第04讲 复数（复习讲义）（天津专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第04讲 复数 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 4 知能解码 4 知识点1 复数的基本概念 4 知识点2 复数相等的充要条件 5 知识点3 复数的几何意义 5 知识点4 复数的加减运算 7 知识点5 复数的加减运算的几何意义 7 知识点6 复数的乘除运算 8 题型破译 9 题型1 复数的概念 9 题型2 复数的分类 10 题型3 复数相等的充要条件 12 题型4 复数与复平面内的点与复平面内向量的关系 14 题型5 复数的模及其应用 16 题型6 复数模的几何意义 18 题型7 复数代数形式的加、减运算 20 题型8 复数模的综合问题 21 题型9 复数代数形式的乘、除法运算 23 04真题溯源·考向感知 25 05课本典例·高考素材 27 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）复数的几何意义 （2）复数与复平面内的点与复平面内向量的关系 （3）复数的模及其应用 单选题 多选题 填空题 解答题 天津卷，第10题，5分 天津卷，第10题，5分 天津卷，第10题，5分 考情分析： 本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出复数进行相关计算，求解实数虚数问题，设题稳定，难度较低，分值为5分 复习目标： 1.理解、掌握复数的概念，能够理解复数的实部虚部与共轭复数的概念 2.能掌握复数的四则运算法则 3.具备数形结合的思想意识，会借助图形，理解复数与向量的关系 4.会解复数方程问题 知识点1 复数的基本概念 1、虚数单位 数叫倣虚数单位，它的平方等于，即． （1）是的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是； （2）可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立． 2、复数的摡念 形如的数叫复数，记作：； 其中：叫复数的实部，叫复数的虚部，是虚数单位．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示． 复数定义中，容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据． 3、复数的分类 对于复数 若，则为实数，若，则为虚数，若且，则为纯虚数． 分类如下： （） 4、复数集与其它数集之间的关系 （其中为自然数集，为整数集，为有理数集，为实数集，C为复数集．） 5、共轭复数： 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．通常记复数的共轭复数为． 自主检测已知i为虚数单位，复数满足，则下列说法正确的是（    ） A．复数的虚部为 B．复数的共轭复数为 C．复数的模为 D．复数在复平面内对应的点在第二象限 【答案】C 【分析】利用复数的除法运算化简求得复数，再根据复数的虚部，共轭复数，复数的模，复数的几何意义依次判断各个选项. 【详解】由，则， 对于A，复数的虚部为，故A错误； 对于B，复数的共轭复数为，故B错误； 对于 C，复数的模，故C正确； 对于 D，复数在复平面内对应的点为在第四象限，故D错误. 故选：C. 知识点2 复数相等的充要条件 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．即： 如果，那么 特别地：． （1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样． 根据复数与相等的定义，可知在两式中，只要有一个不成立，那么就有（，）． （2）一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小． 自主检测已知，其中是虚数单位，则（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的四则运算，结合复数相等，求得参数的值，可得答案. 【详解】由，，，，则，即， 故选：B. 知识点3 复数的几何意义 1、复平面、实轴、虚轴： 如图所示，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴 实轴上的点都表示实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 2、复数集与复平面内点的对应关系 按照复数的几何表示法，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应． 复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 复数复平面内的点 这是复数的一种几何意义． 3、复数集与复平面中的向量的对应关系 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，所以，我们还可以用向量来表示复数． 设复平面内的点表示复数，向量由点唯一确定；反过来，点也可以由向量唯一确定． 复数集和复平面内的向量所成的集合是一一对应的，即 复数平面向量 这是复数的另一种几何意义． 4、复数的模 设，则向量的长度叫做复数的模，记作． ①两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小． ②复平面内，表示两个共轭复数的点关于x轴对称，并且他们的模相等． 自主检测3．（2025·天津河北·模拟预测）i是虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据复数对应点判断其所在的象限. 【详解】由对应点为，即位于第一象限. 故选：A 知识点4 复数的加减运算 1、复数的加法、减法运算法则： 设，（），我们规定： 2、复数的加法运算律： 交换律： 结合律： 自主检测(2+i)-(1+2i)=  （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用复数减法法则计算即可. 【详解】(2+i)-(1+2i)= (2-1)+(1-2) i = 故选：A 知识点5 复数的加减运算的几何意义 1、复数的表示形式： 代数形式：（） 几何表示： ①坐标表示：在复平面内以点表示复数（）； ②向量表示：以原点为起点，点为终点的向量表示复数． 2、复数加、减法的几何意义： 如果复数、分别对应于向量、，那么以、为两边作平行四边形，对角线表示的向量就是的和所对应的向量．对角线表示的向量就是两个复数的差所对应的向量． 设复数，，在复平面上所对应的向量为、，即、的坐标形式为，以、为邻边作平行四边形，则对角线对应的向量是， 由于，所以和的和就是与复数对应的向量． 自主检测如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则的值为（    ）    A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】先根据数形结合得出复数的坐标，再根据坐标求出模长即可. 【详解】如图可得, 所以, 所以. 故选：A. 知识点6 复数的乘除运算 1、乘法运算法则： 设，（），我们规定： 2、乘法运算律： （1）交换律： （2）结合律： （3）分配律： 自主检测是虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数运算法则求结论即可. 【详解】， 故选：A. 题型1 复数的概念 例1-1（2024天津·联考）已知复数满足（为虚数单位），则（    ） A．3 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】根据复数乘法的运算法则、虚数单位乘方的运算性质，结合复数的模定义进行求解即可. 【详解】由， 则， 所以. 故选：D 例1-2已知复数与都是纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设，结合复数的运算可得，再由纯虚数的定义列出方程，即可得到结果. 【详解】设， 且为纯虚数， 所以，解得，所以. 故选：B 方法技巧 复数中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部． 【变式训练1-1·变考法】若复数满足（是虚数单位），则下列说法不正确的是（   ） A．复数在复平面内对应点在第一象限 B．的模为 C．的共轭复数为 D．复数的虚部为 【答案】D 【分析】根据复数的相关概念，逐项判断即可. 【详解】由复数满足，所以复数的实部为1，虚部也为1， 所以复数在复平面内对应的点为，在第一象限，故A正确； ，故B正确； 的共轭复数为，故C正确； 复数的虚部为1，故D错误. 故选：D. 【变式训练1-2】（2025天津·联考）已知i为虚数单位，如果复数z满足，则z的虚部为（   ） A．2i B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】先化简复数，再求其虚部. 【详解】因为，所以，其虚部为2. 故选：C 【变式训练1-3】已知为虚数单位，复数的虚部为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】先根据复数的除法运算求出复数，再根据复数虚部的定义即可得解. 【详解】， 所以复数的虚部为. 故选：B. 题型2 复数的分类 例2-1已若是纯虚数，则实数的值等于（    ） A．0或2 B．2或 C． D．2 【答案】C 【分析】根据纯虚数的定义计算得解. 【详解】因为是纯虚数，所以，解得； 故选：C. 例2-2（2024天津·联考若复数 (i是虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为（    ） A．且 B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据纯虚数的概念列式求解即可. 【详解】若复数 (i是虚数单位)是纯虚数，则，解得. 故选：B. 方法技巧 解决复数分类问题的方法与步骤 （1）化标准式：解题时一定要先看复数是否为的形式，以确定实部和虚部． （2）定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）即可． （3）下结论：设所给复数为， ①z为实数⇔． ②z为虚数⇔． ③z为纯虚数⇔且． 【变式训练2-1·变考法】若复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（   ） A．1 B．0 C．6 D． 【答案】D 【分析】化简复数，然后根据纯虚数定义即可解题. 【详解】， 因为复数是纯虚数，所以，解得. 故选：D 【变式训练2-2】（2024天津红桥·模拟预测）已知 ，为虚数单位，若为实数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得，又，求解即可. 【详解】由于， 因为，则，解得. 故选：C. 【变式训练2-3】（2022天津·联考）是虚数单位，若为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数乘法、纯虚数的知识求得正确答案. 【详解】依题意为纯虚数， 所以，解得. 故选：C 题型3 复数相等的充要条件 例3-1（2022·天津·联考）已知，是虚数单位，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．-2 【答案】A 【分析】根据复数的乘方运算和复数相等的条件求出即可得解. 【详解】因为， 所以， 所以，所以. 故选：A 例3-2（2017天津·模拟预测）方程中，实数的值为（    ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】利用两个复数相等的充要条件即可求解. 【详解】由，得 ，解得，即. 故选：C. 方法技巧 复数相等问题的解题技巧 （1）必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解． （2）根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现． （3）如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的． 【变式训练3-1·变载体】（20-21高三上·天津滨海新·阶段练习）已知i为虚数单位，实数y满足，则（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】利用复数相等的条件列式求得值，再由复数模的计算公式求解． 【详解】解：由，得， ． 则． 故选：B． 【变式训练3-2】若（是虚数单位），则的值分别等于 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的加法运算得出，再根据相等复数的定义，即可求出和的值. 【详解】解：由题可知，， 即，所以， 即的值分别等于. 故选：B. 【变式训练3-3】（2023天津·模拟预测）若复数（i为虚数单位，a，且）为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的除法运算化简，根据其为纯虚数可得且，即可求得答案. 【详解】由题意得 , ∵为纯虚数 ∴且，∴， 另解：设（），则， 即，， ∴， 故选：D. 题型4 复数与复平面内的点与复平面内向量的关系 例4-1复数在复平面上对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】先利用复数的乘法化简复数z，再利用复数的几何意义求解. 【详解】因为复数， 所以在复数z复平面上对应的点位于第二象限 故选：B 例4-2（2024天津西青·联考）在复平面内，复数，对应的向量分别是，其中O是原点，则向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据所给的两个向量的代数形式，先求两个向量的差，求出，得到向量的代数形式的表示式即可. 【详解】复数与对应的向量分别是与， . 故选：A. 方法技巧 利用复数与点的对应关系解题的步骤 （1）找对应关系：复数的几何表示法即复数可以用复平面内的点来表示，是解决此类问题的根据． （2）列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程（组）或不等式（组）求解． 复数与平面向量的对应关系 （1）根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量． （2）解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化． 【变式训练4-1】以下4个命题，其中正确的命题的个数为（    ） （1）在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数； （2）在中，角所对的边分别是，则是的充分必要条件； （3）已知向量，若，，则； （4）在平面内，三点在同一条直线上，点是平面内一点，若，则. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】考虑0在虚轴上，判断（1）的真假；利用正弦定理，判断（2）的真假；考虑判断（3）的真假；利用向量共线判断（4）的真假. 【详解】对（1），因为0在虚轴上，但0是实数，故（1）错误； 对（2），由正弦定理：可得，故（2）正确； 对（3），若，则与未必平行，故（3）错； 对（4），因为三点共线，所以存在实数，使得， 令，则且，故（4）正确. 所以正确的命题是（2）（4） 故选：C 【变式训练4-2】（2020·天津滨海新·二模）设复数满足（为虚数单位），则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】先把变形为，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出，得到其坐标可得答案. 【详解】解：由，得， 所以，其在复平面内对应的点为，在第四象限 故选：D 【变式训练4-3】复数z在复平面内对应的点的坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得，利用复数乘法运算求得正确答案. 【详解】依题意. 故选：D 题型5 复数的模及其应用 例5-1已知复数，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】利用复数的除法运算求出可得，再求模长. 【详解】，， 则. 故选：D. 例5-2（2025天津·联考）若，其中为虚数单位，则等于（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数的除法运算求出，进而求出模. 【详解】依题意，， 所以. 故选：B 方法技巧 复数模的计算 （1）计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小． （2）设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解． 【变式训练5-1·变考法】（2024高一下·天津滨海新·模拟预测）已知复数，则下列命题中不正确的是（    ） A． B． C．的虚部为 D．在复平面上对应的点位于第一象限 【答案】C 【分析】根据复数的相关概念，即可判断选项. 【详解】由复数可知，，，的虚部为1，在复平面上对应的点为，位于第一象限，所以不正确的是C. 故选：C 【变式训练5-2·变考法】（2025天津·联考）复数的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的模及复数代数形式的除法运算化简，再求出其共轭复数. 【详解】因为， 所以， 所以复数的共轭复数是. 故选：C 【变式训练5-3】（2024·天津·一模）若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由复数的除法运算法则以及复数的模的概念即可得到结果. 【详解】， ， 故选：B. 题型6 复数模的几何意义 例6-1（2025天津·联考）如图，在复平面内，复数，对应的点分别为，，则的值是（   ）    A．5 B．1 C． D．3 【答案】A 【分析】由图求出复数，结合复数乘法可得答案. 【详解】由图可知，所以， 所以. 故选：A 例6-2（2025·天津宝坻·调研）已知复数的实部为-1，虚部为2，则（   ）. A．2 B．5 C． D．4 【答案】C 【分析】根据复数的实部和虚部的定义，写出复数，再利用复数的模长公式计算. 【详解】由题意，，则. 故选：C. 方法技巧 复数模的几何意义可以延伸为表示复数对应的点与原点之间的距离，从而可以用数形结合解决有关的问题，考查直观想象素养． 【变式训练6-1·变考法】（2024天津·联考）设复数（其中为虚数单位），则下列说法中正确的是（    ） A．它的模 B．在复平面对应的点的坐标为 C．它的实部为 D．共轭复数 【答案】A 【分析】先求出复数的代数形式，然后利用复数的概念和几何意义判断BC，根据共轭复数的概念判断D，求解复数的模判断A. 【详解】，则的实部为3，C错误； 复数在复平面内对应的点为，B错误； 的共轭复数，D错误； ，A正确. 故选：A 【变式训练6-2】（2024天津武清·模拟预测）若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】计算出复数后再计算模长即可得. 【详解】由，则， 则. 故选：A. 【变式训练6-3】（2025·天津红桥·期末）复数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数模长运算法则直接求解即可. 【详解】. 故选：A. 题型7 复数代数形式的加、减运算 例7-1复数z满足，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据复数运算得，利用共轭复数的定义和几何意义得解. 【详解】由，可得，则， 所以在复平面内对应的点在第二象限. 故选：B. 例7-2为虚数单位，若，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数的运算求出复数，结合复数的概念可得出结果. 【详解】因为，则，故复数的虚部为. 故选：B. 方法技巧 解决复数加减运算的思路 两个复数相加（减），就是把两个复数的实部相加（减），虚部相加（减）．复数的减法是加法的逆运算．当多个复数相加（减）时，可将这些复数的所有实部相加（减），所有虚部相加（减）． 【变式训练7-1】已知，则复数对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】先根据复数的减法运算求出复数，然后求出其在复平面对应的点，从而可求得结果. 【详解】因为，所以， 所以复数在复平面对应的点为，位于第四象限． 故选：D. 【变式训练7-2】复数中i为虚数单位，且，则（ ） A．2 B． C． D．0 【答案】D 【分析】由复数运算求解即可. 【详解】. 故选：D. 【变式训练7-3】（2025天津·联考）计算的值为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数代数形式的加法求解即得. 【详解】. 故选：A 题型8 复数模的综合问题 例8-1若为虚数单位，则复数的模是（    ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【解析】根据复数的除法运算把化成的形式，则模为. 【详解】， . 故选：. 例8-2已知i是虚数单位，若，则复数的模（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】利用复数的四则运算化简复数，再由模长公式计算即得. 【详解】由可得， 则. 故选：A. 方法技巧 表示复平面内，对应的两点间的距离．利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解． 【变式训练8-1】（2025·天津·模拟预测）已知复数z的模为，，则z的实部为（   ） A．1 B．3 C． D．i 【答案】B 【分析】根据不等式可求得复数的虚部，再根据复数的模可求实部. 【详解】因为，故为正实数，故，其中， 而复数z的模为，故，结合可得， 故选：B. 【变式训练8-2】已知复数满足则的模（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，利用复数的四则运算和相等的条件解出，代入复数的模长公式即可求解. 【详解】设， 则由题意可得， 所以，解得， 所以，， 故选：C 【变式训练8-3】已知是虚数单位，若和互为共轭复数，则复数的模为（    ） A．2 B． C．10 D． 【答案】B 【分析】由共轭复数的定义求出的值，再利用复数的模长公式求解即可. 【详解】由和互为共轭复数， 所以可得，，， 所以，， 因此，. 故选：B . 题型9 复数代数形式的乘、除法运算 例9-1复数， 则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简复数，即可得出结论. 【详解】由题意， ， 故选：D. 例9-2）i是虚数单位，复数（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数除法法则计算出答案. 【详解】. 故选；B 方法技巧 两个复数代数形式乘法的一般方法 ①首先按多项式的乘法展开． ②再将换成． ③然后再讲行复数的加、减运簯． 常用公式 ①． ②． ③． 两个复数代数形式的除法运算步骤 ①首先将除式写为分式． ②再将分子、分母同乘以分母的共轭复数． ③然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式． 常用公式 ①；②；③． 【变式训练9-1】（2024天津红桥·模拟预测）已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】先根据复数的除法运算化简再结合复数对应复平面的点判断即可. 【详解】因为, 所以对应点为, 所以对应点在第一象限. 故选：A. 【变式训练9-2】已知是虚数单位，，，则等于（    ） A．-1 B．1 C．3 D．4 【答案】A 【解析】根据复数的除法化简，再根据复数相等的充要条件求出，即得答案. 【详解】， . 故选：. 【变式训练9-3】已知复数，若是纯虚数，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简，解方程组即得解. 【详解】解：是纯虚数， 则，解得. 故选：C. 1．（2010·天津·高考真题）i 是虚数单位，复数 A．1＋i B．5＋5i C．-5-5i D．-1－i 【答案】A 【详解】试题分析：根据题意，由于，故可知答案为1＋i，选A. 2．（2014·天津·高考真题）是虚数单位，复数 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】试题分析：因为所以选A. 3．（2012·天津·高考真题）是虚数单位，复数 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为.答案C. 4．（2011·天津·高考真题）i是虚数单位，复数= A．2﹣i B．2+i C．﹣1﹣2i D．﹣1+2i 【答案】A 【详解】试题分析：复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，复数化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可． 解：复数= 故选A 5．（2010·天津·高考真题）i是虚数单位，复数等于(　　) A．1＋2i B．2＋4i C．－1－2i D．2－i 【答案】A 【详解】，选A. 6．（2012·天津·高考真题）i是虚数单位，复数= A．2 + i B．2 – i C．-2 + i D．-2 – i 【答案】B 【详解】 7．（2025·天津·高考真题）已知i是虚数单位，则 ． 【答案】 【分析】先由复数除法运算化简，再由复数模长公式即可计算求解. 【详解】先由题得，所以. 故答案为： 8．（2024·天津·高考真题）是虚数单位，复数 ． 【答案】 【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得. 【详解】. 故答案为：. 9．（2023·天津·高考真题）已知是虚数单位，化简的结果为 ． 【答案】/ 【分析】由题意利用复数的运算法则，分子分母同时乘以，然后计算其运算结果即可. 【详解】由题意可得. 故答案为：. 10．（2022·天津·高考真题）已知是虚数单位，化简的结果为 ． 【答案】/ 【分析】根据复数代数形式的运算法则即可解出． 【详解】． 故答案为：． 11．（2021·天津·高考真题）是虚数单位，复数 ． 【答案】 【分析】利用复数的除法化简可得结果. 【详解】. 故答案为：. 1．在复平面内，复数对应的点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】由复数的几何意义求解即可 【详解】因为， 所以复数对应的点为，且在第二象限， 故选：B 2．如果，那么复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接计算得到答案. 【详解】，故. 故选：A. 3．对于复数，下列结论中正确的是（ ） A．若，则为纯虚数 B．若，则， C．若，则为实数 D．若，则z不是复数 【答案】C 【分析】结合复数概念逐一判断即可. 【详解】对A，当时，为实数，故A错；对B，根据对应关系，，，故B错； 对C，若，则为实数，C正确；对D，若，，也是复数，故D错. 故选：C 4．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简，再利用复数的除法化简. 【详解】因为，所以. 故选：D. 5．设，“复数是纯虚数”是“”的（    ） A．充分而不必要条件； B．必要不充分条件； C．充分必要条件； D．既不充分也不必要条件. 【答案】A 【分析】根据纯虚数的定义，结合充分性、必要性的定义进行求解即可. 【详解】当是纯虚数时，一定有，但是当时，只有当时，才能是纯虚数，所以“复数是纯虚数”是“”的充分而不必要条件， 故选：A 6．设复数为纯虚数，则复数的共轭复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由纯虚数的概念求，进而可求得，即可求解 【详解】复数为纯虚数， 则，解得， 则， 则复数的共轭复数为， 故选：A 2 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 复数 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 4 知能解码 4 知识点1 复数的基本概念 4 知识点2 复数相等的充要条件 5 知识点3 复数的几何意义 5 知识点4 复数的加减运算 6 知识点5 复数的加减运算的几何意义 6 知识点6 复数的乘除运算 7 题型破译 8 题型1 复数的概念 8 题型2 复数的分类 8 题型3 复数相等的充要条件 9 题型4 复数与复平面内的点与复平面内向量的关系 10 题型5 复数的模及其应用 11 题型6 复数模的几何意义 11 题型7 复数代数形式的加、减运算 12 题型8 复数模的综合问题 13 题型9 复数代数形式的乘、除法运算 14 04真题溯源·考向感知 15 05课本典例·高考素材 16 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）复数的几何意义 （2）复数与复平面内的点与复平面内向量的关系 （3）复数的模及其应用 单选题 多选题 填空题 解答题 天津卷，第10题，5分 天津卷，第10题，5分 天津卷，第10题，5分 考情分析： 本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出复数进行相关计算，求解实数虚数问题，设题稳定，难度较低，分值为5分 复习目标： 1.理解、掌握复数的概念，能够理解复数的实部虚部与共轭复数的概念 2.能掌握复数的四则运算法则 3.具备数形结合的思想意识，会借助图形，理解复数与向量的关系 4.会解复数方程问题 知识点1 复数的基本概念 1、虚数单位 数叫倣虚数单位，它的平方等于，即． （1）是的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是； （2）可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立． 2、复数的摡念 形如的数叫 ，记作：； 其中：叫复数的 ，叫复数的 ，是虚数单位．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示． 复数定义中，容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据． 3、复数的分类 对于复数 若，则为实数，若，则为虚数，若且，则为纯虚数． 分类如下： （） 4、复数集与其它数集之间的关系 （其中为自然数集，为整数集，为有理数集，为实数集，C为复数集．） 5、共轭复数： 当两个复数的实部 ，虚部互为 时，这两个复数叫做互为 复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．通常记复数的共轭复数为． 自主检测已知i为虚数单位，复数满足，则下列说法正确的是（    ） A．复数的虚部为 B．复数的共轭复数为 C．复数的模为 D．复数在复平面内对应的点在第二象限 知识点2 复数相等的充要条件 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．即： 如果，那么 特别地：． （1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样． 根据复数与相等的定义，可知在两式中，只要有一个不成立，那么就有（，）． （2）一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小． 自主检测已知，其中是虚数单位，则（    ） A．1 B．3 C． D． 知识点3 复数的几何意义 1、复平面、实轴、虚轴： 如图所示，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做 ，也叫高斯平面，轴叫做 ，轴叫做 实轴上的点都表示实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 2、复数集与复平面内点的对应关系 按照复数的几何表示法，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应． 复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 复数复平面内的点 这是复数的一种几何意义． 3、复数集与复平面中的向量的对应关系 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，所以，我们还可以用向量来表示复数． 设复平面内的点表示复数，向量由点唯一确定；反过来，点也可以由向量唯一确定． 复数集和复平面内的向量所成的集合是一一对应的，即 复数平面向量 这是复数的另一种几何意义． 4、复数的模 设，则向量的长度叫做复数的模，记作． ①两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小． ②复平面内，表示两个共轭复数的点关于x轴对称，并且他们的模 ． 自主检测3．（2025·天津河北·模拟预测）i是虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 知识点4 复数的加减运算 1、复数的加法、减法运算法则： 设，（），我们规定： 2、复数的加法运算律： 交换律： 结合律： 自主检测(2+i)-(1+2i)=  （    ） A． B． C． D． 知识点5 复数的加减运算的几何意义 1、复数的表示形式： 代数形式：（） 几何表示： ①坐标表示：在复平面内以点表示复数（）； ②向量表示：以原点为起点，点为终点的向量表示复数． 2、复数加、减法的几何意义： 如果复数、分别对应于向量、，那么以、为两边作平行四边形，对角线表示的向量就是的和所对应的向量．对角线表示的向量就是两个复数的差所对应的向量． 设复数，，在复平面上所对应的向量为、，即、的坐标形式为，以、为邻边作平行四边形，则对角线对应的向量是， 由于，所以和的和就是与复数对应的向量． 自主检测如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则的值为（    ）    A． B．2 C． D． 知识点6 复数的乘除运算 1、乘法运算法则： 设，（），我们规定： 2、乘法运算律： （1）交换律： （2）结合律： （3）分配律： 自主检测是虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 题型1 复数的概念 例1-1（2024天津·联考）已知复数满足（为虚数单位），则（    ） A．3 B． C．5 D． 例1-2已知复数与都是纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 方法技巧 复数中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部． 【变式训练1-1·变考法】若复数满足（是虚数单位），则下列说法不正确的是（   ） A．复数在复平面内对应点在第一象限 B．的模为 C．的共轭复数为 D．复数的虚部为 【变式训练1-2】（2025天津·联考）已知i为虚数单位，如果复数z满足，则z的虚部为（   ） A．2i B． C．2 D．4 【变式训练1-3】已知为虚数单位，复数的虚部为（    ） A． B． C． D．1 题型2 复数的分类 例2-1已若是纯虚数，则实数的值等于（    ） A．0或2 B．2或 C． D．2 例2-2（2024天津·联考若复数 (i是虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为（    ） A．且 B． C． D．或 方法技巧 解决复数分类问题的方法与步骤 （1）化标准式：解题时一定要先看复数是否为的形式，以确定实部和虚部． （2）定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）即可． （3）下结论：设所给复数为， ①z为实数⇔． ②z为虚数⇔． ③z为纯虚数⇔且． 【变式训练2-1·变考法】若复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（   ） A．1 B．0 C．6 D． 【变式训练2-2】（2024天津红桥·模拟预测）已知 ，为虚数单位，若为实数，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-3】（2022天津·联考）是虚数单位，若为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 题型3 复数相等的充要条件 例3-1（2022·天津·联考）已知，是虚数单位，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．-2 例3-2（2017天津·模拟预测）方程中，实数的值为（    ） A．或 B．或 C． D．或 方法技巧 复数相等问题的解题技巧 （1）必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解． （2）根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现． （3）如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的． 【变式训练3-1·变载体】（20-21高三上·天津滨海新·阶段练习）已知i为虚数单位，实数y满足，则（    ） A．4 B． C．6 D． 【变式训练3-2】若（是虚数单位），则的值分别等于 A． B． C． D． 【变式训练3-3】（2023天津·模拟预测）若复数（i为虚数单位，a，且）为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 题型4 复数与复平面内的点与复平面内向量的关系 例4-1复数在复平面上对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例4-2（2024天津西青·联考）在复平面内，复数，对应的向量分别是，其中O是原点，则向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 方法技巧 利用复数与点的对应关系解题的步骤 （1）找对应关系：复数的几何表示法即复数可以用复平面内的点来表示，是解决此类问题的根据． （2）列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程（组）或不等式（组）求解． 复数与平面向量的对应关系 （1）根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量． （2）解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化． 【变式训练4-1】以下4个命题，其中正确的命题的个数为（    ） （1）在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数； （2）在中，角所对的边分别是，则是的充分必要条件； （3）已知向量，若，，则； （4）在平面内，三点在同一条直线上，点是平面内一点，若，则. A．0 B．1 C．2 D．3 【变式训练4-2】（2020·天津滨海新·二模）设复数满足（为虚数单位），则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式训练4-3】复数z在复平面内对应的点的坐标为，则（    ） A． B． C． D． 题型5 复数的模及其应用 例5-1已知复数，则（    ） A．1 B．2 C． D． 例5-2（2025天津·联考）若，其中为虚数单位，则等于（    ） A．2 B． C． D． 方法技巧 复数模的计算 （1）计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小． （2）设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解． 【变式训练5-1·变考法】（2024高一下·天津滨海新·模拟预测）已知复数，则下列命题中不正确的是（    ） A． B． C．的虚部为 D．在复平面上对应的点位于第一象限 【变式训练5-2·变考法】（2025天津·联考）复数的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-3】（2024·天津·一模）若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 题型6 复数模的几何意义 例6-1（2025天津·联考）如图，在复平面内，复数，对应的点分别为，，则的值是（   ）    A．5 B．1 C． D．3 例6-2（2025·天津宝坻·调研）已知复数的实部为-1，虚部为2，则（   ）. A．2 B．5 C． D．4 方法技巧 复数模的几何意义可以延伸为表示复数对应的点与原点之间的距离，从而可以用数形结合解决有关的问题，考查直观想象素养． 【变式训练6-1·变考法】（2024天津·联考）设复数（其中为虚数单位），则下列说法中正确的是（    ） A．它的模 B．在复平面对应的点的坐标为 C．它的实部为 D．共轭复数 【变式训练6-2】（2024天津武清·模拟预测）若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-3】（2025·天津红桥·期末）复数（    ） A． B． C． D． 题型7 复数代数形式的加、减运算 例7-1复数z满足，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例7-2为虚数单位，若，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 方法技巧 解决复数加减运算的思路 两个复数相加（减），就是把两个复数的实部相加（减），虚部相加（减）．复数的减法是加法的逆运算．当多个复数相加（减）时，可将这些复数的所有实部相加（减），所有虚部相加（减）． 【变式训练7-1】已知，则复数对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式训练7-2】复数中i为虚数单位，且，则（ ） A．2 B． C． D．0 【变式训练7-3】（2025天津·联考）计算的值为（   ） A．5 B． C． D． 题型8 复数模的综合问题 例8-1若为虚数单位，则复数的模是（    ） A． B． C．5 D． 例8-2已知i是虚数单位，若，则复数的模（    ） A． B．2 C．1 D． 方法技巧 表示复平面内，对应的两点间的距离．利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解． 【变式训练8-1】（2025·天津·模拟预测）已知复数z的模为，，则z的实部为（   ） A．1 B．3 C． D．i 【变式训练8-2】已知复数满足则的模（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-3】已知是虚数单位，若和互为共轭复数，则复数的模为（    ） A．2 B． C．10 D． 题型9 复数代数形式的乘、除法运算 例9-1复数， 则（    ） A． B． C． D． 例9-2）i是虚数单位，复数（   ） A． B． C． D． 方法技巧 两个复数代数形式乘法的一般方法 ①首先按多项式的乘法展开． ②再将换成． ③然后再讲行复数的加、减运簯． 常用公式 ①． ②． ③． 两个复数代数形式的除法运算步骤 ①首先将除式写为分式． ②再将分子、分母同乘以分母的共轭复数． ③然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式． 常用公式 ①；②；③． 【变式训练9-1】（2024天津红桥·模拟预测）已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式训练9-2】已知是虚数单位，，，则等于（    ） A．-1 B．1 C．3 D．4 【变式训练9-3】已知复数，若是纯虚数，则实数（    ） A． B． C． D． 1．（2010·天津·高考真题）i 是虚数单位，复数 A．1＋i B．5＋5i C．-5-5i D．-1－i 2．（2014·天津·高考真题）是虚数单位，复数 A． B． C． D． 3．（2012·天津·高考真题）是虚数单位，复数 A． B． C． D． 4．（2011·天津·高考真题）i是虚数单位，复数= A．2﹣i B．2+i C．﹣1﹣2i D．﹣1+2i 5．（2010·天津·高考真题）i是虚数单位，复数等于(　　) A．1＋2i B．2＋4i C．－1－2i D．2－i 6．（2012·天津·高考真题）i是虚数单位，复数= A．2 + i B．2 – i C．-2 + i D．-2 – i、 7．（2025·天津·高考真题）已知i是虚数单位，则 ． 8．（2024·天津·高考真题）是虚数单位，复数 ． 9．（2023·天津·高考真题）已知是虚数单位，化简的结果为 ． 10．（2022·天津·高考真题）已知是虚数单位，化简的结果为 ． 11．（2021·天津·高考真题）是虚数单位，复数 ． 1．在复平面内，复数对应的点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．如果，那么复数为（    ） A． B． C． D． 3．对于复数，下列结论中正确的是（ ） A．若，则为纯虚数 B．若，则， C．若，则为实数 D．若，则z不是复数 4．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 5．设，“复数是纯虚数”是“”的（    ） A．充分而不必要条件； B．必要不充分条件； C．充分必要条件； D．既不充分也不必要条件. 6．设复数为纯虚数，则复数的共轭复数为（    ） A． B． C． D． 2 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$