第04讲 椭圆（复习讲义）（天津专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第04讲 椭圆 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 4 知能解码 4 知识点1 椭圆的定义 4 知识点2 椭圆的方程、图形与性质 5 题型破译 7 题型1 椭圆的定义与标准方程 7 题型2 椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题 12 题型3 椭圆上两线段的和差最值问题 15 题型4 离心率的值及取值范围 19 题型5 椭圆的简单几何性质问题 23 题型6 利用第一定义求解轨迹 25 题型7 椭圆的实际应用 29 04真题溯源·考向感知 33 05课本典例·高考素材 40 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）椭圆的定义及其标准方程 （2）椭圆的几何性质 单选题 多选题 填空题 解答题 2025年天津卷，第18题,15分 2024年天津卷，第18题,15分 2023年天津卷，第18题,15分 考情分析：本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给要求，求解椭圆的方程，离心率。弦长、面积等问题。设题稳定，难度中档，分值为5分或15分 复习目标： 1.理解、掌握椭圆的概念，能够求解椭圆的方程 2.能掌握椭圆的几何性质 3.具备数形结合的思想意识，会借助几何图形，解决直线与椭圆的位置关系 4.会解椭圆的弦长与面积等问题 知识点1 椭圆的定义 平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为： 注意：当时，点的轨迹是线段；当时，点的轨迹不存在． 自主检测已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形三边之间的不等关系可得，再结合椭圆的定义将化为，结合以及图形的几何性质即可求得答案. 【详解】由题意知为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点， 故，    故， 当且仅当共线，在线段上时取等号， 所以 ， 当且仅当共线，在线段上时取等号， 而， 故的最小值为， 故选：B. 知识点2 椭圆的方程、图形与性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 统一方程 参数方程 第一定义 到两定点的距离之和等于常数2，即（） 范围 且 且 顶点 、 、 、 、 轴长 长轴长，短轴长 长轴长，短轴长 对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称 焦点 、 、 焦距 离心率 对于过椭圆上一点的切线方程，只需将椭圆方程中换为，换为可得 焦半径最大值，最小值 自主检测已知椭圆与双曲线有公共焦点，为右焦点，为坐标原点，双曲线的一条渐近线与椭圆在第一象限交于点，且满足，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设椭圆的左焦点为，求出，利用椭圆的定义求出，然后在、求出，可得出的值，由此可得出椭圆的离心率的值. 【详解】因为椭圆与双曲线有公共焦点，设， 则, 则，直线的方程为，即， 点到直线的距离为， 设椭圆的左焦点为，连接，则， 在中，， 在中，由余弦定理可得, 所以，，解得，因此，椭圆的离心率为. 故选：B. 【常用结论】 1.过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为． ①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点． ②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点． 距离的最大值为，距离的最小值为． 2.椭圆的切线 ①椭圆上一点处的切线方程是； ②过椭圆外一点，所引两条切线的切点弦方程是； ③椭圆 与直线 相切的条件是． 题型1 椭圆的定义与标准方程 例1-1（2025高三·天津·联考）已知椭圆：（）的左焦点为，过焦点作圆的一条切线交椭圆的一个交点为A，切点为，且（为坐标原点），则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分析可知：，，根据勾股定理结合椭圆定义可得，进而可求离心率. 【详解】由题意可知：圆的圆心为点，半径为，， 设椭圆的右焦点为，连接， 因为，可知点为的中点， 且点为的中点，则∥，， 由椭圆定义可知：， 因为为切点，可知，则， 可得，即， 解得，即， 所以椭圆的离心率. 故选：A. 例1-2（2025·天津·调研）已知点是椭圆上的动点，、为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，若是的角平分线上的一点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长与交于点，由条件判断为等腰三角形，为的中位线，故，再根据的值域，求得的最值，从而得到结果. 【详解】如图，    延长与交于点，则是的角平分线， 由可得与垂直， 可得为等腰三角形，故为的中点， 由于为的中点， 则为的中位线，故， 由于，所以， 所以， 问题转化为求的最值， 而的最小值为，的最大值为，即的值域为， 故当或时，取得最大值为 ， 当时，在轴上，此时与重合， 取得最小值为0，又由题意，最值取不到， 所以的取值范围是， 故选：A. 方法技巧 （1）定义法：根据椭圆定义，确定的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程. （2）待定系数法：根据椭圆焦点是在轴还是轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件列出的方程组，解出，从而求得标准方程. 注意：①如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为. ②与椭圆共焦点的椭圆可设为. ③与椭圆有相同离心率的椭圆，可设为（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上）. 【变式训练1-1】椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，弦 过 ，若 的内切圆周长为 ， 、 两点的坐标分别为 和 ，则 的值是 （  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：椭圆：，a=5，b=4，∴c=3， 左、右焦点F1（-3，0）、F2（ 3，0）， △ABF2的内切圆周长为π，则内切圆的半径为r=， 而△ABF2的面积=△A F1F2的面积+△BF1F2的面积= ×|y1|×|F1F2|+×|y2|×|F1F2|= ×（|y1|+|y2|）×|F1F2|=3|y2-y1|（A、B在x轴的上下两侧） 又△ABF2的面积═ ×|r（|AB|+|BF2|+|F2A|= ×（2a+2a）=a=5． 所以 3|y2-y1|=5， |y2-y1|=． 故选D． 【变式训练1-2】（2025·天津南开·期末）已知分别为椭圆的左，右焦点，为椭圆上任意一点，的内切圆与切于点，过点的直线与交于两点，则下列结论中 ①的最大值为；②的内切圆面积最大值为； ③为定值；④若为中点，则的方程为， 正确结论的个数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义及两点之间线段最短结论判断命题①，结合椭圆的定义及内切圆的性质判断命题②③，利用点差法求直线的方程判断命题④，由此可得结论. 【详解】设椭圆的长半轴为。短半轴长为，半焦距为， 根据题意可得，，，，，， ∵， 当且仅当P，，Q三点共线时，等号成立， ∴的最大值为，∴命题①正确； 设的内切圆的半径为，则根据的等面积算法可得： ， ∴， 当且仅当为短轴顶点时，等号成立， ∴的内切圆面积最大值为，∴命题②错误； 根据的内切圆的性质易得：， ∴，∴，∴命题③正确； 若为中点，设，， 则，两式相减可得：， ∴，∴，∴， ∴的方程为，即， 又，故点在椭圆内，所以直线与椭圆相交， 所以直线满足条件，命题④正确. 故选：C. 【变式训练1-3】已知离心率为的椭圆的左，右焦点分别为，，过点且斜率为的直线l交椭圆于A，B两点，A在x轴上方，M为线段上一点，且满足，则下列说法正确的个数是（ ） ①                  ②直线l的斜率为 ③，，成等差数列     ④的内切圆半径 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】对于①：由得，可证得结论成立；对于②：设，由结合韦达定理可求得的值即得斜率；对于③：可证得点为椭圆的上顶点，求出，，，验证即可；对于④：可得是以为直角的直角三角形，根据直角三角形内切圆半径公式求解即可. 【详解】 如图：设，因为，设， 则，，，所以，所以，故，故①正确； 设，由椭圆的离心率为可得：， 故椭圆的方程可化为：，联立直线方程整理得：， 所以，又，所以， 所以，解得：，故，故②错误； 如图2：设椭圆上顶点为，则,所以， 因为，所以，所以与重合，所以为椭圆上顶点， 故， 易知，故③正确； 由知：是以为直角的直角三角形， 故内切圆半径，故 ④不正确； 综上：①③正确. 故选：B 题型2 椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题 例2-1（2025·天津滨海新·调研）椭圆的左、右焦点分别记为，过左焦点的直线交椭圆于A、B两点.若弦长|AB|的最小值为3，且的周长为8，则椭圆的焦距等于（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】过焦点的弦长最小时，弦所在直线与轴（长轴）垂直，此时弦长为，焦点（弦边另一个焦点）的周长为，由此求得，得结论． 【详解】由题意可知，焦距等于2 故选：B． 例2-2（2025·天津和平·开学考试）已知椭圆分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，则下列命题错误的是（    ） A．椭圆的焦点坐标为 B．若，则 C．的周长为16 D．设，则的最小值为 【答案】B 【分析】由椭圆方程可得到椭圆的焦点坐标，判断A；根据椭圆焦点三角形的面积公式可得焦点三角形面积，判断B；由椭圆定义判断C；利用椭圆定义将动点到左焦点的距离转化为动点到右焦点的距离的差，当点M在A的上方时有最大值，判断D. 【详解】    A项：，，即曲线C的焦点坐标为，故A项正确； B项：先推导焦点三角形面积公式： 在中，设，，，由余弦定理得 ， ∴,即， ∴=． 又，解得，（负值舍去） 故B项错误； C项：三角形周长为：，故C正确； D项：在三角形中,,则， 当 三点共线，并且在的上方时，有最小值， 即 ，故D项正确. 故选：B 方法技巧 焦点三角形的问题常用定义与解三角形的知识来解决，对于涉及椭圆上点到椭圆两焦点将距离问题常用定义，即. 【变式训练2-1】已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，则的周长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】由椭圆定义得到，结合，相加得到周长. 【详解】由题意得，故，， 由椭圆定义得， 故的周长为. 故选：B 【变式训练2-2·变考法】过椭圆的中心作直线交椭圆于两点，是的一个焦点，则周长的最小值为（    ） A．16 B．14 C．12 D．10 【答案】B 【分析】利用椭圆的定义和对称性，转化的周长，即可求解. 【详解】设的另一个焦点为，根据椭圆的对称性知， 所以的周长为， 当线段为椭圆短轴时，有最小值6，所以的周长的最小值为14. 故选：B 【变式训练2-3·变考法】设，分别是椭圆（）的左右焦点，过的直线与椭圆交于、两点，若的周长为16，且的最小值为2，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义及椭圆的通径求出，即可得出椭圆方程. 【详解】如图，    由椭圆定义知， 所以的周长为， 所以， 又最小时，轴，即为椭圆的通径，所以， 所以， 所以椭圆的标准方程为：， 故选：B 题型3 椭圆上两线段的和差最值问题 例3-1（2024·天津·一模）已知是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由题意得圆的圆心是椭圆的左焦点，利用圆和椭圆的定义，结合图象得到，然后由即可求解. 【详解】如图，由题意，椭圆的焦点为，， 则圆的圆心是椭圆的左焦点，由椭圆定义得，所以， 又， 所以. 故选：B. 例3-2（2025·天津·模拟预测）已知F为椭圆C：的右焦点，P为C上一点，Q为圆M：上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】要求的最小值，根据椭圆的定义可以转化为（其中为椭圆的左焦点），即求的最小值，即为圆心与的距离减去半径，进而解决问题． 【详解】如图，由题可知，圆的圆心坐标为，半径为1， 设椭圆的左焦点为，即， 则， 故要求的最小值，即求的最小值， 所以的最小值等于， 即的最小值为， 故选：D． 例3-3若F为椭圆的左焦点，P为椭圆C上一动点，，则周长的最大值为（    ） A． B． C．7 D．10 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义及三角形三边关系有，即可求最大值，注意取值条件. 【详解】若为椭圆右焦点，如下图示，，   周长为，且， 所以，而， 故，当且仅当共线且在两侧时等号成立， 所以周长的最大值为10. 故选：D 方法技巧 在解析几何中，我们会遇到最值问题，这种问题，往往是考察我们定义．求解最值问题的过程中，如果发现动点在圆锥曲线上，要思考并用上圆锥曲线的定义，往往问题能迎刃而解． 【变式训练3-1】已知F是椭圆的左焦点，点，若P是椭圆上任意一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设椭圆的右焦点为，，计算得到答案. 【详解】设椭圆的右焦点为， ， 当三点共线，且在之间时等号成立. 故选：A 【变式训练3-2】（2025·天津和平·期中）已知点P是椭圆上一动点，Q是圆上一动点，点，则的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】易知圆的圆心是为椭圆的左焦点，利用椭圆的定义得到，然后由求解. 【详解】如图所示：    由，得， 则， 则圆的圆心是为椭圆的左焦点， 则右焦点为， 由椭圆的定义得， 所以， 又， 所以， ， 故选：C 题型4 离心率的值及取值范围 例4-1（2025·天津和平·开学考试）如图，由两个平行平面截半径为2cm且足够高的圆柱体所得的几何体，截面与圆柱体的轴成，上、下截面间的距离为．天津一中学数学兴趣小组对该几何体进行了探究后得出下列四个结论，其中正确结论的个数是（   ） ①截口曲线的离心率为    ② ③该几何体的体积为    ④该几何体的侧面积为 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题设对圆柱体的切割方式确定截面椭圆的长短轴长度及，再求椭圆离心率，应用割补思想，将几何体割补为一个高为2，底面半径为2的圆柱体，即可求其体积和侧面积. 【详解】由题设，截面椭圆长轴长为，短轴长为， 所以，故离心率为，①错， 截面与圆柱体的轴成，上、下截面间的距离为，故，②对， 应用割补法，可将几何体割补为一个高为2，底面半径为2的圆柱体， 所以几何体的体积为，侧面积为，③④对. 故选：C 例4-2已知椭圆 （）的左焦点为，上顶点为A，在以点F为圆心，c为半径的圆上存在点M ，使得直线AM 的斜率为 则椭圆离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】转化为直线与圆有交点，建立关于的不等式，再根据，即可求离心率的范围. 【详解】如图， 直线的方程为，即，圆的方程为， 由题意知，直线与圆有公共点，即直线与圆相交或相切， 所以，即，解得：，所以， 又，所以离心率，又， 所以. 故选：A 方法技巧 求离心率的本质就是探究之间的数量关系，知道中任意两者间的等式关系或不等关系便可求解出的值或其范围.具体方法为方程法、不等式法、定义法和坐标法. 【变式训练4-1】（2025·天津·期末）设椭圆的左，右焦点分别为，，点M，N在C上（M位于第一象限），且点M，N关于原点O对称，若，，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对称以及垂直可证四边形是矩形，再结合椭圆的定义，以及勾股定理求出，由及矩形性质列式求出离心率. 【详解】由点关于原点对称，得线段互相平分，则四边形为平行四边形， 由，得，则是矩形，，， 设，由，得， 由，得，整理得， 而 所以的离心率． 故选：C 【变式训练4-2·变载体】已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，点在椭圆上（异于，设直线AP的斜率为，直线BP的斜率为，且，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，再根据，结合椭圆的方程，可得，再根据离心率公式求解范围即可. 【详解】设，则，故，即， 故，即. 故，故. 故选：A 【变式训练4-3·变载体】（2025·天津和平·期末）已知椭圆上存在两点关于直线对称，若椭圆离心率为，则的中点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点、，线段的中点为，由已知条件可得出，利用点差法以及点在直线上，可得出关于、的等式，解出这两个量的值，即可得出线段的中点坐标. 【详解】设点、，线段的中点为，则， 由题意，椭圆的离心率为，可得， 因为、关于直线对称，且直线的斜率为， 则， 将点、的坐标代入椭圆方程可得， 上述两个等式作差可得， 可得， 即，即，即， 又因为点在直线上，则， 则有，解得，故线段的中点为. 故选：A. 题型5 椭圆的简单几何性质问题 例5-1（2025·天津·联考）椭圆 的焦点到双曲线 的渐近线的距离为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】分别根据椭圆、双曲线的方程，求出椭圆焦点和双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式计算即得. 【详解】由可得椭圆焦点在轴上，且，根据对称性，可取焦点坐标为, 由可得其渐近线方程为，可取一条为， 则点到的距离为. 故选：A. 例5-2已知双曲线过点，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求得，，得到，进而求得双曲线的标准方程. 【详解】由椭圆，可化为标准方程，可得， 因为双曲线与椭圆有公共的焦点，所以， 又因为双曲线过点，可得，则， 所以双曲线的标准方程为. 故选：B. 方法技巧 标准方程 图形 性质 焦点 ， ， 焦距 范围 ， ， 对称性 关于轴、轴和原点对称 顶点 ， ， 轴 长轴长，短轴长 离心率 （注：离心率越小越圆，越大越扁） 【变式训练5-1】与椭圆有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用条件求得所求椭圆的、值，即可得到其标准方程. 【详解】椭圆可化为， 可知椭圆的焦点在y轴上，焦点坐标为， 故可设所求椭圆方程， 则，又，即，所以， 所以所求椭圆的标准方程为． 故选：B． 【变式训练5-2】已知椭圆的右顶点A，右焦点F，经过A、F两点的圆C与y轴相切于点，则圆C被直线AB截得的弦长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件可得A点坐标，求出线段长即可得解. 【详解】椭圆的右顶点，右焦点，则圆的圆心在直线上， 由圆与轴相切，得圆的半径，圆心到轴的距离， 即圆的圆心坐标为，因此点是圆C与y轴相切的切点， 所以. 故选：D    【变式训练5-3】（2025·天津·期末）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】利用椭圆和双曲线焦点相同及相关参数的平方关系，即可求解. 【详解】设双曲线的一个焦点坐标，则， 再由椭圆的焦点与双曲线焦点相同，则满足， 即， 故选：C. 题型6 利用第一定义求解轨迹 例6-1数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”.事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间距离的几何问题.若曲线，且点分别在曲线和圆：上，则两点间的最大距离为（    ） A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【分析】先由椭圆的定义，结合题中条件，得到曲线的方程为，设点，记圆：的圆心为，其半径为，结合圆的性质，得到，进而可求出最大值. 【详解】因为， 表示曲线上的点到两定点，的距离之和为， 即， 根据椭圆定义，曲线表示以和为焦点，以为长轴长的椭圆， 设椭圆的方程为， 则，，所以， 其方程为； 记圆：的圆心为，其半径为， 根据圆的性质可得，， 因为点在椭圆上，所以， 又在显然单调递减，所以， 则，所以，即两点间的最大距离为. 故选：B. 例6-2已知曲线：，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，由题意可得，代入曲线中即可得. 【详解】设，则有，设， 则，由，则有， 即，故有，即.    故选：B. 方法技巧 常见考题中，会让我们利用圆锥曲线的定义求解点P的轨迹方程，这时候要注意把动点P和满足焦点标志的定点连起来做判断． 焦点往往有以下的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为F的点；（3）圆心；（4）题上提到的定点等等．当看到满足以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义判断．注意：在求解轨迹方程的题中，要注意x和y的取值范围. 【变式训练6-1】已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】A 【分析】设点，由题意，根据中点的坐标表示可得，代入圆的方程即可求解. 【详解】设点，则， 因为为的中点，所以，即， 又在圆上， 所以，即， 即点的轨迹方程为. 故选：A 【变式训练6-2】设圆与:外切并与:内切，则的圆心轨迹为（　　） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】B 【分析】根据圆的方程，分别找出圆心，的坐标，以及两圆的半径，再根据内切，外切中圆半径的关系，找到相关等式，即可得出动点M的轨迹属性，根据已知条件即可求出轨迹方程. 【详解】解:由圆:，圆心，， 圆:，圆心，半径， 设动圆圆心，半径为， 根据题意可得 整理得， 所以圆心的轨迹是以，为焦点， ，的椭圆，， 动圆圆心的的轨迹方程，所以轨迹为椭圆. 故选：B 【变式训练6-3】已知动圆在圆的外部且与圆相切，同时还在圆的内部且与圆相切，则动圆的圆心的轨迹的方程是 . 【答案】 【分析】利用两圆相切可得到，再利用椭圆的定义可得到点的轨迹. 【详解】设圆的半径为，则根据题意，得， 于是， 由椭圆的定义可知：点的轨迹为满足的椭圆， 因此点的轨迹方程为． 故答案为： 题型7 椭圆的实际应用 例7-1已知某星球的球心为，半径为，该星球的卫星的运行轨道是以为一个焦点的椭圆，该椭圆的离心率为，卫星运行过程中离该星球表面最近的距离为，若当卫星处于某位置时，用卫星上的光学仪器观测该星球，把光学仪器的镜头与星球表面被观测点的连线称为视线，任意两条视线所成的最大夹角称为张角，则卫星运行过程中张角的最小值为 ．（精确到0.1°） 【答案】 【分析】结合题意由椭圆的几何性质和离心率确定椭圆的，再由椭圆的光学性质和反三角函数计算. 【详解】设椭圆轨道的半长轴为，焦距为， 由题意可得，卫星运行过程中离该星球表面最近的距离为，在近日点即，又椭圆的离心率为，即， 由以上可得， 又由椭圆的光学性质可得在远日点时张角最小， 设此时张角为，则，即. 故答案为：. 例7-2椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线都有焦点.焦点，顾名思义，就是光线的聚集点，圆锥曲线具有丰富的光学性质.体外冲击波碎石术是椭圆光学性质在医疗方面的典型应用：治疗时，将患者体内的结石置于椭圆反射面的一个焦点处，在另一个焦点释放高能冲击波.依据椭圆光学性质，冲击波经反射后聚焦于结石，利用高强度能量将结石击碎，达到治疗目的，且对周围组织损伤小. 现有一个离心率为的椭圆反射面，过椭圆上任意一点作椭圆的切线，若焦点在切线上的射影在一个半径为的定圆上，则该椭圆的焦距为 . 【答案】 【分析】作出图形，延长、交于点，连接，由光线反射可得出，且为的中点，结合中位线的性质和椭圆的定义可求出的值，进而可得出的值，由此可得出该椭圆的焦距. 【详解】如下图所示： 不妨设椭圆的焦点在轴上，、分别为椭圆的左、右焦点，连接， 延长、交于点， 由题意可知，点与点关于直线对称，则，且为的中点， 又因为为的中点，则， 所以，点在以圆心为原点，半径为的圆上，故， 由题意可得，解得，故该椭圆的焦距为. 故答案为：. 方法技巧 椭圆在实际应用中极为广泛，体现在建筑、产品设计、物理学、工程学及计算机科学等多个领域。例如，在建筑中，椭圆形设计用于体育场馆和会展中心等，增强视觉效果与空间利用率；在物理学中，椭圆轨道描述行星绕太阳的运动路径；在密码学中，椭圆曲线密码保障互联网数据安全；在图形图像处理中，椭圆拟合技术助力物体轮廓检测。椭圆的应用多样且重要，展现了其在现代科技中的核心价值。 【变式训练7-1】已知地球运行的轨道是椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，若地球到太阳的最大和最小距离分别为，，则这个椭圆的离心率为 ． 【答案】0.02/ 【分析】根据椭圆的性质求椭圆参数，应用离心率公式求离心率. 【详解】设该椭圆的长轴长为2a，焦距为2c， 由题意，得，，解得，， 所以这个椭圆的离心率． 故答案为：0.02 【变式训练7-2】椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上.已知椭圆，、为其左、右焦点.是上的动点，点，且的最大值为，则 .动直线为椭圆的切线，右焦点关于直线的对称点为，则点到直线的距离的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据椭圆定义可得出，可得出，当且仅当为射线与椭圆的交点时，等号成立，可求出的值，进而可得出，根据椭圆的光学性质可得出点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，结合圆的几何性质可求得的取值范围. 【详解】根据椭圆定义得， 所以，， 当且仅当为射线与椭圆的交点时，等号成立， 因为的最大值为，且，则，解得， 则. 设切椭圆于点， 由椭圆的光学性质可得、、三点共线，， 则点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 所以，到直线的距离为， 由圆的几何性质可知，点到直线的距离最小值，最大值，即. 故答案为：；. 【变式训练7-3】（2024·天津蓟州·模拟预测）嫁接是一种营养生殖方式，是植物的人工繁殖方法之一，即把一株植物的枝或芽接在另一株植物的茎或根上，使接在一起的两个部分长成一个完整的植株.已知某段圆柱形的树枝通过利用刀具进行斜辟，形成两个椭圆形截面，如图所示，其中，分别为两个微面椭圆的长轴，且A，C，B，D都位于圆柱的同一个轴微面上，是圆柱微面圆的一条直径，设上、下两个截面椭圆的离心率分别为，，若，，则的值是 . 【答案】 【分析】根据题意由已知条件根据勾股定理即可分别计算得出两离心率的大小，可得结果. 【详解】由题意可知，， 不妨设，则，，，如下图所示： 所以上、下截面椭圆的离心率分别为，， 所以. 故答案为： 1．（2025·天津·高考真题）已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，P为上一点，且直线的斜率为，的面积为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，利用椭圆的离心率得到，再由直线的斜率得到，从而利用三角形的面积公式得到关于的方程，解之即可得解； （2）联立直线与椭圆方程，利用其位置关系求得，进而得到直线的方程与点的坐标，法一：利用向量的夹角公式即可得证；法二：利用两直线的夹角公式即可得证；法三利用正切的倍角公式即可得证；法四：利用角平分线的性质与点线距离公式即可得证. 【详解】（1）依题意，设椭圆的半焦距为， 则左焦点，右顶点，离心率，即， 因为为上一点，设， 又直线的斜率为，则，即， 所以，解得，则，即， 因为的面积为，，高为， 所以，解得， 则，， 所以椭圆的方程为. . （2）由（1）可知，，， 易知直线的斜率存在，设其方程为，则，即， 联立，消去得，， 因为直线与椭圆有唯一交点，所以， 即，则，解得，则， 所以直线的方程为， 联立，解得，则， 以下分别用四种方法证明结论： 法一：则， 所以， ， 则，又， 所以，即平分. 法二：所以，，， 由两直线夹角公式，得，， 则，又， 所以，即平分. 法三：则，， 故， 又， 所以，即平分. 法四：则， 所以直线的方程为，即， 则点到直线的距离为， 又点到直线的距离也为， 所以平分. 2．（2024·天津·高考真题）已知椭圆的离心率为．左顶点为，下顶点为是线段的中点（O为原点），的面积为． (1)求椭圆的方程． (2)过点C的动直线与椭圆相交于两点．在轴上是否存在点，使得恒成立．若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，使得恒成立. 【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程. （2）设该直线方程为：，， 联立直线方程和椭圆方程并消元，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用表示，再根据可求的范围. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，故，，其中为半焦距， 所以，故， 故，所以，，故椭圆方程为：. （2） 若过点的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：， 设， 由可得， 故且 而， 故 ， 因为恒成立，故，解得. 若过点的动直线的斜率不存在，则或， 此时需，两者结合可得. 综上，存在，使得恒成立. 3．（2023·天津·高考真题）已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知． (1)求椭圆的方程和离心率； (2)点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程． 【答案】(1)椭圆的方程为，离心率为. (2). 【分析】（1）由解得，从而求出，代入椭圆方程即可求方程，再代入离心率公式即求离心率. （2）先设直线的方程，与椭圆方程联立，消去，再由韦达定理可得，从而得到点和点坐标.由得，即可得到关于的方程，解出，代入直线的方程即可得到答案. 【详解】（1）如图，    由题意得，解得，所以， 所以椭圆的方程为，离心率为. （2）由题意得，直线斜率存在，由椭圆的方程为可得， 设直线的方程为， 联立方程组，消去整理得：， 由韦达定理得，所以， 所以，. 所以,,， 所以， 所以，即， 解得，所以直线的方程为. 4．（2022·天津·高考真题）椭圆的右焦点为F，右顶点A和上顶点为B满足． (1)求椭圆的离心率； (2)直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于点N（N异于M）．记O为原点，若，且的面积为，求椭圆的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件可得出关于、的等量关系，由此可求得该椭圆的离心率的值； （2）由（1）可知椭圆的方程为，设直线的方程为，将直线的方程与椭圆方程联立，由可得出，求出点的坐标，利用三角形的面积公式以及已知条件可求得的值，即可得出椭圆的方程. 【详解】（1）解：， 离心率为. （2）解：由（1）可知椭圆的方程为， 易知直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立得， 由，① ，， 由可得，② 由可得，③ 联立①②③可得，，，故椭圆的标准方程为． 5．（2021·天津·高考真题）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，离心率为，且． （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交轴于点．若，求直线的方程． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）求出的值，结合的值可得出的值，进而可得出椭圆的方程； （2）设点，分析出直线的方程为，求出点的坐标，根据可得出，求出、的值，即可得出直线的方程. 【详解】（1）易知点、，故， 因为椭圆的离心率为，故，， 因此，椭圆的方程为； （2）设点为椭圆上一点， 先证明直线的方程为， 联立，消去并整理得，， 因此，椭圆在点处的切线方程为. 在直线的方程中，令，可得，由题意可知，即点， 直线的斜率为，所以，直线的方程为， 在直线的方程中，令，可得，即点， 因为，则，即，整理可得， 所以，，因为，，故，， 所以，直线的方程为，即. 1．椭圆与椭圆的（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 【答案】D 【分析】求出两椭圆的长轴长、短轴长、焦距以及离心率，即可得出合适的选项. 【详解】椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为， 椭圆的长轴长为，短轴长为， 焦距为，离心率为， 所以，两椭圆的焦距相等，长轴长不相等，短轴长不相等，离心率也不相等. 故选：D. 2．若椭圆上一点到焦点的距离为6，则点到另一个焦点的距离 ． 【答案】14 【分析】借助椭圆定义即可得. 【详解】由，则，由在椭圆上，故有, 又，所以. 故答案为：. 3．已知三边AB，BC，CA的长成等差数列，且，点B，C的坐标分别为，，求点A的轨迹方程，并指出它是什么曲线． 【答案】 【分析】根据椭圆的定义结合等差数列即可求解. 【详解】由题知，如图所示：      已知三边AB，BC，CA的长成等差数列，且， 所以 因为点B，C的坐标分别为，， 所以，所以 根据椭圆的定义，点的轨迹就是以为焦点， 到距离之和为4的椭圆， 因为在轴上，故设椭圆为 由已知得： 所以 又，所以点位于上述椭圆的右半部分 且点不能与在同一条直线（轴）上（否则就不能构成三角形） 所以，点的轨迹方程是：. 4．某颗小行星的运行轨道是一个椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点处．如图所示，小行星离太阳的最近距离是1.486天文单位，最远距离是5.563天文单位（1天文单位是指太阳与地球之间的平均距离，约为，是天文学的一种长度单位）．求椭圆轨道的长半轴和短半轴之长各是多少个天文单位．    【答案】椭圆的长半轴长为天文单位，短半轴长为天文单位． 【分析】由椭圆定义得到，结合三角形三边关系推出当，，P成一条直线且在和P之间时，达到最大值．并求出最小值为，从而得到方程组，求出椭圆轨道的长半轴和短半轴之长. 【详解】如图，设椭圆的焦点为，，焦距为，太阳位于焦点处．    小行星位置P到两焦点的距离之和等于一个固定值． 要使最大，必须距离之差最大． 但，当且仅当，，P成一条直线且在和P之间时， 达到最大值，达到最大值． 而仅当达到最大值时，达到最小值． 可见． 解得，． 因此． 故椭圆的长半轴长为天文单位，短半轴长为天文单位． 5．我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心（简称“地心”）为一个焦点的椭圆．已知它的近地点A（长轴端点中离地面最近的点）距地面439km，远地点B（长轴端点中离地面最远的点）距地面2384km，AB是椭圆的长轴，地球的半径约为6371km，求卫星运行的轨道方程． 【答案】 【分析】根据条件求出椭圆中的，写出椭圆方程. 【详解】如图，以直线AB为x轴，线段AB的中垂线为y轴，    建立直角坐标系xOy，AB与地球交于C，D两点． 设椭圆方程为． 由题意知，，． ， ， 解得，， 从而． 因此，卫星运行轨道的方程是. 6．将圆上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得曲线的方程，并说明它是什么曲线． 【答案】，该曲线是一个椭圆 【分析】设所得曲线上任一点的坐标为，圆上的对应点的坐标为，然后根据已知条件表示出，再代入圆方程化简可得结果 【详解】设所得曲线上任一点的坐标为，圆上的对应点的坐标为． 由题意可得． 因为，所以，即． 这就是所得曲线的方程，该曲线是一个椭圆． 7．已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，且该椭圆经过点，求椭圆的标准方程． 【答案】 【分析】解法一：设椭圆的标准方程为，根据椭圆的定义求出，从而求出，即可得解；解法二：设椭圆的标准方程为，依题意得到、方程组，解得即可. 【详解】解法一：因为椭圆的焦点在轴上， 所以设椭圆的标准方程为． 因为椭圆的两个焦点坐标分别是，，且点在椭圆上， 所以由椭圆的定义知， 所以，又因为，所以， 因此所求椭圆的标准方程为． 解法二：因为椭圆的焦点在轴上， 所以设椭圆的标准方程为， 因为椭圆的两个焦点坐标分别是，，所以， 从而①，         又因为点在椭圆上，所以②，       由①②解得或（舍去）， 因此，所求椭圆的标准方程为． 8．如图，圆的半径为定长，是圆内一个定点，是圆上任意一点．线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是什么？为什么？    【答案】椭圆，理由见解析 【分析】连接、，计算得出，结合椭圆的定义可得出结论. 【详解】解：连接、，如下图所示：    因为线段的垂直平分线和半径相交于点， 由中垂线的性质可得， 因为点在半径为的圆内，则， 因为， 由椭圆的定义可知，点的轨迹是以点、为焦点，且长轴长为的椭圆. 9．如图，在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段的中点M的轨迹是什么？为什么？    【答案】点M的轨迹是椭圆，理由见解析 【分析】点在圆上运动，点P的运动引起点运动．我们可以由为线段的中点得到点与点坐标之间的关系式，并由点的坐标满足圆的方程得到点的坐标所满足的方程． 【详解】设点M的坐标为，点P的坐标为，则点D的坐标为， 由点M是线段的中点，得，． 因为点在圆上， 所以 ① 把，代入方程①，得， 即． 所以点的轨迹是椭圆． 10．如图，椭圆与过，的直线有且只有一个公共点P，且椭圆的离心率，求该椭圆的方程.    【答案】 【分析】首先联立直线与椭圆方程，并根据直线与椭圆的位置关系，得到的关系式，再根据离心率，即可求解椭圆方程. 【详解】由题意可知，直线方程为， 联立，消去，得， 因为直线与椭圆相切，所以， 得，又， 联立上面两式，解得：，， 所以椭圆方程为. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 椭圆 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 4 知能解码 4 知识点1 椭圆的定义 4 知识点2 椭圆的方程、图形与性质 4 题型破译 6 题型1 椭圆的定义与标准方程 6 题型2 椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题 7 题型3 椭圆上两线段的和差最值问题 8 题型4 离心率的值及取值范围 9 题型5 椭圆的简单几何性质问题 10 题型6 利用第一定义求解轨迹 11 题型7 椭圆的实际应用 12 04真题溯源·考向感知 13 05课本典例·高考素材 15 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）椭圆的定义及其标准方程 （2）椭圆的几何性质 单选题 多选题 填空题 解答题 2025年天津卷，第18题,15分 2024年天津卷，第18题,15分 2023年天津卷，第18题,15分 考情分析：本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给要求，求解椭圆的方程，离心率。弦长、面积等问题。设题稳定，难度中档，分值为5分或15分 复习目标： 1.理解、掌握椭圆的概念，能够求解椭圆的方程 2.能掌握椭圆的几何性质 3.具备数形结合的思想意识，会借助几何图形，解决直线与椭圆的位置关系 4.会解椭圆的弦长与面积等问题 知识点1 椭圆的定义 平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做________，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为： 注意：当时，点的轨迹是线段；当时，点的轨迹不存在． 自主检测已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 知识点2 椭圆的方程、图形与性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 统一方程 参数方程 第一定义 到两定点的距离之和等于常数2，即（） 范围 且 且 顶点 、 、 、 、 轴长 长轴长，短轴长 长轴长，短轴长 对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称 焦点 、 、 焦距 离心率 对于过椭圆上一点的切线方程，只需将椭圆方程中换为，换为可得 焦半径________，________ 自主检测已知椭圆与双曲线有公共焦点，为右焦点，为坐标原点，双曲线的一条渐近线与椭圆在第一象限交于点，且满足，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【常用结论】 1.过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为． ①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点． ②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点． 距离的最大值为，距离的最小值为． 2.椭圆的切线 ①椭圆上一点处的切线方程是________________； ②过椭圆外一点，所引两条切线的切点弦方程是； ③椭圆 与直线 相切的条件是________． 题型1 椭圆的定义与标准方程 例1-1（2025高三·天津·联考）已知椭圆：（）的左焦点为，过焦点作圆的一条切线交椭圆的一个交点为A，切点为，且（为坐标原点），则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 例1-2（2025·天津·调研）已知点是椭圆上的动点，、为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，若是的角平分线上的一点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 方法技巧 （1）定义法：根据椭圆定义，确定的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程. （2）待定系数法：根据椭圆焦点是在轴还是轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件列出的方程组，解出，从而求得标准方程. 注意：①如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为. ②与椭圆共焦点的椭圆可设为. ③与椭圆有相同离心率的椭圆，可设为（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上）. 【变式训练1-1】椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，弦 过 ，若 的内切圆周长为 ， 、 两点的坐标分别为 和 ，则 的值是 （  ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】（2025·天津南开·期末）已知分别为椭圆的左，右焦点，为椭圆上任意一点，的内切圆与切于点，过点的直线与交于两点，则下列结论中 ①的最大值为；②的内切圆面积最大值为； ③为定值；④若为中点，则的方程为， 正确结论的个数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练1-3】已知离心率为的椭圆的左，右焦点分别为，，过点且斜率为的直线l交椭圆于A，B两点，A在x轴上方，M为线段上一点，且满足，则下列说法正确的个数是（ ） ①                  ②直线l的斜率为 ③，，成等差数列     ④的内切圆半径 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型2 椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题 例2-1（2025·天津滨海新·调研）椭圆的左、右焦点分别记为，过左焦点的直线交椭圆于A、B两点.若弦长|AB|的最小值为3，且的周长为8，则椭圆的焦距等于（    ） A．1 B．2 C． D． 例2-2（2025·天津和平·开学考试）已知椭圆分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，则下列命题错误的是（    ） A．椭圆的焦点坐标为 B．若，则 C．的周长为16 D．设，则的最小值为 方法技巧 焦点三角形的问题常用定义与解三角形的知识来解决，对于涉及椭圆上点到椭圆两焦点将距离问题常用定义，即. 【变式训练2-1】已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，则的周长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式训练2-2·变考法】过椭圆的中心作直线交椭圆于两点，是的一个焦点，则周长的最小值为（    ） A．16 B．14 C．12 D．10 【变式训练2-3·变考法】设，分别是椭圆（）的左右焦点，过的直线与椭圆交于、两点，若的周长为16，且的最小值为2，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 题型3 椭圆上两线段的和差最值问题 例3-1（2024·天津·一模）已知是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 例3-2（2025·天津·模拟预测）已知F为椭圆C：的右焦点，P为C上一点，Q为圆M：上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 例3-3若F为椭圆的左焦点，P为椭圆C上一动点，，则周长的最大值为（    ） A． B． C．7 D．10 方法技巧 在解析几何中，我们会遇到最值问题，这种问题，往往是考察我们定义．求解最值问题的过程中，如果发现动点在圆锥曲线上，要思考并用上圆锥曲线的定义，往往问题能迎刃而解． 【变式训练3-1】已知F是椭圆的左焦点，点，若P是椭圆上任意一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】（2025·天津和平·期中）已知点P是椭圆上一动点，Q是圆上一动点，点，则的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 题型4 离心率的值及取值范围 例4-1（2025·天津和平·开学考试）如图，由两个平行平面截半径为2cm且足够高的圆柱体所得的几何体，截面与圆柱体的轴成，上、下截面间的距离为．天津一中学数学兴趣小组对该几何体进行了探究后得出下列四个结论，其中正确结论的个数是（   ） ①截口曲线的离心率为    ② ③该几何体的体积为    ④该几何体的侧面积为 A．1 B．2 C．3 D．4 例4-2已知椭圆 （）的左焦点为，上顶点为A，在以点F为圆心，c为半径的圆上存在点M ，使得直线AM 的斜率为 则椭圆离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 方法技巧 求离心率的本质就是探究之间的数量关系，知道中任意两者间的等式关系或不等关系便可求解出的值或其范围.具体方法为方程法、不等式法、定义法和坐标法. 【变式训练4-1】（2025·天津·期末）设椭圆的左，右焦点分别为，，点M，N在C上（M位于第一象限），且点M，N关于原点O对称，若，，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式训练4-2·变载体】已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，点在椭圆上（异于，设直线AP的斜率为，直线BP的斜率为，且，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-3·变载体】（2025·天津和平·期末）已知椭圆上存在两点关于直线对称，若椭圆离心率为，则的中点坐标为（    ） A． B． C． D． 题型5 椭圆的简单几何性质问题 例5-1（2025·天津·联考）椭圆 的焦点到双曲线 的渐近线的距离为（    ） A． B． C．3 D．4 例5-2已知双曲线过点，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 方法技巧 标准方程 图形 性质 焦点 ， ， 焦距 范围 ， ， 对称性 关于轴、轴和原点对称 顶点 ， ， 轴 长轴长，短轴长 离心率 （注：离心率越小越圆，越大越扁） 【变式训练5-1】与椭圆有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式训练5-2】已知椭圆的右顶点A，右焦点F，经过A、F两点的圆C与y轴相切于点，则圆C被直线AB截得的弦长为（   ） A． B． C． D． 【变式训练5-3】（2025·天津·期末）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值为（    ） A． B． C．4 D． 题型6 利用第一定义求解轨迹 例6-1数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”.事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间距离的几何问题.若曲线，且点分别在曲线和圆：上，则两点间的最大距离为（    ） A．8 B．6 C．5 D．4 例6-2已知曲线：，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 方法技巧 常见考题中，会让我们利用圆锥曲线的定义求解点P的轨迹方程，这时候要注意把动点P和满足焦点标志的定点连起来做判断． 焦点往往有以下的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为F的点；（3）圆心；（4）题上提到的定点等等．当看到满足以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义判断．注意：在求解轨迹方程的题中，要注意x和y的取值范围. 【变式训练6-1】已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【变式训练6-2】设圆与:外切并与:内切，则的圆心轨迹为（　　） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【变式训练6-3】已知动圆在圆的外部且与圆相切，同时还在圆的内部且与圆相切，则动圆的圆心的轨迹的方程是 . 题型7 椭圆的实际应用 例7-1已知某星球的球心为，半径为，该星球的卫星的运行轨道是以为一个焦点的椭圆，该椭圆的离心率为，卫星运行过程中离该星球表面最近的距离为，若当卫星处于某位置时，用卫星上的光学仪器观测该星球，把光学仪器的镜头与星球表面被观测点的连线称为视线，任意两条视线所成的最大夹角称为张角，则卫星运行过程中张角的最小值为 ．（精确到0.1°） 例7-2椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线都有焦点.焦点，顾名思义，就是光线的聚集点，圆锥曲线具有丰富的光学性质.体外冲击波碎石术是椭圆光学性质在医疗方面的典型应用：治疗时，将患者体内的结石置于椭圆反射面的一个焦点处，在另一个焦点释放高能冲击波.依据椭圆光学性质，冲击波经反射后聚焦于结石，利用高强度能量将结石击碎，达到治疗目的，且对周围组织损伤小. 现有一个离心率为的椭圆反射面，过椭圆上任意一点作椭圆的切线，若焦点在切线上的射影在一个半径为的定圆上，则该椭圆的焦距为 . 方法技巧 椭圆在实际应用中极为广泛，体现在建筑、产品设计、物理学、工程学及计算机科学等多个领域。例如，在建筑中，椭圆形设计用于体育场馆和会展中心等，增强视觉效果与空间利用率；在物理学中，椭圆轨道描述行星绕太阳的运动路径；在密码学中，椭圆曲线密码保障互联网数据安全；在图形图像处理中，椭圆拟合技术助力物体轮廓检测。椭圆的应用多样且重要，展现了其在现代科技中的核心价值。 【变式训练7-1】已知地球运行的轨道是椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，若地球到太阳的最大和最小距离分别为，，则这个椭圆的离心率为 ． 【变式训练7-2】椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上.已知椭圆，、为其左、右焦点.是上的动点，点，且的最大值为，则 .动直线为椭圆的切线，右焦点关于直线的对称点为，则点到直线的距离的取值范围为 . 【变式训练7-3】（2024·天津蓟州·模拟预测）嫁接是一种营养生殖方式，是植物的人工繁殖方法之一，即把一株植物的枝或芽接在另一株植物的茎或根上，使接在一起的两个部分长成一个完整的植株.已知某段圆柱形的树枝通过利用刀具进行斜辟，形成两个椭圆形截面，如图所示，其中，分别为两个微面椭圆的长轴，且A，C，B，D都位于圆柱的同一个轴微面上，是圆柱微面圆的一条直径，设上、下两个截面椭圆的离心率分别为，，若，，则的值是 . 1．（2025·天津·高考真题）已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，P为上一点，且直线的斜率为，的面积为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分. 2．（2024·天津·高考真题）已知椭圆的离心率为．左顶点为，下顶点为是线段的中点（O为原点），的面积为． (1)求椭圆的方程． (2)过点C的动直线与椭圆相交于两点．在轴上是否存在点，使得恒成立．若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由． 3．（2023·天津·高考真题）已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知． (1)求椭圆的方程和离心率； (2)点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程． 4．（2022·天津·高考真题）椭圆的右焦点为F，右顶点A和上顶点为B满足． (1)求椭圆的离心率； (2)直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于点N（N异于M）．记O为原点，若，且的面积为，求椭圆的方程． 5．（2021·天津·高考真题）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，离心率为，且． （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交轴于点．若，求直线的方程． 1．椭圆与椭圆的（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 2．若椭圆上一点到焦点的距离为6，则点到另一个焦点的距离 ． 3．已知三边AB，BC，CA的长成等差数列，且，点B，C的坐标分别为，，求点A的轨迹方程，并指出它是什么曲线． 4．某颗小行星的运行轨道是一个椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点处．如图所示，小行星离太阳的最近距离是1.486天文单位，最远距离是5.563天文单位（1天文单位是指太阳与地球之间的平均距离，约为，是天文学的一种长度单位）．求椭圆轨道的长半轴和短半轴之长各是多少个天文单位．    5．我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心（简称“地心”）为一个焦点的椭圆．已知它的近地点A（长轴端点中离地面最近的点）距地面439km，远地点B（长轴端点中离地面最远的点）距地面2384km，AB是椭圆的长轴，地球的半径约为6371km，求卫星运行的轨道方程． 6．将圆上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得曲线的方程，并说明它是什么曲线． 7．已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，且该椭圆经过点，求椭圆的标准方程． 8．如图，圆的半径为定长，是圆内一个定点，是圆上任意一点．线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是什么？为什么？    9．如图，在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段的中点M的轨迹是什么？为什么？    10．如图，椭圆与过，的直线有且只有一个公共点P，且椭圆的离心率，求该椭圆的方程.    4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $