1.1 利用函数性质判定方程解的存在性同步练习-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

**基本信息** 分层清晰，从基础概念到综合应用递进，适配新授课知识巩固与能力提升，培养数学思维与问题解决能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|零点概念、存在性定理、基本计算|选择/填空/解答结合，如二次函数零点判定（第1题）、函数值表分析零点个数（第5题），夯实基础| |综合运用|函数性质综合、奇偶性与零点|多选与填空结合，如单调性与零点位置判断（第11题）、奇函数零点个数（第12题），提升逻辑推理| |拓展提高|二次函数综合应用|解答题形式，如结合对称轴与零点关系求解析式（第14题），深化数学建模与综合应用|

1.1　利用函数性质判定方程解的存在性 一、基础巩固 1.函数f(x)=2x2-4x-3的零点有(　　) A.0个 B.1个 C.2个 D.不能确定 2.（2025高一上·温州期末） 对于函数，则不存在零点的区间是(　　) A. (-1,0) B. (0,1) C. (1,3) D. (3,5) 3.（多选）下列图象对应的函数中有零点的是(　　) A. B. C. D. 4. 函数的零点所在区间为（ ） A． B． C． D． 5.已知函数f(x)的图象是连续不断的,有如下的x, f(x)的对应值表 x 1 2 3 4 5 6 7 f(x) 136.136 15.552 -3.92 10.88 -52.488 -232.064 11.238 由表可知函数f(x)的零点至少有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.(多选)下列关于方程x3+x2-2x-1=0的说法正确的是(　　) A.在(-2,-1)内有实数根 B.在(-1,0)内有实数根 C.在(1,2)内有实数根 D.在(-∞,+∞)内没有实数根 7.若函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3,则函数g(x)=bx2-ax-1的零点是　　　　.  8.设x0是方程log2x+2x=4的解,且x0∈(k,k+1),k∈Z,则k=　　　　.  9.函数f(x)=x-ln(x+1)-1的零点个数是　　　　.  10.求下列函数的零点: (1)f(x)=; (2)f(x)=x2+2x+4; (3)f(x)=2x-3; (4)f(x)=1-log3x. 二、综合运用 11.(多选)已知函数f(x)=-log2x,0<a<b<c,f(a)·f(b)·f(c)<0,实数d是函数f(x)的一个零点,给出下列四个判断,其中可能成立的是(　　) A.0<d<a B.c>d>b C.d>c D.a<d<c 12.已知f(x)是定义域为R的奇函数,且在(0,+∞)内的零点有1 012个,则f(x)的零点的个数为　　　　.  13.函数f(x)=x2+ax+b的零点是-1和2,判断函数g(x)=ax3+bx+4的零点所在的大致区间. 三、拓展提高 14.已知二次函数f(x)的图象过点(0,3),它的图象的对称轴为x=2,且函数f(x)的两个零点的平方和为10,求f(x)的解析式. 1.1　利用函数性质判定方程解的存在性 一、基础巩固 1.函数f(x)=2x2-4x-3的零点有(　　) A.0个 B.1个 C.2个 D.不能确定 答案　C 解析　由f(x)=0,即2x2-4x-3=0, 因为Δ=(-4)2-4×2×(-3)=40>0, 所以方程2x2-4x-3=0有两个根,即f(x)有两个零点. 2.（2025高一上·温州期末） 对于函数，则不存在零点的区间是(　　) A. (-1,0) B. (0,1) C. (1,3) D. (3,5) 答案　B 解析　对于A，因为，所以在上存在零点，故A错误； 对于B，当时，，所以，则在上无零点，故B正确； 对于C，因为，所以在上存在零点，故C错误； 对于D，因为，所以在上存在零点，故D错误. 故答案为：B. 3.(多选)下列图象对应的函数中有零点的是(　　) A. B. C. D. 答案　BCD 解析　因为函数的零点即函数图象与x轴交点的横坐标, 因此,若函数图象与x轴没有交点,则函数没有零点. 观察四个图象,可知A中的图象对应的函数没有零点,B,C,D有零点. 4. 函数的零点所在区间为（ ） A． B． C． D． 答案　A 解析：由函数单调性的性质可知，函数是实数集上的增函数， 因为，， 所以函数的零点所在区间为． 故答案为：A． 5.已知函数f(x)的图象是连续不断的,有如下的x,f(x)的对应值表 x 1 2 3 4 5 6 7 f(x) 136.136 15.552 -3.92 10.88 -52.488 -232.064 11.238 由表可知函数f(x)的零点至少有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案　D 解析　∵f(2)·f(3)<0,f(3)·f(4)<0, f(4)·f(5)<0,f(6)·f(7)<0, ∴函数f(x)至少有4个零点,故选D. 6.(多选)下列关于方程x3+x2-2x-1=0的说法正确的是(　　) A.在(-2,-1)内有实数根 B.在(-1,0)内有实数根 C.在(1,2)内有实数根 D.在(-∞,+∞)内没有实数根 答案　ABC 解析　设f(x)=x3+x2-2x-1, 则f(-2)<0,f(-1)>0,f(0)<0,f(1)<0,f(2)>0, 根据函数零点存在定理可知,f(x)在(-2,-1),(-1,0),(1,2)内都有零点,即方程x3+x2-2x-1=0在上述区间内都有实数根. 7.若函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3,则函数g(x)=bx2-ax-1的零点是　　　　.  答案　-,- 解析　函数f(x)=x2-ax-b的零点是2和3, 由函数的零点与方程的根的关系, 知方程x2-ax-b=0的两根为2和3, 再由根与系数的关系得 a=2+3=5,-b=2×3=6, 即b=-6,所以g(x)=-6x2-5x-1, 令g(x)=0,解得g(x)的零点为-,-. 8.设x0是方程log2x+2x=4的解,且x0∈(k,k+1),k∈Z,则k=　　　　.  答案　1 解析　令f(x)=log2x+2x-4, f(x)在(0,+∞)上单调递增, ∵f(1)=-2<0,f(2)=1>0, ∴f(x)在(1,2)内有唯一零点,故x0∈(1,2), ∴k=1. 9.函数f(x)=x-ln(x+1)-1的零点个数是　　　　.  答案　2 解析　函数f(x)=x-ln(x+1)-1的零点个数,即为函数y=ln(x+1)(x>-1)与y=x-1(x>-1)图象的交点个数. 在同一平面直角坐标系内分别作出函数y=ln(x+1)与y=x-1的图象,如图, 由图可知函数f(x)=x-ln(x+1)-1的零点个数是2. 10.求下列函数的零点: (1)f(x)=; (2)f(x)=x2+2x+4; (3)f(x)=2x-3; (4)f(x)=1-log3x. 解　(1)令=0,解得x=-3, 所以函数f(x)=的零点是-3. (2)令x2+2x+4=0, 由于Δ=22-4×4=-12<0, 所以方程x2+2x+4=0无解, 所以函数f(x)=x2+2x+4不存在零点. (3)令2x-3=0,解得x=log23, 所以函数f(x)=2x-3的零点是log23. (4)令1-log3x=0,解得x=3,所以函数f(x)=1-log3x的零点是3. 二、综合运用 11.(多选)已知函数f(x)=-log2x,0<a<b<c,f(a)·f(b)·f(c)<0,实数d是函数f(x)的一个零点,给出下列四个判断,其中可能成立的是(　　) A.0<d<a B.c>d>b C.d>c D.a<d<c 答案　ABD 解析　由于y=在(0,+∞)上单调递减,y=log2x在(0,+∞)上单调递增,可得f(x)=-log2x在定义域(0,+∞)上单调递减, 故当0<a<b<c时,f(a)>f(b)>f(c), 又因为f(a)·f(b)·f(c)<0,f(d)=0, 所以①当f(a),f(b),f(c)都为负值时,则a,b,c都大于d, ②当f(a)>0,f(b)>0,f(c)<0时,则a,b都小于d,c大于d. 综合①②可得d>c不可能成立.故选ABD. 12.已知f(x)是定义域为R的奇函数,且在(0,+∞)内的零点有1 012个,则f(x)的零点的个数为　　　　.  答案　2 025 解析　∵f(x)为奇函数, 且在(0,+∞)内有1 012个零点, ∴在(一∞,0)内也有1 012个零点. 又f(0)=0,∴共有1 012×2+1=2 025(个)零点. 13.函数f(x)=x2+ax+b的零点是-1和2,判断函数g(x)=ax3+bx+4的零点所在的大致区间. 解　∵-1和2是函数f(x)=x2+ax+b的零点, ∴-1和2是x2+ax+b=0的两个实数解, ∴-1+2=-a,-1×2=b, 即a=-1,b=-2. ∴g(x)=-x3-2x+4. ∵g(1)=1,g(2)=-8,g(1)g(2)<0, ∴y=g(x)在区间(1,2)内有零点. 又∵y=g(x)在R上是单调函数,∴y=g(x)只有一个零点. 综上可知,函数g(x)的零点所在的大致区间为(1,2). 三、拓展提高 14.已知二次函数f(x)的图象过点(0,3),它的图象的对称轴为x=2,且函数f(x)的两个零点的平方和为10,求f(x)的解析式. 解　设函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的两个零点分别为x1,x2, 则x1+x2=-,x1x2=. ∵f(0)=3,∴c=3. 又∵-=2, ∴-=4. ∴+=(x1+x2)2-2x1x2 =-=16-=10, ∴a=1,b=-4. ∴f(x)=x2-4x+3. 学科网（北京）股份有限公司 $