第06讲 抛物线（专项训练）（天津专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第06讲 抛物线 目录 01 常考题型过关练 题型01 抛物线的定义与标准方程 题型02 与抛物线有关的距离和最值问题 题型03 抛物线上两线段的和差最值问题 题型04 抛物线中三角形，四边形的面积问题 题型05 抛物线的几何性质 题型06 焦半径问题 题型07 抛物线焦点弦的性质 题型08 抛物线实际应用 02 核心突破提升练 01  抛物线的定义与标准方程 1．已知为坐标原点，为抛物线的焦点，点在上，且，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】由抛物线定义及得，进而将点代入抛物线方程即可得. 【详解】由抛物线的定义，知，又，， 所以，即， 由点在上，得， 结合，解得. 故选：C 2．抛物线上一点到其焦点的距离为6，则的值为（    ） A． B． C．-8 D．-4 【答案】A 【分析】根据抛物线方程，先求得准线方程.结合抛物线定义即可求得点到准线的距离. 【详解】因为，所以，其准线方程为， 根据抛物线定义，得，解得． 故选：A 3．抛物线的焦点到准线的距离是（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】利用抛物线方程求出即得. 【详解】由可得，即，故焦点到准线的距离为4. 故选：A. 4．已知抛物线上一点A的横坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为（　　） A．5 B．6 C． D．4 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出抛物线的准线方程，再利用定义求解. 【详解】抛物线的准线方程为，所以点A到抛物线焦点的距离为. 故选：A 5．在平面直角坐标系xOy中，为抛物线的焦点，点在上，若轴，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由轴，可得点坐标，即可求出. 【详解】抛物线，焦点， 当轴时，，则，解得， 即或，如下图， 不妨取，则， 所以． 故选：D 02  与抛物线有关的距离和最值问题 6．已知A是抛物线C：上的点，，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】由抛物线的方程，利用二次函数的性质求最值 【详解】设， 则， 当且仅当时，等号成立． 故选：D． 7．已知点在曲线上，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】与相切于点，由几何意义得到最小值为0，当不与重合时，作出辅助线，由几何意义得到，求出最大值，从而得到取值范围. 【详解】可看作到直线的距离， 可看作到点的距离， 如图所示， 联立与得，， 则，此时，解得，故， 故与相切于点， 此时取得最小值，最小值为0， 当不与重合时，过点作⊥于点， 则， 数形结合可知，当运动至时，， 此时取得最大值，最大值为， 故的取值范围是. 故选：D 8．设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，其中在第一象限，则下列正确的是（    ） A．的准线为 B．的最小值为 C．以为直径的圆与轴相切 D．若且，则 【答案】B 【分析】根据抛物线性质可得的准线为，即A错误；利用抛物线定义由基本不等式可求得B正确；由直线与圆的位置关系可得以为直径的圆与轴相交，即C错误；由可得。利用向量夹角的坐标表示可求得，即D错误. 【详解】对于选项A，由抛物线的焦点可得， 所以，即的准线为，故A错误； 对于B，如下图所示： 设直线的方程为，； 联立直线与抛物线方程可得， 可得； 由抛物线定义可得； 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立；即B正确； 对于C，以为直径的圆的圆心为, 此时圆心到轴的距离为， 而， 所以以为直径的圆与轴相交，即C错误； 对于D，易知，由可知点在的垂直平分线上，所以； 由即可得，如下图所示： ，所以， 同理可得，可得， 所以，即D错误； 故选：B 9．已知抛物线，圆，在抛物线上任取一点，向圆作两条切线和，切点分别为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，由已知关系，可用点坐标表示出，在中，由，进而可推出，根据的范围，即可得到结果. 【详解】 由已知，，. 如图，设点，则， ， 在中，有 ， 易知，则， 则， 因为，所以当时，取得最大值， 又，所以，. 所以，的取值范围是. 故选：A. 10．在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线的距离相等，记动点的轨迹为，是圆：上的动点．则的最小值为（    ） A． B． C．27 D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的定义可得，再设，表达出即可得最小值. 【详解】因为点到点的距离与到直线的距离相等，故点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，故. 由题意可得，当且仅当共线时取等号， 设，则 ，当时,. 所以 故的最小值为. 故选：D 03 抛物线上两线段的和差最值问题 11．已知点，抛物线：的焦点为F，P是C上的动点，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】利用抛物线定义与三角形两边之和大于第三边计算即可得. 【详解】过点作抛物线的准线于点， 由抛物线定义可得， 则， 当且仅当、、三点共线，抛物线的准线， 即时，有最小值. 故选：B. 12．设抛物线的焦点为，点在上，则的周长的最小值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】C 【分析】由周长为，若垂直于抛物线准线于，结合抛物线定义得，进而确定周长最小值. 【详解】由周长为，若垂直于抛物线准线于，    所以，而， 所以，要使周长最小， 即最小，仅当三点共线时，取最小值为7， 所以最小周长为12. 故选：C 13．已知点是抛物线上的动点，定点，则到点的距离与到轴的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由抛物线焦半径公式可得，，当且仅当三点共线时，等号成立，从而求出距离之和的最小值. 【详解】抛物线，焦点坐标为，准线方程为， 设到轴的距离为，过点作⊥准线于点， 由抛物线焦半径公式可得，，    则，当且仅当三点共线时，等号成立， 其中，所以到点的距离与到轴的距离之和最小值为. 故选：A 14．已知直线和直线，抛物线上一动点到直线、直线的距离之和的最小值是（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】求出焦点，准线，设动点到直线的距离分别为，求出点到直线的距离为，由抛物线定义得到，进而得到． 【详解】由题意可得，抛物线的焦点，准线． 设动点到直线的距离分别为，点到直线的距离为． 由，可得， 当且仅当点在点到直线的垂线上且在与之间，即时（如图），等号成立， 故动点到直线、直线的距离之和的最小值是3.    故选：B 15．已知抛物线的焦点为F，M为C上的动点，N为直线上的动点，设点M到y轴的距离为d，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由抛物线的定义可知点到焦点的距离等于到准线的距离，进行转化，当三点共线时，可求得最小值. 【详解】 因为抛物线，过F点作垂直直线l于点，过M作准线的垂线交准线于点，如图所示，则，， 则， 当点与点重合，点为线段与抛物线的交点时，等号成立. 故选：A． 04  抛物线中三角形，四边形的面积问题 16．在平面直角坐标系xOy中，有一条抛物线，其焦点为F，在上任取一点P，满足.当△POF的面积取得最大值时，相应的点P的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】设点P的横坐标为m，由抛物线的定义可得，由题意可得当m=2时满足三角形的面积最大，从而确定点P的坐标. 【详解】由抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离. 该抛物线的准线方程为，设点P的横坐标为m，则，可得到， 当△POF面积取得最大值时，相应的点P的横坐标m=2， 故相应的点P的坐标为或. 故选：D 17．过抛物线上一点作圆的切线，切点为、，则当四边形的面积最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出图形，连接、，分析可知当点与点重合时，四边形的面积最小，求出点的横坐标，即可得出直线的方程. 【详解】连接、， 圆的圆心为，半径为，易知圆心为抛物线的焦点， 设点，则，则， 当且仅当时，等号成立，此时点与坐标原点重合， 由圆的几何性质可得，，由切线长定理可得， 则，所以，， 所以，， 此时点与坐标原点重合，且圆关于轴对称，此时点、也关于轴对称， 则轴， 在中，，，，则， 所以，，因此，直线的方程为. 故选：C. 18．如图，已知抛物线：的焦点为，直线与相交于，两点，与轴相交于点.已知，，若△，△的面积分别为，，且，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过A，B分别作C的准线的垂线交y轴于点M，N，根据抛物线定义可得，，再由即可求参数p，进而可得抛物线方程. 【详解】如图，过A，B分别作C的准线的垂线分别交y轴于点M，N， 因为C的准线为，所以，， 所以，解得，故C为. 故选：B. 19．已知斜率为的直线过抛物线的焦点且与抛物线相交于两点，过分别作该抛物线准线的垂线，垂足分别为，，若与的面积之比为4，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法一：根据题意，，进而设直线：，，，进而联立方程，结合韦达定理得，，再根据面积比得，进而结合焦半径公式得，再解方程组即可得答案； 方法二：设直线AB的倾斜角为，进而根据面积比得，根据焦半径与倾斜角的关系得，，进而得，，即可得答案. 【详解】解：解法一： 由抛物线得， 设直线：，，， 故联立方程得 所以， 由已知和抛物线定义知：， 所以，故由焦半径公式得：，即， 故，解方程组得. 故选：B 方法二： 由已知和抛物线定义知： 设直线AB的倾斜角为，则，， 所以，解得，所以． 故选：B． 20．已知抛物线的焦点为F，准线与坐标轴交于点M，Р是抛物线C上的一点，且为钝角，若，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设结合抛物线的定义可求得，进而求得抛物线方程，计算可得结果. 【详解】F位于x轴正半轴，设，结合抛物线的定义可求得，进而求得抛物线 位于第一象限，抛物线的方程为，结合抛物线的定义可知．，解得或7， 又因为为钝角，所以． 所以． 故选：A 05  抛物线的几何性质 21．过抛物线C：的焦点F的直线l交C于P，Q两点，则当取最小值时，直线l的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用抛物线的定义易得，结合基本不等式求取最小值时对应P，Q坐标，利用P，Q坐标求直线l的斜率，即可求解. 【详解】设直线l的倾斜角为，不妨设P在Q的上方， 过两点作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为， 结合抛物线的定义知，， 得，， 则，则 ， 当且仅当，即时等号成立， 设，，则，设l：， 联立，得，则， 故，，解得，， 此时l的斜率为， 结合抛物线的对称性可知，当P在Q的下方时，l的斜率为， 所以直线l的斜率为. 故选：D. 22．已知抛物线：与圆：（）交于，两点，且，则（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】利用抛物线与圆的对称性，得出即可求解． 【详解】设，（）， 由，得，所以． 因为在圆上，所以，得， 故选：A． 23．已知抛物线的焦点为准线为为抛物线上一点，过点作直线于点，且的内心，则内切圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】法一：不妨设且，由抛物线的光学性质知直线和抛物线相切，利用导数求得，结合两点式列方程求得，进而得到为等边三角形，求出内切圆半径，即可得；法二：设圆与的切点分别是，连接，根据已知得到在轴上，在直线上，设，，且，由得，等面积法求内切圆半径，即可得. 【详解】.设内切圆半径为， 法一：由抛物线的光学性质知直线和抛物线相切， 不妨设且，，则，解得， 所以，则，而，所以， 即为等边三角形，其内切圆半径，故内切圆面积为. 法二：设圆与的切点分别是，连接，    由，又，所以，即，所以在轴上， 连接，所以是的角分线，所以在直线上， 设，，且， 由，所以，解得或， 若时，与题设矛盾，所以，易知， 由，解得，则内切圆面积为. 故选：B 24．双曲线的两条渐近线与拋物线的三个交点为顶点的三角形为等边三角形，则双曲线的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对称性，即可根据求解. 【详解】由对称性可得，双曲线的一条渐近线的倾斜角为，所以 故，所以，所以双曲线的离心率. 故选：C 25．是抛物线上的不同两点，点F是抛物线的焦点，且的重心恰为F，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据重心可得，结合对称性可得，再根据抛物线的定义运算求解. 【详解】设， 因为的重心恰为F，则，解得， 由可知关于x轴对称，即， 则，即， 又因为，解得. 故选：D. 06  焦半径问题 26．设抛物线的焦点为，过上一点作其准线的垂线，设垂足为，若，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据抛物线的定义得，由余弦定理可得，则，在中，由勾股定理即可求解. 【详解】由题意可知：抛物线的焦点，准线为，且， 因为， 所以由余弦定理得， 即； 由，所以，； 设为准线与轴的交点，， 则，则. 故选：D. 27．已知点在抛物线上，抛物线的焦点为，则（   ） A．5 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】将点代入抛物线方程求出，再利用抛物线定义可求出. 【详解】将点代入抛物线，可得，解得， 所以. 故选：A. 28．已知点在抛物线上，点为圆上任意一点，且的最小值为3，则，圆的半径为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先求出点的坐标，再根据抛物线的定义计算，最后求圆外的定点与圆上的动点之间的距离的最小值，即点与圆心之间的距离减去半径，即可求得. 【详解】根据题意得，，解得，即， 因为圆心恰好为抛物线的焦点，则， 又，所以点在圆的外部， 所以的最小值为，解得. 故选：A. 29．已知抛物线的焦点为，纵坐标为的点在上．若以为圆心，为半径的圆被轴截得的弦长为，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据点的坐标满足抛物线方程，以及直线截圆所得弦长，列出关于的方程组，求解即可. 【详解】根据题意，作图如下： 设点坐标为，因其在抛物线上，故； 以为圆心，为半径圆，其圆心到轴的距离为，半径； 由题可知：，整理得：，故，. 故选：A. 30．已知抛物线的焦点为是上一点，且的面积为1.则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由题意可得，设，结合的面积可得，进而求得，再根据抛物线的定义求解即可. 【详解】由题意，，设， 则，则，即， 将代入，得， 根据抛物线的定义，. 故选：C. 07  抛物线焦点弦的性质 31．已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点，为坐标原点，若，则（    ） A． B． C．准线为 D． 【答案】D 【分析】由已知根据抛物线方程即可判断，；设，由得，根据抛物线的定义即可求解. 【详解】抛物线，即，所以，故错误； 因为焦点为，准线为，故错误； 设，则， 由题意，且，故， 解得（舍）或， 故，故正确. 故选：. 32．记抛物线的焦点为上一点满足，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合抛物线的定义，可求点的横坐标，进而确定点纵坐标，再根据斜率公式求直线的斜率. 【详解】设，由抛物线的定义可得，解得， 代入的方程可得，故直线的斜率为. 故选：D 33．已知、是抛物线上的两点，且线段的中点横坐标为，则的最大值是 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设、，则，即，可得出，结合抛物线的定义可求得的最大值. 【详解】设、，则，即. 易知抛物线的焦点为，所以，， 当且仅当、、三点共线时，等号成立， 易知直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立可得， 所以，且， 由韦达定理可得，解得，合乎题意， 即当直线的方程为或时，取最大值. 故选：B. 34．已知抛物线的焦点为F，准线为l，P为C上一点，过P作l的垂线，垂足为若，则（    ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】由抛物线定义及已知条件知为等边三角形，进而可求. 【详解】由抛物线的定义知：又， ∴为等边三角形，，故, 故 故选：C. 35．已知抛物线（）上的点到焦点F的距离为6，则M到坐标原点的距离为（   ） A．4 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】运用定义求，再用两点间距离公式计算即可. 【详解】因为点M到焦点F的距离为6，所以，解得，所以，M到坐标原点的距离为. 故选：B. 08  抛物线的实际应用 36．图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2m，水面宽6m，水面上涨1m后，水面宽度为（    ） A． B． C． D．8m 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为，将代入抛物线方程解出，再将代入即可求解. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则点, 设抛物线的方程为，由点可得，解得，所以, 当时，，所以水面宽度为． 故选：B 37．世界上第一个太阳灶设计者是法国的穆肖，1860年他奉拿破仑三世之命，研究用抛物面镜反射太阳能集中到悬挂的锅上，供驻在非洲的法军使用．目前世界上太阳灶的利用相当广泛，技术也比较成熟，它不仅可以节约煤炭、电力、天然气，而且十分干净，毫无污染，是一个可望得到大力推广的太阳能利用装置．如图是某学校数学小组制作了一个太阳灶模型，其口径为1m，高为0.25m的抛物面，则其轴截面所在抛物线的顶点到焦点的距离为（   ） A．0.25 B．0.5 C．1 D．2 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，设出抛物线标准方程，根据图形可得抛物线上一点坐标，代入可得p，然后可得. 【详解】如图，建立平面直角坐标系， 设抛物线的方程为， 由图可得点在抛物线上，即 ，解得， 故轴截面所在抛物线的顶点到焦点的距离为. 故选：A. 38．如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即CD的长）为（    ）    A．40米 B．30米 C．25米 D．20米 【答案】A 【分析】以底部所在的直线为x轴，以线段CD的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，用待定系数法求得外侧抛物线的解析式，则可知点C、D的横坐标，从而可得CD的长． 【详解】以底部所在的直线为x轴，以线段CD的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系：   ，， 设抛物线的解析式为，将代入，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ∴C（-20，150），， ， 故选：A 39．清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡远”“清新”的特征．如图，已知碗体和碗盖的内部均近似为抛物线形状，碗盖深为，碗盖口直径为，碗体口直径为，碗体深，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为（碗和碗盖的厚度忽略不计）（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图建立平面直角坐标系，设碗体的抛物线方程为（），将点代入求出，即可得到抛物线方程，设盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为，则两抛物线在第一象限的交点为，代入方程计算可得. 【详解】以碗体的最低点为原点，向上方向为轴，建立直角坐标系，如图所示．    设碗体的抛物线方程为（），将点代入，得， 解得，则， 设盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为， 则两抛物线在第一象限的交点为，代入到，解得，解得． 故选：C 40．探照灯､汽车前灯的反光曲面､手电筒的反光镜面､太阳灶的镜面等都是抛物镜面.灯泡放在抛物线的焦点位置，通过镜面反射就变成了平行光束，如图所示，这就是探照灯､汽车前灯､手电筒的设计原理.已知某型号探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，灯口直径是，灯深，则光源到反射镜顶点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件及设出抛物线的标准方程，结合点在抛物线上即可求解. 【详解】在纵断面内，以反射镜的顶点（即抛物线的顶点）为坐标原点，过顶点垂直于灯口直径的直线为轴，建立直角坐标系，如图所示， 由题意可得. 设抛物线的标准方程为，于是，解得. 所以抛物线的焦点到顶点的距离为，即光源到反射镜顶点的距离为. 故选：B. 1．（2025·天津·一模）已知圆心位于抛物线焦点处的圆，与直线相交于、两点，且，则圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】求出抛物线的焦点坐标，并求出圆心到直线的距离，结合勾股定理可求出圆的半径长，即可得出所求圆的标准方程. 【详解】易知抛物线的焦点为，且点到直线的距离为， 故圆的半径为， 因此，所求圆的标准方程为. 故答案为：. 2．（2025·天津·二模）已知抛物线（）的焦点F是双曲线（）的一个顶点，两条曲线的一个交点为A，过A作抛物线准线的垂线，垂足为B，若是正三角形，则p的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的基本性质，和正三角形的基本性质，用参数表示出各点坐标，代入求得参数的值. 【详解】 如图所示，设双曲线线的另一个顶点为， 依题意，可知，，可知，， 不妨设A在第一象限，则在双曲线上， 所以，解得， 故选：A． 3．（2025·天津河西·一模）已知抛物线上位于第一象限内的点到抛物线的焦点的距离为5，过点作圆的切线，切点为，则 ． 【答案】 【分析】先根据抛物线的定义求出点的坐标，再将圆的方程化为标准方程，得到圆心坐标和半径，最后根据切线的性质，利用勾股定理求值. 【详解】在抛物线中，，则，所以焦点，准线方程为． 设点，根据抛物线的定义，可得， 解得．把代入，得， 因为，所以，即． 圆，圆心为，半径， 故． 故答案为：． 4．（2025·天津河西·模拟预测）已知抛物线的焦点为，圆，过点作直线，当圆心到直线的距离最大时，直线的方程为 ． 【答案】 【分析】求出抛物线的焦点以及圆心的坐标，分析可知当时，圆心到直线的距离最大时，求出直线的斜率，结合点斜式可得出直线的方程. 【详解】对于抛物线，则，，所以，故其焦点为， 圆的标准方程为，圆心为， 当时，圆心到直线的距离最大时， 因为，此时直线的斜率为， 因此，直线的方程为，即. 故答案为：. 5．（2025·天津·二模）已知抛物线的焦点为F，准线l交x轴于点D，过D的直线与抛物线交于A，B两点，且B在线段AD上，点P为A在l上的射影.若P，B，F共线，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】求出抛物线的焦点坐标及准线方程，设出点的坐标，结合向量共线的坐标表示求出点的坐标，再利用抛物线定义求出比值. 【详解】抛物线的焦点，准线，， 由对称性，不妨令点在第一象限，设， 则，由B在线段AD上， 得，整理得，而， 则，由P，B，F共线， 得，整理得，解得， 于是，过作于，所以. 故选：B 6．（2025·天津和平·三模）已知抛物线过点；其焦点为，以为直径作圆，圆与圆相交于，两点，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】先代入P点求出抛物线方程，则焦点坐标可求，进而可得圆的方程，与圆相减即可得相交弦AB的直线方程. 【详解】将P点代入抛物线方程可得，解得，即抛物线方程为， 所以抛物线的焦点坐标，PF的中点坐标为， ,所以圆的圆心为，半径为2， 所以圆， 因为，所以圆与圆相交， 圆与圆方程相减可得：，即， 故答案为：. 7．（2025·天津南开·二模）已知抛物线的焦点为，倾斜角为的直线过点．若与相交于两点，则以为直径的圆被轴截得的弦长为 ． 【答案】 【分析】首先求出抛物线方程及直线的方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理得到，再由抛物线的定义、中点公式求圆的半径和圆心横坐标，最后应用几何法求弦长. 【详解】因为抛物线的焦点为， 所以，解得，则抛物线， 直线的方程为，由， 则，显然， 所以，故， 所以以为直径的圆的圆心的纵坐标为，半径为， 故以为直径的圆被轴截得的弦长为. 故答案为： 8．（2025·天津·二模）过点且斜率为1的直线与抛物线交于A，B两点，已知直线经过抛物线的焦点，则以线段AB为直径的圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】根据已知条件先求得直线和抛物线的方程，联立求得交点坐标，然后求得圆心和半径，进而写出标准方程. 【详解】已知直线 过点 且斜率为1，因此其方程为 . 抛物线的方程为 （），其焦点坐标为 . 由于直线 经过抛物线的焦点，代入焦点坐标得到 ， 解得 ，因此抛物线的方程为 ，焦点为 . 将直线方程 代入抛物线方程 得到：, 展开并整理得：, 解得 ，对应的 值为 ， 因此交点 和 的坐标分别为 和 . 以线段 为直径的圆的圆心为 的中点，坐标为： , , , 半径为 ，因此圆的标准方程为：, 故答案为：. 9．（2025·天津河西·二模）已知抛物线的焦点为，圆：，过点作直线与圆交于两点，且为的中点，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】求出抛物线焦点坐标和圆心坐标，依题意可得，求得直线的斜率为可得其方程. 【详解】易知抛物线的焦点为， 将圆化为标准方程，圆心，半径，如下图所示： 若为的中点，结合圆的性质可知， 易知，所以直线的斜率为， 因此直线的方程为，即. 故答案为： 10．（2025·天津·二模）以抛物线的焦点为圆心，且过点的圆与直线相交于，两点，则 . 【答案】 【分析】根据题意写出圆心，再根据圆心与圆上一点的距离为半径写出圆的方程，根据圆截直线的弦长求解即可. 【详解】 抛物线的焦点为，即圆心为， 且圆过点，则，所以圆的方程为. 圆心到直线的距离， 圆截直线的弦长为. 故答案为：. 11．（2025·天津和平·一模）已知直线经过抛物线的焦点，直线与圆相交于、两点，且，则实数的值等于（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据直线过抛物线的焦点求出的值，利用勾股定理求出圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式可得出关于的等式，解之即可. 【详解】易知抛物线的焦点为，且直线经过点，则，可得， 所以，直线的方程为，即， 圆的圆心为，半径为， 由题意可知，圆心到直线的距离为， 由点到直线的距离公式可得，即，解得或. 故选：C. 12．（24-25高二下·陕西商洛·阶段练习）已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，的面积为，则（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】将双曲线渐近线方程与抛物线准线方程联立可求得，由双曲线离心率可得到，由此可得，利用三角形面积可构造方程求得的值. 【详解】由双曲线方程知：渐近线方程为；由抛物线方程知：准线方程为； 由得：，； 双曲线离心率，，则， ，解得：. 故选：C 13．（2024·天津河西·二模）已知抛物线的焦点为，圆与直线相切，且与圆相切于点，则符合要求的圆的方程为 .（写出一个即可） 【答案】（或） 【分析】利用抛物线的性质得到，利用圆和圆的位置关系确定圆心坐标，再利用直线与圆相切建立方程，求解即可. 【详解】由题意得，因为圆与直线相切， 且与圆相切于点，所以将代入中， 得到，解得，所以圆方程为， 化为标准方程得到，所以圆心为，半径为1， 所以圆的圆心在轴上，而圆与圆相切， 当圆与圆内切时，设半径为，此时圆心为， 设圆心到直线的距离为，由点到直线的距离公式得， 此时，解得(负根舍去)， 所以此时圆的方程为， 当圆与圆外切时，设半径为，此时圆心为， 设圆心到直线的距离为，由点到直线的距离公式得， 此时，解得(负根舍去)， 所以此时圆的方程为. 故答案为：（或） 14．（2024·天津河北·二模）已知抛物线上有一点，且点在第一象限，以为圆心作圆，若该圆经过抛物线的顶点和焦点，那么这个圆的方程为 . 【答案】 【分析】依题设点，，由求出的值，即可求得圆的方程. 【详解】设点，则，若抛物线的顶点为,焦点为， 依题意，,即，解得，， 则圆的圆心为，半径为, 故这个圆的方程为：. 故答案为：. 15．（2024·天津北辰·三模）过抛物线的焦点作圆：的两条切线，切点分别为，若为等边三角形，则的值为 . 【答案】4 【分析】 由抛物线的性质，结合直线与圆的位置关系求解． 【详解】 如图， 过抛物线的焦点F作圆C：的两条切线，切点分别为M，N，又△FMN为等边三角形， 则在直角三角形MCF中，，， 又C(2,0)，，又， 则，即，则p＝4． 故答案为：4． 19 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 抛物线 目录 01 常考题型过关练 题型01 抛物线的定义与标准方程 题型02 与抛物线有关的距离和最值问题 题型03 抛物线上两线段的和差最值问题 题型04 抛物线中三角形，四边形的面积问题 题型05 抛物线的几何性质 题型06 焦半径问题 题型07 抛物线焦点弦的性质 题型08 抛物线实际应用 02 核心突破提升练 01  抛物线的定义与标准方程 1．已知为坐标原点，为抛物线的焦点，点在上，且，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 2．抛物线上一点到其焦点的距离为6，则的值为（    ） A． B． C．-8 D．-4 3．抛物线的焦点到准线的距离是（    ） A．4 B．2 C． D． 4．已知抛物线上一点A的横坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为（　　） A．5 B．6 C． D．4 5．在平面直角坐标系xOy中，为抛物线的焦点，点在上，若轴，则（    ） A． B． C． D． 02  与抛物线有关的距离和最值问题 6．已知A是抛物线C：上的点，，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 7．已知点在曲线上，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，其中在第一象限，则下列正确的是（    ） A．的准线为 B．的最小值为 C．以为直径的圆与轴相切 D．若且，则 9．已知抛物线，圆，在抛物线上任取一点，向圆作两条切线和，切点分别为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线的距离相等，记动点的轨迹为，是圆：上的动点．则的最小值为（    ） A． B． C．27 D． 03 抛物线上两线段的和差最值问题 11．已知点，抛物线：的焦点为F，P是C上的动点，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．3 12．设抛物线的焦点为，点在上，则的周长的最小值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 13．已知点是抛物线上的动点，定点，则到点的距离与到轴的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 14．已知直线和直线，抛物线上一动点到直线、直线的距离之和的最小值是（    ） A．2 B．3 C． D．4 15．已知抛物线的焦点为F，M为C上的动点，N为直线上的动点，设点M到y轴的距离为d，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 04  抛物线中三角形，四边形的面积问题 16．在平面直角坐标系xOy中，有一条抛物线，其焦点为F，在上任取一点P，满足.当△POF的面积取得最大值时，相应的点P的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 17．过抛物线上一点作圆的切线，切点为、，则当四边形的面积最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 18．如图，已知抛物线：的焦点为，直线与相交于，两点，与轴相交于点.已知，，若△，△的面积分别为，，且，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 19．已知斜率为的直线过抛物线的焦点且与抛物线相交于两点，过分别作该抛物线准线的垂线，垂足分别为，，若与的面积之比为4，则的值为（    ） A． B． C． D． 20．已知抛物线的焦点为F，准线与坐标轴交于点M，Р是抛物线C上的一点，且为钝角，若，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 05  抛物线的几何性质 21．过抛物线C：的焦点F的直线l交C于P，Q两点，则当取最小值时，直线l的斜率为（   ） A． B． C． D． 22．已知抛物线：与圆：（）交于，两点，且，则（   ） A． B． C．2 D．1 23．已知抛物线的焦点为准线为为抛物线上一点，过点作直线于点，且的内心，则内切圆的面积为（    ） A． B． C． D． 24．双曲线的两条渐近线与拋物线的三个交点为顶点的三角形为等边三角形，则双曲线的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 25．是抛物线上的不同两点，点F是抛物线的焦点，且的重心恰为F，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 06  焦半径问题 26．设抛物线的焦点为，过上一点作其准线的垂线，设垂足为，若，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 27．已知点在抛物线上，抛物线的焦点为，则（   ） A．5 B．8 C． D． 28．已知点在抛物线上，点为圆上任意一点，且的最小值为3，则，圆的半径为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 29．已知抛物线的焦点为，纵坐标为的点在上．若以为圆心，为半径的圆被轴截得的弦长为，则（   ） A． B．2 C． D． 30．已知抛物线的焦点为是上一点，且的面积为1.则（    ） A．1 B． C．2 D． 07  抛物线焦点弦的性质 31．已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点，为坐标原点，若，则（    ） A． B． C．准线为 D． 32．记抛物线的焦点为上一点满足，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 33．已知、是抛物线上的两点，且线段的中点横坐标为，则的最大值是 （   ） A． B． C． D． 34．已知抛物线的焦点为F，准线为l，P为C上一点，过P作l的垂线，垂足为若，则（    ） A． B． C．4 D． 35．已知抛物线（）上的点到焦点F的距离为6，则M到坐标原点的距离为（   ） A．4 B．6 C． D． 08  抛物线的实际应用 36．图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2m，水面宽6m，水面上涨1m后，水面宽度为（    ） A． B． C． D．8m 37．世界上第一个太阳灶设计者是法国的穆肖，1860年他奉拿破仑三世之命，研究用抛物面镜反射太阳能集中到悬挂的锅上，供驻在非洲的法军使用．目前世界上太阳灶的利用相当广泛，技术也比较成熟，它不仅可以节约煤炭、电力、天然气，而且十分干净，毫无污染，是一个可望得到大力推广的太阳能利用装置．如图是某学校数学小组制作了一个太阳灶模型，其口径为1m，高为0.25m的抛物面，则其轴截面所在抛物线的顶点到焦点的距离为（   ） A．0.25 B．0.5 C．1 D．2 38．如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即CD的长）为（    ）    A．40米 B．30米 C．25米 D．20米 39．清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡远”“清新”的特征．如图，已知碗体和碗盖的内部均近似为抛物线形状，碗盖深为，碗盖口直径为，碗体口直径为，碗体深，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为（碗和碗盖的厚度忽略不计）（    ）    A． B． C． D． 40．探照灯､汽车前灯的反光曲面､手电筒的反光镜面､太阳灶的镜面等都是抛物镜面.灯泡放在抛物线的焦点位置，通过镜面反射就变成了平行光束，如图所示，这就是探照灯､汽车前灯､手电筒的设计原理.已知某型号探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，灯口直径是，灯深，则光源到反射镜顶点的距离为（    ） A． B． C． D． 1．（2025·天津·一模）已知圆心位于抛物线焦点处的圆，与直线相交于、两点，且，则圆的标准方程为 ． 2．（2025·天津·二模）已知抛物线（）的焦点F是双曲线（）的一个顶点，两条曲线的一个交点为A，过A作抛物线准线的垂线，垂足为B，若是正三角形，则p的值为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·天津河西·一模）已知抛物线上位于第一象限内的点到抛物线的焦点的距离为5，过点作圆的切线，切点为，则 ． 4．（2025·天津河西·模拟预测）已知抛物线的焦点为，圆，过点作直线，当圆心到直线的距离最大时，直线的方程为 ． 5．（2025·天津·二模）已知抛物线的焦点为F，准线l交x轴于点D，过D的直线与抛物线交于A，B两点，且B在线段AD上，点P为A在l上的射影.若P，B，F共线，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 6．（2025·天津和平·三模）已知抛物线过点；其焦点为，以为直径作圆，圆与圆相交于，两点，则直线的方程为 ． 7．（2025·天津南开·二模）已知抛物线的焦点为，倾斜角为的直线过点．若与相交于两点，则以为直径的圆被轴截得的弦长为 ． 8．（2025·天津·二模）过点且斜率为1的直线与抛物线交于A，B两点，已知直线经过抛物线的焦点，则以线段AB为直径的圆的标准方程为 . 9．（2025·天津河西·二模）已知抛物线的焦点为，圆：，过点作直线与圆交于两点，且为的中点，则直线的方程为 . 10．（2025·天津·二模）以抛物线的焦点为圆心，且过点的圆与直线相交于，两点，则 . 11．（2025·天津和平·一模）已知直线经过抛物线的焦点，直线与圆相交于、两点，且，则实数的值等于（    ） A． B． C．或 D．或 12．（24-25高二下·陕西商洛·阶段练习）已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，的面积为，则（    ） A．1 B． C．2 D．3 13．（2024·天津河西·二模）已知抛物线的焦点为，圆与直线相切，且与圆相切于点，则符合要求的圆的方程为 .（写出一个即可） 14．（2024·天津河北·二模）已知抛物线上有一点，且点在第一象限，以为圆心作圆，若该圆经过抛物线的顶点和焦点，那么这个圆的方程为 . 15．（2024·天津北辰·三模）过抛物线的焦点作圆：的两条切线，切点分别为，若为等边三角形，则的值为 . 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $