精品解析：黑龙江省大庆市第三十六中学2025-2026学年九年级上学期开学数学试卷（五四学制）

2025-2026学年黑龙江省大庆三十六中九年级（上）开学数学试卷（五四学制） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义．根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程是一元二次方程，逐一判断即可． 【详解】解：A、即，是一元二次方程，该选项符合题意； B、是分式方程，该选项不符合题意； C、当时，不是一元二次方程，该选项不符合题意； D、即，不是一元二次方程，该选项不符合题意； 故选：A． 2. 如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．注意到二次项系数不等于0这一条件是解题的关键． 方程有两个不相等的实数根，则，由此建立关于k的不等式，然后就可以求出k的取值范围． 【详解】解：方程有两个不相等的实数根，则，， 解得：且 故选：A． 3. 如图，在ABC中，D、E分别为线段BC、BA的中点，设ABC的面积为S，EBD的面积为S．则=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判定，得到相似比为，再根据两个相似三角形的面积比等于相似比的平方，据此解题即可． 【详解】解：∵D、E分别为线段BC、BA的中点， ∴， 又∵， ∴，相似比为， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 4. 三角形的面积为10，底边上的高y与底边x之间函数关系图象大致为（ ） A. B. C. D.     【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象、反比例函数的应用．现实生活中存在大量呈反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限． 根据实际意义，写出函数的解析式，根据函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断． 【详解】解：根据题意，得， ； 与x之间的函数图象为反比例函数，且根据x、y实际意义x、y应大于0，其图象在第一象限． 故选：B． 5. 如图：，是函数的图象上关于原点点对称的任意两点，垂直于轴于点，垂直于轴于点，设四边形的面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于．根据过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积可知，，再根据反比例函数的对称性可知，为中点，则，，进而求出四边形的面积． 【详解】解：，是函数的图象上关于原点点对称的任意两点，垂直于轴于点，垂直于轴于点， ， 设，则， 则， ，， 四边形面积， 故选：C． 6. 如图，∠α的顶点为O，一边在x轴的正半轴上，另一边上有一点P（3，4），则sinα＝（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】已知点P的坐标，就是已知直角三角形的两直角边的长，根据勾股定理就可以求出OP的长．然后根据三角函数的定义求解． 【详解】OA上有一点P（3，4），则P到x轴距离为4，|OP|=5，则sina． 故选C． 【点睛】本题考查了解直角三角形，正弦的定义，坐标与图形的性质，熟记三角函数的定义是解题的关键． 7. 若函数 是二次函数且图像开口向上，则a=（　　） A. ﹣2 B. 4 C. 4或﹣2 D. 4或3 【答案】B 【解析】 【详解】解：函数 是二次函数， 可得，解得a=4或a=-2， 又因为图像开口向上，所以a=4， 故选：B. 8. 下列函数中，y总随x的增大而减小的是（　　） A. y＝﹣4x B. y＝x﹣4 C. y＝ D. y＝x2 【答案】A 【解析】 【分析】根据正比例函数的性质，可判断A，根据一次函数的性质，可判断B；根据反比例函数的性质，可判断C，根据二次函数的性质，可判断D． 【详解】解：A、k＝﹣4＜0，y随x的增大而减小，故A符合题意； B、k＝1＞0，y随x的增大而增大，故B不符合题意； C、k＝4＞0，在每一象限，y随x的增大而减小，故C不符合题意； D、a＝1，当x＜0时，y随x增大而减小，当x＞0时，y随x增大而增大，故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了函数的性质，熟记函数的性质是解题关键． 9. 将抛物线向左平移个单位后，再向上平移个单位，得到新抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，根据该顶点坐标写出新抛物线解析式即可． 【详解】解：抛物线y＝x2﹣6x+21＝（x﹣6）2+3，它的顶点坐标是（6，3）． 将其向左平移2个单位，再向上平移2个单位后，得到新抛物线的顶点坐标是（4，5）， 所以新抛物线的解析式是：y＝（x﹣4）2+5． 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次函数的平移规律，掌握二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”，是解题的关键． 10. 二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若，且，则．其中正确的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关系．根据图象正确的获取信息，利用二次函数的性质进行判断，是解题的关键． ①根据开口方向，对称轴，与轴的交点位置，进行判断；②利用对称轴进行判断；③利用最值进行判断；④根据对称性和图象上的点，进行判断；⑤利用对称性进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向上，则， ∵对称轴为直线，则， ∴，故②正确 抛物线与轴交于负半轴，则， ∴，故①错误； ∵当时，取得小值， ∴， 当m为任意实数，则，故③正确， ④∵抛物线关于对称， ∴和的函数值相同， 即：， 由图象知，当时，函数值大于0， ∴，故④正确； ⑤当关于对称时：即：时， 对应的函数值相同， 即：， ∴ ∴若，且，则；故⑤正确； 综上所述，正确的是②③④⑤，共4个， 故选：C． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 方程的解为_______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后直接开平方，求出方程的解即可． 【详解】解：， 移项得：， 开平方得：， ∴，． 故答案为：，． 12. 如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，已知OA∶OD＝2∶5，则△ABC与△DEF的周长比为________． 【答案】 【解析】 【分析】由△ABC与△DEF位似，位似比为 OA∶OD＝2∶5，再利用位似图形的周长之比等于相似比，从而可得答案. 【详解】解： △ABC与△DEF位似，点O为位似中心，OA∶OD＝2∶5， 故答案为： 【点睛】本题考查的是位似图形的性质，掌握位似图形的周长之比等于相似比是解题的关键. 13. 已知函数的图象如图所示，当时，y的取值范围是___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质；分不同象限得到函数值的取值是解决本题的易错点．用到的知识点为：反比例函数中的比例系数大于0，图象的两个分支在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小． 时，可能在第三象限，也可能在第一象限，可分和两种情况进行解答． 【详解】解：比例系数大于， 图象的两个分支在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小． 当时，， 当且在第三象限时，， 当且在第一象限时，， 故答案为：或 14. 已知反比例函数的图象在一、三象限，那么直线不经过第____象限． 【答案】二 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的性质，根据已知可得，进而判断一次函数经过的象限，即可求解． 【详解】解：反比例函数的图象在一、三象限，即有：， 则直线经过一、三四、象限， 所以，直线不经过第二象限． 故答案为：二． 15. 如图，两根竹竿和斜靠在墙上，量得，，则竹竿与的长度之比为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先在和中，求出、 ，再求长度之比即可． 【详解】解：在中， ∵， 即， ∴. 在中， ∵，， 即， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握正弦函数的定义及其应用． 16. 已知函数图像上两点，，其中，则与的大小关系是____（填“”、“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质即可完成． 【详解】，且对称轴为直线， 当时，函数值随自变量的增大而减小； ∵， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的性质是关键． 17. 如图，直线与双曲线交于两点,则___________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．根据反比例函数与一次函数的交点问题先解两解析式所组成的方程组，然后把求得的解代入进行计算即可． 【详解】解：解方程组， 得， 故答案为： 18. 如图，A，B，C是反比例函数图象上三点，作直线l，使A，B，C到直线l的距离之比为3：1：1，则满足条件的直线l共有___________条． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了点到直线的距离、平行线的性质等知识点，考查了分类讨论的数学思想．解题时注意全面考虑，避免漏解．如解答图所示，满足条件的直线有两种可能：一种是与直线BC平行，符合条件的有两条，如图中的直线a、b；还有一种是过线段BC的中点，符合条件的有两条，如图中的直线c、 【详解】解：如解答图所示，满足条件的直线有4条， 故答案是： 三、计算题：本大题共1小题，共8分． 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式利用特殊角的三角函数值，绝对值的代数意义，零指数幂，乘方的意义计算即可得到结果； （2）原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 四、解答题：本题共4小题，共38分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 如图，大楼上悬挂一条幅，小颖在坡面处测得条幅顶部的仰角为，沿坡面向下走到坡脚处，然后向大楼方向继续行走米来到处，测得条幅的底部的仰角为，此时小颖距大楼底端处米．已知坡面米，山坡的坡度即且、、、、、、在同一平面内，、、在同一条直线上． （1）求点距水平面的高度？保留根号 （2）求条幅的长度？结果精确到1米参考数据： 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】此题是解直角三角形的应用—仰角，俯角问题，主要考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键． （1）利用坡度和直接求出点距水平面的高度； （2）借助（1）得出的结论，可求出的长，在直角三角形中，可求出的长，进而可求出的长，在直角三角形中可求出的长，利用计算即可． 【小问1详解】 如图，过点作于， 在中，坡面米，山坡的坡度， ， ， 米，米； 点距水平面的高度为米． 【小问2详解】 如图，过点作于， 由（1）知，米，则米， 米，， 米， 米， ， 米， 米， 答：条幅的长度是米． 21. 已知关于的函数． （1）当为何值时，此函数是二次函数？ （2）当为何值时，此函数是一次函数？ 【答案】（1）且 （2） 【解析】 【分析】此题主要考查一次函数与二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握形如的函数关系称为一次函数；形如的函数关系称为二次函数是解题的关键． （1）根据二次函数的定义即可求解； （2）根据一次函数的定义即可求解． 【小问1详解】 解：由二次函数的概念可得 解得且； 【小问2详解】 解：由一次函数的概念可得 ， 解得：或，且， ∴． 22. 已知直线l:y=kx+1与抛物线y=x2-4x （1）求证：直线l与该抛物线总有两个交点； （2）设直线l与该抛物线两交点为A，B，O为原点，当k=-2时，求△OAB的面积. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】 【详解】分析：（1）联立两解析式，根据判别式即可求证； （2）画出图象，求出A、B的坐标，再求出直线y=-2x+1与x轴的交点C，然后利用三角形的面积公式即可求出答案． 详解：（1）联立 化简可得：x2-（4+k）x-1=0， ∴△=（4+k）2+4＞0， 故直线l与该抛物线总有两个交点； （2）当k=-2时， ∴y=-2x+1 过点A作AF⊥x轴于F，过点B作BE⊥x轴于E， ∴联立 解得：或 ∴A（1-，2-1），B（1+，-1-2） ∴AF=2-1，BE=1+2 易求得：直线y=-2x+1与x轴的交点C为（，0） ∴OC= ∴S△AOB=S△AOC+S△BOC =OC•AF+OC•BE =OC（AF+BE） =×（2-1+1+2） =. 点睛：本题考查二次函数的综合问题，涉及解一元二次方程组，根的判别式，三角形的面积公式等知识，综合程度较高． 23. 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°．AB=8cm，AC=6cm，若动点D从B出发，沿线段BA运动到点A为止（不考虑D与B，A重合的情况），运动速度为2cm/s，过点D作DE∥BC交AC于点E，连接BE，设动点D运动的时间为x（s），AE的长为y（cm）． （1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）当x为何值时，△BDE的面积S有最大值？最大值为多少？ 【答案】（1）(0＜x＜4)；（2）当x=2时，S△BDE最大，最大值为6cm2． 【解析】 【分析】（1）根据已知条件DE∥BC可以判定△ADE∽△ABC；然后利用相似三角形的对应边成比例求得；最后用x、y表示该比例式中的线段的长度； （2）根据∠A=90°得出S△BDE=•BD•AE，从而得到一个面积与x的二次函数，从而求出最大值； 【详解】（1）动点D运动x秒后，BD=2x． 又∵AB=8，∴AD=8-2x． ∵DE∥BC，∴，∴， ∴y关于x的函数关系式为(0＜x＜4)． （2）解：S△BDE==(0＜x＜4)． 当时，S△BDE最大，最大值为6cm2． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质、三角形的面积列出二次函数关系式，利用二次函数求最值问题，建立二次函数模型是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年黑龙江省大庆三十六中九年级（上）开学数学试卷（五四学制） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 3. 如图，在ABC中，D、E分别为线段BC、BA的中点，设ABC的面积为S，EBD的面积为S．则=（ ） A. B. C. D. 4. 三角形的面积为10，底边上的高y与底边x之间函数关系图象大致为（ ） A. B. C. D.     5. 如图：，是函数的图象上关于原点点对称的任意两点，垂直于轴于点，垂直于轴于点，设四边形的面积为，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，∠α的顶点为O，一边在x轴的正半轴上，另一边上有一点P（3，4），则sinα＝（　　） A. B. C. D. 7. 若函数 是二次函数且图像开口向上，则a=（　　） A. ﹣2 B. 4 C. 4或﹣2 D. 4或3 8. 下列函数中，y总随x的增大而减小的是（　　） A. y＝﹣4x B. y＝x﹣4 C. y＝ D. y＝x2 9. 将抛物线向左平移个单位后，再向上平移个单位，得到新抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若，且，则．其中正确的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 方程的解为_______． 12. 如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，已知OA∶OD＝2∶5，则△ABC与△DEF的周长比为________． 13. 已知函数的图象如图所示，当时，y的取值范围是___________． 14. 已知反比例函数的图象在一、三象限，那么直线不经过第____象限． 15. 如图，两根竹竿和斜靠在墙上，量得，，则竹竿与的长度之比为__________． 16. 已知函数图像上两点，，其中，则与的大小关系是____（填“”、“”或“”） 17. 如图，直线与双曲线交于两点,则___________． 18. 如图，A，B，C是反比例函数图象上三点，作直线l，使A，B，C到直线l的距离之比为3：1：1，则满足条件的直线l共有___________条． 三、计算题：本大题共1小题，共8分． 19. 计算： （1） （2） 四、解答题：本题共4小题，共38分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 如图，大楼上悬挂一条幅，小颖在坡面处测得条幅顶部的仰角为，沿坡面向下走到坡脚处，然后向大楼方向继续行走米来到处，测得条幅的底部的仰角为，此时小颖距大楼底端处米．已知坡面米，山坡的坡度即且、、、、、、在同一平面内，、、在同一条直线上． （1）求点距水平面的高度？保留根号 （2）求条幅的长度？结果精确到1米参考数据： 21. 已知关于的函数． （1）当为何值时，此函数是二次函数？ （2）当为何值时，此函数是一次函数？ 22. 已知直线l:y=kx+1与抛物线y=x2-4x （1）求证：直线l与该抛物线总有两个交点； （2）设直线l与该抛物线两交点为A，B，O为原点，当k=-2时，求△OAB的面积. 23. 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°．AB=8cm，AC=6cm，若动点D从B出发，沿线段BA运动到点A为止（不考虑D与B，A重合的情况），运动速度为2cm/s，过点D作DE∥BC交AC于点E，连接BE，设动点D运动的时间为x（s），AE的长为y（cm）． （1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）当x为何值时，△BDE的面积S有最大值？最大值为多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $