专题04 平面直角坐标系重难点题型汇编（四大高频题型四大易错题型）-2025-2026学年八年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（北师大版新教材）

专题04 平面直角坐标系重难点题型汇编 【题型1 两点间距离】..........................................................................................................1 【题型2 求平面直角坐标系中动点问题的面积】.................................................................5 【题型3 平面直角坐标系中规律题探究】..........................................................................9 【题型4 等腰三角形个数讨论问题】...................................................................................13 【题型1 两点间距离】 1．阅读一段文字，再回答下列问题：已知在平面内两点的坐标为，则该两点间距离公式为，同时，当两点在同一坐标轴上或所在直线平行于轴或平行于轴时，两点间的距离公式可化简成或． (1)若已知两点，试求两点间的距离； (2)已知点在平行于轴的直线上，点的纵坐标为7，点的纵坐标为，试求，两点间的距离； (3)已知一个三角形各顶点的坐标为，，请求出该图形的面积． 2．阅读材料，在平面直角坐标系中，已知轴上两点、的距离记作，如果、是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求间的距离．如图，过、分别向轴、轴作垂线、和、，垂足分别是、、、，直线交于点，在中，，，．由此可以得到平面直角坐标系内任意两点、间的距离公式． 利用上面公式解决下列问题： (1)直接应用平面内两点间距离公式计算点，之间的距离． (2)已知点，且，求的值； (3)在平面直角坐标系中的两点，，为轴上任一点，求的最小值； (4)应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值． 3．阅读下列一段文字，然后回答问题． 已知在平面内两点，，其两点间的距离，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或． (1)已知、，则　　　　　　； (2)已知轴，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为，则　　　　　　． (3)已知一个三角形各顶点坐标为、、，请判定此三角形的形状，并说明理由． 4．先阅读下列一段文字，再回答后面的问题：已知在平面直角坐标系内两点，其两点间的距离，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或． (1)已知两点间的距离为__________； (2)已知线段轴，，若点M的坐标为，则点N的坐标为_____________________； (3)已知一个三角形各顶点坐标为，此三角形的形状是__________三角形． (4)在平面直角坐标系中的两点为x轴上任一点，则的最小值为__________． 5．阅读下列一段文字，然后回答下列问题． 已知在平面内有两点、，其两点间的距离，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为或． (1)已知，试求A、B两点间的距离______； (2)已知M、N在平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为4，点N的纵坐标为，试求M、N两点的距离为______； (3)已知一个三角形各顶点坐标为，你能判定此三角形的形状吗？说明理由； (4)在（3）的条件下，平面直角坐标系中，在x轴上找一点P，使的长度最短，求的最短长度． 6．阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内两点，，其两点间的距离．同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或． (1)已知，，试求、两点间的距离； (2)求代数式的最小值． (3)已知，在轴上是否存在一点，使为等腰三角形，若存在请直接写出点的坐标；若不存在说明理由． 【题型2 求平面直角坐标系中动点问题的面积】 1．在平面直角坐标系中，O为原点，点，，． (1)如图1，的面积为 ； (2)如图2，将点B向右平移至点． ①若线段的长为5，求点D到直线的距离； ②点P是x轴上一动点，若的面积等于3，请求出点P的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，．将线段向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到线段，连接，． (1)直接写出点、的坐标； (2)若点、分别是线段，上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动若两点同时出发，则几秒后轴？ (3)若点是轴上一动点，当三角形的面积小于时，求的取值范围． 3．如图1，在平面直角坐标系中，的三个顶点为，且满足，线段交轴于点，点为轴上一动点（点不与点重合）． (1)求点、、的坐标． (2)如图2，当点在轴负半轴上运动时，过点作，分别作的平分线交于点，试问在点的运动过程中，的度数是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变，请求出的值． (3)在轴上是否存在这样的点，，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由． 4．如图1，已知，，，点D是第二象限内一动点，满足． (1)证明：； (2)证明：是的平分线； (3)如图2，连接，作，，Q是与的交点，若，求． 5．如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，已知点，且a，b满足，连接． (1)请直接写出a，b的值； (2)若点满足的面积等于12，求点P的坐标； (3)如图2，动点C从点B出发，在y轴上以每秒1个单位的速度向下运动，动点D从点O出发，在x轴上以每秒2个单位的速度向右运动，若点C，D同时出发，当的面积等于面积的2倍时，请直接写出点C的坐标． 6．如图①所示，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点坐标分别为，，，点，分别在原点两侧，且，两点间的距离等于6个单位长度． (1)的值为________； (2)在轴上是否存在点，使三角形的面积是三角形面积的？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图②所示，把线段向上平移2个单位长度得到线段，连接，，交轴于点，过点作于点．将长方形和长方形分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右平移，同时，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动．当长方形与长方形的重叠面积为1时，求此时点的坐标． 7．如图1，在平面直角坐标系中，已知，，其中，满足． (1)填空：_________，__________； (2)若在第四象限内有一点，请用含的式子表示的面积； (3)在（2）条件下，线段与轴相交于，当时，点是轴上的一动点，当满足的面积是的面积的2倍时，求点的坐标． 8．如图1，已知，点，轴， 垂足为，将线段平移至线段，点，其中点与点对应，点与点对应，、满足． (1)　　　，　　　． (2)如图1，若点在线段上，证明：． (3)如图2，连，动点从点开始在轴上以每秒2个单位的速度向左运动，同时点从点开始在轴上以每秒1个单位的速度向下运动．若经过秒，三角形与三角形的面积相等，试求的值及点的坐标． 9．如图1，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，且，满足，现同时将点、分别向上平移2个单位，再向左平移3个单位．分别得到点，的对应点，，连接、． (1)请直接写出的坐标__________．的坐标__________． (2)如图2，点是线段上的一个动点，点是线段的中点，连接，，当点在线段上移动时（不与，重合），请找出，、的数量关系，并证明你的结论； (3)在坐标轴上是否存在点，使三角形的面积与三角形的面积相等？若存在，请求出点的坐标：若不存在，试说明理由． 【题型3 平面直角坐标系中规律题探究】 1．如图，平面直角坐标系中，已知点，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动；另一动点Q从点C出发，以每秒3个单位的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则第2029次相遇点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，动点按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…，按这样的运动规律，动点第2025次运动到点（   ） A． B． C． D． 3．如图，动点P从出发，沿所示的方向运动，到时记为第一次反弹，以后每当碰到矩形的边时记一次反弹，反弹时反射角等于入射角．那么点P第2019次反弹时碰到矩形边上的点的坐标为（　　） A． B． C． D． 4．如图，动点按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，第5次运动到点，第6次运动到点，第7次运动到点，…，按这样的规律，第2025次运动到（   ） A． B． C． D． 5．如图所示，动点在平面直角坐标系中，按箭头所示方向呈台阶状移动，第一次从原点运动到点，第二次接着运动到点，第三次接着运动到点……按这样的运动规律，经过2025次运动后，动点的坐标是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点 O 出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断地移动，每次移动一个单位，得到点，，，，…，那么点的坐标为（  ） A． B． C． D． 7．如图，动点平面直角坐标系中第一次运动到，第二次运动到，第三次运动到，第四次运动到，第五次运动到，第六次运动到，第七次运动到，…，按这样的动规律，经过第2025次运动后，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，，，，，一个动点从点A出发沿的方向移动，移动了2025个单位后动点的坐标为（   ） A． B． C． D． 9．如图，动点A在平面直角坐标系中按图中方向运动，第一次从原点出发，依次运动到点，，，，，…像这样的运动规律，点的横坐标是（   ） A． B． C． D． 10．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点…按这样的运动规律，经过第2023次运动后，动点P的坐标是 ． 11．如图，一动点在平面直角坐标系中从原点出发按箭头所示方向运动，第一次运动到，第二次运动到，第三次运动到，第四次运动到，第五次运动到，按这样的运动规律，第次运动后的坐标为 ． 12．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向不断地移动，每次移动一个单位长度，得到点，，，…，那么点的坐标为 ． 13．如图，在平面直角坐标系中，点以每秒2个单位长度，从点出发，沿凸形的边顺时针运动；点以每秒3个单位长度，从点出发，沿凸形的边逆时针运动．记动点、在凸形边上第1次相遇时的点为，第2次相遇时的点为，，则点的坐标为 ． 【题型4 等腰三角形个数讨论问题】 1．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上运动，当以点、，为顶点的三角形为等腰三角形时，点的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，点C是x轴上的一个动点． (1)当是以为腰的等腰三角形时，求点C的坐标； (2)当点C在x轴上运动时，是否存在一点C，使得的值最小？若存在，求出此时点C的坐标及的最小值；若不存在，请说明理由． 3．已知：抛物线经过点，与轴交于点 (1)求抛物线的解析式； (2)是轴上一点，且是等腰三角形，直接写出点的坐标． 4．如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象与y轴的交点为，与x轴的交点为D． (1)求一次函数解析式； (2)一次函数的图象上是否存在一点P，使得，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； (3)如果在一次函数的图象存在一点Q，使是等腰三角形，请直接写出点Q的坐标． 5．如图所示，在平面直角坐标系中，直线与分别交轴于点和点，点是直线与轴的交点． (1)求点B、C、D的坐标； (2)设是直线上一点，的面积为，请求出与的函数关系式；探究当点运动到什么位置时，的面积为10，并说明理由． (3)在线段上是否存在点，使为等腰三角形，如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 6．如图，直线：交y轴于点，直线：交x轴于点，两直线交于点P，解答下列问题： (1)求m，n的值和点P的坐标； (2)若E是x轴上的动点，当以A，P，E为顶点的三角形是直角三角形时，求点E的坐标； (3)若F是y轴上的动点，当以A，P，F为顶点的三角形是以AP为腰的等腰三角形时，请直接写出满足条件的点F的坐标． 7．如图，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，，是直线上的一个动点（点A与C不重合）． (1)求直线BC的解析式． (2)试写出△AOC的面积S与a的函数关系式． (3)①当点A在第一象限且△AOC的面积是2时，求A点的坐标． ②在①的条件下，y轴上是否存在一点M，使△MOA是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的所有M点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图1，在平面直角坐标系中，直线与过点和，与互相垂直，且相交于点，D为x轴上一动点． (1)求直线与直线的函数表达式； (2)如图2，当D在x轴负半轴上运动时，若△BCD的面积为8，求D点的坐标； (3)如图3，过D作x轴垂线，与于点M．在x轴正半轴上是否存在点D使△BOM为等腰三角形？若存在，请直接写出D点坐标． 9．综合与探究 如图①，在平面直角坐标系中，点，且a，b满足，点C在x轴正半轴上，．动点P从点B出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向点C运动，运动到点C停止，设点P的运动时间为t秒，连接，过点C作的垂线交射线于点M，交y轴于点N． (1)点A的坐标为______，点B的坐标为______； (2)当点P在线段上时，如图②所示，求线段的长度（用含t的式子表示）； (3)若，则t的值为______； (4)若，是否存在以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 1．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示的方向移动，并且每次移动1个单位长度，依次得到点，，，，，，…，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，动点A从出发，向上运动1个单位长度到达点，分裂为两个点，分别向左、右运动到点，，此时称动点A完成第一次跳跃，再分别从C，D点出发，每个点重复上面的运动，到达点，，，此时称动点A完成第二次跳跃，按此规律跳跃下去，动点A完成第2024次跳跃时，最右边一个点的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，动点按图中箭头所示方向从原点出发，第次运动到点，第次接着运动到点，第次接着运动到点，第次接着运动到点，按这样的运动规律，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中有一点，将点A向左平移5个单位再向上平移5个单位得到点B，直线l过点A、B，交x轴于点C，交y轴于点D．通过研究发现直线l上所有点的横坐标x与纵坐标y都是二元一次方程的解． 例如：若点E在直线上，横坐标，则其纵坐标为； 若点F在直线上，纵坐标，则其横坐标为． (1)直接写出点B，C，D的坐标：B______，C______，D______； (2)求； (3)若点是直线l上的一个动点，当时．求出a的值，并写出P点的坐标． 5．已知点，轴，垂足为，将线段平移至线段，点，其中点与点对应，点与点对应，、满足． (1)直接写出、、三点的坐标________，________，________； (2)如图1，若点在线段上，证明：； (3)如图2，连接，动点从点开始在轴上以每秒2个单位的速度向左运动，同时点从点开始在轴上以每秒1个单位的速度向下运动，若经过秒，三角形的面积是三角形的面积的2倍，试求的值及点的坐标． 6．如图1所示，在平面直角坐标系中，，其中、满足关系式，平移使点与点重合，点的对应点为点． (1)直接写出两点的坐标； (2)如图2，以、为邻边作长方形，且点在第一象限，连接，点在长方形的边上沿的路线运动，且的面积为4，直接写出点的坐标； (3)如图3，过点作轴交轴于点，为轴上原点0左侧的一个动点，连接、平分，平分，当点运动时，的值是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出其值． 7．如图，在平面直角坐标系中，，，将线段沿x轴向右平移12个单位长度得到线段，点P 为射线上一动点． (1)点C 的坐标为_________，点D 的坐标为________； (2)如图①，点M是线段上一点（不与点C，D重合），当点P 在射线上运动时（点P不与点D重合），连接之间有怎样的数量关系？ 请说明理由； (3)如图②，点N是y轴上任意一点，连接，若，三角形的面积等于三角形的面积，求点 P 的坐标． 8．如图，一次函数的图象经过点A（4，0）和点D（2，1.5），与y轴交于点B，将△AOB沿直线CD对折，使点A与点B重合，直线CD与x轴交于点C，与AB交于点D． (1)求一次函数解析式； (2)求DC的长； (3)点P是x轴上一动点，若△PAB是等腰三角形，直接写出点P的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 平面直角坐标系重难点题型汇编 【题型1 两点间距离】..........................................................................................................1 【题型2 求平面直角坐标系中动点问题的面积】.................................................................10 【题型3 平面直角坐标系中规律题探究】..........................................................................28 【题型4 等腰三角形个数讨论问题】...................................................................................39 【题型1 两点间距离】 1．阅读一段文字，再回答下列问题：已知在平面内两点的坐标为，则该两点间距离公式为，同时，当两点在同一坐标轴上或所在直线平行于轴或平行于轴时，两点间的距离公式可化简成或． (1)若已知两点，试求两点间的距离； (2)已知点在平行于轴的直线上，点的纵坐标为7，点的纵坐标为，试求，两点间的距离； (3)已知一个三角形各顶点的坐标为，，请求出该图形的面积． 【答案】(1) (2)9 (3) 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理、两点坐标距离公式，理解两点坐标距离公式是解答的关键． （1）直接将两点坐标代入公式求解即可； （2）直接根据平行于轴时，两点间的距离公式求解即可； （3）先利用两点坐标距离公式求得的值，再验证成立，进而利用勾股定理的逆定理得到是直角三角形，然后利用面积公式求解即可． 【详解】（1）解：因为点， 所以， 即两点间的距离是． （2）解：因为点在平行于轴的直线上，点的纵坐标为7，点的纵坐标为， 所以， 即两点间的距离是9． （3）解：因为一个三角形各顶点的坐标为， 所以，， ． 因为， 所以是直角三角形， 所以． 2．阅读材料，在平面直角坐标系中，已知轴上两点、的距离记作，如果、是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求间的距离．如图，过、分别向轴、轴作垂线、和、，垂足分别是、、、，直线交于点，在中，，，．由此可以得到平面直角坐标系内任意两点、间的距离公式． 利用上面公式解决下列问题： (1)直接应用平面内两点间距离公式计算点，之间的距离． (2)已知点，且，求的值； (3)在平面直角坐标系中的两点，，为轴上任一点，求的最小值； (4)应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值． 【答案】(1)5 (2)或 (3) (4) 【分析】此题主要考查了利用轴对称求最值问题以及两点之间距离公式，正确转化代数式为两点之间距离问题是解题关键． （1）直接利用两点之间距离公式直接求出即可； （2）直接利用两点之间距离公式建立关于的方程，求解即可； （3）利用轴对称求最短路线方法得出点位置，进而求出的最小值； （4）根据原式表示的几何意义是点到和的距离之和，点在以和为端点的线段上时其距离之和最小，进而求出即可． 【详解】（1）解：平面直角坐标系内任意两点、有：， 点，之间的距离为：， 故答案为：5； （2）解： ，且， 即， ，， 解得：，， 的值为或； （3）解：如图， 作点关于轴对称的点，连接， 直线与轴的交点即为所求的点，的最小值就是线段的长度， ， ， ， 的最小值， 即为的最小值为； （4）解：表示点到和的距离之和， 由两点之间线段最短，点在以和为端点的线段上时，原式值最小，即为到的距离， 最小值为． 3．阅读下列一段文字，然后回答问题． 已知在平面内两点，，其两点间的距离，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或． (1)已知、，则　　　　　　； (2)已知轴，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为，则　　　　　　． (3)已知一个三角形各顶点坐标为、、，请判定此三角形的形状，并说明理由． 【答案】(1)13 (2)6 (3)等腰直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理的应用，等腰三角形的判定，勾股定理的逆定理，读懂题意，运用两点间距离公式是解题的关键． （1）根据两点间距离公式求解即可； （2）根据两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴时的两点间距离公式求解即可； （3）根据两点间距离公式求出三角形的三边长，即可判定三角形的形状． 【详解】（1）解：∵、， ∴． 故答案为：13 （2）解：∵轴，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为， ∴． 故答案为：6 （3）解：是等腰直角三角形，理由如下： ∵、、， ∴， ， ， ∴，， ∴是等腰直角三角形． 4．先阅读下列一段文字，再回答后面的问题：已知在平面直角坐标系内两点，其两点间的距离，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或． (1)已知两点间的距离为__________； (2)已知线段轴，，若点M的坐标为，则点N的坐标为_____________________； (3)已知一个三角形各顶点坐标为，此三角形的形状是__________三角形． (4)在平面直角坐标系中的两点为x轴上任一点，则的最小值为__________． 【答案】(1) (2)或 (3)等腰 (4)5 【分析】本题考查两点间距离公式，等腰三角形的定义，轴对称求最短路径等，理解两点间距离公式是解题的关键． （1）利用两点间距离公式直接计算； （2）由轴，，可得，解方程即可； （3）利用两点间距离式求出三条边长，即可判断三角形的形状； （4）作点关于x轴的对称点，则． 【详解】（1）解：两点间的距离为：， 故答案为：； （2）解： 轴，点M的坐标为，， 点N的横坐标为2，， 或， 或， 点N的坐标为或， 故答案为：或； （3）解： ， ， ， ， 此三角形的形状是等腰三角形， 故答案为：等腰； （4）解：如图，作点关于x轴的对称点， 则， ， 即的最小值为5． 故答案为：5． 5．阅读下列一段文字，然后回答下列问题． 已知在平面内有两点、，其两点间的距离，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为或． (1)已知，试求A、B两点间的距离______； (2)已知M、N在平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为4，点N的纵坐标为，试求M、N两点的距离为______； (3)已知一个三角形各顶点坐标为，你能判定此三角形的形状吗？说明理由； (4)在（3）的条件下，平面直角坐标系中，在x轴上找一点P，使的长度最短，求的最短长度． 【答案】(1)13 (2)5 (3)为等腰直角三角形，理由见解析 (4) 【分析】本题考查了两点间的距离公式，也考查了等腰三角形的判定和勾股定理．关键是学会用两点间的距离求两点的距离． （1）直接利用两点间的距离公式计算； （2）根据平行于y轴的直线上所有点的横坐标相同，所以M、N间的距离为两点的纵坐标之差的绝对值； （3）先利用两点间的距离公式计算出，然后即可判断的形状； （4）如图，作F关于x轴的对称点，连接交x轴于P，则此时，的长度最短，根据两点间距离公式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：13； （2）解：因为M、N在平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为4，点N的纵坐标为， 所以，， 故答案为：5； （3）解：为等腰直角三角形．理由如下： ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形； （4）解：如图，作F关于x轴的对称点，连接交x轴于P， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短知的最小值为的长， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴的最短长度为． 6．阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内两点，，其两点间的距离．同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或． (1)已知，，试求、两点间的距离； (2)求代数式的最小值． (3)已知，在轴上是否存在一点，使为等腰三角形，若存在请直接写出点的坐标；若不存在说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)或或或． 【分析】本题主要考查了两点间的距离公式，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，运用分类思想是解题的关键． （1）利用公式代入即可； （2）由题意可得相当于点到点和点到点的距离之和，当且仅当三点共线且点位于点和点之间时，距离之和最小，即可求出答案； （3）根据等腰三角形的性质，分三种情况利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：相当于点到点和点到点的距离之和， 当且仅当三点共线且点位于点和点之间时，距离之和最小，即取得最小值， 即的最小值为 （3）解：存在， ， ， 设， ∴，， 当时，，则，解得，此时或； 当时，，则，解得或（此时为P原点，舍去），此时； 当时，，则，解得，此时； 综上，或或或． 【题型2 求平面直角坐标系中动点问题的面积】 1．在平面直角坐标系中，O为原点，点，，． (1)如图1，的面积为 ； (2)如图2，将点B向右平移至点． ①若线段的长为5，求点D到直线的距离； ②点P是x轴上一动点，若的面积等于3，请求出点P的坐标． 【答案】(1)9 (2)①点D到直线的距离为；②点P的坐标为或 【分析】本题考查了坐标与图形，点的平移，平面直角坐标系中求三角形面积，平面直角坐标系中求三角形面积时，如果三角形中无一边与坐标轴平行，则常常用割补的方法，使得三角形表示为易于求得面积的三角形或四边形面积的和或差．注意（2）问中点P的坐标有两种情况，不要忽略x轴负半轴上的情况． （1）由题意可得、的长，由三角形面积公式即可求得； （2）①过点D作轴于E，由求出的面积，然后再求出距离即可； ②由面积可得，根据点P在x轴上的位置即可求得点P的坐标． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，，， ∴， ∴； 故答案为：9； （2）解：①如图，过点D作轴于E， ∵点D坐标为， ∴点E坐标为， ∵， ∴，，， ∴ ， ∵线段的长为5， ∴点D到直线的距离为： ； ②由题意得：， 即 ∴ ∵点P在x轴上 ∴点P的坐标为或． 2．如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，．将线段向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到线段，连接，． (1)直接写出点、的坐标； (2)若点、分别是线段，上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动若两点同时出发，则几秒后轴？ (3)若点是轴上一动点，当三角形的面积小于时，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)秒 (3) 【分析】本题考查坐标与图形变化平移，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 利用平移变换的性质求解； 设运动时间为秒，由点与点的纵坐标相同，构建方程，求解即可； 分两种情况分析：当点H在y轴负半轴时，当点H在y轴正半轴时，根据三角形的面积公式列不等式即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意点，的坐标分别为，，将线段向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到线段， ，； （2）设运动时间为秒，当轴时，点与点的纵坐标相同， 即， 解得， 点，同时出发，秒后轴； （3）当点H在y轴负半轴时，如图， ，，， 三角形的面积， ； 当点H在y轴正半轴时，如图， 过点H作轴， ∴， 三角形的面积， 解得：，不符合题意； 综上所述，的取值范围为． 3．如图1，在平面直角坐标系中，的三个顶点为，且满足，线段交轴于点，点为轴上一动点（点不与点重合）． (1)求点、、的坐标． (2)如图2，当点在轴负半轴上运动时，过点作，分别作的平分线交于点，试问在点的运动过程中，的度数是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变，请求出的值． (3)在轴上是否存在这样的点，，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； (2)不变，值为； (3)存在，． 【分析】（1）根据和平方的非负性、二次根式的非负性、绝对值的非负性，求出：、、的值，从而可得点、、的坐标； （2）过点作，根据两直线平行，内错角相等，可得：，，，从而可得：，根据角平分线的定义可知，，从而可求； （3）当点在轴上方时，过点作轴于，根据可得：，又因为，可得关于的一元一次方程，解方程求出的坐标即可得到点的坐标；当点在轴下方时，过点作轴于，根据，可得：，因为，可得关于的一元一次方程，解方程求出的值，即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：，，，， ，，， 解得：，，， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； （2）解：， 如下图所示，过点作， ， ， ，，， ， ， 、分别为、的平分线， ，， ； （3）解：设， 如下图所示，当点在轴上方时，过点作轴于， ，，，， ，，，，，， ， ， ， ； 如下图所示，当点在轴下方时，过点作轴于， 同理可得， ， ， （不符合题意，舍去）， 综上所述，点的坐标为． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中图形与坐标、平行线的性质、解一元一次方程、角平分线的定义，解决本题的关键是根据角平分线的定义和平行线的性质找角之间的关系． 4．如图1，已知，，，点D是第二象限内一动点，满足． (1)证明：； (2)证明：是的平分线； (3)如图2，连接，作，，Q是与的交点，若，求． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，角平线性质的逆定理，中线的定义和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意得到，证明即可得到结论； （2）过点C分别作，的垂线，垂足分别为M，N，点E为与的交点，证明，得到，，角平分线的逆定理证明结论； （3）根据题意证明和，再根据中线的性质定理进行计算即可． 【详解】（1）证明：，， ， 在与中， ， ； （2）证明：如图，过点C分别作，的垂线，垂足分别为M，N，点E为与的交点， ， ， ，， ． 在与中， ， ． ，， 是的平分线． （3）解：， ，，． ， ． 在与中， ， ． 在与中， ， ． 为的中线， ． ， ． 是的中线， ， ． 5．如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，已知点，且a，b满足，连接． (1)请直接写出a，b的值； (2)若点满足的面积等于12，求点P的坐标； (3)如图2，动点C从点B出发，在y轴上以每秒1个单位的速度向下运动，动点D从点O出发，在x轴上以每秒2个单位的速度向右运动，若点C，D同时出发，当的面积等于面积的2倍时，请直接写出点C的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）根据平方、算术平方根的非负性求解； （2）根据坐标可得，，根据求解； （3）设运动时间为t，则，，，当的面积等于面积的2倍时，，代入数值求出t的值，即可得出答案． 【详解】（1）解： ， ，， ； （2）解：由（1）得， ， ，， ， ， 解得或， 或； （3）解：设运动时间为t，则，， ， ， ， 当的面积等于面积的2倍时，， ， 解得或， 时，点C的纵坐标为：；. 时，点C的纵坐标为：； 点C的坐标为或． 【点睛】本题考查平面直角坐标系，非负数的性质，一元一次方程的应用等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 6．如图①所示，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点坐标分别为，，，点，分别在原点两侧，且，两点间的距离等于6个单位长度． (1)的值为________； (2)在轴上是否存在点，使三角形的面积是三角形面积的？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图②所示，把线段向上平移2个单位长度得到线段，连接，，交轴于点，过点作于点．将长方形和长方形分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右平移，同时，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动．当长方形与长方形的重叠面积为1时，求此时点的坐标． 【答案】(1)2 (2)存在，或 (3)或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化—平移，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据题意可得，解方程即可得到答案； （2）求出三角形的面积为，则可得到三角形的面积为2．设，则，据此可得，解方程即可得到答案； （3）分长方形与长方形的重叠部分在长方形左侧和长方形与长方形的重叠部分在长方形右侧，两种情况根据重叠部分的小长方形一边长为2，则可求出另一边长为，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，且，两点间的距离等于6个单位长度， ∴， ∴； （2）解：，， 三角形的面积为； 三角形的面积是三角形面积的． 三角形的面积为2． 点在轴上， 设， ， 三角形的面积为， ， 或； （3）解：设经秒后长方形与长方形的重叠面积为1，点，，，的对应点分别为，，，． 由题意可得，，，． ①当长方形与长方形的重叠部分在长方形左侧时， 重叠部分的小长方形的一边长为2， 另一边长为， ， ， 点运动了． ， 点在上． ， 点， ②当长方形与长方形的重叠部分在长方形右侧时， 重叠部分的小长方形的长与宽分别为2，， ， ， 点运动了， ，， 点在上， ，点， 点． 综上，点的坐标为或． 7．如图1，在平面直角坐标系中，已知，，其中，满足． (1)填空：_________，__________； (2)若在第四象限内有一点，请用含的式子表示的面积； (3)在（2）条件下，线段与轴相交于，当时，点是轴上的一动点，当满足的面积是的面积的2倍时，求点的坐标． 【答案】(1)，2 (2) (3)或 【分析】本题考查了非负数的性质，三角形的面积，坐标与图形，解题的关键是： （1）由非负数性质求解即可； （2）根据三角形面积公式求解即可； （3）设，分两种情况讨论：D在上方；D在C下方，然后根据割补法构建关于m 的方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，2； （2）解：由（1）知，， ∴， ∵在第四象限， ∴； （3）解：当时，， ∵的面积是的面积的2倍， ∴， 设， 当D在上方时，如图，过D作x轴的平行线，过A、B作y轴的平行线，与过D的平行线相交与M、N， 则， 解得， ∴； 当D在C下方时，如图，过D作x轴的平行线，过A、B作y轴的平行线，与过D的平行线相交与M、N， 则， 解得， ∴， 综上，点D的坐标为或． 8．如图1，已知，点，轴， 垂足为，将线段平移至线段，点，其中点与点对应，点与点对应，、满足． (1)　　　，　　　． (2)如图1，若点在线段上，证明：． (3)如图2，连，动点从点开始在轴上以每秒2个单位的速度向左运动，同时点从点开始在轴上以每秒1个单位的速度向下运动．若经过秒，三角形与三角形的面积相等，试求的值及点的坐标． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)时，；时， 【分析】本题考查了非负数的性质、平移的性质、一元一次方程的应用、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）根据非负数的性质求解即可； （2）由平移的性质求出，再根据，计算即可得证； （3）分两种情况：当点在线段上时；当点在线段的延长线上时；分别列出一元一次方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，； （2）证明：由（1）可得，， ∵将线段平移至线段，点，其中点与点对应，点与点对应， ∴平移方式为向下平移个单位长度，向右平移个单位长度， ∴， ∵， 如图，连接， ， ∵， ∴， ∴； （3）解：由题意可得： ①当点在线段上时，， 解得：，此时， ②当点在线段的延长线上时，， 解得，此时， 综上所述，时，；时，． 9．如图1，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，且，满足，现同时将点、分别向上平移2个单位，再向左平移3个单位．分别得到点，的对应点，，连接、． (1)请直接写出的坐标__________．的坐标__________． (2)如图2，点是线段上的一个动点，点是线段的中点，连接，，当点在线段上移动时（不与，重合），请找出，、的数量关系，并证明你的结论； (3)在坐标轴上是否存在点，使三角形的面积与三角形的面积相等？若存在，请求出点的坐标：若不存在，试说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在；点的坐标为或或或 【分析】本题考查了实数的非负性，平行线的判定与性质，坐标系中平移的性质，分类思想，熟练掌握实数的非负性，平行线的判定与性质，平移的性质是解题的关键． （1）由非负数的性质即可求解； （2）过点作，得出，则，证明，结合，，即可证明； （3）先求出，分点在轴上与在轴上两种情况考虑即可． 【详解】（1）解：∵， ∵，， 即，， ∴，； 故答案为：，； （2）解：，证明如下： 如图，过点作， ， 点、分别向上平移2个单位，再向左平移3个单位，分别得到其对应点，， ， ， ； ， 而，， , ； （3）解：存在，理由如下： 由平移知，，，，， ； ①当点在轴上时， 设点坐标为，则， ， 解得：或， 故或； ②当点在轴上时，设， 则，， ， 解得：或， 即或； 综上，点的坐标为或或或． 【题型3 平面直角坐标系中规律题探究】 1．如图，平面直角坐标系中，已知点，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动；另一动点Q从点C出发，以每秒3个单位的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则第2029次相遇点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是坐标系内点坐标规律问题，利用行程问题中的相遇问题，由于矩形的边长为3和2，P、Q的速度和是5，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴经过1秒钟时，P与Q在处相遇， 接下来两个点走的路程和为10的倍数时，则每过2秒，两点相遇， ∵第二次相遇在的中点， 第三次相遇在， 第四次相遇在， 第五次相遇在， 第六次相遇在B点， ∴每五次相遇点重合一次， ∵， 即第2029次相遇点的坐标与第四次相遇点的坐标重合，即． 故选：A． 2．如图，在平面直角坐标系中，动点按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…，按这样的运动规律，动点第2025次运动到点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题为平面直角坐标系下的规律探究题，解题的关键是注意探究动点的运动规律，又要注意动点的坐标的所在象限及符号． 观察图形可知，每4次运动为一个循环组循环，并且每一个循环组向右运动4个单位，用2025除以4，然后根据商的情况确定运动后点的坐标即可． 【详解】解：点可以看作周期运动，运动周期为4， ， ∴动点第2025次运动到点， 故选：A． 3．如图，动点P从出发，沿所示的方向运动，到时记为第一次反弹，以后每当碰到矩形的边时记一次反弹，反弹时反射角等于入射角．那么点P第2019次反弹时碰到矩形边上的点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了规律型中点的坐标，根据部分点的坐标找出变化规律是解题的关键．设点P第n次反弹时碰到矩形边上的点为Pn（n为自然数），根据反弹补充图形，根据坐标的变化找出变化规律“次反弹一个循环”，依此规律即可得出结论． 【详解】解：设点P第n次反弹时碰到矩形边上的点为（n为自然数），如图， 观察，发现规律： ， ∴次反弹一个循环， ∵， ∴和相同， 故选：D． 4．如图，动点按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，第5次运动到点，第6次运动到点，第7次运动到点，…，按这样的规律，第2025次运动到（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点坐标的规律计算，根据点的运动，找出规律是解题的关键，结合材料图示，判定横坐标、纵坐标的计算方法找出规律即可求解． 【详解】解：第1次从原点运动到点， 第2次运动到点， 第3次运动到点， 第4次运动到点， 第5次运动到点， 第6次运动到点， 第7次运动到点，…， ∴横坐标的变化是第次，横坐标为， 纵坐标的变化规律是：，每六次一循环， ∴， ∴第2025次运动到， 故选：B ． 5．如图所示，动点在平面直角坐标系中，按箭头所示方向呈台阶状移动，第一次从原点运动到点，第二次接着运动到点，第三次接着运动到点……按这样的运动规律，经过2025次运动后，动点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了点的坐标变化规律．仔细观察图形，找到点的坐标变化的规律，利用规律求解即可． 【详解】解：观察发现： 第2次运动到点； 第4次运动到点； 第6次运动到点， 第次运动到点， 第次运动到点， ，即， 所以经过2025次运动后，动点的坐标是， 故选：A． 6．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点 O 出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断地移动，每次移动一个单位，得到点，，，，…，那么点的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标规律型问题，解题关键是根据点的坐标的变化得到规律，利用得到的规律解题． 动点在平面直角坐标系中按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，只要求出前几个坐标，根据规律找坐标即可． 【详解】解：根据题意可知，，，，，，，，，……，点的纵坐标每4个点一循环， ∵， ∴点在，，的位置上，纵坐标为0，横坐标为序号的一半，即， ∴点的坐标， ∵点是点向上平移1个单位得到的， ∴坐标为， 故答案为：． 7．如图，动点平面直角坐标系中第一次运动到，第二次运动到，第三次运动到，第四次运动到，第五次运动到，第六次运动到，第七次运动到，…，按这样的动规律，经过第2025次运动后，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标规律变化问题，由图象和题意得纵坐标依次按照，，，，循环变化，据此解答即可求解，找到点的坐标规律是解题的关键． 【详解】解：观察图象，结合运动后的点的坐标特点可知，点的横坐标为，纵坐标依次按照，，，，循环变化， ∴点的横坐标为， ∵， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为， 故选：C． 8．如图，在平面直角坐标系中，，，，，一个动点从点A出发沿的方向移动，移动了2025个单位后动点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了点的坐标变化规律，能根据题意得出四边形是长方形及求出四边形的周长是解题的关键．根据题意可求出四边形的周长，再根据移动2025个单位，即可得出移动后的动点坐标． 【详解】解：因为，，，， 所以，，，，且四边形是长方形， 则长方形的周长为：． 因为， 则， 所以移动了2025个单位后动点在点C的右边3个单位处， 则， 所以移动了2025个单位后动点的坐标为． 故选：C． 9．如图，动点A在平面直角坐标系中按图中方向运动，第一次从原点出发，依次运动到点，，，，，…像这样的运动规律，点的横坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了点的坐标变化规律，根据点，，，，，的运动规律，可知横坐标的变化规律是依次、、、，从到共增加了次，的横坐标需要加个，个，根据变化规律计算出的横坐标． 【详解】解：根据点，，，，，的运动规律， 可知横坐标的变化规律是依次、、、， 从到共增加了次， ， 共增加了个循环，第次循环的第一次， 的横坐标需要加个，个， 的横坐标为：． 故选：C． 10．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点…按这样的运动规律，经过第2023次运动后，动点P的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 由题意可知，第次接着运动到的点坐标的横坐标为，每4次运动的点坐标的纵坐标以，，，循环，由，可得动点次后P的坐标． 【详解】解：由题意知，第1次从原点运动到点， 第2次接着运动到点， 第3次接着运动到点， 第4次接着运动到点， 第5次接着运动到点， …… ∴第次接着运动到的点坐标的横坐标为，每4次运动的点坐标的纵坐标以，，，循环， ∵， ∴经过第2023次运动后，动点P的坐标是， 故答案为：． 11．如图，一动点在平面直角坐标系中从原点出发按箭头所示方向运动，第一次运动到，第二次运动到，第三次运动到，第四次运动到，第五次运动到，按这样的运动规律，第次运动后的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查点的坐标变化规律．根据点的运动情况得出点第次运动到的点的坐标为，求出点运动次的坐标为，结合点的运动情况，即可求出第次运动后的坐标． 【详解】解：由题知，点初始位置的坐标为， 点第五次运动到， 点第十次运动到， 点第十五次运动到， …， 由此可见，点第次运动到的点的坐标为（为正整数）． ∵， 当时，，， 即点运动次的坐标为， ∴第次运动后的坐标，即从再运动次后的坐标为． 故答案为：． 12．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向不断地移动，每次移动一个单位长度，得到点，，，…，那么点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标的规律探究，结合图象找准循周期是解决本题的关键．根据图象可知，纵坐标每四个点循环一次，而，故是第507个周期的第三个点，然后根据每一个周期第三个点的坐标可推导一般性规律为，最后计算求解即可． 【详解】解：∵，，，，，……， 纵坐标每四个点一个循环， ， 是第507个周期的第三个点， 每一个周期第三个点的坐标为：，，，……， ， ， 故答案为：． 13．如图，在平面直角坐标系中，点以每秒2个单位长度，从点出发，沿凸形的边顺时针运动；点以每秒3个单位长度，从点出发，沿凸形的边逆时针运动．记动点、在凸形边上第1次相遇时的点为，第2次相遇时的点为，，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标规律探究，先根据点P和点Q的运动情况找出前几次相遇时的坐标，找出相遇规律求解． 【详解】解；∵点以每秒2个单位长度，从点出发，沿凸形的边顺时针运动；点以每秒3个单位长度，从点出发，沿凸形的边逆时针运动， ∴第1次相遇时的点为， 第2次相遇时的点为， 第3次相遇时的点为， 第4次相遇时的点为， 第5次相遇时的点为， 第6次相遇时的点为， ， ∴相遇点每5次一循环． ∵， ∴的坐标为． 故答案为：． 【题型4 等腰三角形个数讨论问题】 1．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上运动，当以点、，为顶点的三角形为等腰三角形时，点的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的定义，勾股定理，掌握知识点是解题的关键．根据等腰三角形的定义，分三种情况讨论：分别求出符合条件的点P的坐标，并验证是否构成三角形即可． 【详解】解：①当时： 的长度为． 设，则的长度为． 由，解得或． 当时，P与O重合，无法构成三角形，舍去；当时，P有效． ②： 的长度为，由，解得或． 对应的点和均不共线，有效． ③： 由，平方后解得． 点与O、A不共线，有效． 综上，符合条件的点P共有4个：、、、． 故选D． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，点C是x轴上的一个动点． (1)当是以为腰的等腰三角形时，求点C的坐标； (2)当点C在x轴上运动时，是否存在一点C，使得的值最小？若存在，求出此时点C的坐标及的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或或 (2)存在，，5 【分析】（1）分别以点Ａ为圆心，以为半径画弧，以点Ｂ为圆心，以为半径画弧，二弧与ｘ轴的交点就是所求，根据等腰三角形的性质，坐标与线段的关系解答即可； （2）根据点，，得到，结合，得当A，B，C三点共线时，的值最小，此时点C与点B重合解答即可． 【详解】（1）解：∵点，， ∴， ∴， 如图，以点Ａ为圆心，以为半径画弧，交x轴于点C， 此时，， ∴， ∵点C在x轴的负半轴， ∴； 以点Ｂ为圆心，以为半径画弧，与x轴交于点， ∴， ∵， ∴， ∴，， 综上所述，符合题意的点C为或或． （2）解：根据点，， 故， ∵， ∴当A，B，C三点共线时，的值最小，此时点C与点B重合解答即可． 故，此时， 故时，的值最小，且最小值为5． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，两点间距离公式，勾股定理，坐标与线段的关系，熟练掌握等腰三角形的定义，勾股定理，两点间距离公式是解题的关键． 3．已知：抛物线经过点，与轴交于点 (1)求抛物线的解析式； (2)是轴上一点，且是等腰三角形，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)或或或． 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，勾股定理的应用； （1）将，代入解析式，待定系数法求解析式即可求解； （2）分两种情形讨论，①若，②若，即可求解． 【详解】（1）解： 抛物线经过点，与轴交于点， 得： 解得 抛物线的解析式： （2）∵在轴，设 ∵， ∴，， ∴，， ∵是等腰三角形，分类讨论： ①当时， 解得：或（舍去） ②当时， 解得：或 ③当时， 解得： 综上所述：的坐标为或或或． 4．如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象与y轴的交点为，与x轴的交点为D． (1)求一次函数解析式； (2)一次函数的图象上是否存在一点P，使得，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； (3)如果在一次函数的图象存在一点Q，使是等腰三角形，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1) (2)P点的坐标或； (3)或或或 【分析】（1）先将代入，求出点A的坐标，再由待定系数法即可求解； （2）先求出点D的坐标，得出，再由，即可求解； （3）设点，得出，，，分三种情况：当时，当时， 当时，分别列出方程，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵正比例函数的图象与一次函数的图象交于点， ∴可有， 解得， ∴A点的坐标； ∵一次函数的图象过点和点， 则有， 解得：， ∴一次函数解析式为； （2）解：存在，理由如下： 对于一次函数，令， 则有， 解得， ∴点， ∴， 设点， 根据题意可知：， 解得， 当时，，解得：， 当时，，解得：， ∴P点的坐标或； （3）解：设点， 则， ， ， 当时，，则： ， 解得：或（舍去）， 此时点Q的坐标为； 当时，，则： ， 解得：或， 此时点Q的坐标为或； 当时，，则： ， 解得：， 此时点Q的坐标为； 综上分析可知：点Q的坐标为：或或或． 【点睛】本题主要考查了正比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式、一次函数图象与坐标轴交点，等腰三角形的定义，解题关键是熟练掌握相关知识，并运用数形结合的思想分析问题，注意进行分类讨论． 5．如图所示，在平面直角坐标系中，直线与分别交轴于点和点，点是直线与轴的交点． (1)求点B、C、D的坐标； (2)设是直线上一点，的面积为，请求出与的函数关系式；探究当点运动到什么位置时，的面积为10，并说明理由． (3)在线段上是否存在点，使为等腰三角形，如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)，或，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点问题，一次函数与几何图形的综合应用： （1）分别令，求出一次函数与坐标轴的交点坐标即可； （2）根据的面积等于，列出函数关系式，令，求出的坐标即可； （3）设，两点间距离公式求出，分三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，当时，， ∴， ∵，当时，，当时，， ∴． （2）∵是直线上一点， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴当时，，当时，， ∴， 当或，，理由如下： 当时，， 解得：或， ∴或． （3）设， ∵ ， ∴， 当时，则：解得：或（舍去）， ∴； 当时：，解得：或，均不符合题意，舍去； 当时：，解得：， ∴； 综上：或． 6．如图，直线：交y轴于点，直线：交x轴于点，两直线交于点P，解答下列问题： (1)求m，n的值和点P的坐标； (2)若E是x轴上的动点，当以A，P，E为顶点的三角形是直角三角形时，求点E的坐标； (3)若F是y轴上的动点，当以A，P，F为顶点的三角形是以AP为腰的等腰三角形时，请直接写出满足条件的点F的坐标． 【答案】(1)，， (2)点E的坐标为或 (3)点F的坐标为或或或 【分析】(1)把点代入，即可求得，把点代入，即可求得，联立两函数解析式得，，解此方程组，即可求得点P的坐标； (2)分两种情况，即当或时，根据点P的坐标及勾股定理，即可分别求得； (3)分两种情况，即当或时，根据勾股定理及两点间距离公式，即可分别求得． 【详解】（1）解：∵直线交y轴于点， ，则， ∴， ∵直线交x轴于点， ，则， ， 解方程组， 得， ∴； （2）解：如图，当时， ， ， 当时，， 设点， 如图，直线为与x轴交于点A， ， 则， 由（1）知，， ， 解得， ， 综上，以A，P，E为顶点的三角形是直角三角形时，点E的坐标为或； （3）解：如图： 设 ， ∴ 由题意知 当时，即，即 ， ∴或， 当时，即， 过点P作轴于H点，则 在中， ∴或 ∴或 所以综上：当以A、P、F为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形时，点F的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，求一次函数的解析式，勾股定理及两点间距离公式，采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 7．如图，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，，是直线上的一个动点（点A与C不重合）． (1)求直线BC的解析式． (2)试写出△AOC的面积S与a的函数关系式． (3)①当点A在第一象限且△AOC的面积是2时，求A点的坐标． ②在①的条件下，y轴上是否存在一点M，使△MOA是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的所有M点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)① ；②存在；所有M点坐标为，，， 【分析】（1）先求出B、C的坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）分a＞0和a＜0两种情况讨论求解即可； （3）①根据（2）所求把S=2代入求解即可；②先求出，设点M的坐标为（0，m），然后分OA=OM时，则，当OA=AM时，，当AM=OM时，三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，． 把，代入，得， 解得， ∴直线解析式为． （2）当时， ∵， ∴． 当时， ∵， ∴， ∴． （3）解：①当，且点在第一象限时，， ∴， ∴A点坐标为． ②∵点A的坐标为（2，2）， ∴， 设点M的坐标为（0，m）， 当OA=OM时，则， ∴，， 当OA=AM时，， 解得或（舍去）， ∴； 当AM=OM时，， 解得， ∴． 综上所述存在M点坐标为，，，使△MOA是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，待定系数法求一次函数解析式，等腰三角形的定义，勾股定理，熟知相关知识是解题的关键． 8．如图1，在平面直角坐标系中，直线与过点和，与互相垂直，且相交于点，D为x轴上一动点． (1)求直线与直线的函数表达式； (2)如图2，当D在x轴负半轴上运动时，若△BCD的面积为8，求D点的坐标； (3)如图3，过D作x轴垂线，与于点M．在x轴正半轴上是否存在点D使△BOM为等腰三角形？若存在，请直接写出D点坐标． 【答案】(1)直线的解析式为，直线的解析式为； (2)（-6，0） (3)当D点坐标为（4，0）或（，0）或（5，0）时，△BOM是等腰三角形 【分析】（1）先利用待定系数法求出直线的解析式，从而求出点C的坐标，设直线的解析式为，直线与y轴交于点E，可以得到点E的坐标为（0，），，然后勾股与互相垂直，利用勾股定理求解即可； （2）设点D的坐标为（m，0），根据进行求解即可； （3）设点D的坐标为（n，0），则点M的坐标为（n，），则，，然后分当OB=OM，△BOM是等腰三角形时，当OB=BM，△BOM是等腰三角形时，当OM=BM，△BOM是等腰三角形时，三种情讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，直线与过点和， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∴当时，， ∴点C的坐标为（2，4）， 设直线的解析式为，直线与y轴交于点E， ∴点E的坐标为（0，），， ∴，， ∵与互相垂直， ∴∠BCE=90°， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； （2）解：设点D的坐标为（m，0）， ∴OD=-m， ∵点A（10，0）， ∴OA=10， ∴AD=10-m， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D的坐标为（-6，0）； （3）解：设点D的坐标为（n，0），则点M的坐标为（n，）， ∴，， ∵点B的坐标为（0，5）， ∴OB=5， 当OB=OM，△BOM是等腰三角形时， ∴， 解得或（舍去）， ∴点D的坐标为（4，0）； 当OB=BM，△BOM是等腰三角形时， ∴， 解得或（舍去）， ∴点D的坐标为（，0）； 当OM=BM，△BOM是等腰三角形时， ∴， 解得， ∴点D的坐标为（5，0）； 综上所述，当D点坐标为（4，0）或（，0）或（5，0）时，△BOM是等腰三角形； 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，等腰三角形的定义等等，熟知相关知识利用数形结合和分类讨论的思想求解是解题的关键． 9．综合与探究 如图①，在平面直角坐标系中，点，且a，b满足，点C在x轴正半轴上，．动点P从点B出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向点C运动，运动到点C停止，设点P的运动时间为t秒，连接，过点C作的垂线交射线于点M，交y轴于点N． (1)点A的坐标为______，点B的坐标为______； (2)当点P在线段上时，如图②所示，求线段的长度（用含t的式子表示）； (3)若，则t的值为______； (4)若，是否存在以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)4或8 (4)存在，点P的坐标为或 【分析】本题是三角形综合题，考查了非负性，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）根据非负数的性质可得和的值，确定点和的坐标； （2）先求得点C的坐标，证明，根据全等三角形的性质即可得出结论； （3）分两种情况，列出方程可求出答案； （4）分两种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解． 【详解】（1）解：， ，， ，， ，； 故答案为：，； （2）解：由（1）知，，， ，， ， ， ， 当点在线段上时，即时， 如图1，由运动知，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3）解：当点在线段上时， ， ； 当点在轴正半轴时，即， 如图2，由运动知，， ， 同（2）的方法得，， ， ， 即时，的值为4或8； 故答案为：4或8； （4）解：，，点， ，，， 当时，， ，点； 当时， 又， ， ， ，点， 综上所述：点P的坐标为或． 1．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示的方向移动，并且每次移动1个单位长度，依次得到点，，，，，，…，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平面直角坐标下点的规律探究．根据点的坐标抽象概括出相关规律是解题的关键． 通过点的坐标可以得到，，即可得到 ，再往下移动一个点即为． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴往下移动一个点即为 故选：D． 2．如图，在平面直角坐标系中，动点A从出发，向上运动1个单位长度到达点，分裂为两个点，分别向左、右运动到点，，此时称动点A完成第一次跳跃，再分别从C，D点出发，每个点重复上面的运动，到达点，，，此时称动点A完成第二次跳跃，按此规律跳跃下去，动点A完成第2024次跳跃时，最右边一个点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点坐标规律的探索．根据题意寻找变化规律是解题关键．根据题意找到点坐标变化的规律即可． 【详解】解：由题意可得，， 每完成一次跳跃，最右边一个点的纵坐标增加2，到达点的横坐标增加1， 则动点A完成第2024次跳跃时，最右边一个点纵坐标为， 横坐标为． 故选：C． 3．如图，在平面直角坐标系中，动点按图中箭头所示方向从原点出发，第次运动到点，第次接着运动到点，第次接着运动到点，第次接着运动到点，按这样的运动规律，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标的规律变化，找出规律是关键，根据题意，点的横坐标为（是正整数），纵坐标的变化规律是，每次一循环，由此即可求解． 【详解】解：第次运动到点， 第次接着运动到点， 第次接着运动到点， 第次接着运动到点， ∴横坐标的变化规律是：第次的横坐标为（是正整数）， 纵坐标的变化规律是：，每次一循环， ∴点的横坐标是， ∵， ∴纵坐标为：， ∴， 故选：A ． 4．如图，在平面直角坐标系中有一点，将点A向左平移5个单位再向上平移5个单位得到点B，直线l过点A、B，交x轴于点C，交y轴于点D．通过研究发现直线l上所有点的横坐标x与纵坐标y都是二元一次方程的解． 例如：若点E在直线上，横坐标，则其纵坐标为； 若点F在直线上，纵坐标，则其横坐标为． (1)直接写出点B，C，D的坐标：B______，C______，D______； (2)求； (3)若点是直线l上的一个动点，当时．求出a的值，并写出P点的坐标． 【答案】(1)，， (2) (3)当时，；当时， 【分析】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化—平移，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据平移的性质，得，再根据直线l上所有点的横坐标x与纵坐标y都是二元一次方程的解，分别求出时，y的值和时，x的值即可得到答案； （2）连接，，根据列式求解即可； （3）依题意，点，分点P在线段上、点P在点B的左侧、点P在点A的右侧三种情况，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案． 【详解】（1）解：点向左平移5个单位再向上平移5个单位得到点B， ∴，即 ∵直线l上所有点的横坐标x与纵坐标y都是二元一次方程的解， ∴当时，，即， 当时，，即， 故答案为：，，； （2）解：如图，连接，， 由（1）得，，， ∴， ∵ ∴； （3）解： 如图，当点P在线段上时， 由（2）得 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点 当点P在点B的左侧时， ∵，且 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点 当点P在点A的右侧时，得 ∴点P在点A的右侧不符合题意； 综上所述， 当时，；当时，． 5．已知点，轴，垂足为，将线段平移至线段，点，其中点与点对应，点与点对应，、满足． (1)直接写出、、三点的坐标________，________，________； (2)如图1，若点在线段上，证明：； (3)如图2，连接，动点从点开始在轴上以每秒2个单位的速度向左运动，同时点从点开始在轴上以每秒1个单位的速度向下运动，若经过秒，三角形的面积是三角形的面积的2倍，试求的值及点的坐标． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3)当时，；当时， 【分析】本题考查坐标与图形变化平移，非负数的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． （1）利用非负数的性质求出，的值，可得结论A，B的坐标，结合平移的性质即可求得点C的坐标； （2）连接，根据的面积的面积的面积，构建关系式，可得结论； （3）分两种情形：①当点在线段上，②当点在的延长线上时，分别利用面积关系，构建方程，可得结论． 【详解】（1）解：① ， 又，， ，， ，， ，， 点A与点对应，点与点对应， 点的横坐标为，纵坐标为， ∴； （2）证明：如图，连接． ∵， ∴， ∴， （3）解：∵动点从点开始在轴上以每秒2个单位的速度向左运动，同时点从点开始在轴上以每秒1个单位的速度向下运动． ①当点在线段上时，，， ∵三角形与三角形面积的2倍， ∴ 解得：，此时； ②当点在的延长线上时，，， ∵三角形与三角形面积的2倍， ∴ 解得；此时； 综上所述，当时，； 当时，． 综上，当时，；当时，． 6．如图1所示，在平面直角坐标系中，，其中、满足关系式，平移使点与点重合，点的对应点为点． (1)直接写出两点的坐标； (2)如图2，以、为邻边作长方形，且点在第一象限，连接，点在长方形的边上沿的路线运动，且的面积为4，直接写出点的坐标； (3)如图3，过点作轴交轴于点，为轴上原点0左侧的一个动点，连接、平分，平分，当点运动时，的值是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出其值． 【答案】(1) (2)E点坐标为 (3)当点Q运动时，的值不变，且等于 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标，平行线的性质，角平分线的定义， （1）根据算术平方根，完全平方数的非负性可得，即可求出答案； （2）分四种情况：点E在上时，根据三角形面积公式计算可得答案； （3）根据平行线的性质得，再根据角平分线定义得，然后根据，可得，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得， ∴点． ∵点，且点A与点B重合，点C的对应点是点D， ∴点D的坐标为，即； （2）解：点E的坐标为或或或； ∵点， ∴点， ∴． 当点E在上时， ， 解得， ∴点； 当点E在上时， ， 解得， ∴， ∴点； 当点E在上时， ， 解得， ∴， ∴点； 当点E在上时， ， 解得， ∴点． 所以点E的坐标为或或或； （3）解：不变， ∵轴， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， 则， ∴． 7．如图，在平面直角坐标系中，，，将线段沿x轴向右平移12个单位长度得到线段，点P 为射线上一动点． (1)点C 的坐标为_________，点D 的坐标为________； (2)如图①，点M是线段上一点（不与点C，D重合），当点P 在射线上运动时（点P不与点D重合），连接之间有怎样的数量关系？ 请说明理由； (3)如图②，点N是y轴上任意一点，连接，若，三角形的面积等于三角形的面积，求点 P 的坐标． 【答案】(1)， (2)或，理由见解析 (3)或或 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，坐标系中的几何面积关系，注意分类讨论是解题的关键． （1）根据坐标平移的规律，即可解答； （2）根据点P为射线上一动点，当点P在点D右边时，当点P在点D左边时，利用平行线的性质进行解答即可； （3）根据点N在y轴正半轴或负半轴两种情况，再考虑点P在点A左边或者右边，利用的面积等于的面积列方程即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得：，，将线段沿x轴向右平移12个单位长度得到线段， ∴，， 故答案为：，； （2）解：当点P在点D右边时，如图，过点M作， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 当点P在点D左边时， 同理可得， ∴， 即， ∴或； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ①点P在点A右边，N在正半轴时， 可得， 设，则， ∴， ∴， ∴； N在负半轴时，点C在的下方时， 可得， 设， ∴， ∴， ∴； ②点P在点D右边，点C在的上方时如图，连接， 可得， 设， ∴， ∴， ∴， 综上，P点的坐标为或或． 8．如图，一次函数的图象经过点A（4，0）和点D（2，1.5），与y轴交于点B，将△AOB沿直线CD对折，使点A与点B重合，直线CD与x轴交于点C，与AB交于点D． (1)求一次函数解析式； (2)求DC的长； (3)点P是x轴上一动点，若△PAB是等腰三角形，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)y= x+3 (2)DC的长为 (3)P点坐标为（，0）或（−1，0）或（9，0）或（−4，0）． 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）设点C的坐标为（c，0），可得OC＝c，BC＝AC＝4−c，在Rt△BOC中，用勾股定理列方程求出c的值，再用两点间距离公式求解即可； （3）求出AB＝5，然后分PA＝PB，PA＝AB和PB＝AB三种情形分别求解即可解决问题． 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为y＝kx＋b， ∵点A（4，0），D（2，1.5）在一次函数图象上， ∴，解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）由（1）知，一次函数的解析式为， 令x＝0，则y＝3， ∴B（0，3）， ∴OB＝3， 由折叠知，BC＝AC， 设点C的坐标为（c，0）， ∴OC＝c，BC＝AC＝4−c， 在Rt△BOC中，根据勾股定理得，， ∴， ∴c＝， ∴C（，0）， ∵D（2，1.5）， ∴DC＝； （3）∵A（4，0），B（0，3）， ∴AB＝， 当PA＝PB时，点P与点C重合，此时P（，0）； 当PA＝AB＝5时，∵A（4，0）， ∴P（−1，0）或（9，0）； 当PB＝AB时，可得PO＝AO＝4， ∴P（−4，0）， 综上所述，若△PAB是等腰三角形，P点坐标为（，0）或（−1，0）或（9，0）或（−4，0）． 【点睛】此题是一次函数的综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理，翻折的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $