第5章 1.1 利用函数性质判定方程解的存在性（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦函数零点与方程解的存在性判定，系统梳理函数零点的定义、与方程解及函数图象交点的关系，通过零点存在定理判断零点区间，结合单调性和图象判断零点个数，构建从概念到定理再到应用的学习支架。 资料以问题驱动引导学生用数学眼光观察方程与函数的联系，通过定理推导和例题解析培养数学思维的逻辑性，借助数形结合强化数学语言表达。课中助力教师教学，课后练习帮助学生查漏补缺，如例3将零点个数转化为函数图象交点，体现学科特色教学方法。

1.1　利用函数性质判定方程解的存在性 学习目标　1.了解函数的零点、方程的解与函数图象与x轴交点的横坐标三者之间的联系.2.会借助零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间.3.能借助函数单调性及图象判断零点个数. 导语 同学们，我国古代数学家对部分方程的求解问题给出了比较系统的求解方法，比如：大约在公元50~100年间编成的《九章算术》，就给出了一次方程、二次方程和三次方程的具体求解方法.11世纪，北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法.13世纪，南宋数学家秦九韶给出了求任意次方程正解的方法.今天，让我们站在这些数学巨人的肩上，来探究方程的解与函数零点的关系吧. 一、函数的零点与方程的解 问题1　观察下列三组方程与函数： 方程 函数 x2－2x－3＝0 y＝x2－2x－3 x2－2x＋1＝0 y＝x2－2x＋1 x2－2x＋3＝0 y＝x2－2x＋3 利用函数图象探究方程的根和函数图象与x轴的交点之间的关系. 提示　方程x2－2x－3＝0的根为－1，3，函数y＝x2－2x－3的图象与x轴交于点(－1，0)，(3，0)； x2－2x＋1＝0有两个相等的实数根，为1，函数y＝x2－2x＋1的图象与x轴有唯一交点(1，0)； x2－2x＋3＝0没有实数根，函数y＝x2－2x＋3的图象与x轴无交点. 问题2　问题1中的方程的根是函数图象与x轴交点的坐标吗？ 提示　不是，根不是点，根是函数图象与x轴交点的横坐标. 知识梳理　函数的零点 (1)定义：使得f(x0)＝0的数x0称为方程f(x)＝0的解，也称为函数f(x)的零点. (2)函数的零点、函数的图象、方程的解的关系 注意点： (1)零点不是点，是函数图象与x轴交点的横坐标，是方程f(x)＝0的解. (2)求零点可转化为求对应方程的解. (3)不能用公式求解的方程，可以与函数联系起来，利用函数的图象和性质找零点，然后得到方程的解. 例1　(1)判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出. ①f(x)＝； ②f(x)＝ ③f(x)＝log3(x＋1). 解　①令＝0，解得x＝1， 所以函数f(x)存在零点，且零点为1. ②当x≤0时，令2x2－x－1＝0， 解得x＝－(x＝1舍去)； 当x>0时，令3x－4＝0，解得x＝log34， 所以函数f(x)＝存在零点，且零点为－和log34. ③令log3(x＋1)＝0，解得x＝0， 所以函数f(x)存在零点，且零点为0. (2)若3是函数f(x)＝x2－mx的一个零点，则m＝　　　　.  答案　3 解析　由题意，得f(3)＝32－3m＝0，解得m＝3. 反思感悟　探究函数零点的两种求法 (1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点. (2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点. 跟踪训练1　 (1)函数f(x)＝的所有零点构成的集合为(　　) A.{1} B.{－1} C.{－1，1} D.{－1，0，1} 答案　C 解析　当x≤0时，由f(x)＝x＋1＝0，得x＝－1； 当x>0时，由f(x)＝log2x＝0，得x＝1. 所以函数f(x)的所有零点构成的集合为{－1，1}. (2)下列函数中，没有零点的是(　　) A.f(x)＝log2x－7 B.f(x)＝－1 C.f(x)＝ D.f(x)＝x2＋x 答案　C 解析　A选项，由f(x)＝log2x－7＝0可得x＝27， 即函数f(x)＝log2x－7有零点； B选项，由f(x)＝－1＝0得x＝1， 即函数f(x)＝－1有零点； C选项，使f(x)＝＝0的x不存在， 即函数f(x)＝没有零点； D选项，由f(x)＝x2＋x＝0解得x＝－1或x＝0，即函数f(x)＝x2＋x有零点. 二、零点存在定理 问题3　给出下列四个函数图象，根据图象分析判断后回答以下3个问题： (1)如果函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)f(b)<0，那么f(x)在区间(a，b)内是否一定有零点？有多少个零点？ 提示　一定有，至少有一个.如图①②. (2)如果函数f(x)在区间[a，b]上的图象不连续，但f(a)f(b)<0，那么f(x)在区间(a，b)内是否一定有零点？ 提示　不一定.如图③. (3)如果函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，但f(a)f(b)>0，那么f(x)在区间(a，b)内是否一定没有零点？ 提示　不一定.如图④. 知识梳理　零点存在定理 条件 函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即f(a)·f(b)<0 结论 在开区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即在区间(a，b)内相应的方程f(x)＝0至少有一个解 注意点： (1)定理要求函数图象在闭区间[a，b]上连续，且f(a)f(b)<0. (2)图象在闭区间[a，b]上连续的函数y＝f(x)，f(a)·f(b)<0是函数有零点的充分不必要条件. (3)该定理是用来判断函数的变号零点，比如y＝x2，有零点为0，但是该零点的两侧函数值的符号相同，称为不变号零点. 例2　(1)(多选)若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0，则下列说法错误的是(　　) A.f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上一定没有零点 B.f(x)在区间(0，1)上一定没有零点，在区间(1，2)上一定有零点 C.f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上可能有零点 D.f(x)在区间(0，1)上可能有零点，在区间(1，2)上一定有零点 答案　ABD 解析　由题知f(0)f(1)<0，函数f(x)的图象在R上连续不断， 所以根据零点存在定理可得，f(x)在区间(0，1)上一定有零点， 又f(1)f(2)>0， 因此无法判断f(x)在区间(1，2)上是否有零点. (2)函数f(x)＝e2x＋5x－2的零点所在的区间为(　　) A.(－1，0) B. C. D. 答案　B 解析　∵f(0)＝－1<0，f >0， f(x)＝e2x＋5x－2的图象在R上连续且为增函数，∴f(x)＝e2x＋5x－2的零点所在的区间为. 反思感悟　确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法 (1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上. (2)利用零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)<0.若f(a)f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点. (3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断. 跟踪训练2　(1)函数f(x)＝ln x＋x3－9的零点所在的区间为(　　) A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4) 答案　C 解析　∵f(1)＝1－9＝－8<0， f(2)＝ln 2＋8－9＝ln 2－1<0， f(3)＝ln 3＋27－9＝ln 3＋18>0， ∴f(2)f(3)<0， ∴函数f(x)的零点所在的区间为(2，3). (2)若方程2x＋x＝5的解所在的区间是(k，k＋1)且k∈Z，则k＝　　　　.  答案　1 解析　令f(x)＝2x＋x－5，则f(1)＝2＋1－5＝－2<0，f(2)＝4＋2－5＝1>0，f(1)f(2)<0， 又因为f(x)的图象在R上连续且f(x)在R上为增函数， 由零点存在定理得零点所在区间为(1，2)，∴k＝1. 三、函数零点个数的问题 问题4　判断方程log2x－x＋2＝0是否有解？如果有解，请问有几个解？想一下有哪些解决方案. 提示　(1)通过画对应函数f(x)＝log2x－x＋2的图象，进而确定方程解的个数，但在作图过程中发现遇到困难，此时需要借助于信息技术工具. (2)利用零点存在定理及单调性. (3)转化为两个函数图象的交点问题. 例3　判断下列函数的零点的个数. (1)f(x)＝x2－x＋； (2)f(x)＝ln x＋x2－3； (3)f(x)＝x2－. 解　(1)由f(x)＝0，即x2－x＋＝0， 得Δ＝－4×＝－<0， 所以方程x2－x＋＝0没有实数根， 即f(x)零点的个数为0. (2)方法一　函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0， 所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图象交点的个数. 在同一平面直角坐标系下，作出两函数的图象(如图). 由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点. 从而方程ln x＋x2－3＝0只有一个解， 即函数f(x)＝ln x＋x2－3只有一个零点. 方法二　由于f(1)＝ln 1＋12－3＝－2<0， f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1>0， 所以f(1)f(2)<0， 又f(x)＝ln x＋x2－3的图象在[1，2]上是连续的， 所以f(x)在(1，2)上必有零点， 又f(x)在(0，＋∞)上是单调递增的，所以f(x)只有一个零点. (3)方法一　令f(x)＝x2－＝0，得x2＝， 即x3＝2，解得x＝，故函数只有1个零点. 方法二　令f(x)＝x2－＝0，得x2＝， 设g(x)＝x2(x≠0)， h(x)＝(x≠0)，在同一平面直角坐标系中画出函数y＝g(x)与y＝h(x)的图象，如图， 由图象可知两个函数图象只有1个交点，故函数只有一个零点. 反思感悟　判断函数零点个数的四种常用方法 (1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点. (2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数. (3)结合单调性，利用零点存在定理，可判定y＝f(x)在(a，b)内零点的个数. (4)转化成两个函数图象的交点个数问题. 跟踪训练3　(1)函数f(x)＝的零点个数为　　　　.  答案　2 解析　方程x＋2＝0(x<0)的解为x＝－2，方程x2－1＝0(x>0)的解为x＝1，所以函数f(x)有两个零点－2与1. (2)函数f(x)＝ex|ln x|－1的零点个数为　　　.  答案　2 解析　由题意，令f(x)＝ex|ln x|－1＝0， 即|ln x|＝e－x， 则函数f(x)＝ex|ln x|－1的零点个数，等价于两个函数y＝e－x与y＝|ln x|的图象的交点个数， 作出y＝e－x与y＝|ln x|的图象如图所示， 由图知，两个函数图象有2个交点，故函数f(x)＝ex|ln x|－1的零点个数是2. 1.知识清单： (1)函数的零点定义. (2)函数的零点与方程的解的关系. (3)零点存在定理. (4)函数零点个数的判断. 2.方法归纳：定理法、方程法、数形结合法. 3.常见误区： (1)将零点错误地理解成点. (2)零点个数问题不能转化成函数图象交点个数的问题. (3)将零点存在定理误以为可以判断函数的不变号零点. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共12分 1.二次函数y＝2x2＋x－1的零点是(　　) A.，－1 B.－，1 C.，(1，0) D.，(－1，0) 答案　A 解析　二次函数y＝2x2＋x－1的零点是方程2x2＋x－1＝0的解，解得x＝，或x＝－1. 2.(多选)方程(x2－4)＝0的解可以是(　　) A.x＝－2 B.x＝－ C.x＝ D.x＝2 答案　CD 解析　由题意，得方程(x2－4)＝0， 则x2－4＝0或2x－1＝0，解得x＝±2或x＝， 又由2x－1≥0，解得x≥， 所以方程(x2－4)＝0的解为x＝2或x＝. 3.函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致区间是(　　) A.(1，2) B. C.(3，4) D.(2，3) 答案　D 解析　由于f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3－>0， 所以f(2)·f(3)<0， 又易知函数f(x)＝ln x－是(0，＋∞)上的连续的增函数， 故根据零点存在定理可知， 函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致区间是(2，3). 4.已知函数f(x)的图象是连续不断的，且x，f(x)的部分对应值如表： x 1 2 3 4 5 6 7 f(x) 36.1 15.5 －3.9 10.8 －52.4 －32.0 11.2 由表可知函数f(x)的零点至少有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案　D 解析　∵f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0， f(4)·f(5)<0，f(6)·f(7)<0， ∴函数f(x)至少有4个零点. 5.已知函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是(　　) A.(1，3) B.(1，2) C.(0，3) D.(0，2) 答案　C 解析　易知函数f(x)＝2x－－a在区间(0，＋∞)上单调递增， 所以由条件可知，f(1)·f(2)<0， 即(2－2－a)(4－1－a)＝a(a－3)<0， 解得0<a<3. 6.对于函数f(x)，若f(－1)f(3)<0，则(　　) A.方程f(x)＝0一定有一实数解 B.方程f(x)＝0一定无实数解 C.方程f(x)＝0一定有两实数解 D.方程f(x)＝0可能无实数解 答案　D 解析　∵函数f(x)的图象在[－1，3]上未必连续，故尽管有f(－1)f(3)<0，但方程f(x)＝0在(－1，3)上可能无实数解. 7.(5分)设x0是方程log2x＋2x＝4的解，且x0∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝　　　.  答案　1 解析　令f(x)＝log2x＋2x－4，f(x)在(0，＋∞)上单调递增， ∵f(1)＝－2<0，f(2)＝1>0， ∴f(x)在(1，2)内有唯一零点， 故x0∈(1，2)， ∴k＝1. 8.(5分)若函数f(x)＝则函数g(x)＝f(x)－x的零点为　　　　.  答案　1，1＋ 解析　由f(x)＝x， 得或 解得 x＝1＋或x＝1. 9.(10分)求下列函数的零点： (1)f(x)＝；(2分) (2)f(x)＝x2＋2x＋4；(2分) (3)f(x)＝2x－3；(3分) (4)f(x)＝1－log3x.(3分) 解　(1)令＝0，解得x＝－3， 所以函数f(x)＝的零点是－3. (2)令x2＋2x＋4＝0， 由于Δ＝22－4×4＝－12<0， 所以方程x2＋2x＋4＝0无解， 所以函数f(x)＝x2＋2x＋4不存在零点. (3)令2x－3＝0，解得x＝log23， 所以函数f(x)＝2x－3的零点是log23. (4)令1－log3x＝0，解得x＝3， 所以函数f(x)＝1－log3x的零点是3. 10.(11分)函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点是－1和2，判断函数g(x)＝ax3＋bx＋4的零点所在的大致区间. 解　∵－1和2是函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点， ∴－1和2是x2＋ax＋b＝0的两个实数解， ∴－1＋2＝－a，－1×2＝b，即a＝－1，b＝－2. ∴g(x)＝－x3－2x＋4. ∵g(1)＝1，g(2)＝－8，g(1)g(2)<0， ∴y＝g(x)在区间(1，2)内有零点. 又∵y＝g(x)在R上是单调函数， ∴y＝g(x)只有一个零点. 综上可知，函数g(x)的零点所在的大致区间为(1，2). 11.方程|lg x|－＝0的根的个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.4 答案　C 解析　原方程可化为|lg x|＝， 作出函数y＝|lg x|与y＝的图象如图所示. 由图知，函数y＝|lg x|与y＝的图象有2个交点，即方程|lg x|－＝0的根的个数为2. 12.(多选)已知函数f(x)＝－log2x，0<a<b<c，f(a)·f(b)·f(c)<0，实数d是函数f(x)的一个零点，给出下列四个判断，其中可能成立的是(　　) A.0<d<a B.c>d>b C.d>c D.a<d<c 答案　ABD 解析　由于y＝在(0，＋∞)上单调递减，y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，可得f(x)＝－log2x在定义域(0，＋∞)上单调递减， 故当0<a<b<c时，f(a)>f(b)>f(c)， 又因为f(a)·f(b)·f(c)<0，f(d)＝0， 所以①当f(a)，f(b)，f(c)都为负值时，则a，b，c都大于d， ②当f(a)>0，f(b)>0，f(c)<0时，则a，b都小于d，c大于d. 综合①②可得d>c不可能成立.故选ABD. 13.(5分)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上单调递增，则该函数有　　　　个零点，这几个零点的和等于　　　.  答案　3　0 解析　因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增，所以f(0)＝0. 又因为f(－2)＝0， 所以f(2)＝－f(－2)＝0， 故该函数有3个零点，这3个零点的和等于0. 14.(5分)若函数y＝x2－4|x|＋5－m有四个不同的零点，则实数m的取值范围为　　　　.  答案　(1，5) 解析　因为函数y＝x2－4|x|＋5－m有四个不同的零点， 所以关于x的方程x2－4|x|＋5＝m有四个不同的实数解， 所以令f(x)＝|x|2－4|x|＋5＝(|x|－2)2＋1， h(x)＝m，画出函数f(x)的图象，如图所示， 若要使f(x)的图象与h(x)的图象有四个交点， 则直线h(x)＝m应该在直线l和直线n之间， 所以1<m<5. 15.(5分)已知函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是　　　　　　.  答案　a<b<c 解析　画出函数y＝3x，y＝log3x，y＝－x，y＝－2的图象，如图所示， 观察图象可知，函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次是点A，B，C的横坐标，由图象可知a<b<c. 16.(12分)有一道题“若函数f(x)＝24ax2＋4x－1在区间(－1，1)内恰有一个零点，求实数a的取值范围”.某同学给出了如下解答：由f(－1)·f(1)＝(24a－5)·(24a＋3)<0，解得－<a<.所以，实数a的取值范围是.上述解答正确吗？若不正确，请说明理由，并给出正确的解答. 解　上述解答不正确，原解答没有考虑函数为一次函数还是二次函数的问题，即没有分类讨论a＝0和a≠0两种情况；而a≠0时，在区间(－1，1)内的零点可能不是“变号零点”. 正确解答如下： (1)当a＝0时，f(x)＝4x－1， 令f(x)＝0得，4x－1＝0， 解得x＝∈(－1，1)， 所以当a＝0时，f(x)在(－1，1)内恰有一个零点. (2)当a≠0时，Δ＝42－4×24a×(－1)＝16＋96a. ①若Δ＝0，即a＝－，则函数f(x)的图象与x轴交于点， 所以是(－1，1)内的唯一零点. ②若Δ>0，即a>－， 则(ⅰ) 解得－<a<且a≠0. (ⅱ)当f(－1)＝0，即a＝时，f(x)＝5x2＋4x－1， 令f(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝， 所以是(－1，1)内的唯一零点. (ⅲ)当f(1)＝0，即a＝－时， f(x)＝－3x2＋4x－1， 令f(x)＝0，解得x1＝1，x2＝， 所以是(－1，1)内的唯一零点. 综上可得，a的取值范围是∪. 学科网（北京）股份有限公司 $