专题01 空间向量与立体几何（8大考点48题）（期中真题汇编，湖南专用）高二数学上学期

专题01 空间向量与立体几何 8大高频考点概览 考点01 空间向量线性运算及基本定理 考点02 空间向量的数量积运算 考点03 空间向量的坐标运算 考点04 异面直线夹角的向量求法 考点05 线面角的向量求法 考点06 面面角的向量求法 考点07 空间距离的向量求法 考点08 （附加）空间几何体的表面积与体积 地 城 考点01 空间向量线性运算及基本定理 一、单选题 1．(24-25高二上·湖南浏阳·期中)已知非零向量，，且、、不共面，若，则（   ） A． B． C．8 D．13 【答案】B 【分析】根据题意可得存在，使得，进而列式求解即可. 【详解】因为，则存在，使得， 即， 则，解得，， 所以. 故选：B. 2．(24-25高二上·湖南湖湘教育三新探索协作体·期中)下列说法错误的是（    ） A．若空间中点，，，满足，则A，，三点共线 B．对空间任意一点和不共线三点，，，若，则，，，共面 C．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 D．，，若，则与的夹角为锐角 【答案】D 【分析】对于A：根据三点共线的结论分析判断；对于B：根据四点共面的结论分析判断； 对于C：根据共面向量的定义分析判断；对于D：举反例说明即可. 【详解】对于选项A：因为，且， 所以，，三点共线，故A正确； 对于选项B：因为， 可得，且， 所以，，，共面，故B正确； 对于选项C：若共线，则对任意，均有共面，故C正确； 对于选项D：例如，则，， 可知，即同向，所以与的夹角为，故D错误； 故选：D. 3．(24-25高二上·湖南祁阳第一中学·月考)下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的加法运算可判断A，根据向量的减法以及相反向量可判断B，根据共线向量的定义可判断C，向量的模长相等不一定能推出向量共线，即可判断D. 【详解】对于A，对于空间中的任意向量，都有，不能说明三点共线，说法A错误； 对于B，若，则，而，据此可知，即，两点重合，选项B错误； 对于C，，则、、三点共线，选项C正确； 对于D，，则线段的长度与线段的长度相等，不一定有、、三点共线，选项D错误； 故选：C. 4．(24-25高二上·湖南邵阳新邵县第二中学·期中)如图，平行六面体中，AC与BD交于点M，设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量的加法、减法法则化简可得结果. 【详解】. 故选：D. 5．(23-24高二上·湖南长沙长沙县第二中学·期中)我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥是阳马，平面ABCD，且，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量的线性运算法则计算即可． 【详解】，， 故选：D 6．(24-25高二上·湖南永州祁阳县第四中学·期中)如图，在三棱锥中，为OA的中点，点在BC上，满足，记分别为，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的线性运算的几何表示进行求解即可. 【详解】在三棱锥中， ，E为OA的中点， ，，， 所以. 故选：D. 地 城 考点02 空间向量的数量积运算 一、单选题 7．(24-25高二上·湖南名校联合体·月考)已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量数量积的坐标运算求值即可. 【详解】因为. 故选：B 8．(23-24高二上·湖南部分校联考·期中)如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面是正方形，，，且，则向量的模长为（    ） A． B．34 C．52 D． 【答案】D 【分析】由，结合向量数量积的运算律求向量的模长. 【详解】由，又底面是正方形，，且， 所以， 故. 故选：D 9．(23-24高二上·湖南三湘名校教育联盟·期中)已知正方体的棱长为2，球是正方体的内切球，点是内切球表面上的一个动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，取中点为，则，再结合向量的运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】 取中点为，因为，， 所以， 又，则， 又正方体的棱长为2，则正方体的内切球半径为1，则，， 所以， 所以， 所以当，反向时，，有最小值为； 当，同向时，，有最大值为. 故选：D. 二、填空题 10．(24-25高二上·湖南永州祁阳县第四中学·期中)已知向量与的夹角为，则在方向上的投影向量的模为 ． 【答案】 【分析】根据空间向量数量积的运算律，结合向量投影的定义计算即可. 【详解】由，得，则， 所以， 所以在方向上的投影向量的模为， 故答案为：. 地 城 考点03 空间向量的坐标运算 一、单选题 11．(24-25高二上·湖南长沙芙蓉高级中学·期中)若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量的减法运算求解. 【详解】因为， 所以， 故选：A 12．(24-25高二上·湖南邵阳新邵县第二中学·期中)已知，，且，则实数t的值为（   ） A． B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据空间向量垂直的坐标运算即可求解. 【详解】根据可得，解得， 故选：B 13．(24-25高二上·湖南邵阳新邵县第二中学·期中)已知空间向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量数量积的坐标表示可得，进而求解. 【详解】由题意知，， 所以，则. 故选：A 二、多选题 14．(23-24高二上·湖南湖湘教育三新探索协作体·期中)已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（    ） A．与是共线向量 B．与同向的单位向量是 C．在方向上的投影向量是 D．与的夹角为 【答案】BC 【分析】根据共线向量的定义判断A，结合单位向量和共线向量的定义判断B，根据投影向量的定义判断C，根据向量垂直的坐标关系判断D. 【详解】已知空间中三个向量，， 对于A选项，因为，故、不共线，A错； 对于B选项，与同向的单位向量是，B对； 对于C选项，在方向上的投影向量是， 所以在方向上的投影向量是，C对； 对于D选项，因为， 则、不垂直，D错. 故选：BC. 15．(24-25高二上·湖南邵阳新邵县第三中学·期中)已知，，，，则下列说法正确的有（   ） A．与夹角的余弦为 B．的面积为 C．平面的一个法向量 D．四面体的体积为 【答案】ACD 【分析】由空间向量夹角坐标表示求夹角余弦值判断A； 由A结合正弦定理形式面积公式即可求三角形面积判断B； 求平面的一个法向量，即可判断判断C； 向量法求到面的距离，再由棱锥的体积公式求体积判断D. 【详解】对于A： ， 则 ，A正确； 对于B： 由 A 知：，B错误； 对于C： 若是平面的一个法向量， 则， 令，则， 有为平面的一个法向量 ，C正确； 对于D：，则到面的距离， 所以四面体的体积为，D正确. 故选： ACD. 地 城 考点04 异面直线夹角的向量求法 一、单选题 16．(24-25高二上·湖南湖湘教育三新探索协作体·期中)在长方体中，已知，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】如图建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 所以，，， 所以直线与所成角的余弦值为. 故选：C 17．(24-25高二上·湖南部分学校·期中)刍甍是中国古代算数中的一种几何体，是底面为矩形的屋脊状的楔体.现有一个刍甍如图所示，底面 BCDE为矩形，平面BCDE，和是全等的正三角形，，，，则异面直线AE与BD所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用基向量表示和，再利用异面直线所成角的向量公式即可求解. 【详解】依题意得，， 所以 ， 又，， 所以设异面直线AE与BD所成的角为， 则 故选：A. 二、填空题 18．(23-24高二上·湖南衡阳衡阳县第四中学·期中)如图，圆锥的底面直径，高，D为底面圆周上的一点，，则直线AD与BC所成角的大小为 . 【答案】 【分析】取的中点E，以O为原点，建立空间直角坐标系，利用线线角的向量求法求解即得. 【详解】取的中点E，连接OE，以O为原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图， 依题意，，则， 设直线AD与BC所成的角为， 则，解得， 所以直线AD与BC所成的角为. 故答案为： 地 城 考点05 线面角的向量求法 一、多选题 19．(23-24高二上·湖南长沙雅礼中学·期中)如图，在正四棱柱中，，点P为线段上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．直线平面 B．三棱锥的体积为 C．三棱锥外接球的表面积为 D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 【答案】ACD 【分析】先证明平面平面，再根据面面平行得线面平行可判断A，用等体积法判断B，求外接球表面积判断C，利用空间向量先表示出直线与平面所成角的正弦值，进而求得最大值，即可判断D. 【详解】对于A，由长方体的性质得，， 因为平面，平面，所以平面， 同理，平面，平面，所以平面， 又，且平面，平面， 所以平面平面， 又平面，从而直线平面，故A正确； 对于B，由A知，平面平面，点在平面上，所以，故B错误； 对于C，三棱锥外接球的半径， 所以三棱锥外接球的表面积为，故C正确； 对于D，以为坐标原点，分别以，，所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，则， 设，则，即，， 可得面的一个法向量，设直线与平面所成角为， 则， 故，有最大值为，故D正确. 故选：ACD. 二、解答题 20．(23-24高二上·湖南常德汉寿县第五中学·期中)如图，棱锥的底面是矩形，平面，，.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面夹角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）由矩形性质以及勾股定理，利用线面垂直的判定定理即可得出证明； （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系利用空间向量即可求出直线与平面夹角的正弦值为. 【详解】（1）根据题意，由底面是矩形，且，可知； 即，所以可得底面是正方形，可得； 由平面，平面可知； 又平面，， 所以平面； （2）由题意知两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：    则，所以， 设平面的一个法向量为，易知 可得，解得，令，则， 所以； 设直线与平面的夹角为， 则， 即直线与平面夹角的正弦值为. 21．(23-24高二上·湖南湖湘教育三新探索协作体·期中)如图，和所在平面互相垂直，且，，为的中点．    (1)证明：； (2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【分析】(1) 取中点，连接，，用线面垂直的判定定理即可证得； (2) 为原点，，，为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，代入公式即可求得的值. 【详解】（1）取中点，连接，，    易得，得，所以． 又∵，∴，又∵，又因为平面，平面∴平面∴． （2）过点作于点，连接， ∵平面平面，平面平面，， ∴平面，由，可得， ∴，，两两垂直．以为原点，，，为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系．    设，则，，，，，∴，， 设为平面的法向量，得，得， 令，得 ，， 化简得解得或 22．(23-24高二上·湖南名校联合体·期中)如图，在四棱锥中，底面为矩形，，， 点为棱上的点，且.    (1)证明：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）运用线面垂直的判定定理和性质定理即可证明； （2）利用证明线面垂直，建立空间直角坐标系，分别求得相关点的坐标， 计算直线的方向向量和平面的法向量，运用空间向量线面夹角公式即可求得. 【详解】（1）由为矩形可知：，又因为，， ，平面，所以平面，又， 所以面，又面，故. （2）由（1）可知，，，所以，在中， ，所以； 又，，，面，所以面； 故以点为坐标原点，建立空间直角坐标系（如图）.    则，，，，， 又在中，，则，，，. 设面的法向量，则即故， 设直线与面所成角为，则. 故直线与平面所成角的正弦值为： 23．(23-24高二上·湖南部分校联考·期中)如图，四面体中，，，，E为的中点. (1)证明：平面平面； (2)，，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）由等腰三角形性质有、，根据线面垂直的判定证平面，再由面面垂直的判定证结论； （2）由（1）有平面，根据已知证，构建空间直角坐标系，应用向量法求线面角正弦值. 【详解】（1）由，为的中点，所以； 由，为的中点，所以； 又，平面，，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）连接，由（1）知平面，平面，所以， 所以，当时最小，即的面积最小. 因为，所以，又，所以是等边三角形， 因为为的中点，所以，， 因为，所以，在中，所以. 以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，所以，， 设平面的一个法向量为，则，取，则， 又，，所以， 所以， 设与平面所成角为，所以， 所以与平面所成的角的正弦值为. 24．(24-25高二上·湖南长沙长郡中学·期中)如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且的边长为，点在母线上，且. (1)求证：直线平面； (2)若点为线段上的动点，当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设，连接，即可得到为中点，证明，即可得证； （2）以为坐标原点，方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法求出直线与平面所成角的正弦值最大值，再由向量法求出点到平面的距离. 【详解】（1）设，连接， 为底面圆的内接正三角形，，为中点， ， 又. ，且. 平面平面，， 平面平面，平面. （2）为中点， 又，为中点，，， ，则， 以为坐标原点，方向为轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系， 则， ， 设. 设平面的法向量， 则令，解得， 设直线与平面所成夹角为， ， 令，则， ， 当，即时，， ， 此时， 点到平面的距离. 25．(24-25高二上·湖南长沙湖南师范大学附属中学·期中)如图，已知四棱锥中，平面，，，是边长为的正三角形，点在平面内的投影恰好是的中心. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）推导出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）推导出，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以，， 因为，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以，平面平面. （2）解：如图，连接、、， 因为点在平面内的投影恰好是的中心， 且是边长为的正三角形，所以，三棱锥为正三棱锥， 因为为等腰直角三角形，则， 取的中点，连接，则， 因为，，，所以，， 所以，四边形是矩形，则， 又因为，则， 因为平面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、， 所以，， 设平面的法向量为，，， 则，取，则， 又，设直线与平面所成角为， 则. 故直线与平面所成角的正弦值为. 地 城 考点06 面面角的向量求法 一、解答题 26．(23-24高二上·湖南常德部分学校·)如图，在正四棱柱中，，E为的中点.    (1)证明：平面. (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）以A为坐标原点，AB，AD，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量和，再通过计算可证得结论； （2）求出平面的法向量，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）证明：在正四棱柱中，以A为坐标原点，AB，AD，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.    设，因为，E为的中点， 所以，，，，，. 所以，，， 设平面的法向量为，则，令，得. 因为，中平面， 所以平面. （2）解：，. 设平面的法向量为，则，令，得. 所以. 故平面与平面ACE夹角的余弦值为. 27．(23-24高二上·湖南部分校联考·期中)在直三棱柱中，D，E分别是，的中点. (1)求证：平面； (2)，，，求二面角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接交于于，连接，证明四边形是平行四边形，可得即可证得. （2）法一：建立空间坐标系，求出平面与平面的法向量，求得二面角的余弦值，结合三角函数关系式，即可其正切值. 法二:利用勾股定理和直线和平面垂直的性质可证得与，从而得到二面角的平面角是，在中，即可求出，从而得出答案. 【详解】（1）连接交于于，连接， 因为E，F是中点，所以，且， 又因为是的中点，所以有，且， 所以，且，因此四边形是平行四边形， 所以，又因为平面，平面，所以平面； . （2）法一：（建系）因为三棱柱为直三棱柱，所以，， 因为，所以 以为原点，分别以、、为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 所以，，，则，， 设平面的一个法向量为，所以，得， 令，则，所以， 而平面的一个法向量为， 则，设二面角的大小为，则为锐角， 所以，因此， 所以. 故二面角的正切值为. 法二：因为，，， 所以，，同理可得， 因此，即，又，，， 则，所以，所以是二面角的平面角， 因为，，平面， 所以平面，而平面， 因此，因为平面，而平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 而平面，所以，所以为直角三角形， 因为，，所以. 故二面角的正切值为. 28．(23-24高二上·湖南长沙雅礼中学·期中)如图，在梯形中，，，，将沿边翻折，使点翻折到点，且． (1)证明：平面； (2)若为线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直判定定理去证明平面； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法去求平面与平面夹角的余弦值． 【详解】（1）等腰梯形中，，，， 则， 则，∴， 又由，可知， 又，平面，平面， 故平面. （2）过点作平面，以为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 则，， 设面法向量为， 则，则， 令，则，，则， 又面一个法向量为， 所以， 故平面与平面夹角的余弦值为. 29．(23-24高二上·湖南三湘名校教育联盟·期中)如图，四棱锥的底面是平行四边形，，，点在平面内的投影是的中点，是的中点. (1)证明：平面； (2)若，求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）根据题意，取的中点，连接，，结合线面平行的判定定理，即可得到结果； （2）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）证明：取的中点，连接，， ∵四边形为平行四边形，∴， ∵为中点，∴，且， ∵为中点，为中点， ∴为的中位线，∴，且， 即，且， 故四边形是平行四边形，∴， 又平面，平面， ∴平面； （2）取中点，连接，∵点在平面内的投影为， ∴平面. ∵， ∴， ∵，则， 由于，，两两垂直，则可以点为坐标原点建系，以为轴，为轴，为轴， 则有，，，，，， 则，，， 设平面的法向量为， 则即 令，则，，故， 设平面的法向量为， 则即 令，则，，故， ， 设二面角的平面角为，则. 故二面角的正弦值为. 30．(23-24高二上·湖南长沙长沙县第二中学·期中)如图，在正三棱柱中，，点D，E，F分别在棱，，上，，为中点，连接    (1)证明：平面 (2)点P在棱上，当二面角为时，求EP的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取中点，连接，，即可得到，，从而得到四边形为平行四边形，则，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，设，分别求出平面的法向量为和平面的法向量为，利用，求出a的值，即可求出结果． 【详解】（1）取中点，连接，， 又为中点，所以为梯形的中位线， 所以，， 又，故，且， 故四边形为平行四边形，则， 因为平面，平面， 故平面 （2）以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示：    则，，，设， 可得，，， 设平面的法向量为，平面的法向量为， 则有，即， 取，则，，得， 又，即， 取，则，，得， 由二面角为，得， 即，解得， 故 31．(24-25高二上·湖南长沙明德中学·期中)如图，直角梯形中，分别为边的中点，将沿边折起到的位置，为边的中点.    (1)证明：平面； (2)当为等边三角形时，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过作辅助线构造平行四边形，利用线线平行证明线面平行. （2）通过证明线面垂直建立空间直角坐标系，求两平面的法向量，利用平面夹角的公式可求解. 【详解】（1）    如图，取的中点，的中点，连接. 由题意知，， 直角梯形中，四边形为正方形， 为的中点， ， 四边形为平行四边形，， 平面，平面， 平面. （2）连接，则， ，面， 平面， 面，， ∵平面，平面，， ∴平面， 以为原点建立如图所示空间直角坐标系，    则， ∴， 由题意得，平面的法向量为. 设为平面的法向量， 则，即， 令，则，故. 设平面与平面的夹角为，由题可知为锐角， ， 平面与平面的夹角的余弦值为. 32．(24-25高二上·湖南湖湘教育三新探索协作体·期中)如图，在梯形中，，，，将沿边翻折，使点翻折到点，且，点为线段靠近点的三等分点.    (1)证明：； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）利用线面垂直判定定理去证明平面，即可得结果； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法去求平面与平面夹角的余弦值． 【详解】（1）过作，垂足为， 在等腰梯形中，，，，    可知，所以， 故， 可得， 则，即， 又因为，则， 且，平面，平面，可得平面， 由平面，所以. （2）因为平面，平面，则平面平面， 过点作平面，则平面， 以为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，    则，，，， 则，，， 设平面法向量为， 则， 令，则，， 可得为平面的一个法向量， 设平面法向量为， 则， 令，则，， 可得为平面的一个法向量， 所以， 故平面与平面夹角的余弦值为. 33．(24-25高二上·湖南祁阳第一中学·月考)如图，四棱锥的底面为菱形，，为的中点，.    (1)证明：平面平面； (2)若，，求平面与平面夹角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）作辅助线，根据菱形的特征得到线面垂直，即可得到面面垂直； （2）建立空间直角坐标系，分别求出两个面的法向量，根据夹角的余弦公式可求得结果. 【详解】（1）证明：连接，   底面为菱形，且，为的中点， ，为等边三角形，故， ，， 又，，平面，平面， 又平面，平面平面； （2）过作于点，由（1）得平面平面， 因为平面平面，平面， 平面， 由，，得，，， 又，，， 根据，得，则， ，以，分别为轴，轴，过作的平行线为轴， 建立如图空间直角坐标系，    故，，，， ，，， 设平面的一个法向量， 则，即， 令，则， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则， 则，， 所以平面与平面夹角的正切值为. 34．(24-25高二上·湖南永州第一中学·期中)如图，在三棱柱中，，，，在底面ABC的射影为BC的中点，D是的中点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明； （2）建立空间直角坐标系，用空间向量的坐标运算求面面夹角的余弦值. 【详解】（1）取BC的中点，连接，， ，D是的中点.， ，， 因为在底面ABC的射影为BC的中点，所以平面ABC， 又平面平面，所以平面， 又面，所以， 因为，平面，所以平面； （2）如图，以O为坐标原点，以OA、OB、所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系， 则，， 则，，，， ，，，. 设平面的法向量为， 则，得，取，得， 因为平面，所以即为平面的一个法向量， 则，所以平面与平面的所成角的余弦值为. 35．(24-25高二上·湖南部分学校·期中)如图，在四棱台中，底面ABCD是正方形，，平面 (1)证明：平面 (2)求直线与平面所成角的正弦值. (3)棱BC上是否存在一点P，使得二面角的余弦值为若存在，求线段BP的长;若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）由线面垂直得到，结合证明出结论； （2）证明出AB，AD，两两垂直，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的空间向量公式进行求解即可. （3）设点，其中，求出两平面的法向量，列出方程，求出，得到答案. 【详解】（1）因为底面ABCD是正方形，所以 又因为平面ABCD，平面ABCD，所以 因为，且，平面， 所以平面 （2）因为平面，平面， 所以，， 又底面ABCD是正方形，，故AB，AD，两两垂直， 以AB，AD，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，解得，令，则， 故 设直线与平面所成的角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为 （3）若存在点P满足题意，则可设点，其中， 则， 设平面的法向量为， 则， 令，则，故 易得平面的一个法向量为， 所以，解得或舍去， 故棱BC上存在一点P，当时，二面角的余弦值为 地 城 考点07 空间距离的向量求法 一、单选题 36．(24-25高二上·湖南祁阳第一中学·月考)如图，在正方体中，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量法求点面距离或者用等体积法可求得结果. 【详解】法1：以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， ，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 所以平面的法向量为， 则点到平面的距离为； 法2：点到平面的距离与点到平面的距离相等， ， ， 解得； 所以点到平面的距离为. 故选：C. 二、多选题 37．(24-25高二上·湖南名校·期中)如图，在直三棱柱中，分别为棱的中点，则（    ）    A． B．平面 C． D．点到平面的距离为 【答案】BC 【分析】由题意建立空间直角坐标系，利用向量法表示出线段的方向向量和平面的法向量，根据向量的数量积判断线线垂直、线面平行，再利用向量方法计算点到平面的距离，依次判断选项正误. 【详解】如图所示，      设是棱的中点，连接OC， 因为，所以且， 以为原点，直线，分别为轴， 过作的平行线为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， ， 对于选项A，因为， 所以CN与不垂直，故A错误； 对于选项B，设平面的一个法向量为， 则，即，所以取， 因为平面， 所以MN平面，故B正确； 对于选项C，，故C正确； 对于选项D，设平面的法向量为， 则，可取， 所以点到平面的距离为，故D错误. 故选：BC. 地 城 考点08 （附加）空间几何体的表面积与体积 一、单选题 38．(23-24高二上·湖南长沙长沙县第二中学·期中)已知圆锥的侧面积是，其侧面展开图是顶角为的扇形，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆锥的侧面积公式以及弧长公式可得，，即可由体积公式求解. 【详解】设圆锥母线长为a，底面半径为r，侧面积是，则，有 侧面展开图顶角为，有，解得，， 则圆锥的高， 故， 故选：C 39．(24-25高二上·湖南名校·期中)已知正四面体的棱长为3，点在棱上，且，若点都在球的球面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，连接，在线段上取点，使得，连接，点为等边的中心，同时可得点即为球心，进而可求表面积. 【详解】如图，取的中点，连接，在线段上取点，使得，连接.    在中，.易知点为等边的中心， 所以. 易知，所以. 所以，点即为球心，球的半径为， 表面积为. 故选：D. 40．(24-25高二上·湖南湖湘教育三新探索协作体·期中)如图所示，在直四棱柱中，底面为菱形，，，动点在体对角线上，直线与平面所成角的最小值为，则直四棱柱的体积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，可证平面，可知直线与平面所成角为， 分析可知当点与点重合时，取到最大值，即可得，即可得体积. 【详解】设，    因为底面为菱形，则， 又因为底面，底面，则， 且，平面，则平面， 可知直线与平面所成角为， 则，可得， 因为，可知当点与点重合时，取到最大值， 则， 所以直四棱柱的体积为. 故选：D. 二、填空题 41．(23-24高二上·湖南三湘名校教育联盟·期中)已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，，，，则此球的体积为 . 【答案】 【分析】先根据两边和夹角得到底面为直角三角形，再由直三棱柱得到球心位置和三棱柱的高，最后求出外接球的半径和体积即可. 【详解】因为，，， 所以，所以， 所以是直角三角形且为斜边， 又因为三棱锥侧棱垂直于底面，所以该三棱柱是直三棱柱， 如图所示， ， 设，分别是，的中点，是中点，则就是三棱柱外接球球心， 而， 所以，即， 所以， 所以， 故答案为： 三、多选题 42．(24-25高二上·湖南长沙雅礼中学·期中)如图，正方体的棱长为1，E是棱CD上的动点（含端点）.则下列结论正确的是（   ） A．三棱锥的体积为定值 B． C．存在某个点E，使直线与平面ABCD所成角为 D．二面角的平面角的大小为 【答案】BD 【分析】A.根据等体积法的等高等底即可判断；B.结合正方体的性质，由垂影必垂斜即可判断；C.结合正方体的性质即可判断；D.根据二面角的平面角定义即可判断. 【详解】 对于选项A：三棱锥的底面积为定值，高变化，体积不为定值，故选项A不正确； 对于选项B：两点在平面上的射影分别为,即直线在平面上的射影为， 而,根据三垂线定理可得.故选项B正确； 对于选项C：因为平面,直线与平面ABCD所成角为, 当点和点重合时，在平面射影最小， 这时直线与平面ABCD所成角最大值为，故选项C不正确； 对于选项D：二面角即二面角， 因为，，平面，平面， 所以即为二面角的平面角， 在正方形中，，所以二面角的大小为，故选项D正确. 故选：BD. 43．(23-24高二上·湖南湖湘教育三新探索协作体·期中)如图，正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，是其表面上的一个动点，则下列说法正确的是（    ）    A．当在表面上运动时，三棱锥的体积为定值 B．当在线段中点时，平面截正方体所得截面的面积为 C．当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是 D．使直线与平面所成的角为45°的点的轨迹长度为 【答案】BCD 【分析】求出三棱锥的底面积和高即可判断A项；作出截面图形即可判断B项；建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，然后利用向量关系即可确定点坐标满足的关系，从而可求长度的表达式，进而判断C项；分在各个面内讨论，可判断D项. 【详解】选项A：当在表面上运动时，由于的面积不变，点到平面的距离为正方体棱长， 所以三棱锥的体积不变，且，所以A错误； 选项B：由平面在两平行平面上的交线互相平行，取的中点，的中点，的中点， 连接，，，，延长，一定与交于一点， 所以，，，四点共面，同理可证，，，四点共面，    则过点，，作正方体的截面，截面为正六边形，边长为， 设正六边形对角线交点为，则正六边形的面积为，故B正确； 选项C：当在底面上运动，以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，    可得，，，，，，设，，， 则，，， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，，所以， 因为平面，所以，可得， 所以，当时，等号成立，所以C正确； 选项D：因为直线与平面所成的角为45°，由平面，得直线与所成的角为45°， 若点在平面和平面内，因为，，故不成立； 若点在平面内，此时点的轨迹是； 若点在平面内，此时点的轨迹是； 若点在平面时，作平面，如图所示， 因为，所以，又因为，所以，所以， 所以点的轨迹是以点为圆心，以2为半径的四分之一圆，所以点的轨迹的长度为， 综上，点的轨迹的总长度为，所以D正确；    故选：BCD． 44．(24-25高二上·湖南湖湘教育三新探索协作体·期中)如图、在正四棱柱中，点为线段上一动点，，则下列说法正确的是（    ） A．直线平面 B．三棱锥的体积为 C．三棱锥外接球的表面积为 D．存在点使直线与平面所成角为 【答案】BC 【分析】对A，判断不垂直即可；对B，先判断平面平面，再根据等体积计算判断；对C，根据三棱锥外接球即长方体的外接球，再求得表面积即可；对D，先根据等体积法求得到平面的距离，进而可得直线与平面所成角的正弦值判断即可. 【详解】对A，若直线平面，则因为平面，则，矛盾，故A错误； 对B，作辅助线如图，因为，所以四边形为平行四边形， 所以，面，面，故面， 同理得，面，面，故面， 又因为面，面，， 所以平面平面， 又因为P点在平面内， 所以，故B正确； 对于C，三棱锥外接球的半径， 所以三棱锥外接球的表面积为，故C正确； 对D，设到平面的距离为，又， 故，又三棱锥的体积为， 则，解得，设直线与平面所成角为， 则，又，即， 故，即，故不存在使得， 即不存在点使直线与平面所成角为，故D错误. 故选：BC 45．(23-24高二上·湖南常德汉寿县第五中学·期中)如图，正方体的棱长为1，P为侧面（含边界）内的动点，若直线与的夹角为，则下列说法正确的是（    ）    A．点P的运动轨迹的长度为 B．的长度为定值 C．当CP最小时，三棱锥的体积为 D．存在点P，使得直线和平面所成的角为 【答案】AB 【分析】首先建立坐标系，利用坐标表示，求得点的轨迹，即可判断A，再根据几何关系求，并利用等体积公式求三棱锥的体积，即可判断BC，利用线面角的向量公式，即可判断D. 【详解】如图建立空间直角坐标系，，，，， ，， ， 得，即， 所以点的轨迹是以点为圆心，1为半径的圆弧， 对于选项A：因为点为侧面（含边界）内的动点， 所以点的轨迹为圆弧，长度为，故A正确； 对于选项B：如图，连结，因为平面，平面， 所以，，中，所以，故B正确；    对于选项C：点是圆弧外一点，所以的最小值是，此时点是与圆弧的交点， 此时点平面的距离为点到的距离， 三棱锥的体积，故C错误；    对于选项D：，平面的法向量为， 设直线和平面所成的角为，若存在点，使 则， 因为，可得， 故不存在点P，使得直线和平面所成的角为，故D错误. 故选：AB. 46．(23-24高二上·湖南名校联合体·期中)如图，已知点是棱长为2的正方体的底面内（包含边界）一个动点，下列说法正确的是（    ） A．过、、三点的平面截正方体所得的截面图形为三角形或四边形 B．当点到、、三点的距离相等时，三棱锥的外接球的表面积为 C．若点到直线的距离与点到的距离相等，则点的轨迹为抛物线的一部分 D．若点到点的距离是点到的距离的两倍，则点的轨迹的长度为 【答案】ABC 【分析】对于A项，通过作出不同位置的截面即得；对于B项，需要构建空间图形，利用勾股定理求解； 对于C项，结合条件，运用抛物线定义即可判断；对于D项，建立平面直角坐标系，求出轨迹方程即可求得. 【详解】对于A选项，若点为点（或点），则截面为三角形，若为其它点则为四边形，故A项正确； 对于B选项，如图，满足条件的点P为中点，设中点为，外接球球心为，半径为， 可知三点共线，在 中，，解得：， 则外接球的表面积为，故B项正确； 对于C选项，点到直线的距离与点到的距离相等，即点到的距离等于点到直线点的距离， 所以点的轨迹为抛物线的一部分，故C项正确； 对于D选项，由可知点P满足阿氏圆，故点P的轨迹为一段圆弧，圆弧半径为，圆心角为， 圆弧长为，故D项错误. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：本题主要考查立体图形的应用，属于中档题.常见的解决方法有： （1）截面法：运用空间图形的相关性质作截面； （2）建模法：求几何体的外接球问题时，经常建模或者构建图形； （3）定义法：求轨迹问题时，常常用到圆和圆锥曲线的定义； （4）解析法：求轨迹问题时，常常需要建立直角坐标系，然后求得轨迹方程来解题. 47．(23-24高二上·湖南部分校联考·期中)已知正方体的棱长为4，是棱上的一条线段，且，点是棱的中点，点是体对角线上的动点（包括端点），则下列结论正确的是（    ） A．存在某一位置，与垂直 B．三棱锥体积的最大值是 C．二面角的正切值是 D．当最大时，三棱锥的外接球表面积是 【答案】ACD 【分析】通过证明线面垂直得到线垂直平面的所有直线证明异面直线垂直，然后通过固定底面积求体积最大值即可，二面角问题关键在于找到二面角的平面角，确定动点位置后再求外接球的圆心即可. 【详解】对于A：当点与点重合时，平面，而平面，所以与垂直，即A正确； 对于B：如下图所示， ， 因为平面，平面， 所以，所以，而， 所以， 要使得三棱锥的体积最大，只需满足点到平面的距离最大即可， 取的中点为，则平面与平面是同一平面， 不妨令点到平面的距离，直线与平面所成角为， 则，所以越大则越大， 所以当点与重合时，点到平面的距离最大， 作于，易知平面，所以即为点到平面的距离， 由三角形相似可得，且，得. 所以三棱锥的体积的最大值为， B错误； 对于C：连接，，二面角即为平面与平面所成的角，如下图所示， ， 因为平面，平面，平面， 所以，， 所以即为二面角的平面角， 由于，，， 所以， 所以，即， 所以二面角的正切值是， C正确； 对于D，由余弦定理得， 要使得最大时，则要最大， 则与重合，与重合，如下图所示， ， 以为坐标原点建立如所示的空间直角坐标系，则，，，， 设外接球球心坐标为， 则， 解得，，，所以， 所以外接球半径为， 所以三棱锥的外接球表面积，所以D正确； 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：若能应用极化恒等式，则能快速确定最大时需满足与重合，与重合. 48．(24-25高二上·湖南祁阳第一中学·月考)如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，，分别是线段，的中点，是线段上的一个动点（含端点，），则下列说法正确的是（    ） A．存在点，使得 B．存在点，使得平面平面 C．三棱锥体积的最大值是 D．当点自向处运动时，直线与平面所成的角不变 【答案】ABC 【分析】根据题意建立空间直角坐标系，向量法证明线线垂直可判断A，利用面面平行的判定定理可判断B，根据等体积法可判断C，向量法求线面角的正弦值可判断D. 【详解】平面，四边形是正方形， 以为坐标原点，，，正方向为，，轴， 可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，，，； 对于A，假设存在点，使得， 则，又， 所以，解得， 即点与重合时，，A正确； 对于B，当为的中时，平面平面， ，分别为，的中点，， 平面，平面，则平面， 取中点为，连接，， 为中点，且， 所以四边形为平行四边形，， 同理可证，，， 平面，平面，则平面， ，平面， 平面平面，B正确； 对于C，连接，，，设， 因为， 所以当，即点与点重合时，取得最大值2； 又点到平面的距离， 所以，C正确； 对于D，由上分析知：，， 若是面的法向量，则， 令，则， 因为，设直线与平面所成的角为，， 所以， 显然点自向处运动时，的值由0到2变化，线面夹角的正弦值变化， 所以线面夹角不是定值，故D错误； 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法： （1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的摄影，即可确定线面角； （2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间向量与立体几何 8大高频考点概览 考点01 空间向量线性运算及基本定理 考点02 空间向量的数量积运算 考点03 空间向量的坐标运算 考点04 异面直线夹角的向量求法 考点05 线面角的向量求法 考点06 面面角的向量求法 考点07 空间距离的向量求法 考点08 （附加）空间几何体的表面积与体积 地 城 考点01 空间向量线性运算及基本定理 一、单选题 1．(24-25高二上·湖南浏阳·期中)已知非零向量，，且、、不共面，若，则（   ） A． B． C．8 D．13 2．(24-25高二上·湖南湖湘教育三新探索协作体·期中)下列说法错误的是（    ） A．若空间中点，，，满足，则A，，三点共线 B．对空间任意一点和不共线三点，，，若，则，，，共面 C．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 D．，，若，则与的夹角为锐角 3．(24-25高二上·湖南祁阳第一中学·月考)下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·湖南邵阳新邵县第二中学·期中)如图，平行六面体中，AC与BD交于点M，设，，，则（   ） A． B． C． D． 5．(23-24高二上·湖南长沙长沙县第二中学·期中)我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥是阳马，平面ABCD，且，若，，，则（    ） A． B． C． D． 6．(24-25高二上·湖南永州祁阳县第四中学·期中)如图，在三棱锥中，为OA的中点，点在BC上，满足，记分别为，则（   ）    A． B． C． D． 地 城 考点02 空间向量的数量积运算 一、单选题 7．(24-25高二上·湖南名校联合体·月考)已知，则（   ） A． B． C． D． 8．(23-24高二上·湖南部分校联考·期中)如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面是正方形，，，且，则向量的模长为（    ） A． B．34 C．52 D． 9．(23-24高二上·湖南三湘名校教育联盟·期中)已知正方体的棱长为2，球是正方体的内切球，点是内切球表面上的一个动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 10．(24-25高二上·湖南永州祁阳县第四中学·期中)已知向量与的夹角为，则在方向上的投影向量的模为 ． 地 城 考点03 空间向量的坐标运算 一、单选题 11．(24-25高二上·湖南长沙芙蓉高级中学·期中)若，则（   ） A． B． C． D． 12．(24-25高二上·湖南邵阳新邵县第二中学·期中)已知，，且，则实数t的值为（   ） A． B．3 C．4 D．6 13．(24-25高二上·湖南邵阳新邵县第二中学·期中)已知空间向量，，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 14．(23-24高二上·湖南湖湘教育三新探索协作体·期中)已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（    ） A．与是共线向量 B．与同向的单位向量是 C．在方向上的投影向量是 D．与的夹角为 15．(24-25高二上·湖南邵阳新邵县第三中学·期中)已知，，，，则下列说法正确的有（   ） A．与夹角的余弦为 B．的面积为 C．平面的一个法向量 D．四面体的体积为 地 城 考点04 异面直线夹角的向量求法 一、单选题 16．(24-25高二上·湖南湖湘教育三新探索协作体·期中)在长方体中，已知，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 17．(24-25高二上·湖南部分学校·期中)刍甍是中国古代算数中的一种几何体，是底面为矩形的屋脊状的楔体.现有一个刍甍如图所示，底面 BCDE为矩形，平面BCDE，和是全等的正三角形，，，，则异面直线AE与BD所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 18．(23-24高二上·湖南衡阳衡阳县第四中学·期中)如图，圆锥的底面直径，高，D为底面圆周上的一点，，则直线AD与BC所成角的大小为 . 地 城 考点05 线面角的向量求法 一、多选题 19．(23-24高二上·湖南长沙雅礼中学·期中)如图，在正四棱柱中，，点P为线段上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．直线平面 B．三棱锥的体积为 C．三棱锥外接球的表面积为 D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 二、解答题 20．(23-24高二上·湖南常德汉寿县第五中学·期中)如图，棱锥的底面是矩形，平面，，.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面夹角的正弦值. 21．(23-24高二上·湖南湖湘教育三新探索协作体·期中)如图，和所在平面互相垂直，且，，为的中点．    (1)证明：； (2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 22．(23-24高二上·湖南名校联合体·期中)如图，在四棱锥中，底面为矩形，，， 点为棱上的点，且.    (1)证明：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 23．(23-24高二上·湖南部分校联考·期中)如图，四面体中，，，，E为的中点. (1)证明：平面平面； (2)，，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值. 24．(24-25高二上·湖南长沙长郡中学·期中)如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且的边长为，点在母线上，且. (1)求证：直线平面； (2)若点为线段上的动点，当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时点到平面的距离. 25．(24-25高二上·湖南长沙湖南师范大学附属中学·期中)如图，已知四棱锥中，平面，，，是边长为的正三角形，点在平面内的投影恰好是的中心. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 地 城 考点06 面面角的向量求法 一、解答题 26．(23-24高二上·湖南常德部分学校·)如图，在正四棱柱中，，E为的中点.    (1)证明：平面. (2)求平面与平面夹角的余弦值. 27．(23-24高二上·湖南部分校联考·期中)在直三棱柱中，D，E分别是，的中点. (1)求证：平面； (2)，，，求二面角的正切值. 28．(23-24高二上·湖南长沙雅礼中学·期中)如图，在梯形中，，，，将沿边翻折，使点翻折到点，且． (1)证明：平面； (2)若为线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值． 29．(23-24高二上·湖南三湘名校教育联盟·期中)如图，四棱锥的底面是平行四边形，，，点在平面内的投影是的中点，是的中点. (1)证明：平面； (2)若，求二面角的正弦值. 30．(23-24高二上·湖南长沙长沙县第二中学·期中)如图，在正三棱柱中，，点D，E，F分别在棱，，上，，为中点，连接    (1)证明：平面 (2)点P在棱上，当二面角为时，求EP的长． 31．(24-25高二上·湖南长沙明德中学·期中)如图，直角梯形中，分别为边的中点，将沿边折起到的位置，为边的中点.    (1)证明：平面； (2)当为等边三角形时，求平面与平面夹角的余弦值. 32．(24-25高二上·湖南湖湘教育三新探索协作体·期中)如图，在梯形中，，，，将沿边翻折，使点翻折到点，且，点为线段靠近点的三等分点.    (1)证明：； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 33．(24-25高二上·湖南祁阳第一中学·月考)如图，四棱锥的底面为菱形，，为的中点，.    (1)证明：平面平面； (2)若，，求平面与平面夹角的正切值. 34．(24-25高二上·湖南永州第一中学·期中)如图，在三棱柱中，，，，在底面ABC的射影为BC的中点，D是的中点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值. 35．(24-25高二上·湖南部分学校·期中)如图，在四棱台中，底面ABCD是正方形，，平面 (1)证明：平面 (2)求直线与平面所成角的正弦值. (3)棱BC上是否存在一点P，使得二面角的余弦值为若存在，求线段BP的长;若不存在，请说明理由. 地 城 考点07 空间距离的向量求法 一、单选题 36．(24-25高二上·湖南祁阳第一中学·月考)如图，在正方体中，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 37．(24-25高二上·湖南名校·期中)如图，在直三棱柱中，分别为棱的中点，则（    ）    A． B．平面 C． D．点到平面的距离为 地 城 考点08 （附加）空间几何体的表面积与体积 一、单选题 38．(23-24高二上·湖南长沙长沙县第二中学·期中)已知圆锥的侧面积是，其侧面展开图是顶角为的扇形，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 39．(24-25高二上·湖南名校·期中)已知正四面体的棱长为3，点在棱上，且，若点都在球的球面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 40．(24-25高二上·湖南湖湘教育三新探索协作体·期中)如图所示，在直四棱柱中，底面为菱形，，，动点在体对角线上，直线与平面所成角的最小值为，则直四棱柱的体积为（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 41．(23-24高二上·湖南三湘名校教育联盟·期中)已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，，，，则此球的体积为 . 三、多选题 42．(24-25高二上·湖南长沙雅礼中学·期中)如图，正方体的棱长为1，E是棱CD上的动点（含端点）.则下列结论正确的是（   ） A．三棱锥的体积为定值 B． C．存在某个点E，使直线与平面ABCD所成角为 D．二面角的平面角的大小为 43．(23-24高二上·湖南湖湘教育三新探索协作体·期中)如图，正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，是其表面上的一个动点，则下列说法正确的是（    ）    A．当在表面上运动时，三棱锥的体积为定值 B．当在线段中点时，平面截正方体所得截面的面积为 C．当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是 D．使直线与平面所成的角为45°的点的轨迹长度为 44．(24-25高二上·湖南湖湘教育三新探索协作体·期中)如图、在正四棱柱中，点为线段上一动点，，则下列说法正确的是（    ） A．直线平面 B．三棱锥的体积为 C．三棱锥外接球的表面积为 D．存在点使直线与平面所成角为 45．(23-24高二上·湖南常德汉寿县第五中学·期中)如图，正方体的棱长为1，P为侧面（含边界）内的动点，若直线与的夹角为，则下列说法正确的是（    ）    A．点P的运动轨迹的长度为 B．的长度为定值 C．当CP最小时，三棱锥的体积为 D．存在点P，使得直线和平面所成的角为 46．(23-24高二上·湖南名校联合体·期中)如图，已知点是棱长为2的正方体的底面内（包含边界）一个动点，下列说法正确的是（    ） A．过、、三点的平面截正方体所得的截面图形为三角形或四边形 B．当点到、、三点的距离相等时，三棱锥的外接球的表面积为 C．若点到直线的距离与点到的距离相等，则点的轨迹为抛物线的一部分 D．若点到点的距离是点到的距离的两倍，则点的轨迹的长度为 47．(23-24高二上·湖南部分校联考·期中)已知正方体的棱长为4，是棱上的一条线段，且，点是棱的中点，点是体对角线上的动点（包括端点），则下列结论正确的是（    ） A．存在某一位置，与垂直 B．三棱锥体积的最大值是 C．二面角的正切值是 D．当最大时，三棱锥的外接球表面积是 48．(24-25高二上·湖南祁阳第一中学·月考)如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，，分别是线段，的中点，是线段上的一个动点（含端点，），则下列说法正确的是（    ） A．存在点，使得 B．存在点，使得平面平面 C．三棱锥体积的最大值是 D．当点自向处运动时，直线与平面所成的角不变 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $