第二十二章 二次函数 知识归纳与题型突破 2025-2026学年人教版九年级数学上册

第二十二章二次函数知识归纳与题型突破2025-2026学年 人教版九年级上册(十三类题型) 知识归纳： 知识点一：二次函数的定义 一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数. 知识点二：二次函数的图象与性质 　　几种特殊的二次函数的图象特征如下： 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 当时 开口向上 当时 开口向下 (轴) (0，0) (轴) (0，) (，0) (，) () 知识点三：二次函数(a≠0) 的图象的位置与系数a、b、c的关系 1.开口方向：a＞0时，开口向上，否则开口向下． 2.对称轴：时，对称轴在y轴的右侧；当时，对称轴在y轴的左侧． 3.与x轴交点：时，有两个交点；时，有一个交点；时，没有交点． 知识点四：用待定系数法求二次函数的解析式： 　　(1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式. 　　(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式. 　　(可以看成的图象平移后所对应的函数.) 　　(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式： 　 　　（a≠0）.(由此得根与系数的关系：). 知识点五：二次函数与一元二次方程的关系 的图象 的解 方程有两个不等实数解 方程有两个相等实数解 方程没有实数解 知识点六：利用二次函数解决实际问题 利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. 　　利用二次函数解决实际问题的一般步骤是： 　　(1)建立适当的平面直角坐标系； 　　(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来； 　　(3)用待定系数法求出抛物线的关系式； 　　(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题. 题型突破： 题型一：二次函数的定义 1．下列函数中，是二次函数的是（       ） A． B． C． D． 2.下列函数不属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 3．当函数 是二次函数时，的取值为（ ） A． B． C． D． 题型二：特殊二次函数的图像和性质 1．下列二次函数的图象中，开口向下，且开口较大的是（ ） A． B． C． D． 2.二次函数的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 3.关于二次函数下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是轴 C. 有最小值 D. 当时，函数随的增大而减小 4.若点，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5.对于二次函数，下列结论：其图象开口向下；其图象的对称轴为直线；其图象的顶点坐标为；当时，y随x的增大而减小．其中正确结论的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知四个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3，a4的大小关系是_____．（请用“＞”连接排序） 题型三：二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质 1.已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法错误的是（    ） A．图象的开口向上 B．图象的顶点坐标是 C．图象的对称轴是直线 D．图象与轴无交点 2．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于（﹣1，0），（　　） A．若c＞0，则对称轴在y轴右侧 B．若c＞0，则对称轴在y轴左侧 C．若c＜0，则对称轴在y轴右侧 D．若c＜0，则对称轴在y轴左侧 3．当时，二次函数有（　　） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 4．已知二次函数（m为常数，且），（ ） A．若，则，y随x的增大而增大 B．若，则，y随x的增大而减小 C．若，则，y随x的增大而增大 D．若，则，y随x的增大而减小 5.二次函数的图象上有两点，，则此抛物线的对称轴是直线______． 6．二次函数，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大．则当时，的值是__________． 题型四：二次函数的图像与系数的关系 1.二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论： ①ac＜0；②3a+c＝0；③4ac﹣b2＜0；④当x＞﹣1时，y随x的增大而减小． 其中正确的有(　　) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2.如图，抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(﹣1，0)和B，与y轴交于点C．下列结论：①abc＜0，②2a+b＜0，③4a﹣2b+c＞0，④3a+c＞0，其中正确的结论个数为(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.如图是二次函数的图象，其对称轴为，下列结论：①；②；③；④若，是抛物线上两点，则其中结论正确的是（   ） A．①② B．②③ C．②④ D．①②④ 4.如图，抛物线的开口向上，经过点和且与y轴交于负半轴．则下列结论：①，②；③；④；其中正确的结论是________．（填写所有正确结论的序号） 题型五：待定系数法球二次函数解析式 1.抛物线 y＝ax²＋bx＋c 与 x 轴交于 (1,0)、(3,0)，且过 (0,6)，则解析式为（ ） A. y=2x²-8x+6 B. y=x²-4x+3 C. y=3x²-12x+9 D. y=-2x²+8x-6 2.抛物线 y＝ax²＋bx＋c 与 x 轴交于 (1,0)、(3,0)，且过 (0,6)，则解析式为（ ） A. y=2x²-8x+6 B. y=x²-4x+3 C. y=3x²-12x+9 D. y=-2x²+8x-6 3.已知抛物线与轴交点的横坐标为和，且过点，它对应的函数解析式为（ ） A． B． C． D． 4．已知二次函数y＝ax2＋4x＋c，当x等于﹣2时，函数值是﹣1；当x＝1时，函数值是5．则此二次函数的表达式为（ ） A．y＝2x2＋4x﹣1 B．y＝x2＋4x﹣2 C．y＝-2x2＋4x+1 D．y＝2x2＋4x+1 5.抛物线顶点为(2,-3)，且过点(0,1)，求解析式． 6.抛物线与x轴交于(1,0)、(3,0)，且过(0,6)，求解析式． 题型六：二次函数的图像平移问题 1.抛物线向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得抛物线的表达式是（    ） A． B． C． D． 2.二次函数的图象可由的图象（    ） A．向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到 B．向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到 C．向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到 D．向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到 3.将抛物线向右平移5个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（    ） A． B． C． D． 4.将抛物线向上平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度,所得到的抛物线 为( ) A． B． C． D． 5.把抛物线向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为__________． 6.把二次函数的图象向上平移4个单位，则得到的抛物线解析式为_______． 题型七：二次函数与坐标轴交点问题 1．抛物线与y轴的交点为（　　） A． B． C． D． 2．若关于的二次函数的图象与轴有两个公共点，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D． 3．已知抛物线（m是常数）与x轴仅有一个交点，且与y轴交于正半轴，则m的值为（    ） A．－7或1 B．－1 C．－7 D．1 4．已知二次函数与轴的一个交点，则值为（      ） A． B． C．或 D．任何实数 5.抛物线与轴交点的坐标为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 6.若抛物线对称轴为直线，与x轴交于点，则该抛物线与x轴的另一交点的坐标是（  ） A． B． C． D． 7．抛物线与y轴交点的坐标为 ． 题型八：二次函数与不等式 1.如图是二次函数的图象，则不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. D. 或 2.如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 3．如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 4．如图，由二次函数的图象可知，不等式的解集是（   ） A． B． C．或 D． 5．如图，一次函数与二次函数的图象相交于，两点，则关于x的不等式的解集为 ．      6．如图是二次函数的部分图像，由图像可知不等式的解是 ． 题型九：几何图形面积问题 1．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠足够长的墙体，中间用一道围栏隔开，并在如图所示的两处各留1m宽的门，所有围栏的总长（不含门）为22m，若要使得建成的饲养室面积最大，则利用墙体的长度为（　　　） A．13 B．12 C．8 D．6 2．小明准备在院子里修一个矩形花圃，花圃的一边利用墙另三边用总长为16米的篱笆恰好围成，已知墙的最大可利用长度为5米，则围成的矩形花圃的最大面积为 平方米． 3.如图，利用一面墙（墙长米），用总长度米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间共留两个米的小门，设栅栏长为米． (1)若矩形围栏面积为平方米，求栅栏的长； (2)矩形围栏面积是否存在最大面积？若存在，求出矩形围栏的长；不存在，请说明理由． 题型十：动态几何问题 1．如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合）.如果、分别从、同时出发，那么经过（　　）秒，四边形的面积最小. A．0.5 B．1.5 C．3 D．4 2．如图，正三角形ABC的边长为3cm,动点P从点A出发，以每秒1cm的速度,沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止．设运动时间为x(秒),y=PC2，则y关于x的函数的图象大致是（　　) A． B． C． D． 3．如图，在矩形中，，，点P从点A出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点D运动；点Q从点B出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点A运动． P，Q两点同时出发，设点P运动的时间为（单位：秒），的面积为．则关于的函数表达式为 ．    题型十一：销售中的利润问题 1．某店销售一款运动服，每件进价100元，若按每件128元出售，每天可卖出100件，根据市场调查结果，若每件降价1元，则每天可多卖出5件，要使每天获得的利润最大，则每件需要降价（　　） A．3元 B．4元 C．5元 D．8元 2．一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为（　　）元． A．60 B．65 C．70 D．75 3．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30﹣x）件，若使利润最大，则每件商品的售价应为　 　元． 4.广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2024年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美．某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外．若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨．市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨．该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值．（题中“元”为人民币） 题型十二：生活中的抛物线问题 1.根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是，当小球达到最高点时，飞行时间t为（    ） A．2 B．1 C．20 D．5 2．为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于轴对称， 轴，，最低点 在轴上，高 ，，则右轮廓所在抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 3.苏州自古以桥梁之盛闻名内外，素有东方威尼斯之称．如图是抛物线形拱桥，当拱顶距水面时，水面宽，水面下降，水面宽度增加 ． 4.如图，从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是． （1）当小球运动的时间是多少时，小球回落到地面处？ （2）求小球在运动过程中的最大高度． 题型十三：二次函数与几何综合问题 1.如图，抛物线y=x2﹣bx+c交x轴于点A(1，0)，交y轴于点B，对称轴 是x=2． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2.如图，关于x的二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D． (1)求二次函数的解析式． (2)有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积． (3)在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在请说明理由． 3.如图，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，已知，P点为抛物线上一动点（不与A、D重合）． （1）求抛物线和直线l的解析式； （2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作轴交直线l于点F，求的最大值； （3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】 第二十二章二次函数知识归纳与题型突破2025-2026学年 人教版九年级上册(十三类题型) 知识归纳： 知识点一：二次函数的定义 一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数. 知识点二：二次函数的图象与性质 　　几种特殊的二次函数的图象特征如下： 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 当时 开口向上 当时 开口向下 (轴) (0，0) (轴) (0，) (，0) (，) () 知识点三：二次函数(a≠0) 的图象的位置与系数a、b、c的关系 1.开口方向：a＞0时，开口向上，否则开口向下． 2.对称轴：时，对称轴在y轴的右侧；当时，对称轴在y轴的左侧． 3.与x轴交点：时，有两个交点；时，有一个交点；时，没有交点． 知识点四：用待定系数法求二次函数的解析式： 　　(1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式. 　　(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式. 　　(可以看成的图象平移后所对应的函数.) 　　(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式： 　 　　（a≠0）.(由此得根与系数的关系：). 知识点五：二次函数与一元二次方程的关系 的图象 的解 方程有两个不等实数解 方程有两个相等实数解 方程没有实数解 知识点六：利用二次函数解决实际问题 利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. 　　利用二次函数解决实际问题的一般步骤是： 　　(1)建立适当的平面直角坐标系； 　　(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来； 　　(3)用待定系数法求出抛物线的关系式； 　　(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题. 题型突破： 题型一：二次函数的定义 1．下列函数中，是二次函数的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 2.下列函数不属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 3．当函数 是二次函数时，的取值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 题型二：特殊二次函数的图像和性质 1．下列二次函数的图象中，开口向下，且开口较大的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 2.二次函数的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】A 3.关于二次函数下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是轴 C. 有最小值 D. 当时，函数随的增大而减小 【答案】B 4.若点，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 5.对于二次函数，下列结论：其图象开口向下；其图象的对称轴为直线；其图象的顶点坐标为；当时，y随x的增大而减小．其中正确结论的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 6．已知四个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3，a4的大小关系是_____．（请用“＞”连接排序） 【答案】a1＞a2＞a3＞a4 题型三：二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质 1.已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法错误的是（    ） A．图象的开口向上 B．图象的顶点坐标是 C．图象的对称轴是直线 D．图象与轴无交点 【答案】C 2．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于（﹣1，0），（　　） A．若c＞0，则对称轴在y轴右侧 B．若c＞0，则对称轴在y轴左侧 C．若c＜0，则对称轴在y轴右侧 D．若c＜0，则对称轴在y轴左侧 【答案】D 3．当时，二次函数有（　　） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 【答案】B 4．已知二次函数（m为常数，且），（ ） A．若，则，y随x的增大而增大 B．若，则，y随x的增大而减小 C．若，则，y随x的增大而增大 D．若，则，y随x的增大而减小 【答案】D 5.二次函数的图象上有两点，，则此抛物线的对称轴是直线______． 【答案】 6．二次函数，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大．则当时，的值是__________． 【答案】7 题型四：二次函数的图像与系数的关系 1.二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论： ①ac＜0；②3a+c＝0；③4ac﹣b2＜0；④当x＞﹣1时，y随x的增大而减小． 其中正确的有(　　) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 2.如图，抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(﹣1，0)和B，与y轴交于点C．下列结论：①abc＜0，②2a+b＜0，③4a﹣2b+c＞0，④3a+c＞0，其中正确的结论个数为(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 3.如图是二次函数的图象，其对称轴为，下列结论：①；②；③；④若，是抛物线上两点，则其中结论正确的是（   ） A．①② B．②③ C．②④ D．①②④ 【答案】D 4.如图，抛物线的开口向上，经过点和且与y轴交于负半轴．则下列结论：①，②；③；④；其中正确的结论是________．（填写所有正确结论的序号） 【答案】 题型五：待定系数法球二次函数解析式 1.抛物线 y＝ax²＋bx＋c 与 x 轴交于 (1,0)、(3,0)，且过 (0,6)，则解析式为（ ） A. y=2x²-8x+6 B. y=x²-4x+3 C. y=3x²-12x+9 D. y=-2x²+8x-6 [答案]A 2.抛物线 y＝ax²＋bx＋c 与 x 轴交于 (1,0)、(3,0)，且过 (0,6)，则解析式为（ ） A. y=2x²-8x+6 B. y=x²-4x+3 C. y=3x²-12x+9 D. y=-2x²+8x-6 [答案]A 3.已知抛物线与轴交点的横坐标为和，且过点，它对应的函数解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 4．已知二次函数y＝ax2＋4x＋c，当x等于﹣2时，函数值是﹣1；当x＝1时，函数值是5．则此二次函数的表达式为（ ） A．y＝2x2＋4x﹣1 B．y＝x2＋4x﹣2 C．y＝-2x2＋4x+1 D．y＝2x2＋4x+1 【答案】A 5.抛物线顶点为(2,-3)，且过点(0,1)，求解析式． 【解】设顶点式y=a(x-2)²-3， 代入(0,1)：1=a(-2)²-3 ⇒ 4a=4 ⇒ a=1 ∴y=(x-2)²-3 【答案】y=(x-2)²-3 6.抛物线与x轴交于(1,0)、(3,0)，且过(0,6)，求解析式． 【解】设交点式y=a(x-1)(x-3)， 代入(0,6)：6=a(-1)(-3) ⇒ 3a=6 ⇒ a=2 展开得y=2x²-8x+6 【答案】y=2x²-8x+6 题型六：二次函数的图像平移问题 1.抛物线向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得抛物线的表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 2.二次函数的图象可由的图象（    ） A．向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到 B．向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到 C．向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到 D．向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到 【答案】D 3.将抛物线向右平移5个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 4.将抛物线向上平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度,所得到的抛物线 为( ) A． B． C． D． 【答案】B 5.把抛物线向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为__________． 【答案】 6.把二次函数的图象向上平移4个单位，则得到的抛物线解析式为_______． 【答案】## 题型七：二次函数与坐标轴交点问题 1．抛物线与y轴的交点为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 2．若关于的二次函数的图象与轴有两个公共点，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D． 【答案】C 3．已知抛物线（m是常数）与x轴仅有一个交点，且与y轴交于正半轴，则m的值为（    ） A．－7或1 B．－1 C．－7 D．1 【答案】C 4．已知二次函数与轴的一个交点，则值为（      ） A． B． C．或 D．任何实数 【答案】A 5.抛物线与轴交点的坐标为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 6.若抛物线对称轴为直线，与x轴交于点，则该抛物线与x轴的另一交点的坐标是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 7．抛物线与y轴交点的坐标为 ． 【答案】 题型八：二次函数与不等式 1.如图是二次函数的图象，则不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 2.如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 3．如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 4．如图，由二次函数的图象可知，不等式的解集是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 5．如图，一次函数与二次函数的图象相交于，两点，则关于x的不等式的解集为 ．      【答案】 6．如图是二次函数的部分图像，由图像可知不等式的解是 ． 【答案】 题型九：几何图形面积问题 1．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠足够长的墙体，中间用一道围栏隔开，并在如图所示的两处各留1m宽的门，所有围栏的总长（不含门）为22m，若要使得建成的饲养室面积最大，则利用墙体的长度为（　　　） A．13 B．12 C．8 D．6 【答案】B 2．小明准备在院子里修一个矩形花圃，花圃的一边利用墙另三边用总长为16米的篱笆恰好围成，已知墙的最大可利用长度为5米，则围成的矩形花圃的最大面积为 平方米． 【答案】27.5． 3.如图，利用一面墙（墙长米），用总长度米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间共留两个米的小门，设栅栏长为米． (1)若矩形围栏面积为平方米，求栅栏的长； (2)矩形围栏面积是否存在最大面积？若存在，求出矩形围栏的长；不存在，请说明理由． 【答案】(1)栅栏的长为米 (2)矩形围栏面积存在最大值，的长为米 【详解】（1）解：设栅栏长为米， 米， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：． 当时，，不合题意，舍去， 当时，，符合题意， 答：栅栏的长为米； （2）解：矩形围栏面积存在最大面积；理由如下： 设矩形围栏面积为， 根据题意得，， ， ， ， 当时，即米时，有最大值． 题型十：动态几何问题 1．如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合）.如果、分别从、同时出发，那么经过（　　）秒，四边形的面积最小. A．0.5 B．1.5 C．3 D．4 【答案】B 2．如图，正三角形ABC的边长为3cm,动点P从点A出发，以每秒1cm的速度,沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止．设运动时间为x(秒),y=PC2，则y关于x的函数的图象大致是（　　) A． B． C． D． 【答案】C 3．如图，在矩形中，，，点P从点A出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点D运动；点Q从点B出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点A运动． P，Q两点同时出发，设点P运动的时间为（单位：秒），的面积为．则关于的函数表达式为 ．    【答案】 题型十一：销售中的利润问题 1．某店销售一款运动服，每件进价100元，若按每件128元出售，每天可卖出100件，根据市场调查结果，若每件降价1元，则每天可多卖出5件，要使每天获得的利润最大，则每件需要降价（　　） A．3元 B．4元 C．5元 D．8元 【答案】B 2．一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为（　　）元． A．60 B．65 C．70 D．75 【答案】C 3．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30﹣x）件，若使利润最大，则每件商品的售价应为　 　元． 【答案】25 4.广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2024年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美．某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外．若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨．市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨．该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值．（题中“元”为人民币） 【答案】解：设每吨降价x万元，每天的利润为w万元， 由题意得， ， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为， ∴， 答：当定价为万元每吨时，利润最大，最大值为万元． 题型十二：生活中的抛物线问题 1.根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是，当小球达到最高点时，飞行时间t为（    ） A．2 B．1 C．20 D．5 【答案】A 2．为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于轴对称， 轴，，最低点 在轴上，高 ，，则右轮廓所在抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 3.苏州自古以桥梁之盛闻名内外，素有东方威尼斯之称．如图是抛物线形拱桥，当拱顶距水面时，水面宽，水面下降，水面宽度增加 ． 【答案】 4.如图，从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是． （1）当小球运动的时间是多少时，小球回落到地面处？ （2）求小球在运动过程中的最大高度． 【答案】 【小问1详解】 解：在中，令，则， 解得：，， ， 当小球运动的时间是时，小球回落到地面处； 【小问2详解】 解：， 当时，最大，为， 小球再运动过程中点额最大高度为． 题型十三：二次函数与几何综合问题 1.如图，抛物线y=x2﹣bx+c交x轴于点A(1，0)，交y轴于点B，对称轴 是x=2． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】见解析。 【解析】(1)由题意得，， 解得b=4，c=3， ∴抛物线的解析式为．y=x2﹣4x+3； (2)∵点A与点C关于x=2对称， ∴连接BC与x=2交于点P，则点P即为所求， 根据抛物线的对称性可知，点C的坐标为(3，0)， y=x2﹣4x+3与y轴的交点为(0，3)， ∴设直线BC的解析式为：y=kx+b， ， 解得，k=﹣1，b=3， ∴直线BC的解析式为：y=﹣x+3， 则直线BC与x=2的交点坐标为：(2，1) ∴点P的交点坐标为：(2，1)． 2.如图，关于x的二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D． (1)求二次函数的解析式． (2)有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积． (3)在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1) 解：把A（1，0）和C（0，3）代入y＝x2+bx+c，得， 解得：， ∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣4x+3； (2) 解：如图1，设A运动时间为t，由AB＝2，得BM＝2﹣t，则DN＝2t， ∴S△MNB（2﹣t）×2t＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣1）2+1， ∴时S△MNB值最大 ∴当M点坐标为（2，0），N点坐标为（2，2）或（2，﹣2）时△MNB面积最大，最大面积是1； (3) 解：令y＝0，则x2﹣4x+3＝0， 解得：x＝1或x＝3， ∴B（3，0）， ∴BC＝3， 点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图2， ①当CP＝CB时，PC＝3， ∴OP＝OC+PC＝3+3或OP＝PC﹣OC＝33 ∴P1（0，3+3），P2（0，3﹣3）； ②当BP＝BC时，OP＝OB＝3， ∴P3（0，﹣3）； ③当PB＝PC时， ∵OC＝OB＝3， ∴此时P与O重合， ∴P4（0，0）； 综上所述，点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（0，﹣3）或（0，0）． 3.如图，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，已知，P点为抛物线上一动点（不与A、D重合）． （1）求抛物线和直线l的解析式； （2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作轴交直线l于点F，求的最大值； （3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】 解：（1）将点A、D的坐标代入直线表达式得：，解得：， 故直线l的表达式为：， 将点A、D的坐标代入抛物线表达式， 同理可得抛物线的表达式为：； （2）直线l的表达式为：，则直线l与x轴的夹角为， 即：则， 设点P坐标为、则点， ，故有最大值， 当时，其最大值为18； （3）由题意得，， ①当NC是平行四边形的一条边时， 设点P坐标为、则点， 由题意得：，即：， 解得或0或4（舍去0，此时M和C重合）， 则点M坐标为或或； ②当NC是平行四边形的对角线时， 则NC的中点坐标为， 设点P坐标为、则点， N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形，则NC的中点即为PM中点， 即：， 解得：或（舍去0，此时M和C重合）， 故点； 故点M的坐标为：或或或． 学科网（北京）股份有限公司 $