专题01 相似性（期末复习讲义）九年级数学上学期北京版

该初中数学相似性期末复习讲义通过表格化梳理核心考点、复习目标与考情规律，结合分层知识点框架呈现相似图形、比例线段、相似三角形判定与性质等内容，明确易错点与命题趋势，构建逻辑清晰的知识网络。 讲义亮点在于题型化方法指导，如比例性质应用的“设k法”、相似三角形判定的“AA/SAS/SSS”推理技巧，配套典例与变式题分层训练，如测量物体高度的实际应用题培养模型意识，综合题提升推理能力。基础通关、重难突破、综合拓展练习满足不同学生需求，助力教师精准教学与学生自主复习。

专题01 相似性（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 比例的基本性质 能熟练运用比例的基本性质（如交叉相乘）进行比例式的变形和求解，准确率达到95%以上。 易错点：比例式变形时符号出错；忽略比例存在的前提条件（分母不为0）。 命题趋势：常结合实际问题或几何图形中的线段比进行考查。 成比例线段的概念 能准确判断四条线段是否成比例，并能根据比例关系求出未知线段的长度，解决问题的正确率不低于90%。 易错点：对成比例线段的顺序性理解不清；单位不统一直接进行比例计算。 考情规律：多以选择题或填空题形式考查基本概念和简单计算。 相似多边形的定义与性质 能根据相似多边形的定义判断两个多边形是否相似，并能运用其性质（对应边成比例、对应角相等）解决角度和边长计算问题，步骤完整且结果正确。 易错点：混淆相似比与面积比、周长比的关系；忽略“对应”关系，导致边角对应错误。命题趋势：常与矩形、菱形等特殊四边形结合考查性质应用。 相似三角形的判定定理 能熟练运用“AA”、“SAS”、“SSS”判定定理证明两个三角形相似，并能规范书写证明过程，证明思路清晰，依据准确。 易错点：“SSA”错误判定；对应边比例关系找错；证明过程不严谨，缺少关键步骤或依据。考情规律：是必考重点，常出现在解答题中，难度中等。 相似三角形的性质 能运用相似三角形的性质（对应边成比例、对应角相等、周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方）解决线段长度、角度、周长及面积计算问题，方法选择恰当，计算准确。 易错点：面积比与相似比的关系记忆错误（平方关系）；在复杂图形中找不到相似三角形的对应关系。 命题趋势：常与三角形全等、四边形、圆等知识结合，综合性较强。 相似三角形的应用 能运用相似三角形的知识解决实际问题（如测量高度、宽度、距离等），能构建数学模型，将实际问题转化为相似三角形问题并求解，答案符合实际意义。 易错点：不会构造相似三角形模型；测量数据与模型结合不当；计算结果未带单位或不符合实际。 考情规律：多以应用题形式出现，考查学生的建模能力和应用意识。 利用相似解决综合题 能综合运用相似三角形的判定与性质、比例线段等知识解决较为复杂的几何综合题（如动态几何问题、存在性问题等），能进行逻辑推理和代数计算 易错点：无法从复杂图形中分解出基本相似模型；动态问题中，分类讨论不全面；计算量大时易出错。 考情规律：是拉开差距的难点题型，出现在压轴题或倒数第二题的位置，区分度高。 知识点01 相似图形 定义：形状相同、大小不一定相同的图形称为相似图形。 本质特征：对应角相等，对应边成比例（全等图形是相似图形的特殊情况，相似比为1）。 示例：所有正三角形相似；不同尺寸的同一照片是相似图形。 易错点：仅形状相同但对应边不成比例的图形不是相似图形（如正方形和菱形不一定相似，需满足对应角相等）。 知识点02 相似多边形 定义：两个边数相同的多边形，若对应角相等且对应边成比例，则称为相似多边形。 性质： 对应角相等，对应边成比例； 周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 示例：两个相似四边形的相似比为2:3，则周长比为2:3，面积比为4:9。 知识点03 相似三角形的判定定理 判定1（AA）：两角分别相等的两个三角形相似。 示例：在和中，若，，则。 判定2（SAS）：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 示例：若且，则。 判定3（SSS）：三边成比例的两个三角形相似。 示例：若，则。 易错点：“SSA”不能判定相似（如两边成比例但非夹角相等时，不一定相似）。 知识点04 相似三角形的性质 对应边成比例：； 对应角相等：，，； 对应线段（高、中线、角平分线）的比等于相似比：设对应高分别为，则； 周长比等于相似比：； 面积比等于相似比的平方：。 示例：若，相似比 k=2 ，则面积比为 4:1 。 知识点05 比例线段与黄金分割 比例线段 定义：四条线段 a, b, c, d 中，若，则这四条线段称为成比例线段，简称比例线段。 基本性质：若，则 ad = bc （交叉相乘相等）。 合比性质：若，则。 等比性质：若（），则。 示例：若，则，。 黄金分割 定义：点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC （AC > BC )，若，则称点 C 是 AB 的黄金分割点，比值为。 公式：若 AB = 1 ，则，。 示例：主持人站在舞台黄金分割点处（约距舞台一端0.618倍舞台长度），视觉效果最佳。 知识点06 相似三角形的应用 测量物体高度 原理：利用阳光下的影子（同一时刻，物高与影长成正比）或标杆、镜子反射等构造相似三角形。 示例：测得某物体影长为6m，同时测得1m标杆影长为0.5m，则物体高度。 解决几何综合问题 思路：通过相似三角形对应边成比例建立方程，求解未知线段长度。 示例：在中，( DE //BC )，，，，则，相似比，故)。 题型一 比例的基本性质应用 解｜题｜技｜巧 1. 熟练掌握比例的基本性质：若，则（交叉相乘），反之亦然。 2. 合比性质：若，则。 3. 分比性质：若，则。 4. 等比性质：若（），则。在使用等比性质时，务必注意分母之和不为零的前提条件。 5. 设“k”法：对于连比或已知比例关系求比值问题，可设比值为k，将各量用含k的代数式表示，再代入计算，使问题简化。 【典例1】已知，求的值 ，，，， 【变式1】若，且，求x，y，z的值。 【变式2】已知，求k的值。 题型二 相似三角形的判定 解｜题｜技｜巧 1. 平行线法（预备定理）：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 2. 三边对应成比例，两三角形相似。 3. 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 4. 两角对应相等，两三角形相似。 5. 直角三角形相似的特殊判定： · 以上一般三角形相似的判定方法均适用。 · 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 6. 判定三角形相似时，要注意公共角、对顶角、邻补角等隐含条件，优先考虑“两角对应相等”的判定方法，因为它条件简单，应用广泛。 7. 利用“两边对应成比例且夹角相等”判定时，务必注意是“夹角”，若不是夹角，则两个三角形不一定相似。 【典例】如图，在中，点D，E分别是边，上的点，连接，添加下列条件，不能判定和相似的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，，下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，已知在中，点D在边上，那么下列条件中，能判定相似的是（    ） A． B． C． D． 题型三 相似三角形的性质 解｜题｜技｜巧 1. 相似三角形的对应角相等，对应边成比例。 2. 相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。 3. 相似三角形周长的比等于相似比。 4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方。 5. 运用相似三角形性质时，关键是找准对应边、对应角、对应高（中线、角平分线）等，通常可通过相似三角形的书写顺序来确定对应关系。 6. 已知相似比求面积比或已知面积比求相似比是常见题型，需牢记面积比是相似比的平方，反之，相似比是面积比的算术平方根。 【典例】如图，D，E分别是的边，上的点，且，连接，相交于点F，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，，，其中，的长为（   ） A． B． C． D．2 【变式2】若，和是对应边，且，，则与的周长比是（   ） A． B． C． D． 题型四 相似多边形 解｜题｜技｜巧 1. 理解相似多边形定义：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形。判断两个多边形是否相似，必须同时满足这两个条件，缺一不可。 2. 掌握相似比概念：相似多边形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。注意相似比具有顺序性，若多边形A与多边形B的相似比为k，则多边形B与多边形A的相似比为1/k。 3. 运用相似多边形性质：相似多边形的周长比等于相似比；相似多边形的面积比等于相似比的平方。在计算周长或面积关系时，需先明确相似比。 4. 解决实际问题步骤：① 确定两个多边形是否相似（证明对应角相等，对应边成比例）；② 找出已知条件中的对应边或周长、面积关系；③ 设出相似比或未知量，根据性质列出比例式或方程；④ 解方程求出结果并检验。 【典例】下列图形中，相似多边形是（   ）    A．甲与乙 B．乙与丙 C．丙与丁 D．乙与丁 【变式1】如图，六边形六边形，相似比为，则下列结论正确的是（   ） A． B．六边形的周长：六边形的周长 C． D． 【变式2】如图，五边形五边形，若，，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 题型五 黄金分割 解｜题｜技｜巧 1. 理解黄金分割定义：点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC），如果=，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，其值为=≈0.618。 2. 牢记黄金比公式：若AB=a，点C为AB的黄金分割点（AC>BC），则AC==·a 3. 识别黄金分割点：一条线段有两个黄金分割点，分别在线段的两端附近，且关于线段中点不对称。 4. 应用黄金分割解题：① 已知线段长度，求黄金分割点分得的线段长，直接代入黄金比公式计算；② 已知某线段是另一线段的黄金分割线段，根据比例关系=列方程求解；③ 在实际问题中（如人体比例、建筑设计等），若涉及黄金分割，先确定哪条线段是整体，哪个点是黄金分割点，再运用定义或公式计算。 【典例】黄金分割（比值约为）具有比例性、和谐性，通过黄金分割比例优化笔画分布，可使字形呈现动态平衡美感．如图，“寸”字的横画与竖钩的交接处点恰好是横画的黄金分割点（），若横画的长为，则的长为（    ）（结果保留到） A． B． C． D． 【变式1】大自然巧夺天工，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点是线段的黄金分割点，，若，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【变式2】如图所示，相同的瓶子里装入了不同的水量，用棒敲击瓶子时，可发出不同音调．通过实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金比时，可以发出“”的音符．若，则水面高度为（   ） A．4.6cm B．6.4cm C．7.2cm D．7.4cm 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．如图，，若，，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 2．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．如图，，，其中，的长为（   ） A． B． C． D．2 4．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 5．下列图形中，相似多边形是（   ）    A．甲与乙 B．乙与丙 C．丙与丁 D．乙与丁 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 6．如图，、分别是的边、上的点，那么添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于点，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 8．如图，，若，，，则的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．9 9．，，，是成比例线段，其中，，，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中，是的角平分线是（    ） A． B． C． D． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 11．如图，在中，点D、E、F分别在、、上， ，，． (1)求证：； (2)若的面积是20，求的面积． 12．如图，在中，，过AC上一点E作交AB于点F，过点A作交的延长线于点D． (1)求证：； (2)若，，，求BF的长． 13．已知在梯形中，，； (1)求证：； (2)连接，若，求证：． 14．如图，，，求证：． 15．如图，在，，是斜边上的高． (1)请写出图中所有的相似三角形，并任选一组进行证明； (2)若，，求的面积． 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 相似性（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 比例的基本性质 能熟练运用比例的基本性质（如交叉相乘）进行比例式的变形和求解，准确率达到95%以上。 易错点：比例式变形时符号出错；忽略比例存在的前提条件（分母不为0）。 命题趋势：常结合实际问题或几何图形中的线段比进行考查。 成比例线段的概念 能准确判断四条线段是否成比例，并能根据比例关系求出未知线段的长度，解决问题的正确率不低于90%。 易错点：对成比例线段的顺序性理解不清；单位不统一直接进行比例计算。 考情规律：多以选择题或填空题形式考查基本概念和简单计算。 相似多边形的定义与性质 能根据相似多边形的定义判断两个多边形是否相似，并能运用其性质（对应边成比例、对应角相等）解决角度和边长计算问题，步骤完整且结果正确。 易错点：混淆相似比与面积比、周长比的关系；忽略“对应”关系，导致边角对应错误。命题趋势：常与矩形、菱形等特殊四边形结合考查性质应用。 相似三角形的判定定理 能熟练运用“AA”、“SAS”、“SSS”判定定理证明两个三角形相似，并能规范书写证明过程，证明思路清晰，依据准确。 易错点：“SSA”错误判定；对应边比例关系找错；证明过程不严谨，缺少关键步骤或依据。考情规律：是必考重点，常出现在解答题中，难度中等。 相似三角形的性质 能运用相似三角形的性质（对应边成比例、对应角相等、周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方）解决线段长度、角度、周长及面积计算问题，方法选择恰当，计算准确。 易错点：面积比与相似比的关系记忆错误（平方关系）；在复杂图形中找不到相似三角形的对应关系。 命题趋势：常与三角形全等、四边形、圆等知识结合，综合性较强。 相似三角形的应用 能运用相似三角形的知识解决实际问题（如测量高度、宽度、距离等），能构建数学模型，将实际问题转化为相似三角形问题并求解，答案符合实际意义。 易错点：不会构造相似三角形模型；测量数据与模型结合不当；计算结果未带单位或不符合实际。 考情规律：多以应用题形式出现，考查学生的建模能力和应用意识。 利用相似解决综合题 能综合运用相似三角形的判定与性质、比例线段等知识解决较为复杂的几何综合题（如动态几何问题、存在性问题等），能进行逻辑推理和代数计算 易错点：无法从复杂图形中分解出基本相似模型；动态问题中，分类讨论不全面；计算量大时易出错。 考情规律：是拉开差距的难点题型，出现在压轴题或倒数第二题的位置，区分度高。 知识点01 相似图形 定义：形状相同、大小不一定相同的图形称为相似图形。 本质特征：对应角相等，对应边成比例（全等图形是相似图形的特殊情况，相似比为1）。 示例：所有正三角形相似；不同尺寸的同一照片是相似图形。 易错点：仅形状相同但对应边不成比例的图形不是相似图形（如正方形和菱形不一定相似，需满足对应角相等）。 知识点02 相似多边形 定义：两个边数相同的多边形，若对应角相等且对应边成比例，则称为相似多边形。 性质： 对应角相等，对应边成比例； 周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 示例：两个相似四边形的相似比为2:3，则周长比为2:3，面积比为4:9。 知识点03 相似三角形的判定定理 判定1（AA）：两角分别相等的两个三角形相似。 示例：在和中，若，，则。 判定2（SAS）：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 示例：若且，则。 判定3（SSS）：三边成比例的两个三角形相似。 示例：若，则。 易错点：“SSA”不能判定相似（如两边成比例但非夹角相等时，不一定相似）。 知识点04 相似三角形的性质 对应边成比例：； 对应角相等：，，； 对应线段（高、中线、角平分线）的比等于相似比：设对应高分别为，则； 周长比等于相似比：； 面积比等于相似比的平方：。 示例：若，相似比 k=2 ，则面积比为 4:1 。 知识点05 比例线段与黄金分割 比例线段 定义：四条线段 a, b, c, d 中，若，则这四条线段称为成比例线段，简称比例线段。 基本性质：若，则 ad = bc （交叉相乘相等）。 合比性质：若，则。 等比性质：若（），则。 示例：若，则，。 黄金分割 定义：点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC （AC > BC )，若，则称点 C 是 AB 的黄金分割点，比值为。 公式：若 AB = 1 ，则，。 示例：主持人站在舞台黄金分割点处（约距舞台一端0.618倍舞台长度），视觉效果最佳。 知识点06 相似三角形的应用 测量物体高度 原理：利用阳光下的影子（同一时刻，物高与影长成正比）或标杆、镜子反射等构造相似三角形。 示例：测得某物体影长为6m，同时测得1m标杆影长为0.5m，则物体高度。 解决几何综合问题 思路：通过相似三角形对应边成比例建立方程，求解未知线段长度。 示例：在中，( DE //BC )，，，，则，相似比，故)。 题型一 比例的基本性质应用 解｜题｜技｜巧 1. 熟练掌握比例的基本性质：若，则（交叉相乘），反之亦然。 2. 合比性质：若，则。 3. 分比性质：若，则。 4. 等比性质：若（），则。在使用等比性质时，务必注意分母之和不为零的前提条件。 5. 设“k”法：对于连比或已知比例关系求比值问题，可设比值为k，将各量用含k的代数式表示，再代入计算，使问题简化。 【典例1】已知，求的值 ，，，， 分析与解答： 本题考查比例的合比性质。已知，根据合比性质：。将代入，可得。 答案： 【变式1】若，且，求x，y，z的值。 分析与解答： 本题可使用设“k”法求解。设，则，，。将其代入，可得，即。所以，，。 答案：，， 【变式2】已知，求k的值。 分析与解答： 本题需分情况讨论，考查等比性质的应用条件。 情况一：当时，根据等比性质，。 情况二：当时，则，将其代入，可得。 综上，k的值为或。 答案：或 题型二 相似三角形的判定 解｜题｜技｜巧 1. 平行线法（预备定理）：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 2. 三边对应成比例，两三角形相似。 3. 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 4. 两角对应相等，两三角形相似。 5. 直角三角形相似的特殊判定： · 以上一般三角形相似的判定方法均适用。 · 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 6. 判定三角形相似时，要注意公共角、对顶角、邻补角等隐含条件，优先考虑“两角对应相等”的判定方法，因为它条件简单，应用广泛。 7. 利用“两边对应成比例且夹角相等”判定时，务必注意是“夹角”，若不是夹角，则两个三角形不一定相似。 【典例】如图，在中，点D，E分别是边，上的点，连接，添加下列条件，不能判定和相似的是（   ） A． B． C． D． 分析与解答：本题考查了相似三角形的判定方法，相似三角形的判定方法：三边成比例、两角对应相等、两边成比例，夹角相等；据此逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、因为，，所以，故该选项不符合题意； B、因为，，所以，故该选项不符合题意； C、因为，与不一定相等，所以不能判定和相似，故该选项符合题意； D、因为，，所以，故该选项不符合题意； 答案：C 【变式1】如图，，下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 分析与解答：本题主要考查了相似三角形的判定定理，根据相似三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， A、添加条件，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似证明，故此选项不符合题意； B、添加条件，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似证明，故此选项不符合题意； C、添加条件，不可以证明，故此选项符合题意； D、添加条件，可以根据有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似证明，故此选项不符合题意； 答案：C 【变式2】如图，已知在中，点D在边上，那么下列条件中，能判定相似的是（    ） A． B． C． D． 分析与解答：本题考查的是相似三角形的判定，掌握“两个角对应相等的两个三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”是解本题的关键． 由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可判断B，C，D，由两个角对应相等的两个三角形相似可判断A，从而可得答案． 【详解】解：，， ， ，， ， 能判定相似的是 答案：D 题型三 相似三角形的性质 解｜题｜技｜巧 1. 相似三角形的对应角相等，对应边成比例。 2. 相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。 3. 相似三角形周长的比等于相似比。 4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方。 5. 运用相似三角形性质时，关键是找准对应边、对应角、对应高（中线、角平分线）等，通常可通过相似三角形的书写顺序来确定对应关系。 6. 已知相似比求面积比或已知面积比求相似比是常见题型，需牢记面积比是相似比的平方，反之，相似比是面积比的算术平方根。 【典例】如图，D，E分别是的边，上的点，且，连接，相交于点F，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 分析与解答：本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，，根据两个相似三角形的面积比等于相似比的平方可得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴ 答案：D 【变式1】如图，，，其中，的长为（   ） A． B． C． D．2 分析与解答：本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质． 利用相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴. 答案：A 【变式2】若，和是对应边，且，，则与的周长比是（   ） A． B． C． D． 分析与解答：【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的周长比等于相似比求解． 【详解】解：∵，且，， ∴ 相似比为， ∴与的周长比是. 答案：C 题型四 相似多边形 解｜题｜技｜巧 1. 理解相似多边形定义：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形。判断两个多边形是否相似，必须同时满足这两个条件，缺一不可。 2. 掌握相似比概念：相似多边形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。注意相似比具有顺序性，若多边形A与多边形B的相似比为k，则多边形B与多边形A的相似比为1/k。 3. 运用相似多边形性质：相似多边形的周长比等于相似比；相似多边形的面积比等于相似比的平方。在计算周长或面积关系时，需先明确相似比。 4. 解决实际问题步骤：① 确定两个多边形是否相似（证明对应角相等，对应边成比例）；② 找出已知条件中的对应边或周长、面积关系；③ 设出相似比或未知量，根据性质列出比例式或方程；④ 解方程求出结果并检验。 【典例】下列图形中，相似多边形是（   ）    A．甲与乙 B．乙与丙 C．丙与丁 D．乙与丁 分析与解答：本题考查的是相似多边形的判定，根据相似多边形的判定方法可得答案. 【详解】解： ∵甲、乙、丙、丁的邻边之比分别为：；，，，且四个图形的每一个内角都是直角； ∴丙、丁两个图形的对应边成比例，对应角相等. ∴相似的是丙与丁 答案：C 【变式1】如图，六边形六边形，相似比为，则下列结论正确的是（   ） A． B．六边形的周长：六边形的周长 C． D． 分析与解答：本题考查了相似图形的性质，掌握相似图形的性质是关键． 相似图形中，对应角相等，对应边等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，由此即可求解． 【详解】解：∵六边形六边形，相似比为， ∴，故A选项错误，不符合题意； 六边形的周长：六边形的周长，故B选项错误，不符合题意； ，故C选项错误，不符合题意； ，则，故D选项正确，符合题意； 答案：D 【变式2】如图，五边形五边形，若，，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 分析与解答：本题考查了相似多边形的性质．熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 根据相似多边形的性质，即相似多边形的对应角相等，对应边成比例来进行判断． 【详解】解： 五边形五边形， ，，． 已知，，则． 选项A：，错误，该选项不符合题意； 选项B：，错误，该选项不符合题意； 选项C： ，即正确，符合题意； 选项D：，，而不是，选项不符合题意； 答案：C 题型五 黄金分割 解｜题｜技｜巧 1. 理解黄金分割定义：点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC），如果=，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，其值为=≈0.618。 2. 牢记黄金比公式：若AB=a，点C为AB的黄金分割点（AC>BC），则AC==·a 3. 识别黄金分割点：一条线段有两个黄金分割点，分别在线段的两端附近，且关于线段中点不对称。 4. 应用黄金分割解题：① 已知线段长度，求黄金分割点分得的线段长，直接代入黄金比公式计算；② 已知某线段是另一线段的黄金分割线段，根据比例关系=列方程求解；③ 在实际问题中（如人体比例、建筑设计等），若涉及黄金分割，先确定哪条线段是整体，哪个点是黄金分割点，再运用定义或公式计算。 【典例】黄金分割（比值约为）具有比例性、和谐性，通过黄金分割比例优化笔画分布，可使字形呈现动态平衡美感．如图，“寸”字的横画与竖钩的交接处点恰好是横画的黄金分割点（），若横画的长为，则的长为（    ）（结果保留到） A． B． C． D． 分析与解答：本题考查了黄金分割的定义，把，代入求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴． 答案：B 【变式1】大自然巧夺天工，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点是线段的黄金分割点，，若，则的长为（    ）    A． B． C． D． 分析与解答：本题考查黄金分割点．掌握黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中较长部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，且其比值是一个无理数，用分数表示为是解题关键． 根据黄金分割点的定义即得出，代入数据，求解即可． 【详解】解：由题意得， 答案：C 【变式2】如图所示，相同的瓶子里装入了不同的水量，用棒敲击瓶子时，可发出不同音调．通过实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金比时，可以发出“”的音符．若，则水面高度为（   ） A．4.6cm B．6.4cm C．7.2cm D．7.4cm 分析与解答：本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键． 根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：由题知， 与之比为黄金比， ， ， ． 答案：D 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．如图，，若，，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理．熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理，由，得到，然后算出的长度，再代入数值到计算即可． 【详解】解：， ， 又， ， ． 故选：C． 2．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查比例性质求分式值，熟记比例性质是解决问题的关键． 根据已知比例关系，设参数表示和，代入分式计算即可得到答案． 【详解】解：∵， 则设，，其中， ∴， 故选：A． 3．如图，，，其中，的长为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质． 利用相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴. 故选：A． 4．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．本题先根据，求出，再根据相似三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：∵， ∴， A、添加，可用两边及其夹角法判定，故本选项不符合题意； B、添加，可用两角法判定，故本选项不符合题意； C、添加，可用两角法判定，故本选项不符合题意； D、添加，无法判定，故本选项符合题意； 故选：D． 5．下列图形中，相似多边形是（   ）    A．甲与乙 B．乙与丙 C．丙与丁 D．乙与丁 【答案】C 【分析】本题考查的是相似多边形的判定，根据相似多边形的判定方法可得答案. 【详解】解： ∵甲、乙、丙、丁的邻边之比分别为：；，，，且四个图形的每一个内角都是直角； ∴丙、丁两个图形的对应边成比例，对应角相等. ∴相似的是丙与丁， 故选C 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 6．如图，、分别是的边、上的点，那么添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，在与上，已知的等量条件为公共角，若两个三角形相似，可再添加一组对应角相等，或的两组对应边成比例，即可判断得到答案． 【详解】解：A、，，两边对应成比例，夹角相等，可判断两个三角形相似，此项不符合题意； B、，不是夹角，不能判断两个三角形相似，此项符合题意； C、，，两角对应相等，可判断两个三角形相似，此项不符合题意； D、，，两角对应相等，可判断两个三角形相似，此项不符合题意； 故选：B． 7．如图，在中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于点，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，由平行四边形的性质得，，，得到，即得，进而得，即可得，再利用解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 8．如图，，若，，，则的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．9 【答案】B 【分析】此题考查平行线分线段成比例，即由平行线得到对应的线段成比例，得出正确的比例式是解此题的关键． 根据，得到，然后将已知条件代入即可完成求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 9．，，，是成比例线段，其中，，，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了成比例线段的定义，解题的关键是根据“成比例线段的比例关系”列方程求解． 根据成比例线段的定义得，代入已知长度列方程，解出的值． 【详解】解：成比例线段的定义是：若成比例，则（或）． 已知，，，代入比例关系： 故选C 10．如图，在中，是的角平分线是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，由等边对等角和三角形内角和定理求出，根据角平分线定义得到，证明得到，证明，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：， 平分， ∴， ； ∵ 设，则， ， 解得(不符合题意，舍去)或， ， 故选：B. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 11．如图，在中，点D、E、F分别在、、上， ，，． (1)求证：； (2)若的面积是20，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)45 【分析】本题考查平行线分线段成比例、相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质求解是解答的关键． （1）利用平行线分线段成比例求解即可； （2）证明得到求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴，即； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵的面积是20， ∴． 12．如图，在中，，过AC上一点E作交AB于点F，过点A作交的延长线于点D． (1)求证：； (2)若，，，求BF的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】此题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． （1）由得到，然后结合即可证明； （2）由得到，得到，勾股定理求出，然后得到，进而求解即可． 【详解】（1）证明：， ． 又∵， ； （2）解：由（1）可知， ． ，． ． 在中，由勾股定理，得． ， ． ． 13．已知在梯形中，，； (1)求证：； (2)连接，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． （1）由可得，再由平角可得，由此可得，再根据相似三角形的判定定理证明即可； （2）先由边成比例得，即可得，可证明，即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴； （2）证明：如图， 由（1）知，， ∴，即， ∵， ∴， 即，且， ∴， ∴， ∵， ∴． 14．如图，，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定定理，掌握角的和差运算是解题关键． 根据“两边对应成比例且夹角相等”的相似判定方法进行证明即可． 【详解】证明：， ， ， ， ， 即在，中， ， ， ． 15．如图，在，，是斜边上的高． (1)请写出图中所有的相似三角形，并任选一组进行证明； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)；；，证明见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）共有，，三组相似三角形，按两角对应相等对每组相似三角形分别证明； （2）由，然后利用对应边成比例，即可得到的长度，然后利用求得面积． 【详解】（1）解：， ， ． 证明：选 ∵在中，，是斜边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 选： ∵是斜边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴． 选： ∵是斜边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为． 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $