精品解析：广东省河源市龙川县第一中学2025-2026学年高三上学期9月月考数学试题

龙川一中2025-2026学年第一学期高三年级9月份考试 数学试卷 考试用时：120分钟 全卷满分：150分 命题人：曾小洁 审题人：郭琳琳 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由集合的交补运算求集合. 【详解】由题设，则. 故选：C 2. 已知复数z满足，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简，再求出，由，即可得出答案. 【详解】因为，所以复数，所以，所以. 故选:C. 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出，再根据指数函数和对数函数的单调性结合中间值比较大小即可. 【详解】， 因为，所以， 因为，所以， 所以， 故选：A. 4. 研究函数图象的特征，函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由奇函数的定义以及当时有即可判断. 【详解】定义域为，即定义域关于原点对称， 且， 所以是奇函数，其图象关于原点对称，故排除CD， 注意到当时，有，即， 此时函数图象位于轴下方，故排除A，经检验B选项符合题意. 故选：B. 5. “”是“在上单调递减”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数单调性的定义及充分条件、必要条件求解. 【详解】当在上单调递减， 设任意，且， 则， 又，所以可得， 故“”是“在上单调递减”的充要条件， 故选：C 6. 已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知函数在每一段上为增函数，且在时，一次函数的值不小于二次函数的值，然后解不等式组可求得结果. 【详解】因为是定义在上的增函数， 所以，解得. 故选：B 7. 函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断的符号，由此求得不等式的解集. 【详解】由图象可知，在区间上， 在区间上， 所以不等式的解集为. 故选：C 8. 已知函数在区间单调，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先对函数求导，令导数等于0，求出增减区间，进而得到或，即可求得结果. 【详解】由已知得，当时，令，得， 令，解得；令，解得； 故在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以若在区间上单调，则需满足或，即或， 所以的取值范围是 故选：B 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9. 下列结论中，正确的是（ ） A. 函数是指数函数 B. 函数的值域是 C. 若，则 D. 函数的图像必过定点 【答案】BD 【解析】 【分析】 对每一个选项进行逐一判断其真假，得出答案. 【详解】选项A. 根据指数函数的定义，可得不是指数函数，故A 不正确. 选项B. 当时，，故B正确. 选项C. 当时，函数单调递减，由，则，故C不正确. 选项D. 由，可得的图象恒过点，故D正确. 故选：BD 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查指数函数的定义、单调性以及图象过定点的应用，属于基础题. 10. 函数及其导函数的定义域均为R，和都是奇函数，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. 是周期函数 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由是奇函数可判断A；利用向右平移1个单位后可得可判断B；利用是奇函数，得到关系式，两边同时求导可得，再由可求出的周期可判断C；由可得，即可判断D. 【详解】对于A，因为是奇函数，所以， 则有，的图象关于点对称，故A错误； 对于B，是奇函数，其图象关于原点对称， 向右平移1个单位后可得，所以的图象关于点对称，故B正确； 对于C，因为是奇函数，所以， 所以，所以， 所以，所以①， 因为，所以②， 由①②可得：，所以， 所以，， 所以是函数的一个周期函数，所以是周期函数，故C正确； 对于D，因为，所以， ，，， 所以， 而，故D错误. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：抽象函数的奇偶性、对称性、周期性常有以下结论 （1）关于轴对称， （2）关于中心对称， （3）的一个周期为， （4）的一个周期为. 可以类比三角函数的性质记忆以上结论. 11. 已知三次函数，若函数的图象关于点（1，0）对称，且，则（ ） A. B. 有3个零点 C. 的对称中心是 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题设且，可得，代入解析式，结合已知条件即可判断选项的正误. 【详解】由题设，，且， 所以，整理得， 故，可得，故， 又，即，A正确；有3个零点，B正确； 由，则，所以关于对称，C错误； ，D正确. 故选：ABD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设f（x）是定义在R上的奇函数，当x>0时，f（x）＝x2＋1，则f（－2）＋f（0）＝________. 【答案】－5 【解析】 【分析】根据奇函数的性质，即可求解. 【详解】由题意知，， 所以. 故答案为： 13. 函数在上单调递增，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复合函数单调性性质将问题转化为二次函数单调性问题，注意真数大于0. 【详解】令，而为减函数， 所以在上单调递增等价于在上单调递减且恒成立， 即，解得. 故答案为： 14. 已知数列的前项和为，且.若，则的最小值为__________. 【答案】7 【解析】 【分析】降次作差得，构造数列，求出，则得到，作差构造新数列，再证明其单调性即可得到答案. 【详解】因为， 两式相减得：，即. 两边同除以可得， 又，得，满足， 所以数列是首项为，公差为的等差数列，故， 即，所以， 因为， 令，则， 所以数列单调递增，因为， 所以当时，，即； 当7时，， 即.所以的最小值为7. 故答案为：7. 【点睛】关键点点睛：本题的关键首先是作差得到，然后是构造等差数列，从而得到，最后作差并结合数列的单调性即可. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 设内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求； （2）若，且的面积为，求角的角平分线的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理把边转化为角，结合诱导公式和二倍角公式变形即可得到角； （2）在中根据面积公式求得边，再由角平分线分得的两个三角形的面积之和等于大三角形的面积，列式求解. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得, 因为，所以，所以， 因为，所以， 因为，所以, 因为，所以，所以， 所以，即； 【小问2详解】 因为，，所以, 即， 设的角平分线交于，因为， 所以，所以. 16. 袋中有8个除颜色外完全相同的小球，其中1个黑球，3个白球，4个红球. （1）若从袋中一次性取出两个小球，即取到的红球个数为，求的分布列和数学期望； （2）若从袋中不放回的取3次，每次取一个小球，取到黑球记0分，取到白球记2分，取到红球记4分，在最终得分为8分的条件下，恰取到一个红球的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由超几何分布的概率公式以及期望公式求解可得答案； （2）设事件“最后得分为8分”；事件“恰取到一个红球”，求出，，再根据条件概率的概率公式计算可得答案. 【小问1详解】 由题意得的可能取值为：， ，，， 所以的分布列为： 0 1 2 数学期望； 【小问2详解】 设事件“最后得分为8分”；事件“恰取到一个红球”； 由题意，最后得分为8分有两种情况：摸出2个白球1个红球或1个黑球2个红球， 所以，， 所以. 17. 如图，在四棱锥中，，，平面平面． （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）取的中点，连接, , , , , 的中点,, 四边形为平行四边形, ,四边形为正方形, ,,,, 平面 ⊥平面 ,平面 平面 , 平面 , 平面 , 平面 ,, 平面, 平面 . （2）. 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接通过计算边长，根据勾股定理易证，然后由面面垂直的性质定理可得平面，再由题意可证平面. （2）建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，利用空间向量求夹角的余弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知两两垂直、建立如图所示的空间直角坐标系 则 , , 设平面 的一个法向量为 , 则 , 令 , 则 , , 平面, 所以 平面 , 为平面 的一个法向量, 设平面 与平面 的夹角为， 则, 所以设平面 与平面 的夹角的余弦值为. 18. 设函数． （1）当时．求曲线在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数恰有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）答案见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）把代入，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出的导数，再分类讨论求出的单调区间. （3）由（2）中信息分类探讨并求出极小值，并确定函数有两个零点的条件，再结合零点存在性定理求解判断. 【小问1详解】 当时，，求导得，则，而， 所以所求切线方程为，即. 【小问2详解】 函数的定义域为， 求导得， 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，由，得或；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，，且当时取等号，函数在上单调递减； 当时，由，得或；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 由（2）知，当时，函数在上单调递减，则最多一个零点； 当时，在处取得极小值，则最多一个零点； 当时，在处取得极小值，则最多一个零点； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， ，要函数有两个零点，则必有， 解得，此时，当从大于0的方向趋近于0时，趋近于正无穷大，， 因此当且仅当时，函数恰有两个零点， 所以实数的取值范围是. 19. 已知椭圆的对称中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，离心率，且过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆交于两点，且直线的倾斜角互补，点，求三角形面积的最大值． 【答案】（1） （2）18 【解析】 【分析】（1）根据椭圆离心率和 求解即可； （2）设出直线和交点坐标，联立方程组，然后结合直线的倾斜角互补，，求解出和 ，最后结合三角形面积公式求解出面积解析式，结合导数求解出面积的最大值； 【小问1详解】 ， 设椭圆的标准方程为，即， 过点， 椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 由题意可知直线的斜率存在，且不过点， 设直线的方程为，， 由消去整理得， ，， ， ， ， ， 将，代入整理得， ， 又因为， 解得：， 三角形的面积， 令， 导函数， 当，， 当，， 增区间为，减区间为， 当时，三角形的面积取得最大值，最大值为18． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙川一中2025-2026学年第一学期高三年级9月份考试 数学试卷 考试用时：120分钟 全卷满分：150分 命题人：曾小洁 审题人：郭琳琳 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足，则（ ） A. 2 B. C. D. 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 研究函数图象的特征，函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. “”是“在上单调递减”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在区间单调，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9. 下列结论中，正确的是（ ） A. 函数是指数函数 B. 函数的值域是 C. 若，则 D. 函数的图像必过定点 10. 函数及其导函数的定义域均为R，和都是奇函数，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. 是周期函数 D. 11. 已知三次函数，若函数的图象关于点（1，0）对称，且，则（ ） A. B. 有3个零点 C. 的对称中心是 D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设f（x）是定义在R上的奇函数，当x>0时，f（x）＝x2＋1，则f（－2）＋f（0）＝________. 13. 函数在上单调递增，则实数的取值范围是__________. 14. 已知数列的前项和为，且.若，则的最小值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 设内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求； （2）若，且的面积为，求角的角平分线的长. 16. 袋中有8个除颜色外完全相同的小球，其中1个黑球，3个白球，4个红球. （1）若从袋中一次性取出两个小球，即取到的红球个数为，求的分布列和数学期望； （2）若从袋中不放回的取3次，每次取一个小球，取到黑球记0分，取到白球记2分，取到红球记4分，在最终得分为8分的条件下，恰取到一个红球的概率. 17. 如图，在四棱锥中，，，平面平面． （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 18. 设函数． （1）当时．求曲线在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数恰有两个零点，求实数的取值范围． 19. 已知椭圆的对称中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，离心率，且过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆交于两点，且直线的倾斜角互补，点，求三角形面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $