专题05 函数及其性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）（期中复习讲义）高一数学上学期人教A版

专题05 函数及其性质 （单调性、奇偶性、周期性、对称性）（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 5.1 函数单调性的定义与证明 能用定义法（取值→作差→变形→判号→结论）证明函数的单调性。 解答题核心考法，变形判号是关键步骤和难点。 5.2 复合函数“同增异减”法则的判断 能判断简单复合函数的单调性。 小题中快速解题的工具。 5.3 函数奇偶性的判断 能先判断定义域是否对称，再通过计算f(-x)判断奇偶性。 易错点就是忽略定义域，必考点。 5.4 奇偶函数图象的对称性及其应用 能利用奇偶性简化求值、作图和分析问题。 常与单调性结合考查。 5.5 函数周期性的判断与应用 能根据f(x+T)=f(x)判断周期性，并利用周期性求函数值。 常作为小题的压轴点，需要灵活运用。 5.6 函数对称性的判断（关于点、关于轴对称） 能识别并证明函数图象关于点或轴的对称性。 与奇偶性关系密切，是能力的提升点。 5.7 函数性质的综合应用（解不等式、比较大小） 能综合利用单调性、奇偶性将抽象不等式转化为具体不等式求解。 期中压轴题标准模式，综合性最强 知识点01 函数的单调性与单调区间 设函数的定义域是D，区间，如果对于任意的，，当时，都有 ，则称在区间I上是 增函数 ，（也称在区间I上单调递增），如图所示. 当时，都有 ，则称在区间I上是 减函数 ，（也称在区间I上单调递减）如图所示. 两种情况下，都称函数在区间I上具有 单调性 （区间I称为函数的 单调区间 ，也可分别称为 单调递增区间 和 单调递减区间 ） 知识点02 函数的最值 最值 最大值 最小值 条件 函数的定义域为，存在实数满足： （1）对于任意的，都有 （2）存在，使 （1）对任意，都有 （2）存在，使 结论 是函数的最大值 是函数的最小值 知识点03 单调性的常见运算 （1） 单调性的运算 ①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗ ②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘ ③为↗，则为↘，为↘ ④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗ ⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘ ⑥增函数（↗）减函数（↘）未知（导数）（跨章节） （2） 复合函数的单调性 知识点04 函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数的定义域为，如果对内任意一个，都有 ，且 ，则称函数是偶函数 关于 轴 对称 奇函数 一般地，设函数的定义域为，如果对内任意一个，都有 ，且 ，则称函数是奇函数 关于 原点 对称 知识点05 与指数函数相关的奇函数和偶函数（跨章节） ，（，且）为偶函数， ，（，且）为奇函数 和，（，且）为其定义域上的奇函数 和，（，且）为其定义域上的奇函数 为偶函数 知识点06 与对数函数相关的奇函数和偶函数（跨章节） ，（且）为奇函数， ，（且）为奇函数 知识点07 奇函数+常函数 在定义域内，若，其中为奇函数，为常数，有 即倍常数 知识点08 函数的周期性 ①周期函数：一般地，设函数的定义域为D，如果存在一个 非零常数 ，使得对每一个都有，且 ，那么函数就叫做周期函数． 非零常数 叫做这个函数的周期． ②最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的 正数 ，那么这个最小 正数 就叫做的 最小正周期 ． 若，则的周期为： 若，则的周期为： 若，则的周期为：（周期扩倍问题） 若，则的周期为：（周期扩倍问题） 知识点09 函数的对称性 轴对称 ①若，则的对称轴为 ②若，则的对称轴为 点对称 ①若，则的对称中心为 ②若，则的对称中心为 知识点10 周期性对称性综合问题 ①若，，其中，则的周期为： ②若，，其中，则的周期为： ③若，，其中，则的周期为： 知识点11 奇偶性对称性综合问题 ①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为： ②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为： 题型一 用定义法判断或证明函数单调性及求解最值 【典例1】（24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数. (1)函数单调性的定义证明：函数在上单调递增； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)最大值为1，最小值为. 【分析】（1）任取，且，然后化简变形，判断符号，从而可得结论； （2）由（1）知在区间上单调递增，从而利用其单调性可求出其最值. 【详解】（1）证明：任取，且， 则 因为，，所以，，， 所以，即， 所以在上单调递增. （2）由（1）知在区间上单调递增， 所以，， 所以函数在区间上的最大值为1，最小值为. 【典例2】（24-25高一上·湖南·期末）已知函数. (1)若，求的值； (2)判断在上的单调性并利用定义法证明； (3)求在上的最大值. 【答案】(1)； (2)在区间上单调递减，在区间上单调递增，证明见解析； (3). 【分析】（1）先根据已知条件求出进而求出，再开方即可求解. （2）先求出，再利用定义法证明函数的单调性求出单调区间即可. （3）利用（2）中结论，根据函数的单调性，结合，分、两种情况讨论即可求解. 【详解】（1）因为，所以，即 因为，所以． （2）在区间上单调递减，在区间上单调递增，证明如下： 任取，且， 则， 因为，且，所以， 当时，，所以，即， 当时，，所以，即， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增． （3）当时，由（2）知在上单调递减，所以； 当时，由（2）知在上单调递减，在上单调递增， 因为，所以若，则， 若，则． 综上，. 【变式1】（24-25高一上·浙江·期中）已知定义在上的函数，满足． (1)求的解析式； (2)求证：在上是增函数． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）代入计算出，由此可求的解析式； （2）先取值，然后对进行因式分解并根据条件判断出其正负，由此可证明出单调性. 【详解】（1）因为，所以，所以， 所以的解析式为. （2）且， 则， 因为，所以， 所以，所以， 所以在上是增函数. 【变式2】（24-25高一上·福建泉州·期中）已知函数. (1)判断函数在的单调性，并用定义证明； (2)求函数在的值域. 【答案】(1)函数在上单调递减，证明见解析 (2) 【分析】（1）判断出函数在上单调递减，任取、且，作差，变形并判断的符号，结合函数单调性的定义可证得结论成立； （2）分析函数在上单调性，即可求出该函数在区间上的值域. 【详解】（1）函数在上单调递减，证明如下： 任取、且， 则 ， 因为，则，，， 因为，，则，可得， 所以，即， 所以函数在上是减函数. （2）任取、，且，即，则， ，可得，且，，， 所以，即， 所以函数在上为增函数， 故当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又因为，，所以，， 因此函数在的值域为. 题型二 求单调区间 解｜题｜技｜巧 拆分复合函数为内外层函数，根据 “同增异减” 原则判断单调性（内外层单调性相同则复合函数增，相反则减） 【典例1】（24-25高一上·吉林长春·期中）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化函数为分段函数，再结合二次函数单调性求出单调递增区间. 【详解】函数， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为. 故选：A 【典例2】（24-25高一上·福建福州·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性求出单调递减区间即可. 【详解】由，解得， 所以函数的定义域为， 令，则， 在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间是. 故选：C. 【变式1】函数的单调增区间为（    ） A． B． C．和 D． 【答案】C 【分析】由可得且，然后求出的减区间即可. 【详解】由可得且， 因为开口向下，其对称轴为， 所以的减区间为和 所以的单调增区间为和 故选：C 【变式2】（24-25高一上·福建泉州·期中）已知函数在上单调递增，则的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数在上单调递增，则在上单调递增，根据复合函数的单调性“同增异减”求出函数在定义域内的递减区间即可． 【详解】因为函数在上单调递增，所以在上单调递增， 设， 由，解得或， 所以在上单调递减， 所以的单调减区间为. 故选：B. 题型三 据函数的单调性（含分段函数）求参数值 解｜题｜技｜巧 （1）分段函数各段单调：分别保证每一段函数在对应区间内单调（如一次函数看斜率符号，二次函数看对称轴与区间的位置关系）。 （2）衔接处满足单调：相邻分段区间的衔接点处，左段函数的最大值不超过右段函数的最小值（递增时）或左段最小值不小于右段最大值（递减时）。 【典例1】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质得到或，解得即可. 【详解】因为函数在上具有单调性， 所以或，解得或， 即实数的取值范围是. 故选：B 【典例2】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数，对于，都有成立，求a的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件判断出在上单调递减，再根据的解析式列出不等式组，求解即可. 【详解】因为对于，都有成立，所以在上单调递减， 又因为，所以，解得， 即a的取值范围为. 故选：B. 【变式1】（24-25高一上·辽宁大连·期中）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意函数解析式可化为，利用反比例函数图象的平移和性质可得，解不等式即可得到结果. 【详解】由题意得，. ∵函数在区间上单调递减， ∴，解得，即的取值范围是. 故选：C. 【变式2】（24-25高一上·安徽·期中）函数是增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用一次函数和二次函数的图象和性质及分段函数的单调性求解即可. 【详解】由题意可知当时，单调递增，则①， 当时，是对称轴为，开口向下的抛物线，则②， 因为函数是增函数，所以③， 由①②③解得， 故选：C 题型四 根据函数单调性解不等式 解｜题｜技｜巧 （1）确定单调区间：先分析函数的单调区间（可通过导数、基本函数性质等方法）。 （2）转化不等式：利用单调性将函数值的不等关系转化为自变量的大小关系 （3）解不等式组：结合定义域与转化后的自变量不等式，求解最终解集。 【典例1】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数是定义在的增函数，则满足的x取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义域与单调性将原不等式化为，从而可得答案. 【详解】因为函数是定义在上的增函数， 由，得， 解得，即， 故选：B 【典例2】（24-25高一上·山西·期中）已知定义域为的增函数满足，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数的单调性，再求解不等式. 【详解】因为，且， 令，得； 又因为， 所以即 因为在为增函数. 所以解得或. 即不等式的解集为 故选：A 【变式1】（24-25高一上·江西鹰潭·期中）已知定义在上的函数满足对，都有，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意根据函数单调性定义可得在上单调递增，原不等式等价于，即可解出. 【详解】由，得， 令，则，因此函数在上单调递增， 由，得， 由，得， 即，则，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：C 【变式2】若函数是定义域为，且对，且，有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先研究的奇偶性和单调性，然后利用适当的变形转化原不等式，再求解. 【详解】设，对任意的有， 故，所以在上单调递增，而原不等式等价于， 即.故原不等式等价于，即，故原不等式的解集为. 故选：C. 题型五 根据函数单调性比较函数值大小关系 解｜题｜技｜巧 （1） 同一单调区间：若自变量在同一单调区间内，直接根据单调性比较函数值大小（如递增函数自变量大则函数值大）。 （2） 不同单调区间：利用奇偶性、对称性将自变量转化到同一单调区间。 （3）特殊点结合：若有特殊点（如零点、最值点），结合这些点的函数值辅助比较。 【典例1】（24-25高一上·江苏宿迁·期中）已知定义在上的函数满足，且在上单调递减，则，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件可得，再利用单调性比较大小即得. 【详解】依题意，，由在上单调递减，，得， 所以. 故选：C 【变式1】（23-24高一上·湖南邵阳·期中）函数为定义在上的减函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据是定义域上的减函数，且，然后比较与的大小关系，从而得出选项A错误；比较与的大小即可得出选项B错误；可得出，从而得出选项C正确；比较大小即可判断D. 【详解】是定义在上的减函数，， 与的大小关系不能确定，从而关系不确定，故A错误； ，时，；时，，故的关系不确定，故B错误； ，，，故C正确． ，时，；时，，故关系不确定，D错误， 故选：C． 【变式2】（24-25高一上·四川成都·期中）定义在区间上的函数满足，时，，若，，，则三个实数a，b，c的大小关系为 ．（用“＜”连接） 【答案】 【分析】利用已知的恒等式进行赋值，由函数单调性的定义判断函数的单调性，由恒等式将转化为，利用单调性比较大小即可． 【详解】因为定义在区间上的函数满足：， 设，且满足， 由，有，则， 可得，则， 因为时， 所以，即，所以， 故函数在上为单调递增函数， 因为，所以， 取，，则， 则， 因为，所以，即． 故答案为：． 题型六 用定义法判断或证明函数奇偶性 【典例1】（24-25高一上·重庆·期中）已知函数（）是减函数. (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)解关于的不等式：（）. 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）利用奇函数的定义即可判断以及证明结论； （2）根据函数的奇偶性以及单调性将转化为，讨论a与-2的大小关系，即可求得答案. 【详解】（1）函数为奇函数 证明如下：函数定义域为， 又， 所以是奇函数 （2）由已知及（1）知：不等式即， 等价于，即， 当时，则； 当时，则不等式无解； 当时，则； 综上，的解集为： 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为 当时，不等式解集为. 【典例2】（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知函数是定义在上的增函数，并且满足，． (1)求和的值； (2)判断函数的奇偶性； (3)解关于的不等式 【答案】(1)， (2)奇函数 (3) 【分析】（1）通过赋值法来确定函数的特殊值； （2）根据奇偶性的定义判断函数的奇偶性； （3）运用函数奇偶性，结合函数的单调性求解不等式即可. 【详解】（1）令，得，解得． ，； （2）因为函数的定义域为R，， 令，则有，，即， ∴函数为奇函数； （3）因为，所以， 又因为， 即由，则， 即， 又因为为增函数，所以，解得， 故x的取值范围为． 【变式1】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数． (1)判断函数在R上的奇偶性，并证明之； (2)判断函数在R上的单调性，并用定义法证明； (3)写出在R上的值域． 【答案】(1)奇函数，证明见解析. (2)单调递增函数，证明见解析. (3) 【分析】（1）通过计算来证明； （2）任取，通过计算来证明； （3）以为基础可得函数值域. 【详解】（1）函数在上是奇函数. 证明：， 即函数在上是奇函数； （2）函数在R上的单调递增函数. 证明：任取，则， 因为，所以，又，， 所以，即函数在R上的单调递增函数； （3）由， 即函数在R上的值域为. 【变式2】（24-25高一上·浙江温州·期中）定义在上的函数满足：对任意的，都有，且当时，. (1)求证：是奇函数； (2)判断的正负，并说明理由. 【答案】(1)证明见详解 (2)，理由见详解 【分析】（1）通过赋值，得，再通过赋值，结合奇函数的定义，即可证明； （2）根据题意结合奇函数性质运算求解即可. 【详解】（1）因为函数的定义域为， 令，得，即， 令，可得，即， 所以在上为奇函数. （2），理由如下： 因为在上为奇函数， 则， 当时，，即， 所以. 题型七 根据函数的奇偶性求参数值 解｜题｜技｜巧 （1） 特殊值法：若函数定义域含 0，奇函数满足(f(0)=0)；代入(x=1)、(x=-1)等特殊值，结合奇偶性列方程（如偶函数(f(-1)=f(1))）。 （2） 系数比较法：对于多项式函数，奇函数偶次项系数为 0，偶函数奇次项系数为 0。 （3）定义法：根据奇偶性定义，整理等式后对比系数或化简求解参数。 【典例1】（24-25高一上·重庆·期中）设是偶函数，且定义域为，，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇偶性可得，，，解出，进而得出答案． 【详解】由偶函数的定义域是关于原点对称的，所以， 显然，，所以． 故选：B． 【典例2】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数，若为奇函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】的对称中心为，根据为奇函数得到关于对称即可得解； 【详解】， 因为， 所以的对称中心为， 由题意得函数为奇函数关于对称， 则关于对称， 解得， 故选：A. 【变式1】（24-25高一上·广东江门·期中）已知函数为奇函数.则 . 【答案】1 【分析】因为奇函数且定义域为R，故可由求得的值，再利用奇函数的定义验证即可. 【详解】因为函数为奇函数，定义域为R，所以，即 此时， ， 即为奇函数，符合题意. 故答案为：1. 【变式2】（21-22高一下·上海徐汇·开学考试）设为实数，函数是奇函数，则 ． 【答案】 【分析】根据定义在上的奇函数的性质可得，进而结合奇函数的定义求解即可. 【详解】由题意，函数在上为奇函数，， 所以，即， 则时，， 所以时，，则，即， 即. 故答案为：. 题型八 抽象函数奇偶性的综合应用 解｜题｜技｜巧 （1） 赋值法推导关系：令(x=0)、(x=-y)等特殊值，结合已知条件推导(f(-x))与(f(x))的关系（如令(x=0)得(f(0))的值，令(y=x)得(f(-x))表达式）。 （2） 结合单调性解不等式：利用奇偶性将不等式转化为(f(|x|))的形式（偶函数），或结合奇函数在对称区间的单调性一致，转化自变量范围。 （3）综合应用求最值：根据奇偶性与单调性，确定函数在对称区间的最值（如奇函数在([-a,a])的最值互为相反数）。 【典例1】已知对任意x，，都有，且，那么 （    ） A．是奇函数但不是偶函数 B．既是奇函数又是偶函数 C．既不是奇函数也不是偶函数 D．是偶函数但不是奇函数 【答案】D 【分析】令，结合可求得的值，再令即可判断的奇偶性. 【详解】令，有， 因为，所以， 再令，得：， 所以，又， 所以是偶函数. 故选：. 【点睛】关键点点睛：抽象函数的奇偶性的判断，根据所给的等式进行取值是解题的关键. 【典例2】（24-25高一上·浙江·期中）（多选）已知函数的定义域为，满足：①对于任意的，，都有，②存在，，使得，则（   ） A． B． C．当时，为奇函数 D．当时，为偶函数 【答案】ACD 【分析】通过赋值，函数奇偶性的概念逐个判断即可. 【详解】对于A：令，可得：，解得：或， 当时，令，可得：，得，不满足存在，，使得，舍去，故；正确； 对于B：令，满足，且存在，，使得，此时，故错误； 对于C：令，可得：，奇函数，正确； 对于D：令，可得：，偶函数，正确； 故选：ACD 【变式1】（24-25高一上·江苏扬州·期中）已知函数对任意实数，都满足，且，，则函数是（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】B 【分析】用赋值法，先令求得，再令求解后即可判断． 【详解】在中， 令，则，又，所以， 令得，所以， 所以是偶函数， 故选：B． 【变式2】（24-25高一上·湖南·期中）（多选）已知函数的定义域为，且，则下列选项正确的是（   ） A． B． C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】ABC 【分析】运用赋值法，结合奇偶函数得定义判断即可. 【详解】对于A选项，令，则，即，A正确； 对于B选项，令，则，令，则，则，故.B正确； 对于C选项，是奇函数，C正确； 对于D选项，是非奇非偶函数，D不正确. 故选：ABC. 题型九 函数周期性的综合应用 解｜题｜技｜巧 （1） 找周期：根据周期定义（如(f(x+T)=f(x))）或递推关系（如(f(x+a)=-f(x))则周期为2a）确定周期T。 （2） 简化计算：利用周期性将大自变量值转化为小范围值，结合已知区间的函数值求解。 （3）结合其他性质：与单调性、奇偶性结合，分析周期区间内的函数特征（如周期函数在每个周期内单调性相同）。 【典例1】（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知定义域为的偶函数满足，则（    ） A．3 B．2 C．6 D．10 【答案】A 【分析】先利用偶函数性质和已知等式得到函数的周期，再根据周期和已知等式计算. 【详解】因为是定义域为的偶函数，所以. 已知，将换为，可得，又因为，所以. 由和可得. 令，则，那么，又因为，所以， 即，所以函数的周期是，所以. 在中，令，可得，即，解得，所以. 故选：A. 【典例2】（24-25高一上·重庆·期中）若，且，则（    ） A．-2 B．-1 C． D．0 【答案】A 【分析】利用赋值法，判断函数的周期，对称性，再利用周期性和对称性求值. 【详解】令，，得，得， 令，， 又，故，即， 故得到周期， 令，，即，故是偶函数， 又，，所以得到图象关于对称， 所以，，，， 所以. 故选：A 【变式1】（24-25高一上·陕西咸阳·期中）已知函数的定义域为，，且，则（   ） A．1 B． C．2024 D． 【答案】B 【分析】利用赋值法求得，结合迭代周期求得正确答案. 【详解】令，，则，因为，所以， 令，则， 则， 则，所以以6为周期， 令，得，所以， 则． 故选：B． 【变式2】若是定义在上的奇函数，，，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，推得，得到的周期为，再求得的值，结合周期性，即可求解. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，故， 又因为，所以，故， 所以，即的周期为， 由于为定义在上的奇函数，且， 可得，，， 所以， 则. 故答案为：. 题型十 函数对称性的综合应用 解｜题｜技｜巧 （1） 轴对称：利用对称性转化函数值。 （2） 结合对称中心推导函数值关系。 （3）综合应用：与单调性、周期性结合，分析函数在对称区间的取值规律（如轴对称函数在对称点的函数值相等）。 【典例1】（24-25高一上·山东淄博·期中）已知方程有唯一的根，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】先判断函数关于对称，从而得到即可. 【详解】设，则. 即，故关于对称. 又有唯一的根，则，故，解得. 故选：B 【典例2】（24-25高一上·福建福州·期中）已知函数为奇函数.，与的图象有8个交点，分别为，则 【答案】16 【分析】根据奇函数的定义以及图像平移可知与的图像的交点关于点对称，结合对称性即可得结果. 【详解】因为函数为奇函数， 则，可得， 可知的图象关于点对称， 又因为， 将向右平移1个单位，再向上平移3个单位，即可得， 可知的图象关于点对称， 由题意可知：与的图象的交点关于点对称， 可得， 所以. 故答案为：16. 【变式1】（24-25高一上·黑龙江伊春·期中）（多选）定义在上的偶函数满足，且在上是增函数，下列关于的判断正确的是（   ） A．是周期函数 B．关于直线对称 C．在上是增函数 D． 【答案】ABD 【分析】由可推得，可判断A；由是R上的偶函数，则，结合关系式，得到的对称性，可判断B；再根据周期函数的性质，且在上是增函数，即可推出在上的单调性，可判断C；由可得的关系可判断D. 【详解】对于A：定义在上的函数满足， ∴，所以是周期为2的周期函数，故A正确； 对于B：∵是偶函数，所以，∴关于直线对称，故B正确； 对于C：因为为偶函数，在是增函数，所以在上是减函数，故C不正确； 对于D：由，令得，故D正确. 故选：ABD. 【变式2】（24-25高一上·上海·期中）已知.函数的图像是一个中心对称图形.若函数与函数的图像交点分别为为正整数），则 . 注： 【答案】12 【分析】先证明函数，均关于点对称，再判断和的单调性并得到两个函数单调区间，画出两个函数的图像，数形结合即可求解. 【详解】由，， 则， 则， 即函数关于点对称， 且在上单调递增， 又，， 即函数关于点对称， 因为在上分别单调递减， 作出函数与的图像如图所示，结合函数图象可知， 函数与有4个交点，分别为 且与与分别关于点对称， 即. 故答案为：12 【点睛】思路点睛：先证明函数，均关于点对称，再分析得出两个函数单调性及单调区间，画出两个函数的图像，再数形结合求解. 题型十一 函数性质的综合应用 解｜题｜技｜巧 （1） 梳理性质：先分析函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性（确定周期、对称轴、对称中心）。 （2） 转化自变量：利用周期性将大自变量变小，对称性将自变量转化到已知区间。 （3）综合应用：结合单调性比较函数值、解不等式，或利用奇偶性简化表达式，最终解决复杂综合问题。 【典例1】（24-25高一上·山东泰安·期中）（多选）定义域为的函数，对任意，，且不恒为0，则下列说法正确的是（   ） A． B．为偶函数 C．若，则关于中心对称 D．若，则 【答案】BCD 【分析】令，再根据不恒为0，可求出的值判断A；令，化简后根据偶函数的定义判断B；令，化简后根据对称性的定义判断C；令，结合BC结论化简判断D. 【详解】选项A：令可得，因为不恒为0，所以，A说法错误； 选项B：由A可知，令可得， 所以，即，为偶函数，B说法正确； 选项C：若，令可得， 即，所以关于中心对称，C说法正确； 选项D：令，则， 因为为偶函数，，所以， 因为任意，， 所以，即， 所以， 又因为关于中心对称，所以， 所以，即，D说法正确； 故选：BCD 【点睛】结论点睛：函数的对称性与周期性： （1）若，则函数关于中心对称； （2）若，则函数关于对称； （3）若，则函数的周期为2a； （4）若，则函数的周期为2a. 【典例2】（24-25高一上·山东·期中）（多选）已知函数的定义域为，且，的图象关于对称.当时，，若，则（    ） A．的周期为4 B．的图象关于对称 C． D．当时， 【答案】ABC 【分析】根据已知推得的周期为4，且、分别是对称轴和对称中心判断A，进而有判断B；利用周期性求函数值判断C；求得、，待定系数法求函数中参数值，再由周期性求上解析式判断D. 【详解】由的图象关于对称，即的图象关于对称， 所以，又，故， 所以，且的一条对称轴为， 即的周期为4，且、分别是对称轴和对称中心，A对； 所以，即，关于对称，B对； ，C对； 若，则，即， 又，，即， 所以， 则，可得，故， 所以时，D错. 故选：ABC 【变式1】（24-25高一上·浙江宁波·期中）（多选）已知函数满足：对于，都有，且，则以下选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用赋值法，结合条件分析得的值，从而判断AB，利用赋值法，结合AB中的结论、抽象函数的奇偶性和周期性的判定方法判断CD，从而得解. 【详解】对于B：令，则 令，则所以 因为，所以， 令，则，故B正确； 对于A：由选项B可得，所以或， 若，则， 所以，这与矛盾，舍去； 若，则，解得， 因为，所以，，故A错误； 对于C：令，则， 因为，，所以，所以为偶函数， 令，则， 即，所以，故C正确； 对于D：由选项C知，所以， 又为偶函数，所以，即， 所以，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：抽象函数求值问题，一般是通过赋值法，即在已知等式中让自变量取特殊值求得一些特殊的函数值，解题时注意所要求函数值的变量值与已知的量之间的关系，通过赋值还可能得出函数的奇偶性、周期性，这样对规律性求值起到决定性的作用. 【变式2】（24-25高一上·福建泉州·期中）（多选）已知定义在上的函数满足，当时，，且，则（    ） A． B．为奇函数 C．在上单调递减 D．任意，存在，使得 【答案】BCD 【分析】运用赋值法，结合函数定义逐项判断即可得. 【详解】对于A，令，，因为，所以解之可得，故A错误； 对于B，由题设有，即， 所以为奇函数，故B正确； 对于C，令，则有，当时，， 故，则 所以，所以可得， 则在上单调递减，故C正确； 对于D，，由于为奇函数， 设，对任意， 都有，所以为奇函数， 故对任意，存在， 使得，使得， 即任意，存在，使得， 故D正确. 故选：BCD 期中基础通关练（测试时间：15分钟） 一、单选题 1．（24-25高一上·重庆·期中）设是偶函数，且定义域为，，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇偶性可得，，，解出，进而得出答案． 【详解】由偶函数的定义域是关于原点对称的，所以， 显然，，所以． 故选：B． 2．（24-25高一上·福建莆田·期中）设偶函数在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的性质得到，再根据函数的单调性判断即可. 【详解】因为为偶函数，所以， 又在区间上单调递增，，所以， 则. 故选：B. 3．（24-25高一上·四川遂宁·期中）已知函数为偶函数，当时，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当，则代入利用偶函数的性质可求解. 【详解】当，则，所以， 根据偶函数性质可知. 故选：C 4．（24-25高一上·四川成都·期中）下列函数既是奇函数又在区间上递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据常见函数的奇偶性、单调性判断各选项即可. 【详解】对于A，函数定义域为，奇函数，在上单调递减； 对于B，函数定义域为，偶函数，在上单调递减； 对于C，函数定义域为，奇函数，在上单调递增； 对于D，函数定义域为，奇函数，在上单调递减. 故选：C. 二、多选题 5．（24-25高一上·陕西渭南·期中）定义在R上的函数满足，且是单调函数，，则（   ） A．函数为奇函数 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用函数的性质来判断奇偶性，利用单调性来判断函数值的大小，即可作出选择. 【详解】因为定义在R上的函数满足，所以是奇函数， 从而，所以A，B正确； 因为是单调函数，且． 所以是R上的单调递增函数，故，所以C错误； 由于，且是R上单调递增函数， 故，所以D正确． 故选：ABD． 6．（24-25高一上·黑龙江伊春·期中）定义在上的偶函数满足，且在上是增函数，下列关于的判断正确的是（   ） A．是周期函数 B．关于直线对称 C．在上是增函数 D． 【答案】ABD 【分析】由可推得，可判断A；由是R上的偶函数，则，结合关系式，得到的对称性，可判断B；再根据周期函数的性质，且在上是增函数，即可推出在上的单调性，可判断C；由可得的关系可判断D. 【详解】对于A：定义在上的函数满足， ∴，所以是周期为2的周期函数，故A正确； 对于B：∵是偶函数，所以，∴关于直线对称，故B正确； 对于C：因为为偶函数，在是增函数，所以在上是减函数，故C不正确； 对于D：由，令得，故D正确. 故选：ABD. 7．（24-25高一上·重庆·期中）已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在上单调递减，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据题意得出，在上的单调性，结合函数的单调性，逐项判断，即可求解. 【详解】因为是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且两函数在上单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，因为是定义在上的奇函数，所以. 对于A，由在上单调递减，得，故，故A正确； 对于B，，因为在上单调递增，所以，又在上单调递减，故，故B正确； 对于C选项，因为在上单调递减，故，又在上单调递减，故，故C正确； 对于D选项，在上单调递增，故，但不确定的大小关系，无法比较，故D错误. 故选：ABC 三、填空题 8．（24-25高一上·天津·期中）已知在上是周期为3的奇函数，当时，，则 . 【答案】 【分析】根据周期可得，根据奇函数得，代入已知条件即可求解. 【详解】因为的周期为3，且为奇函数， 所以. 故答案为： 期中重难突破练（测试时间：30分钟） 一、单选题 9．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数满足，在上单调递减，，则的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知函数关于直线对称，进而分析单调性和符号，根据符号解不等式即可. 【详解】因为，可知函数关于直线对称， 又因为在上单调递减，， 则在上单调递增，， 可知当时，；当时，； 若，可得或，解得或， 所以的解集是. 故选：D. 10．（24-25高一上·湖北武汉·期中）已知函数是定义在上的偶函数．，且，恒有．若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知不等式转化后得出函数在上是增函数，不等式转化为，然后由偶函数与单调性求解即可． 【详解】不妨设，所以， 则， 所以， 令，则， 所以在上单调递增， 又是偶函数，所以， 即也是偶函数，则其在上单调递减， 因为，所以， 则， 所以，解之得． 故选：D 二、多选题 11．（24-25高一上·福建福州·期中）已知函数的定义域为，对任意实数x，y满足，且，当时，．下列结论正确的有（   ） A． B． C．为上的减函数 D．为奇函数 【答案】AD 【分析】根据给定条件，利用赋值法计算判断AB；赋值结合单调性判断C；令，利用奇函数的定义推理判断D. 【详解】定义在上的函数，，，且， 对于A，令，得，则，A正确； 对于B，令，得，则， 令，，B错误； 对于C，由，得不为上的减函数，C错误； 对于D，，则，因此， 函数为奇函数，D正确， 故选：AD 12．（24-25高一上·湖北荆州·期中）已知函数的定义域均为，且，若的图象关于直线对称，则以下说法正确的是（    ） A．为奇函数 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用对称性、和周期性的性质，结合与之间的关系，逐项判断即可． 【详解】可得， 又， ，故，C正确 的图象关于直线对称， ， ， ， ，，，B正确； 的图象关于直线对称， ，，是偶函数； 又， ， ，又是偶函数， ， 是偶函数，故A错误， 由得，根据是偶函数，， 又，，由，， ，D正确． 故选：BCD． 13．（24-25高一上·山东泰安·期中）定义域为的函数，对任意，，且不恒为0，则下列说法正确的是（   ） A． B．为偶函数 C．若，则关于中心对称 D．若，则 【答案】BCD 【分析】令，再根据不恒为0，可求出的值判断A；令，化简后根据偶函数的定义判断B；令，化简后根据对称性的定义判断C；令，结合BC结论化简判断D. 【详解】选项A：令可得，因为不恒为0，所以，A说法错误； 选项B：由A可知，令可得， 所以，即，为偶函数，B说法正确； 选项C：若，令可得， 即，所以关于中心对称，C说法正确； 选项D：令，则， 因为为偶函数，，所以， 因为任意，， 所以，即， 所以， 又因为关于中心对称，所以， 所以，即，D说法正确； 故选：BCD 【点睛】结论点睛：函数的对称性与周期性： （1）若，则函数关于中心对称； （2）若，则函数关于对称； （3）若，则函数的周期为2a； （4）若，则函数的周期为2a. 三、解答题 14．（24-25高一上·广东广州·期中）函数是定义在上的奇函数， (1)确定的解析式； (2)请用定义法证明在上的单调递增； (3)解关于t的不等式． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得，解可得的值，又由，解可得的值，将、的值代入函数解析式即可得答案； （2）根据题意，设，由作差法分析可得结论； （3）由函数的奇偶性与单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可； 【详解】（1）根据题意，函数是定义在上的奇函数， 则，解得， 又由，则有，解得，则， 所以，满足条件，所以； （2）由（1）知， 证明：设， 则， 又由，所以、、 则，，，， 则， 则函数在上为增函数； （3）根据题意，即 ，即 ， 即，解得：， 即不等式的解集为． 15．（23-24高一上·湖北鄂州·期中）已知定义在上的函数满足：对都有且当时，. (1)判断函数的奇偶性并用定义证明； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； (3)解不等式：. 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)单调递减，证明见解析 (3) 【分析】（1）利用函数的奇偶性定义求解； （2）利用函数的单调性定义证明； （3）利用函数的奇偶性和单调性，由求解. 【详解】（1）解：函数是奇函数，证明如下： 令，则，解得， 令，则，令，则. 为定义在上的奇函数. （2）函数在上单调递减，证明如下： 设，则， ， . 又， ， 又当时，， ，即，即， 在上单调递减； （3）由得， 的定义域为且在上是单调递减的， ，解得， 不等式的解集为. 16．（24-25高一上·浙江·期中）函数满足：对任意实数，，有成立，函数，，，且当时，． (1)求并证明函数为奇函数； (2)证明：函数在上单调递增； (3)若关于的不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)，证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）赋值求得，根据奇函数的定义证明函数为奇函数； （2）由题意可得，根据单调性的定义分析证明； （3）根据题意结合函数性质可得，利用参变分离可得，利用基本不等式分析求解即可. 【详解】（1）因为， 令，则，得； 令，则，得； ，令， 依题意得，即， 所以是奇函数. （2）由得，即， ，，，则，则， 可得， 即，所以函数在上单调递增. （3）因为，，且函数为奇函数， 则，可知是偶函数， 且， 因为，可得， 因为是偶函数，且，可得， 又因为函数在上单调递增，可得， 因为，则，可知， 当时，， 当且仅当，即时，等号成立； 当时，， 当且仅当，即时，等号成立； 综上所述：， 可得，解得，且， 所以的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，利用函数的奇偶性与单调性得到，从而分类讨论即可得解. 期中综合拓展练（测试时间：10分钟） 一、单选题 17．（2025·全国一卷·高考真题）已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解. 【详解】由题知对一切成立， 于是. 故选：A 18．（2023·全国乙卷·高考真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据偶函数的定义运算求解. 【详解】因为为偶函数，则， 又因为不恒为0，可得，即， 则，即，解得. 故选：D. 19．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 【答案】B 【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出值，再检验即可. 【详解】因为 为偶函数，则 ，解得， 当时，，，解得或， 则其定义域为或，关于原点对称. ， 故此时为偶函数. 故选：B. 二、填空题 20．（2024·上海·高考真题）若函数是奇函数，则实数 . 【答案】0 【分析】根据奇函数的定义求解． 【详解】是奇函数，则恒成立， 所以，解得 故答案为：0． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 函数及其性质 （单调性、奇偶性、周期性、对称性）（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 5.1 函数单调性的定义与证明 能用定义法（取值→作差→变形→判号→结论）证明函数的单调性。 解答题核心考法，变形判号是关键步骤和难点。 5.2 复合函数“同增异减”法则的判断 能判断简单复合函数的单调性。 小题中快速解题的工具。 5.3 函数奇偶性的判断 能先判断定义域是否对称，再通过计算f(-x)判断奇偶性。 易错点就是忽略定义域，必考点。 5.4 奇偶函数图象的对称性及其应用 能利用奇偶性简化求值、作图和分析问题。 常与单调性结合考查。 5.5 函数周期性的判断与应用 能根据f(x+T)=f(x)判断周期性，并利用周期性求函数值。 常作为小题的压轴点，需要灵活运用。 5.6 函数对称性的判断（关于点、关于轴对称） 能识别并证明函数图象关于点或轴的对称性。 与奇偶性关系密切，是能力的提升点。 5.7 函数性质的综合应用（解不等式、比较大小） 能综合利用单调性、奇偶性将抽象不等式转化为具体不等式求解。 期中压轴题标准模式，综合性最强 知识点01 函数的单调性与单调区间 设函数的定义域是D，区间，如果对于任意的，，当时，都有 ，则称在区间I上是 ，（也称在区间I上单调递增），如图所示. 当时，都有 ，则称在区间I上是 ，（也称在区间I上单调递减）如图所示. 两种情况下，都称函数在区间I上具有 （区间I称为函数的 ，也可分别称为 和 ） 知识点02 函数的最值 最值 最大值 最小值 条件 函数的定义域为，存在实数满足： （1）对于任意的，都有 （2）存在，使 （1）对任意，都有 （2）存在，使 结论 是函数的最大值 是函数的最小值 知识点03 单调性的常见运算 （1） 单调性的运算 ①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗ ②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘ ③为↗，则为↘，为↘ ④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗ ⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘ ⑥增函数（↗）减函数（↘）未知（导数）（跨章节） （2） 复合函数的单调性 知识点04 函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数的定义域为，如果对内任意一个，都有 ，且 ，则称函数是偶函数 关于 对称 奇函数 一般地，设函数的定义域为，如果对内任意一个，都有 ，且 ，则称函数是奇函数 关于 对称 知识点05 与指数函数相关的奇函数和偶函数（跨章节） ，（，且）为偶函数， ，（，且）为奇函数 和，（，且）为其定义域上的奇函数 和，（，且）为其定义域上的奇函数 为偶函数 知识点06 与对数函数相关的奇函数和偶函数（跨章节） ，（且）为奇函数， ，（且）为奇函数 知识点07 奇函数+常函数 在定义域内，若，其中为奇函数，为常数，有 即倍常数 知识点08 函数的周期性 ①周期函数：一般地，设函数的定义域为D，如果存在一个 ，使得对每一个都有，且 ，那么函数就叫做周期函数． 叫做这个函数的周期． ②最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的 ，那么这个最小 就叫做的 ． 若，则的周期为： 若，则的周期为： 若，则的周期为：（周期扩倍问题） 若，则的周期为：（周期扩倍问题） 知识点09 函数的对称性 轴对称 ①若，则的对称轴为 ②若，则的对称轴为 点对称 ①若，则的对称中心为 ②若，则的对称中心为 知识点10 周期性对称性综合问题 ①若，，其中，则的周期为： ②若，，其中，则的周期为： ③若，，其中，则的周期为： 知识点11 奇偶性对称性综合问题 ①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为： ②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为： 题型一 用定义法判断或证明函数单调性及求解最值 【典例1】（24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数. (1)函数单调性的定义证明：函数在上单调递增； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【典例2】（24-25高一上·湖南·期末）已知函数. (1)若，求的值； (2)判断在上的单调性并利用定义法证明； (3)求在上的最大值. 【变式1】（24-25高一上·浙江·期中）已知定义在上的函数，满足． (1)求的解析式； (2)求证：在上是增函数． 【变式2】（24-25高一上·福建泉州·期中）已知函数. (1)判断函数在的单调性，并用定义证明； (2)求函数在的值域. 题型二 求单调区间 解｜题｜技｜巧 拆分复合函数为内外层函数，根据 “同增异减” 原则判断单调性（内外层单调性相同则复合函数增，相反则减） 【典例1】（24-25高一上·吉林长春·期中）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高一上·福建福州·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【变式1】函数的单调增区间为（    ） A． B． C．和 D． 【变式2】（24-25高一上·福建泉州·期中）已知函数在上单调递增，则的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 题型三 据函数的单调性（含分段函数）求参数值 解｜题｜技｜巧 （1）分段函数各段单调：分别保证每一段函数在对应区间内单调（如一次函数看斜率符号，二次函数看对称轴与区间的位置关系）。 （2）衔接处满足单调：相邻分段区间的衔接点处，左段函数的最大值不超过右段函数的最小值（递增时）或左段最小值不小于右段最大值（递减时）。 【典例1】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数，对于，都有成立，求a的取值范围（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·辽宁大连·期中）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·安徽·期中）函数是增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型四 根据函数单调性解不等式 解｜题｜技｜巧 （1）确定单调区间：先分析函数的单调区间（可通过导数、基本函数性质等方法）。 （2）转化不等式：利用单调性将函数值的不等关系转化为自变量的大小关系 （3）解不等式组：结合定义域与转化后的自变量不等式，求解最终解集。 【典例1】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数是定义在的增函数，则满足的x取值范围（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高一上·山西·期中）已知定义域为的增函数满足，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·江西鹰潭·期中）已知定义在上的函数满足对，都有，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式2】若函数是定义域为，且对，且，有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 题型五 根据函数单调性比较函数值大小关系 解｜题｜技｜巧 （1） 同一单调区间：若自变量在同一单调区间内，直接根据单调性比较函数值大小（如递增函数自变量大则函数值大）。 （2） 不同单调区间：利用奇偶性、对称性将自变量转化到同一单调区间。 （3）特殊点结合：若有特殊点（如零点、最值点），结合这些点的函数值辅助比较。 【典例1】（24-25高一上·江苏宿迁·期中）已知定义在上的函数满足，且在上单调递减，则，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·湖南邵阳·期中）函数为定义在上的减函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·四川成都·期中）定义在区间上的函数满足，时，，若，，，则三个实数a，b，c的大小关系为 ．（用“＜”连接） 题型六 用定义法判断或证明函数奇偶性 【典例1】（24-25高一上·重庆·期中）已知函数（）是减函数. (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)解关于的不等式：（）. 【典例2】（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知函数是定义在上的增函数，并且满足，． (1)求和的值； (2)判断函数的奇偶性； (3)解关于的不等式 【变式1】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数． (1)判断函数在R上的奇偶性，并证明之； (2)判断函数在R上的单调性，并用定义法证明； (3)写出在R上的值域． 【变式2】（24-25高一上·浙江温州·期中）定义在上的函数满足：对任意的，都有，且当时，. (1)求证：是奇函数； (2)判断的正负，并说明理由. 题型七 根据函数的奇偶性求参数值 解｜题｜技｜巧 （1） 特殊值法：若函数定义域含 0，奇函数满足(f(0)=0)；代入(x=1)、(x=-1)等特殊值，结合奇偶性列方程（如偶函数(f(-1)=f(1))）。 （2） 系数比较法：对于多项式函数，奇函数偶次项系数为 0，偶函数奇次项系数为 0。 （3）定义法：根据奇偶性定义，整理等式后对比系数或化简求解参数。 【典例1】（24-25高一上·重庆·期中）设是偶函数，且定义域为，，则 （    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数，若为奇函数，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·广东江门·期中）已知函数为奇函数.则 . 【变式2】（21-22高一下·上海徐汇·开学考试）设为实数，函数是奇函数，则 ． 题型八 抽象函数奇偶性的综合应用 解｜题｜技｜巧 （1） 赋值法推导关系：令(x=0)、(x=-y)等特殊值，结合已知条件推导(f(-x))与(f(x))的关系（如令(x=0)得(f(0))的值，令(y=x)得(f(-x))表达式）。 （2） 结合单调性解不等式：利用奇偶性将不等式转化为(f(|x|))的形式（偶函数），或结合奇函数在对称区间的单调性一致，转化自变量范围。 （3）综合应用求最值：根据奇偶性与单调性，确定函数在对称区间的最值（如奇函数在([-a,a])的最值互为相反数）。 【典例1】已知对任意x，，都有，且，那么 （    ） A．是奇函数但不是偶函数 B．既是奇函数又是偶函数 C．既不是奇函数也不是偶函数 D．是偶函数但不是奇函数 【典例2】（24-25高一上·浙江·期中）（多选）已知函数的定义域为，满足：①对于任意的，，都有，②存在，，使得，则（   ） A． B． C．当时，为奇函数 D．当时，为偶函数 【变式1】（24-25高一上·江苏扬州·期中）已知函数对任意实数，都满足，且，，则函数是（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 【变式2】（24-25高一上·湖南·期中）（多选）已知函数的定义域为，且，则下列选项正确的是（   ） A． B． C．是奇函数 D．是偶函数 题型九 函数周期性的综合应用 解｜题｜技｜巧 （1） 找周期：根据周期定义（如(f(x+T)=f(x))）或递推关系（如(f(x+a)=-f(x))则周期为2a）确定周期T。 （2） 简化计算：利用周期性将大自变量值转化为小范围值，结合已知区间的函数值求解。 （3）结合其他性质：与单调性、奇偶性结合，分析周期区间内的函数特征（如周期函数在每个周期内单调性相同）。 【典例1】（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知定义域为的偶函数满足，则（    ） A．3 B．2 C．6 D．10 【典例2】（24-25高一上·重庆·期中）若，且，则（    ） A．-2 B．-1 C． D．0 【变式1】（24-25高一上·陕西咸阳·期中）已知函数的定义域为，，且，则（   ） A．1 B． C．2024 D． 【变式2】若是定义在上的奇函数，，，则 ． 题型十 函数对称性的综合应用 解｜题｜技｜巧 （1） 轴对称：利用对称性转化函数值。 （2） 结合对称中心推导函数值关系。 （3）综合应用：与单调性、周期性结合，分析函数在对称区间的取值规律（如轴对称函数在对称点的函数值相等）。 【典例1】（24-25高一上·山东淄博·期中）已知方程有唯一的根，则（   ） A． B． C． D．1 【典例2】（24-25高一上·福建福州·期中）已知函数为奇函数.，与的图象有8个交点，分别为，则 【变式1】（24-25高一上·黑龙江伊春·期中）（多选）定义在上的偶函数满足，且在上是增函数，下列关于的判断正确的是（   ） A．是周期函数 B．关于直线对称 C．在上是增函数 D． 【变式2】（24-25高一上·上海·期中）已知.函数的图像是一个中心对称图形.若函数与函数的图像交点分别为为正整数），则 . 注： 题型十一 函数性质的综合应用 解｜题｜技｜巧 （1） 梳理性质：先分析函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性（确定周期、对称轴、对称中心）。 （2） 转化自变量：利用周期性将大自变量变小，对称性将自变量转化到已知区间。 （3）综合应用：结合单调性比较函数值、解不等式，或利用奇偶性简化表达式，最终解决复杂综合问题。 【典例1】（24-25高一上·山东泰安·期中）（多选）定义域为的函数，对任意，，且不恒为0，则下列说法正确的是（   ） A． B．为偶函数 C．若，则关于中心对称 D．若，则 【典例2】（24-25高一上·山东·期中）（多选）已知函数的定义域为，且，的图象关于对称.当时，，若，则（    ） A．的周期为4 B．的图象关于对称 C． D．当时， 【变式1】（24-25高一上·浙江宁波·期中）（多选）已知函数满足：对于，都有，且，则以下选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·福建泉州·期中）（多选）已知定义在上的函数满足，当时，，且，则（    ） A． B．为奇函数 C．在上单调递减 D．任意，存在，使得 期中基础通关练（测试时间：15分钟） 一、单选题 1．（24-25高一上·重庆·期中）设是偶函数，且定义域为，，则 （    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·福建莆田·期中）设偶函数在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·四川遂宁·期中）已知函数为偶函数，当时，则当时，（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·四川成都·期中）下列函数既是奇函数又在区间上递增的是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（24-25高一上·陕西渭南·期中）定义在R上的函数满足，且是单调函数，，则（   ） A．函数为奇函数 B． C． D． 6．（24-25高一上·黑龙江伊春·期中）定义在上的偶函数满足，且在上是增函数，下列关于的判断正确的是（   ） A．是周期函数 B．关于直线对称 C．在上是增函数 D． 7．（24-25高一上·重庆·期中）已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在上单调递减，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 8．（24-25高一上·天津·期中）已知在上是周期为3的奇函数，当时，，则 . 期中重难突破练（测试时间：30分钟） 一、单选题 9．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数满足，在上单调递减，，则的解集是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·湖北武汉·期中）已知函数是定义在上的偶函数．，且，恒有．若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（24-25高一上·福建福州·期中）已知函数的定义域为，对任意实数x，y满足，且，当时，．下列结论正确的有（   ） A． B． C．为上的减函数 D．为奇函数 12．（24-25高一上·湖北荆州·期中）已知函数的定义域均为，且，若的图象关于直线对称，则以下说法正确的是（    ） A．为奇函数 B． C． D． 13．（24-25高一上·山东泰安·期中）定义域为的函数，对任意，，且不恒为0，则下列说法正确的是（   ） A． B．为偶函数 C．若，则关于中心对称 D．若，则 三、解答题 14．（24-25高一上·广东广州·期中）函数是定义在上的奇函数， (1)确定的解析式； (2)请用定义法证明在上的单调递增； (3)解关于t的不等式． 15．（23-24高一上·湖北鄂州·期中）已知定义在上的函数满足：对都有且当时，. (1)判断函数的奇偶性并用定义证明； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； (3)解不等式：. 16．（24-25高一上·浙江·期中）函数满足：对任意实数，，有成立，函数，，，且当时，． (1)求并证明函数为奇函数； (2)证明：函数在上单调递增； (3)若关于的不等式恒成立，求的取值范围． 期中综合拓展练（测试时间：10分钟） 一、单选题 17．（2025·全国一卷·高考真题）已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 18．（2023·全国乙卷·高考真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 19．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 二、填空题 20．（2024·上海·高考真题）若函数是奇函数，则实数 . 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $