24.1.4圆周角（1）（题型专练）数学人教版九年级上册

22.1.4圆周角（1） 题型一、圆周角的认识 1．（24-25九年级上·河南商丘·期中）下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角与圆心角的识别，掌握圆周角和圆心角的定义是解答本题的关键．顶点在圆周上，角的两边与圆相交的角是圆周角；圆心角的定义：顶点在圆的角是圆心角．根据圆周角和圆心角的定义解答即可． 【详解】解：A．图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意； B．图中既有圆心角，也有圆周角，选项符合题意； C．图中图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意； D．图中只有圆心角，没有圆周角，选项不符合题意； 故选：B． 2．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，所对的圆周角是 ，所对的圆周角是 ．    【答案】 【分析】根据圆周角的定义即可解答． 【详解】解：如图，   所对的圆周角是， 所对的圆周角是． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了圆周角，顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 题型二、圆周角定理 3．（2025·云南·模拟预测）如图，A，B，C是上的三个点．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，解题关键是熟练掌握圆周角定理．根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半解题即可． 【详解】∵， ∴． 故选：A． 4．（2025·广西南宁·模拟预测）如图，内接于，是的直径，连接，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等，熟练掌握同弧所对的圆周角相等是解题的关键． 根据同弧所对的圆周角相等，然后即可求解； 【详解】解：∵， ∴； 故选：A； 5．（2025·四川南充·二模）如图，点、、、都在上，若，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了圆周角定理，根据已知可得，根据圆周角定理可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（2025·陕西西安·二模）如图，是的直径，是的弦，点关于的对称点是点，连接、，若，则的度数为 ． 【答案】75 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、圆周角的性质，等腰三角形的性质及三角形内角和定理，熟知相关性质定理是正确解答此题的关键． 连接，由轴对称得，根据圆周角定理得，再根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：连接， 点关于的对称点是点，， ， ， ， ． 故答案为：． 题型三、圆周角的定理的计算与证明 7．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，直径弦，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据等边对等角求出的度数，再根据垂直得出，最后根据圆周角定理即可得解． 【详解】解：，， ， ， ， ． 8．（24-25九年级上·河南濮阳·期中）如图，是的一条弦，，垂足为C，交于点D，点E在上． (1)若，求的度数； (2)在（1）的条件下，的半径为2，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查圆周角定理，含30度角的直角三角形，熟练掌握圆周角定理是解题的关键： （1）三线合一，得到，圆周角定理，得到，即可得出结果； （2）根据含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴平分， ∴， ∴； （2）∵的半径为2， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 9．（24-25九年级上·广东韶关·期末）如图，在中，是的中点，交于点，连接并延长，交于点，连接． (1)若，求的度数； (2)若，求的半径长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了垂径定理及其推论，圆周角定理，勾股定理的运用，掌握垂径定理及其推论，圆周角定理是关键． （1）根据垂径定理的推论得到，，根据圆周角定理得到，由直角三角形两锐角互余即可求解； （2）设的半径为，则，根据垂径定理得到，在中由勾股定理列式求解即可． 【详解】（1）解：∵是的中点，交于点， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设的半径为， ∵， ∴， 由（1）知， ∴， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得，， ∴的半径长为． 10．（23-24九年级上·山东临沂·阶段练习）如图，是的直径，弦于点E，点M在上，恰好经过圆心O，连接． (1)若，，求的直径； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆的综合题：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角；垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧． （1）先根据，得出的长，进而得出的长，进而得出结论； （2）由，结合直角三角形可以求得结果； 【详解】（1）解：∵， ， 设， 又 ∵， ， ， 解得：， ∴的直径是 20 ． （2）解：， ， ， ∴， ， ． 题型四、同弧或等弧所对的圆周角相等 11．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）如图，中，弦、相交于点P，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，同弧所对的圆周角相等，先由三角形外角的性质求出的度数，再由同弧所对的圆周角相等即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 12．（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，，，，是上的点．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同弧所对的圆周角的关系，解题的关键是掌握：同弧所对的圆周角相等．据此解答即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴． 故选：B． 13．（2023·广西南宁·三模）如图，在中，弦，相交于点P．若，，则度数为 ．    【答案】/20度 【分析】根据同弧所对的圆周角相等可得结果． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆周角定理，关键是掌握同弧所对的圆周角相等． 14．（2023·广东广州·一模）如图，中，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】先根据同弧所对的圆周角相等得到，再根据证明即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，同弧所对的圆周角相等，推出是解题的关键． 15．（21-22九年级上·北京·期中）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连接AC，OC，BC． （1）求证：∠1=∠2； （2）若，求⊙O的半径的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）根据垂径定理和圆的性质，同弧的圆周角相等，又因为△AOC是等腰三角形，即可求证． （2）根据勾股定理，求出各边之间的关系，即可确定半径． 【详解】（1）证明： ∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB， =． ∴∠A=∠2． 又∵OA=OC， ∴∠1=∠A． ∴∠1＝∠2． （2）∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=6 ∴∠CEO＝90º，CE＝ED＝3． 设⊙O的半径是R，EB=2，则OE=R-2 ∵在Rt△OEC中， 解得： ∴⊙O的半径是． 【点睛】本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的性质，关键是熟练运用垂径定理和圆周角的性质进行推理证明和计算． 题型五、直径所对的圆周角是直角 16．（2025·云南·模拟预测）如图，是⊙的直径，是⊙的弦，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理和直径所对圆周角的性质，解题的关键是熟练掌握“同弧所对的圆周角相等”和“直径所对的圆周角为直角”． 由是⊙的直径，得，由圆周角定理得，，在中，根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：是⊙的直径， ， 由圆周角定理得，， ， ， ， 故选：C． 17．（24-25九年级下·陕西榆林·阶段练习）如图，内接于，是的直径，若，点是的中点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，三角形内角和定理，作出辅助线是解答关键． 连接，利用直径所对的圆周角是直角，圆周角定理求得的度数，再结合题意求出来求解． 【详解】解：连接，如下图 是的直径， ． ， ， ． 点是的中点， ， ， ． 故选：C． 18．（2020·江苏扬州·一模）如图， 为的直径，为上两点， 若则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直径所对圆周角为直角，同弧或等弧所对圆周角相等，直角三角形两锐角互余，掌握同弧或等弧所对圆周角相等是解题的关键． 如图所示，连接，得到，由是直径，得到，在根据直角三角形两锐角互余，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵是直径， ∴， 在中，， 故选：B ． 19．（2023·贵州六盘水·一模）如图，内接于为的直径，是的中点．若，则的度数为 ． 【答案】/10度 【分析】本题考查了圆周角的计算，熟练运用等弧所对圆周角相等、利用垂径定理得出点F是弧的中点是解题关键．连接，设交于点D，先求出，再求出，，再利用三角形外角定理即可求解． 【详解】 连接，设交于点D ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴点F是弧的中点， ∴ ∴， 是的外角 故答案为． 20．（24-25九年级下·甘肃武威·开学考试）如图，是的直径，圆上的点D与点C，E分布在直线的两侧，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，连接，则，又是的直径，则，然后用角度和差即可求解，掌握圆周角定理的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故答案为：． 题型六、90°的圆周角所对的弦是直径 21．（24-25九年级下·全国·期末）如图，是直径，是的弦，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同弧（等弧）所对的圆周角相等，直角三角形的两个锐角互余， 先连接，根据“直径所对的圆周角是直角”得，再根据“同弧（等弧）所对的圆周角相等”得，即可求出答案. 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴. ∵与是所对的圆周角，， ∴， ∴. 22．（25-26九年级上·全国·阶段练习）如图，A是上一点，是直径，点D在上且平分． (1)连接，求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题考查了圆周角定理、勾股定理、直径所对的圆周角是直角，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据圆周角定理即可证明； （2）根据题意推出，结合勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）证明：∵点D在上且平分， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：∵是直径， ∴， ∵点D在上且平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 23．（24-25九年级上·广西梧州·期末）工人师傅用直角曲尺检查验收半圆形工件，下列为合格的“半圆形工件”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角定理．根据直径所对的圆周角是直角对三个工件进行分析即可得到答案． 【详解】解：因为直径所对的圆周角是直角， ∴只有B选项正确，其他均不正确． 故选：B． 24．（2024·北京门头沟·一模）如图所示，为了验证某个机械零件的截面是个半圆，某同学用三角板放在了如下位置，通过实际操作可以得出结论，该机械零件的截面是半圆，其中蕴含的数学道理是 ． 【答案】的圆周角所对的弦是直径 【分析】本题考查圆周角定理，掌握“的圆周角所对的弦是直径”是正确解答的关键． 根据圆周角定理进行判断即可． 【详解】解：根据“的圆周角所对的弦是直径”即可得出答案， 故答案为：的圆周角所对的弦是直径． 25．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）如图，是正方形的外接圆，若正方形的边长为4，则的直径为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，90度的圆周角所对的弦是直径，勾股定理，由正方形的性质得到，则是的直径，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是边长为4的正方形， ∴， ∴是的直径， 在中，由勾股定理得， ∴的直径为， 故答案为：． 26．（24-25九年级上·辽宁营口·期中）如图，四边形是的内接四边形，是直径，，过点作于点于点． 求证：． 【答案】见解析 【分析】】本题考查了圆周角定理，矩形的性质与判定，全等三角形的判定和性质，根据圆周角定理得到，推出四边形是矩形，得到，根据全等三角形的性质得到． 【详解】证明：是直径， ， 于点，于点， ， 四边形是矩形， ， ∵，， ， ， ， ． 27．（2024·天津河西·一模）在中，直径垂直于弦，垂足为E，连接，，，    (1)如图①，若，求和的大小； (2)如图②，过点C作的切线交AB的延长线于点F．若，，求此圆半径的长． 【答案】(1)； (2)半径为4 【分析】本题考查了切线的性质∶圆的切线垂直于经过切点的半径，也考查了垂径定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质和含角的直角三角形的性质． （1）先利用垂径定理得到，再根据圆周角定理得到所以，然后利用为直径得到，则； （2）连接，如图②，利用垂径定理得到，即垂直平分，所以，于是可判断是等边三角形得到，根据圆周角定理得到，，接着证明是等边三角形得到，，然后根据切线的性质得到，所以，则，于是利用含30度角的直角三角形三边的关系求出即可． 【详解】（1）解：直径于E， ， ， ， 是直径， ， ． （2）如图：连接，   直径于E， ，即垂直平分， ． 又， 是等边三角形． ， ， ， ． 又， 是等边三角形， ，． 切于点C， ． ， ， ． ， 即半径为4． 28．（21-22九年级上·浙江绍兴·期中）如图，的平分线AD交外接圆于点D，若．连结BD，，时， (1)求⊙O的半径； (2)求BD的长 (3)求AD的长 【答案】(1)⊙O的半径为3 (2)BD的长为 (3)AD的长为 【分析】（1）连接BC，由得到，进而得到BC为直径，然后根据勾股定理求解即可； （2）连接BC，CD，首先根据圆周角定理得到，然后根据勾股定理求解即可； （3）作交AD于点E，首先根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出BE的长度，然后求出DE的长度，最后根据勾股定理即可求出AD的长度． 【详解】（1）如图连接BC ∵ ∴ ∴BC为⊙O的直径，经过点O， ∴在中，， ∴半径； （2）如图连接OD， ∵， ∴， ∵， ∴在中，； （3）如图所示，作交AD于点E， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴在中，， ∴． 【点睛】此题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 29．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图1，，是半圆上的两点，若直径上存在一点，满足，则称是的“幸运角”． (1)如图2，是的直径，弦，是上一点，连结交于点，连结，是的“幸运角”吗？请说明理由； (2)在（1）的条件下，直径，，的“幸运角”为，求CP的长． 【答案】(1)是的“幸运角”，理由见解析； (2)或． 【分析】本题主要考查了垂径定理，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）利用“幸运角”的定义，说明即可； （2）连接，利用“幸运角”的定义和等腰直角三角形的性质，设，利用勾股定理列出方程，解方程求得值，再利用等腰直角三角形的性质解答即可． 【详解】（1）解：是的“幸运角”，理由如下： ∵是的直径，弦， ∴平分， 即为的垂直平分线， ， ， ， ， 是的“幸运角”； （2）解：连接，如图： 的“幸运角”为，即， ， ， ， ， ∵直径， ， ， ，， 为等腰直角三角形， 设，则，在中， ， ， 解得：或， 或． 30．（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，在中，弦弦于E，弦弦 于F点，与相交于M点． (1)求证：； (2)如果，求的半径． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，全等三角形性质和判定，勾股定理，解题的关键在于灵活运用相关知识． （1）连结，结合垂直定义，以及同角的余角相等推出，再结合圆周角定理求解，即可解题； （2）连接，作于H，于K，利用垂径定理得到，结合圆周角定理推出，证明，得到，再结合勾股定理求解，即可解题． 【详解】（1）证明：连结，如图1所示， ∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∴； （2）解：连接，作于H，于K，如图2所示： 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 即的半径为． 31．（2025·贵州毕节·一模）如图，为的外接圆，且，是的直径，过点作于点，交于点，连接． (1)写出图中一个与相等的角； (2)判断的形状，并说明理由； (3)若，，求的长． 【答案】(1) (2)是等腰三角形，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质与判定、勾股定理、直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理和勾股定理是解题的关键． （1）根据圆周角定理即可推出； （2）根据直角三角形的性质推出，再结合，即可证明； （3）根据勾股定理求出，再利用勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴（答案不唯一）． （2）解：是等腰三角形，理由如下： 为的直径， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 是等腰三角形． （3）解：如图，连接， ，且由（2）知，在等腰中，， ． ，， 在中，由勾股定理，得， ， 在中，由勾股定理，得， 设的半径为，则， 解得， ， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 24.1.4圆周角（1） 题型一、圆周角的认识 1．（24-25九年级上·河南商丘·期中）下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，所对的圆周角是 ，所对的圆周角是 ．    题型二、圆周角定理 3．（2025·云南·模拟预测）如图，A，B，C是上的三个点．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·广西南宁·模拟预测）如图，内接于，是的直径，连接，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·四川南充·二模）如图，点、、、都在上，若，，则的度数为 ． 6．（2025·陕西西安·二模）如图，是的直径，是的弦，点关于的对称点是点，连接、，若，则的度数为 ． 题型三、圆周角的定理的计算与证明 7．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，直径弦，若，求的度数． 8．（24-25九年级上·河南濮阳·期中）如图，是的一条弦，，垂足为C，交于点D，点E在上． (1)若，求的度数； (2)在（1）的条件下，的半径为2，求的长． 9．（24-25九年级上·广东韶关·期末）如图，在中，是的中点，交于点，连接并延长，交于点，连接． (1)若，求的度数； (2)若，求的半径长． 10．（23-24九年级上·山东临沂·阶段练习）如图，是的直径，弦于点E，点M在上，恰好经过圆心O，连接． (1)若，，求的直径； (2)若，求的度数． 题型四、同弧或等弧所对的圆周角相等 11．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）如图，中，弦、相交于点P，，，则（   ） A． B． C． D． 12．（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，，，，是上的点．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 13．（2023·广西南宁·三模）如图，在中，弦，相交于点P．若，，则度数为 ．    14．（2023·广东广州·一模）如图，中，，求证：． 15．（21-22九年级上·北京·期中）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连接AC，OC，BC． （1）求证：∠1=∠2； （2）若，求⊙O的半径的长． 题型五、直径所对的圆周角是直角 16．（2025·云南·模拟预测）如图，是⊙的直径，是⊙的弦，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 17．（24-25九年级下·陕西榆林·阶段练习）如图，内接于，是的直径，若，点是的中点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 18．（2020·江苏扬州·一模）如图， 为的直径，为上两点， 若则的大小为（   ） A． B． C． D． 19．（2023·贵州六盘水·一模）如图，内接于为的直径，是的中点．若，则的度数为 ． 20．（24-25九年级下·甘肃武威·开学考试）如图，是的直径，圆上的点D与点C，E分布在直线的两侧，，则 ． 21．（24-25九年级下·全国·期末）如图，是直径，是的弦，，求的度数． 22．（25-26九年级上·全国·阶段练习）如图，A是上一点，是直径，点D在上且平分． (1)连接，求证：平分； (2)若，，求的长． 题型六、90°的圆周角所对的弦是直径 23．（24-25九年级上·广西梧州·期末）工人师傅用直角曲尺检查验收半圆形工件，下列为合格的“半圆形工件”的是（   ） A． B． C． D． 24．（2024·北京门头沟·一模）如图所示，为了验证某个机械零件的截面是个半圆，某同学用三角板放在了如下位置，通过实际操作可以得出结论，该机械零件的截面是半圆，其中蕴含的数学道理是 ． 25．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）如图，是正方形的外接圆，若正方形的边长为4，则的直径为 ． 26．（24-25九年级上·辽宁营口·期中）如图，四边形是的内接四边形，是直径，，过点作于点于点． 求证：． 27．（2024·天津河西·一模）在中，直径垂直于弦，垂足为E，连接，，，    (1)如图①，若，求和的大小； (2)如图②，过点C作的切线交AB的延长线于点F．若，，求此圆半径的长． 28．（21-22九年级上·浙江绍兴·期中）如图，的平分线AD交外接圆于点D，若．连结BD，，时， (1)求⊙O的半径； (2)求BD的长 (3)求AD的长 29．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图1，，是半圆上的两点，若直径上存在一点，满足，则称是的“幸运角”． (1)如图2，是的直径，弦，是上一点，连结交于点，连结，是的“幸运角”吗？请说明理由； (2)在（1）的条件下，直径，，的“幸运角”为，求CP的长． 30．（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，在中，弦弦于E，弦弦 于F点，与相交于M点． (1)求证：； (2)如果，求的半径． 31．（2025·贵州毕节·一模）如图，为的外接圆，且，是的直径，过点作于点，交于点，连接． (1)写出图中一个与相等的角； (2)判断的形状，并说明理由； (3)若，，求的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $