第05讲 双曲线（复习讲义）（天津专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第05讲 双曲线 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 4 知能解码 4 知识点1 双曲线的定义 4 知识点2 双曲线的方程、图形及性质 5 题型破译 7 题型1 双曲线的定义与标准方程 7 题型2 双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题 9 题型3 双曲线上两线段的和差最值问题 13 题型4 离心率的值及取值范围 17 题型5 利用第一定义求解轨迹 20 题型6 双曲线的渐近线 24 题型7 双曲线的实际应用 27 04真题溯源·考向感知 31 05课本典例·高考素材 39 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）双曲线的定义 （2）双曲线的方程、图形及性质 单选题 多选题 填空题 解答题 2025年天津卷，第9题,5分 2024年天津卷，第8题,5分 2023年天津卷，第9题,5分 考情分析： 本节内容是天津高考卷的必考内容，一般要求求解双曲线的标准方程，离心率，切线与弦长等问题。设题稳定，难度中档，分值为5分或15分. 复习目标： 1.理解、掌握双曲线的概念，能够求解双曲线的标准方程 2.能掌握双曲线的几何性质 3.具备数形结合的思想意识，会借助几何图形，解决直线与双曲线的位置关系问题 4.会解双曲线的离心率，与弦长等问题 知识点1 双曲线的定义 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为． 注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支；（2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线；（3）时，点的轨迹不存在．注：①条件“”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值），注意的应用． 自主检测双曲线C：的右支上一点P在第一象限，分别为双曲线C的左、右焦点，M为的内心，若内切圆M的半径为1，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，切线长定理以及双曲线的定义求出点的坐标，再结合斜率的定义及二倍角的正切公式求解. 【详解】双曲线的实半轴长，焦点， 设圆与三边分别相切于点， 则， 又，解得，， 则点，因为轴，所以由题，， 所以直线的斜率.    故选：D 知识点2 双曲线的方程、图形及性质 标准方程 图形 ( A 2 ) 焦点坐标 ， ， 对称性 关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称 顶点坐标 ， ， 范围 实轴、虚轴 实轴长为，虚轴长为 离心率 渐近线方程 令， 焦点到渐近线的距离为 令， 焦点到渐近线的距离为 共焦点的双曲线方程 共渐近线的双曲线方程 通径 通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为 等轴双曲线 等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为． 自主检测已知双曲线C：的渐近线方程为，点在C上，则C的焦距为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线渐近线方程得，再把点代入双曲线方程求出的值，最后根据双曲线的性质求出焦距. 【详解】双曲线C：的渐近线方程为，则有，即， 双曲线方程可表示为， 点在C上，有，解得，即，得， 双曲线中为半焦距，则有，得， 所以双曲线C的焦距为. 故选：D 【常用结论】 1.双曲线的通径 过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为． 2.点与双曲线的位置关系 对于双曲线，点在双曲线内部，等价于． 点在双曲线外部，等价于 结合线性规划的知识点来分析． 3.双曲线常考性质 性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数；顶点到两条渐近线的距离为常数; 性质2：双曲线上的任意点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； 4.焦点三角形 双曲线焦点三角形面积为（可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大） 5.双曲线的切线 点在双曲线上，过点作双曲线的切线方程为．若点在双曲线外，则点对应切点弦方程为 题型1 双曲线的定义与标准方程 例1-1已知两条直线：，：，有一动圆M与交于A，B两点，与交于C，D两点，且，，则圆心M的轨迹为（   ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】C 【分析】分别求得圆心到直线，的距离，由可求解. 【详解】设动圆的圆心坐标为， 圆心到直线：的距离为， 圆心到直线：的距离为， 又动圆M与交于A，B两点，与交于C，D两点，且，， 所以，即， 化简得，所以圆心M的轨迹为双曲线， 故选： 例1-2（2025·天津武清·模拟预测）已知A，B为实数，则“”是“为双曲线方程”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据双曲线方程的特点分焦点在轴或轴两种情况进行讨论分析，可得到正确答案. 【详解】当表示双曲线时，均不为0. 若双曲线的焦点在轴上，则其标准方程为：，此时，,所以,所以 若双曲线的焦点在轴上，则其标准方程为：，此时，,所以,所以 当时，若则表示焦点在轴上的双曲线， 若则表示焦点在轴上的双曲线. 所以“”是“为双曲线方程”的充要条件． 故选：C. 方法技巧 双曲线定义的应用 (1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是不是双曲线，进而根据要求可求出曲线方程 (2)结合||PF1|－|PF2||＝2a，建立|PF1|与|PF2|的关系 【变式训练1-1】若双曲线与椭圆有公共焦点，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由椭圆和双曲线的方程及离心率计算公式可得结果. 【详解】由题意得椭圆的焦点为和， 而双曲线和椭圆有公共焦点，则双曲线的焦点也为和， 由双曲线方程可得，解得，又，得到， 则双曲线的离心率为. 故选：B. 【变式训练1-2】设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程表示焦点在轴上的双曲线列式计算求解. 【详解】方程表示焦点在轴上的双曲线， 由题意可得 解得， 故选：B． 【变式训练1-3】（2025·天津·调研）已知点在双曲线上，点满足为坐标原点，且，，则的最大值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由得，代入坐标，表示出点的从标，代入双曲线中化简，结合已知条件可得，最后利用基本不等式即可求解. 【详解】因为， 所以，且， 则有，得， 将点代入双曲线中得，所以  ①． 因为，即同向， 所以，所以， 将①代入上式并整理得， 即，则，等号能取到， 所以． 故选：B． 题型2 双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题 例2-1（2025·天津·联考）双曲线的左､右焦点分别为，以为焦点的抛物线与双曲线在第一象限的交点为，若，则双曲线的离心率大小为（    ） A．3 B．2 C． D．6 【答案】A 【分析】利用抛物线与双曲线的定义与性质得出，根据勾股定理从而确定的坐标，利用点在双曲线上构造齐次方程计算即可. 【详解】根据题意可设，双曲线的半焦距为，，则， 过作轴的垂线，过作的垂线，垂足为，显然直线为抛物线的准线， 则， 由双曲线的定义及已知条件可知，则， 由勾股定理可知， 又，所以，即， 整理得，所以，所以， 所以双曲线的离心率大小为3 .故选：A. 例2-2（25-26高三上·天津·开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线垂直于的一条渐近线，且与的左、右两支分别交于点，若，则的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，由题意可得，由余弦定理化简得，求得即可. 【详解】由，可得，连接，则． 设双曲线的渐近线方程为，即，右焦点为， 右焦点到渐近线的距离为， 因为垂直于的一条渐近线，所以． 在中，由余弦定理可得， 即，化简整理得， 解得或（舍去），故的渐近线方程为． 故选：A. 方法技巧 对于题中涉及双曲线上点到双曲线两焦点距离问题常用定义，即，在焦点三角形面积问题中若已知角，则用，及余弦定理等知识；若未知角，则用． 【变式训练2-1】已知双曲线C：的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点为中点，若，且，则直线的斜率＝（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】通过双曲线的定义以及勾股定理求出，再结合几何关系求出直线的斜率. 【详解】设，因为，所以， 根据双曲线的定义，可得，即， 解得，所以，， 又， 因为为中点，且，所以， 那么， 所以，则， 则， ， 设直线的倾斜角为，则， 则， 所以直线的斜率. 故选：. 【变式训练2-2】（2025·天津·调研）设为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】设，利用双曲线定义，可得，又由勾股定理得，联立求得，即得三角形的面积. 【详解】 如图，由可知，， 由对称性，不妨设点在第一象限， 设，由定义， ， ， 的面积为. 故选：B 【变式训练2-3·变载体】（2025·天津·调研）已知双曲线C：的一条渐近线方程为，过C的左焦点F的直线与C的右支交于点G，且与：相切于点E，若M为FG中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由双曲线的渐近线得双曲线的基本量，再由双曲线的定义及三角形的中位线定理及圆的切线性质即可得出. 【详解】由双曲线C：的一条渐近线方程为，得，则. 如图，    设C的右焦点为，由双曲线的定义得， 由M为FG的中点，知，，则①， 又，，，所以，由图知M在线段EF上，故②， ②－①得，又，所以． 故选：B. 题型3 双曲线上两线段的和差最值问题 例3-1（2025·天津·调研）已知，双曲线的左焦点为是双曲线的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B．2 C．3 D．1 【答案】D 【分析】由双曲线的定义得，由三角不等式得出，即可求解． 【详解】如图，设双曲线的右焦点为，连接，则， 因为， 而，所以， 当三点共线且在之间时等号成立，故的最大值是1． 故选：D． 例3-2已知是双曲线的下焦点，，是双曲线上支上的动点，则的最小值为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【分析】求出上焦点的坐标，由双曲线的定义可得，求得的值，即得结果． 【详解】由得，， ， 所以下焦点，上焦点为， 由双曲线的定义得 ， 当，，三点共线时，取得最小值9． 故选：A． 方法技巧 在解析几何中，我们会遇到最值问题，这种问题，往往是考察我们定义．求解最值问题的过程中，如果发现动点在圆锥曲线上，要思考并用上圆锥曲线的定义，往往问题能迎刃而解 【变式训练3-1】过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为、，则的最小值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．15 【答案】B 【分析】根据双曲线定义可得，结合圆的切线性质可得，结合图形，即得答案. 【详解】如图所示，双曲线方程的两焦点坐标为，， 连接，，，，则， 因为，， 所以 ， 当且仅当为双曲线右顶点时等号成立， 故选：B. 【变式训练3-2】已知双曲线的左焦点为，点在的右支上，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．10 D．14 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义，将与进行转化，再结合三角形三边关系求出的最小值． 【详解】对于双曲线，根据双曲线的标准方程（），可得，．则． 设双曲线的右焦点为，由双曲线的定义可知，点在双曲线的右支上，则，即； 同理，点在双曲线的右支上，则，即． 所以． 根据三角形三边关系，，当且仅当，，三点共线时，等号成立． 又，则，即． 所以的最小值为10． 故选：C． 【变式训练3-3】已知双曲线的右焦点为，点，点为双曲线左支上的动点，则的周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的焦点坐标求出的值，设双曲线的左焦点为，利用双曲线的定义得出，利用当为线段与双曲线的交点时，的周长取最小值，求解即可. 【详解】因为双曲线的右焦点为，则， 且，可得，则，，， 所以，双曲线的标准方程为，如下图所示： 双曲线的左焦点为，且， 同理可得， 由双曲线的定义可得，所以，， 所以，的周长为， 当且仅当为线段与双曲线的交点时，等号成立， 所以，周长的最小值为. 故选：A. 题型4 离心率的值及取值范围 例4-1（2025·天津·调研）若双曲线一条渐近线的倾斜角角为30°，则该双曲线的离心率e为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的渐近线斜率，利用间的关系转化为间关系得解. 【详解】由双曲线方程可知，该双曲线的渐近线方程为， 因为双曲线一条渐近线的倾斜角为30°，， 所以，即， 所以，即，即， 所以，， 故选：C. 例4-2若双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用双曲线的性质，结合离心率可求渐近线方程. 【详解】由题意知，所以， 所以的渐近线方程为，即为， 故选：A． 方法技巧 求离心率的本质就是探究之间的数量关系，知道中任意两者间的等式关系或不等关系便可求解出的值或其范围．具体方法为方程法、不等式法、定义法和坐标法 【变式训练4-1】设双曲线的右焦点为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于（除原点外）两点，若，则双曲线的离心率为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意写出以为直径的圆的方程，与双曲线的渐近线方程联立求得点的纵坐标，再根据即可求得. 【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为， 如图，设双曲线的焦距为，以为直径的圆的方程为：， 即，联立， 解得，即由对称性可得，，且， 则，可得，故离心率. 故选：B 【变式训练4-2】已知圆与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（    ） A． B． C．5 D． 【答案】C 【分析】先求出双曲线的渐近线方程，根据圆的方程得出圆心和半径，利用点到直线距离公式求出圆心到渐近线的距离，再利用相切关系得出圆心到直线的距离等于半径构造方程求出的关系，结合离心率公式求解． 【详解】    双曲线的渐近线为，即， 由圆的方程得圆心为， 圆心到渐近线的距离， 又圆与双曲线渐近线相切，圆半径， ，解得， ． 故选：C． 【变式训练4-3·变载体】（2024·天津·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，若圆上存在点 使得的中点在的渐近线上，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设为圆上一点，得到的中点，求得，结合直线与圆有公共点，得到，求得，进而求得双曲线的离心率的取值范围. 【详解】因为双曲线的右焦点为，则，即， 且双曲线的渐近线方程为， 设为圆上一点，且圆心为，半径， 则的中点在其渐近线上，可得， 即，所以点在直线上， 因为圆心到直线的距离为， 因为圆上存在点满足条件，所以直线与圆有公共点， 所以，即，可得，可得，所以， 又因为双曲线的离心率，所以， 所以双曲线的离心率的取值范围为. 故选：B. 题型5 利用第一定义求解轨迹 例5-1（2025·天津武清·一模）已知定点，，平面上满足下列斜率关系的动点的轨迹是椭圆的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设动点的坐标为，则（）.逐项代入求出动点的轨迹方程即可求解. 【详解】设动点的坐标为，则（）. 若，则，整理得（）， 此时动点的轨迹是圆上去掉点，，不符合题意，故选项A错误； 若，则，整理得（）， 此时动点的轨迹是双曲线上去掉点，，不符合题意，故选项B错误； 若，则，整理得（）， 此时动点的轨迹是椭圆上去掉点，，符合题意，故选项C正确； 若，则，整理得（）， 此时动点的轨迹是双曲线上去掉点，，不符合题意，故选项D错误. 故选：C. 例5-2若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆上恰有三个点到直线的距离为，得到圆心到直线的距离恰好为，求得，设，得到，代入方程，即可得到点的轨迹方程. 【详解】由圆，可得标准方程为， 所以圆心，半径为， 若圆上恰有三个点到直线的距离为， 则满足圆心到直线的距离恰好为，即，即， 设，则， 代入，可得， 整理得，即点的轨迹方程为. 故选：A. 方法技巧 常见考题中，会让我们利用圆锥曲线的定义求解点P的轨迹方程，这时候要注意把动点P和满足焦点标志的定点连起来做判断．焦点往往有以下的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为F的点；（3）圆心；（4）题上提到的定点等等．当看到满足以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义判断．注意：在求解轨迹方程的题中，要注意x和y的取值范围． 【变式训练5-1】在平面直角坐标系中，已知点，点是平面内的一个动点，若以为直径的圆与圆：相切，记点P的轨迹为曲线C，过曲线C上一点Q作直线分别与直线，相交，交点为M、N，且交点分别在第一象限和第四象限，若，，则面积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出点的轨迹方程，再设出点的坐标，并表示出点，将三角形面积表示为的函数，借助对勾函数的性质求出范围. 【详解】依题意，以为直径的圆的圆心为，而点在圆外，且圆圆心，半径1， 由两圆相切，得，整理得， 设，由，得， 而点在上，则，整理得， 直线，的倾斜角为，则， 的面积， 对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 则，因此， 所以面积的取值范围为. 故选：D 【变式训练5-2】已知直线，点到的距离之积为，记点的轨迹为曲线，若与曲线有四个交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出，根据题干列出等式，求出轨迹方程，再根据与曲线有4个交点，求出参数a的范围. 【详解】设，由题意得，所以，即， 所以点的轨迹为两个双曲线. 双曲线的实半轴长为1，双曲线1的实半轴长为3， 由，得0），表示以原点为圆心，为半径的圆的上半圆， 若曲线与半圆有四个交点，则3，即. 故选：B. ； 【变式训练5-3】已知曲线，则下列结论中错误的是（   ） A．曲线E与直线无公共点 B．曲线E上的点到直线的最大距离是 C．曲线E关于直线对称 D．曲线E与圆有三个公共点 【答案】D 【分析】联立方程组即可判断A，根据点到平面距离结合圆的半径即可判断B，将点代入曲线判断C，应用分象限讨论得出曲线E得出与圆的交点个数判断D. 【详解】对于A选项，联立， 将代入，得，所以曲线E与直线无公共点，A选项正确; 对于B选项，曲线E上的点到直线的最大距离是，即圆弧的半径，所以B选项正确. 对于C选项，点满足直线对称的对称点是，将点代入 得，整理得，所以曲线E关于直线对称，C选项正确; 曲线，曲线E是双曲线一部分和圆的一部分构成的图象，圆的圆心为，半径是， 当，时，曲线方程可化为，与圆一个交点； 当，时，曲线方程可化为，无轨迹； 当，时，曲线方程可化为，与圆无交点； 当，时，曲线方程可化为，与圆一个交点； 对于D选项，可知曲线E与圆有两个公共点，D选项错误; 故选：D 题型6 双曲线的渐近线 例6-1（2024·天津河西·三模）已知焦点在 轴上的双曲线 与双曲线 有共同的渐近线，且点 在双曲线 上，则双曲线 的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据共渐近线方程可设双曲线的方程为，代入点坐标，解出即可. 【详解】设双曲线的方程为， 将点代入得，得， 所以双曲线的方程为. 故选：D. 例6-2已知双曲线的一条渐近线方程为，则的实轴长为（    ） A．12 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线方程，可得，即可求得渐近线方程，根据条件，可得，求得m值，即可得答案. 【详解】由题意可得，所以， 所以一条渐近线的方程为， 所以，解得，则，所以实轴长. 故选：C 方法技巧 求双曲线渐近线方程的方法 求双曲线－＝1(a>0，b>0)或－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令－＝0，得y＝±x；或令－＝0，得y＝±x 【变式训练6-1】已知双曲线的左顶点为，若圆交的一条渐近线于两点，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知，可设，，，结合已知夹角及向量夹角的坐标表示列方程得，进而求离心率. 【详解】由题设，渐近线为，联立圆得，可得， 不妨令，，则，又， 所以，可得， 所以，则，故离心率.    故选：C 【变式训练6-2】已知直线为双曲线的一条渐近线，与圆交于两点（为坐标原点），若的面积为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由条件先证明，由点到直线距离公式可得点到直线的距离，由的面积为结合三角形面积公式可得或，分情况解三角形求，列方程求，由此可得，再结合离心率定义求结论. 【详解】因为直线为双曲线的一条渐近线， 所以， 圆的圆心的坐标为，半径， 所以点到直线的距离， 因为与圆交于两点（为坐标原点），所以， 因为的面积为，所以， 所以，又， 所以或， 若，则点到直线的距离， 所以，所以，所以， 所以， 此时双曲线的离心率， 若，则点到直线的距离， 所以，所以， 所以，与矛盾，舍去， 所以双曲线的离心率， 故选：C    【变式训练6-3】记为双曲线的右焦点，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据焦点坐标即可求解，进而根据渐近线方程求解. 【详解】由于为双曲线的右焦点，故，所以， 故渐近线方程为， 故选：B 题型7 双曲线的实际应用 例7-1（2025·天津·模拟预测）圆锥曲线有良好的光学性质，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点（如左图）；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出（如中图）.封闭曲线（如右图）是由椭圆和双曲线在轴右侧的一部分（实线）围成.光线从椭圆上一点出发，经过双曲线的右焦点，然后在曲线内多次反射，反射点依次为若与重合，则光线从到所经过的路程为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】结合椭圆、双曲线的定义以及它们的光学性质求得正确答案. 【详解】椭圆；双曲线则双曲线和椭圆的焦点重合. 根据双曲线的定义有 所以 根据椭圆的定义由 所以路程 故选：B. 例7-2如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和且，，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出辅助线，设，利用双曲线定义表达出其他边，在中，由余弦定理得到方程，求出，再在中，由余弦定理得到方程，求出，求出离心率. 【详解】由题意知延长 则必过点 ， ， 设， 则，， 由双曲线的定义可得 ，， 由可得， 在中，由余弦定理 可得， 在中，由余弦定理 可得 解得：， 则， 故选：D 方法技巧 双曲线在实际应用中展现出多样性和重要性.在光学领域，其反射特性被用于设计高精度望远镜；在建筑方面，双曲线冷却塔优化了流体流动，提高了能源效率；此外，在通信和导航系统中，双曲线定位技术实现了精准定位.这些应用体现了双曲线在科学技术和工程实践中的广泛价值和深远影响. 【变式训练7-1】阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年）提出了许多新的性质．其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，．其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，利用双曲线的定义、勾股定理可得方程，解得，进而得出结论． 【详解】设，，，由题意知，，， 所以，，， 所以， 又，所以，解得或（舍去）， 所以，则， 则. 故选：C. 【变式训练7-2】（2025·天津·开学考试）如图，已知A，B两地相距600m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地早1s，且声速为．以线段AB的中点为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系xOy，则炮弹爆炸点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义求解． 【详解】设炮弹爆炸点P的坐标为，则， 所以P的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为340的双曲线的左支． 因为，所以．又， 所以， 故炮弹爆炸点的轨迹方程为． 故选：B． 【变式训练7-3】如图所示，双曲线，又，已知，，若由射至的光线被双曲线反射，反射光通过，则 ．    【答案】 【分析】利用双曲线的光学性质，反射后的光线反向延长线经过另一个焦点，从而确定反射光线的路径，进而求出的值. 【详解】入射线反射后得到的光线的反向延长线定过双曲线的另一个焦点， ． 故答案为： 1．（2025·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（   ） A．2 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】利用抛物线与双曲线的定义与性质得出，根据勾股定理从而确定P的坐标，利用点在双曲线上构造齐次方程计算即可. 【详解】根据题意可设，双曲线的半焦距为，，则， 过作轴的垂线l，过作l的垂线，垂足为A，显然直线为抛物线的准线， 则， 由双曲线的定义及已知条件可知，则， 由勾股定理可知， 易知，即， 整理得，∴，即离心率为2. 故选： 2．（2024·天津·高考真题）设，函数.若恰有一个零点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】结合函数零点与两函数的交点的关系，构造函数与，则两函数图象有唯一交点，分、与进行讨论，当时，计算函数定义域可得或，计算可得时，两函数在轴左侧有一交点，则只需找到当时，在轴右侧无交点的情况即可得；当时，按同一方式讨论即可得. 【详解】令，即， 由题可得， 当时，，有，则，不符合要求，舍去； 当时，则， 即函数与函数有唯一交点， 由，可得或， 当时，则，则， 即，整理得， 当时，即，即， 当，或（正值舍去）， 当时，或，有两解，舍去， 即当时，在时有唯一解， 则当时，在时需无解， 当，且时， 由函数关于对称，令，可得或， 且函数在上单调递减，在上单调递增， 令，即， 故时，图象为双曲线右支的轴上方部分向右平移所得， 由的渐近线方程为， 即部分的渐近线方程为，其斜率为， 又，即在时的斜率， 令，可得或（舍去）， 且函数在上单调递增， 故有，解得，故符合要求； 当时，则， 即函数与函数有唯一交点， 由，可得或， 当时，则，则， 即，整理得， 当时，即，即， 当，（负值舍去）或， 当时，或，有两解，舍去， 即当时，在时有唯一解， 则当时，在时需无解， 当，且时， 由函数关于对称，令，可得或， 且函数在上单调递减，在上单调递增， 同理可得：时，图象为双曲线左支的轴上方部分向左平移所得， 部分的渐近线方程为，其斜率为， 又，即在时的斜率， 令，可得或（舍去）， 且函数在上单调递减， 故有，解得，故符合要求； 综上所述，. 故答案为：. 3．（2024·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】可利用三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设，由面积公式求出，由勾股定理得出，结合第一定义再求出. 【详解】如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设， ，由，求得， 因为，所以，求得，即， ，由正弦定理可得：， 则由得， 由得， 则， 由双曲线第一定义可得：，， 所以双曲线的方程为. 故选：A 4．（2023·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由点到直线的距离公式求出，设，由得到，.再由三角形的面积公式得到，从而得到，则可得到，解出，代入双曲线的方程即可得到答案. 【详解】如图，    因为，不妨设渐近线方程为，即， 所以， 所以. 设,则，所以，所以. 因为,所以，所以，所以， 所以， 因为， 所以， 所以，解得， 所以双曲线的方程为 故选：D 5．（2022·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的准线l经过，且l与双曲线的一条渐近线交于点A，若，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得出的值，求出点的坐标，分析可得，由此可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程. 【详解】抛物线的准线方程为，则，则、， 不妨设点为第二象限内的点，联立，可得，即点， 因为且，则为等腰直角三角形， 且，即，可得， 所以，，解得，因此，双曲线的标准方程为. 故选：D. 6．（2021·天津·高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】设公共焦点为，进而可得准线为，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得，再由双曲线离心率公式即可得解. 【详解】设双曲线与抛物线的公共焦点为， 则抛物线的准线为， 令，则，解得，所以, 又因为双曲线的渐近线方程为，所以， 所以，即，所以， 所以双曲线的离心率. 故选：A. 1．如图，已知动圆M与两个定圆和分别外切，则动圆圆心M的轨迹是什么图形？    【答案】答案见详解 【分析】就两圆半径的大小关系分类讨论，再根据曲线的定义可得相应的轨迹. 【详解】设圆的半径为，圆的半径为，动圆的半径为， 因为动圆M与两个定圆和分别外切，故，， 若，则，故的轨迹为的中垂线. 若，则， 故的轨迹为以、为焦点的双曲线的右支. 若，则， 故的轨迹为以、为焦点的双曲线的左支. 2．求下列双曲线的实轴和虚轴的长、顶点的坐标、离心率和渐近线方程，并画出双曲线的草图： (1)； (2)． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】由双曲线的几何性质分别求解即可. 【详解】（1）由双曲线方程， 知双曲线焦点在轴，且， 则双曲线的实轴长，虚轴长， 顶点的坐标， 离心率， 由，得渐近线方程， 画出双曲线草图（如图）.    （2）由双曲线方程， 知双曲线焦点在轴，且， 则双曲线的实轴长，虚轴长， 顶点的坐标， 离心率， 由，得渐近线方程， 画出双曲线草图（如图）.    3．如图，发电厂的冷却塔被设计成单叶旋转双曲面的形状（双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面），可以加强对流，自然通风．已知某个冷却塔的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m．试选择适当的坐标系求此双曲线的方程．    【答案】 【分析】如图建立平面直角坐标系，设双曲线方程为，利用已知条件确定的值，从而可求得双曲线的方程. 【详解】如图所示，建立平面直角坐标系，设双曲线方程为， 因为，点的横坐标分别为25，13， 所以设（）， 所以，解得， 因为高为55米， 所以，即， 得， 所以所求双曲线方程为.    4．指出双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、实轴、虚轴及离心率． 【答案】答案详见解析 【分析】根据双曲线的知识求得正确答案. 【详解】双曲线的焦点在轴上， 所以范围：或；. 对称性：关于轴、轴、原点对称. 顶点：. 渐近线：. 实轴：，虚轴：. 离心率：，其中. 5．如图，在矩形中，把边AB分成n等份．在边的延长线上，的n分之一为单位长度连续取点．过边AB上各分点和作直线，过延长线上的对应分点和点A作直线，这两条直线的交点为P，P在什么曲线上运动？    【答案】点在双曲线的右支上半部分上运动 【分析】设，取所在的直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，设第组对应直线与的交点为，求出直线、的方程可得答案. 【详解】设，取所在的直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系， 设第组对应直线与的交点为，且点在第一象限， 则，，，， 直线的方程为，① 直线的方程为，② 点坐标满足方程①②， ①②相乘得，即（点在第一象限）， 所以点在双曲线的右支上半部分上运动.     . 6．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，，焦点在x轴上； (2)，经过点，焦点在y轴上． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意设出双曲线的标准方程，将条件，代入即可得出答案. （2）由题意设出双曲线的标准方程，将点的坐标代入方程即可得出答案. 【详解】（1）依题意，，且焦点在x轴上， 所以双曲线的标准方程为． （2）因为焦点在y轴上，所以可设双曲线的标准方程为 ． 由，且点在双曲线上，可得，解得． 因此，所求双曲线的标准方程为． 7．求双曲线的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率及渐近线方程． 【答案】答案见解析 【分析】根据双曲线方程求得，结合双曲线的性质即可求得答案. 【详解】由题意设双曲线的实轴长为2a，虚轴长为2b，焦距为2c， 则，，所以， 解得，，． 因此，双曲线的实轴长，虚轴长． 焦点坐标为，，顶点坐标为，． 离心率． 渐近线方程为． 8．动点与定点的距离和它到定直线距离的比是常数，求动点M的轨迹. 【答案】点M轨迹是焦点在x轴上，实轴长为6、虚轴长为的双曲线. 【分析】利用两点、点线距离公式列方程，并转化整理即可得轨迹方程，进而判断轨迹. 【详解】设d是点M到直线l的距离， 根据题意，动点M的轨迹就是点的集合，则. 将上式两边平方，并化简，得，即. 所以，点M的轨迹是焦点在x轴上，实轴长为6、虚轴长为的双曲线. 2 / 50 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 双曲线 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 4 知能解码 4 知识点1 双曲线的定义 4 知识点2 双曲线的方程、图形及性质 4 题型破译 6 题型1 双曲线的定义与标准方程 6 题型2 双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题 7 题型3 双曲线上两线段的和差最值问题 8 题型4 离心率的值及取值范围 9 题型5 利用第一定义求解轨迹 9 题型6 双曲线的渐近线 11 题型7 双曲线的实际应用 12 04真题溯源·考向感知 14 05课本典例·高考素材 15 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）双曲线的定义 （2）双曲线的方程、图形及性质 单选题 多选题 填空题 解答题 2025年天津卷，第9题,5分 2024年天津卷，第8题,5分 2023年天津卷，第9题,5分 考情分析： 本节内容是天津高考卷的必考内容，一般要求求解双曲线的标准方程，离心率，切线与弦长等问题。设题稳定，难度中档，分值为5分或15分. 复习目标： 1.理解、掌握双曲线的概念，能够求解双曲线的标准方程 2.能掌握双曲线的几何性质 3.具备数形结合的思想意识，会借助几何图形，解决直线与双曲线的位置关系问题 4.会解双曲线的离心率，与弦长等问题 知识点1 双曲线的定义 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于______（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为． 注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为____________；（2）当时，点的轨迹是以和为端点的______；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线；（3）时，点的轨迹____________．注：①条件“”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值），注意的应用． 自主检测双曲线C：的右支上一点P在第一象限，分别为双曲线C的左、右焦点，M为的内心，若内切圆M的半径为1，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 知识点2 双曲线的方程、图形及性质 标准方程 图形 ( A 2 ) 焦点坐标 ， ， 对称性 关于，轴成轴对称，关于______成中心对称 顶点坐标 ， ， 范围 实轴、虚轴 实轴长为，虚轴长为 离心率 渐近线方程 令， 焦点到渐近线的距离为 令， 焦点到渐近线的距离为 共焦点的双曲线方程 共渐近线的双曲线方程 通径 通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的______，其长为 等轴双曲线 等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为． 自主检测已知双曲线C：的渐近线方程为，点在C上，则C的焦距为（    ） A． B． C． D． 【常用结论】 1.双曲线的通径 过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为． 2.点与双曲线的位置关系 对于双曲线，点在双曲线内部，等价于． 点在双曲线外部，等价于 结合线性规划的知识点来分析． 3.双曲线常考性质 性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数；顶点到两条渐近线的距离为常数; 性质2：双曲线上的任意点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； 4.焦点三角形 双曲线焦点三角形面积为（可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大） 5.双曲线的切线 点在双曲线上，过点作双曲线的切线方程为．若点在双曲线外，则点对应切点弦方程为 题型1 双曲线的定义与标准方程 例1-1已知两条直线：，：，有一动圆M与交于A，B两点，与交于C，D两点，且，，则圆心M的轨迹为（   ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 例1-2（2025·天津武清·模拟预测）已知A，B为实数，则“”是“为双曲线方程”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 方法技巧 双曲线定义的应用 (1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是不是双曲线，进而根据要求可求出曲线方程 (2)结合||PF1|－|PF2||＝2a，建立|PF1|与|PF2|的关系 【变式训练1-1】若双曲线与椭圆有公共焦点，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】（2025·天津·调研）已知点在双曲线上，点满足为坐标原点，且，，则的最大值为（    ）． A． B． C． D． 题型2 双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题 例2-1（2025·天津·联考）双曲线的左､右焦点分别为，以为焦点的抛物线与双曲线在第一象限的交点为，若，则双曲线的离心率大小为（    ） A．3 B．2 C． D．6 例2-2（25-26高三上·天津·开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线垂直于的一条渐近线，且与的左、右两支分别交于点，若，则的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 方法技巧 对于题中涉及双曲线上点到双曲线两焦点距离问题常用定义，即，在焦点三角形面积问题中若已知角，则用，及余弦定理等知识；若未知角，则用． 【变式训练2-1】已知双曲线C：的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点为中点，若，且，则直线的斜率＝（   ） A． B．或 C． D．或 【变式训练2-2】（2025·天津·调研）设为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为（    ） A． B．2 C． D．4 【变式训练2-3·变载体】（2025·天津·调研）已知双曲线C：的一条渐近线方程为，过C的左焦点F的直线与C的右支交于点G，且与：相切于点E，若M为FG中点，则（    ） A． B． C． D． 题型3 双曲线上两线段的和差最值问题 例3-1（2025·天津·调研）已知，双曲线的左焦点为是双曲线的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B．2 C．3 D．1 例3-2已知是双曲线的下焦点，，是双曲线上支上的动点，则的最小值为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 方法技巧 在解析几何中，我们会遇到最值问题，这种问题，往往是考察我们定义．求解最值问题的过程中，如果发现动点在圆锥曲线上，要思考并用上圆锥曲线的定义，往往问题能迎刃而解 【变式训练3-1】过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为、，则的最小值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．15 【变式训练3-2】已知双曲线的左焦点为，点在的右支上，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．10 D．14 【变式训练3-3】已知双曲线的右焦点为，点，点为双曲线左支上的动点，则的周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型4 离心率的值及取值范围 例4-1（2025·天津·调研）若双曲线一条渐近线的倾斜角角为30°，则该双曲线的离心率e为（    ） A． B．2 C． D． 例4-2若双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 方法技巧 求离心率的本质就是探究之间的数量关系，知道中任意两者间的等式关系或不等关系便可求解出的值或其范围．具体方法为方程法、不等式法、定义法和坐标法 【变式训练4-1】设双曲线的右焦点为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于（除原点外）两点，若，则双曲线的离心率为（    ） A．4 B．2 C． D． 【变式训练4-2】已知圆与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（    ） A． B． C．5 D． 【变式训练4-3·变载体】（2024·天津·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，若圆上存在点 使得的中点在的渐近线上，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型5 利用第一定义求解轨迹 例5-1（2025·天津武清·一模）已知定点，，平面上满足下列斜率关系的动点的轨迹是椭圆的是（    ） A． B． C． D． 例5-2若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 方法技巧 常见考题中，会让我们利用圆锥曲线的定义求解点P的轨迹方程，这时候要注意把动点P和满足焦点标志的定点连起来做判断．焦点往往有以下的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为F的点；（3）圆心；（4）题上提到的定点等等．当看到满足以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义判断．注意：在求解轨迹方程的题中，要注意x和y的取值范围． 【变式训练5-1】在平面直角坐标系中，已知点，点是平面内的一个动点，若以为直径的圆与圆：相切，记点P的轨迹为曲线C，过曲线C上一点Q作直线分别与直线，相交，交点为M、N，且交点分别在第一象限和第四象限，若，，则面积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-2】已知直线，点到的距离之积为，记点的轨迹为曲线，若与曲线有四个交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． ； 【变式训练5-3】已知曲线，则下列结论中错误的是（   ） A．曲线E与直线无公共点 B．曲线E上的点到直线的最大距离是 C．曲线E关于直线对称 D．曲线E与圆有三个公共点 故选：D 题型6 双曲线的渐近线 例6-1（2024·天津河西·三模）已知焦点在 轴上的双曲线 与双曲线 有共同的渐近线，且点 在双曲线 上，则双曲线 的方程为（   ） A． B． C． D． 例6-2已知双曲线的一条渐近线方程为，则的实轴长为（    ） A．12 B．8 C． D． 方法技巧 求双曲线渐近线方程的方法 求双曲线－＝1(a>0，b>0)或－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令－＝0，得y＝±x；或令－＝0，得y＝±x 【变式训练6-1】已知双曲线的左顶点为，若圆交的一条渐近线于两点，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式训练6-2】已知直线为双曲线的一条渐近线，与圆交于两点（为坐标原点），若的面积为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【变式训练6-3】记为双曲线的右焦点，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 题型7 双曲线的实际应用 例7-1（2025·天津·模拟预测）圆锥曲线有良好的光学性质，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点（如左图）；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出（如中图）.封闭曲线（如右图）是由椭圆和双曲线在轴右侧的一部分（实线）围成.光线从椭圆上一点出发，经过双曲线的右焦点，然后在曲线内多次反射，反射点依次为若与重合，则光线从到所经过的路程为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 例7-2如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和且，，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 方法技巧 双曲线在实际应用中展现出多样性和重要性.在光学领域，其反射特性被用于设计高精度望远镜；在建筑方面，双曲线冷却塔优化了流体流动，提高了能源效率；此外，在通信和导航系统中，双曲线定位技术实现了精准定位.这些应用体现了双曲线在科学技术和工程实践中的广泛价值和深远影响. 【变式训练7-1】阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年）提出了许多新的性质．其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，．其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-2】（2025·天津·开学考试）如图，已知A，B两地相距600m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地早1s，且声速为．以线段AB的中点为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系xOy，则炮弹爆炸点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式训练7-3】如图所示，双曲线，又，已知，，若由射至的光线被双曲线反射，反射光通过，则 ．    1．（2025·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（   ） A．2 B．5 C． D． 2．（2024·天津·高考真题）设，函数.若恰有一个零点，则的取值范围为 ． 3．（2024·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 4．（2023·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（2022·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的准线l经过，且l与双曲线的一条渐近线交于点A，若，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（2021·天津·高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 1．如图，已知动圆M与两个定圆和分别外切，则动圆圆心M的轨迹是什么图形？    2．求下列双曲线的实轴和虚轴的长、顶点的坐标、离心率和渐近线方程，并画出双曲线的草图： (1)； (2)． 3．如图，发电厂的冷却塔被设计成单叶旋转双曲面的形状（双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面），可以加强对流，自然通风．已知某个冷却塔的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m．试选择适当的坐标系求此双曲线的方程．    4．指出双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、实轴、虚轴及离心率． 5．如图，在矩形中，把边AB分成n等份．在边的延长线上，的n分之一为单位长度连续取点．过边AB上各分点和作直线，过延长线上的对应分点和点A作直线，这两条直线的交点为P，P在什么曲线上运动？    6．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，，焦点在x轴上； (2)，经过点，焦点在y轴上． 7．求双曲线的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率及渐近线方程． 8．动点与定点的距离和它到定直线距离的比是常数，求动点M的轨迹. 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $