第12讲 弧、弦、圆心角、圆周角（知识清单+11大题型+好题必刷） -【暑假预习】2025年新九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教版）

第12讲 弧、弦、圆心角、圆周角（知识清单+11大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 利用弧、弦、圆心角的关系求解 题型二 利用弧、弦、圆心角的关系求证 题型三 圆心角概念辨析及简单运算 题型四 求圆弧的度数 题型五 圆周角的概念辨析及简单运算 题型六 圆周角定理 题型七 同弧或等弧所对的圆周角相等 题型八 半圆（直径）所对的圆周角是直角 题型九 90度的圆周角所对的弦是直径 题型十 已知圆内接四边形求角度 题型十一 求四边形外接圆的直径 知识清单 知识点1．圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． 知识点2．圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种知识点3．圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 题型练习 【题型一】利用弧、弦、圆心角的关系求解 【例1】（24-25九年级上·广西百色·期末）如图，在中，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，是的直径，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在中，如果，那么 ．（填“”、“”或“”） 3．（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，为的直径， 点 C、D 是的三等分点， ，求 的度数． 【题型二】利用弧、弦、圆心角的关系求证 【例2】（24-25九年级上·云南玉溪·期中）如图，A，B，C，D是上的四点，且，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 【举一反三】 1．（24-25九年级上·辽宁鞍山·期中）如图：，则下列正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 2．（22-23九年级上·北京·单元测试）判断下列命题是真命题还是假命题（写在横线上）： （1）在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧也相等． （2）在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等． （3）在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦的弦心距也相等． （4）在等圆中，如果弧不相等，那么它们所对的弦也不相等． 3．（24-25九年级上·甘肃庆阳·期末）如图，已知点A，B，C，D是上四个点，． 求证：． 【题型三】圆心角概念辨析及简单运算 【例3】（23-24九年级上·福建泉州·期中）下列图形中的角是圆心角的是（　　） A．   B．   C．   D．   【举一反三】 1．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，是的直径，，，则的度数为 ．    3．（九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，、是⊙O的直径，弦，弧的度数为，求的度数． 【题型四】求圆弧的度数 【例4】 如图，梯形ABCD中，，有一圆O通过A、B、C三点，且AD与圆O相切于A点若，则的度数为何？（   ） A．116 B．120 C．122 D．128 【举一反三】 1．（九年级上·河北石家庄·期中）如图，已知⊙O的半径为3，弦AB、CD所对的圆心角分别是∠AOB、∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD=4，则弦AB的长为（    ） A． B． C． D． 2．（2024九年级·全国·竞赛）如图，点A，B分别为半圆O上的三等分点，如果的半径为，那么弦 ． 3．（九年级上·浙江·期中）如图所示，以O为圆心的两个同心圆，小圆半径为1，大圆半径为，用6条直径将两个圆12等分，点A在大圆等分点上，点B在小圆等分点上，且． （1）将绕点O顺时针旋转得，请在图甲中画出． （2）将绕点O顺时针旋转得，使边第一次经过点B，请在图乙中画出． 【题型五】圆周角的概念辨析及简单运算 【例5】（2023·福建厦门·模拟预测）如图，在半圆O中，为直径，下列四个选项中所对的圆周角是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，点在上，点在外，与交于点，，于点．下列角中，弧所对的圆周角是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，所对的圆周角是 ，所对的圆周角是 ．    3．（九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，是圆的直径，是延长线上一点，点在圆上，且，的延长线交圆于点，若，求的度数. 【题型六】圆周角定理 【例6】（24-25九年级上·重庆永川·阶段练习）如图，在中，．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·四川南充·期中）如图，点A，B，C是上的三点，若，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，四边形内接于，连接，．若，则的度数为 ． 3．（24-25九年级上·广东韶关·期末）如图，在中，是的中点，交于点，连接并延长，交于点，连接． (1)若，求的度数； (2)若，求的半径长． 【题型七】同弧或等弧所对的圆周角相等 【例7】（24-25九年级上·河南信阳·期末）如图，点，，在上，点C为第四象限圆弧上任意一点，则（   ） A． B． C． D．条件不足，无法计算 【举一反三】 1．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，在中，直径弦于点是上的点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山西忻州·阶段练习）如图，在中，，，则的度数是 ．    3．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，是的内接三角形，点D是弧的中点，连接，，． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，，求． 【题型八】半圆（直径）所对的圆周角是直角 【例8】（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，四边形内接于，是直径，是的中点．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·甘肃庆阳·阶段练习）如图，为的直径，是的弦，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，是的直径，点、为上的点．若，则 ． 3．（24-25九年级上·吉林·期中）如图，是的直径，弦与相交于点 E，．若，求直径的长． 【题型九】90度的圆周角所对的弦是直径 【例9】（24-25九年级上·广西梧州·期末）工人师傅用直角曲尺检查验收半圆形工件，下列为合格的“半圆形工件”的是（   ） A．B．C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·河北唐山·期末）下列图形中的线段是圆的直径的是（   ） A．B．C． D． 2．（24-25九年级上·西藏林芝·期中）如图，用直角曲尺检查半圆形的工件，第 个半圆形是合格的，是因为 ． 3．（24-25九年级上·湖北·期末）如图，为的直径，是弦，交于点E，交于点F．，． (1)如图1，若，求的长； (2)如图2，若不与平行，求四边形的面积． 【题型十】已知圆内接四边形求角度 【例10】（24-25九年级上·广东韶关·期末）如图，内接四边形中，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·广东云浮·期末）如图，四边形是的内接四边形．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·内蒙古乌海·期末）如图，已知四边形是的内接四边形，连接，，若，那么的度数是 ． 3．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 【初步应用】 （1）如图1，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接． ①写出的度数是______，的度数是______，的度数是______； ②点为的中点，的半径为5，求线段的长； 【拓展提升】 （2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，的半经为6，则的最大值是______． 【题型十一】求四边形外接圆的直径 【例11】．（九年级·安徽·专题练习）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°．若AD=2，则AB的长为（　　） A． B．2 C．2 D．4 【举一反三】 1．（九年级上·全国·课后作业）如图，弦所对的圆心角为，为直径，在半圆上滑动，是的中点，点是点对所作垂线的垂足，则（    ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·广东广州·期末）如图，线段的两个端点分别在x轴和直线l上滑动（均不与原点O重合），，，作轴，，交点为P，设P的坐标为，则 ． 3．（24-25九年级上·全国·期末）在中，，，为平面内的一点． (1)如图1，当点在边上时，，且，求的长； (2)如图2，当点在的外部，且满足，求证：； (3)如图3，，当、分别为、的中点时，把绕点顺时针旋转，设旋转角为，直线与的交点为，连接，直接写出旋转中面积的最大值． 好题必刷 一、单选题 1．如图，在中，，则度数是（　　） A． B． C． D． 2．如图，点A、B、C在上，，则的度数为（    ） A．20° B．40° C．60° D．80° 3．已知⊙O的半径为3.6 cm，线段OA= cm，则点A与⊙O的位置关系是(    ) A．A点在圆外 B．A点在⊙O上 C．A点在⊙O内 D．不能确定 4．如图，正方形ABCD内接于，点P在上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，已知，点是平分线 上一点，当点是的外心时，（ ） A．95° B．100° C．110° D．115° 6．已知⊙O的半径为5，弦AB=6，P是AB上任意一点，点C是劣弧的中点，若△POC为直角三角形，则PB的长度（　　） A．1 B．5 C．1或5 D．2或4 7．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，点C为的中点，若∠ABC=30°，则弦AB的长为（　　） A． B．5 C． D．5 8．已知⊙O的直径AB为2，,画一条弦AD=1,则的度数是（    ） A． B．或 C． D．或 9．如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC＝40°，则∠A的度数为(　　) A．80° B．100° C．110° D．130° 10．如图，已知半圆的直径，C是半圆上一点，沿折叠半圆得到弧，交直径于点，若、的长均不小于2，则的长可能是（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 二、填空题 11．如图，在中，，连接，则的度数为 ．    12．如图，OE、OF分别为⊙O的弦AB、CD的弦心距，如果OE=OF， 那么 （只需写一个正确的结论）． 13．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，=，若∠AOB=58°，则∠BDC= 度． 14．如图，是上的三个点，，则度数是 ．    15．如图，为的直径，，、分别交于点、，于点，于点，，下列结论：；；；；上述结论中正确的是 填上所有正确结论的序号 16．如图，在平面直角坐标系中，点A在轴负半轴上，点B在轴正半轴上，⊙D经过A，B，O，C四点，∠ACO＝120°，AB＝4，则圆心点D的坐标是 17．如图，AB是⊙O的直径，C、D为半圆的三等分点，CE⊥AB于点E，∠ACE的度数为 ． 18．如图，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE=3，则弦CE= ． 三、解答题 19．如图，的直径，、是圆上的两点，，，求，两点的距离． 20．已知，如图，A、B、C、D是⊙O上的点，∠AOB＝∠COD，求证：AC＝BD 21．如图，四边形内接于一圆，是边的延长线． (1)求证； (2)若，，求的度数． 22．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点F是CD延长线上的一点，且AD平分∠BDF，AE⊥CD于点E. (1)求证：AB=AC； (2)若BD=18，DE=2，求CD的长. 23．如图，在⊙O中，∠ACD＝15°，，求∠BPC的大小． 24．如图，已知A，B，C均在⊙O上，请用无刻度的直尺作图． (1)如图1，若点D是的中点，试画出的平分线； (2)若，点D在弦上，在图2中画出一个含角的直角三角形． 25．如图，MN是⊙O的直径，MN=4，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为的中点，P是直径MN上一动点. (1)利用尺规作图，确定当PA+PB最小时P点的位置(不写作法，但要保留作图痕迹). (2)求PA+PB的最小值. 26．（1）如图为水管横截面，水面宽，水的最大深度为，求的半径． （2）如图，在等边三角形中，点E为边上一点（与点C不重合），点F是边上一点，若，求的长度． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 弧、弦、圆心角、圆周角（知识清单+11大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 利用弧、弦、圆心角的关系求解 题型二 利用弧、弦、圆心角的关系求证 题型三 圆心角概念辨析及简单运算 题型四 求圆弧的度数 题型五 圆周角的概念辨析及简单运算 题型六 圆周角定理 题型七 同弧或等弧所对的圆周角相等 题型八 半圆（直径）所对的圆周角是直角 题型九 90度的圆周角所对的弦是直径 题型十 已知圆内接四边形求角度 题型十一 求四边形外接圆的直径 知识清单 知识点1．圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． 知识点2．圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种知识点3．圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 题型练习 【题型一】利用弧、弦、圆心角的关系求解 【例1】（24-25九年级上·广西百色·期末）如图，在中，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，熟记“同圆中等弧所对圆心角相等”是解决问题的关键． 根据“同圆中等弧所对圆心角相等”得． 【详解】解：，， ． 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，是的直径，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题考查圆心角与弧的关系，在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等得到，根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵是直径， ∴． 故选：C 2．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在中，如果，那么 ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题考查了四量关系定理，取的中点D，连接，，得出根据，得出，从而得出，即可求出，从而得出答案． 【详解】解：取的中点D，连接，，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，为的直径， 点 C、D 是的三等分点， ，求 的度数． 【答案】 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，先求出，根据点C、D是的三等分点，求出的度数是，即 【详解】解： 为的直径， 点 C、D 是的三等分点 的度数是 故答案为 【题型二】利用弧、弦、圆心角的关系求证 【例2】（24-25九年级上·云南玉溪·期中）如图，A，B，C，D是上的四点，且，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求证 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系．根据圆心角、弧、弦之间的关系得出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴． 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·辽宁鞍山·期中）如图：，则下列正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求证 【分析】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，如图，取的中点E，连接，．证明，再利用三角形的三边关系解决问题． 【详解】解：如图，取的中点E，连接，，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 2．（22-23九年级上·北京·单元测试）判断下列命题是真命题还是假命题（写在横线上）： （1）在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧也相等． （2）在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等． （3）在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦的弦心距也相等． （4）在等圆中，如果弧不相等，那么它们所对的弦也不相等． 【答案】 真命题 假命题 真命题 假命题 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求证 【分析】根据圆的相关性质分别判断各命题的真假． 【详解】解：对于（1），在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧也相等，原命题为真命题； 对于（2），在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧不一定相等，因为一条弦对应两条弧，原命题为假命题； 对于（3），在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦的弦心距也相等，原命题为真命题； 对于（4），在等圆中，如果弧不相等，那么它们所对的弦有可能相等，如圆心角分别为和所对的两条弧，其所对的弦相等，原命题为假命题． 故答案为：真命题，假命题，真命题，假命题． 【点睛】本题考查了同圆或等圆中圆心角，弧长，弦长的关系，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 3．（24-25九年级上·甘肃庆阳·期末）如图，已知点A，B，C，D是上四个点，． 求证：． 【答案】见解析 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求证 【分析】此题考查了圆中的弧、弦之间的关系，根据 ，得出，进而可得，即可得出． 【详解】证明：∵， ∴． ∴， ∴， ∴． 【题型三】圆心角概念辨析及简单运算 【例3】（23-24九年级上·福建泉州·期中）下列图形中的角是圆心角的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【知识点】圆心角概念辨析及简单运算 【分析】本题考查了圆心角的定义，能熟记圆心角的定义（顶点在圆心上，并且两边与圆相交的角，叫圆心角）是解此题的关键．根据圆心角的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．顶点在圆心上，是圆心角，故本选项符合题意； B．顶点在圆上，是圆周角，故本选项不符合题意； C．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； D．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】圆心角概念辨析及简单运算 【分析】本题考查圆心角的概念，确定一个角是否是圆心角，只要看这个角的顶点是否在圆心上，顶点在圆心上的角就是圆心角，否则不是． 【详解】解：根据圆心角的概念，、、的顶点分别是B、A、C，都不是圆心O，因此都不是圆心角．只有B中的的顶点在圆心，是圆心角． 故选：B． 2．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，是的直径，，，则的度数为 ．    【答案】144°/144度 【知识点】圆心角概念辨析及简单运算、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】根据同弧所对的圆心角相等求出，进而求解即可． 【详解】∵，， ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了同弧所对的圆心角相等，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 3．（九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，、是⊙O的直径，弦，弧的度数为，求的度数． 【答案】 【知识点】圆心角概念辨析及简单运算、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】连接，由弧的度数为，得到，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出，再由，即可得到． 【详解】解：连接，如图， ∵弧的度数为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵弦， ∴． 【点睛】本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及平行线的性质，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键． 【题型四】求圆弧的度数 【例4】 如图，梯形ABCD中，，有一圆O通过A、B、C三点，且AD与圆O相切于A点若，则的度数为何？（   ） A．116 B．120 C．122 D．128 【答案】D 【知识点】 求圆弧的度数 【分析】连接AO，并延长AO与BC交于点M，连接AC，由切线的性质和求得AM垂直平分BC，进而得到的度数，根据圆周角定理即可解答． 【详解】解：连接AO，并延长AO与BC交于点M，连接AC， 与圆O相切于A点， ， ， ， ， 垂直平分BC， ， ， ， 的度数为， 故选：D． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理和梯形的性质，解决本题的关键利用切线的性质和梯形的性质构造等腰三角形，求出所对的圆周角． 【举一反三】 1．（九年级上·河北石家庄·期中）如图，已知⊙O的半径为3，弦AB、CD所对的圆心角分别是∠AOB、∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD=4，则弦AB的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】 求圆弧的度数 【分析】如图，延长AO交⊙O于T，连接BT．证明CD=BT，∠ABT=90°，再利用勾股定理求解即可． 【详解】 解：如图，延长AO交⊙O于T，连接BT． ∵∠AOB+∠BOT=180°，∠AOB+∠COD=180°， ∴∠COD=∠BOT， ∴， ∴CD=BT=4， ∵AT是直径，AT=6， ∴∠ABT=90°， ∴AB==， 故选：C． 【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 2．（2024九年级·全国·竞赛）如图，点A，B分别为半圆O上的三等分点，如果的半径为，那么弦 ． 【答案】8 【知识点】等边三角形的判定和性质、 求圆弧的度数 【分析】本题考查圆心角定理，等边三角形的判定． 连接，，则，由点A，B分别为半圆O上的三等分点，，从而是等边三角形，根据等边三角形的三边相等即可解答． 【详解】解：连接，， 则， ∵点A，B分别为半圆O上的三等分点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：8 3．（九年级上·浙江·期中）如图所示，以O为圆心的两个同心圆，小圆半径为1，大圆半径为，用6条直径将两个圆12等分，点A在大圆等分点上，点B在小圆等分点上，且． （1）将绕点O顺时针旋转得，请在图甲中画出． （2）将绕点O顺时针旋转得，使边第一次经过点B，请在图乙中画出． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【知识点】 求圆弧的度数、画旋转图形 【分析】（1）由于圆被12等分，可得每小格为30°，则120°为4小格，据此画图即可； （2）计算出AB=2，根据经过点B，可知点B为A2B2中点，从而得到旋转角，画出图形即可． 【详解】解：（1）如图所示，即为所求． （2）AB=， 如图所示，即为所求． 【点睛】本题考查了旋转作图，勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是掌握旋转的性质，根据题意确定旋转角． 【题型五】圆周角的概念辨析及简单运算 【例5】（2023·福建厦门·模拟预测）如图，在半圆O中，为直径，下列四个选项中所对的圆周角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】圆周角的概念辨析及简单运算 【分析】本题考查的是圆周角的定义，根据圆周角的定义解答即可，熟知顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角是解题的关键． 【详解】解：所对的圆周角是与， 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，点在上，点在外，与交于点，，于点．下列角中，弧所对的圆周角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】圆周角的概念辨析及简单运算 【分析】本题考查了圆周角的定义，掌握圆周角的定义是解题的关键 ．直接运用圆周角的定义进行判断即可. 【详解】解：弧所对的圆周角是：或， 故选：B． 2．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，所对的圆周角是 ，所对的圆周角是 ．    【答案】 【知识点】圆周角的概念辨析及简单运算 【分析】根据圆周角的定义即可解答． 【详解】解：如图，   所对的圆周角是， 所对的圆周角是． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了圆周角，顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 3．（九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，是圆的直径，是延长线上一点，点在圆上，且，的延长线交圆于点，若，求的度数. 【答案】 【知识点】圆周角的概念辨析及简单运算、等边对等角 【分析】连接OD，利用半径相等和等腰三角形的性质求得∠EDO，从而利用三角形的外角的性质求解． 【详解】连接OD， ∵CD=OA=OD, ， ∴∠ODE=2， ∵OD=OE， ∴∠E=∠EDO=， ∴∠EOB=∠C+∠E=. 【点睛】此题考查了半径相等和等腰三角形的性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键. 【题型六】圆周角定理 【例6】（24-25九年级上·重庆永川·阶段练习）如图，在中，．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】圆周角定理 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， 故选：B． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·四川南充·期中）如图，点A，B，C是上的三点，若，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】圆周角定理 【分析】本题考查了圆周角定理，由圆周角定理得，即可求解；掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 故选：B． 2．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，四边形内接于，连接，．若，则的度数为 ． 【答案】/123度 【知识点】圆周角定理、已知圆内接四边形求角度 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，根据圆周角定理得，再由圆内接四边形的性质得到即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形是内接四边形， ∴， ∴ 故答案为：． 3．（24-25九年级上·广东韶关·期末）如图，在中，是的中点，交于点，连接并延长，交于点，连接． (1)若，求的度数； (2)若，求的半径长． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用垂径定理求值、圆周角定理 【分析】本题主要考查了垂径定理及其推论，圆周角定理，勾股定理的运用，掌握垂径定理及其推论，圆周角定理是关键． （1）根据垂径定理的推论得到，，根据圆周角定理得到，由直角三角形两锐角互余即可求解； （2）设的半径为，则，根据垂径定理得到，在中由勾股定理列式求解即可． 【详解】（1）解：∵是的中点，交于点， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设的半径为， ∵， ∴， 由（1）知， ∴， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得，， ∴的半径长为． 【题型七】同弧或等弧所对的圆周角相等 【例7】（24-25九年级上·河南信阳·期末）如图，点，，在上，点C为第四象限圆弧上任意一点，则（   ） A． B． C． D．条件不足，无法计算 【答案】B 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等 【分析】本题主要考查圆周角的性质，熟练掌握圆周角的性质是解题的关键；连接，由题意易得，则有，进而问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵点，，在上， ∴，， ∴， ∴， 故选B． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，在中，直径弦于点是上的点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用垂径定理求值、同弧或等弧所对的圆周角相等 【分析】本题考查了垂径定理，等弧所对的圆周角相等；根据垂径定理可得，进而根据等弧所对的圆周角相等即可求解． 【详解】解：直径弦 ， ， ， ，   ，   故选：C． 2．（24-25九年级上·山西忻州·阶段练习）如图，在中，，，则的度数是 ．    【答案】/40度 【知识点】圆周角定理、同弧或等弧所对的圆周角相等 【分析】本题考查的是圆周角定理，利用在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得的度数． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，是的内接三角形，点D是弧的中点，连接，，． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，，求． 【答案】(1) (2)12 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、利用弧、弦、圆心角的关系求解、已知圆内接四边形求角度、利用垂径定理求值 【分析】（1）根据点D是的中点，得出，根据同弧或等弧所对的圆周角相等得出，求出，最后根据圆内接四边形的性质求出结果即可； （2）连接并延长交于点E，连接，交于点F，证明垂直平分，证明，根据垂径定理得出，根据勾股定理得出，设，则，根据勾股定理得出，求出，设，根据勾股定理得出，求出，根据勾股定理求出，最后根据等腰三角形性质求出结果即可． 【详解】（1）解：∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． （2）解：连接并延长交于点E，连接，，交于点F，如图所示： ∵，， ∴垂直平分， ∴， 又∵点D是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，， 设，则， 在中，， 解得：， ∴， 设， 在和中， ， ∴， 解得： 在中，， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质和判断，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，作出辅助线，数形结合． 【题型八】半圆（直径）所对的圆周角是直角 【例8】（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，四边形内接于，是直径，是的中点．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、圆周角定理 【分析】本题考查圆周角定理，由圆周角定理得到，，即可求出．关键是由圆周角定理得到，． 【详解】解：如图，连接， 是直径， ， 是的中点， ， ． 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·甘肃庆阳·阶段练习）如图，为的直径，是的弦，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，直角三角形的两个锐角互余，根据为的直径，得到，继而得到，根据，计算即可． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 2．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，是的直径，点、为上的点．若，则 ． 【答案】 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、已知圆内接四边形求角度 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形，解题的关键是掌握直径所对的圆周角为直角，圆的内接四边形对角互补．根据圆的内接四边形对角互补可得，根据直径所对的圆周角为直角可得，最后根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：， ， 是的直径，点为上的点， ， ， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·吉林·期中）如图，是的直径，弦与相交于点 E，．若，求直径的长． 【答案】10 【知识点】圆周角定理、半圆（直径）所对的圆周角是直角、同弧或等弧所对的圆周角相等 【分析】本题考查了圆的有关性质，直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，含角的直角三角形的性质，正确理解圆周角定理是解题的关键．先判断是直角三角形，然后根据圆周角定理得出，再根据角的直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：是的直径， ， ， ， 直径的长10． 【题型九】90度的圆周角所对的弦是直径 【例9】（24-25九年级上·广西梧州·期末）工人师傅用直角曲尺检查验收半圆形工件，下列为合格的“半圆形工件”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】90度的圆周角所对的弦是直径 【分析】本题主要考查了圆周角定理．根据直径所对的圆周角是直角对三个工件进行分析即可得到答案． 【详解】解：因为直径所对的圆周角是直角， ∴只有B选项正确，其他均不正确． 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·河北唐山·期末）下列图形中的线段是圆的直径的是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【知识点】90度的圆周角所对的弦是直径 【分析】本题考查了圆周角定理推论“90度的圆周角所对的弦是直径”，解题的关键是熟练掌握90度的圆周角所对的弦是直径．根据90度的圆周角所对的弦是直径求解即可得． 【详解】解：A、图中直角不是圆周角，所以线段不是圆的直径，则此项不符合题意； B、图中直角不是圆周角，所以线段不是圆的直径，则此项不符合题意； C、图中直角是圆周角，所以线段是圆的直径，则此项符合题意； D、图中直角是圆周角，，但点不在圆上，所以线段不是圆的直径，则此项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25九年级上·西藏林芝·期中）如图，用直角曲尺检查半圆形的工件，第 个半圆形是合格的，是因为 ． 【答案】 二 圆周角所对的弦是直径 【知识点】90度的圆周角所对的弦是直径 【分析】本题考查了圆周角所对的弦是直径，掌握圆周角所对的弦是直径的知识，数形结合分析是关键．结合图形，根据圆周角所对的弦是直径即可求解． 【详解】解：根据图示，第二个半圆是合格的，是因为圆周角所对的弦是直径， 故答案为：①二；②圆周角所对的弦是直径 ． 3．（24-25九年级上·湖北·期末）如图，为的直径，是弦，交于点E，交于点F．，． (1)如图1，若，求的长； (2)如图2，若不与平行，求四边形的面积． 【答案】(1)4 (2)24 【知识点】利用垂径定理求值、90度的圆周角所对的弦是直径、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，垂径定理． （1）由已知证明四边形是矩形，得，，进而得，再得，再由勾股定理可得的长； （2）延长交于，连接，由和可得，是直径，即可证明，得到，， 再求出，最后根据计算即可． 【详解】（1）解：如图，连接，， ∵交于点E，交于点F， ∴， ∵， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵为的直径，， ∴， ∴， ∴在中，， 即的长为4； （2）解：如图，延长交于，连接， ∵交于点E，交于点F， ∴， ∴，是直径， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴ ． 【题型十】已知圆内接四边形求角度 【例10】（24-25九年级上·广东韶关·期末）如图，内接四边形中，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知圆内接四边形求角度、圆周角定理 【分析】由圆周角定理得到，由圆内接四边形的性质推出，即可求出的度数． 本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，关键是掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴． 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·广东云浮·期末）如图，四边形是的内接四边形．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知圆内接四边形求角度 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形对角互补是解答本题的关键．由圆内接四边形对角互补求出的度数即可． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形．若， ∴， 故选：C 2．（24-25九年级上·内蒙古乌海·期末）如图，已知四边形是的内接四边形，连接，，若，那么的度数是 ． 【答案】130 【知识点】圆周角定理、已知圆内接四边形求角度 【分析】本题主要考查了圆内角四边形的性质，圆周角定理，先根据圆内接四边形对角互补求出，再根据圆周角定理即可得到． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∴， 故答案为：130． 3．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 【初步应用】 （1）如图1，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接． ①写出的度数是______，的度数是______，的度数是______； ②点为的中点，的半径为5，求线段的长； 【拓展提升】 （2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，的半经为6，则的最大值是______． 【答案】（1）①；②；（2） 【知识点】已知圆内接四边形求角度、等边三角形的判定和性质、圆周角定理、利用垂径定理求值 【分析】（1）①根据定义和圆周角定理求角即可；②根据垂径定理和特殊角的三角函数值进行解答即可； （2）延长到点M，使得，连接，得到 是等边三角形，证明，则，进一步证明，当是直径时，取最大值，即可求出答案． 【详解】解：（1）①∵四边形是圆美四边形，是美角， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． ②连接交于点P， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴， ∴． （2）如图，延长到点M，使得，连接， ∵四边形是圆美四边形，是美角， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵是的一条弦， ∴当是直径时，取最大值， 即的最大值是． 故答案为： 【点睛】本题考查了新定义问题，等边三角形的判定和性质，圆的内接四边形的性质，三角形全等的判定和性质，圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 【题型十一】求四边形外接圆的直径 【例11】．（九年级·安徽·专题练习）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°．若AD=2，则AB的长为（　　） A． B．2 C．2 D．4 【答案】D 【知识点】求四边形外接圆的直径 【分析】连接OD，根据圆内接四边形的性质求出∠A=60°，得出△AOD是等边三角形，根据等边三角形的性质得出OD=OA=AD=2，求出直径AB即可． 【详解】解：连接OD， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠A+∠C=180°， ∵∠C=120°， ∴∠A=60°， ∵OD=OA， ∴△AOD是等边三角形， ∴AD=OD=OA， ∵AD=2， ∴OA=OD=OB=2， ∴AB=2+2=4， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质和等边三角形的性质和判定，能根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠C=180°是解此题的关键． 【举一反三】 1．（九年级上·全国·课后作业）如图，弦所对的圆心角为，为直径，在半圆上滑动，是的中点，点是点对所作垂线的垂足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】圆周角定理、求四边形外接圆的直径、利用垂径定理求值 【分析】连接、、，先根据等腰三角形的性质得到，，由于根据圆周角定理得到点A和点M都在以为直径的圆上，所以． 【详解】解：如图，连接、、， ∵，而为的中点， ∴，平分，即， ∵， ∴点和点都在以为直径的圆上， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，也考查了圆周角定理和等腰三角形性质，熟练掌握各个定理是解题的关键． 2．（22-23九年级上·广东广州·期末）如图，线段的两个端点分别在x轴和直线l上滑动（均不与原点O重合），，，作轴，，交点为P，设P的坐标为，则 ． 【答案】 【知识点】利用垂径定理求值、求四边形外接圆的直径、用勾股定理解三角形 【分析】首先根据题意得到四点共圆，且为直径，然后设圆心为D，分别连接，，过点D作于点E，，然后根据勾股定理列方程求出，进而可得出的值． 【详解】∵ ∴ ∴四点共圆，且为直径， 如图所示，设圆心为D，分别连接，，过点D作于点E， 则 ∵ ∵， ∴ 在中，由勾股定理得，， 即，解得 ∴， ∵点P的坐标为， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了勾股定理，圆内接四边形，垂径定理，30°角直角三角形的性质等知识，解题的关键是根据题意正确作出辅助线． 3．（24-25九年级上·全国·期末）在中，，，为平面内的一点． (1)如图1，当点在边上时，，且，求的长； (2)如图2，当点在的外部，且满足，求证：； (3)如图3，，当、分别为、的中点时，把绕点顺时针旋转，设旋转角为，直线与的交点为，连接，直接写出旋转中面积的最大值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】全等三角形综合问题、根据旋转的性质求解、与三角形中位线有关的证明、求四边形外接圆的直径 【分析】（1）将沿折叠，得到，连接，利用全等三角形的判定与性质以及勾股定理求解即可； （2）过作，且，连接，利用全等三角形的判定与性质以及勾股定理求解即可； （3）连接交于G，证明出，得到，然后证明出为直角三角形，点P在以中点M为圆心，为半径的圆上，连接交所在直线于点N，当时，点P到直线的距离最大，然后利用三角形中位线和勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：如图，将沿折叠，得到，连接，    ∵， ∴， 将沿折叠，得到， ∴ ∴，，， ∴， ∴为等边三角形，为等腰直角三角形 ∴， ∴； （2）如图，过作，且，连接，    ∵ ∴， 又∵， ∴ ∴ 又∵， ∴，，即 ，， ∴ ∴； （3）如图3，连接交于G点 ∵绕A点旋转 ∴，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴为直角三角形 ∴点P在以中点M为圆心，为半径的圆上，连接交所在直线于点N， 当时，点P到直线的距离最大， ∵ ∴A、P、B、C四点共圆 ∵， ∴N是的中点 ∵M是的中点 ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴点P到所在直线的距离的最大值为 ． ∴的面积最大值为． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，三角形中位线性质，四点共圆性质，勾股定理等知识，作出辅助线是解本题的关键． 好题必刷 一、单选题 1．如图，在中，，则度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆心角的度数得出即可． 【详解】解：圆心角， 圆心角对的弧的度数是， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，注意：圆心角的度数等于它所对的弧的度数． 2．如图，点A、B、C在上，，则的度数为（    ） A．20° B．40° C．60° D．80° 【答案】D 【分析】根据是所对的圆心角，是所对的圆周角，可得从而可得答案． 【详解】解：是所对的圆心角，是所对的圆周角， 故选： 【点睛】本题考查的是圆周角定理，掌握“同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解题的关键． 3．已知⊙O的半径为3.6 cm，线段OA= cm，则点A与⊙O的位置关系是(    ) A．A点在圆外 B．A点在⊙O上 C．A点在⊙O内 D．不能确定 【答案】C 【详解】试题分析：线段OA=≈3.57cm<3.6cm，所以点A在⊙O内，故选C. 4．如图，正方形ABCD内接于，点P在上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接OB，OC，由正方形ABCD的性质得，再根据圆周角与圆心角的关系即可得出结论． 【详解】解：连接OB，OC，如图， ∵正方形ABCD内接于， ∴ ∴ 故选：B． 【点睛】此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 5．如图，已知，点是平分线 上一点，当点是的外心时，（ ） A．95° B．100° C．110° D．115° 【答案】B 【分析】根据圆周角，圆心角的性质解答即可． 【详解】解：如图示，∵点是的外心， ∴，，三点共圆， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角，圆心角的性质，熟悉相关性质是解题的关键． 6．已知⊙O的半径为5，弦AB=6，P是AB上任意一点，点C是劣弧的中点，若△POC为直角三角形，则PB的长度（　　） A．1 B．5 C．1或5 D．2或4 【答案】C 【分析】由点C是劣弧AB的中点，得到OC垂直平分AB，求得DA=DB=3，根据勾股定理得到OD==1，若△POC为直角三角形，只能是∠OPC=90°，则根据相似三角形的性质得到PD=2，于是得到结论． 【详解】∵点C是劣弧AB的中点， ∴OC垂直平分AB， ∴DA=DB=3， ∴OD=， 若△POC为直角三角形，只能是∠OPC=90°， 则△POD∽△CPD， ∴， ∴PD2=4×1=4， ∴PD=2， ∴PB=3﹣2=1， 根据对称性得， 当P在OC的左侧时，PB=3+2=5， ∴PB的长度为1或5. 故选C． 【点睛】考查了圆周角，弧，弦的关系，勾股定理，垂径定理，正确左侧图形是解题的关键． 7．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，点C为的中点，若∠ABC=30°，则弦AB的长为（　　） A． B．5 C． D．5 【答案】D 【分析】连接OC、OA，利用圆周角定理得出∠AOC=60°，再利用垂径定理得出AB即可． 【详解】连接OC、OA， ∵∠ABC=30°， ∴∠AOC=60°， ∵AB为弦，点C为的中点， ∴OC⊥AB， 在Rt△OAE中，AE=， ∴AB=， 故选D． 【点睛】此题考查圆周角定理，关键是利用圆周角定理得出∠AOC=60°． 8．已知⊙O的直径AB为2，,画一条弦AD=1,则的度数是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】此题分为两种情况：当AD和AC在圆的同侧或当AD和AC在圆的两侧．连接BD，根据直径所对的圆周角是直角，得∠ADB=90°，运用锐角三角函数的知识求得∠BAD=60°，从而分别求得两种情况． 【详解】如图所示，连接BD. ∵AB是O直径， ∴∠ADB=90°. ∵AD=1，AB=2， ∴cos∠BAD=， ∴∠BAD=60°. 当AD和AC在圆的同侧时,则∠CAD=∠BAD−∠BAC=30°； 当AD和AC在圆的两侧时,则∠CAD=∠BAD+∠BAC=90°. 故选D. 【点睛】此题考查垂径定理，圆周角定理，锐角三角函数的定义，解题关键在于画出图形分情况讨论. 9．如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC＝40°，则∠A的度数为(　　) A．80° B．100° C．110° D．130° 【答案】D 【分析】连接OC，然后根据等边对等角可得：∠OCB=∠OBC=40°，然后根据三角形内角和定理可得∠BOC=100°，然后根据周角的定义可求：∠1=260°，然后根据圆周角定理即可求出∠A的度数． 【详解】解：连接OC，如图所示， ∵OB=OC， ∴∠OCB=∠OBC=40°， ∴∠BOC=100°， ∵∠1+∠BOC=360°， ∴∠1=260°， ∵∠A=∠1， ∴∠A=130°． 故选D． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，即同弧所对的圆周角是其圆心角的一半． 10．如图，已知半圆的直径，C是半圆上一点，沿折叠半圆得到弧，交直径于点，若、的长均不小于2，则的长可能是（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【分析】分如解图①，当点在圆心的左侧且时，如解图②，当点在圆心的右侧且时，两种情况求出AC的长，从而确定AC的取值范围即可得到答案． 【详解】如解图①，当点在圆心的左侧且时，过作，垂足为，连接、、， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； 如解图②，当点在圆心的右侧且时，过作，垂足为，连接、、， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴若、的长均不小于2，则， ∴的长可能是7， 故选A． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，无理数的估算等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 二、填空题 11．如图，在中，，连接，则的度数为 ．    【答案】/60度 【分析】直接根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半是解答的关键． 12．如图，OE、OF分别为⊙O的弦AB、CD的弦心距，如果OE=OF， 那么 （只需写一个正确的结论）． 【答案】AB=CD（答案不唯一） 【分析】根据圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理的推论可以直接得到所求的结论． 【详解】解：∵OE=OF，OE、OF分别为⊙O的弦AB、CD的弦心距， ∴AB=CD． 故答案为：AB=CD（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系．熟练掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解题的关键． 13．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，=，若∠AOB=58°，则∠BDC= 度． 【答案】29 【分析】由等弧所对的圆心角相等，可知∠BOC=∠AOB=58°，根据圆周角定理可知，∠BDC=∠BOC求解即可； 【详解】解：连接OC， ∵=， ∴∠AOB=∠BOC=58°， ∴∠BDC=∠BOC=29°， 故答案为29． 【点睛】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 14．如图，是上的三个点，，则度数是 ．    【答案】 【分析】由圆周角定理即可得到答案． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，是解题的关键． 15．如图，为的直径，，、分别交于点、，于点，于点，，下列结论：；；；；上述结论中正确的是 填上所有正确结论的序号 【答案】①②③④ 【分析】先利用等腰三角形的性质求出、的度数，即可求的度数，根据垂径定理即可判断①③，再运用弧、弦、圆心角的关系即可判断②④. 【详解】解：如图，连接， ∵为的直径，， ∴， ∵，， ∴， ∴，，故①正确， ∵， ∴，故②正确， ∴， ∵， ∴ ∴，故④正确 ∵ ∴ ∵ ∴，故③正确， 在中，， ∵， ∴，故⑤不正确， 故答案为：①②③④ 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，垂径定理，三角形内角和定理，圆心角，弦，弧的关系．构造合适的辅助线是解题的关键． 16．如图，在平面直角坐标系中，点A在轴负半轴上，点B在轴正半轴上，⊙D经过A，B，O，C四点，∠ACO＝120°，AB＝4，则圆心点D的坐标是 【答案】D（，1） 【分析】先利用圆内接四边形的性质得到∠ABO＝60°，再根据圆周角定理得到AB为⊙D的直径，则D点为AB的中点，接着利用含30度的直角三角形三边的关系得到OB＝2，OA＝2，所以A（−2，0），B（0，2），然后利用线段的中点坐标公式得到D点坐标． 【详解】解：∵四边形ABOC为圆的内接四边形， ∴∠ABO＋∠ACO＝180°， ∴∠ABO＝180°−120°＝60°， ∵∠AOB＝90°， ∴AB为⊙D的直径， ∴D点为AB的中点， 在Rt△ABO中，∵∠ABO＝60°， ∴OB＝AB＝2， ∴OA＝OB＝2， ∴A（−2，0），B（0，2）， ∴D点坐标为（−，1）． 故答案为（−，1）． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了坐标与图形性质． 17．如图，AB是⊙O的直径，C、D为半圆的三等分点，CE⊥AB于点E，∠ACE的度数为 ． 【答案】30° 【分析】连接OC,由题意得出△AOC是等边三角形即可解答. 【详解】如图，连接OC． ∵AB是直径，， ∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°， ∵OA=OC， ∴△AOC是等边三角形， ∴∠A=60°， ∵CE⊥OA， ∴∠AEC=90°， ∴∠ACE=90°﹣60°=30°． 故答案为30° 【点睛】本题考查了等弧所对的圆心角相等的性质，等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握圆的有关知识. 18．如图，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE=3，则弦CE= ． 【答案】3 【详解】因为弦AC∥DE,所以弧AD等于弧CE,又因为∠AOD=∠BOE,所以弧AD等于弧BE,所以弧CE等于弧BE,所以CE=BE=3,故答案为:3. 三、解答题 19．如图，的直径，、是圆上的两点，，，求，两点的距离． 【答案】 【分析】先根据同弧所对的圆周角相等得到，再根据直径所对的圆周角是直角得到，最后根据含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵的直径， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角含30度角的直角三角形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键． 20．已知，如图，A、B、C、D是⊙O上的点，∠AOB＝∠COD，求证：AC＝BD 【答案】见解析 【分析】根据角之间的关系，得到，再根据弦与圆心角的关系，即可求解． 【详解】证：∵ ∴ ∴ 【点睛】此题考查了弦、弧以及圆心角的关系，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧、弦相等，解题的关键是掌握它们之间的关系． 21．如图，四边形内接于一圆，是边的延长线． (1)求证； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到，根据同角的补角相等证明结论； （2）根据圆周角定理得到，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】（1）证明：四边形内接于圆， ， ， ； （2）解：， ， ． 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补． 22．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点F是CD延长线上的一点，且AD平分∠BDF，AE⊥CD于点E. (1)求证：AB=AC； (2)若BD=18，DE=2，求CD的长. 【答案】(1)证明如下 (2) 【分析】（1）根据平分，得，根据圆内接四边形的性质，得，平角的性质，等量代换，得，根据同弧所对的圆周角相等，得，再根据等角对等边，即可证明； （2）过点作于点，得，根据平分，得，再根据，是公共边，得，得到，；又根据，得，得；最后根据，，即可求出的值． 【详解】（1）∵平分 ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴． （2）过点作于点 ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ 又∵是公共边 ∴ ∴， 又∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵ ∴． 【点睛】本题考查圆的综合应用，解题的关键是掌握圆内接四边形的性质，圆周角的性质，全等三角形的判定与性质等． 23．如图，在⊙O中，∠ACD＝15°，，求∠BPC的大小． 【答案】∠BPC＝40° 【分析】连接OA，OB，OC，OD，根据题意可知∠AOB=∠BOC=∠COD，∠AOD=2∠ACD=30°，根据∠AOB+∠BOC+∠COD+∠AOD=360°，求得∠BOC的度数，即可得到∠BAC的度数，再利用三角形外角性质求解即可. 【详解】 如图，连接OA，OB，OC，OD， ∵∠ACD＝15°， ∴∠AOD=2∠ACD=30°， ∵， ∴∠AOB=∠BOC=∠COD， ∵∠AOB+∠BOC+∠COD+∠AOD=360°， 解得：∠BOC=110°， ∴∠BAC=∠BOC=55°， 则∠BPC=∠BAC﹣∠ACD=55°－15°=40°. 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，圆的基本知识点，三角形的外角性质等，解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 24．如图，已知A，B，C均在⊙O上，请用无刻度的直尺作图． (1)如图1，若点D是的中点，试画出的平分线； (2)若，点D在弦上，在图2中画出一个含角的直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接并延长与圆O交于点E，连接即为所求； （2）连接并延长交圆O于N，延长交圆O于M，连接，，则即为所求； 【详解】（1）解：如图所示，连接并延长与圆O交于点E，连接即为所求； ∵D是的中点， ∴， ∴，即平分； （2）如图所示，连接并延长交圆O于N，延长交圆O于M，连接，则即为所求； ∵， ∴， ∵是圆的直径， ∴， ∴， ∴是含的直角三角形． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，直径所对的圆周角是直角，圆周角定理等等；解题的关键在于能够熟练掌握圆的相关知识． 25．如图，MN是⊙O的直径，MN=4，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为的中点，P是直径MN上一动点. (1)利用尺规作图，确定当PA+PB最小时P点的位置(不写作法，但要保留作图痕迹). (2)求PA+PB的最小值. 【答案】（1）作图见解析；(2)2. 【分析】(1)画出A点关于MN的称点A′,连接A′B,就可以得到P点； (2)利用∠AMN=30°得∠AON=∠A′ON=60°，又B为弧AN的中点,∴∠BON=30°，所以∠A′OB=90°，再求最小值2． 【详解】解：(1)如图，点P即为所求作的点． (2)由（1）可知，PA+PB的最小值为 A′B的长， 连接OA′,OB、OA， ∵A点关于MN的称点A′，∠AMN=30°， ∴∠AON=∠A′ON=2∠AMN=60°， 又∵B为的中点 ∴ ∴∠BON=∠AOB=∠AON=30°， ∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=60°+30°=90°， 又∵MN=4， ∴ OA′=OB= MN=2， 在Rt△A′OB中，A′B==2 ， 即PA+PB的最小值为2． 26．（1）如图为水管横截面，水面宽，水的最大深度为，求的半径． （2）如图，在等边三角形中，点E为边上一点（与点C不重合），点F是边上一点，若，求的长度． 【答案】（1）26cm；（2） 【分析】（1）先过点O作OD⊥AB于D，延长DO与圆O交于C，连接AO，由垂径定理可知AD=AB，设，则OD=36-x，在Rt△AOD中，利用勾股定理即可求出x的值． （2）先利用等边三角形的性质得∠B＝∠C＝60°，AC＝BC＝AB＝10，再利用三角形外角性质得∠B＝∠C则可判断△ABE∽△ECF，于是可利用相似比计算出CF的长，然后计算AC﹣CF即可． 【详解】(1)解：如图所示，过点O作OD⊥AB于D，延长DO与圆O交于C，连接AO， 由题意得：AB=48cm，CD=36cm， ∴由垂径定理得AD=AB=24， 设，则OD=CD-OD=(36-x)， ∵， ∴， 解得x=26， ∴圆O的半径为26cm． (2)解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°，AC＝BC＝AB＝10， ∵EC＝6， ∴BE＝4， ∵∠AEC＝∠BAE+∠B， 即∠AEF+∠CEF＝∠BAE+∠B， 而∠AEF＝60°，∠B＝60°， ∴∠BAE＝∠CEF， ∵∠B＝∠C， ∴△ABE∽△ECF， ∴，即， ∴CF=， ∴AF＝AC﹣CF＝10-=． 【点睛】(1)本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键；(2)本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、相似比、线段的和差等知识，解答本题的关键是通过已知条件找到△ABE∽△ECF. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$