24.2.2直线与圆的位置关系（3）（题型专练）数学人教版九年级上册

24.2.2直线与圆的位置关系（3） 题型一、利用切线长定理求线段 1．（2024·广东深圳·三模）如图，与分别相切于点A，B，，，则的长度为（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线长定理，等边三角形的判定与性质；由切线长定理得，由得是等边三角形，由等边三角形的性质即可求得结果． 【详解】解：∵与分别相切， ∴； ∵， ∴是等边三角形， ∴； 故选：B． 2．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）如图，直线分别与相切于点，若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了切线长定理，切线的性质定理，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据切线的性质得到平分，平分，再根据平行线的性质得到，则，即，再根据勾股定理得出的值，进而由切线长定理即可得到的长． 【详解】解：连接， 直线分别与相切于点， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 故选：D ． 3．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，、、是圆O的切线，切点分别为P、C、D，若，，则的长是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．由、、是的切线，则，，求出的长即可求出的长． 【详解】解：∵、为的切线，， ∴； ∵、为的切线， ∴； ∵， ∴． 故答案为：2． 4．（21-22九年级上·云南昆明·期中）如图，中，，它的内切圆分别和切于点D，E，F，求和的长． 【答案】 【分析】本题考查了切线长定理．设，根据切线长定理得到，则，然后解方程求出x，从而得到的长． 【详解】解：设， ∵的内切圆分别和切于点D，E，F， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， ∴． 5．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，，O是上一点，以点O为圆心，的长为半径的圆与相切于点D，与相交于点E，且．求： (1)的半径． (2)的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆的切线的判定与性质定理、切线长定理、勾股定理，掌握方程思想是解题的关键． （1）连接，由点为的切点，可得，设的半径为，在中，根据勾股定理即可求得半径． （2）利用切线的判定与切线长定理可得，设，则，由（1）得，在中，再利用勾股定理即可得出，即可求出的长． 【详解】（1）解：如图，连接． 与相切于点D， ．设的半径为． 在中，，解得， 的半径为． （2）解：由题意，得是的切线． 是的切线，． 设，则． 由（1），得． 在中，，解得， 的长为． 6．（22-23九年级上·广西梧州·期末）一摄影爱好者做一个实地测量，用无人机在一半径为50米的球体表面P点正上方80米处F点看到球体表面最远点M、N两点． (1)求的长度； (2)求M、N两点的距离． 【答案】(1)米； (2)米． 【分析】此题考查了切线长定理、切线的性质定理、勾股定理等知识，熟练掌握切线长定理、切线的性质定理是关键． （1）连接，根据切线的性质和勾股定理进行解答即可； （2）设线段与相交于点，证明垂直平分线段，由得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，连接， 由题意可得，均是的切线， ∴， ∵米，米， ∴米， ∴米， 即的长度为米； （2）设线段与相交于点， ∵均是的切线， ∴, ∵， ∴垂直平分线段， ∴， ∴米， ∴米， 故M、N两点的距离为米． 题型二、利用切线长定理求角度 7．（23-24九年级上·天津和平·期末）如图，是的直径，点为外一点，，分别与相切于点，点，连接，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，掌握相关知识是解此题的关键．根据切线的性质得出，，求出，求出，根据圆周角定理求出，根据，即可求解． 【详解】解：、分别与相切于点、， ，， ， ， ， 是的直径， ， ， 故选：C． 8．（24-25九年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，若的半径为，，则的值和的大小分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的内切圆与内心，圆周角定理，切线的性质等知识．利用切线长定理，圆周角定理，切线的性质解决问题即可． 【详解】解：如图，连接． ∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故选：D． 9．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，是的切线，为切点，是的直径，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查切线的性质，切线长定理，根据切线长定理，得到，等边对等角求出的度数，切线的性质得到，角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：∵是的切线，是的直径， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：． 10．（24-25九年级上·北京海淀·期中）如图，，是圆的切线，切点分别为，，连接，．如果，那么的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线长定理，切线的性质，等腰三角形的性质，由切线长定理可得，即得，进而根据切线的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，是圆的切线，切点分别为，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 11．（22-23九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，是⊙O的切线，A，B为切点，是⊙O的直径，，求和的度数． 【答案】， 【分析】根据切线的性质，得到，利用互余关系求出的度数，利用切线长定理，得到是等腰三角形，利用三角形内角和求出的度数即可． 【详解】解：∵是⊙O的切线， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的性质和切线长定理．熟练掌握切线的性质和切线长定理是解题的关键． 题型三、利用切线长定理求周长 12．（24-25九年级上·云南昆明·阶段练习）如图， 的内切圆与、、分别相切于点D、E、F且， ，则的周长为（   ）. A．7 B．1 C．10 D．14 【答案】D 【分析】本题考查了圆的切线长定理，由此可得，，，根据三角形的周长公式计算即可，掌握切线长定理“从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长度相等”是解题的关键． 【详解】解：的内切圆与、、分别相切于点、、， ，，， ， 的周长为： 故选：D． 13．（2025·广东·二模）如图，与相切于点，与相切于点，为上一点，过点与相切的直线分别交，于点，．若的周长为，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．10 【答案】C 【分析】本题可根据切线长定理，将的周长转化为与、有关的线段长度，再结合与的关系求解的长．本题主要考查切线长定理．解题的关键在于利用切线长定理得出线段间的等量关系，进而将的周长转化为与相关的表达式来求解． 【详解】解：∵，是的切线，切点分别为，， ∴． 又∵，是的切线，切点分别为，， ∴． 同理，∵，是的切线，切点分别为，， ∴． ． ∴． 又∵， ∴． ∵的周长为，即， ∴，可得， 解得． 故选：C 14．（24-25九年级下·内蒙古呼和浩特·开学考试）如图：、切于、，过点的切线交、于、，，则的周长为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了切线长定理．根据切线长定理，即可得到，，，从而求得三角形的周长． 【详解】解：、切于、，切于， ，，； 的周长． 故答案为：． 15．（2025·四川绵阳·一模）如图，的内切圆与两直角边，分别相切于点，，过劣弧（不包括端点，）上任一点作的切线与，分别交于点，，若的半径为2，则的周长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了切线长定理和切线的性质，证明的周长等于是关键． 证明四边形是正方形，然后根据切线长定理证明的周长等于即可求解． 【详解】解：连接、． 和是的切线， ，，， 则四边形是正方形． ， 又是切线， ，， 的周长 ． 故答案是：4． 16．（24-25九年级上·广东江门·期末）如图，是一张三角形纸片，，是它的内切圆，小陈准备用剪刀在的左侧沿着与相切的任意一条直线剪下，若剪下的的周长为，则的周长为 ． 【答案】21 【分析】此题重点考查三角形的内切圆与内心、切线长定理、三角形的周长等知识．设与分别相切于点F、G、L、H，则，，所以，而，，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：根据题意设与分别相切于点F、G、L、H， 则，，且， ∴， ∵，，且的周长为， ∴， ∴， ∴的周长为， 故答案为：21． 17．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，是的切线，切点分别为A、B．点C在上，过点C的切线分别交于点D、E，已知的周长20，求的长． 【答案】10 【分析】本题考查了切线长定理，关键是把的周长转化为；根据切线长定理得，由此得的周长为，从而可求得结果． 【详解】解：∵是的切线， ∴； ∵过点C的切线分别交于点D、E， ∴； ∵的周长20， ∴， ∴， 即， ∴． 18．（23-24九年级上·天津和平·期末）已知：为直径，，分别切于，，切于，，． (1)求证：； (2)求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的性质，切线长定理，三角形的面积，勾股定理； （1）连结，根据切线长定理得到，然后根据平行得到，即可证明结论； （2）根据勾股定理求出长，再根据三角形的面积求出长，即可得到长解答即可． 【详解】（1）解：连结， 分别切于，切于， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：，，， ， ， 由（1）知， ， ， ， 四边形的周长为． 题型一、切线长定理的有关计算与证明 19．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，射线，与相切，切点分别为，，连接并延长，交于点，连接，．求证． 【答案】见解析 【分析】此题重点考查切线长定理、等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识．连接，由射线，与相切，切点分别为A，B，根据切线长定理得，平分，则垂直平分，所以． 【详解】证明：连接， ∵射线，与相切，切点分别为A，B， ∴，平分， ∴垂直平分， ∵的延长线交于点C， ∴． 20．（24-25九年级下·四川自贡·期中）如图1，已知内切于四边形，与分别相切于点． (1)求证：； (2)如图2，连接，与交于点，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据切线长定理可得：，，，，问题随之得解； （2）连接，可得出，，利用圆周角定理求得，，进一步计算得出结论． 【详解】（1）证明：根据切线长定理可得：，，，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴； （2）证明：如图，连接， ∵四边形的内切圆与边分别相切于点E，F，G，H， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，圆中的弧、弦、圆周角之间的关系等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 21．（2024·广东梅州·模拟预测）如图，P为外一点，为的切线，切点分别为A、B，直线交于点D、E，交于点C． (1)求证∶． (2)若，连接，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，由,证明，，进而得证； （2）连接，连接，证明，得到，由为的切线得到，，证明，得到，则，得到，又由，即可证明四边形是菱形． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是直径， ∴ 即 ∵为的切线， ∴， 即． ∴， ∵ ∴， ∴． （2）连接，连接，如图， ∵， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴， ∴ ∵为的切线， ∴，， ∵ ∴， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴四边形是菱形． 【点睛】此题考查了切线的性质、切线长定理、圆周角定理、全等三角形的判定和性质、菱形的判定等知识，添加适当的辅助线是证明的关键． 题型二、切线长定理与切线的计算与证明 22．（2022·福建·模拟预测）如图，PA与⊙O相切于点A，点B在⊙O上，且PA=PB． (1)求证：PB与⊙O相切； (2)点Q在劣弧AB上运动，过点Q作⊙O的切线分别交PA，PB于点M，N．若PA=6，则△PMN的周长为______． 【答案】(1)见解析； (2)12 【分析】（1）连接OB，证明△APO≌△BPO（SSS），由全等三角形的判定与性质得出∠PAO=∠PBO=90°，得出OB⊥PB，则可得出结论； （2）由切线长定理可得出答案． 【详解】（1）证明：连接OB， ∵PA与⊙O相切于点A， ∴∠PAO=90°， 在△APO和△BPO中， ， ∴△APO≌△BPO（SSS）， ∴∠PAO=∠PBO=90°， ∴OB⊥PB， ∴PB与⊙O相切； （2）解：∵PA，PB是⊙O的切线，过点Q作⊙O的切线，PA=6， ∴MA=MQ，NQ=NB，PA=PB=6， ∴△PMN的周长=PM+MQ+NQ+PN=PA+PB=12； 故答案为：12． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，切线长定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 23．（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图，点O为圆心，为半圆的直径，在上取一点C，延长至点D，连接，过点A作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为3，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查了切线的判定，切线长定理，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）连接，如图，根据圆周角定理得到，即，根据等边对等角得出，结合已知可得到，根据切线的判定定理得到答案； （2）根据切线的判定和切线长定理得到，在中，根据勾股定理得到，在中，根据勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， 即， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴是的切线， 又是的切线， ∴， 在中，，，， ∴， 设，则， 在中，，， ∴， ∴， 解得， 即． 24．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）已知：是边长为的等边三角形，点O在边上，过点B且分别与边，相交于点D，E，，垂足为F． (1)求证：直线是的切线； (2)当直线与相切时，求：的半径． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、切线的性质与判定、切线长定理及含30度直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质、切线的性质与判定、切线长定理及含30度直角三角形的性质是解题的关键； （1）连接，由题意易得，然后可得，进而可知，则问题可求证； （2）由切线长定理可得，则可知，然后可得，进而根据含30度直角三角形的性质可进行求解． 【详解】（1）证明：连接，如图所示， ∵是边长为的等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴直线是的切线； （2）解：连接，如图所示， ∵直线、都与相切， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 即的半径为． 25．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，，是的切线，，为切点，连接． (1)若与相切于点，求证； (2)若，求证与相切． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】（）利用切线长定理证明，即可求证； （）延长到点，使得，连，过点作，垂足为G，连接，，，，证明，再由证明，根据性质再证明，最后由性质即可求证； 此题考查了切线长定理和切线的判定与性质，全等三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点的应用及正确添加辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵与相切，切点为，且，是的切线，，为切点， ∴ ，， ∵， ∴； （2）证明：延长到点，使得，连接，过点作，垂足为G，连接，，，， ∵，， ∴ ， ∵，是的切线，，为切点， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴平分， 又∵，， ∴， ∴与相切． 26．（9-10九年级上·湖北·期末）如图，、切于A、B，及其延长线分别交于C、D，为⊙O的直径，连接、，下列结论：①；②；③平分；④；其中正确的有（    ） A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了圆的切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质： ①在圆中相等圆心角所对应弧相等，，连接，，则． ②，，则，正确． ③根据角的互余关系证明即可； ④条件不足，无法确定． 【详解】解：连接，如图， 由切线性质知，，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴，①正确； 由切线性质知，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴②正确； ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴平分，③正确； ④若，则，即是等边三角形， 根据已知条件无法得到这一结论，故④错误． 故选：A． 27．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）直角梯形中，，，，以为直径的切于点E，连交于点M，连交于点N，则四边形的面积为 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接，证明，为的切线；可得，，，过作于，证明四边形为矩形，可得，，，，求解，同理可得：，，证明四边形为矩形，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵，以为直径的切于点E， ∴，为的切线； ∴，， ∴， 过作于， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 同理可得：，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴四边形的面积为， 故选：B 【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，勾股定理的应用，线段的垂直平分线的判定，切线长定义的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 28．（2025·广东广州·二模）如图，是的切线，切点分别为A、B，是的直径，交于点E，连接交于点F，连接交于点D．下列结论错误的是（   ）． A． B． C．平分 D． 【答案】A 【分析】连接根据切线长定理判断B；再说明是的垂直平分线，根据等弧所对的圆周角相等得，即可判断B；然后证明，可得，接下来说明是的中位线，根据中位线的性质判断D即可；最后证明，解答A即可． 【详解】解：如图所示，连接 ∵是的切线， ∴． 则B正确； ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴平分； 则C正确； ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴是的中位线， ∴，即． 则D正确； ∵， ∴， 不能说明这两个三角形全等． 所以A不正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了切线长定理，线段垂直平分线的性质和判定，圆周角定理及推论，相似三角形的判定，中位线的定义和性质，灵活选择判定定理是解题的关键． 29．（22-23九年级上·江苏扬州·期末）如图，与正方形的两边都相切，且与相切于点E，若正方形的边长为4，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的判定与性质，勾股定理的应用，切线的性质，切线长定理，掌握以上知识是解题的关键． 设与相切于点．连接，证明四边形是正方形．根据切线长定理，可得，从而求解 再根据勾股定理计算即可； 【详解】解：设与相切于点．连接， 四边形是正方形, 四边形是正方形． ∵是⊙O的切线， ∴， ∵ ∴ 在中，   故答案为：． 30．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，为的直径，切于点C，与的延长线交于点D，交延长线于点E，连接，已知．      (1)求证：是的切线； (2)求的半径． (3)连接，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 (3) 【分析】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）由已知角相等及直角三角形的性质得到为直角，即可得证； （2）在直角三角形中，由与的长，利用勾股定理求出的长，由切线长定理得到，由求出的长，在直角三角形中，设，则有，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解得到r的值，即为圆的半径． （3）延长相交于点F，证明，由全等三角形的性质得出，求出的长，则可得出答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 为的切线； （2）解：在中，， 根据勾股定理得：， 与都为的切线， ， ； 在中，设，则有， 根据勾股定理得：， 解得：， 则圆的半径为3. （3）解：延长相交于点F，   与都为的切线， 平分， ， ， ， 又， ， ， ， 在中，， ∴． 31．（24-25九年级上·云南昭通·期末）如图1，是的直径，和是它的两条切线，点是右侧半圆上不同于的一个动点，过点作的切线与分别相交于两点，连接． (1)若，求的长； (2)求证：； (3)如图2，连接，与相交于点，延长交于点，过点作于点．则以下关于线段的三个结论：①，②，③，你认为哪个正确？请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)②正确，理由见解析 【分析】（1）首先证明，易得，由切线长定理可知，，进而证明，然后由勾股定理求解即可； （2）首先根据勾股定理可得，再由（1）知，进而可得，由切线长定理可知，易得，然后证明结论； （3）延长至，使得，连接，首先证明，易得，再证明，易得，即可证明． 【详解】（1）解： 是直径，、是切线， ∴， ， 由切线长定理可知，， ， ， ， ； （2）证明： 是直径， 、 是切线， ， ， 由 （1）知 ， ， 由切线长定理可知 ， ， ， 即 ， ； （3）我认为正确，理由如下： 如下图，延长至，使得，连接， 由垂径定理知，垂直平分， ， ， 在四边形中，， 又 ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了切线的性质、切线长定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、垂径定理等知识，综合性质强，综合运用相关知识是解题关键． 1 / 35 学科网（北京）股份有限公司 $ 24.2.2直线与圆的位置关系（3） 题型一、利用切线长定理求线段 1．（2024·广东深圳·三模）如图，与分别相切于点A，B，，，则的长度为（   ） A． B．2 C．3 D． 2．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）如图，直线分别与相切于点，若，，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，、、是圆O的切线，切点分别为P、C、D，若，，则的长是 ． 4．（21-22九年级上·云南昆明·期中）如图，中，，它的内切圆分别和切于点D，E，F，求和的长． 5．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，，O是上一点，以点O为圆心，的长为半径的圆与相切于点D，与相交于点E，且．求： (1)的半径． (2)的长． 6．（22-23九年级上·广西梧州·期末）一摄影爱好者做一个实地测量，用无人机在一半径为50米的球体表面P点正上方80米处F点看到球体表面最远点M、N两点． (1)求的长度； (2)求M、N两点的距离． 题型二、利用切线长定理求角度 7．（23-24九年级上·天津和平·期末）如图，是的直径，点为外一点，，分别与相切于点，点，连接，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，若的半径为，，则的值和的大小分别为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，是的切线，为切点，是的直径，若，则的度数为 ． 10．（24-25九年级上·北京海淀·期中）如图，，是圆的切线，切点分别为，，连接，．如果，那么的度数为 ． 11．（22-23九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，是⊙O的切线，A，B为切点，是⊙O的直径，，求和的度数． 题型三、利用切线长定理求周长 12．（24-25九年级上·云南昆明·阶段练习）如图， 的内切圆与、、分别相切于点D、E、F且， ，则的周长为（   ）. A．7 B．1 C．10 D．14 13．（2025·广东·二模）如图，与相切于点，与相切于点，为上一点，过点与相切的直线分别交，于点，．若的周长为，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．10 14．（24-25九年级下·内蒙古呼和浩特·开学考试）如图：、切于、，过点的切线交、于、，，则的周长为 ． 15．（2025·四川绵阳·一模）如图，的内切圆与两直角边，分别相切于点，，过劣弧（不包括端点，）上任一点作的切线与，分别交于点，，若的半径为2，则的周长为 ． 16．（24-25九年级上·广东江门·期末）如图，是一张三角形纸片，，是它的内切圆，小陈准备用剪刀在的左侧沿着与相切的任意一条直线剪下，若剪下的的周长为，则的周长为 ． 17．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，是的切线，切点分别为A、B．点C在上，过点C的切线分别交于点D、E，已知的周长20，求的长． 18．（23-24九年级上·天津和平·期末）已知：为直径，，分别切于，，切于，，． (1)求证：； (2)求四边形的周长． 题型一、切线长定理的有关计算与证明 19．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，射线，与相切，切点分别为，，连接并延长，交于点，连接，．求证． 20．（24-25九年级下·四川自贡·期中）如图1，已知内切于四边形，与分别相切于点． (1)求证：； (2)如图2，连接，与交于点，若，求证：． 21．（2024·广东梅州·模拟预测）如图，P为外一点，为的切线，切点分别为A、B，直线交于点D、E，交于点C． (1)求证∶． (2)若，连接，求证：四边形是菱形． 题型二、切线长定理与切线的计算与证明 22．（2022·福建·模拟预测）如图，PA与⊙O相切于点A，点B在⊙O上，且PA=PB． (1)求证：PB与⊙O相切； (2)点Q在劣弧AB上运动，过点Q作⊙O的切线分别交PA，PB于点M，N．若PA=6，则△PMN的周长为______． 23．（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图，点O为圆心，为半圆的直径，在上取一点C，延长至点D，连接，过点A作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为3，求的长． 24．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）已知：是边长为的等边三角形，点O在边上，过点B且分别与边，相交于点D，E，，垂足为F． (1)求证：直线是的切线； (2)当直线与相切时，求：的半径． 25．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，，是的切线，，为切点，连接． (1)若与相切于点，求证； (2)若，求证与相切． 26．（9-10九年级上·湖北·期末）如图，、切于A、B，及其延长线分别交于C、D，为⊙O的直径，连接、，下列结论：①；②；③平分；④；其中正确的有（    ） A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．②③④ 27．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）直角梯形中，，，，以为直径的切于点E，连交于点M，连交于点N，则四边形的面积为 （    ） A． B． C． D． 28．（2025·广东广州·二模）如图，是的切线，切点分别为A、B，是的直径，交于点E，连接交于点F，连接交于点D．下列结论错误的是（   ）． A． B． C．平分 D． 29．（22-23九年级上·江苏扬州·期末）如图，与正方形的两边都相切，且与相切于点E，若正方形的边长为4，，则的长为 ． 30．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，为的直径，切于点C，与的延长线交于点D，交延长线于点E，连接，已知．      (1)求证：是的切线； (2)求的半径． (3)连接，求的长． 31．（24-25九年级上·云南昭通·期末）如图1，是的直径，和是它的两条切线，点是右侧半圆上不同于的一个动点，过点作的切线与分别相交于两点，连接． (1)若，求的长； (2)求证：； (3)如图2，连接，与相交于点，延长交于点，过点作于点．则以下关于线段的三个结论：①，②，③，你认为哪个正确？请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $