第2章 一元二次函数、方程和不等式（单元同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（湘教版2019）

( 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 姓名 班级 考号 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) 高中同步章末达标检测卷 第2章　一元二次函数、方程和不等式 全卷满分150分　考试用时120分钟 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.设集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2x-3>0},则A∩B=(　　) A.　　　　B. C.　　　　D. 2.设M=2a(a-2)+7,N=(a-2)(a-3),则M与N的大小关系是(　　) A.M>N　　　　B.M=N　　　　 C.M<N　　　　D.无法确定 3.某种杂志以每本3元的价格销售,可以售出10万本.根据市场调查,该杂志的单价每提高0.1元,销售量就减少1 000本.设提价后每本杂志的定价为x元,要使提价后的销售总收入不低于42万元,则x应满足(　　) A.6≤x≤7　　　　B.5≤x≤7　　　　 C.5≤x≤6　　　　D.4≤x≤6 4.若a,b,c∈R,则下列命题正确的是(　　) A.若a<b,则>　　　　B.若a>b>0,则< C.若a>b,则ac2>bc2　　　　D.若ac2>bc2,则a>b 5.关于x的不等式mx2+2mx-1<0恒成立的一个充分而不必要条件是(　　) A.-1<m<-　　　　B.-1<m≤0 C.-2<m<1　　　　D.-3<m<- 6.若正数a,b满足ab=2(a+b)+5,设y=(a+b-4)(12-a-b),则y的最大值是(　　) A.12　　　　B.-12　　　　C.16　　　　D.-16 7.关于x的不等式ax2-|x|+2a≥0的解集是(-∞,+∞),则实数a的取值范围为(　　) A.　　　　B. C.　　　　D.∪ 8.设实数x,y满足x>,y>3,不等式k(2x-3)(y-3)≤8x3+y3-12x2-3y2恒成立,则实数k的最大值为(　　) A.12　　　　B.24　　　　C.2　　　　D.4 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为,则下列结论正确的是(　　) A.a>0　　　　B.b>0 C.c>0　　　　D.a+b+c>0 10.已知-5≤a-b≤4,2≤2a+b≤8,则(　　) A.-1≤a≤4　　　　B.0≤b≤4 C.ab的最大值为24　　　　D.-28≤2a-5b≤14 11.已知实数x,y满足x2+y2+xy=4,则(　　) A.-2≤y≤2　　　　B.-≤x+y≤ C.-4≤x-y≤4　　　　D.≤x2+y2≤8 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.中国宋代数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”,即假设在平面内有一个三角形,边长分别为a,b,c,三角形的面积S可由公式S=求得,其中p为三角形周长的一半,这个公式也被称为海伦-秦九韶公式,现有一个三角形的边长满足a+b=10,c=6,则此三角形面积的最大值为　　　　.  13.已知a>b,不等式ax2+2x+b≥0对一切实数x恒成立.若存在x0∈R,使a+2x0+b=0成立,则的最小值为　　　　.  14.若a>1,且不等式x2-x+4<0的解集中有且仅有四个整数,则a的取值范围是　　　　　　.  四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)(1)已知a<b<c,且a+b+c=0,证明:<; (2)已知a≥3,证明:-<-. 16.(15分)设命题p:对任意的x∈[1,4],不等式x2-4x+2≥m2-3m恒成立;命题q:存在x∈,使得不等式x2-x+m-≥0成立. (1)若p为真命题,求实数m的取值范围; (2)若p,q有且只有一个是真命题,求实数m的取值范围. 17.(15分)某企业为积极响应国家垃圾分类号召,在科研部门的支持下进行技术创新,新成立一个把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目.已知该企业日加工处理量x(单位:吨)最少为70吨,最多为100吨.日加工处理总成本y(单位:元)与日加工处理量x之间的函数关系可近似地表示为y=x2+40x+3 200,且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为100元. (1)该企业日加工处理量为多少吨时,日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低?此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态? (2)为了使该企业可持续发展,政府决定对该企业进行财政补贴,补贴方案共有两种: ①每日进行定额财政补贴,金额为2 300元; ②根据日加工处理量进行财政补贴,金额为30x元. 如果你是企业的决策者,为了获得最大利润,你会选择哪种补贴方案?为什么? 18.(17分)(1)已知关于x的不等式ax2+(a-2)x-2≥0,a∈R的解集为(-∞,-1]∪[2,+∞),求实数a的值; (2)若不等式ax2+(a-2)x-2≥2x2-3对x∈R恒成立,求实数a的取值范围; (3)解关于x的不等式ax2+(a-2)x-2≥0. 19.(17分)对于二次函数y=mx2+nx+t(m≠0),若存在x0∈R,使得m+nx0+t=x0成立,则称x0为二次函数y=mx2+nx+t(m≠0)的不动点. (1)求二次函数y=x2-x-3的不动点; (2)若二次函数y=2x2-(3+a)x+a-1有两个不相等的不动点x1,x2,且x1,x2>0,求+的最小值; (3)若对任意实数b,二次函数y=ax2+(b+1)x+(b-1)(a≠0)恒有不动点,求a的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 姓名 班级 考号 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) 答案与解析 1.D　由题意得集合A={x|1<x<3},B=,所以A∩B=. 2.A　M-N=(2a2-4a+7)-(a2-5a+6)=a2+a+1=+>0,∴M>N. 3.A　提价后每本杂志的定价为x元,则提价后的销售量为万本, 要想提价后的销售总收入不低于42万元,则x≥42, 即(x-6)(x-7)≤0,解得6≤x≤7. 4.D　对于A,若a<0,b>0,则<,故A错误; 对于B,根据糖水不等式可知,若a>b>0,则>,故B错误; 对于C,当c=0时,ac2=bc2=0,故C错误; 对于D,由ac2>bc2,可知c2>0,∴a>b,故D正确. 5.A　当m=0时,原不等式可化为-1<0,显然成立; 当m≠0时,原不等式恒成立需满足解得-1<m<0. 综上可得,原不等式恒成立的充要条件为-1<m≤0. 结合选项,可知关于x的不等式mx2+2mx-1<0恒成立的一个充分而不必要条件是-1<m<-. 6.A　∵ab=2(a+b)+5,∴a+b=. ∵a>0,b>0, ∴a+b=≥2,当且仅当a=b=5时,等号成立,∴ab≥25, ∵y=(a+b-4)(12-a-b)==-(ab-21)2+16, ∴当ab=25时,y取最大值,为12. 7.A　不等式ax2-|x|+2a≥0的解集是(-∞,+∞), 即∀x∈R,ax2-|x|+2a≥0恒成立,即a≥, 当x=0时,a≥0; 当x≠0时,a≥=, 因为≤=,所以a≥. 综上所述,a∈. 8.B　令a=2x-3,b=y-3,因为x>,y>3,所以a>0,b>0, 不等式k(2x-3)(y-3)≤8x3+y3-12x2-3y2可转化为k≤, 即+≥k, 而+=+≥+=12≥24=24, 当且仅当a=b=3时等号同时成立,所以k≤24. 故实数k的最大值为24. 9.BCD　因为关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为,所以相应的二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,所以a<0,故A错误;易知2和-是关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根,则根据根与系数的关系得=2×=-1<0,-=2+=>0,又a<0,故b>0,c>0,故B,C正确;因为=-1,所以a+c=0,又b>0,所以a+b+c>0,故D正确. 10.AD　对于A,因为-5≤a-b≤4,2≤2a+b≤8, 所以-5+2≤(a-b)+(2a+b)≤4+8,即-3≤3a≤12,即-1≤a≤4,故A正确; 对于B,由-5≤a-b≤4,可得-8≤2b-2a≤10,又2≤2a+b≤8,所以-8+2≤(2b-2a)+(2a+b)≤10+8,即-6≤3b≤18,即-2≤b≤6,故B错误; 若ab的最大值为24,因为-1≤a≤4,-2≤b≤6,所以a=4,b=6,则2a+b=14>8,故C错误; 设2a-5b=x(a-b)+y(2a+b)=(x+2y)a+(-x+y)b,则解得x=4,y=-1,因为-20≤4(a-b)≤16,-8≤-(2a+b)≤-2,所以-28≤2a-5b≤14,故D正确. 11.BCD　对于A,由题可知关于x的方程x2+xy+y2-4=0必有实数根,所以Δ=y2-4(y2-4)≥0,解得-≤y≤,故A错误;对于B,因为x2+y2+xy=(x+y)2-xy=4,xy≤,所以≤4,解得-≤x+y≤,当且仅当x=y=时,不等式x+y≤的等号成立,当且仅当x=y=-时,不等式-≤x+y的等号成立,故B正确;对于C,因为x2+y2+xy=(x-y)2+3xy=4,-xy≤,所以≤4,解得-4≤x-y≤4,当且仅当x=-y=2时,不等式x-y≤4的等号成立,当且仅当x=-y=-2时,不等式-4≤x-y的等号成立,故C正确;对于D,由xy≤可知x2+y2+xy=4≤,即≤x2+y2,当且仅当x=y=±时,等号成立,由x2+y2+xy=4得x2+y2-4=-xy,又-xy≤,所以x2+y2-4≤=,所以≤4,即x2+y2≤8,当且仅当-x=y=±2时,等号成立,所以≤x2+y2≤8,故D正确. 12.答案　12 解析　依题意得p===8, 所以三角形的面积为=4 ≤4×=4×=12,当且仅当8-a=8-b,即a=b=5时等号成立. 故此三角形面积的最大值为12. 13.答案　2 解析　当a=0时,不等式ax2+2x+b≥0即2x+b≥0,对一切实数x不恒成立,不符合题意; 当a≠0时,依题意知∴ ∵存在x0∈R,使a+2x0+b=0成立, ∴4-4ab≥0,解得ab≤1,∴ab=1. ∵a>b,∴a-b>0, ∴==(a-b)+≥2, 当且仅当a-b=且ab=1,即a=,b=时,等号成立, 故的最小值为2. 14.答案　(4,5] 解析　由x2-x+4<0,可得(x-a)<0, 当1<a<2时,a<,所以不等式的解集为, 若解集中仅有四个整数,则四个整数为2,3,4,5,所以5<≤6, 此时≤a<,与1<a<2矛盾; 当a=2时,a=,不等式(x-a)<0即(x-2)2<0,则不等式的解集为⌀,不符合题意; 当a>2时,a>,所以不等式的解集为, 若解集中仅有四个整数,则四个整数可能为2,3,4,5或1,2,3,4, 当整数解为2,3,4,5时,5<a≤6,且1≤<2,无解, 当整数解为1,2,3,4时,0<<1,且4<a≤5,解得4<a≤5. 综上,实数a的取值范围是(4,5]. 15.证明　(1)因为a<b<c,且a+b+c=0, 所以a<0,且a-c<b-c<0,(2分) 所以(a-c)(b-c)>0,所以<,(4分) 即<,所以<.(6分) (2)已知a≥3,要证-<-, 只需证+<+,(8分) 即证a+(a-3)+2<(a-1)+(a-2)+2,(10分) 即证<, 即证a(a-3)<(a-1)(a-2),即证0<2,显然成立,(12分) 所以-<-.(13分) 16.解析　(1)若p为真命题,则当x∈[1,4]时,(x2-4x+2)min≥m2-3m.(2分) 易知当x=2时,y=x2-4x+2取得最小值,为-2,(3分) ∴-2≥m2-3m,解得1≤m≤2. 故当p为真命题时,实数m的取值范围是{m|1≤m≤2}.(5分) (2)存在x∈,使得不等式x2-x+m-≥0成立, 即在x∈上,≥0,(7分) 易知当x=0时,y=x2-x+m-取得最大值,为m-,(8分) ∴m-≥0,解得m≥, ∴当q为真命题时,实数m的取值范围是.(10分) 由(1)知当p为真命题时,实数m的取值范围是{m|1≤m≤2}. 若p为假命题,q为真命题,则解得m>2;(12分) 若p为真命题,q为假命题,则解得1≤m<.(14分) 综上所述,实数m的取值范围是.(15分) 17.解析　(1)由题意可知,日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本(单位:元)为=++40,x∈[70,100].(2分) 又++40≥2+40=2×40+40=120,当且仅当=,即x=80时,等号成立,(3分) 所以该企业日加工处理量为80吨时,日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低.(4分) 因为100<120,所以此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损状态.(5分) (2)若该企业采用补贴方案①,设该企业每日获利为y1元, 由题可得y1=100x-+2 300=-x2+60x-900=-(x-60)2+900.(7分) 因为x∈[70,100],所以当x=70时,企业获利最大,最大利润为850元.(9分) 若该企业采用补贴方案②,设该企业每日获利为y2元,由题可得y2=130x-=-x2+90x-3 200=-(x-90)2+850.(11分) 因为x∈[70,100],所以当x=90时,企业获利最大,最大利润为850元.(13分) 答案示例1:因为两种方案所获最大利润相同,所以选择两种方案均可.(15分) 答案示例2:因为两种方案所获最大利润相同,但补贴方案①只需要企业日加工处理量为70吨即可获得最大利润,所以选择补贴方案①.(15分) 答案示例3:因为两种方案所获最大利润相同,但补贴方案②能够为社会做出更大贡献,所以选择补贴方案②.(15分) 18.解析　(1)依题意知,-1,2是关于x的方程ax2+(a-2)x-2=0(a>0)的两根,根据根与系数的关系得-1+2=,-1×2=-,解得a=1,所以实数a的值为1.(3分) (2)不等式ax2+(a-2)x-2≥2x2-3对x∈R恒成立即为(a-2)x2+(a-2)x+1≥0恒成立. 当a=2时,该不等式为1≥0,恒成立;(5分) 当a≠2时,关于x的一元二次不等式(a-2)x2+(a-2)x+1≥0在R上恒成立, 则解得2<a≤6. 综上,实数a的取值范围是[2,6].(8分) (3)不等式ax2+(a-2)x-2≥0化为(ax-2)(x+1)≥0. ①当a=0时,原不等式为-2(x+1)≥0,解得x≤-1;(10分) ②当a>0时,原不等式化为(x+1)≥0, 而>-1,所以x≥或x≤-1;(12分) ③当a<0时,原不等式化为(x+1)≤0, 当>-1,即a<-2时,解不等式得-1≤x≤, 当=-1,即a=-2时,解不等式得x=-1, 当<-1,即-2<a<0时,解不等式得≤x≤-1.(15分) 综上所述,当a<-2时,原不等式的解集为, 当a=-2时,原不等式的解集为{-1}, 当-2<a<0时,原不等式的解集为, 当a=0时,原不等式的解集为(-∞,-1], 当a>0时,原不等式的解集为(-∞,-1]∪.(17分) 19.解析　(1)令x2-x-3=x,整理得(x-3)(x+1)=0,解得x=-1或x=3, 所以二次函数y=x2-x-3的不动点为-1和3.(3分) (2)由题意可得方程2x2-(3+a)x+a-1=x有两个不相等的正实数根,即方程2x2-(4+a)x+a-1=0有两个不相等的正实数根, 所以解得a>1,(5分) 所以+===-2 =-2=-2=-2=-2 =++3,(7分) 因为a>1,所以a-1>0,所以++3≥2+3=8,当且仅当=,即a=6时等号成立, 所以+的最小值为8.(10分) (3)由题知对于任意实数b,方程ax2+(b+1)x+(b-1)=x(a≠0)有解,即ax2+bx+(b-1)=0有解,(13分) 所以b2-4a(b-1)≥0,即b2-4ab+4a≥0, 又b是任意实数,所以(-4a)2-16a≤0,即a(a-1)≤0(a≠0), 解得0<a≤1,(16分) 所以a的取值范围是(0,1].(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $$