24.1.4圆周角（2）（题型专练）数学人教版九年级上册

24.1.4圆周角（2） 题型一、圆内接四边形 1．（24-25九年级上·山东东营·期末）现有一些相同的小卡片，每张卡片上各写了一个数学命题，其中正确的是（   ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．相等的圆心角所对的弧相等 C．长度相等的两条弧是等弧 D．圆内接四边形的对角互补 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列图形，一定有外接圆的是（   ） A．平行四边形 B．菱形 C．直角梯形 D．矩形 3．（23-24九年级上·河南安阳·期中）下列图形中，四个顶点一定在同一个圆上的是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 题型二、已知圆内接四边形求角度 4．（2025·云南西双版纳·二模）如图，四边形是的内接四边形，若，则（   ） A． B． C． D． 5．（2025·湖南郴州·模拟预测）如图，是四边形的外接圆，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）圆内接四边形中，，则的度数为 7．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，四边形内接于，．则的度数是 8．（24-25九年级上·黑龙江七台河·期末）如图，点B，C，D在上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级下·吉林长春·开学考试）如图，四边形是的内接四边形，为的直径，连结．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 10．（2024九年级下·广东·学业考试）在中，，，为外一点，且，则的度数为 ． 11．（24-25九年级上·吉林·期中）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接．若，则的度数是 ． 题型三、圆内接四边形的有关计算 12．（24-25九年级上·湖南常德·期末）如图，四边形内接于，，连接，若，求的度数． 13．（24-25九年级上·全国·期末）如图，四边形内接于，点在的延长线上，，求的度数． 14．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，四边形内接于，，连接，若，求的度数． 题型四、圆内接四边形的有关证明 15．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，在的内接四边形中，，． 求证：四边形是矩形． 16．（23-24九年级上·四川南充·期末）如图，四边形内接于，，．比较的大小，并说明理由． 17．（23-24九年级上·四川广安·期中）如图，，连接 (1)求的度数； (2)若弧与弧相等，求证：四边形是菱形． 题型五、圆内接四边形的有关作图 18．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，是的内接三角形． (1)尺规作图：在图①中，求作的中点．（保留作图痕迹） (2)用无刻度的直尺：在图②中，画一个与互补的圆周角； (3)用无刻度的直尺：在图③中，画一个与互余的圆周角．并说明理由． 题型一、圆内接四边形与分类讨论 19．（24-25九年级上·全国·随堂练习）在半径等于的中，弦的长度为3，则弦所对的圆周角度数为 ． 20．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）若内接于，则圆周角 ． 21．（24-25九年级下·四川成都·开学考试）点A，B，C在圆上，若弦的长度等于圆半径的倍，则的度数是 题型二、利用圆内接四边形探究角或线段之间的数量关系 22．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，的内接四边形两组对边的延长线分别相交于点，． (1)若，求证：． (2)若，，且．请用含，的代数式表示的大小． 23．（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）一条弦把圆分成两部分，则这条弦所对的圆周角的度数． 24．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）数学小组在学完“圆内接四边形的对角互补”这个结论后进行了如下的探究活动： (1)如图，点在上，点在外，线段与交于点，试猜想 （请填“＞”、“＜”或“＝”），并证明你的猜想； (2)如图，点在上、点在内，此时（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，请予以证明；若不成立，请写出你的结论并予以证明； 25．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，在中，弦，点在上． (1)如图①，若是的直径，求的度数； (2)如图②，在弧上取一点，若，请用含的式子表示的度数． 26．（2025·江西·二模）课本再现 （1）如图（1），四边形内接于，请你写出 与 之间的关系，并给出证明； 拓展应用 （2）如图（2），内接于． ，将 弧沿着边对折，与边交于点 D，连接．求证：． 27．（2025·湖南永州·模拟预测）回归课本 （1）如图1．的直径为，弦为，的平分线交于点，则______________________． 深挖问题 （2）在（1）的条件下，求的长． 探究发现 （3）如图2．为的直径，为上的一点（不与点重合），的平分线交于点，记，请直接写出和之间的数量关系． 28．（2024·河北·模拟预测）如图，以一块含角的直角三角板的斜边为直径画圆，即内接于，，是的直径，D是上的任意一点，且不与A，B，C重合，连接，，则的度数是（    ） A． B． C．或 D．随着点D的变化一直在变 29．（20-21九年级上·四川泸州·期末）如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点 A、B，点 A 的坐标为， E是圆上一点，，则圆心C的坐标为（    ） A． B． C． D． 30．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，四边形内接于，延长交于点E，连接．若，，则 ．        31．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形内接于，交的延长线于点E，若平分，，，则 ． 32．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）如图，是等边三角形的外接圆，是上一点． (1)填空：______度，______度； (2)求证：． (3)若，求四边形的面积． 33．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）数学小组在学完“圆内接四边形的对角互补”这个结论后进行了如下的探究活动： (1)如图1，点A、B、C在上，点D在外，线段与交于点E、F，试猜想_____（请填“>”、“<”或“=”），并证明你的猜想； (2)如图2，点A、B、C在上，点D在内，此时（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，请予以证明；若不成立，请写出你的结论并予以证明； (3)如图3，四边形是的内接四边形，，，，，求的长度． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 24.1.4圆周角（2） 题型一、圆内接四边形 1．（24-25九年级上·山东东营·期末）现有一些相同的小卡片，每张卡片上各写了一个数学命题，其中正确的是（   ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．相等的圆心角所对的弧相等 C．长度相等的两条弧是等弧 D．圆内接四边形的对角互补 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦的关系、圆内接四边形的性质，根据垂径定理，圆心角、弧、弦的关系、圆内接四边形的性质逐一分析即可． 【详解】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故选项不正确； B、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故选项不正确； C、能完全重合的两段弧是等弧，故选项不正确； D、圆内接四边形的对角互补，故选项正确， 故选：D． 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列图形，一定有外接圆的是（   ） A．平行四边形 B．菱形 C．直角梯形 D．矩形 【答案】D 【分析】此题主要考查了四边形与三角形有外接圆的性质．注意抓住四边形必须对角互补才有外接圆是解决问题的关键． 根据圆内接四边形对角互补的性质可得∶有外接圆的四边形必须对角互补，即可得出答案． 【详解】解∶根据有四边形外接圆的性质，四边形必须对角互补， 矩形的四个角都是直角，对角互补，一定有外接圆， 故选∶D． 3．（23-24九年级上·河南安阳·期中）下列图形中，四个顶点一定在同一个圆上的是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形对角互补是解题的关键． 【详解】解：∵四点共圆的四边形对角互补， ∴在平行四边形，矩形，菱形和梯形中，只有矩形的对角一定互补， ∴四个顶点一定在同一个圆上的是矩形， 故选：B． 题型二、已知圆内接四边形求角度 4．（2025·云南西双版纳·二模）如图，四边形是的内接四边形，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形对角互补即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 5．（2025·湖南郴州·模拟预测）如图，是四边形的外接圆，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆中求角度，涉及圆内接四边形性质，由题意，结合圆内接四边形对角互补即可得到答案．熟记圆内接四边形对角互补是解决问题的关键． 【详解】解：是四边形的外接圆， ， ， ， 故选：C． 6．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）圆内接四边形中，，则的度数为 【答案】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，先根据在圆内接四边形中，设，则，，再根据圆内接四边形的对角互补求出的值，进而计算得出结果． 【详解】解：圆内接四边形中， 设，则，， ，即， 解得：， ． 即， ， ． 故答案为：． 7．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，四边形内接于，．则的度数是 【答案】/度 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 先根据圆内接四边形的性质，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ∵， ∴， 故答案为． 8．（24-25九年级上·黑龙江七台河·期末）如图，点B，C，D在上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先根据圆内接四边形的性质得到，根据，可求得，，再利用圆周角定理求得． 【详解】解：如图，在所对的弧上任取一点，连结，， 则四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， 故选：D． 9．（24-25九年级下·吉林长春·开学考试）如图，四边形是的内接四边形，为的直径，连结．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质及圆周角定理的知识．首先利用圆内接四边形的性质“圆内接四边形的对角互补”求得的度数，然后利用直径所对的圆周角是直角确定，然后利用直角三角形的两个锐角互余求得答案即可． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， 故选：D． 10．（2024九年级下·广东·学业考试）在中，，，为外一点，且，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查圆的定义，圆周角定理，圆内接四边形的性质，以点A为圆心，长为半径作圆，可知点在圆A上，分两种情况：点D在优弧上时，和点在劣弧上时，分别计算即可． 【详解】解：以点A为圆心，长为半径作圆， ∵， ∴点在圆A上， ∵， ∵点D为形外一点， 当点D在优弧上时， ∴， 当点在劣弧上时， ∴， 故答案为：或． 11．（24-25九年级上·吉林·期中）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接．若，则的度数是 ． 【答案】/116度 【分析】此题考查直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形的性质． 由是的直径，得，求出，然后利用圆内接四边形的性质求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴ ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴． 故答案为：． 题型三、圆内接四边形的有关计算 12．（24-25九年级上·湖南常德·期末）如图，四边形内接于，，连接，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，解题的关键是了解圆的有关定义及性质，难度不大．首先利用等弧对等弦得到，从而求得的度数，然后利用圆内接四边形的性质确定答案即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 13．（24-25九年级上·全国·期末）如图，四边形内接于，点在的延长线上，，求的度数． 【答案】 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的性质、圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理得到，再根据圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角即可得解． 【详解】解：， ， 四边形内接于， ， 故的度数为． 14．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，四边形内接于，，连接，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质,同弧或等弧所对的圆周角相等，首先利用等弧所对的圆周角相等得到，然后根据三角形内角和定理求得然后利用圆内接四边形的性质确定答案即可． 【详解】解：∵ ∴ 在中 ∵， ∴ ∵四边形内接于 ∴ ∴． 题型四、圆内接四边形的有关证明 15．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，在的内接四边形中，，． 求证：四边形是矩形． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了矩形的判定，平行四边形的性质与判定，圆内接四边形的性质，先证明四边形是平行四边形，，再由平行四边形的性质推出，根据圆内接四边形对角互补得到，则，据此可证明平行四边形是矩形． 【详解】证明：∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形． 16．（23-24九年级上·四川南充·期末）如图，四边形内接于，，．比较的大小，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查的是圆内接四边形性质、圆周角定理及等腰三角形的判定，熟练掌握相关知识是解题关键，先求出及，证明即可证明结论． 【详解】解：，理由如下： 四边形内接于， ， ， ， ， ， ， ． 17．（23-24九年级上·四川广安·期中）如图，，连接 (1)求的度数； (2)若弧与弧相等，求证：四边形是菱形． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】（1）先由圆内接四边形得出再结合圆周角定理，即可作答． （2）因为弧与弧相等，所以，则，证明等边三角形，所以，即可证明四边形是菱形； 【详解】（1）∵四边形内接于， ∴ ∴ （2）解：如图：连接 ∵弧与弧相等 ∴ ∵， ∴ ∵ ∴等边三角形， ∴ 四边形是菱形； 【点睛】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，菱形的判定，等边三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 题型五、圆内接四边形的有关作图 18．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，是的内接三角形． (1)尺规作图：在图①中，求作的中点．（保留作图痕迹） (2)用无刻度的直尺：在图②中，画一个与互补的圆周角； (3)用无刻度的直尺：在图③中，画一个与互余的圆周角．并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析，理由见解析 【分析】（1）过点作的垂直平分线交于点，则点即为所求； （2）在劣弧上任取一点，连接，则即为所求； （3）连接并延长交于点，则即为所求． 【详解】（1）如图所示，点即为所求， （2）解：如图所示，即为所求 ∵四边形是圆内接四边形， ∴ （3）解：如图所示，连接并延长交于点，则即为所求， 理由如下， ∵是的内接三角形． ∴， ∴， 又∵ ∴ ∴，有，则即为所求． 【点睛】本题考查了作垂直平分线，三角形的外心的性质，圆内接四边形对角互补，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 题型一、圆内接四边形与分类讨论 19．（24-25九年级上·全国·随堂练习）在半径等于的中，弦的长度为3，则弦所对的圆周角度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了圆周角定理、垂径定理、解直角三角形、圆内接四边形的性质，连接、，过作的垂线，得到，，，求出得到，再根据圆周角定理和圆内接四边形的性质进行计算即可． 【详解】解：如图，连接、，过作的垂线，垂足为C，   ，半径为，弦，， ，，， 在中，， ， ， ， 四边形是圆内接四边形， ， 综上所述：弦所对圆周角的度数为或， 故答案为或． 20．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）若内接于，则圆周角 ． 【答案】50或130 【分析】本题考查了圆周角定理，以及圆内接四边形性质，根据内接于，分两种情况讨论，①当点C在优弧上时，②当点C在劣弧上时，在优弧上找点D，连接，根据以上两种情况画出图形进行分析求解，即可解题． 【详解】解：如图，①当点C在优弧上时， 则； 如图，②当点C在劣弧上时，在优弧上找点D，连接， 则可得， 根据圆的内接四边形的性质可得， ∴， ∴， ∴的度数是或． 故答案为：50或130． 21．（24-25九年级下·四川成都·开学考试）点A，B，C在圆上，若弦的长度等于圆半径的倍，则的度数是 【答案】或 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；考查圆内接四边形对角互补，因为不知道点的位置，需要进行分类讨论，这才是解题的关键． 设圆心为，连接、，如图，先证明为等腰直角三角形得到，然后根据圆周角定理确定的度数，因为不知道点的位置，需要进行分类讨论． 【详解】解：如图设圆心为，连接、，    ∵弦的长度等于圆半径的倍， 即， ∴， ∴为等腰直角三角形，， 情况一点在的位置， 可得． 情况二点在的位置， 有， ∴， 故答案为：或． 题型二、利用圆内接四边形探究角或线段之间的数量关系 22．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，的内接四边形两组对边的延长线分别相交于点，． (1)若，求证：． (2)若，，且．请用含，的代数式表示的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题关键． （1）根据三角形的内角和结合题意，得，根据圆内接四边形的性质可得，推得，即可求证； （2）根据圆内接四边形的性质得、，推得，，根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵四边形是的内接四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴． ∵在和中，， ∴， ∴． 23．（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）一条弦把圆分成两部分，则这条弦所对的圆周角的度数． 【答案】这条弦所对的圆周角的度数为或． 【分析】本题考查了圆周角定理的应用，注意：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．根据条件画出相应的图形，利用圆周角定理即可求解． 【详解】解：连接，    ∵一条弦把圆分成两部分，如图， ∴弧的度数是， ∴， ∴， ∴， 答：这条弦所对的圆周角的度数为或． 24．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）数学小组在学完“圆内接四边形的对角互补”这个结论后进行了如下的探究活动： (1)如图，点在上，点在外，线段与交于点，试猜想 （请填“＞”、“＜”或“＝”），并证明你的猜想； (2)如图，点在上、点在内，此时（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，请予以证明；若不成立，请写出你的结论并予以证明； 【答案】(1) (2)不成立，，见解析 【分析】本题考查了圆内接四边形，三角形外角的性质，作辅助线构造圆内接四边形，掌握圆内接四边形的对角互补是解题关键． （1）连接，根据圆内接四边形的对角互补，得到，再根据三角形外角的性质，得到，即可得到答案； （2）延长交圆于点，连接，根据圆内接四边形的对角互补，得到，再根据三角形外角的性质，得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，连接， 四边形是圆内接四边形， ， 是的外角， ， ， 故答案为：； （2）解：结论不成立，，证明如下： 如图，延长交圆于点，连接， 四边形是圆内接四边形， ， 是的外角， ， ． 25．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，在中，弦，点在上． (1)如图①，若是的直径，求的度数； (2)如图②，在弧上取一点，若，请用含的式子表示的度数． 【答案】(1)135° (2) 【分析】（1）根据圆周角的性质和圆内接四边形性质即可求解； （2）连接，根据等弦对等弧，等弧对等角并结合圆内接四边形性质即可得到和的关系． 本题主要考查圆周角定理，圆内接四边形的性质以及等腰三角形的性质，正确运用相关知识是解答本题的关键． 【详解】（1）∵是的直径， 又 是等腰直角三角形， ∵四边形是的内接四边形， （2）如图，连接， ∵四边形是的内接四边形， 26．（2025·江西·二模）课本再现 （1）如图（1），四边形内接于，请你写出 与 之间的关系，并给出证明； 拓展应用 （2）如图（2），内接于． ，将 弧沿着边对折，与边交于点 D，连接．求证：． 【答案】（1）互补，见解析；（2）见解析 【分析】（1）连接，，根据圆周角定理得出，再根据，即可得出． （2）如图（2），作点 关于 的对称点 ，连接，，根据折叠的性质得在上， ，根据四点共圆得，则，证出，则．根据，，得出，则，即可证明． 【详解】解：（1）．     证明：如图（1），连接，， 则 ． ∵， ∴．     （2）证明：如图（2），作点 关于 的对称点 ，连接，， 则在上， ， ∵， ∴．     ∵， ∴， ∴．     又∵，， ∴， ∴，     ∴． 【点睛】该题考查了圆周角定理，四点共圆，轴对称的性质，等腰三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，正确作出辅助线． 27．（2025·湖南永州·模拟预测）回归课本 （1）如图1．的直径为，弦为，的平分线交于点，则______________________． 深挖问题 （2）在（1）的条件下，求的长． 探究发现 （3）如图2．为的直径，为上的一点（不与点重合），的平分线交于点，记，请直接写出和之间的数量关系． 【答案】（1）8，；（2）；（3） 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是： （1）直接根据圆周角定理得出，；根据勾股定理即可求出；根据角平分线得出，再由同一圆内，圆周角和弦的关系确定，利用勾股定理即可求解 （2）延长至点E，使，连接，根据圆内接四边形的性质，余角的性质可得出，证明，得出，，进而证出，然后根据勾股定理求解即可； （3）类似（2）判断即可． 【详解】解：（1）是的直径， ，； ， ； 是的平分线， ， ， 在中，，， ， ， ． 故答案为：8，； （2）延长至点E，使，连接， 四边形是圆的内接四边形， ， 又， ， 由（1）知， ， ，， 又， ， ， ； （3）延长至点E，使，连接， 四边形是圆的内接四边形， ， 又， ， 由（1）知， ， ，， 又， ， ， ． 28．（2024·河北·模拟预测）如图，以一块含角的直角三角板的斜边为直径画圆，即内接于，，是的直径，D是上的任意一点，且不与A，B，C重合，连接，，则的度数是（    ） A． B． C．或 D．随着点D的变化一直在变 【答案】C 【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等及圆内接四边形的性质，熟知相关定理，正确画出图形，结合图形分情况讨论是正确解答此题的关键． 根据题意画出图形，分点D在和上两种情况利用同弧所对的圆周角相等及圆内接四边形对角互补即可求解． 【详解】解：内接于，， ， 分点D在和上两种情况∶ ①点D在上时，如图所示： 四边形是圆内接四边形，； ， ； ②点D在上时，如图所示： ， ， 综上所述，的度数是或， 故选：C． 29．（20-21九年级上·四川泸州·期末）如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点 A、B，点 A 的坐标为， E是圆上一点，，则圆心C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，含角的直角三角形的性质，圆周角定理，坐标与图形，根据圆内接四边形对角互补得到，再由的圆周角所对的弦是直径得到是直径，求出，进而求出，可得．再根据点C是AB的中点求出点C的坐标． 【详解】解：∵、、、都在圆上，， ∴， ∵， ∴是的直径，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵是的直径， ∴圆心C的坐标为，即圆心C的坐标为 故选：A． 30．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，四边形内接于，延长交于点E，连接．若，，则 ．        【答案】 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，直径，得到，进而求出的度数，圆内接四边形的内对角互补，求出的度数，角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：∵四边形内接于，延长交于点E， ∴，为直径， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 31．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形内接于，交的延长线于点E，若平分，，，则 ． 【答案】4 【分析】连接，根据平分，可得；根据四边形内接于，可得，进而可得，即有，则有，最后利用勾股定理即可作答， 【详解】解：连接，如图， ∵平分， ∴， ∵四边形内接于， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴在中，； 故答案为：4． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定、圆周角定理、勾股定理、角平分线定义等知识；熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质是解题的关键． 32．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）如图，是等边三角形的外接圆，是上一点． (1)填空：______度，______度； (2)求证：． (3)若，求四边形的面积． 【答案】(1)60；60 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，圆的内接四边形的性质，能够熟练运用全等三角形的判定与性质是解题关键． （1）根据等边三角形性质得出，然后根据圆周角定理即可得出答案； （2）延长至E，使，连接，如图所示：证明，可得，证明是等边三角形，即可得出结论． （3）过点E作于点F，求解，，可得，进一步求解即可. 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴，， ∴，， 故答案为：，； （2）证明：延长至E，使，连接，如图所示： ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵, ∴是等边三角形， ∴； （3）解：过点E作于点F， ∵是等边三角形，， ∴，，， ∴， ∵， ∴. 33．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）数学小组在学完“圆内接四边形的对角互补”这个结论后进行了如下的探究活动： (1)如图1，点A、B、C在上，点D在外，线段与交于点E、F，试猜想_____（请填“>”、“<”或“=”），并证明你的猜想； (2)如图2，点A、B、C在上，点D在内，此时（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，请予以证明；若不成立，请写出你的结论并予以证明； (3)如图3，四边形是的内接四边形，，，，，求的长度． 【答案】(1)＜；证明见解析 (2)不成立；；证明见解析 (3) 【分析】（1）四边形为圆O的内接四边形，则，在中，，即可求解； （2）延长交圆O于点E，则，在中，，即可求解； （3）延长交于E，求得，在和中，利用直角三角形的性质结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：连接， ∵四边形为圆O的内接四边形， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：； （2）解：（1）的结论不成立，，理由： 延长交圆O于点E，连接， 则， 在中，， ∴， 即； （3）解：延长交于E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 在中，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆的有关知识，直角三角形的性质，勾股定理，圆内接四边形的对角互补等知识，理解准圆内接四边形的定义是本题的关键，添加恰当辅助线是本题的难点． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $