专题07 函数的应用（零点与方程的根、函数模型）（期中复习讲义）高一数学上学期人教A版

专题07 函数的应用 （零点与方程的根、函数模型）（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 7.1 函数零点的概念与求法 能理解零点的定义，会求简单函数的零点（令f(x)=0求解）。 概念理解题。 7.2 零点存在性定理的理解与应用 能判断函数在区间[a,b]上是否连续，并验证f(a)·f(b)<0，从而判断零点存在性。 高频考点，易错在“连续”条件的忽视。 7.3 判断函数零点（方程根）的个数 能通过图象法（两个函数图象的交点）或单调性法判断零点个数。 常见中等题，数形结合思想的典型应用。 7.4 二分法求方程近似解的原理与步骤 能叙述二分法的原理和操作步骤，理解其“逐步逼近”的思想。 了解性考点，通常不要求具体计算。 7.5 一次、二次函数模型的应用 能根据实际问题建立直线或二次函数模型解决最优值等问题。 基础应用模型。 7.6 指数函数、对数函数模型的应用（增长、衰减、复利等） 能识别指数增长/衰减的特征，并建立相应模型解决实际问题。 期中应用题压轴题型，符合当前命题趋势。 7.7 函数模型的选择与评价 能根据数据特征或散点图选择适当的函数模型，并对结果进行合理性分析。 考查数学建模核心素养的最高层次 知识点01 函数零点的定义 一般地，对于函数，把使 的实数 叫作函数的零点.函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图象与轴的交点的横坐标. 方程、函数、函数图象之间的关系： 方程有实数解函数的图象 与轴有公共点 函数 有零点 . 知识点02 函数零点存在性定理 如果函数在区间上的图象是 连续不断 的一条曲线，且有 ，那么函数在区间内 至少有一个 零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. 知识点03 函数单调性对零点个数的影响 如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个。因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断函数是否单调 知识点04 几个“不一定”与“一定”（假设在区间连续） （1）若，则“一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点。要分析的性质与图象，如果单调，则“一定”只有一个零点 （2）若，则“不一定”存在零点，也“不一定”没有零点。如果单调，那么“一定”没有零点 （3）如果在区间中存在零点，则的符号是“不确定”的，受函数性质与图象影响。如果单调，则一定小于0 知识点05 零点与单调性配合可确定函数的符号 是一个在单增连续函数，是的零点，且，则时，；时， 知识点06 证明零点存在的步骤 （1）将所证等式中的所有项移至等号一侧，以便于构造函数 （2）判断是否要对表达式进行合理变形，然后将表达式设为函数 （3）分析函数的性质，并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间 （4）利用零点存在性定理证明零点存在 知识点07 三种函数模型的性质 函数 性质 y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) y＝xn (n>0) 在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 知识点08 常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 幂函数模型 f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠0) 知识点09 解函数模型问题的步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型． (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型． (3)解模：求解数学模型，得出数学结论． (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如下： 题型一 求函数的零点及零点个数 解｜题｜技｜巧 （1） 函数零点即函数值为0时的自变量值，解方程(f(x)=0)可得零点。 （2）结合区间端点、特殊点的函数值，辅助确认零点是否存在及个数（如端点值异号则区间内有零点）。 【典例1】（24-25高一上·河南郑州·期中）（多选）函数的零点有（    ） A．0 B． C． D．3 【答案】BC 【分析】根据函数零点定义，结合因式分解法进行求解即可. 【详解】，或， 故选：BC 【典例2】（24-25高一上·黑龙江伊春·期中）函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】令，则，作出的图象，把问题转化为图象交点个数问题． 【详解】令，则， 在同一直角坐标系中作出的图象，    由图可知，的图象有1个交点， 则函数有1个零点． 故选：B． 【变式1】（24-25高一上·云南昆明·期中）函数的两个零点为，则= 【答案】/ 【分析】由零点定义可得答案. 【详解】令， 得的零点为1与，则. 故答案为： 【变式2】（24-25高一上·辽宁大连·期中）已知函数，函数，则函数的零点个数为 个． 【答案】2 【分析】 函数的零点个数问题转化为求函数与直线的交点个数，求的表达式，作图数形结合即可得到结果. 【详解】 由得，函数的零点个数为函数与直线的交点个数. 由题意得，，则， ∴. 如图，在坐标系中画出函数与的图象，观察图象可知，函数只有2个零点． 故答案为：2. 题型二 用零点存在性定理判断零点所在区间 解｜题｜技｜巧 （1） 确认函数在区间([a,b])上连续（如多项式、指对数函数等基本函数的组合通常连续）。 （2） 计算区间端点的函数值(f(a))和(f(b))，若(f(a)f(b)<0)，则区间内至少有一个零点。 （3）结合函数单调性，可进一步判断区间内零点的唯一性。 【典例1】（24-25高一上·河南开封·期中）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据基本初等函数性质求得函数的单调性，在利用函数零点存在性定理即可求解. 【详解】因为在上单调递减，所以在上单调递减， 又 ， 所以， 根据函数零点存在定理可知，函数在区间上有零点. 故选：C. 【变式1】（24-25高一上·浙江杭州·期中）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分析函数单调性，再利用零点存在性定理求解即可. 【详解】因为在上单调递增， 又，， 所以由零点存在性定理可知，函数存在唯一零点，且. 故选：B. 【变式2】（24-25高一上·北京海淀·期中）函数的一个零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先判断在上的单调性，再由零点存在性定理判断即可. 【详解】因为与均在上单调递增， 所以在上单调递增， 又，，，所以，所以在上存在一个零点. 故选：B 题型三 求方程的根及根的个数 解｜题｜技｜巧 （1） 将方程变形为(f(x)=0)，方程的根等价于函数(f(x))的零点。 （2） 分析函数(f(x))的单调性、根据极值（跨章节）的正负判断函数与x轴的交点数。 （3）结合函数定义域和极限趋势，综合判断根的个数。 【典例1】（24-25高一上·河南·期中）方程的根的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】将方程的根的个数转化为函数（），（）两函数图象交点个数问题，画图分析即可. 【详解】由题意可转化为函数（），（）两函数图象交点问题， 在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，如图所示， 由图得两个函数图象有2个交点，故原方程根的个数为2． 故选：B． 【变式1】（24-25高一上·山东淄博·期中）已知方程有唯一的根，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】先判断函数关于对称，从而得到即可. 【详解】设，则. 即，故关于对称. 又有唯一的根，则，故，解得. 故选：B 【变式2】已知函数当时，方程的根的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】结合分段函数、周期函数和函数零点的含义结合两个函数图像求解. 【详解】当时，即则的周期为 画出函数的图像， 令则又因为则 由图可知方程 的根的个数即为两个函数图像交点的个数， 由图像可知，当时，存在一个零点，因为时， 当时，则在两函数存在一个零点， 当时，则在两函数存在一个零点， 当时，则在两函数存在一个零点， 当时，恒成立，则两函数无零点. 综上所述，两函数有三个零点. 故选：D. 题型四 求图象的交点及交点个数 【典例1】（24-25高一上·四川泸州·期中）已知函数，若函数的图象与函数的图象有3个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出的图象，根据图形即可得出结果. 【详解】当时，，图象为开口向上的抛物线， 对称轴为，顶点坐标为，作的图象如下，    由图可知，函数图象有3个交点， 则， 即实数k的取值范围为. 故选：D． 【变式1】（24-25高一上·湖南·期中）已知函数. (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出的大致图象，并写出的单调区间及值域； (2)若函数的图象与轴有两个不同的交点，求实数的取值范围. 【答案】(1)作图见解析，答案见解析 (2) 【分析】（1）利用指数函数的图象与函数图象的变换即可作出的图象，再数形结合即可得到的单调区间及值域； （2）将问题转化为与的图象有两个交点，从而数形结合即可得解. 【详解】（1）因为的图象是由的图象向下平移两个单位而得， 而的图象是由的图象保留轴上方的图象， 再将轴下方的图象沿着轴向上翻折而得， 所以的大致图象如图， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，值域为. （2）因为函数的图象与轴有两个不同的交点， 所以有两个零点，即与的图象有两个交点， 结合图象可知，，解得， 即实数的取值范围为. 【变式2】（24-25高一上·湖北·期中）已知函数，其中 (1)用定义证明：函数，在上单调递增 (2)若函数的图象不经过第四象限，求的取值范围 (3)已知，当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用单调性的定义可证明； （2）作出示意图，数形结合可求得的取值范围； （3）作出示意图，数形结合可求得的取值范围； 【详解】（1），，且， ， ，， 故， 即， 在上单调增． （2）如图：只要即可， 的取值范围为；    （3）当时， 要使函数的图象与的图象有且只有一个交点， 也就是方程有一个解，如图可知，    只要， 即， 的取值范围为 题型五 指数函数模型 【典例1】（24-25高一上·浙江温州·期中）一个质量为的物体在空气中以初始速率落下，假设空气阻力大小与物体的速率满足（为正常数）可求得在时刻物体的速率，其中自然常数，为重力加速度的大小，按照此模型，可推得（   ） A．当时，随着变大，物体速率减小，但始终大于 B．当时，随䒴变大，物体速率增大，且始终大于 C．当时，随着变大，物体速率减小，且始终小于 D．当时，随着变大，物体速率增大，最终会等于 【答案】A 【分析】根据题目条件，结合指数型复合函数的单调性，判断关于的变化情况即可. 【详解】时，由，可得，故恒成立， 又，，由指数型复合函数的单调性，关于是单调递减函数， 于是随着变大，物体速率减小，A正确B错误； 时，由，可得，故恒成立， 又，由指数型复合函数的单调性，关于是单调递增函数， 于是随着变大，物体速率变大，CD均错误； 故选：A. 【变式1】（24-25高一上·四川泸州·期中）在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以6.15%的增长率呈指数增长，已知经过30天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的6倍，那么经过60天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的（    ） A．12倍 B．18倍 C．24倍 D．36倍 【答案】D 【分析】题目考察指数型函数的实际应用，设原数量为，根据题意可分别列出30天后和60天后的数量的指数表达式，从而得到倍数关系. 【详解】某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长，经过30天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的6倍， 设湖泊中原来蓝藻数量为，则， 所以经过60天后该湖泊的蓝藻数量为： 所以经过60天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的36倍. 故选：D. 【变式2】（24-25高一上·广东惠州·期中）某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储存温度x(单位：℃)满足函数关系 为自然对数的底数，k、b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是 （    ）小时. A．20 B．22 C．33 D．24 【答案】D 【分析】首先根据题意得到，从而得到，再根据求解即可. 【详解】由题知：， 所以，解得， 所以. 故选：D 题型六 对数函数模型 【典例1】（24-25高一上·广东佛山·期中）猪血木又名阳春红檀，原产于广东阳江阳春市、广西平南县和巴马县，是中国特有的单种属濒危植物，属于国家一级保护植物和极小种群野生植物．猪血木不仅实现了人工繁育，在阳江阳春市储备苗木近10万株，还被引种到广州、深圳、韶关、云浮等地．某地引种猪血木1000株，假设该地的猪血木数量以每年10%的比例增加，且该地的猪血木数量超过2000株至少需要经过年，则（   ） （参考数据：） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【分析】由题可得，然后由对数运算结合参考数据可得答案. 【详解】由题意得，则，解得． 因为，所以． 故选：B 【变式1】（24-25高一上·浙江宁波·期中）中国5G技术领先世界，其数学原理之一便是香农公式：，它表示：在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽、信道内信号的平均功率、信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫信噪比.按照香农公式，若不改变带宽，将信噪比从2000提升至10000，则大约增加了（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知公式，将信噪比看作整体，分别取求出相应的值，再利用对数运算性质与换底公式变形即可得解. 【详解】由题意，将信噪比从2000提升至10000， 则最大信息传递速率从增加至， 所以 . 故选：B. 【变式2】（24-25高一上·江苏连云港·期中）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.若甲地发生里氏4.5级地震，乙地发生里氏8.0级地震，则乙地地震释放出的能量是甲地地震释放出的能量的（    ） A．5.25倍 B．5.2倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【分析】根据题设关系式求得甲地能量、乙地能量，再做商即可求结果. 【详解】由题设，甲地里氏4.5级地震的能量为，则，即， 乙地里氏8.0级地震的能量为，则，即， 所以， 即乙地地震释放出的能量是甲地地震释放出的能量的倍. 故选：C 题型七 建立拟合函数模型解决实际问题 【典例1】（24-25高一上·广东·期中）中国芯片产业崛起，出口额增长迅猛，展现强劲实力和竞争力．中国自主创新，多项技术取得突破，全球布局加速.现有某芯片公司为了提高生产效率，决定投入108万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前年的支出成本为万元，每年的销售收入100万元 (1)求该芯片公司买该套生产设备产生的前年的总盈利额； (2)使用若干年后对该设备处理的方案有两种，方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以30万元的价格处理； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以54万元的价格处理，哪种方案较为合理?并说明理由(注：年平均盈利额=总盈利额使用年限) 【答案】(1)， (2)方案二更合理，理由见解析 【分析】（1）依题意可得，即可得到解析式； （2）根据二次函数的性质求出方案一的总利额，再由，利用基本不等式求出年平均盈利额达到最大值时的值，即可求出方案二的总利额，即可判断. 【详解】（1）依题意可得，； （2）方案一：总盈利额， 又， 所以当或时，取得最大值，此时处理掉设备，则总利额为万元； 方案二：年平均盈利额为， 当且仅当，即时，等号成立； 即时，年平均盈利额最大，此时， 此时处理掉设备：总利润为万元； 综上，两种方案获利都是万元，但方案二仅需要年即可，故方案二更合适． 【典例2】（24-25高一上·广东东莞·期中）东莞广播电视台旗下的电商平台—“家乡好物商城”依托广播、电视与互联网平台优势，主要销售东莞制造的优质产品及东莞对口支援、帮扶地区的农特产品，打通新疆、广西、云南、贵州等地区农特产品的产销对接渠道.近一个月来，“贵州黄牛肉”、“广西小砂糖橘”、“云南野苹果”等农特产品在东莞热销.通过对过去的一个月（以30天计）的“广西小砂糖橘”的销售情况的调查发现：每千克的销售价格（单位：元/千克）关于第天的函数关系近似满足（，且为常数），日销售量（单位：千克）关于第天的部分数据如下表所示： 9 14 18 22 29 54 59 63 59 52 已知第9的日销售收入为552元. (1)求的值； (2)给出以下四种函数模型： ①；②；③；④. 请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型（简要说明理由）来描述日销售量关于第天的变化关系，并求出该函数的解析式； (3)设该工艺品的日销售收入为函数（单位：元）；求函数的最小值. 【答案】(1) (2)比较合适， (3)元 【分析】（1）根据日销售收入等于日销售数量与日销售单位的乘积进行求解即可； （2）根据所给函数的单调性与的单调性进行判断选择即可； （3）根据基本不等式、函数单调性的性质，结合（2）的结论进行求解即可. 【详解】（1）因为第9的日销售收入为552元， 所以有； （2）由函数、、 的解析式可知：这三个函数的单调性要么在定义域内递增，要么递减，要么是常值函数，不会出现在定义域内，即有单调递减又有递增的情况， 而函数在时，在时是单调递增，在上单调递减， 由列表可知：的单调性是先增后减，因此合适， 把代入，得， 显然也满足函数的解析式； （3）由题意可知：， 当时，， 当且仅当时取等号，即当时，取等号，此时； 当时，， 显然此时函数单调递减，此时， 综上所述：函数的最小值元. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点之一是根据表中数据反映出的单调变化选择函数的解析式，之二是根据绝对值的性质，结合基本不等式、函数单调性的性质进行求解. 【变式1】（24-25高一上·江苏南京·期中）两县城和相距，现计划在县城外以为直径的半圆弧（不含，两点）上选择一点建造垃圾处理站，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，垃圾处理厂对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为；对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为.对城和城的总影响度为城和城的影响度之和，记点到城市的距离为，建在处的垃圾处理厂对城和城的总影响度为.统计调查表明：当垃圾处理厂建在的中点时，对城和城的总影响度为. (1)将表示成的函数； (2)判断弧上是否存在一点，使得建在此处的垃圾处理厂对城和城的总影响度最小？若存在，求出该点到城的距离；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在；出该点到城的距离为 【分析】（1）由已知可得，再由当垃圾处理厂建在的中点时，对城和城的总影响度为求出即可； （2）由（1）得，令，换元后由基本不等式求解即可； 【详解】（1）由为直径，得，所以， 由已知可得， 又当垃圾处理厂建在的中点时，对城和城的总影响度为， 即当时，， 代入上式可得，解得， 所以. （2）存在， ， 令， 则， 因为，当且仅当即时取等号， 所以，此时. 【变式2】某公司为调动员工工作积极性拟制定以下奖励方案，要求奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，奖金不超过90万元，同时奖金不超过投资收益的20%.即假定奖励方案模拟函数为时，该公司对函数模型的基本要求是：当时，①是增函数；②恒成立；③恒成立. (1)现有两个奖励函数模型：①；②.试分析这两个函数模型是否符合公司要求？ (2)已知函数符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a的取值范围. 【答案】(1) 函数模型：②符合公司要求；(2) ． 【解析】(1)由判断函数模型：①不符合条件③，故不符合公司要求；一一验证函数模型： ②满足题目给出的三个条件，说明函数模型： ②符合公司要求； (2)由说明符合条件①，再求解基本不等式及基本不等式取最值时满足的条件求出a满足②③的范围，取交集即可． 【详解】(1)对于函数模型：①，验证条件③：当时而即不成立，故不符合公司要求； 对于函数模型：②，当时，条件①是增函数满足； ∴，满足条件②； 对于条件③：记 则 ∵∴当时， ∴恒成立，即条件③也成立. 故函数模型： ②符合公司要求. (2)∵，∴函数符合条件①； 由函数符合条件②，得，解得：； 由函数符合条件③，得对恒成立， 即对恒成立. ∵，当且仅当，即x=50时等号成立， ∴ 综上所述，实数a的取值范围． 【点睛】数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式： (1)求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型； (2)求解应用性问题时，不仅要考虑函数本身的定义域，还要结合实际问题理解自变量的取值范围． 期中基础通关练（测试时间：20分钟） 一、单选题 1．（24-25高一上·贵州·期中）函数的一个零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出、、与、，根据零点存在定理即可求解. 【详解】由题意知函数在R上单调递增， ，， ，，， 则函数的一个零点所在的区间是. 故选：C. 2．（24-25高一上·河南·期中）方程的根的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】将方程的根的个数转化为函数（），（）两函数图象交点个数问题，画图分析即可. 【详解】由题意可转化为函数（），（）两函数图象交点问题， 在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，如图所示， 由图得两个函数图象有2个交点，故原方程根的个数为2． 故选：B． 3．（24-25高一上·云南昆明·期中）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位:）可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.若一条鲑鱼游速为时耗氧量的单位数为，那么当耗氧量的单位数为时，鲑鱼的游速为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数的运算求解出当耗氧量的单位数为时的值. 【详解】根据题意，， 则当耗氧量的单位数为时， . 故选：C 4．（24-25高一上·广东东莞·期中）某市政府为了增加农民收入，决定对该市特色农副产品的科研创新和广开销售渠道加大投入，计划逐年加大研发和宣传资金投入.若该政府2024年全年投入资金120万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该政府全年投入的资金翻两番（即为2024年的四倍）的年份是（   ）（参考数据：，） A．2029年 B．2030年 C．2031年 D．2032年 【答案】D 【分析】根据题意列出指数方程，取对数，根据对数的运算性质，结合题中所给的数据进行求解即可. 【详解】设第年该政府全年投入的资金翻两番，依题意得： ， 因此该政府全年投入的资金翻两番（即为2024年的四倍）的年份是2032年， 故选：D 5．（24-25高一上·广东惠州·期中）某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储存温度x(单位：℃)满足函数关系 为自然对数的底数，k、b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是 （    ）小时. A．20 B．22 C．33 D．24 【答案】D 【分析】首先根据题意得到，从而得到，再根据求解即可. 【详解】由题知：， 所以，解得， 所以. 故选：D 6．（24-25高一上·山东淄博·期中）若函数有零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将题目转化为函数与的图象有交点，再作出函数图象即可得到实数的范围. 【详解】函数有零点，即函数与的图象有交点， 作出与的大致图象如图所示， 由图可知，故实数的取值范围是. 故选：A. 7．（24-25高一上·辽宁·期中）已知函数若函数有3个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】转化为与有3个交点，利用数形结合，即可求解. 【详解】由题意可知，有3个实数根，即和有3个交点， 画出函数的图象，    若与有3个交点，则. 故选：C 二、解答题 8．（24-25高一上·湖南怀化·期中）某医学研究所研发一种药物.据监测，如果成人在0.5小时内按规定的剂量注射该药，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，每升血液中的药物含量（毫克）与开始注射后的时间（小时）之间近似满足如图所示的曲线，与的函数关系为且.根据图中提供的信息： (1)写出开始注射该药后每升血液中药物含量（毫克）关于时间（小时）的函数关系式； (2)据测定：每升血液中药物含量不少于0.08毫克时该药有效，那么该药的药效时间有多长？（结果保留小数点后两位）； (3)第一次药物注射完成2小时后，马上进行第二次注射，则第二次注射完成后再过1小时，该人每毫升血液中药物含量为多少毫克？（结果保留小数点后两位）. （参考值：） 【答案】(1) (2)药效时间2.81小时 (3)0.52毫克 【分析】(1)根据函数图象分段求解函数解析式即可； (2)根据题意列出不等式，求解出答案即可； (3)分别求解出第二次注射后每毫升血液中含第一次和第二次服药后的剩余量，相加即为结果. 【详解】（1）当时，设，将代入得， 解得，此时，； 当时，设且，将､（1，1代入得， 解得，此时，. 综上：. （2）当时，，解得 当时，，即 而，故 药效时间 所以，药效时间2.81小时. （3）完成第二次注射药物1小时后 每升血液中第一次注射药物的含量：， 每升血液中第二次注射药物的含量：， 所以此时两次注射药物后的药物含量为：0.52毫克. 期中重难突破练（测试时间：30分钟） 一、单选题 9．（24-25高一上·江苏南通·期中）把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有85的物体，放在25℃的空气中冷却，1min以后物体的温度是75.若要将物体的温度降为45，需要冷却的时间为（    ）（结果精确到0.1，参考数据：，，） A．5.8min B．6.0min C．6.2min D．6.4min 【答案】B 【分析】根据题意可得出，，从而求得，代入，即可利用公式求解； 【详解】由题意可知，， 当时，，于是， 整理得， 当，于是， 所以，故， 将代入可得，故， 故. 故选：B 10．（24-25高一上·辽宁盘锦·期中）已知函数在区间内只有一个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】方法一：根据函数的零点个数分类讨论，再结合零点存在性定理，解不等式组确定参数取值范围. 方法二：对解析式变形，在统一平面直角坐标系中画出函数图象，利用数形结合法求解. 【详解】解法一： 当函数只有一个零点且在区间内时， ； 当函数有两个零点时，，解得或， 当时，显然在上恒成立，此时无内的零点， 当时，又在内只有一个零点，则或或， 即或或， 解得或或． 综上所述，实数的取值范围是． 故选：C. 解法二： 由，得，又，所以， 所以， 令，，，要使在区间内只有一个零点， 只需直线与的图象在上只有一个交点，作出两函数图象如图所示， 由图可知或，解得或， 所以的取值范围是． 故选：C. 11．（24-25高一上·安徽·期中）已知函数若函数在区间内有且仅有两个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，将问题转化成的图象与直线在区间内有且仅有两个公共点，利用基本函数的图象，得到的图象，数形结合，即可求解. 【详解】函数在区间内有且仅有两个零点，等价于在区间内有且仅有两个实数根， 又等价于函数的图象与直线在区间内有且仅有两个公共点， 因为， 由图知，即，解得． 故选：C． 12．（24-25高一上·河南·期中）已知定义域为的函数单调，且等式恒成立，则方程根的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】首先根据题意得到，将题意转化为的零点个数，再根据在上单调递增，，，求解即可. 【详解】设①，则， 由①令得，在上单调递增，，得， 所以， 对于方程，即， 两边除以x得， 令函数， 在上单调递增，，， 所以在区间有唯一零点， 所以方程有唯一根． 故选：A． 13．（24-25高三上·广东广州·开学考试）已知函数，若方程有3个不同的实根，则实数取值范围值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求解二次方程，即可求得的结果，根据的图像，数形结合，即可求得参数的范围. 【详解】由得， 解得或， 画出函数的图象如下， 由图可知，要使方程有3个不同的实根， 则必有与图象有两个交点或与图象有两个交点， 当，即，，符合题意； 当，即，，符合题意； 则实数取值范围值是. 故选：C. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 二、多选题 14．（24-25高一上·广西桂林·期中）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．在上单调递增 B．若，则 C．方程有2个解 D．若，则 【答案】AB 【分析】化简的解析式，画出的图象，根据函数的单调性、方程的解等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】， 画出的图象如下图所示， 由于可知，在上单调递增，A选项正确. 方程有个解，C选项错误. 不妨设这个解， 则，所以若，则可能，D选项错误. 若，则， ，所以，所以B选项正确. 故选：AB 三、填空题 15．（24-25高一上·辽宁大连·期中）已知函数，函数，则函数的零点个数为 个． 【答案】2 【分析】 函数的零点个数问题转化为求函数与直线的交点个数，求的表达式，作图数形结合即可得到结果. 【详解】 由得，函数的零点个数为函数与直线的交点个数. 由题意得，，则， ∴. 如图，在坐标系中画出函数与的图象，观察图象可知，函数只有2个零点． 故答案为：2. 四、解答题 16．（24-25高一上·天津红桥·期末）已知函数的图象恒过定点，且点又在函数的图象上． (1)求实数的值； (2)解不等式； (3)有两个不等实根时，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由指数函数性质得定点坐标，代入解析式求得； （2）利用单调性解不等式； （3）利用函数图象交点个数确定结论． 【详解】（1）函数的图像恒过定点A，且，则A点的坐标为， 又因为A点在的图象上， 所以， 所以, 所以； （2）由（1）知， 所以所要解不等式为， 而对数函数在定义域上单调递增， 所以，即， 所以不等式的解集为. （3）由知：， 令，， 由方程有两个不等实根， 可知函数的图象有两个不同交点，如下图示 由图象可知：， 故的取值范围为. 期中综合拓展练（测试时间：10分钟） 一、单选题 17．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可. 【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增， 所以在定义域上单调递减， 显然， 所以根据零点存在性定理可知的零点位于. 故选：B 18．（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（   ） A．2h B．4h C．20h D．40h 【答案】B 【分析】由题给条件列出不同训练数据量时所需的时间，结合对数的运算性质即可求解. 【详解】设当N取个单位、个单位、个单位时所需时间分别为, 由题意，， ， ， 因为，所以， 所以， 所以当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加4小时. 故选：B. 二、多选题 19．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意可知，结合对数运算逐项分析判断. 【详解】由题意可知：， 对于选项A：可得， 因为，则，即， 所以且，可得，故A正确； 对于选项B：可得， 因为，则，即， 所以且，可得， 当且仅当时，等号成立，故B错误； 对于选项C：因为，即， 可得，即，故C正确； 对于选项D：由选项A可知：， 且，则， 即，可得，且，所以，故D正确； 故选：ACD. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 函数的应用 （零点与方程的根、函数模型）（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 7.1 函数零点的概念与求法 能理解零点的定义，会求简单函数的零点（令f(x)=0求解）。 概念理解题。 7.2 零点存在性定理的理解与应用 能判断函数在区间[a,b]上是否连续，并验证f(a)·f(b)<0，从而判断零点存在性。 高频考点，易错在“连续”条件的忽视。 7.3 判断函数零点（方程根）的个数 能通过图象法（两个函数图象的交点）或单调性法判断零点个数。 常见中等题，数形结合思想的典型应用。 7.4 二分法求方程近似解的原理与步骤 能叙述二分法的原理和操作步骤，理解其“逐步逼近”的思想。 了解性考点，通常不要求具体计算。 7.5 一次、二次函数模型的应用 能根据实际问题建立直线或二次函数模型解决最优值等问题。 基础应用模型。 7.6 指数函数、对数函数模型的应用（增长、衰减、复利等） 能识别指数增长/衰减的特征，并建立相应模型解决实际问题。 期中应用题压轴题型，符合当前命题趋势。 7.7 函数模型的选择与评价 能根据数据特征或散点图选择适当的函数模型，并对结果进行合理性分析。 考查数学建模核心素养的最高层次 知识点01 函数零点的定义 一般地，对于函数，把使 叫作函数的零点.函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图象与轴的交点的横坐标. 方程、函数、函数图象之间的关系： 方程有实数解函数的图象 函数 . 知识点02 函数零点存在性定理 如果函数在区间上的图象是 的一条曲线，且有 ，那么函数在区间内 零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. 知识点03 函数单调性对零点个数的影响 如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个。因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断函数是否单调 知识点04 几个“不一定”与“一定”（假设在区间连续） （1）若，则“一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点。要分析的性质与图象，如果单调，则“一定”只有一个零点 （2）若，则“不一定”存在零点，也“不一定”没有零点。如果单调，那么“一定”没有零点 （3）如果在区间中存在零点，则的符号是“不确定”的，受函数性质与图象影响。如果单调，则一定小于0 知识点05 零点与单调性配合可确定函数的符号 是一个在单增连续函数，是的零点，且，则时，；时， 知识点06 证明零点存在的步骤 （1）将所证等式中的所有项移至等号一侧，以便于构造函数 （2）判断是否要对表达式进行合理变形，然后将表达式设为函数 （3）分析函数的性质，并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间 （4）利用零点存在性定理证明零点存在 知识点07 三种函数模型的性质 函数 性质 y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) y＝xn (n>0) 在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 知识点08 常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 幂函数模型 f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠0) 知识点09 解函数模型问题的步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型． (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型． (3)解模：求解数学模型，得出数学结论． (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如下： 题型一 求函数的零点及零点个数 解｜题｜技｜巧 （1） 函数零点即函数值为0时的自变量值，解方程(f(x)=0)可得零点。 （2）结合区间端点、特殊点的函数值，辅助确认零点是否存在及个数（如端点值异号则区间内有零点）。 【典例1】（24-25高一上·河南郑州·期中）（多选）函数的零点有（    ） A．0 B． C． D．3 【典例2】（24-25高一上·黑龙江伊春·期中）函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1】（24-25高一上·云南昆明·期中）函数的两个零点为，则= 【变式2】（24-25高一上·辽宁大连·期中）已知函数，函数，则函数的零点个数为 个． 题型二 用零点存在性定理判断零点所在区间 解｜题｜技｜巧 （1） 确认函数在区间([a,b])上连续（如多项式、指对数函数等基本函数的组合通常连续）。 （2） 计算区间端点的函数值(f(a))和(f(b))，若(f(a)f(b)<0)，则区间内至少有一个零点。 （3）结合函数单调性，可进一步判断区间内零点的唯一性。 【典例1】（24-25高一上·河南开封·期中）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·浙江杭州·期中）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·北京海淀·期中）函数的一个零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 题型三 求方程的根及根的个数 解｜题｜技｜巧 （1） 将方程变形为(f(x)=0)，方程的根等价于函数(f(x))的零点。 （2） 分析函数(f(x))的单调性、根据极值（跨章节）的正负判断函数与x轴的交点数。 （3）结合函数定义域和极限趋势，综合判断根的个数。 【典例1】（24-25高一上·河南·期中）方程的根的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】（24-25高一上·山东淄博·期中）已知方程有唯一的根，则（   ） A． B． C． D．1 【变式2】已知函数当时，方程的根的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型四 求图象的交点及交点个数 【典例1】（24-25高一上·四川泸州·期中）已知函数，若函数的图象与函数的图象有3个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·湖南·期中）已知函数. (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出的大致图象，并写出的单调区间及值域； (2)若函数的图象与轴有两个不同的交点，求实数的取值范围. 【变式2】（24-25高一上·湖北·期中）已知函数，其中 (1)用定义证明：函数，在上单调递增 (2)若函数的图象不经过第四象限，求的取值范围 (3)已知，当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，求的取值范围． 题型五 指数函数模型 【典例1】（24-25高一上·浙江温州·期中）一个质量为的物体在空气中以初始速率落下，假设空气阻力大小与物体的速率满足（为正常数）可求得在时刻物体的速率，其中自然常数，为重力加速度的大小，按照此模型，可推得（   ） A．当时，随着变大，物体速率减小，但始终大于 B．当时，随䒴变大，物体速率增大，且始终大于 C．当时，随着变大，物体速率减小，且始终小于 D．当时，随着变大，物体速率增大，最终会等于 【变式1】（24-25高一上·四川泸州·期中）在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以6.15%的增长率呈指数增长，已知经过30天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的6倍，那么经过60天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的（    ） A．12倍 B．18倍 C．24倍 D．36倍 【变式2】（24-25高一上·广东惠州·期中）某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储存温度x(单位：℃)满足函数关系 为自然对数的底数，k、b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是 （    ）小时. A．20 B．22 C．33 D．24 题型六 对数函数模型 【典例1】（24-25高一上·广东佛山·期中）猪血木又名阳春红檀，原产于广东阳江阳春市、广西平南县和巴马县，是中国特有的单种属濒危植物，属于国家一级保护植物和极小种群野生植物．猪血木不仅实现了人工繁育，在阳江阳春市储备苗木近10万株，还被引种到广州、深圳、韶关、云浮等地．某地引种猪血木1000株，假设该地的猪血木数量以每年10%的比例增加，且该地的猪血木数量超过2000株至少需要经过年，则（   ） （参考数据：） A．9 B．8 C．7 D．6 【变式1】（24-25高一上·浙江宁波·期中）中国5G技术领先世界，其数学原理之一便是香农公式：，它表示：在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽、信道内信号的平均功率、信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫信噪比.按照香农公式，若不改变带宽，将信噪比从2000提升至10000，则大约增加了（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·江苏连云港·期中）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.若甲地发生里氏4.5级地震，乙地发生里氏8.0级地震，则乙地地震释放出的能量是甲地地震释放出的能量的（    ） A．5.25倍 B．5.2倍 C．倍 D．倍 题型七 建立拟合函数模型解决实际问题 【典例1】（24-25高一上·广东·期中）中国芯片产业崛起，出口额增长迅猛，展现强劲实力和竞争力．中国自主创新，多项技术取得突破，全球布局加速.现有某芯片公司为了提高生产效率，决定投入108万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前年的支出成本为万元，每年的销售收入100万元 (1)求该芯片公司买该套生产设备产生的前年的总盈利额； (2)使用若干年后对该设备处理的方案有两种，方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以30万元的价格处理； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以54万元的价格处理，哪种方案较为合理?并说明理由(注：年平均盈利额=总盈利额使用年限) 【典例2】（24-25高一上·广东东莞·期中）东莞广播电视台旗下的电商平台—“家乡好物商城”依托广播、电视与互联网平台优势，主要销售东莞制造的优质产品及东莞对口支援、帮扶地区的农特产品，打通新疆、广西、云南、贵州等地区农特产品的产销对接渠道.近一个月来，“贵州黄牛肉”、“广西小砂糖橘”、“云南野苹果”等农特产品在东莞热销.通过对过去的一个月（以30天计）的“广西小砂糖橘”的销售情况的调查发现：每千克的销售价格（单位：元/千克）关于第天的函数关系近似满足（，且为常数），日销售量（单位：千克）关于第天的部分数据如下表所示： 9 14 18 22 29 54 59 63 59 52 已知第9的日销售收入为552元. (1)求的值； (2)给出以下四种函数模型： ①；②；③；④. 请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型（简要说明理由）来描述日销售量关于第天的变化关系，并求出该函数的解析式； (3)设该工艺品的日销售收入为函数（单位：元）；求函数的最小值. 【变式1】（24-25高一上·江苏南京·期中）两县城和相距，现计划在县城外以为直径的半圆弧（不含，两点）上选择一点建造垃圾处理站，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，垃圾处理厂对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为；对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为.对城和城的总影响度为城和城的影响度之和，记点到城市的距离为，建在处的垃圾处理厂对城和城的总影响度为.统计调查表明：当垃圾处理厂建在的中点时，对城和城的总影响度为. (1)将表示成的函数； (2)判断弧上是否存在一点，使得建在此处的垃圾处理厂对城和城的总影响度最小？若存在，求出该点到城的距离；若不存在，说明理由. 【变式2】某公司为调动员工工作积极性拟制定以下奖励方案，要求奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，奖金不超过90万元，同时奖金不超过投资收益的20%.即假定奖励方案模拟函数为时，该公司对函数模型的基本要求是：当时，①是增函数；②恒成立；③恒成立. (1)现有两个奖励函数模型：①；②.试分析这两个函数模型是否符合公司要求？ (2)已知函数符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a的取值范围. 期中基础通关练（测试时间：20分钟） 一、单选题 1．（24-25高一上·贵州·期中）函数的一个零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·河南·期中）方程的根的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高一上·云南昆明·期中）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位:）可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.若一条鲑鱼游速为时耗氧量的单位数为，那么当耗氧量的单位数为时，鲑鱼的游速为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·广东东莞·期中）某市政府为了增加农民收入，决定对该市特色农副产品的科研创新和广开销售渠道加大投入，计划逐年加大研发和宣传资金投入.若该政府2024年全年投入资金120万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该政府全年投入的资金翻两番（即为2024年的四倍）的年份是（   ）（参考数据：，） A．2029年 B．2030年 C．2031年 D．2032年 5．（24-25高一上·广东惠州·期中）某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储存温度x(单位：℃)满足函数关系 为自然对数的底数，k、b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是 （    ）小时. A．20 B．22 C．33 D．24 6．（24-25高一上·山东淄博·期中）若函数有零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·辽宁·期中）已知函数若函数有3个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、解答题 8．（24-25高一上·湖南怀化·期中）某医学研究所研发一种药物.据监测，如果成人在0.5小时内按规定的剂量注射该药，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，每升血液中的药物含量（毫克）与开始注射后的时间（小时）之间近似满足如图所示的曲线，与的函数关系为且.根据图中提供的信息： (1)写出开始注射该药后每升血液中药物含量（毫克）关于时间（小时）的函数关系式； (2)据测定：每升血液中药物含量不少于0.08毫克时该药有效，那么该药的药效时间有多长？（结果保留小数点后两位）； (3)第一次药物注射完成2小时后，马上进行第二次注射，则第二次注射完成后再过1小时，该人每毫升血液中药物含量为多少毫克？（结果保留小数点后两位）. （参考值：） 期中重难突破练（测试时间：30分钟） 一、单选题 9．（24-25高一上·江苏南通·期中）把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有85的物体，放在25℃的空气中冷却，1min以后物体的温度是75.若要将物体的温度降为45，需要冷却的时间为（    ）（结果精确到0.1，参考数据：，，） A．5.8min B．6.0min C．6.2min D．6.4min 10．（24-25高一上·辽宁盘锦·期中）已知函数在区间内只有一个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 11．（24-25高一上·安徽·期中）已知函数若函数在区间内有且仅有两个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25高一上·河南·期中）已知定义域为的函数单调，且等式恒成立，则方程根的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 13．（24-25高三上·广东广州·开学考试）已知函数，若方程有3个不同的实根，则实数取值范围值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 14．（24-25高一上·广西桂林·期中）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．在上单调递增 B．若，则 C．方程有2个解 D．若，则 三、填空题 15．（24-25高一上·辽宁大连·期中）已知函数，函数，则函数的零点个数为 个． 四、解答题 16．（24-25高一上·天津红桥·期末）已知函数的图象恒过定点，且点又在函数的图象上． (1)求实数的值； (2)解不等式； (3)有两个不等实根时，求的取值范围． 期中综合拓展练（测试时间：10分钟） 一、单选题 17．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 18．（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（   ） A．2h B．4h C．20h D．40h 二、多选题 19．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（    ）． A． B． C． D． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $