精品解析：河南省泌阳县第二高级中学2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题

高三秋期开学考试 数学试题 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1 设，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，则以下错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 随机变量X的分布列如下表所示，若，则（ ） X 0 1 P a b A. 9 B. 7 C. 5 D. 3 6. 如图所示五个区域中，现有四种颜色可供选择．要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为 A. 24种 B. 48种 C. 72种 D. 96种 7. 甲，乙，丙，丁四人在足球训练中进行传球训练，从甲开始传球，甲等可能地把球传给乙，丙，丁中的任何一个人，以此类推，则经过3次传球后乙恰接到1次球的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 甲箱子里装有3个白球和2个红球，乙箱子里装有3个白球和3个红球，从这两个箱子里分别随机摸出一个球，设摸出白球的个数X的均值和方差分别为，，摸出红球个数Y的均值和方差分别为，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知事件A，B发生的概率分别为，，则（ ） A. B. C 若A与B互斥，则 D. 一定有 10. 设正实数满足，则（ ） A. B. C. D. 11. 一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是（ ） A. 取出的最大号码X服从超几何分布 B. 取出的黑球个数Y服从超几何分布 C. 取出2个白球的概率为 D. 若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则的最大值为__________． 13. 某批产品来自A，B两条生产线，A生产线占，次品率为；B生产线占，次品率为，现随机抽取一件进行检测，若抽到的是次品，则它来自A生产线的概率是__________． 14. 如图，一只青蛙开始时位于数轴上原点的位置，每次向数轴的左侧或右侧随机跳跃一个单位长度，记为第次跳跃后对应数轴上的数字，则满足的跳跃方法有__________种． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）当a=2，时，求函数f(x)的值域； （2）若函数在上的最大值为，求实数的值. 16. 已知，. （1）是否存在实数，使得是的充要条件？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 17. 在展开式中，求： （1）二项式系数最大的项； （2）系数绝对值最大的项； （3）系数最大项． 18. 某人工智能研究实验室开发出一款全新聊天机器人棋型，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话．聊天机器人棋型的开发主要采用（人类反馈强化学习）技术，在测试它时，如果输入的问题没有语法错误，则它的回答被采纳的概率为，当出现语法错误时，它的回答被采纳的概率为. （1）在某次测试中输入了7个问题，聊天机器人棋型的回答有5个被采纳，现从这7个问题中抽取4个，以表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求的分布列和数学期望； （2）设输入的问题出现语法错误的概率为，若聊天机器人棋型的回答被采纳的概率为，求的值． 19. 甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立． （1）求甲学校获得冠军的概率； （2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三秋期开学考试 数学试题 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】元素用来表示，再利用集合间的基本关系选择正确答案. 【详解】因为，所以． 故选：A. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件. 【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件. 故选：C. 3. 已知，则以下错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由不等式的性质结合特殊值排除法逐项分析即可. 【详解】因为，所以， 对于A，，,, 综上可得，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，当时，，故D错误； 故选：D. 4. 若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令,则，利用基本不等式可以求出结果. 【详解】令，由题意可得， ，当且仅当，即时等号成立， ，所以实数的取值范围为. 故选：C. 5. 随机变量X的分布列如下表所示，若，则（ ） X 0 1 P a b A. 9 B. 7 C. 5 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用离散型随机变量的分布列、数学期望的性质，列出方程组，求出，，由此能求出方差，再根据方差的性质计算可得． 【详解】解：依题意可得，解得，所以 所以 故选：C 6. 如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择．要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为 A. 24种 B. 48种 C. 72种 D. 96种 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：按照先A再BD最后CE的顺序，分两种情况涂色，1：BD同色，有;2：BD不同色，有种 考点：1.分步计数原理；2.分情况讨论 7. 甲，乙，丙，丁四人在足球训练中进行传球训练，从甲开始传球，甲等可能地把球传给乙，丙，丁中的任何一个人，以此类推，则经过3次传球后乙恰接到1次球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将所有传球的结果列出，再利用古典概型求结果. 【详解】传球的结果可以分为： 分别传给3人时：乙丙丁，乙丁丙，丙乙丁，丙丁乙，丁乙丙，丁丙乙，共6种； 若传给2人时：乙丙乙，丙乙丙，乙丁乙，丁乙丁，丁丙丁，丙丁丙，共6种； 再传给甲的：乙甲乙，丙甲丙，丁甲丁，乙丙甲，乙甲丙，乙丁甲，乙甲丁，丙乙甲，丙甲乙，丁乙甲，丁甲乙，丙丁甲，丙甲丁，丁甲丙，丁丙甲，共15种； 共27种，只传乙一次的有16种，所以所求概率为 故选：C 8. 甲箱子里装有3个白球和2个红球，乙箱子里装有3个白球和3个红球，从这两个箱子里分别随机摸出一个球，设摸出白球的个数X的均值和方差分别为，，摸出红球个数Y的均值和方差分别为，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出随机变量和的所有可能取值及其对应的概率，由数学期望和方差的计算公式即可求解． 【详解】解：由题意，甲箱中摸到白球的概率为，红球的概率为， 乙箱中摸到白球的概率为，红球的概率为， 由题意可知的可能取值为0，1，2， 所以，，， 所以， ； 由题意可知的可能取值为0，1，2， 所以，，， 所以， ； 所以，． 故选：C． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知事件A，B发生的概率分别为，，则（ ） A. B. C. 若A与B互斥，则 D. 一定有 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，利用对立事件的概率公式即可判断；对于BC，利用和事件与交事件的概率公式，结合互斥事件的定义计算判断即可；对于D，举反例即可判断. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为， 又且，则， 所以，即，故B正确； 对于C，因为A与B互斥，所以， 则，故C错误； 对于D，记事件“抛掷一枚骰子，向上的点数小于3”，事件“抛掷一枚骰子，向上的点数为4”， 则满足，，但不成立，故D错误； 故选：AB. 10. 设正实数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本不等式判断各选项． 详解】对于A选项，， 当且仅当时取得等号，故A错误； 对于B选项，，故， 当且仅当时取得等号，故B正确； 对于C选项，， 当且仅当时取得等号，故C正确； 对于D选项， ， 当且仅当时取得等号成立，故D正确． 故选：BCD. 11. 一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是（ ） A. 取出的最大号码X服从超几何分布 B. 取出的黑球个数Y服从超几何分布 C. 取出2个白球概率为 D. 若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为 【答案】BD 【解析】 【分析】超几何分布取出某个对象的结果数不定，也就是说超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生次的试验次数，由此可知取出的最大号码不服从超几何分布，取出的黑球个数服从超几何分布；取出2个白球的概率为；对于，取出四个黑球的总得分最大，由此求出总得分最大的概率为． 【详解】解：一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球， 对于，超几何分布取出某个对象的结果数不定， 也就是说超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生次的试验次数， 由此可知取出的最大号码不服从超几何分布，故错误； 对于，超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生次的试验次数， 由此可知取出的黑球个数服从超几何分布，故正确； 对于，取出2个白球的概率为，故错误； 对于，若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分， 则取出四个黑球的总得分最大， 总得分最大的概率为，故正确． 故选：． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查超几何分布、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】解法一：应用基本不等式计算和为定值即可得出最大值；解法二：应用二次函数单调性得出二次函数的最大值即可. 【详解】解法一：， 当且仅当，即时等号成立． 解法二： ， 在上单调递增，在上单调递减， 当时，取得最大值． 故答案为：. 13. 某批产品来自A，B两条生产线，A生产线占，次品率为；B生产线占，次品率为，现随机抽取一件进行检测，若抽到的是次品，则它来自A生产线的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用全概率公式及条件概率公式列式求解. 【详解】设“抽到的产品来自A生产线”，“抽到的产品来自B生产线”，“抽到的一件产品是次品”， 则，， 由全概率公式得， 所以它来自A生产线的概率是. 故答案为： 14. 如图，一只青蛙开始时位于数轴上原点的位置，每次向数轴的左侧或右侧随机跳跃一个单位长度，记为第次跳跃后对应数轴上的数字，则满足的跳跃方法有__________种． 【答案】448 【解析】 【分析】分和两种情况，讨论向左和向右的次数，再结合组合数公式，即可求解. 【详解】因为，所以或． 当时，前8次向左跳跃6次，向右跳跃2次，后6次向右跳跃6次， 所以有（种）跳跃方法； 当时，前8次向右跳跃6次，向左跳跃2次，后6次向左跳跃4次，向右跳跃2次， 所以有（种）跳跃方法． 综上所述，满足的跳跃方法有（种）． 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）当a=2，时，求函数f(x)的值域； （2）若函数在上的最大值为，求实数的值. 【答案】（1）. （2）或. 【解析】 【分析】（1）通过判断对称轴与区间的关系，即可求出函数最值，从而可求函数的值域. （2）通过讨论对称轴与区间中点的大小关系，从而可求出函数的最大值，根据最大值为，即可求出实数的值. 【小问1详解】 当a＝2时，，， 因为其对称轴为x＝， 所以，， 所以函数f(x)的值域为. 【小问2详解】 ∵函数f(x)的对称轴为. ①当，即时，f(x)max＝f(3)＝6a＋3， 所以6a＋3＝1，即，满足题意； ②当，即时，f(x)max＝f(－1)＝－2a－1， 所以－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意． 综上可知，或a＝－1. 16. 已知，. （1）是否存在实数，使得是的充要条件？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）不存在，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）判断不存在，先化简条件，假设存在时，则是方程的两根，利用韦达定理可推出矛盾，故假设不成立； （2）由题设可知集合为不等式解集真子集，由二次函数的图像性质可得，进而求得，再检验两个端点，即可求得的取值范围. 【小问1详解】 不存在，理由如下： 由得，故，即， 假设存在a，使得p是q的充要条件，则不等式的解集为， 所以是方程的两根，故，此方程组无解，故假设不成立， 所以不存在实数a，使得p是q的充要条件. 【小问2详解】 若p是q的充分不必要条件，则集合为不等式解集的真子集， 令，则由二次函数的图像性质可得， 即，解得，故， 当时，得，解得，满足题意， 当时，得，解得，满足题意 所以实数a的取值范围为. 17. 在的展开式中，求： （1）二项式系数最大的项； （2）系数绝对值最大的项； （3）系数最大的项． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二项式系数性质得到二项式系数最大的项为第11项，然后求解即可； （2）设系数绝对值最大的项是第项，然后列不等式求解即可； （3）设第项的系数最大，然后列不等式求解即可. 【小问1详解】 由题意得二项式系数最大的项为第11项，即. 【小问2详解】 设系数绝对值最大的项是第项，于是，化简得，解得， 因为，所以，即是系数绝对值最大的项. 【小问3详解】 由于系数为正的项为奇数项，故可设第项的系数最大， 所以，化简得， 解得，即第9项系数最大，. 18. 某人工智能研究实验室开发出一款全新聊天机器人棋型，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话．聊天机器人棋型的开发主要采用（人类反馈强化学习）技术，在测试它时，如果输入的问题没有语法错误，则它的回答被采纳的概率为，当出现语法错误时，它的回答被采纳的概率为. （1）在某次测试中输入了7个问题，聊天机器人棋型的回答有5个被采纳，现从这7个问题中抽取4个，以表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求的分布列和数学期望； （2）设输入的问题出现语法错误的概率为，若聊天机器人棋型的回答被采纳的概率为，求的值． 【答案】（1）的分布列为： 2 3 4 （2） 【解析】 【分析】（1）求出随机变量的所有取值以及每一个值发生的概率即可得的分布列，再根据数学期望的公式即可计算得解的数学期望. （2）记“输入的问题没有语法错误”为事件A，“输入的问题有语法错误”为事件B，“回答被采纳”为事件，进而由已知以及全概率公式即可求解. 【小问1详解】 由题可知的所有取值为2，3，4，且服从超几何分布， ，，， 故的分布列为： 2 3 4 则． 【小问2详解】 记“输入的问题没有语法错误”为事件A，记“输入的问题有语法错误”为事件B，记“回答被采纳”为事件， 由已知得，，，，，， 所以由全概率公式得， 解得． 19. 甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立． （1）求甲学校获得冠军的概率； （2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望． 【答案】（1）； （2）的分布列为 0 10 20 30 0.16 0.44 0.34 0.06 .【解析】 【分析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出； （2）依题可知，的可能取值为，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望． 【小问1详解】 设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，所以甲学校获得冠军的概率为 ． 【小问2详解】 依题可知，的可能取值为，所以， , ， ， . 即的分布列为 0 10 20 30 0.16 0.44 0.34 0.06 期望. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $