．如图，在四边形中，，以为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为．若，则的值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作延长线于点，连接，根据圆的基本性质以及切线的性质，分别利用勾股定理求解在和，最终得到，即可根据正弦函数的定义求解． 【详解】解：如图所示，作延长线于点，连接，    ∵，， ∴， ∴四边形为矩形，，， ∴为的切线， 由题意，为的切线， ∴，， ∵， ∴设，，， 则，， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查圆的切线的判定与性质，解直角三角形，以及正弦函数的定义等，综合性较强，熟练运用圆的相关性质以及切线的性质等是解题关键． 4．如图，为的切线，E为切点，CD为的直径，延长与交于点B，连接，，若，，，则的长为（    ）      A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据切线的性质得到，在直角中，利用勾股定理求出，再证明，得到，继而求出． 【详解】解：∵为的切线， ∴，， 设， 在直角中，， 即， 解得：，即， ∴， ∴， ∵，， ∴，设， ∴，即， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是利用勾股定理求出，利用相似三角形的性质得到比例式． 5．如图，正方形的边长为2，点是射线上一个动点，点在上，且满足，则线段的最小值为　　 A． B．1 C． D． 【分析】根据已知证明，再证出，，说明点的运动轨迹是在以为直径的圆上，再根据点圆关系求出最值即可． 【解答】解：如图，连接， ，且， ， ， ， ， ， ， ， 点的运动轨迹是在以为直径的圆上， 如图，取中点，连接交于，则此时最小， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了正方形的性质、相似三角形的性质等知识点的应用，点圆关系取最值的应用是解题关键． 三、填空题 6．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点重合，轴，交轴于点．将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点A的坐标为 【答案】 【分析】首先确定点A的坐标，再根据4次一个循环，推出经过第次旋转后点的坐标即可． 【详解】解：∵正六边形边长为2，中心与原点O重合，轴， ∴， ∴， ∴第1次旋转结束时，点A的坐标为， 第2次旋转结束时，点A的坐标为， 第3次旋转结束时，点A的坐标为， 第4次旋转结束时，点A的坐标为， ∴4次一个循环， ∵， ∴第次旋转结束时，点A的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查正多边形的性质，规律型问题，坐标与图形变化——旋转等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型． 7．在九年级《数学实验手册》中，我们探究了最小覆盖圆与图形之间的关系．现有如图所示的等边三角形，边长为，若分别以顶点为圆心作三个等圆，这三个等圆能完全覆盖，则所作等圆的最小半径是 ． 【答案】 【分析】根据等边三角形的性质及全等三角形的判定得到，再利用全等三角形的性质及等边三角形的性质得到，最后利用直角三角形的性质及勾股定理即可解答． 【详解】解：当三个等圆相交与一点时，此时恰好能完全覆盖， 设这个点为，连接，此时或或是所作等圆的最小半径， ∵为等边三角形， ∴，， 由题意可知：， 在和中， ， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 延长交于点， ∵，平分， ∴，， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴所作等圆的最小半径为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键． 8．如图，在中，，，，的半径为．在内平移（可以沿边界移动），则点到上的点的距离最大值 ． 【答案】## 【分析】当与和都相切时，连接并延长交于点D，则为点到上的点的距离最大值． 【详解】解：如图，设与和的切点分别为F，E，连接，，连接并延长交于点D， 则，， 在中，，，， ，， ，，， ， 的半径为， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查切线的定义，角平分线性质定理的逆定理，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等，解题的关键是确定点到上的点的距离取最大值时的位置． 9. 如图，点是正六边形内一点，，当时，连接，则线段的最小值 是    【答案】 【分析】由正六边形可知，，，，由，，可知在以为直径的圆上运动，作以为直径的，连接，与交点即为，连接，则，过作于，则，，则，，，勾股定理得，，根据的最小值为，计算求解即可． 【详解】解：由正六边形可知，，，， ∵，， ∴在以为直径的圆上运动， 如图，作以为直径的，连接，与交点即为，连接，则， 过作于，则，，    ∴，， ∴， 由勾股定理得，， ∴的最小值为， 【点睛】本题考查了正多边形的性质，等边对等角，正弦，勾股定理，的圆周角所对的弦为直径．解题的关键在于确定点的运动轨迹． 10. 如图，中，，边与以为直径的相切于点B，将绕点A顺时针旋转，记旋转角度为，旋转过程中，的边与相切时，的值为 ． 【答案】， 【分析】分与相切、与相切两种情况求解即可． 【详解】解：当与相切时，如图1， 旋转角的值为， 当与相切时，如图2， 此时，旋转角的值为， 故答案为：， 【点睛】本题主要考查了切线的判定与性质，正确进行分类讨论是解答本题的关键． 四、解答题 11.我们学习了平面图形的镶嵌，即用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．镶嵌平面的图形有很多，值得我们研究的问题也有许多！如图，小亮同学用绘画的方法，设计的一个正三角形的平面镶嵌图，如果整个镶嵌图三角形ABC的面积为75，则图中阴影部分的面积是多少？    【答案】 【分析】设图中小等边三角形的高为，则等边三角形的高为，正六边形的高为，推出每个小正六边形的面积，推出阴影部分的面积为，再利用的面积，求出可得结论． 【详解】解：设图中小等边三角形的高为，则等边三角形的高为，正六边形的高为， 每个小正六边形的面积， 阴影部分的面积为， 的面积为75， ， ， 阴影部分的面积， 【点睛】本题考查平面镶嵌，等边三角形的面积，正多边形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 12．已知点是菱形对角线上的点，以点为圆心，为半径的圆与相切于点．    (1)求证：与相切； (2)若的半径为6，求菱形的边长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，，根据菱形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，于是得到结论； （2）根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到，求得，于是得到结论． 【详解】（1）证明：连接，，    四边形是菱形， ，， ， ， ，， 是的切线， ， ， 与相切； （2）解：， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， 菱形的边长为． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 13.如图，与的边相交于点，与相切于点、与边交于点，，是的直径． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据平行线的性质得出，，根据等腰三角形的性质得出，即可得出，进而证得，得到，即可证得结论； （2）根据切线长定理和勾股定理求出，，证明，根据相似三角形的性质求出，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ，， ， 与相切于点， ， 在和中， ， ， ， 是半径， 是的切线； （2）解：、是的切线， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故的半径长为． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 14．如图，以为直径的上有两点E、F，，过点E作直线交的延长线于点，交的延长线于点，过作平分交于点，交于点N．    (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)如果N是的中点，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)6 【分析】（1）连接，由，得，可得，，又，故，是的切线； （2）先证明，，可得，； （3）证明，可得，又，可得，在中，，求出，故． 【详解】（1）证明：连接，如图：    ， ， ， ， ， ∴， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）证明：如图：连接，    由（1）知是的切线， ∴， ∵为直径的， ∴， ∴， ∵， ∴， ， 平分， ， ， ， ； （3）解：如图：    由（2）知，， ， ， ， ， 是的中点， ， ，， ，， ， ， ， 在中，， ， ， ， ． 的长为6． 【点睛】本题考查切线的判定与性质，圆周角定理及其推论，三角形相似的判定与性质，勾股定理，待腰三角形判定与性质，解题的关键是掌握切线的判定与性质和相似三角形的判定与性质． 15．等腰Rt△ABC和⊙O如图放置，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，⊙O的半径为1，圆心O与直线AB的距离为5． （1）若△ABC以每秒2个单位的速度向右移动，⊙O不动，则经过多少时间△ABC的边与圆第一次相切？ （2）若两个图形同时向右移动，△ABC的速度为每秒2个单位，⊙O的速度为每秒1个单位，则经过多少时间△ABC的边与圆第一次相切？ （3）若两个图形同时向右移动，△ABC的速度为每秒2个单位，⊙O的速度为每秒1个单位，同时△ABC的边长AB、BC都以每秒0.5个单位沿BA、BC方向增大．△ABC的边与圆第一次相切时，点B运动了多少距离？ 【答案】（1）；（2） ；（3） 【详解】分析：（1）分析易得，第一次相切时，与斜边相切，假设此时，△ABC移至△A′B′C′处，A′C′与⊙O切于点E，连OE并延长，交B′C′于F．由切线长定理易得CC′的长，进而由三角形运动的速度可得答案； （2）设运动的时间为t秒，根据题意得：CC′=2t，DD′=t，则C′D′=CD+DD′-CC′=4+t-2t=4-t，由第（1）的结论列式得出结果； （3）求出相切的时间，进而得出B点移动的距离． 详解：（1）假设第一次相切时，△ABC移至△A′B′C′处， 如图1，A′C′与⊙O切于点E，连接OE并延长，交B′C′于F， 设⊙O与直线l切于点D，连接OD，则OE⊥A′C′，OD⊥直线l， 由切线长定理可知C′E=C′D， 设C′D=x，则C′E=x， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠A=∠ACB=45°， ∴∠A′C′B′=∠ACB=45°， ∴△EFC′是等腰直角三角形， ∴C′F=x，∠OFD=45°， ∴△OFD也是等腰直角三角形， ∴OD=DF， ∴x+x=1，则x=-1， ∴CC′=BD-BC-C′D=5-1-（-1）=5-， ∴点C运动的时间为； 则经过秒，△ABC的边与圆第一次相切； （2）如图2，设经过t秒△ABC的边与圆第一次相切，△ABC移至△A′B′C′处，⊙O与BC所在直线的切点D移至D′处， A′C′与⊙O切于点E，连OE并延长，交B′C′于F， ∵CC′=2t，DD′=t， ∴C′D′=CD+DD′-CC′=4+t-2t=4-t， 由切线长定理得C′E=C′D′=4-t， 由（1）得：4-t=-1， 解得：t=5-， 答：经过5-秒△ABC的边与圆第一次相切； （3）由（2）得CC′=（2+0.5）t=2.5t，DD′=t， 则C′D′=CD+DD′-CC′=4+t-2.5t=4-1.5t， 由切线长定理得C′E=C′D′=4-1.5t， 由（1）得：4-1.5t=-1， 解得：t=， ∴点B运动的距离为2×=． 点睛：本题要求学生熟练掌握圆与直线的位置关系，并结合动点问题进行综合分析，比较复杂，难度较大，考查了学生数形结合的分析能力． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $