24.2.1点与圆的位置关系（1）（题型专练）数学人教版九年级上册

24.2.1点与圆的位置关系（1） 题型一、点与圆之间的位置关系 1．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）⊙O半径为4，点A在内，则的长可以是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（22-23九年级上·江苏南京·期中）已知的半径是，线段的长为，则点P（   ） A．在外 B．在上 C．在内 D．不能确定 3．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）的半径为3，点到圆心的距离为2，点与的位置关系是（   ） A．点在外 B．点在内 C．点在上 D．不能确定 4．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）若的直径为，点A到圆心O的距离为，那么点A与的位置关系是 ． 题型二、已知点与圆之间的位置关系求半径 5．（24-25九年级上·陕西延安·期末）点P到圆心O的距离为7，若点P在圆O内，则圆O的半径r满足（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·浙江台州·期末）在中，，，，以点C为圆心，r为半径作．若点A在内，且点B在外，则r可能为（   ） A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm 7．（24-25九年级上·贵州遵义·期末）如图，在中，，，，点P是边上的一个动点，以点P为圆心，长为半径作圆，若使点C在内且点B在外，则的半径可以是（   ） A． B．2 C． D． 题型三、利用点与圆之间的位置关系求半径的取值范围 8．（24-25九年级上·浙江·期中）如图，在中，，，，P为边上的一点，以P为圆心，长为半径作圆，则当点C在圆内，点A在圆外时，线段的取值范围为（   ） A． B． C． D． 9．（19-20九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在矩形中，，，以顶点为圆心作半径为的圆，若要求另外三个顶点、、中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则的取值范围是 ． 10．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，在中，，，，若以为圆心，为半径画，请根据下列条件，求半径的值或取值范围． (1)与斜边有1个公共交点； (2)与斜边有2个公共交点； (3)与斜边没有公共交点． 11．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在三角形中，，，，是高线，是中线． (1)以点A为圆心，3为半径作圆A，则点，，与圆A的位置关系如何？ (2)若以点A为圆心作圆A，使，，三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求圆A的半径的取值范围？ 题型四、利用点到圆的距离求半径 12．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）圆外一点到圆的最大距离是，最小距离是，则这个圆的半径为（   ） A． B． C． D． 13．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）平面内，一个点到圆的最大距离为，最小距离为，则圆的半径为（   ） A．或 B．或 C． D． 14．（20-21九年级上·辽宁鞍山·期中）平面上一点Ｍ到上的最长距离为，最短距离为，那么的半径长为 ． 15．（24-25九年级上·山东菏泽·阶段练习）已知平面上点到的最大距离为，最小距离是，那么⊙O的半径为 ． 16．（17-18九年级上·浙江宁波·阶段练习）若所在平面内一点P到上的点的最大距离为a，最小距离为b（），则此圆的半径为（    ） A． B． C．或 D．或 题型一、利用点到圆的距离求最值问题 17．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，的半径为1，为圆上一动点，为的中点，连接，，则长的最大值为   A．5 B． C．6 D．3 18．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，点B是圆内一个定点，且点B到圆上最近一点的距离为2，到圆上最远一点距离为8，则经过点B的弦的长度取值范围是（    ）    A． B． C． D． 19．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，半径为5的圆心的坐标为，点是上任意一点，，与轴分别交于，两点，且，若点，点关于原点对称，则的最大值为（　　） A．60 B． C． D． 20．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，已知A、B两点的坐标分别为、，的圆心坐标为，原点在上，E是上的一动点，则面积的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 21．（2025·河南周口·二模）如图，正方形的边长为2，动点P为平面内一点，且，连接，则的最小值为 ，最大值为 ． 题型二、点与圆之间的位置关系综合问题 22．（24-25九年级下·全国·期中）已知矩形的边，． (1)以点A为圆心、为半径作，求点B，C，D与的位置关系； (2)若以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，求的半径r的取值范围． 23．（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）如图，在中，，，，是斜边上的中线． (1)若以点为圆心，以为半径作，且点，，中有两个点在内，有一个点在外，求的取值范围； (2)若以点为圆心，以为半径作，且点，，都在上，求的值． 题型三、有关点与圆的位置关系的新定义问题 24．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的半径为2，且与y轴、x轴的正半轴分别交于点A、B，点P是该坐标平面内一点，给出如下的定义：①若在上存在一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称点P为的“集团点”；②若点P（点P不在直线上）关于直线的对称点在上或其内部，则称点P为的“明德点”；③若点P同时满足条件①②，则称点P为的“明德集团点”． (1)在点，，中，的“明德集团点”是______； (2)若点P是的“集团点”，点P所在的区域称为“集团辐射区域”，求该“集团辐射区域”的面积：当点P在直线上时，求点P的纵坐标的取值范围； (3)若点P是的“明德点”，且，求点P的横坐标的最大值． 25．（2023·北京大兴·二模）在平面直角坐标系中，已知点，．点P为平面内一点（不与点A，点B重合），若是以线段为斜边的直角三角形，则称点P为线段的直点．    (1)若， ①在点，，这三个点中，点________是线段的直点； ②点P为线段的直点，点，求的取值范围； (2)点D在直线上，若点D的横坐标满足，点P为线段的直点，且，直接写出r的取值范围． 26．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在矩形中，，，若以顶点A为圆心、r为半径作圆，若点B、C、D只有一点在圆内，则r的取值范围为（    ） A． B． C． D． 27．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，已知是线段上的两点，，以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使两点重合成一点C，构成，设，若以点B为圆心，为半径作，使点M和点N都在外，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 28．（23-24九年级下·全国·单元测试）已知矩形中，，以点B为圆心r为半径作圆，且与边有唯一公共点，则r的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 29．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，，经过点，是上的一动点，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，则的取值范围是 ． 30．（24-25九年级上·浙江金华·开学考试）在中，若点O为边的中点，则必有：成立． 依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形中，已知，，点在以半径为2的上运动，则的最大值为 ． 31．（2024·湖南怀化·一模）已知正方形和正方形按图1所示叠放在一起，其中，，点O为和的中点． (1)图2中正方形为图1中正方形关于直线的轴对称图形，求点D和点U的连结线段的长度； (2)将图1中的正方形绕点O旋转，如图3所示，求运动过程中点D和点G之间距离的最大值和最小值． 32．（2024·山东淄博·二模）如图，二次函数的图象与轴分别交于点，（点在点的左侧），直线是对称轴．点在函数图象上，其横坐标大于4，连接，，过点作，垂足为，以点为圆心，作半径为的圆，与相切，切点为． (1)求点，的坐标； (2)四边形能是一个菱形吗？若能，求出点的坐标；若不能，说明理由； (3)若以为边长的正方形的面积与的面积相等，且不经过点，求的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 24.2.1点与圆的位置关系（1） 题型一、点与圆之间的位置关系 1．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）⊙O半径为4，点A在内，则的长可以是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点与圆的位置关系解答即可，熟练掌握点与圆的位置关系是解此题的关键． 【详解】解：∵的半径为4，点A在内， ∴， ∴的长可能是3， 故选：A． 2．（22-23九年级上·江苏南京·期中）已知的半径是，线段的长为，则点P（   ） A．在外 B．在上 C．在内 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点到圆心的距离和圆的半径之间的大小关系，即可判断点和圆的位置关系．点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外． 【详解】解：∵的半径是，线段的长为， ∴点P到圆心的距离小于圆的半径， ∴点P在内． 故选：C． 3．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）的半径为3，点到圆心的距离为2，点与的位置关系是（   ） A．点在外 B．点在内 C．点在上 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点到圆心的距离与圆的半径的关系进行判定即可求解． 【详解】解：设点到圆心的距离， ∵， ∴点在内， 故选：B ． 4．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）若的直径为，点A到圆心O的距离为，那么点A与的位置关系是 ． 【答案】点A在圆外 【分析】本题考查了点与圆的位置关系知识点，解题的关键是比较点到圆心的距离与圆半径的大小关系． 通过比较点到圆心的距离和圆的半径大小，来判断点与圆的位置关系． 【详解】解：∵的直径为， ∴的半径为， ∵点A到圆心O的距离为，且， ∴点A在圆外， 故答案为：点A在圆外． 题型二、已知点与圆之间的位置关系求半径 5．（24-25九年级上·陕西延安·期末）点P到圆心O的距离为7，若点P在圆O内，则圆O的半径r满足（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查对点与圆的位置关系的判断．解题的关键：要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，若点到圆心的距离为，圆的半径，则时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，反过来与成立．据此解答即可． 【详解】解：∵点到圆心的距离为7，点P在圆O内， ∴，即． 故选：C． 6．（24-25九年级上·浙江台州·期末）在中，，，，以点C为圆心，r为半径作．若点A在内，且点B在外，则r可能为（   ） A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，正确理解点与圆的位置关系是解题的关键．根据点与圆的位置关系，即可求得，由此即可判断答案． 【详解】解：点A在内， ， 点B在外， ， ， 只有符合题意． 故选：B． 7．（24-25九年级上·贵州遵义·期末）如图，在中，，，，点P是边上的一个动点，以点P为圆心，长为半径作圆，若使点C在内且点B在外，则的半径可以是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理；分别求得的最小值，进而确定的半径范围，即可求解． 【详解】解：设的半径为，即，则， ∵点C在内 ∴，即，解得：， 连接， 在中， 当时， 解得： ∵点P是边上的一个动点，，点B在外 ∴ ∴，结合选项可得的半径可以是 故选：C． 题型三、利用点与圆之间的位置关系求半径的取值范围 8．（24-25九年级上·浙江·期中）如图，在中，，，，P为边上的一点，以P为圆心，长为半径作圆，则当点C在圆内，点A在圆外时，线段的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系、勾股定理，解题的关键是掌握点与圆的三种位置关系，如设的半径为，点到圆心的距离，则有：①点在圆外；②点在圆上；③点在圆内．当点C在圆内，则，当经过点A时，则，，要使得点A在圆外，则，即可求解． 【详解】解：当点C在圆内， ∴， 当经过点A时，则， ∵， ∴此时， ∴要使得点A在圆外，则， ∴满足题意时，， 故选：A． 9．（19-20九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在矩形中，，，以顶点为圆心作半径为的圆，若要求另外三个顶点、、中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了点与圆的位置关系，矩形的性质，勾股定理，根据点与圆心的距离与半径的大小关系来进行判断，当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，理解点与圆的位置关系是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， 在直角中，，， ∴， 由图可知三个顶点、、中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则的取值范围是， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，在中，，，，若以为圆心，为半径画，请根据下列条件，求半径的值或取值范围． (1)与斜边有1个公共交点； (2)与斜边有2个公共交点； (3)与斜边没有公共交点． 【答案】(1)或； (2) (3)或 【分析】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为，点到圆心的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内． （1）过点作于点，再分圆与相切时；点在圆内部，点在圆上或圆外时，根据勾股定理以及直角三角形的面积计算出其斜边上的高，再根据位置关系与数量之间的联系进行求解； （2）要使圆与斜边有两个交点，则应满足直线和圆相交，且半径不大于．要保证相交，只需求得相切时，圆心到斜边的距离，即斜边上的高即可； （3）根据与斜边没有公共交点可知或点在的内部，据此可得出结论． 【详解】（1）解：如图，过点C作， ，，， ， ． 当圆与相切时，即； 当点在圆内部，点在圆上或圆外时，此时，即． 或； （2）， 以为圆心，为半径所作的圆与斜边有两个交点，则圆的半径应大于，小于或等于， 的取值范围是； （3）与斜边没有公共交点， 或点在的内部， 或． 11．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在三角形中，，，，是高线，是中线． (1)以点A为圆心，3为半径作圆A，则点，，与圆A的位置关系如何？ (2)若以点A为圆心作圆A，使，，三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求圆A的半径的取值范围？ 【答案】(1)点在圆A上，点在圆A内，在圆A外 (2) 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理，掌握通过圆心与点的距离和半径的大小关系判断点与圆的位置关系是解题的关键； （1）先利用勾股定理计算出，再利用等面积法求出，然后根据点与圆的位置关系进行判断即可； （2）使，，三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，根据，，可知，C必定在圆外，D必定在圆内，据此求出半径范围即可． 【详解】（1）解：，，， ， ， ， 半径， ， ，， 点在圆A上，点在圆A内，在圆A外； （2）解：使，，三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，，，， ，即， 圆A的半径的取值范围为． 题型四、利用点到圆的距离求半径 12．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）圆外一点到圆的最大距离是，最小距离是，则这个圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，掌握圆外一点到圆的最大距离与最小距离之差为直径为解题的关键．根据圆外一点到圆的最大距离与最小距离之差为直径即可得出答案． 【详解】解：圆外一点到圆的最大距离是，最小距离是， 圆的直径是， 圆的半径是． 故选：B． 13．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）平面内，一个点到圆的最大距离为，最小距离为，则圆的半径为（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查点与圆的位置关系，涉及圆的基本性质、点到圆的距离等知识，根据题意，结合点与圆的位置关系得到题目描述的情形，分类作出图形，数形结合，列式求解即可得到答案，熟记点与圆的位置关系是解决问题的关键． 【详解】解：根据点与圆的位置关系可知，当点在圆上时，点到圆的距离为， 平面内，一个点到圆的最大距离为，最小距离为， 点不可能在圆上，即点在圆内或圆外， 当点在圆内时，如图所示： 圆的半径为； 当点在圆外时，如图所示： 圆的半径为； 综上所述，圆的半径为或， 故选：B． 14．（20-21九年级上·辽宁鞍山·期中）平面上一点Ｍ到上的最长距离为，最短距离为，那么的半径长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，分点M在圆内或圆外进行讨论． 【详解】解：当点M在圆内时，的直径长为，半径为； 当点M在圆外时，的直径长为，半径为； 即的半径长为或， 故答案为：或． 15．（24-25九年级上·山东菏泽·阶段练习）已知平面上点到的最大距离为，最小距离是，那么⊙O的半径为 ． 【答案】或 【分析】本题考查点与圆的位置关系，分类讨论，当点在圆外时，根据圆外一点到圆上各点的最大距离减去最小距离等于圆的直径，当点在圆内时，根据圆内一点到圆上各点的最大距离加上最小距离等于圆的直径即可求解． 【详解】解：当点在圆外时， ∵外一点到上各点的最大距离为，最小距离为， ∴的直径为， ∴的半径为， 当点在圆内时， ∵内一点到上各点的最大距离为，最小距离为， ∴的直径为， ∴的半径为， 故答案为：或． 16．（17-18九年级上·浙江宁波·阶段练习）若所在平面内一点P到上的点的最大距离为a，最小距离为b（），则此圆的半径为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】点P可能在圆内，也可能在圆外；当点P在圆内时，直径为最大距离与最小距离的和；当点P在圆外时，直径为最大距离与最小距离的差；再分别计算半径． 【详解】解：若所在平面内一点P到上的点的最大距离为a，最小距离为b， 若这个点在圆的内部或在圆上时，圆的直径为，因而半径为； 当此点在圆外时，圆的直径是，因而半径是； 故选C． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，培养学生分类的思想及对点P到圆上最大距离、最小距离的认识． 题型一、利用点到圆的距离求最值问题 17．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，的半径为1，为圆上一动点，为的中点，连接，，则长的最大值为   A．5 B． C．6 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形性质，三角形的中位线，点与圆的位置关系．掌握三角形的中位线定理，点与圆的位置关系是解题的关键．由点、点的坐标得是的中点，则是的中位线，，当的长最大时，的长最大，根据点与圆的位置关系可得长的最大值为，求出，即可求解． 【详解】解：点的坐标为，点的坐标为， 是的中点， 为的中点， 是的中位线， ， 当的长最大时，的长最大，如图， 点的坐标为，点的坐标为， ， 长的最大值为， 长的最大值为， 故选：D． 18．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，点B是圆内一个定点，且点B到圆上最近一点的距离为2，到圆上最远一点距离为8，则经过点B的弦的长度取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理、垂径定理、线段的最值问题，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．当经过O、B时，线段的长度最长，当时，线段的长度最短，分别求解即可． 【详解】解：∵点B到圆上最近一点的距离为2，到圆上最远一点距离为8， ∴经过点B的弦最大时，是圆的直径，此时的最大值为， 当时，线段的长度最短， 如图，连接， 在中，，，， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴． 故选：D． 19．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，半径为5的圆心的坐标为，点是上任意一点，，与轴分别交于，两点，且，若点，点关于原点对称，则的最大值为（　　） A．60 B． C． D． 【答案】B 【分析】 本题考查点与圆的位置关系，直角三角形斜边的中线，掌握相关知识是解决问题的关键．连接，由直角三角形斜边中线的性质推出，当在的延长线上时，最大，此时最大，由勾股定理求出，得到，即可求出的最大值． 【详解】解：过作，连接， 的坐标是，在中，由勾股定理得： ， ，， ， 当取最大值时，的值最大，当在的延长线上时，最大， 圆的半径是5， ， ， ， 的最大值是40． 故选：B． 20．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，已知A、B两点的坐标分别为、，的圆心坐标为，原点在上，E是上的一动点，则面积的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】过点C作，交于E，此时面积的最小值（是定值，只要圆上一点E到直线的距离最小即可），求出，得到，根据三角形面积公式即可求出答案． 此题考查了勾股定理、三角形面积公式等知识，准确找到点E的位置是关键． 【详解】解：如图，过点C作，交于E，连接，此时面积的最小值（是定值，只要圆上一点E到直线的距离最小即可）， ∵A、B两点的坐标分别为、，， ∴ ∵的圆心坐标为，原点在上， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 故选：B. 21．（2025·河南周口·二模）如图，正方形的边长为2，动点P为平面内一点，且，连接，则的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查正方形的性质，点与圆的位置关系；以B点为坐标原点，分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，利用，结合圆的性质可得出点P的轨迹是以为直径的圆，将的最值问题转化为点C到圆上点的距离最值问题，通过点C到圆心的距离与半径的关系即可求解． 【详解】解：如图，以B点为坐标原点，分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系， ∵ 根据圆的性质，点P的轨迹是以为直径的圆， ∵正方形的边长为2， ∴，则圆心为，半径为， ∴圆的方程为， ∵， ∴圆心到点C的距离为 ∵， ∴点C在圆外， ∴最小值为， 最大值为， 故答案为：，． 题型二、点与圆之间的位置关系综合问题 22．（24-25九年级下·全国·期中）已知矩形的边，． (1)以点A为圆心、为半径作，求点B，C，D与的位置关系； (2)若以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，求的半径r的取值范围． 【答案】(1)点B在内，点C在外，点D在上 (2) 【分析】此题考查的知识点是点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，解题关键是要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系． （1）根据勾股定理求出的长，进而得出点B，C，D与的位置关系； （2）利用（1）中所求，即可得出半径r的取值范围． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵在矩形中，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴点在内， ∵， ∴点在上， ∵， ∴点在外； （2）∵以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外， ∴的半径r的取值范围是． 23．（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）如图，在中，，，，是斜边上的中线． (1)若以点为圆心，以为半径作，且点，，中有两个点在内，有一个点在外，求的取值范围； (2)若以点为圆心，以为半径作，且点，，都在上，求的值． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查点和圆的位置关系及勾股定理，熟练掌握点和圆的位置关系及勾股定理是解题关键． （1）利用勾股定理可得，根据直角三角形的性质得，进而根据点与圆的位置关系即可得答案； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及圆的定义，可得答案． 【详解】（1）解：，，， ． ∵是斜边上的中线． ∴， 点，，中有两个点在为，有一个点在外，， ； （2）解：是斜边上的中线，， ． 点，，都在上， ． 题型三、有关点与圆的位置关系的新定义问题 24．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的半径为2，且与y轴、x轴的正半轴分别交于点A、B，点P是该坐标平面内一点，给出如下的定义：①若在上存在一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称点P为的“集团点”；②若点P（点P不在直线上）关于直线的对称点在上或其内部，则称点P为的“明德点”；③若点P同时满足条件①②，则称点P为的“明德集团点”． (1)在点，，中，的“明德集团点”是______； (2)若点P是的“集团点”，点P所在的区域称为“集团辐射区域”，求该“集团辐射区域”的面积：当点P在直线上时，求点P的纵坐标的取值范围； (3)若点P是的“明德点”，且，求点P的横坐标的最大值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）：点P是的“集团点”得：点P在以原点为圆心，1和3分别为半径的圆所组成的圆环及圆环内，即．可确定，是的“集团点”；由点P是的“明德点”得点P必在关于直线的对称圆上或其内部（不含A、B两点），可得只有是的“明德集团点”，即可求解； （2）设，令，解得：；令，解得：，即可求解； （3）取中点为H，连接，可得，推出点P在以H为圆心，为半径的圆上；根据点P是的“明德点”得出点P位于上方的半圆上运动（不包括端点A、B），推出当过点P作平行于y轴的切线时，即轴时，点P横坐标最大，即可求解； 【详解】（1）解：由点P是的“集团点”得：点P在以原点为圆心，1和3分别为半径的圆所组成的圆环及圆环内，即． ，， ，是的“集团点” 根据对称性，由点P是的“明德点”得点P必在关于直线的对称圆上或其内部（不含A、B两点） ， ， 只有是的“明德集团点”， 故答案为：； （2）解： “集团辐射区域”为以原点为圆心，1和3分别为半径的圆所组成的圆环及圆环内部区域 点P在直线上 设， 令，解得：； 令，解得： 点P的纵坐标的取值范围为：或 （3）解：取中点为H，连接， ， ， 点P在以H为圆心，为半径的圆上 又点P是的“明德点” 点P位于上方的半圆上运动（不包括端点A、B）， 当过点P作平行于y轴的切线时，即轴时，点P横坐标最大， 点P的横坐标的最大值为 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的综合知识，涉及了一次函数、圆周角定理以及点与圆的位置关系等知识点，正确理解题意得出点P是的“集团点”出点P在以原点为圆心，1和3分别为半径的圆所组成的圆环及圆环内是解题关键． 25．（2023·北京大兴·二模）在平面直角坐标系中，已知点，．点P为平面内一点（不与点A，点B重合），若是以线段为斜边的直角三角形，则称点P为线段的直点．    (1)若， ①在点，，这三个点中，点________是线段的直点； ②点P为线段的直点，点，求的取值范围； (2)点D在直线上，若点D的横坐标满足，点P为线段的直点，且，直接写出r的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①根据“直点”的定义即可解决问题；②求出的最大值和最小值即可得结论； （2）以O为圆心作圆，求出半径的最小值与最大值，可得结论． 【详解】（1）①如图；    ∵， ∴点． ∵点P为线段的直点， ∴点P在上． ∴点，，这三个点中，为线段的直点， 故答案为：； ②情况1：连接交于点P，此时最短，连接， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 情况2：延长交于点，此时最长． ∵， ∴． ∴CP的取值范围是， 故答案为：． （2）∵点P为线段的直点， ∴点P在以为直径的上， 如图，    当时，， ∴ 在中，， ∵, ∴； 过点作轴于点G，过点作轴于点H， ∴四边形是矩形，为等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴ 当时，，即 ∴ 在中，， ∴r取值范围是． 【点睛】本题考查了圆的有关知识，一次函数的性质，“直点”的定义等知识，解题关键是理解题意，熟练掌握圆的相关性质、勾股定理等知识，灵活运用数形结合思想和分类讨论思想思考问题． 26．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在矩形中，，，若以顶点A为圆心、r为半径作圆，若点B、C、D只有一点在圆内，则r的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是明确半径的大小与位置的关系． 根据题意，则只有B点在圆内才满足条件，根据点与圆的位置关系求解即可． 【详解】解：连接， 在中，， 若以顶点A为圆心、r为半径作圆，若点B、C、D三点，只有一点在圆内， 则只有B点在圆内才满足条件， ∴， 故选：B． 27．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，已知是线段上的两点，，以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使两点重合成一点C，构成，设，若以点B为圆心，为半径作，使点M和点N都在外，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的三边关系、点与圆的位置关系、不等式组，比较基础．利用三角形的三边关系、点到圆心的距离与半径的关系分别列不等式，再求解即可． 【详解】解：在中， ， ， 解得：； ∵以点为圆心，为半径作圆，使点和点都在外， 且， ， ∴的取值范围是， 故选：B． 28．（23-24九年级下·全国·单元测试）已知矩形中，，以点B为圆心r为半径作圆，且与边有唯一公共点，则r的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了点与圆的位置关系以及矩形的性质，勾股定理，由于根据点与圆的位置关系得到注意若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外； 当时，点在圆上，当时，点在圆内． 【详解】解：如图：连接,    ∵矩形中， ∵以点B为圆心作圆，与边有唯一公共点， ∴的半径r的取值范围是：， 故选：D． 29．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，，经过点，是上的一动点，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，，，由旋转可得，，，再证明，得到，从而得到点C在以点E为圆心，1为半径的圆上运动，当点C运动至的延长线与的交点处时，取得最大值为，当点C运动至与的交点处时，取得最小值为，再根据勾股定理求出的长，即可得出答案． 【详解】解：将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，，， ∵，经过点， ∴， ∵， ∴， 由旋转可得：，，， ∵， ， ∴， 在和中， ， ∴， ， ∴点C在以点E为圆心，1为半径的圆上运动， ∴当点C运动至的延长线与的交点处时， 取得最大值为， 当点C运动至与的交点处时， 取得最小值为， 在中，， 的取值范围是． 【点睛】本题考查了平面直角坐标，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，圆的知识，掌握相关知识是解题的关键． 30．（24-25九年级上·浙江金华·开学考试）在中，若点O为边的中点，则必有：成立． 依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形中，已知，，点在以半径为2的上运动，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，矩形的性质，三角形三边关系，设点是的中点，连接，，，由题意得出，结合得出最大值时，的值最大，再由三角形三边关系得出的最大值为，计算即可得出答案． 【详解】解：设点是的中点，连接，，， 在矩形中，，， ∴，，， 由题意可得：， ∵， ∴最大值时，的值最大， ∵，， ∴， ∴的最大值为， ∴的最大值， 故答案为：． 31．（2024·湖南怀化·一模）已知正方形和正方形按图1所示叠放在一起，其中，，点O为和的中点． (1)图2中正方形为图1中正方形关于直线的轴对称图形，求点D和点U的连结线段的长度； (2)将图1中的正方形绕点O旋转，如图3所示，求运动过程中点D和点G之间距离的最大值和最小值． 【答案】(1)； (2)点D和点G之间距离的最大值和最小值分别为和． 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，点和圆的位置关系． （1）根据正方形的性质结合勾股定理即可求解； （2）连接，利用勾股定理求得长，推出点在以点为圆心，长为半径的圆上，当点在线段上时，取得最小值；当点在延长线上时，取得最大值；据此求解即可． 【详解】（1）解：延长交于点， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵，， ∴， ∴点在以点为圆心，长为半径的圆上， ∴当点在线段上时，取得最小值； 当点在延长线上时，取得最大值； ∵，， ∴， 如图1， 最小值为； 如图2， 取得最大值为． 32．（2024·山东淄博·二模）如图，二次函数的图象与轴分别交于点，（点在点的左侧），直线是对称轴．点在函数图象上，其横坐标大于4，连接，，过点作，垂足为，以点为圆心，作半径为的圆，与相切，切点为． (1)求点，的坐标； (2)四边形能是一个菱形吗？若能，求出点的坐标；若不能，说明理由； (3)若以为边长的正方形的面积与的面积相等，且不经过点，求的取值范围． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为 (2)四边形不能是一个菱形．理由见解析 (3)长的取值范围为或或 【分析】（1）令，代入二次函数中即可求解． （2）假设四边形是菱形，则，进而得出即，过点作轴，垂足为，则，，勾股定理求得，这与相矛盾，即可得出结论； （3）利用配方法求出二次函数的对称轴，设出点坐标，求出点坐标，连接，则，求出，即以切线长为边长的正方形的面积为，过点作轴，垂足为，求出三角形的面积，进而得出半径，假设经过点，分两种情况：①当点在点的上方，②当点在点的下方，即可求解． 【详解】（1）解：令，则， 解得，， ，． 答：点的坐标为，点的坐标为． （2） 不能． 理由如下：由（1）知抛物线对称轴为 假设四边形是菱形，则 由，得， 即 过点作轴，垂足为，则， 由勾股定理得： 这与相矛盾 四边形不能是一个菱形． （3）， 对称轴为． 设， ， ， 连接，则， ， 即以切线长为边长的正方形的面积为， 过点作轴，垂足为， 则，， ， ． 假设经过点，则有两种情况： ①如图，当点在点的上方， ， ，解得或1， ， ． ②如图，当点在点的下方， ， 解得， ， ， 综上所述，或， 当不经过点时，长的取值范围为：或或． 答：长的取值范围为：或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，菱形的性质，正方形的性质，点与圆的位置关系；熟练掌握以上知识分类讨论，是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $