精品解析：山东省泰安市新泰市新泰中学2025-2026学年高三上学期9月月考数学试题

新泰中学2023级高三上学期第一次大单元考试 数学试题 2025.09 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的补集的定义即可求得. 【详解】因为，则，因为，则，. 故选：A 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数与对数的互换表示出，然后利用换底公式以及对数的运算法则求解即可． 【详解】由题可得，即． 原式． 故选：． 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由诱导公式得到，进而由诱导公式和二倍角公式求出答案. 【详解】， . 故选：C 4. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性排除A，根据特殊区间函数的符号排除CD. 【详解】因为，所以函数为偶函数，图象关于轴对称，故排除A； 当时，，故排除C； 当时，，故排除D. 故选：B 5. 若关于的方程有3个不同的根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】问题转化为有3个不同的根，令，，利用导数求出的单调性和极值，数形结合求解. 【详解】由方程有3个不同的根，即有3个不同的根， 令，， 则， 令，解得或，令，解得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 且，，作出图象如下： 所以，即. 故选：B. 6. 把函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若在上是减函数，则实数的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平移规则可得，再由余弦函数单调性限定得出不等式即可得结果. 【详解】把的图象向左平移个单位长度得到函数，可得； 当时，，若在上是减函数， 可得，因此，解得， 即实数的最大值为. 故选：A 7. 若两个正实数满足且存在这样的使不等式有解，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，存在，使不等式有解，即，解不等式可求. 【详解】正实数，满足， . 当且仅当且，即，时取等号， 存在，使不等式有解， ，解可得或，即， 故选：C. 8. 在，角，，所对的边分别为，，．已知，，，则角为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理得，再由小边对小角得解. 【详解】因为，，， 根据正弦定理，则， 得， ， 所以或， 因为，所以， 所以. 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知a，b，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】由不等式的基本性质即可判定各个选项. 【详解】A选项：当，时，，但，故A错误； B选项：∵，∴当时，，故B正确； C选项：∵，∴，，由∵， ∴，故C正确； D选项：，则，当时，，故D错误. 故选：BC. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 的图象关于直线对称 D. 在上的值域为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据图象求出函数的解析式，结合三角函数的性质，逐次判断各选项即可得到结论． 【详解】由函数的部分图象可知：， 又因为，即结合函数的单调性可得 ,故A错误； 即所以, 故B正确； 所以． 对于选项C：当时，可得， 所以的图象关于直线对称， 故C正确； 对于选项D： 当时，， 所以，即，故D错误； 故选：BC． 11. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数在单调递增. B. 函数在单调递减. C. 对任意，都有成立. D. 存在，使得. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用导数求解单调性判断A，B，利用函数的凹凸性判断C，转化为零点问题，利用导数结合零点存在性定理判断D即可. 【详解】因为，所以， 易得，令， 所以，故恒成立， 故单调递增，即当时，恒成立， 所以函数在单调递增，故A正确， 易得，所以， 所以存在作为零点， 令，，令，， 所以函数在不单调递减，故B错误， 由已知得的二阶导数恒大于0， 所以是凹函数，所以成立，故C正确， 欲证，则证， 即证存在，， 令，即证存在，有零点即可， 而，令， 所以，故在上单调递增， 而，所以在上恒成立， 故在上单调递减，易得， 所以在上恒成立， 故在上不可能有零点，故D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，角，，的对边分别为，，，已知面积为，则角______. 【答案】 【解析】 【分析】根据面积公式，以及余弦定理解三角形. 【详解】由面积公式可得， 即，化简得， 解得，又，所以. 故答案为：. 13. 定义在上的偶函数，满足，则以下判断正确的是______. ①；②；③；④. 【答案】①③ 【解析】 【分析】利用特殊值及偶函数性质判断①；根据已知条件得 ， 判断②、③；根据函数的性质，举反例判断④，由此可得结论. 【详解】由，令， 则， 又为偶函数，则，①对； 由已知得， 将替换为，得， 若，又不恒为，②错； 对于，将替换为， 得，③对； 由且， 可得周期为2且关于对称， 显然是满足题设的一个函数，此时，④错. 故答案为：①③ 14. 若，则实数的最大值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由题可得，然后由导数知识求出最值可得答案. 【详解】. 因函数均在上单调递增，则在上单调递增. 又，则. 构造函数，则. ，则在递减，在上递增. 则，故. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知：，：. （1）若是真命题，求对应的取值范围； （2）若是的必要不充分条件，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解绝对值不等式即可得出答案； （2）由是的必要不充分条件，可得，解不等式即可得出答案. 【小问1详解】 ∵：是真命题，∴， ∴，解得， ∴的取值范围是. 【小问2详解】 由（1）知：：，：即 因为是的必要不充分条件，所以，解得：. 综上所述的取值范围是. 16. 已知函数的最小正周期为. （1）求图象的对称轴方程； （2）将图象向右平移个单位长度得到函数，求函数在上的值域. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由二倍角公式及诱导公式，可得函数的解析式，进而求出函数的对称轴的方程； （2）由函数的平移可得的解析式，再由自变量的范围，求出函数的值域． 【小问1详解】 ， ，所以函数的最小正周期，可得， 所以， 可得对称轴满足的条件，， 即对称轴方程为，； 【小问2详解】 由（1）可得， 因为,， 所以,， 所以,， 所以的值域为． 17. 在中，角的对边分别为，已知. （1）求； （2）已知，求的最大值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理进行边换角，再通过三角恒等变换得，则得到的大小； （2）利用正弦定理得到，再根据关系减少变量，最后利用三角恒等变换和三角函数的性质即可得到最大值. 【小问1详解】 ∵， 由正弦定理得， ，即， 所以， ∵，∴，∴， ∵，∴； 【小问2详解】 由正弦定理，得， ∴ ， 又∵，为锐角，∴的最大值为， ∴的最大值为. 18. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若函数有两个极值点，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而根据点斜式即可得出结果； （2）求出，可得，化简，构造函数，利用单调性即可求得答案. 【小问1详解】 ， 曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 ， 则函数的定义域为， 若函数有两个极值点，且． 则方程的判别式，且， ． ． 设， 则在上恒成立． 故在单调递减，从而． 因此，的取值范围是． 19. 已知函数 （1）若函数是上的增函数，求的取值范围； （2）证明：当时，不等式对任意恒成立； （3）证明： 【答案】(1)k>−1；(2) 当k=2时，， ∴不等式f(x)<lnx对任意x>0恒成立，等价于对任意x>0恒成立． 令，则，令， ∴g(x)在(0,3)上递减，在(3,+∞)上递增， ∴g(x)⩾g(3)=ln3−1>0， 即对任意x>0恒成立． ∴不等式f(x)<lnx对任意x>0恒成立； (3) 由(2)知，对任意x>0恒成立，即. ， ， >2n−3. 即. 【解析】 【分析】(1)首先求得导函数，然后由导函数恒非负即可确定实数k的取值范围； (2)将原问题进行恒等变形，构造新函数，求解新函数的最小值即可证得题中的不等式； (3)利用(2)中证得的不等式，令然后进行放缩，结合裂项求和法即可证得题中的不等式. 【详解】(1)函数的定义域为， ， ∵f(x)是(0,+∞)上的增函数，对x∈(0,+∞)恒成立． ∴k+1⩾0，得k⩾−1， 而k=−1时f′(x)=0，f(x)=−1为常函数，不满足条件， ∴k>−1； (2)略 (3)略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新泰中学2023级高三上学期第一次大单元考试 数学试题 2025.09 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的方程有3个不同的根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 把函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若在上是减函数，则实数的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 若两个正实数满足且存在这样的使不等式有解，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在，角，，所对的边分别为，，．已知，，，则角为（ ） A. B. 或 C. D. 或 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知a，b，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 的图象关于直线对称 D. 在上的值域为 11. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数在单调递增. B. 函数在单调递减. C. 对任意，都有成立. D. 存在，使得. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，角，，的对边分别为，，，已知面积为，则角______. 13. 定义在上的偶函数，满足，则以下判断正确的是______. ①；②；③；④. 14. 若，则实数的最大值为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知：，：. （1）若是真命题，求对应的取值范围； （2）若是的必要不充分条件，求的取值范围. 16. 已知函数的最小正周期为. （1）求图象的对称轴方程； （2）将图象向右平移个单位长度得到函数，求函数在上的值域. 17. 在中，角的对边分别为，已知. （1）求； （2）已知，求的最大值. 18. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若函数有两个极值点，且，求的取值范围． 19. 已知函数 （1）若函数是上的增函数，求的取值范围； （2）证明：当时，不等式对任意恒成立； （3）证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $