3.2函数的性质(周期性与对称性)讲义-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

函数的周期性和对称性 1、函数的周期性 序号 函数满足的关系 周期T (1) (2) (3) (4) (5) (6) 或 (7) 函数关于直线与对称 (8) 函数关于点，对称 (9) 函数关于直线对称，又关于直线对称 (10) 若函数是偶函数 其图像关于直线 其图像关于点对称 (11) 若函数是奇函数 其图像关于直线 其图像关于点对称 且有 (12) 4a (13) 2、函数的对称性 记忆方法：自对称找中心，互对称让两式子中( )里的值相等 (一个函数求平均，两个函数解方程；求一相加除以二，求二相等解方程) 一、函数的周期性及应用 【例1】已知是以2为周期的函数，且，则 变式1-1： 已知定义在R上的函数满足，当时，，则 变式1-2：若偶函数对任意都有，且当时，，则______． 变式1-3：函数对于任意实数x满足条件，若，则______. 变式1-4：函数的定义域为，且，.若对任意实数，都有，则( ) A． B．-1 C．0 D．1 二、函数的对称性及应用 【例2】写出一个满足，且的函数的解析式__________． 变式2-1：设函数的定义域为，则函数与函数的图象关于(   ) A．点对称 B．直线对称 C．点对称 D．直线对称 变式2-2：已知函数满足，函数与图像的交点分别为，，，，， ，，则(   ) A．-14 B．-7 C．7 D．14 变式2-3：设函数的定义域为R，则下列命题： ①若是偶函数，则的图像关于轴对称； ②若是偶函数，则的图像关于直线对称； ③若，则函数的图像关于直线对称； ④与的图像关于直线对称． 其中正确命题的序号为________． 三、周期性与奇偶性结合 【例3】已知的定义域为为偶函数，为奇函数，且当时，，则的值等于( ) A．1 B． C．5 D． 变式3-1：已知函数是定义在R上的奇函数，为偶函数，且，则(　　) A．2 B．1 C．0 D． 变式3-2：已是定义域为上的奇函数，满足，若，则( ) A．0 B．1 C．2 D．2021 变式3-3：设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则(   ) A． B． C． D． 变式3-4：(多选)已知定义在上的奇函数满足. 当时，，则下列结论正确的是(   ) A．的图象关于轴对称 B． C． D． 四、对称性与周期性结合 【例4】定义在R上的函数满足下列三个条件： ①； ②对任意，都有；③的图像关于轴对称．则下列结论中正确的是( ) A． B． C． D． 变式4-1：对，函数满足，.当时，.设，，，则，，的大小关系为____________. 变式4-2：定义在上的函数满足，，且当时，，则方程在上所有根的和为(   ) A． B． C． D． 五、单调性与对称性的结合 【例5】已知函数对任意实数都有，并且对任意，都有，则下列说法正确的是(   ) A． B． C． D． 变式5-1：(多选)若函数满足：，，且则(   ) A． B．， C． D．若，则1＜m＜3 变式5-2：已知定义在R上的奇函数的图象关于直线对称，且在上单调递增，若，，，则，，的大小关系为(   ) A． B． C． D． 变式5-3：已知定义在上的函数满足，其图象经过点，且对任意，且，恒成立，则不等式的解集为(   ) A． B． C． D． 六、单调性、奇偶性与周期性结合 【例6】已知函数是定义域为R的偶函数，且，若在[-1，0]上是减函数，那么 在[2，3]上是(　　) A．增函数 B．减函数 C．先增后减的函数 D．先减后增的函数 变式6-1：定义在上的奇函数满足且在上是增函数，则(   ) A． B． C． D． 变式6-2：已知函数的定义域为，且满足下列三个条件： ①对任意的，当时，都有； ②； ③是偶函数； 若，，， 则的大小关系正确的是(   ) A． B． C． D． 七、奇偶性、周期性与对称性结合