第3章 对圆的进一步认识（复习课件）数学青岛版九年级上册

单元复习课件 第三章 对圆的进一步认识 青岛版·九年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.深入理解圆的相关概念，明确圆、圆心、半径、直径、弧、弦、圆心角、圆周角等定义，能根据给定条件判断和识别这些概念，为后续学习圆的性质和应用奠定基础。 3.透彻理解圆与实际问题的联系，能从实际场景（如建筑设计、机械制造、运动轨迹等）中抽象出圆的模型，运用圆的知识解决实际问题；体会“几何建模”思想，提升分析问题、解决问题以及知识应用的能力。 2. 精准掌握圆的基本性质，包括圆的对称性、圆心角与弧、弦的关系、圆周角定理及其推论等；熟练运用这些性质进行推理和计算；理解其几何意义，能正确解决与圆的性质相关的问题，并在几何图形中准确应用这些性质分析图形关系。 单元学习目标 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 与圆的进一步认识 圆周角定理及其推论（分类、归纳思想） 圆的基本性质和定理 定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半 推论2：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径 圆的对称性 圆心角、弧、弦的关系（转化思想） 垂径定理及其推论 定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线 圆是中心对称图形，对称中心为圆心 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等 推论3：圆内接四边形的对角互补 单元知识图谱 切线的判定定理 切线长定理 与圆有关的位置关系 过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 确定圆的条件 直线和圆的位置关系 切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 位置关系 过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长相等 与圆的进一步认识 相交 d < r 相切 d = r 相离 d > r 单元知识图谱 圆内接正多边形 扇形面积公式 有关概念：正多边形的中心、半径、中心角、边心距 用尺规作图法作圆的某些内接正多边形 弧长公式 与圆的进一步认识 单元知识图谱 考点一、圆的有关性质 1．圆的对称性 (1)圆是　　 　　图形,每一条　　　　所在的直线都是它的对称轴.  (2)圆是中心对称图形，对称中心为________. 2．垂径定理： 垂直于弦的直径　　　 　这条弦，并且平分这条弦所对的____. 符号语言:如图, ∵AB为☉O的直径,AB⊥CD, ∴CE＝______， ＝ ______， ＝______. 轴对称 平分 弧 直径 DE 圆心 考点串讲 弦、弧、圆心角之间的关系 (1)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的_____相等，所对的_____相等． (2)在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量________，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 考点二、弦、弧、圆心角 弧 弦 相等 考点串讲 符号语言：如图， ①∵∠AOB＝∠A'O'B' ∴ ＝ ______， ②∵ = ∴∠AOB＝_______，AB＝_______. ③∵AB＝A'B' ∴ ＝ _______，∠AOB＝_______ 考点二、弦、弧、圆心角 ∠A'OB' A'B' ∠A'OB' 考点串讲 考点三、弧的度数 (1)整个圆的_______叫做1°的弧.因此,1°的圆心角所对的弧是_____的弧;反之,1°的弧所对的圆心角是______的角.一般情况下,n°的圆心角所对的弧是______的弧;反之,n°的弧所对的圆心角是______的角. (2)圆心角的度数与它所对弧的度数______. 注意:圆心角的度数与它所对弧的度数相等,不能说成圆心角与它所对的弧相等. 1° 1° n° n° 相等 考点串讲 考点四、确定圆的条件 圆的确定： (1)过一点和两点均可作______个圆． (2)过________________的三点确定一个圆． (3)过四点或四点以上作圆，当各点中每两点连线的垂直平分线相交于一点时，过各点的圆有一个，圆心为各垂直平分线的交点，否则过各点的圆不存在． 无数 不在同一直线上 考点串讲 考点五、圆周角定理及其推论 1．定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的______． 2．推论:(1)同弧或等弧所对的圆周角______，在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也______． (2)直径所对的圆周角是______；90°的圆周角所对的弦是______． (3)圆内接四边形的对角________. 一半 相等 直角 相等 直径 互补 考点串讲 位置关系 相交 相切 相离 图示 公共点的个数 　　  　　  　　  圆心到直线的距离d与半径r的关系 d　　　r  d　　　r  d　　　r  考点六、直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系． ＞ 1 ＜ 2 ＝ 0 考点串讲 1．切线的判定 (1)如果一条直线与圆_____一个公共点，那么这条直线是圆的切线。 (2)到圆心的距离等于_______的直线是圆的切线。 (3)经过半径的外端且_______于这条半径的直线是圆的切线。 只有 垂直 半径 考点七、切线的性质和判定 考点串讲 2．切线的性质 定理：圆的切线________于经过切点的半径。 推论1：经过切点且垂直于切线的直线必经过______。 推论2：经过圆心且垂直于切线的直线必经过________。 垂直 切点 圆心 考点七、切线的性质和判定 考点串讲 3．证明直线和圆相切的方法 (1)当已知直线与圆有公共点时，连接圆心与公共点，证连线与已知直线________。 (2)当不知道直线与圆是否有公共点时，过圆心作直线的垂线，证圆心到直线的距离等于________。 垂直 半径 考点七、切线的性质和判定 考点串讲 1．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和_______之间的线段的长度叫做这点到圆的切线长。 2．切线长定理：过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长_________，并且这一点和圆心的连线_________这两条切线的夹角。 切点 相等 考点八、切线长及其定理 平分 考点串讲 1．三角形的内切圆 (1)与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的________，这个三角形叫做这个圆的外切三角形。 (2)三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的______，是三角形三条___________的交点，内心到三角形_______的距离相等。 内切圆 角平分线 考点九、三角形的内切圆 各边 内心 考点串讲 2．三角形内切圆的半径． (1)已知△ABC的三边为a,b,c,它的面积为S,则它的内切圆的半径r= 　　　　.  (2)已知Rt△ABC的直角边为a,b,斜边为c,则它的内切圆的半径r= 　　　　.  注意:一个三角形有且只有一个内切圆,而一个圆有无数多个外切三角形. 考点九、三角形的内切圆 考点串讲 弧长公式 扇形面积公式 考点十、弧长及扇形面积的计算 1．设圆的半径为 r ，弧所对的圆心角度数为 n 。 考点串讲 2．与扇形有关的阴影部分的面积计算 ①公式法:当所求阴影部分的图形为规则图形时，直接用公式法计算． ②和差法:将阴影部分看成是某些基本图形的和或差． ③割补法:把不规则图形的面积分割为几个规则图形面积的和或差． ④等积变换法:将不规则图形的面积，通过平移、旋转、对称等变换，重新组成规则图形来计算． 考点十、弧长及扇形面积的计算 考点串讲 1．正多边形的中心:正多边形外接圆的圆心. 2．正多边形的边心距:中心到正多边形一边的距离. 考点十一、正多边形与圆 考点串讲 题型一、垂径定理及其应用 例1：如图1是小明制作的一副弓箭，当弓箭不受力时，其弓臂部分可看成是如图2所示的圆弧 （ 所在圆的圆心为O），弓弦部分AB的长为4dm，点D是弓臂 的中点，OD交AB于点C，D、C两点之间的距离为1dm，则弓臂 所在圆的半径为（ ） A. 2dm B.2.5dm C. 3dm D.4dm B 题型剖析 题型一、垂径定理及其应用 解析：因为点 D 是弓臂 的中点， 所以 OD ⊥ AB ， 因此 AC = 2dm 。 又因为 CD = 1dm ， 所以 OC = (r - 1)dm 。 根据勾股定理 OA² - OC² = AC² ，即 r² - (r - 1)² = 2² ， 解得 r = 2.5(dm) ， 故选： B 。 题型剖析 遇垂径定理及应用，先抓条件与结论； 直径垂直于弦时，弦被平分弧也分； 弦的中垂线过心，弧被平分性质明； 定理推论记分明，垂径问题轻松解。 题型一、垂径定理及其应用 题型剖析 变式：如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是13cm，其中水面高度CD是8cm．那么水面宽度AB是（ ） A. 12cm B. 18cm C. 24cm D. 26cm C 题型一、垂径定理及其应用 解析：连接OA， ∵OC⊥ AB， ∴AB = 2AD，∠ADO = 90°， ∵ CD = 8cm，OA = OC = 13cm， ∴ OD = 13 - 8 = 5cm， ∴AD = ， ∴ AB = 2AD = 24cm，故选：C． 题型剖析 题型二、直线与圆的位置关系的判定 例2：平面直角坐标系中，M点坐标为(-2, 3)，以2为半径画☉M，则以下结论正确的是（ ） A. ☉ M与x轴相交，与y轴相切 B. ☉M与x轴相切，与y轴相离 C. ☉M与x轴相离，与y轴相交 D. ☉M与x轴相离，与y轴相切 解析：∵ M点的坐标为(-2,3)，∴ 点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为2．∵ ☉M的半径为2，∴ 圆心M到x轴的距离大于半径，到y轴的距离等于半径，故☉M与x轴相离，与y轴相切．故选D． D 题型剖析 1.明确判定步骤——判断直线与圆的位置关系，遵循两种流程：一是根据公共点个数，无公共点则相离，有一个公共点则相切，有两个公共点则相交；二是根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，若d > r则相离，d = r则相切，d < r则相交。 2.掌握核心要点——判定时紧扣“公共点个数”或“d与r的大小关系”这两个依据，注意准确计算圆心到直线的距离d，清晰对比d与r的数值，按步骤逐一分析，即可确定直线与圆的位置关系。 题型二、直线与圆的位置关系的判定 题型剖析 变式：如图，在Rt△ ABC中，∠C = 90°，BC = 4，AC = 3，点D为AB的中点，以2为半径作☉ D，则下列说法不正确的是（ ） A. 点A在圆外 B. 点C在圆上 C. ☉ D与直线AC相切 D. ☉D与直线BC相交 题型二、直线与圆的位置关系的判定 B 题型剖析 题型二、直线与圆的位置关系的判定 解析：因为∠ACB = 90°， 所以AB = ， 因为D是AB的中点， 所以BD = AD = CD = 2.5 > 2，故点A、点C在圆外，因此选项A不符合题意，选项B符合题意； 连接CD，因为∠ACB = 90°，D为AB的中点，所以CD = BD = AD， 作DE⊥ AC于点E，作DF⊥CB于点F， 因为DE⊥AC，所以AE = CE， 所以DE⫽BC，DE = = 2，故☉ D与直线AC相切，选项C不符合题意； 题型剖析 题型二、直线与圆的位置关系的判定 解析：过D作DF⊥BC于F， 所以CF = BF， 所以DF⫽AC，DF = = 1.5 < 2；故☉D与直线BC相交，选项D不符合题意． 故选：B． 题型剖析 题型三、切线判定与性质综合 例3：如图，AB与☉O相切于点B，AO交☉O于点F，延长AO交☉O于点C，连接BC，点D为☉O上一点，且 ，连接AD． (1)求证：AD是☉O的切线； (2)若AB = 6，AC = 8，求☉O的半径的长． 题型剖析 (1) 证明：连接OD、OB，则OD = OB。 因为 ，所以∠AOD =∠AOB。 又因为AB与☉O相切于点B，所以AB⊥OB。 在△AOD和△AOB中， 所以△ AOD≌△AOB(SAS)，则∠ADO =∠ABO = 90° 因为OD是☉ O的半径，且AD⊥OD，所以AD是⊥O的切线。 题型三、切线判定与性质综合 题型剖析 (2) 连接BF，设☉O的半径为r。 因为OB = OF，所以∠OBF =∠OFB。 因为CF是☉ O的直径，所以∠CBF = 90°，CF = 2r。 因为∠ ABF + ∠OBF = 90°，∠C + ∠OFB = 90°， 所以∠ABF = ∠C。 又因为∠FAB =∠BAC，所以 。 则 ，即 。 已知AB = 6，AC = 8，所以6² = 8(8 - 2r)， 解得r = 。 所以☉O的半径的长为 。 题型三、切线判定与性质综合 题型剖析 1.明确定义内容——切线判定：经过半径外端且垂直于该半径的直线是圆的切线；切线性质：圆的切线垂直于过切点的半径。 2.掌握核心思路——判定切线：有公共点连半径证垂直，无公共点作垂直证半径；利用性质：结合切线与半径的垂直关系，通过三角形全等、相似或勾股定理，解决角度、线段（如半径、弦长）计算问题。 题型三、切线判定与性质综合 题型剖析 变式： 如图，AB为☉O的直径，C为☉O上一点，AD ⊥ CD，AD交☉O于点E，且 ，连接AC． (1)求证：CD是☉O的切线； (2)F为☉O上一点，连接AF，若AF ∥ CD，AC = 5，AF = 6，求☉O的半径． 题型三、切线判定与性质综合 题型剖析 (1)证明：如图，连OC， ， ∴∠EAC =∠CAB， ∵OA = OC， ∴∠CAB =∠ ACO， ∴∠EAC = ∠ ACO， ∴OC∥AD， ∴∠OCD +∠D = 180°， ∵AD⊥CD， ∴∠D = 90°， ∴∠OCD = 90°， ∴OC⊥CD， ∵OC为☉O的半径， CD为☉ O的切线； 题型三、切线判定与性质综合 题型剖析 题型三、切线判定与性质综合 (2)如图，延长CO交AF于G点，由（1）知OC⊥CD， ∵AF∥CD， ∴OG⊥AF， ∴AG = = 3， ∵AC = 5， ∴CG = ， 在Rt△AOG中，根据勾股定理得：OG²+AG²=OA²， 设半径为r，则OG = CG - OC = 4 - r， ∴ (4 - r)²+3²=r²， ∴ r = ． ∴ ☉O的半径为 ． 题型剖析 题型四、圆周角定理 例4：如图，AB是☉O的直径，CD是☉O的弦，AB ⊥ CD于点E，连接BC．若∠B = 22.5°，CD = 4，则☉O的半径的长为（ ） A．2 B． C．4 D． 解析：因为AB是☉O的直径，AB⊥CD，根据垂径定理可知CE= 。已知CD = 4，所以CE = 2。又因为同弧所对的圆周角是圆心角的一半，∠B = 22.5°，所以∠COE = 2∠B = 45°。在Rt△OCE中，∠COE = 45°，则△OCE是等腰直角三角形，所以OE = CE = 2。设☉O的半径为r，根据勾股定理可得r²=OE²+CE²，即r²=2²+2²，解得r = 。故答案选B。 B 题型剖析 1.明确定义内容——圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，且都等于这条弧所对圆心角的一半；直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 2.掌握核心思路——角度计算：利用同弧（等弧）所对圆周角与圆心角的数量关系，或直径与直角圆周角的关系，推导角度大小；线段/半径求解：结合垂径定理、勾股定理等，通过圆周角定理转化角度关系，进而解决弦长、半径等计算问题。 题型四、圆周角定理 题型剖析 变式：如图，点A，B，C在☉O上，AC ⊥ OB，垂足为D，若∠A = 35°，则∠C的度数是（ ） A．20° B．25° C．30° D．35° 题型四、圆周角定理 解析：连接OA，因为OA=OC，所以∠C=∠OAC。又因为AC⊥OB，所以∠ADO = 90°。已知∠A = 35°，则∠AOD = 90° - 35° = 55°。根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，所以∠AOC = 2∠C。而∠AOD = ∠AOC，所以∠AOC = 2∠AOD = 110°，则2∠C = 110°，解得∠C = 20°。故答案选A。 A 题型剖析 题型五、圆内接四边形 例5：若如图，点C，D在以AB为直径的半圆上，且∠ADC = 120°，点E是 上任意一点，连接BE、CE．则∠BEC的度数为（ ） A．20° B．30° C．40° D．60° 解：连接AC，如图， ∵ 四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴ ∠ADC + ∠ABC = 180°， ∴ ∠ABC = 180° - 120° = 60°， ∵ AB为直径， ∴ ∠ACB = 90°，∴ ∠BAC = 90° - 60° = 30°，∴ ∠BEC = ∠BAC = 30°． B 题型剖析 1.明确定义内容——圆内接四边形是指四个顶点都在同一个圆上的四边形，其核心性质为对角互补，且一个外角等于它的内对。 2.掌握核心思路——解决圆内接四边形问题时，先利用“对角互补”或“外角等于内对角”的性质分析角度关系，再结合圆周角定理、三角形内角和、勾股定理或相似三角形等知识，推导角度大小或线段长度；若涉及参数，需结合性质构造等式（或不等式）求解参数范围。 题型五、圆内接四边形 题型剖析 变式：在圆内接四边形ABCD中∠A = 60°，AC为圆的直径，AD = 3，CD = 2，求BC的长． 题型五、圆内接四边形 题型剖析 题型五、圆内接四边形 E 解：延长AB和DC交于点E， ∵AC为圆的直径， ∴∠ABC =∠D = 90°， ∵四边形ABCD为圆内接四边形，∠ABC = 90°， ∴∠D = 180°- 90°= 90°， ∵∠A = 60°， ∴∠E = 30°， 在直角△ADE中，ED = ， 又∵CD = 2， ∴ EC = ， 在直角△ECB中，BC = 题型剖析 例6：如图，已知等边△ABC的内切圆⊙O半径为3，则AB的长为（ ） A． B． C． D． 题型六、三角形的内切圆 C 题型剖析 题型六、三角形的内切圆 解析：连接OA、OB，设内切圆与AB的切点为D，则OD⊥AB，OD = 3。 因为△ABC是等边三角形，内切圆的圆心O也是其重心、垂心，所以∠OAB = 30°。 在Rt△AOD中，tan∠OAD=tan30°= ， 即 ，解得AD = 。 又因为AB = 2AD，所以AB = 。 答案选C。 题型剖析 1.明确定义内容——三角形的内切圆是指与三角形三边都相切的圆，其圆心（内心）是三角形三条角平分线的交点，内心到三角形三边的距离相等（等于内切圆半径）；内心到三角形顶点的连线平分对应内角。 2.掌握核心思路——解决三角形内切圆问题时，先利用内心的性质分析角度或线段关系，再结合三角形内角和、勾股定理、三角函数或面积公式推导角度大小、线段长度等；若涉及参数，需结合性质构造等式（或不等式）求解参数范围。 题型六、一元一次不等式的最值问题 题型剖析 变式：如图，在△ABC中，∠C＝58°，点O为△ABC的内心，则∠AOB的度数为（ ） A．119° B．120° C．121° D．122° 题型六、一元一次不等式的最值问题 A 解析:因为点0是△ABC的内心，所以OA、OB分别平分∠BAC、∠ABC，即 ， 。由三角形内角和定理，∠BAC + ∠ABC=180°- ∠C =180°-58°=122°。所以∠OAB+∠OBA=61°。 再由三角形内角和，∠AOB=180°-(∠OAB + ∠OBA)=180°-61°= 119°。答案选A。 题型剖析 题型七、正多边形与圆的综合 例7：如图，正五边形ABCDE内接于☉O，P为 上的一点（点P不与点D重合），则∠CPD的度数为______． 解析：正五边形内接于圆，每条弧对应的圆心角为 。 根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，所以 36° 题型剖析 1. 明确定义内容——隐圆最值问题指题目中无直接给出的圆，但动点轨迹满足特定条件（如定点定长、定弦定角）可构造辅助圆，从而将线段最值问题转化为圆外点与圆上点间的距离问题。 2. 掌握核心思路——先识别隐圆模型并作出辅助圆；再将目标线段与圆心、半径关联，利用“点、心、圆”共线求最值，通常结合勾股定理计算。 题型七、正多边形与圆的综合 题型剖析 变式：如图，正方形ABCD内接于☉O，边长BC = ，P为 上一点，且AP = 1，则PC = ______． 题型七、正多边形与圆的综合 解析：连接AC，因为正方形ABCD内接于☉O， 所以AC是直径，∠APC = 90°。 由正方形边长BC = ，得对角线AC = 。 在Rt△APC中，AP = 1，由勾股定理得PC = 3。故答案为3. 3 题型剖析 题型八、弧长和扇形的面积 例8：某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，M是“不倒翁”与水平面的接触点，PA，PB分别与 所在圆相切于点A，B．将“不倒翁”向右作无滑动滚动，使点B与水平面接触，如图3.若∠P = 60°，水平面上点M与点B之间的距离为4π，则 所在圆的半径是（ ） A．3 B．6 C．9 D．12 B 题型剖析 题型八、弧长和扇形的面积综合 解：如图：过A、B作PA,PB的垂线交于点O， 设圆的半径为r ∵PA，PB分别与 所在圆相切于点A，B， ∴ O为圆心， ∵∠P = 60°，∴∠AOB = 120°， ∴∠ MOB = 120°， ∵水平面上点M与点B之间的距离为4π， = 4π， 解得：r = 6．故选B． 题型剖析 遇弧长及扇形面积，先抓图形核心点； 明确公式（弧长、面积）记心间，理清关系是关键； 根据条件代公式，圆心角、半径来校验； 步骤要素记分明，综合问题轻松解。 题型八、弧长和扇形的面积综合 题型剖析 变式：将一个圆分割成三个扇形，它们的面积之比为2:3:4，则这三个扇形的圆心角的度数为（ ） A．80°、120°、160° B．60°、120°、180° C．50°、100°、150° D．30°、60°、90° 题型八、弧长和扇形的面积综合 解：∵一个圆分割成三个扇形，它们的面积之比为2:3:4， ∴这三个扇形的圆心角的度数之比为2:3:4， 设这三个扇形的圆心角的度数分别为2x,3x,4x，根据题意得： 2x + 3x + 4x = 360°，解得：x = 40°， ∴这三个扇形的圆心角的度数分别为80°,120°,160°．故选：A． A 题型剖析 题型九、隐圆最值问题 例8：如图，AB是☉O的直径，C为☉O上一点，且AB⊥OC，P为圆上一动点，M为AP的中点，连接CM．若☉O的半径为2，则CM长的最大值是（ ） A． B． C．4 D． B 题型剖析 解：如图，当点P在☉O上移动时，AP的中点M的轨迹是以OA为直径的☉ O'， 因此CO'交☉ O'于点M，此时CM的值最大，由题意得， OA=OB=OC=2，OO'= OA=1=O'M， 在Rt△ O'OC中，OC=2，OO'=1， ∴ O'C= ， ∴CM=CO'+O'M= ，故选：B． 题型九、隐圆最值问题 题型剖析 遇弧长及扇形面积，先抓图形核心点； 明确公式（弧长、面积）记心间，理清关系是关键； 根据条件代公式，圆心角、半径来校验； 步骤要素记分明，综合问题轻松解。 题型九、隐圆最值问题 题型剖析 变式：将如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△ EB'F，连接B'D，则B'D的最小值是（ ） A． B．6 C． D．4 题型九、隐圆最值问题 解析：由折叠性质知EB' = EB = 2，故点B'的轨迹是以E为圆心、2为半径的圆。 连接DE，在Rt△ ADE中，AE = 2，AD = 6，由勾股定理得DE = 。 圆外点D到圆上点B'的最短距离为DE - 半径，即 。故选A. A 题型剖析 1．点 P 是☉O外一点， PA ， PB 分别切☉O于点 A ， B ，∠P = 70°，点 C 是☉ O上的点（不与点 A ， B 重合），则∠ACB等于（ ） A. 70° B. 55° C. 70°或110° D. 55°或125° D 解析：由切线性质知，OA⊥PA，OB⊥PB，四边形OAPB内角和为360°，故∠AOB = 360°- 90°- 90°- 70° = 110°。 当点C在劣弧AB上时，∠ACB = 55°； 当点C在优弧AB上时，∠ACB = 180°- 55°= 125°. 故选答案D. 针对训练 2．如图，在Rt△ABC中，∠ABC = 90°，AB = ，BC = 2，以AB的中点O为圆心、OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. A 针对训练 解：如图，连接OD，过点D作DE ⊥AB于点E，在Rt△ABC中，∠ABC = 90°，AB = ，BC = 2， ， ，∴ ∠ DOB = 60°， ， ， 针对训练 3．如图，AB是☉O的直径，点C，D，E都在☉O上，∠1 = 55°，则∠2 = __________． 35° 解析：因为AB是☉ O的直径，所以∠ADB = 90°.∠1和∠ADE都是弧AE所对的圆周角，因此∠1 = ∠ADE = 55°.在Rt△ADB中，∠ADB = 90°，所以∠2 = 90°- ∠ADE = 90° - 55°= 35° 针对训练 4．如图，在△ABC中，AC = BC，D是AB上一点，☉O经过点A，C，D，交BC于点E，过点D作DF⫽BC，交☉O于点F． （1）求证：四边形DBCF是平行四边形． （2）求证：AF = EF． 针对训练 证明：(1) ∵ AC = BC, ∴ ∠BAC = ∠B. ∵ DF // BC, ∴ ∠ADF = ∠B. ∵ ∠BAC = ∠CFD, ∴ ∠ADF = ∠CFD, ∴ BD // CF, ∴ 四边形 DBCF 是平行四边形。 针对训练 (2) 连接 AE. ∵ ∠ADF = ∠B, ∠ADF = ∠AEF, ∴ ∠AEF = ∠B. ∵ 四边形 AECF 是☉O 的内接四边形, ∴ ∠ECF + ∠EAF = 180°. ∵ BD // CF, ∴ ∠ECF + ∠B = 180°, ∴ ∠EAF = ∠B, ∴ ∠AEF = ∠EAF, ∴ AF = EF. 针对训练 5．如图，BE是☉O的直径，点A和点D是☉O上的两点，连接AE，AD，DE，过点A作射线交BE的延长线于点C，使∠EAC = ∠EDA． （1）求证：AC是☉O的切线． （2）若CE = AE = ，求阴影部分的面积． 针对训练 (1) 证明：如图，连接 OA，过点 O 作 OF ⊥ AE 于点 F，则 ∠AFO = 90°, ∴ ∠EAO + ∠AOF = 90°. ∵ OA = OE, ∴ ∠EOF = ∠AOF = . ∵ ∠EDA = ∴ ∠EDA = ∠AOF. ∵ ∠EAC = ∠EDA, ∴ ∠EAC = ∠AOF, ∴ ∠EAO + ∠EAC = 90°, 即 ∠CAO = 90°. ∴ OA ⊥ AC, ∴ AC 是☉O 的切线. 针对训练 (2) 解：∵ CE = AE = , ∴ ∠C = ∠EAC. ∵ ∠EAC + ∠C = ∠AEO, ∴ ∠AEO = 2∠EAC. ∵ OA = OE, ∴ ∠AEO = ∠EAO, ∴ ∠EAO = 2∠EAC. ∵ ∠EAO + ∠EAC = 90°, ∴ ∠EAC = 30°, ∠EAO = 60°, ∴ △OAE 是等边三角形, ∴ OA = AE, ∠EOA = 60°, ∴ OA = , ∴ . 在 Rt△OAF 中, OF = OA × sin∠EAO = , ∴ ∴ 阴影部分的面积 = 针对训练 ✅ 知识构建：一元一次不等式 圆的对称性（轴对称性、中心对称性）→圆心角、弧、弦之间的关系定理→圆周角定义→圆周角定理及其推论（同弧所对圆周角相等，直径所对圆周角是直角等）→圆内接四边形的概念及性质（对角互补）→直线与圆的位置关系（相离、相切、相交）→切线的判定定理与性质定理→三角形的内切圆与外接圆 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. ✅ 思想方法： 数形结合（通过图形直观理解圆心角、圆周角、弦、弧之间的位置与数量关系） 转化与化归（证明圆周角定理时，将一般情况转化为特殊情况进行论证；将复杂的圆内角问题转化为圆周角或圆心角问题） 分类讨论（探究直线与圆的位置关系时，根据交点个数进行分类；讨论弦所对的圆周角位置时考虑不同情况） 定理的探索与证明（经历观察、猜想、验证、证明的过程，理解和掌握圆的系列定理） 课堂总结 感谢聆听! $