专题01 二次函数概念与基础图象性质（专项训练）数学沪科版九年级上册

专题1 二次函数概念和基础图像性质 目录 A题型建模・专项突破 题型一、根据二次函数概念三要素判断二次函数 1 题型二、根据二次函数概念三要素求参数 3 题型三、二次函数图像性质1：顶点坐标 6 题型四、二次函数图像性质2：增减性运用 8 题型五、二次函数图像性质3：函数平移 10 题型六、二次函数图像性质4：性质综合 10 B 综合攻坚・能力跃升 12 题型一、根据二次函数概念三要素判断二次函数 1．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）下列函数中，属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）下列函数中，是二次函数的有（   ） ①；②；③；④．⑤ A．个 B．个 C．个 D．个 3．（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段练习）下列函数中，y是x的二次函数的是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·浙江温州·阶段练习）下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 题型二、根据二次函数概念三要素求参数 5．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）若函数是二次函数，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 6．（25-26九年级上·云南昆明·开学考试）若函数是关于的二次函数．则常数的值是（    ） A．1 B． C．2 D．2或 7．（25-26九年级上·河南信阳·阶段练习）如果函数是关于x的二次函数，那么m的值是（    ） A．2 B．3 C．2或3 D．0 8．（25-26九年级上·河南信阳·阶段练习）已知函数，m是常数． (1)若这个函数是一次函数，求m的值； (2)若这个函数是二次函数，求m的值． 9．（25-26九年级上·浙江金华·开学考试）已知是关于的二次函数．求的值及函数表达式． 10．（25-26九年级上·全国·单元测试）已知是二次函数，求a． 题型三、二次函数图像性质1：顶点坐标 11．（25-26九年级上·甘肃定西·阶段练习）抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 12．（25-26九年级上·新疆和田·阶段练习）二次函数的图象的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 13．（13-14八年级下·西藏·期末）二次函数的图像的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 14．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 15．（24-25九年级上·北京海淀·期中）抛物线的开口方向和顶点坐标是（    ） A．开口向上， B．开口向下， C．开口向上， D．开口向下， 16．（25-26九年级上·吉林松原·阶段练习）已知二次函数． (1)将其化为的形式； (2)直接写出该抛物线的对称轴和顶点坐标． 题型四、二次函数图像性质2：增减性运用 17．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）已知二次函数的图象经过点，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 18．（25-26九年级上·河南信阳·阶段练习）已知，，是抛物线上的点，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 19．（2024九年级·陕西·学业考试）已知二次函数 的自变量对应的函数值分别为 ．当 时，三者之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 20．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）抛物线过，，三点，，，大小关系是（ ） A． B． C． D． 21．（25-26九年级上·浙江衢州·阶段练习）已知二次函数中函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示，点，，在函数的图象上，当，时，则的大小关系是（   ） x … 0 1 2 3 … y … 2 3 2 … A． B． C． D． 22．（2025·福建·模拟预测）若点，，在二次函数的图象上， 且 则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 题型五、二次函数图像性质3：函数平移 23．（25-26九年级上·四川绵阳·开学考试）要由抛物线得到抛物线，则抛物线（   ） A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 B．向右平移1个单位，再向上平移3个单位 C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 D．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 24．（25-26九年级上·河南信阳·阶段练习）将抛物线向下平移2个单位长度后，再向左平移1个单位长度，所得新抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 25．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）将抛物线向下平移1个单位，得到的抛物线是（   ） A． B． C． D． 26．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）将抛物线向右平移个单位后，得到的抛物线的表达式是（ ） A． B． C． D． 27．（25-26九年级上·河北邢台·期中）若平面直角坐标系中二次函数的图象，经过平移后可与的图象完全重合，则的值可能分别为（  ） A． B． C． D． 28．（25-26九年级上·福建福州·开学考试）要得到函数的图象，可以将函数的图象（    ） A．向右平移1个单位，再向上平移3个单位 B．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 C．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 D．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 题型六、二次函数图像性质4：性质综合 29．（2024·广东广州·二模）已知抛物线，下列结论错误的是（    ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线 C．当时，y随x的增大而减小 D．抛物线的顶点坐标为 30．（25-26九年级上·陕西延安·阶段练习）已知一个二次函数（、为常数，且）的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 3 5 … … 0 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（   ） A．图象的开口向上 B．当时，的值随的值增大而增大 C．图象的对称轴是直线 D．图象经过第二、三、四象限 31．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）已知抛物线，下列结论错误的是（   ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线 C．当时，取最大值2 D．当时，随的增大而增大 32．（2021·浙江杭州·模拟预测）对于二次函数，下列说法中正确的是（   ） A．图象的开口向上 B．函数的最大值为1 C．图象的对称轴为直线 D．当时y随x的增大而增大 33．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）对于二次函数，下列结论正确的是（   ） A．函数图像的顶点坐标是 B．当时，有最小值为7 C．当时，随的增大而增大 D．图像的对称轴是直线 34．（25-26九年级上·全国·阶段练习）对于的图象下列叙述正确的是（    ） A．顶点坐标为 B．对称轴为直线 C．当时，y有最大值2 D．当时y随x增大而减小 1．（2025·安徽合肥·一模）已知实数满足，则下列判断正确的是（  ） A．的取值范围为 B．的最大整数值为1 C．的最大值为1 D．的最小值为 2．（2025·安徽·一模）已知正数，，满足，，，下列说法正确的是（   ） A．当时，随的增大而减小 B．当时，随的增大而增大 C．当时，最小值为为 D． 3．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）若二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围为 ． 4．（2025·上海普陀·二模）已知抛物线的顶点为，、、、是抛物线上的四点，且线段、都垂直于抛物线的对称轴．如果，，那么的值等于 ． 5．（2025·北京朝阳·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）； (2)和是抛物线上的两点，若对于，都有，求的取值范围． 6．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数，图象经过点，，． (1)当时， ①求二次函数的表达式； ②当时，随的增大而增大，求的取值范围； (2)若在，，这三个实数中，只有一个是正数，求证：． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1 二次函数概念和基础图像性质 目录 A题型建模・专项突破 题型一、根据二次函数概念三要素判断二次函数 1 题型二、根据二次函数概念三要素求参数 3 题型三、二次函数图像性质1：顶点坐标 6 题型四、二次函数图像性质2：增减性运用 8 题型五、二次函数图像性质3：函数平移 10 题型六、二次函数图像性质4：性质综合 10 B 综合攻坚・能力跃升 12 题型一、根据二次函数概念三要素判断二次函数 1．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）下列函数中，属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，解析式形如的函数叫做二次函数，熟记二次函数的定义是解题的关键．据此即可求解． 【详解】解：A、是一次函数，不符合题意； B、是一次函数，不符合题意； C、是二次函数，符合题意； D、，等号右边不是整式，不是二次函数，不符合题意， 故选：C． 2．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）下列函数中，是二次函数的有（   ） ①；②；③；④．⑤ A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般式为，根据给定的函数依次分析． 【详解】①，符合二次函数的一般式，是二次函数； ②，由于不是整式，不是二次函数； ③，是一次函数，不是二次函数； ④，函数中的最高次数是，不满足二次函数最高次数是的条件，不是二次函数； ⑤，当时，不是二次函数； 故选：A． 3．（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段练习）下列函数中，y是x的二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义：“一般地，形如（是常数，且）的函数叫做二次函数”，熟记定义是解题关键．根据二次函数的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、不是二次函数，则此项不符合题意； B、是正比例函数，不是二次函数，则此项不符合题意； C、是二次函数，则此项符合题意； D、是一次函数，不是二次函数，则此项不符合题意； 故选：C． 4．（25-26九年级上·浙江温州·阶段练习）下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义．利用二次函数的一般形式为：是常数，，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、是正比例函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； B、是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； C、符合二次函数的定义，故本选项符合题意； D、不是二次函数，故本选项不符合题意． 故选：C． 题型二、根据二次函数概念三要素求参数 5．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）若函数是二次函数，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的二次项系数不为，最高次数为次，得出，即可求解． 【详解】解：由二次函数定义得， 解得． 故选：B． 6．（25-26九年级上·云南昆明·开学考试）若函数是关于的二次函数．则常数的值是（    ） A．1 B． C．2 D．2或 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的定义，列出关于的方程和不等式是解题的关键．根据二次函数的定义即可得出关于的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：是关于的二次函数， ， 解得：． 故选：B． 7．（25-26九年级上·河南信阳·阶段练习）如果函数是关于x的二次函数，那么m的值是（    ） A．2 B．3 C．2或3 D．0 【答案】B 【分析】本题考查根据二次函数的定义求参数的值，根据二次函数的定义得到且，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， 解得：； 故选：B． 8．（25-26九年级上·河南信阳·阶段练习）已知函数，m是常数． (1)若这个函数是一次函数，求m的值； (2)若这个函数是二次函数，求m的值． 【答案】(1)； (2)且 【分析】本题考查了一次函数以及二次函数的定义，当且时，这个函数是一次函数；当时，这个函数是二次函数，据此即可求解； 【详解】（1）解：当且时，这个函数是一次函数， 此时：； （2）当时，这个函数是二次函数， 此时：且 9．（25-26九年级上·浙江金华·开学考试）已知是关于的二次函数．求的值及函数表达式． 【答案】， 【分析】本题考查根据二次函数的定义求出参数的值，根据二次函数的定义得到，且，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，， 解方程，可得， 解不等式，可得， 综上所述，可知， ∴． 10．（25-26九年级上·全国·单元测试）已知是二次函数，求a． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义，由二次函数的定义可得，且，解得即可． 【详解】解：∵是二次函数， ∴，且， 解得． 题型三、二次函数图像性质1：顶点坐标 11．（25-26九年级上·甘肃定西·阶段练习）抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线的顶点式，抛物线的顶点式为，其顶点坐标为，据此解答即可. 【详解】解：，对照顶点式， 得：，， ∴顶点为. 故选：B. 12．（25-26九年级上·新疆和田·阶段练习）二次函数的图象的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的顶点坐标，熟练掌握二次函数图象的顶点坐标为是解题的关键．根据二次函数的顶点式即可求解． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是． 故选：A． 13．（13-14八年级下·西藏·期末）二次函数的图像的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了顶点式顶点坐标为，根据顶点式的坐标特点写出顶点坐标即可，熟练掌握顶点式的性质是解题的关键． 【详解】解：二次函数的图像的顶点坐标是． 故选：A 14．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 由抛物线的顶点式可求得其顶点坐标． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 故选：D． 15．（24-25九年级上·北京海淀·期中）抛物线的开口方向和顶点坐标是（    ） A．开口向上， B．开口向下， C．开口向上， D．开口向下， 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据顶点式的顶点坐标公式，以及的符号，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴抛物线的开口方向向上，顶点坐标为； 故选C． 16．（25-26九年级上·吉林松原·阶段练习）已知二次函数． (1)将其化为的形式； (2)直接写出该抛物线的对称轴和顶点坐标． 【答案】(1) (2)对称轴是直线，顶点坐标是 【分析】本题考查了把一般式化为顶点式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据把二次函数的一般式化为顶点式的过程进行作答即可； （2）结合二次函数的图象性质进行作答即可． 【详解】（1）解：； （2）解：由（1）得， 则该抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是． 题型四、二次函数图像性质2：增减性运用 17．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）已知二次函数的图象经过点，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，先将函数化为顶点式，确定对称轴和开口方向，再计算各点到对称轴的距离，根据开口方向比较大小即可． 【详解】解：， 抛物线的对称轴为，图像开口向下， 由于点， 可知离对称轴最远，离对称轴最近， ， 故选：A． 18．（25-26九年级上·河南信阳·阶段练习）已知，，是抛物线上的点，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比较二次函数的函数值的大小，根据二次函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而增大， ∵，，是抛物线上的点，且， ∴， 故选：D． 19．（2024九年级·陕西·学业考试）已知二次函数 的自变量对应的函数值分别为 ．当 时，三者之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，掌握当开口向上时，图象上的点离对称轴越近，函数值越小是解题的关键． 先确定出三点离对称轴的远近，再根据当开口向上时，图象上的点离对称轴越近，函数值越小即可解答． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴， ∵二次函数的二次项系数， ∴． 故选D． 20．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）抛物线过，，三点，，，大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征以及二次函数的性质，牢记“当时，抛物线开口向上，离对称轴越远的点，函数值越大；当时，抛物线开口向下，离对称轴越远的点，函数值越小”是解题的关键．利用二次函数的性质，结合各点到对称轴的距离，即可得出结论． 【详解】解：，， 抛物线的对称轴为直线，开口向下， 离对称轴越远的点，函数值越小． 又， ， ． 故选：C． 21．（25-26九年级上·浙江衢州·阶段练习）已知二次函数中函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示，点，，在函数的图象上，当，时，则的大小关系是（   ） x … 0 1 2 3 … y … 2 3 2 … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．先利用待定系数法可得二次函数的解析式为，再根据二次函数的对称性可得点在这个二次函数的图象上，然后求出，根据二次函数的增减性求解即可得． 【详解】解：将点，代入得：， 解得， ∴二次函数的解析式为， ∴这个二次函数的对称轴为直线，抛物线的开口向下， ∴当时的函数值与当时的函数值相等， ∴点在这个二次函数的图象上， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵二次函数的对称轴为直线，抛物线的开口向下， ∴当时，随的增大而增大， ∵点，，都在这个二次函数的图象上，且， ∴， 故选：B． 22．（2025·福建·模拟预测）若点，，在二次函数的图象上， 且 则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，先求出二次函数的对称轴为直线，再结合二次函数的性质可得，当时时，函数有最小值为，且，即，再分情况解不等式即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵点，，在二次函数的图象上，且， ∴，当时时，函数有最小值为，且，即， 当时，，此不等式无解； 当时，，解得，即， 当时，，恒成立， 综上所述，， 故选：D． 题型五、二次函数图像性质3：函数平移 23．（25-26九年级上·四川绵阳·开学考试）要由抛物线得到抛物线，则抛物线（   ） A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 B．向右平移1个单位，再向上平移3个单位 C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 D．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 【答案】A 【分析】本题考查的是二次函数的图象的平移，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键． 根据抛物线的平移规律：“上加下减，左加右减”，分析原函数到目标函数的平移方向和单位数。 【详解】解：∵原抛物线为，目标抛物线为， ∴抛物线，向左平移1个单位得， 再将抛物线向下平移3个单位得， 故选A． 24．（25-26九年级上·河南信阳·阶段练习）将抛物线向下平移2个单位长度后，再向左平移1个单位长度，所得新抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据平移规则，左加右减，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：将抛物线向下平移2个单位长度后，再向左平移1个单位长度，得到； 故选A． 25．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）将抛物线向下平移1个单位，得到的抛物线是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，根据二次函数图象平移规律：上加下减，进行求解即可． 【详解】解：将抛物线向下平移1个单位，得到的抛物线表达式为， 故选：D． 26．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）将抛物线向右平移个单位后，得到的抛物线的表达式是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式即可求得平移后的函数解析式． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 把抛物线向右平移个单位后，顶点的坐标是， 把抛物线向右平移个单位后，得到的抛物线的表达式是． 故选：B． 27．（25-26九年级上·河北邢台·期中）若平面直角坐标系中二次函数的图象，经过平移后可与的图象完全重合，则的值可能分别为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据平移前后抛物线的解析式可得，进而根据选项即可判断求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象，经过平移后可与的图象完全重合， ∴， 故选:C． 28．（25-26九年级上·福建福州·开学考试）要得到函数的图象，可以将函数的图象（    ） A．向右平移1个单位，再向上平移3个单位 B．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 C．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 D．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 【答案】A 【分析】主要考查了函数图象的平移，抛物线的顶点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．根据抛物线顶点的变换规律得到正确的选项 【详解】解：抛物线的顶点坐标是，抛物线的顶点坐标是， 所以将顶点向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到顶点， 即将函数的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到函数的图象． 故选：A． 题型六、二次函数图像性质4：性质综合 29．（2024·广东广州·二模）已知抛物线，下列结论错误的是（    ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线 C．当时，y随x的增大而减小 D．抛物线的顶点坐标为 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，先将配方成顶点式，再根据二次函数的图象与性质判断即可． 【详解】解：，， ∴对称轴为直线，抛物线开口向上，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大， ∴A、B、D正确，不符合题意；C错误，符合题意； 故选：C． 30．（25-26九年级上·陕西延安·阶段练习）已知一个二次函数（、为常数，且）的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 3 5 … … 0 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（   ） A．图象的开口向上 B．当时，的值随的值增大而增大 C．图象的对称轴是直线 D．图象经过第二、三、四象限 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．利用待定系数法求出二次函数的解析式，根据即可判断选项A错误；根据函数图象的开口向下，图象的对称轴是直线，即可判断选项B错误、选项C正确；根据图象与轴交点为，对称轴为直线，开口向下，顶点为，即可判断选项D错误． 【详解】解：将点和代入二次函数得：， 解得， ∴二次函数的解析式为． A、因为，所以函数图象的开口向下，则此项错误，不符合题意； B、∵函数图象的开口向下，对称轴是直线， ∴当时，随增大而减小，则此项错误，不符合题意； C、图象的对称轴是直线，则此选项正确，符合题意； D、当时，，解得， ∴抛物线与轴交点为， ∵抛物线的对称轴为直线，开口向下，顶点为， ∴图象经过第一、三、四象限．则此选项错误，不符合题意； 故选：C． 31．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）已知抛物线，下列结论错误的是（   ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线 C．当时，取最大值2 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【分析】本题主要考查抛物线的性质，先把函数解析式化为顶点式，然后根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标以及增减性即可得出答案． 【详解】解：， ∵， ∴抛物线开口向下，故选项A正确，不符合题意； ∴抛物线的对称轴为直线，故选项B正确，不符合题意； ∵抛物线开口向下，顶点坐标为， ∴当时，取最大值2，故选项C正确，不符合题意； ∵抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故选项D错误，符合题意． 故选：D． 32．（2021·浙江杭州·模拟预测）对于二次函数，下列说法中正确的是（   ） A．图象的开口向上 B．函数的最大值为1 C．图象的对称轴为直线 D．当时y随x的增大而增大 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确 【详解】解：A．∵二次函数，， ∴该函数图象开口向上，故选项A正确； B．函数的最小值为1，故选项B错误； C．函数图象的对称轴为直线，故选项C错误； D．当时y随x的增大而减小，故选项D错误； 故选：A． 33．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）对于二次函数，下列结论正确的是（   ） A．函数图像的顶点坐标是 B．当时，有最小值为7 C．当时，随的增大而增大 D．图像的对称轴是直线 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图像性质，根据得出顶点坐标，对称轴，增减性，以及最值，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴函数图像的顶点坐标是， 故A选项不符合题意； ∵， ∴开口方向向下，当时，有最大值为7， 故B选项不符合题意； ∵， ∴抛物线开口方向向下，对称轴为直线， 故D选项符合题意； 当时，随的增大而减小， 故C选项不符合题意； 故选：D． 34．（25-26九年级上·全国·阶段练习）对于的图象下列叙述正确的是（    ） A．顶点坐标为 B．对称轴为直线 C．当时，y有最大值2 D．当时y随x增大而减小 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的性质． 利用二次函数的图象和性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：A.该函数的顶点坐标为，该选项错误，不符合题意； B. 对称轴为直线，该选项正确，符合题意； C. ∵，∴抛物线开口向上，当时，y有最小值2，该选项错误，不符合题意； D. ∵，∴抛物线开口向上，当时y随x增大而增大，该选项错误，不符合题意； 故选：B． 1．（2025·安徽合肥·一模）已知实数满足，则下列判断正确的是（  ） A．的取值范围为 B．的最大整数值为1 C．的最大值为1 D．的最小值为 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组，二次函数的图像和性质，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 由，得到，再由可得的，，可判断A、B；把代入和可转化为二次函数，根据二次函数的性质可判断C、D． 【详解】解：由得， ， ， 解得， ， 的最大整数值为， 故错误，错误； ， 由，函数的对称轴为，在上函数单调递增， ∴当时，， 故错误； ， ∵，二次函数图象开口向上，当时，取得最小值， 故正确； 故选：D． 2．（2025·安徽·一模）已知正数，，满足，，，下列说法正确的是（   ） A．当时，随的增大而减小 B．当时，随的增大而增大 C．当时，最小值为为 D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值，对称轴，熟练掌握以上知识点并能进行数形结合是解题的关键．从题意可知，，，结合为正数，求得的范围，结合二次函数的图象一一判断即可． 【详解】解： ， 的开口向上，对称轴为 时，随的增大而减小，时，即时，随的增大而增大，故A不符合题意，B不符合题意； 当时，最小值为为，当时，有最大值1，故C不符合题意； ，故D符合题意； 故选：D． 二、填空题 3．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）若二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，掌握该知识点是解题的关键．首先根据已知抛物线的解析式确定对称轴和开口方向，然后结合对称轴和开口方向确定抛物线的增减性，由此即可求解． 【详解】解：，， 开口向下，对称轴为， 当时，随的增大而增大， ， 故答案为：． 4．（2025·上海普陀·二模）已知抛物线的顶点为，、、、是抛物线上的四点，且线段、都垂直于抛物线的对称轴．如果，，那么的值等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查抛物线的顶点式、对称轴性质，以及几何图形中三角形面积的计算，解题的关键在于理解线段与对称轴垂直的几何意义，进而确定点的坐标，计算面积比． 先根据抛物线的顶点式确定顶点坐标为和对称轴为直线，再根据对称轴性质设点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为，进而求得的纵坐标为：，的纵坐标为：，再利用底和高的关系，求出面积比． 【详解】解：∵抛物线方程为， ∴顶点为，对称轴为直线， ∵线段、都垂直于抛物线的对称轴，，， ∴线段、为水平方向，中点在对称轴上， ∴设点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为， ∴的纵坐标：， 的纵坐标为：， ∴的面积：底为，高为顶点到的垂直距离，面积为， 的面积：底为，高为顶点到的垂直距离，面积为， ∴面积比为， 故答案为：． 三、解答题 5．（2025·北京朝阳·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）； (2)和是抛物线上的两点，若对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查二次函数综合，熟练掌握二次函数的图象和性质、解不等式等知识点是解题关键． （1）将二次函数一般式化为顶点式即可求出抛物线的顶点坐标； （2）由题意可分为当时及当时，两种情况分类讨论，求出实数的取值范围． 【详解】（1）解：， ∴抛物线的顶点坐标为． （2）解：抛物线对称轴为， ①若， 则当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小， ， ， 设点M关于对称轴的对称点为， 则， ， ， （i）当时，有， ， ，符合题意； （ii）当时，令， ， ， ，不符合题意； （iii）当时，令， ， ，不符合题意； ②若， 则当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大， （i）当时，令， ， ， ，不符合题意； （ii）当时，令， ， ， ，不符合题意； （iii）当时，有， ， ，符合题意， 综上所述，a的取值范围是或． 6．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数，图象经过点，，． (1)当时， ①求二次函数的表达式； ②当时，随的增大而增大，求的取值范围； (2)若在，，这三个实数中，只有一个是正数，求证：． 【答案】(1)①；② (2)证明见解析 【分析】（）当时，将点代入函数解析式解答即可求解；②根据二次函数的性质解答即可求解； （）由二次函数的对称性可得，进而得到和都是非正数，是正数， 即得，解不等式组即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：①当时，将点代入函数解析式得，， 解得， ∴二次函数的表达式为； ②∵， ∴抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∴当时，随的增大而增大， ∵当时，随的增大而增大， ∴； （2）证明：∵抛物线的对称轴为直线，， ∴点和点关于抛物线的对称轴对称， ∴， 又∵这三个实数中，只有一个是正数， ∴和都是非正数，是正数， ∴， 解得， ∴． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $