精品解析：江苏省苏州市立达中学校2025-2026学年九年级上学期9月月考数学试卷

2025－2026学年度苏州立达中学初三数学9月月考试卷 一、单选题（每题3分，共24分） 1. 的值等于（ ） A. B. 1 C. D. 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 在Rt△ABC中，，若，，则的值为（　　） A. B. C. D. 4. 如图，下列条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则是（　　） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 含有的任意三角形 D. 顶角为钝角的等腰三角形 6. 若，则的度数在哪个范围（ ） A. B. C. D. 7. 某公司去年的产值200万元，现计划扩大生产，使今明两年的产值都比前一年增长一个相同的百分数，这样三年（包括去年）的总产值就达到了1400万元，设这个百分数为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知正方形，延长至点使，连接，，与交于点，取的中点，连接，，交于于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（ ） A. ①②③④⑤ B. ①③④⑤ C. ①②⑤ D. ①②③⑤ 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 计算：2sin60°+tan45°=___________． 10. 已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，若AB=8，则AC=____． 11. 一条上山直道的坡度为1：7，沿这条直道上山，则前进50米所上升的高度为________米． 12. 如图，在的正方形网格中，______． 13. 如图，为了测量某风景区内一座古塔CD的高度，某校数学兴趣小组的同学分别在古塔对面的高楼AB的底部B和顶部A处分别测得古塔顶部C的仰角分别为45°和30°，已知高楼AB的高为24m，则古塔CD的高度为是______m（，，结果保留一位小数）． 14. 如果方程的两个根分别是的两边长，最小的角为，那么的值为______． 15. 如图，在等腰直角中，，D为上一点，E为延长线上一点，且，，则______． 16. 如图，在中，，，，是边的中点，点在边上，将沿翻折，使得点落在点处，当直线时，______． 三、解答题 17. 计算： （1）； （2）． 18. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于y轴对称的图形； （2）以原点O为位似中心，位似比为，在y轴的左侧，画出放大后的图形． （3）填空：直接写出点的坐标______；与的周长比是______；与的面积比是______． 20. 如图，在中，点为上一点，且，过点作交于点，连接，过点作交于点，若． （1）求的长； （2）求的长． 21. 如图，已知在中，是边上的高，是边的中点，，．求： （1）线段的长； （2）的正切值． 22. 图1是一盏台灯的照片，图2是其示意图．台灯底部立柱（与桌面垂直）的高为，支架长为，支架长为．若支架，的夹角为，支架与底部立柱的夹角为，求台灯的旋钮A到桌面的距离（精确到）．（参考数据：，） 23. 年8月，某音乐节推出了普通票与VIP票．据了解，1张普通票比1张票便宜元，用元买的普通票的数量与用元买的票的数量相同． （1）求普通票与VIP票的单价分别是多少元； （2）据统计，音乐节首日普通票销量是张，票销量是张．第二天由于天气原因，两种票的销售均受到影响，组委会为了刺激销售，进行了降价促销，普通票单价降低了m元，销量仍减少了张，票单价保持不变，销量减少了张，最终第二天总销售额比首日少了元，求m的值． 24. 如图，在矩形中，点在边上，连接，交对角线于点，且． （1）若，求的度数； （2）若，，求的长； （3）若，求的值． 25. 阅读下面材料：我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的一元二次方程有两个实数根分别为，，那么由求根公式可推出，．已知关于的方程有两个实根，，请根据上述结论，解决下面问题： （1）当方程的一个根时，求方程的另一个根； （2）若，求的值； （3）若，求的值． 26. 【问题提出】在等腰中，为中点，以D为顶点作，角的两边分别交于点，连接，试探究点D到线段的距离． 【问题探究】 （1）先将问题特殊化，如图2，当点E和A重合时，直接写出D到线段的距离（用含的式子表示）； （2）再探究一般情形，如图1，证明（1）中的结论仍然成立； 【问题拓展】如图3，在等腰中，为中点，以D为顶点作，角的两边分别交直线于点，连接．若，直接写出的值（用含的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度苏州立达中学初三数学9月月考试卷 一、单选题（每题3分，共24分） 1. 的值等于（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查特殊角的三角函数值．根据特殊角的三角函数值，即可得解． 【详解】解：． 故选：A． 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、是一元二次方程，故本选项符合题意； D、不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查了一元二次方程，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程是解题的关键． 3. 在Rt△ABC中，，若，，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出得长，再根据锐角三角函数正弦的定义解答即可． 【详解】如图， 根据勾股定理得，， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义及勾股定理，熟知锐角三角函数正弦的定义是解决问题的关键． 4. 如图，下列条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟记相关判定定理即可求解． 【详解】解：∵与中，， A. ，∴能判定； B. ，∴不能判定； C. ，∴，∴能判定； D. ，∴能判定． 故选：B． 5. 若，则是（　　） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 含有的任意三角形 D. 顶角为钝角的等腰三角形 【答案】B 【解析】 【分析】根据利用非负数的性质求得，再利用特殊角的三角函数值求出，即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 故选：B． 【点睛】此题考查了特殊角的三角函数值、等边三角形的判定等知识，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 6. 若，则的度数在哪个范围（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正弦函数的性质，由，随着的增大而增大，即可求解． 【详解】解：在，随着的增大而增大，，， ， ， 故选：B． 7. 某公司去年的产值200万元，现计划扩大生产，使今明两年的产值都比前一年增长一个相同的百分数，这样三年（包括去年）的总产值就达到了1400万元，设这个百分数为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程和对增长率问题的掌握情况，三年的总产值去年的产值今年的产值明年的产值，要明确每一年的产值的表达式．根据此等量关系列方程求解即可． 【详解】解：设这个百分数为x，则有今年的产值为，明年的产值为， 由题意可得：． 故选：B． 8. 如图，已知正方形，延长至点使，连接，，与交于点，取的中点，连接，，交于于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（ ） A. ①②③④⑤ B. ①③④⑤ C. ①②⑤ D. ①②③⑤ 【答案】B 【解析】 【分析】结合正方形的性质，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质即可判断①；连接，，由直角三角形的特征得，即可判断②；由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，作于，则，，由正切函数的定义即可判断③；由正切函数得，可得面积关系，即可判断④；设，，求出各线段，即可判断⑤． 【详解】解：四边形为正方形，， ，， ， ， ，，故①正确； 如图，连接，，， ， ，， ， 故②错误； ，，是的中点， ，，，， ，， ， ， ， ， ， 如图，作于，则， ， ， ， 故③正确； ， ， ， ， 是的中点， ， ， 故④正确； ， 设，， ， ， ， ， 故⑤正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，正切函数等；掌握正方形的性质，等腰三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，能熟练利用三角函数进行求解是解题的关键. 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 计算：2sin60°+tan45°=___________． 【答案】## 【解析】 【分析】将特殊角的三角函数值代入运算即可． 【详解】解：2sin60°＋tan45°＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值． 10. 已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，若AB=8，则AC=____． 【答案】 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义即可求出． 【详解】解：∵C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC， AB=8 ∴AC= 故答案是： 【点睛】本题主要考查了黄金分割知识点，记住黄金分割公式是解题关键． 11. 一条上山直道的坡度为1：7，沿这条直道上山，则前进50米所上升的高度为________米． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意画出图形，设，则，列出方程，进而即可求解． 【详解】解：设，则， 由题意得： ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查勾股定理和坡度，掌握坡度的定义，利用勾股定理列出方程，是解题的关键． 12. 如图，在的正方形网格中，______． 【答案】 【解析】 【分析】利用网格特点得到，然后根据正切的定义求解． 【详解】解：如图，在中，，， 所以， 即． 故答案为． 【点睛】本题考查了解直角三角形：灵活运用勾股定理和锐角三角函数的定义计算直角三角形中未知的边和角． 13. 如图，为了测量某风景区内一座古塔CD的高度，某校数学兴趣小组的同学分别在古塔对面的高楼AB的底部B和顶部A处分别测得古塔顶部C的仰角分别为45°和30°，已知高楼AB的高为24m，则古塔CD的高度为是______m（，，结果保留一位小数）． 【答案】56.8 【解析】 【分析】在Rt△ACH中，CH=AH×tan∠30°=AH=BD，在Rt△BDC中，CD=BD×tan∠45°=BD，根据DH=CD-CH=BD-BD，可得BD-BD=24，即可求出BD，则问题得解． 【详解】如图， 根据题意可知四边形ABDH是矩形，AB=DH=24m，AH=BD，∠AHC=∠BDC=90°， 在Rt△ACH中，CH=AH×tan∠CAH=AH×tan∠30°=AH=BD， 在Rt△BDC中，CD=BD×tan∠CBD=BD×tan∠45°=BD， ∵DH=CD-CH=BD-BD， ∴BD-BD=24， ∴BD=， ∴CD=（m）， 故答案为：56.8． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解仰角的含义． 14. 如果方程的两个根分别是的两边长，最小的角为，那么的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，勾股定理，正弦函数，能熟练利用勾股定理及三角函数求解是解题的关键；解方程求出两根，①当直角边为2，3时，②当斜边为3，由正弦函数即可求解.注意：最小的角A所对的边为最短边. 【详解】解：， ， ，， ，， ①当直角边为2，3时，斜边为，； ②当斜边为3，另一直角边为，； 故答案为：或． 15. 如图，在等腰直角中，，D为上一点，E为延长线上一点，且，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，添加辅助线，构造相似三角形是解题的关键．过点E作，交的延长线于点H，先证明，得到，，同时计算，因此得到，再证明，即可得到答案． 【详解】过点E作，交的延长线于点H， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 16. 如图，在中，，，，是边的中点，点在边上，将沿翻折，使得点落在点处，当直线时，______． 【答案】1或 【解析】 【分析】先求出，，再分两种情况：①如图1所示，当点在上方时，连接，②如图2所示，当点在下方时，延长交于点H，连接，分别画图求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， 根据翻折可得， 分两种情况：①如图1所示，当点在上方时，连接， ∵， ∴， ∴， 此时点与点重合时， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴； ②如图2所示，当点在下方时，延长交于点H，连接， ∵， ∴， ∵， ∴，， 此时， 故答案为：1或． 【点睛】该题考查了折叠的性质，勾股定理，解直角三角形，平行四边形的性质和判定等知识点，解题的关键是分类讨论． 三、解答题 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）2. 【解析】 【分析】(1)根据特殊角的三角函数值计算即可； (2)根据直角三角形中tanA=，sin2A+cos2A=1，sinA=cosB计算. 【详解】原式； 原式 . 故答案为（1）；（2）2. 【点睛】本题考查了三角函数值的计算. 18. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程的直接开平方法和配方法，根据方程的特点采用适当的方法可使解方程简便． （1）用直接开平方法即可解答； （2）用配方法即可解答． 【小问1详解】 解：， 或， 则，． 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， 或， 则，． 19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于y轴对称的图形； （2）以原点O为位似中心，位似比为，在y轴的左侧，画出放大后的图形． （3）填空：直接写出点的坐标______；与的周长比是______；与的面积比是______． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 如图所示，即为所求； （3）；； 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，位似变换，正确根据对应的变换方式找到对应点的位置是解题的关键． （1）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同得到A、B、C对应点的位置，然后顺次连接即可； （2）根据位似比为，且在原点同侧，则A、B、C对应点的横纵坐标都是A、B、C横纵坐标乘以2得到，据此得到的位置，然后顺次连接即可； （3）根据（2）所求可得的坐标，再根据位似图形的周长之比等于位似比，面积之比等于位似比的平方即可得到答案． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 解：由图可知，点的坐标坐标为； ∵与是关于原点位似，且位似比为的位似图形， ∴与的周长比是，与的面积比是， 故答案为：；；． 20. 如图，在中，点为上一点，且，过点作交于点，连接，过点作交于点，若． （1）求的长； （2）求的长． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查的知识点是平行线分线段成比例定理，解题关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理． （1）根据平行线分线段成比例定理得出即可得解； （2）根据平行线分线段成比例定理得出，再结合即可得解． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ． 21. 如图，已知在中，是边上的高，是边的中点，，．求： （1）线段的长； （2）的正切值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角函数，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质；熟练利用三角函数及勾股定理进行求解是解题的关键． （1）由三角函数得，设，，由勾股定理得，即可求解； （2）由直角三角形的特征得，由等腰三角形的性质得，由正切函数即可求解． 【小问1详解】 解：是边上的高，， ， 设，， ， ， 解得：， ； 【小问2详解】 解：是边的中点，是边上的高， ， ， ， ， ． 22. 图1是一盏台灯的照片，图2是其示意图．台灯底部立柱（与桌面垂直）的高为，支架长为，支架长为．若支架，的夹角为，支架与底部立柱的夹角为，求台灯的旋钮A到桌面的距离（精确到）．（参考数据：，） 【答案】 【解析】 【分析】过点作，垂足为点，分别过点、作直线的垂线、，垂足分别为点，可得是矩形，即得，，得到，，，再分别解、，求出即可求解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为点，分别过点、作直线的垂线、，垂足分别为点，则， ∵， ∴， ∴是矩形， ，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ， ∵， ， 在中，， ， ， 答：台灯的旋钮到桌面的距离约为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，直角三角形的两个锐角互余，解题关键是通过作垂直构造直角三角形求解． 23. 年8月，某音乐节推出了普通票与VIP票．据了解，1张普通票比1张票便宜元，用元买的普通票的数量与用元买的票的数量相同． （1）求普通票与VIP票的单价分别是多少元； （2）据统计，音乐节首日普通票销量是张，票销量是张．第二天由于天气原因，两种票的销售均受到影响，组委会为了刺激销售，进行了降价促销，普通票单价降低了m元，销量仍减少了张，票单价保持不变，销量减少了张，最终第二天总销售额比首日少了元，求m的值． 【答案】（1）普通票每张为元，票的每张为元 （2） 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程． （1）设普通票的每张为元，则票的每张为元，根据用元买的普通票的数量与用元买的票的数量相同，列出分式方程，解方程即可； （2）由题意先表示出第二天普通票和票的单价和销量，再根据第二天总销售额比首日少了元，列出一元二次方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：设普通票的每张为元，则票的每张为元，， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则元， 答：普通票每张为元，票的每张为元； 【小问2详解】 解：， ， ，（舍）， 答：的值为． 24. 如图，在矩形中，点在边上，连接，交对角线于点，且． （1）若，求的度数； （2）若，，求的长； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2）的长为 （3） 【解析】 【分析】（1）如图，连接，交对角线于点，根据矩形的性质得到，，则，由等边对等角得到，由三角形外角的性质得到，根据直角三角形两锐角互余即可求解； （2）根据矩形的性质得到，，则，设，则，，所以，由此列式求解即可； （3）设，，由矩形的性质，结合题意得到，，，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，整理得，所以，即，由（2）知，可得，由此即可求解． 【小问1详解】 解：如图，连接，交对角线于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， 设，则， ∵， ∴， 即， 解得， ∴的长为． 【小问3详解】 解：设，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴，即， 整理得， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由（2）知， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等边对等角，三角形外角的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识的综合，掌握矩形的性质，相似三角形的判定和性质，等边对等角，数形结合分析是解题的关键． 25. 阅读下面材料：我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的一元二次方程有两个实数根分别为，，那么由求根公式可推出，．已知关于的方程有两个实根，，请根据上述结论，解决下面问题： （1）当方程的一个根时，求方程的另一个根； （2）若，求的值； （3）若，求的值． 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数之间的关系，根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根与系数之间的关系是解题的关键： （1）把代入方程求出的值，再解方程求出的值即可； （2）根据一元二次方程根与系数之间的关系，列出方程进行求解即可； （3）根据一元二次方程根与系数的关系，进行求解即可． 【小问1详解】 解：把代入方程，得：， 解得：或， 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上：或； 【小问2详解】 ∵方程有两个实根，， ∴， ∴， 解得：或， 当，方程化为：， ∴，满足条件； 当，方程化为：，此时，舍去； 故； 【小问3详解】 ∵方程有两个实根，， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍去）或（舍去）， 当时，原方程化为：， 此时，满足题意， ∴． 26. 【问题提出】在等腰中，为中点，以D为顶点作，角的两边分别交于点，连接，试探究点D到线段的距离． 【问题探究】 （1）先将问题特殊化，如图2，当点E和A重合时，直接写出D到线段的距离（用含的式子表示）； （2）再探究一般情形，如图1，证明（1）中的结论仍然成立； 【问题拓展】如图3，在等腰中，为中点，以D为顶点作，角的两边分别交直线于点，连接．若，直接写出的值（用含的式子表示）． 【答案】（1）； （2）证明：作于于N， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【问题拓展】 【解析】 【分析】（1）解：根据“三线合一”可得，，，，证明点D到线段的距离即为的长，根据正弦的定义即可求解； （2）作于于N，由（1）可得，证明，再证明，得到，即可求解； 问题拓展：连接，作于P，设，则，证明，得到，可表示出，由（2）得，得到，表示出，即可求解． 【详解】（1）解：∵为中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴D到线段的距离即为的长， ∵, ∴； （2）略 问题拓展：， 连接，作于P，设， 则， ∵为中点， ∴，， ∵，是公共角， ∴， ， 由（2）得 ∴ 由（2）得 ． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的判定与性质等，解题的关键是由特殊到一般，从特殊的图形中发现规律，再将解题思路运用到一般图形中． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $