专题01 直线的倾斜角、斜率、方程与距离13种题型归类（压轴题专项训练）数学湘教版2019选择性必修第一册

专题01 直线的倾斜角、斜率、方程与距离 目录 专题01直线的倾斜角、斜率、方程与距离 类型一、直线的倾斜角 类型二、直线的斜率 类型三、两条直线平行判定 类型四、两条直线垂直判定 类型五、直线的点斜式方程型 类型六、直线的两点式 类型七、直线的截距式 类型八、直线的一般式 类型九、两点间的距离 类型十、 点到直线的距离 类型十一、两条平行线间的距离 压轴专练 类型一、直线的倾斜角 1.已知倾斜角求斜率时，若≠90°，根据公式k=tan直接计算,当倾斜角未给出时，可根据直线与其他直线的位置关系(如平行、垂直等)确定出所求直线的倾斜角，再代入k=tan计算 2.已知两点求直线的斜率时，首先应检验两点的横坐标是否相等,若相等，则斜率不存在;若不相等，则可用斜率公式k= (≠)直接计算 例1． 设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据直线方程的特点，分和两种情况讨论，再分别计算出倾斜角的取值范围，最后取并集即可. 【详解】当时，直线的方程为，此时直线的倾斜角； 当时，直线的斜率为， 因为， 所以，即， 又因为， 所以结合正切函数的图象可得：. 综上可得：直线的倾斜角的取值范围是. 故选：C. 变式1-1． 1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点.如图，以大五角星的中心点为原点建立直角坐标系，，，，分别是大五角星中心点与四颗小五角星中心点的连线，，则第三颗小五角星的一条边所在直线的倾斜角约为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过作轴平行线，由五角星的内角和可求出，即可求出答案. 【详解】因为，分别为大五角星和第三颗小五角星的中心点， 所以平分第三颗小五角星的一个角， 又由五角星的角尖为知. 过作轴的平行线，如图，则. 所以直线的倾斜角约为.    故选：C. 变式1-2． 直线的倾斜角范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对进行讨论，当时得到直线倾斜角为，当时，由直线方程得到斜率，再由斜率可得倾斜角的范围. 【详解】当时，直线为：， 故直线的倾斜角为：； 当时，直线为：， 设直线的倾斜角为， 即， 当时，， 当且仅当“”，即时取等号； 即， 当时，， 当且仅当“”，即时取等号； 即， 综上所述：. 故选：A 变式1-3． 设图像的一条对称轴是直线，则直线的倾斜角为 . 【答案】 【分析】先根据函数的对称轴是直线，推断出，求得a和b的关系，进而求得直线的斜率，则直线的倾斜角可求得． 【详解】因为函数图像的一条对称轴是直线， 所以，即，所以， 所以直线的斜率为， 由于，所以直线的倾斜角为， 故答案为：. 类型二、直线的斜率 1.直线的倾斜角与斜率k的关系:k=tan (≠90°)，由直线的倾斜角能求斜率，反过来，由直线的斜率能求倾斜角.注意倾斜角的取值范围是0°≤<180°. 2.在0°<<90°范围内，k>0，且k随着的增大而增大;在90°<<180°范围内，k<0，且k随着的增大而增大.但在0°<<180°范围内，k并不是随着的增大而增大的. 例2．已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与直线平行，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据直线平行得出正切值为，再应用二倍角正弦及余弦公式结合齐次式计算求值. 【详解】因为角的终边与直线平行， 即角的终边在直线上，所以. 所以. 故选：D. 变式2-1． 已知直线l经点， 若直线与线段 相交， 则直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出直线与直线的斜率，再结合直线与线段相交的条件，确定直线斜率的取值范围. 【详解】已知，，根据过两点直线斜率公式，可得： 已知，，同理可得： 当直线绕点从位置旋转到与轴重合时，斜率的范围是； 当直线绕点从与轴重合旋转到位置时，斜率的范围是. 所以直线斜率的取值范围是. 故选：B.    变式2-2． 已知实数满足，则的最大值为 ． 【答案】8 【分析】根据斜率的两点式确定目标式的几何意义，再应用数形结合求目标式的最大值. 【详解】由的几何意义是 图象上的点与点连线的斜率． 如图所示，直线的倾斜角始终为锐角，结合正切函数在上单调递增， 当直线过点时斜率最大，将代入，得最大值为8． 故答案为：8 变式2-3．已知矩形ABCD四个顶点分别为，一质点从线段AB上某一点M处（不包含端点），沿与AB夹角为60°的方向射到边BC上，再依次反射到边CD，DA和AB上（入射角等于反射角），则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】如图所示，质点由出发依次经BC，CD，DA反射后到达线段AB，相当于直线与线段MN相交，则 又因为，且， 即，所以， 故答案为：. 类型三、两条直线平行判定 1.在判断两条直线是否平行时，首先应判断直线的斜率是否存在，然后根据斜率的关系进行判断，同时不要漏掉两条直线重合的情况. 例3． 若直线与平行，则实数的值为（   ） A．0 B．2 C．3 D．2或3 【答案】B 【分析】根据直线平行可得，运算求解并代入检验即可. 【详解】若直线与平行， 则，整理可得，解得或， 若，则与平行，符合题意； 若，则与重合，不合题意； 综上所述：. 故选：B. 变式3-1． 在中，角A、、的对边分别为、、，直线与直线平行，则是（    ） A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用平行关系建立等式，再利用正弦定理边化角，结合二倍角公式推理判断即得. 【详解】依题意，在中，，由正弦定理得， 即，而， 则或，即或， 所以是等腰三角形或直角三角形. 故选：D 变式3-2． （多选）已知点，到直线l的距离相等，且l过点，则l的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】先利用几何意义得到直线l与AB平行或经过AB的中点．然后由点斜式和两点式求直线方程. 【详解】由已知直线l与AB平行或经过AB的中点． 当直线l与AB平行时，由可得：， 再由直线l与AB平行，可知斜率相等，然后由点斜式直线方程可得：， 整理得直线l方程为； 由可知中点坐标为，当直线l经过AB的中点和点时， 由两点式直线方程得：， 整理得直线l方程为． 故选：BD． 变式3-3． （多选）已知与三条直线，，都相切的圆有且仅有两个，则实数的值可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】BC 【分析】根据题设可得三条直线中有两条平行，故可求参数的值. 【详解】因为与三条直线两两相切的圆有且只有两个， 故三条直线中有两条平行，且它们两条不重合， 若直线与直线平行，则， 若直线与直线平行，则， 直线与直线不平行， 故选：BC. 类型四、两条直线垂直判定 2. 判断两条直线是否垂直的依据是:在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于-1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直. 例4． 设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，点不与重合，则的最小值是（    ） A．9 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两条直线方程求出坐标，再依据两直线垂直得出，进而利用基本不等式即可. 【详解】由以及得，， 因，则两条直线垂直， 则， 则 ， 等号成立时， 故的最小值是. 故选：C 变式4-1． 若直线与直线互相垂直，且、均为正实数，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由两直线垂直可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为、均为正实数，且直线与直线互相垂直， 则，可得， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：C. 变式4-2．（多选）设直线：，：的交点为，则（   ） A．恒过定点 B． C．的最大值为 D．点到直线的距离的最大值为5 【答案】ABD 【分析】由直线过定点即可判断A，由两直线垂直列出方程即可判断B，联立两直线方程求出交点坐标，代入计算即可判断C，结合题意可知点到直线的距离的最大值即为点到定点的距离，即可判断D. 【详解】对于A：因为直线，即， 令，解得，所以恒过定点，故A正确； 对于B：因为直线：，：满足， 所以，故B正确； 对于C：联立两直线方程，解得， 所以， 则 ， 令，则，所以， 且在上单调递增，当时，， 所以，故C错误； 对于D：由A可知，直线恒过定点， 则点到直线的距离的最大值即为点到定点的距离， 即，故D正确； 故选：ABD 变式4-3． 已知直线过点，直线与直线的交点在第一象限，点为坐标原点．若为钝角三角形，则直线的斜率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据直线斜率的定义，运用数形结合思想、分类讨论进行求解即可. 【详解】当为直角三角形时，或，此时的斜率或0．如图，设时，与交于点； 时，与交于点． 当从直线开始，绕点顺时针旋转到轴之间时，为钝角三角形，此时；记过点且与平行的直线为， 当从直线开始，绕点逆时针旋转到直线之间时，为钝角三角形，此时1．综上，． 故答案为：    类型五、直线的点斜式方程 1.点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在,点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线; 2.当直线的倾斜角为0°时，直线方程为y=; 3.当直线倾斜角为90°时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示,这时直线方程为:x= 4. k=表示直线去掉一个点 (, );y-=k(x-)表示一条直线 例5． 已知直线l与直线：，：的夹角相等，且直线l过点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】设直线l斜率为有整理求值，应用点斜式写出直线方程即可. 【详解】由题设，、的斜率分别为、，若直线l斜率为， 所以，整理得，可得或， 又直线l过点，则或，即或. 故选：D 变式5-1．（多选）已知函数，设曲线在第一象限内的部分为，过点作斜率为的直线交于，过点作斜率为的直线交轴于，再过点作斜率为的直线交于，过点作斜率为的直线交轴于，依这样的规律继续下去，得到一系列等腰直角三角形，如图所示．给出下列四个结论，其中正确结论的是（    ） A．的长为 B．点的坐标为； C．与的面积之比是 D．在直线与轴之间有6个三角形 【答案】BD 【分析】依次求出、、、、、、、、、、的坐标，然后可判断出每个的正误. 【详解】由，解得或（舍去），即， 由，令，解得，所以， 由可得，则由等腰可得的横坐标为即， 所以，故A错误； 由可得，则由等腰可得的横坐标为即，故B正确； 由可得，则由等腰可得的横坐标为即， 所以， ， 所以与的面积之比是，故C错误； 同理可求， 因为，所以共有6个三角形，故D正确. 故选：BD 变式5-2． 在平面直角坐标系中，将直线绕原点O逆时针旋转，得到直线l，若角的终边在l上，则 ． 【答案】或 【分析】根据给定条件，求出直线的方程，再按角的终边所在象限，结合三角函数定义求解作答. 【详解】令直线的倾斜角为，则，显然为锐角， 于是直线的斜率，直线的方程为， 当角的终边为射线时，在该终边上取点，该点到原点距离为，则， 当角的终边为射线时，在该终边上取点，该点到原点距离为，则， 所以或. 故答案为：或 变式5-3．设直线与曲线有三个不同的交点A，B，C，且，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】依题意，求出曲线的对称中心，再将与联立，写出韦达定理，利用弦长公式求出值，即得直线方程. 【详解】因是奇函数，图象关于原点对称，故曲线 关于点对称. 由于直线与曲线的三个交点为A，B，C，且，故由对称性知. 又因直线不符合题意，故可设，B，C两点的横坐标分别为， 将直线与联立，可得，即 则为方程的两根，于是， 由，可得， 即，从而整理得 因为，所以，于是直线的方程为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查三次函数的对称性和弦长问题，属于较难题. 解题关键在于，结合函数解析式特点，迅速判断函数图象为中心对称图形，求得点坐标，设出直线方程，与曲线方程联立消元后，借助于弦长公式即可求得值. 类型六、直线的两点式 在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式(≠≠)通过交叉相乘转化为整式形式 ()( )=( )( )，从而得到的方程中，包含了==的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由，≠和，是否相等引起的讨论.要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式 例6．（多选）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．方程与方程可表示同一直线 C．经过点，且在，轴上截距互为相反数的直线方程为 D．过两点的直线都可用方程表示 【答案】AD 【分析】对于A：先求斜率，进而可得倾斜角； 对于B，注意区分方程与方程的不同之处，对于C：设直线l：， 进而可得截距，根据题意进行求解即可，对于D：根据两点式方程的变形进行判断即可. 【详解】对于选项A：直线的斜率，倾斜角为，故A正确； 对于B，表示过点斜率为k的直线，但不含点，而表示过点斜率为k的直线，且含点，故B错误； 对于C：经过点，斜率存在，设直线为，若在，轴上截距互为相反数，则，解得或， 所以直线方程为或，故C错误； 对于D，方程为直线两点式方程的变形，可以表示经过任意两点、的直线，故D正确； 故选：AD. 变式6-1．已知点，，为坐标原点．若关于直线的对称点为，延长到，且．已知直线经过点，则直线的倾斜角为 ． 【答案】 【分析】先利用两点式求出直线的方程，再根据点关于线对称求出点坐标，进而利用向量的坐标表示得到点坐标，代入直线即可求解. 【详解】由点，可得直线方程为，即， 设，因为点和点关于直线对称， 所以，解得，即， 设，则， 因为，且由题意可知， 所以，解得， 又因为点在直线上， 所以，解得，即， 所以直线的斜率，倾斜角为， 故答案为： 变式6-2． 已知直线过定点，根据下列条件求直线l的方程. (1)若直线l与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为16； (2)若直线l被两条直线和所截得的线段的中点恰好为P，求直线l的方程. 【答案】(1)或. (2) 【分析】 (1)写出直线的截距式方程，代入点，再与面积联立，求解即可. (2)设出直线，与两条直线和，根据，求出点坐标，再根据两点式求解即可 【详解】（1）由题意可知直线斜率存在，设直线截距方程为， 则，与联立可得或. 故直线l的方程为或. （2）设直线l与交点为，与交点为， 所以①，② 因为点是线段中点，所以③，④ 将①代入③可得将之代入②，可得， 解之可得，再根据直线两点式可得， 化简可得. 故直线l的方程为. 变式6-3． 已知两点． (1)求直线的方程； (2)若点，且，求直线的方程． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由两点式求解直线的方程即可； （2）由计算点坐标，再由两点式求解直线的方程即可. 【详解】（1）因为， 所以直线的方程为， 整理得直线的方程为． （2）由题可得， 即，解得， 所以， 故直线的方程为， 即． 类型七、直线的截距式 1.截距式的条件是a≠0,b≠0，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线2.求直线在坐标轴上的截距的方法:令x=0得直线在y轴上的截距;令y= 0得直线在x轴上的截距. 例7． 经过点，且在轴和轴上截距相等的直线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】分别讨论截距为0和不为0两种情况，设出直线方程，将点代入求解即可. 【详解】当直线在轴和轴上截距都为0时，设直线方程为，将点代入解得， 此时直线方程为， 当直线在轴和轴上截距相等且不为0时，设直线方程为，将点代入解得， 此时直线方程为， 所以满足题意的直线方程为或， 故选：B 变式7-1． 已知直线在轴上的截距是轴上截距的倍，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意可得，分和两种情况讨论即可，求出直线在两坐标轴上的截距，结合题意可得出关于实数的等式，解之即可. 【详解】依题意可得， 当时，直线为，此时横纵截距都等于，满足题意； 当时，将直线的方程化为截距式方程可得， 直线在轴上的截距为，在轴上截距， 则，得或（舍去）. 综上所述，的值为或． 故选：C. 变式7-2． 已知直线经过点，与两坐标轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，则的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不妨设直线分别交、轴于点、，则，，可得出直线的截距式方程为，结合已知条件可得出，利用基本不等式可求得面积的最小值. 【详解】不妨设直线分别交、轴于点、，则，， 所以，直线的截距式方程为，因为点在直线上，则， 由基本不等式可得，可得，则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的面积的最小值为. 故选：C. 变式7-3． 在平面直角坐标系中过点作直线，分别与轴的正半轴、y轴的正半轴交于点.当直线的斜率为 时，的面积最小，最小面积是 . 【答案】 2 【分析】设，，则，将代入得，利用基本不等式可求出，从而求得的最小面积及此时直线的斜率. 【详解】设，， 则，将代入得， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， ∴， ， 所以直线的斜率为，的面积最小值为. 故答案为：①；②. 类型八、直线的一般式 1.A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线 2.当B≠0时，方程可变形为y=，它表示过点(0, )，斜率为的直线, 3.当B=0，A≠0时，方程可变形为A x+C=0，即x=，它表示一条与x轴垂直的直线 例8． 若直线经过第一、二、三象限，则，，应满足（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】将直线变形为斜截式，根据直线经过象限分析斜率和截距可得. 【详解】由题意可知直线的斜率存在，方程可变形为， 直线经过第一、二、三象限， ，， 且. 故选：B. 变式8-1．（多选）已知，若过定点的动直线和过定点的动直线交于点与不重合），则以下说法正确的是（　　） A． B．为定值 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】A选项，将两直线的一般式化为点斜式，求出定点A,B，得到的绝对值；B选项，利用两直线斜率关系，证得，从而利用直角三角形三边关系求出为定值；C选项，用基本不等式，计算三角形面积最大值；D选项，引进角为变量，实质是通过三角换元，解决两个变量的最值问题. 【详解】列表解析  直观解疑惑 选项 正误 原因 A √ 因为可化为，所以直线恒过定点．又因为可化为，所以直线恒过定点．故． B √ 对于直线，因为，所以，可得，因此，为定值． C × ，当且仅当时等号成立（点拨  注意等号成立的条件是否满足），所以的最大值为． D √ 设，因为，所以为锐角，，所以，其中，所以当时，取得最大值． 故选：ABD. 变式8-2． （多选）已知直线过定点，则下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．若直线不经过第四象限，则的取值范围为 C．若直线在轴上的截距为－3，则 D．若直线分别交x，y轴正半轴于A，B，则当取得最小值时，直线的方程为 【答案】ACD 【分析】直线方程整理得，然后求定点即可判断A；由直线不经过第四象限，则斜率和在轴上的截距都大于等于零，列出不等式求解即可判断B；由截距可求得得到C；设，利用三点共线可得，再表示出，根据基本不等式即可求得最小值，根据取最值的条件即可求出直线方程判断D. 【详解】对于A，直线，即 ， 令，解得，故直线 过定点，故A正确； 对于B，直线，即， 直线不经过第四象限，，解得， 故的取值范围是，故B错误； 对于C，易知时，直线在轴上的截距存在， 依题意，令，得直线在轴上的截距为，解得． 对于D，设三点共线， ，整理得 ， 当且仅当，即时等号成立， 当取得最小值时，直线的方程为，即． 故选：ACD. 变式8-3． 设直线的方程为，且分别与轴正半轴、轴正半轴交于点． (1)当最小时，求直线的方程； (2)当直线在两坐标轴上的截距均为正整数且也为正整数时，求直线的方程． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由题意知，可得的表达式，变形后结合基本不等式求解； （2）由题意不妨设，则，结合为正整数，得，进而可得直线的方程． 【详解】（1）由题意知，，则， 所以 （基本不等式的应用）， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，最小， 此时直线的方程为． （2）因为直线在两坐标轴上的截距均为正整数， 所以不妨设，则， 又也为正整数，所以，即，所以或4． 当时，，此时， 所以直线的方程为（直线的截距式方程），即 ； 当时，，不符合题意，舍去． 综上所述，直线的方程为． 类型九、两点间的距离 两点 (, ), (, ) 间的距离公式为|| = 此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决. 例9．著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】将转化成到点的距离与到点的距离之差，再结合和两点间的距离公式进行求解． 【详解】由所求的式子的形式想到距离之差， ， 可转化成轴上一点到点的距离与到点的距离之差， 则（当且仅当三点共线时取等号）， 所以的最大值为． 故选：B. 变式9-1． 已知是直线上的两点，若，且，则直线的一般式方程为 . 【答案】或 【分析】根据两点间的距离公式以及直线方程代入化简，解出k，得到斜截式，再化为一般式即可. 【详解】由两点间的距离公式得， 由于A，B在直线上，则，， 代入化简得 ， 所以 ，解得 ， 所以直线 的斜截式方程为： 或， 化成一般式为：或， 故答案为：或. 变式9-2． 已知点，点在轴上，则的最小值为 . 【答案】 【分析】依题意作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，则，计算即得的最小值. 【详解】如图作出点关于轴的对称点，连接，交轴于点， 连接，则，此时即为最小值. 理由：在轴上任取点，连接，易得， 则， 故上述点即是使取得最小值的点. 故答案为：.    变式9-3．“曼哈顿距离”是人工智能中常用的一种测距方式．定义平面上两点，之间的“曼哈顿距离”为．对于平面上两定点，，若动点满足．记的轨迹为，则的面积为 ． 【答案】10 【分析】根据题意可得，结合对称性只研究，，作出图形即可得面积. 【详解】由可得，即， 将代换，方程不变，可知曲线关于轴对称； 将代换，方程不变，可知曲线关于轴对称； 根据，对称性可知，只需讨论，即可． 此时，所以， 可得轨迹在第一象限内与轴和轴所围成的面积为， 所以的面积为． 故答案为：10. 【点睛】关键点点睛：根据方程研究其对称性，这样只需研究，即可，分别理解和计算. 类型十、点到直线的距离 1.点 (, )到直线Ax+By+C=0的距离为直线上所有的点到已知点P的距离中最小距离 2.使用点到直线的距离公式的前提条件是:把直线方程先化为一般式方程; 3.此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离. 例10． 已知点，且点在直线上，则下列说法错误的是（    ） A．存在点，使得 B．存在点，使得 C．（为坐标原点）的最小值为 D．的最小值为3 【答案】D 【分析】根据向量垂直的坐标关系，即可求解A，根据两点距离公式即可求解B，根据点到直线的距离即可求解C，利用对称即可求解D. 【详解】因为点在直线上，所以设. 对于A，因为点， 所以直线的方向向量分别为，. 若，则，即，化简得. 因为，所以此方程有两个不相等的实数根， 所以存在点，使得，故A正确. 对于B，由，， 得，化简得. 因为，所以此方程有两个不相等的实数根， 所以存在点，使得，故B正确. 对于C，的最小值为点到直线的距离，由题意得，故C正确. 对于D，因为点，所以线段的方程为，. 在中，令，解得， 所以点不在线段上，即点在直线的同侧. 设点关于直线的对称点为， 则当点为线段与直线的交点时，取得最小值，最小值为. 由题意，得，解得， 所以，即的最小值为，故D错误， 故选：D.    变式10-1．（多选）已知直线l：，点，，点为直线l上任意一点，则下列说法正确的是（    ） A．直线MN与直线l平行 B．存在两条过点且到M、N两点距离相等的直线 C．存在点P，使得 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据题干，求出直线MN斜率为1等于直线斜率，且两条直线不重合，即可判断A；对过点且到M、N两点距离相等的直线分斜率存在和不存在讨论，验证B选项；对于C，求出到直线l：距离的最小值，然后即可判断；对于D，作点关于直线的对称点，转换为线段长度最小值，即可判断. 【详解】对于A，直线l：斜率，直线MN斜率， 直线MN方程为，即，，两直线不重合， 所以直线MN与直线l平行，故A正确； 对于B，过点到M、N两点距离相等的直线，斜率不存在时,即，此时M、N两点到直线距离相等且为1， 当斜率存在时，设斜率为，则直线方程为，即， 因为M、N两点到直线距离相等，则，即，即， 所以存在两条过点且到M、N两点距离相等的直线，故B正确； 对于C，为直线l上任意一点，到直线l：距离的最小值为， 所以不存在点P，使得，故C错误； 对于D，如图： 作关于直线l：的对称点为，设， 则有，解得，最小值为，故D正确. 故选：ABD 变式10-2．若，点到直线的距离是，则这条直线的斜率是 . 【答案】 【分析】由点到直线的距离公式求出的值，再结合的范围，求出的大小，即可求出直线的斜率． 【详解】由题意结合点到直线的距离公式可得： 又，故，所以， ，解得，又，故，所以，则这条直线的斜率 故答案为： 变式10-3．已知点P在直线上，点，则的最小值为 【答案】 【知识点】求点关于直线的对称点后可求线段差的最小值. 【详解】如图，设关于直线的对称点为，则， 解得，则， 于是， 结合图形知，当三点共线时，此时取得最小值， 即取得最小值为 故答案为： 类型十一、 两条平行线间的距离 1.两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离; 2.利用两条平行直线间的距离公式d=时, 一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中x，y的系数分别是相同的以后，才能使用此公式. 例11．已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意确定点在直线上，点在直线上，将的最小值转化为两平行线间距离的平方，即可求得答案. 【详解】由题意知实数满足， 则， 故点在直线上，点在直线上， 而表示点和点之间的距离的平方， 故的最小值为两平行线和间距离的平方， 最小值为， 故选：B 变式11-1．实数满足，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】由点到线的距离公式求解最小值，即可求解. 【详解】， 其中为两点与距离的平方， 所以其最小值即为到直线距离的平方，即， 所以的最小值为1， 故选：B 变式11-2．已知两条平行直线，，当之间的距离最大时，（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】求出直线所过定点确定最大距离，进而求出值. 【详解】直线， 由，得，则直线过定点， 直线， 由，得，则直线过定点， 因此直线之间的距离最大为， 此时，而直线斜率， 则，所以. 故选：C 变式11-3．若直线被两条直线与所截得的线段的长为，则的倾斜角可以是 . 【答案】和 【分析】先算出已知的两直线间的距离，然后根据所截得的线段长求出直线与已知直线的夹角，问题可解． 【详解】因为直线与 则直线，故它们的距离， 又因为直线被两直线截得的线段长为， 设与的夹角为，则，， 故，而直线的斜率为1，故倾斜角为， 故直线的倾斜角为，或． 故答案为：和. 压轴专练 一、单选题 1．(25-26高二上·陕西西安东城第一中学·月考)已知直线l：恒过点G，的顶点，，的重心为G，则AC边上的垂直平分线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，解出即可得点坐标，结合重心性质即可得点坐标，借助坐标及斜率可求出其垂直平分线的方程. 【详解】将l：整理得， 由，得，所以， 设，因为是的重心，，， 所以，解得，所以， 又中点坐标为，即，且， 则AC边上的垂直平分线的方程为，即. 故选：A 2．已知直线的方程为， ，则直线 的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线方程求出直线的斜率，结合正弦函数性质确定其范围，即可求得答案. 【详解】由题意知直线的方程为， ， 即，即直线的斜率． 由 ，得 ． 又直线的倾斜角的取值范围为 ， 由正切函数的性质可得，直线的倾斜角的取值范围为 ． 故选：B． 3．设A，是轴上的两点，点的横坐标为2，且，若直线的方程为，则直线的方程是（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得P、A两点的坐标，根据，可得点在直线上，从而可得B点的坐标，从而可求得直线的方程. 【详解】由直线PA的方程为， 当时，；当时，，所以， ∵， ∴点在线段的垂直平分线，即直线上， ∴， ∴直线的斜率， ∴直线的方程为，即． 故选：A. 4．(25-26高二上·湖北武汉部分学校·模拟)已知直线绕点逆时针旋转，得到直线，则不过（   ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【答案】A 【分析】根据已知得直线的倾斜角为，设且，利用对称性和点线距离公式得，从而确定直线所过象限，即可得. 【详解】对于直线，斜率为，则其倾斜角为，逆时针旋转， 所以，则直线的倾斜角为，设， 由过，显然在下方，则旋转后与轴交点在上方，所以， 由到的距离， 由到的距离， 所以，可得（舍）， 所以中，， 所以过第一、二、三象限，不过第四象限. 故选：A 5．已知直线过点，且与直线及轴围成等腰三角形，则的方程为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】根据直线所过点、倾斜角以及等腰三角形等知识求得正确答案. 【详解】如图，设，直线过和.      ①当直线为时，直线、直线与轴围成的三角形是，不是等腰三角形，所以直线的斜率存在． ②当直线的斜率为负时，设关于轴的对称点为，当直线过两点时，是等腰三角形， 又，所以为等边三角形，满足题意，因为，所以此时直线的方程为． ③当直线的斜率为正时，设直线与轴负半轴相交于点，则，由直线AB的斜率为，倾斜角为，可得， 所以直线，也即直线的斜率为，对应方程为． 综上，直线的方程为或． 故选：A. 6．不论为何实数，直线过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】法一：直线方程可化为，解方程组即可求解； 法二：直线方程可化为，解方程组即可求解. 【详解】法一：直线方程可化为， 令，解得，即定点坐标为. 法二：直线方程可化为， 则，解得，即定点坐标为. 故选：B. 7．实数满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件可得点为圆上的一点，点是曲线上的一点，，结合关系和基本不等式求的最小值，由此可得结论. 【详解】因为，所以点为圆上的一点， 因为，所以点是曲线上的一点， 所以， 如图： 因为，为原点，， 所以，当且仅当为线段与圆的交点时取等号， 又，故，当且仅当或时等号成立， 所以，当且仅当或时等号成立， 所以，当且仅当或时等号成立， 所以当或时，取最小值，最小值为， 所以当或时，取最小值，最小值为， 故选：B. 8．在平面直角坐标系中，已知动点到两直线与的距离之和为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由点到直线的距离公式得，作图，结合的几何意义求解可得． 【详解】将直线与化为一般式为， 所以到两直线的距离之和为， 所以①． 当时，①式变形为； 当时，①式变形为； 当时，①式变形为； 当时，①式变形为． 则动点的轨迹为如图所示的四边形的边， 的几何意义为四边形边上任意一点与连线的斜率． 由，得， 由，得, ，，，， 所以的取值范围是． 故选：C 二、多选题 9．若两直线的倾斜角分别为，斜率分别是，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】根据斜率与倾斜角关系及正切函数性质依次判断各项的正误. 【详解】A：由表明斜率存在，则， 由正切函数在上，倾斜角和斜率一一对应，故，对； B：若，时，相应的倾斜角，，不满足，错； C：由正切函数的图象知： 当和时，； 当，时，； 当或时，或不存在，错； D：因为，结合正切函数的图象知，， 所以，对. 故选：AD 10．(24-25高二上·青海西宁第五中学·期中)下列说法不正确的有（    ） A．直线过定点 B．若两直线与平行，则实数的值为1 C．过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 D．点，直线与线段相交，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【分析】A选项，将直线变形为点斜式，求出所过定点；B选项，根据两直线平行，得到方程，求出实数a的值，检验后得到答案；C选项，分两种情况（1）直线过原点；（2）直线不过原点讨论求解，即可判断C；D选项，求出过定点，画出图象，数形结合得到实数m的取值范围. 【详解】A选项，， 故直线恒过定点，故A正确； B选项，两直线与平行， 则，解得或， 当时，两直线与满足要求， 当时，两直线与满足要求， 综上，或，故B错误； C选项，当直线过原点且经过点时，可得直线方程为； 当直线不过原点时，设直线为，将点代入解得， 所以直线方程为，故C错误； D选项，直线，直线经过定点， 画出坐标系，如下： 其中， 则要想直线与线段AB相交，则直线斜率或， 解得或，故D错误. 故选：BCD 11．(24-25高二上·甘肃酒泉敦煌中学·期中)在直角坐标系中，，则以下判断正确的是（   ） A．为直角三角形 B．，，，依次连起来是一个四边形 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用斜率坐标公式、两点间距离公式逐项分析判断. 【详解】对于A，直线的斜率，直线的斜率， ，即，为直角三角形，A正确； 对于B，直线的斜率，点共线，B错误； 对于C，在中，，， ，C正确； 对于D，，，D正确. 故选：ACD    三、填空题 12．(24-25高二上·湖北孝感高级中学·)在平面直角坐标系中由点发出的一条光线，经直线反射后，到达区域的边界. 则光线经过反射到达边界的最短总路程为 . 【答案】 【分析】设光线的反射点为，到达区域边界的点为，求出点关于直线的对称点，总路程为，要使总路程最短，只需最短，数形结合求解. 【详解】设光线的反射点为，到达区域边界的点为. 由题意，设点关于直线的对称点为， 则，解得， 所以点关于直线的对称点为， 总路程为，要使总路程最短，只需最短，即点到边界的距离最短. 当时，化为，表示由圆心为，半径为的圆在第一象限内的部分， 所以到边界的最短距离为. 当时，化为，表示由圆心为，半径为的圆在第二象限内的部分， 所以到边界的最短距离为. 当时，化为，表示由圆心为，半径为的圆在第三象限内的部分， 所以到边界的最短距离为. 当时，化为，表示由圆心为，半径为的圆在第四象限内的部分， 所以到边界的最短距离为. 综上，光线经过的最短总路程为. 故答案为：. 13．(24-25高二上·广东深圳新安中学（集团）燕川中学·月考)与直线相交于且与直线l夹角为的直线方程为 ． 【答案】或 【分析】先求得直线l的倾斜角，根据条件，可得所求直线的倾斜角，代入公式，即可得答案. 【详解】由题意：直线l整理可得， 所以直线的斜率，为直线l的倾斜角，且， 所以， 因为所求直线与直线l夹角为， 所以所求直线的倾斜角为或， 因为所求直线过点， 所以所求直线的方程为或，即或. 故答案为：或 14．(25-26高二上·河南新乡·)在平面直角坐标系中，过点作直线，分别与轴的正半轴，轴的正半轴交于点．当直线的斜率为 时，的面积最小（是坐标原点），最小面积是 ． 【答案】 8 【分析】设、，，，则，将代入得，利用基本不等式可求出，从而求得的最小面积及此时直线的斜率． 【详解】设， 则直线， 将代入得， 由基本不等式得，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，，， 所以直线的斜率时， 的面积最小，最小值为8， 故答案为：，8． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 直线的倾斜角、斜率、方程与距离 目录 专题01直线的倾斜角、斜率、方程与距离 类型一、直线的倾斜角 类型二、直线的斜率 类型三、两条直线平行判定 类型四、两条直线垂直判定 类型五、直线的点斜式方程型 类型六、直线的两点式 类型七、直线的截距式 类型八、直线的一般式 类型九、两点间的距离 类型十、 点到直线的距离 类型十一、两条平行线间的距离 压轴专练 类型一、直线的倾斜角 1.已知倾斜角求斜率时，若≠90°，根据公式k=tan直接计算,当倾斜角未给出时，可根据直线与其他直线的位置关系(如平行、垂直等)确定出所求直线的倾斜角，再代入k=tan计算 2.已知两点求直线的斜率时，首先应检验两点的横坐标是否相等,若相等，则斜率不存在;若不相等，则可用斜率公式k= (≠)直接计算 例1． 设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式1-1． 1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点.如图，以大五角星的中心点为原点建立直角坐标系，，，，分别是大五角星中心点与四颗小五角星中心点的连线，，则第三颗小五角星的一条边所在直线的倾斜角约为（    ）    A． B． C． D． 变式1-2． 直线的倾斜角范围为（   ） A． B． C． D． 变式1-3． 设图像的一条对称轴是直线，则直线的倾斜角为 . 类型二、直线的斜率 1.直线的倾斜角与斜率k的关系:k=tan (≠90°)，由直线的倾斜角能求斜率，反过来，由直线的斜率能求倾斜角.注意倾斜角的取值范围是0°≤<180°. 2.在0°<<90°范围内，k>0，且k随着的增大而增大;在90°<<180°范围内，k<0，且k随着的增大而增大.但在0°<<180°范围内，k并不是随着的增大而增大的. 例2．已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与直线平行，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 变式2-1． 已知直线l经点， 若直线与线段 相交， 则直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式2-2． 已知实数满足，则的最大值为 ． 变式2-3．已知矩形ABCD四个顶点分别为，一质点从线段AB上某一点M处（不包含端点），沿与AB夹角为60°的方向射到边BC上，再依次反射到边CD，DA和AB上（入射角等于反射角），则的取值范围为 ． 类型三、两条直线平行判定 1.在判断两条直线是否平行时，首先应判断直线的斜率是否存在，然后根据斜率的关系进行判断，同时不要漏掉两条直线重合的情况. 例3． 若直线与平行，则实数的值为（   ） A．0 B．2 C．3 D．2或3 变式3-1． 在中，角A、、的对边分别为、、，直线与直线平行，则是（    ） A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 变式3-2． （多选）已知点，到直线l的距离相等，且l过点，则l的方程可能是（    ） A． B． C． D． 故选：BD． 变式3-3． （多选）已知与三条直线，，都相切的圆有且仅有两个，则实数的值可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 类型四、两条直线垂直判定 2. 判断两条直线是否垂直的依据是:在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于-1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直. 例4． 设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，点不与重合，则的最小值是（    ） A．9 B． C． D． 变式4-1． 若直线与直线互相垂直，且、均为正实数，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 变式4-2．（多选）设直线：，：的交点为，则（   ） A．恒过定点 B． C．的最大值为 D．点到直线的距离的最大值为5 变式4-3． 已知直线过点，直线与直线的交点在第一象限，点为坐标原点．若为钝角三角形，则直线的斜率的取值范围是 ． 类型五、直线的点斜式方程 1.点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在,点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线; 2.当直线的倾斜角为0°时，直线方程为y=; 3.当直线倾斜角为90°时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示,这时直线方程为:x= 4. k=表示直线去掉一个点 (, );y-=k(x-)表示一条直线 例5． 已知直线l与直线：，：的夹角相等，且直线l过点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D．或 变式5-1．（多选）已知函数，设曲线在第一象限内的部分为，过点作斜率为的直线交于，过点作斜率为的直线交轴于，再过点作斜率为的直线交于，过点作斜率为的直线交轴于，依这样的规律继续下去，得到一系列等腰直角三角形，如图所示．给出下列四个结论，其中正确结论的是（    ） A．的长为 B．点的坐标为； C．与的面积之比是 D．在直线与轴之间有6个三角形 变式5-2． 在平面直角坐标系中，将直线绕原点O逆时针旋转，得到直线l，若角的终边在l上，则 ． 变式5-3．设直线与曲线有三个不同的交点A，B，C，且，则直线的方程为 . 类型六、直线的两点式 在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式(≠≠)通过交叉相乘转化为整式形式 ()( )=( )( )，从而得到的方程中，包含了==的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由，≠和，是否相等引起的讨论.要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式 例6．（多选）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．方程与方程可表示同一直线 C．经过点，且在，轴上截距互为相反数的直线方程为 D．过两点的直线都可用方程表示 变式6-1．已知点，，为坐标原点．若关于直线的对称点为，延长到，且．已知直线经过点，则直线的倾斜角为 ． 变式6-2． 已知直线过定点，根据下列条件求直线l的方程. (1)若直线l与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为16； (2)若直线l被两条直线和所截得的线段的中点恰好为P，求直线l的方程. 变式6-3． 已知两点． (1)求直线的方程； (2)若点，且，求直线的方程． 类型七、直线的截距式 1.截距式的条件是a≠0,b≠0，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线2.求直线在坐标轴上的截距的方法:令x=0得直线在y轴上的截距;令y= 0得直线在x轴上的截距. 例7． 经过点，且在轴和轴上截距相等的直线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 变式7-1． 已知直线在轴上的截距是轴上截距的倍，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式7-2． 已知直线经过点，与两坐标轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，则的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式7-3． 在平面直角坐标系中过点作直线，分别与轴的正半轴、y轴的正半轴交于点.当直线的斜率为 时，的面积最小，最小面积是 . 类型八、直线的一般式 1.A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线 2.当B≠0时，方程可变形为y=，它表示过点(0, )，斜率为的直线, 3.当B=0，A≠0时，方程可变形为A x+C=0，即x=，它表示一条与x轴垂直的直线 例8． 若直线经过第一、二、三象限，则，，应满足（    ） A．， B．， C．， D．， 变式8-1．（多选）已知，若过定点的动直线和过定点的动直线交于点与不重合），则以下说法正确的是（　　） A． B．为定值 C．的最大值为 D．的最大值为 变式8-2． （多选）已知直线过定点，则下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．若直线不经过第四象限，则的取值范围为 C．若直线在轴上的截距为－3，则 D．若直线分别交x，y轴正半轴于A，B，则当取得最小值时，直线的方程为 变式8-3． 设直线的方程为，且分别与轴正半轴、轴正半轴交于点． (1)当最小时，求直线的方程； (2)当直线在两坐标轴上的截距均为正整数且也为正整数时，求直线的方程． 类型九、两点间的距离 两点 (, ), (, ) 间的距离公式为|| = 此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决. 例9．著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 变式9-1． 已知是直线上的两点，若，且，则直线的一般式方程为 . 变式9-2． 已知点，点在轴上，则的最小值为 . 变式9-3．“曼哈顿距离”是人工智能中常用的一种测距方式．定义平面上两点，之间的“曼哈顿距离”为．对于平面上两定点，，若动点满足．记的轨迹为，则的面积为 ． 类型十、点到直线的距离 1.点 (, )到直线Ax+By+C=0的距离为直线上所有的点到已知点P的距离中最小距离 2.使用点到直线的距离公式的前提条件是:把直线方程先化为一般式方程; 3.此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离. 例10． 已知点，且点在直线上，则下列说法错误的是（    ） A．存在点，使得 B．存在点，使得 C．（为坐标原点）的最小值为 D．的最小值为3 变式10-1．（多选）已知直线l：，点，，点为直线l上任意一点，则下列说法正确的是（    ） A．直线MN与直线l平行 B．存在两条过点且到M、N两点距离相等的直线 C．存在点P，使得 D．的最小值为 变式10-2．若，点到直线的距离是，则这条直线的斜率是 . 变式10-3．已知点P在直线上，点，则的最小值为 类型十一、 两条平行线间的距离 1.两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离; 2.利用两条平行直线间的距离公式d=时, 一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中x，y的系数分别是相同的以后，才能使用此公式. 例11．已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式11-1．实数满足，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 变式11-2．已知两条平行直线，，当之间的距离最大时，（   ） A． B． C．2 D． 变式11-3．若直线被两条直线与所截得的线段的长为，则的倾斜角可以是 . 压轴专练 一、单选题 1．(25-26高二上·陕西西安东城第一中学·月考)已知直线l：恒过点G，的顶点，，的重心为G，则AC边上的垂直平分线的方程为（   ） A． B． C． D． 2．已知直线的方程为， ，则直线 的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．设A，是轴上的两点，点的横坐标为2，且，若直线的方程为，则直线的方程是（ ）． A． B． C． D． 4．(25-26高二上·湖北武汉部分学校·模拟)已知直线绕点逆时针旋转，得到直线，则不过（   ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 5．已知直线过点，且与直线及轴围成等腰三角形，则的方程为（    ） A．或 B．或 C． D． 6．不论为何实数，直线过定点（    ） A． B． C． D． 7．实数满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，已知动点到两直线与的距离之和为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．若两直线的倾斜角分别为，斜率分别是，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．(24-25高二上·青海西宁第五中学·期中)下列说法不正确的有（    ） A．直线过定点 B．若两直线与平行，则实数的值为1 C．过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 D．点，直线与线段相交，则实数的取值范围是 11．(24-25高二上·甘肃酒泉敦煌中学·期中)在直角坐标系中，，则以下判断正确的是（   ） A．为直角三角形 B．，，，依次连起来是一个四边形 C． D． 三、填空题 12．(24-25高二上·湖北孝感高级中学·)在平面直角坐标系中由点发出的一条光线，经直线反射后，到达区域的边界. 则光线经过反射到达边界的最短总路程为 . 13．(24-25高二上·广东深圳新安中学（集团）燕川中学·月考)与直线相交于且与直线l夹角为的直线方程为 ． 14．(25-26高二上·河南新乡·)在平面直角坐标系中，过点作直线，分别与轴的正半轴，轴的正半轴交于点．当直线的斜率为 时，的面积最小（是坐标原点），最小面积是 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $