第04讲 离散型随机变量及其分布列、数字特征（复习讲义）（天津专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第04讲 离散型随机变量及其分布列、数字特征 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 4 知能解码 4 知识点1 离散型随机变量的分布列 4 知识点2 离散型随机变量的均值与方差 5 题型破译 6 题型1 离散型随机变量的判断 6 题型2 求离散型随机变量的分布列 7 题型3 两点分布 8 题型4 利用定义求离散型随机变量的均值 9 题型5 离散型随机变量均值的性质 10 题型6 求离散型随机变量的方差 11 题型7 均值与方差的综合应用 12 04真题溯源·考向感知 14 05课本典例·高考素材 15 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）离散型随机变量的分布列 （2）离散型随机变量的均值与方差 （3）两点分布 单选题 多选题 填空题 解答题 2025年天津卷，第13题,5分 考情分析： 本节内容是天津高考卷的必考内容，特别是填空题中，更是经常出现．随着计算机技术和人工智能的发展，概率统计逐步成为应用最广泛的数学内容之一．这部分内容作为高考数学的主干内容之一，设题稳定，难度中档，分值为5分。 复习目标： 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念． 2.理解并会求离散型随机变量的数字特征 知识点1 离散型随机变量的分布列 1．随机变量 随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应随机试验的某一个随机事件． 定义：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量． 2．离散型随机变量 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量，通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值. 3.随机变量和函数的关系 随机变量的定义与函数的定义类似，这里的样本点ω相当于函数定义中的自变量，而样本空间Ω相当于函数的定义域，不同之处在于Ω不一定是数集． 4．离散型随机变量的分布列 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于________________________________ (1)离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为 x1，x2，…，xn ，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称为分布列． (2)可以用表格来表示X的分布列，如下表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 还可以用图形表示，如下图直观地表示了掷骰子试验中掷出的点数X的分布列，称为X的概率分布图． 5．离散型随机变量的分布列的性质 (1)pi≥0，i＝1，2，…，n；(2) p1＋p2＋…＋pn＝1. 6．两点分布 对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X＝如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列如表所示 X 0 1 P 1－p p 我们称X服从_______________或_______________． 自主检测某公园有甲、乙两个相邻景点，原拟定甲景点内有2个A班同学和2个B班同学；乙景点内有2个A班同学和3个B班同学，后由于某种原因，甲、乙两个景点各有一个同学交换景点观光，则甲景点恰有2个A班同学的概率为 ；甲景点A班同学数X的数学期望为 ． 知识点2 离散型随机变量的均值与方差 1．离散型随机变量的均值或数学期望 正确地求出离散型随机变量的分布列是求解期望的关键一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E(X)＝______________________________为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称为期望．均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的_______________． 2．两点分布的期望 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p； 3．离散型随机变量的均值的性质 设X的分布列为P(X＝xi)＝ pi，i＝1，2，…，n.一般地，下面的结论成立：E(aX＋b)＝aE(X)＋b． 4．离散型随机变量的方差、标准差 正确求解随机变量的方差的关键是正确求解分布列及其期望值 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 考虑X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2 ，…，(xn－E(X))2 ，因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的_______________，我们称 D(X)＝(x1－E(X))2 p1 ＋(x2－E(X))2 p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝ (xi－E(X))2pi 为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X)． 5．几个常见的结论 (1)D(aX＋b)＝a2D(X)． (2)若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)． 自主检测某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，再次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5、0.6、0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6、0.5、0.75；则第一次烧制后恰有一件产品合格的概率为 ；经过前后两次烧制后，合格工艺品的件数为X，则随机变量X的期望为 . 题型1 离散型随机变量的判断 例1-1甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则表示（　　） A．甲赢三局 B．甲赢两局 C．甲、乙平局两次 D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次 例1-25件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是（    ） A．取到产品的件数 B．取到正品的概率 C．取到次品的件数 D．取到次品的概率 方法技巧 判断离散型随机变量的方法 (1)明确随机试验的所有可能结果． (2)将随机试验的结果数量化． (3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，如能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是． 【变式训练1-1】某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为，则“”表示的试验结果是（    ） A．第5次击中目标 B．第5次末击中目标 C．前4次未击中目标 D．第4次击中目标 【变式训练1-2】现有7张卡片，分别写上数字1，2，3，4，5，5，6，从这7张卡片中随机抽取3张，记所取卡片上数字的最大值为X，则= ． 【变式训练1-3】从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，. （1）记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求，的概率； （2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率. 题型2 求离散型随机变量的分布列 例2-1在某次世界乒乓球锦标赛的团体比赛中，中国队将对阵韩国队．比赛实行5局3胜制，根据以往战绩，中国队在每一局中获胜的概率都是． (1)求中国队以的比分获胜的概率； (2)设事件“韩国队先胜第一局”，设事件“中国队获得最终的胜利”，求； (3)假设全场比赛的局数为随机变量，在韩国队先胜第一局的前提下，求的分布列和数学期望． 例2-2巴东一中组织庆五一教职工篮球活动，我们年级有10名教职工参加，其中有6名理科教师、4名文科教师，为活动的需要，要从这10名教师中随机抽取3名教职工去买比赛服装. (1)已知10名教师中有2名班主任，求抽取的3名中至少有1名班主任的概率； (2)设表示抽取的3名教师中文科教师的人数，求的分布列及数学期望. 方法技巧 求离散型随机变量分布列的步骤 (1)首先确定随机变量X的取值； (2)求出每个取值对应的概率； (3)列表对应，即为分布列． 【变式训练2-1】袋子A和B中都装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出1个红球的概率是，从B中摸出1个红球的概率为p. (1)若A，B两个袋子中的球数之比为1：2，将A，B中的球装在一起后，从中摸出1个红球的概率是，求p的值； (2)从A中有放回地摸球，每次摸出1个，有3次摸到红球即停止. ①求恰好摸5次停止的概率； ②记5次之内（含5次）摸到红球的次数为，求随机变量X的分布列及数学期望. 【变式训练2-2·变考法】甲、乙两人进行象棋比赛，赛前每人有3面小红旗.一局比赛后输者需给赢者一面小红旗，若是平局不需要给小红旗，当其中一方无小红旗时，比赛结束，有6面小红旗者最终获胜，根据以往的两人比赛结果可知，在一局比赛中甲胜的概率为0.5，乙胜的概率为0.4． (1)若第一局比赛后甲的小红旗个数为X，求X的分布列和数学期望； (2)若比赛一共进行五局，求第一局是乙胜的条件下，甲最终获胜的概率（结果保留两位有效数字）． 【变式训练2-3】有个人围坐在一个圆桌边上，每人都越过对面与另外一人握手，若要求所有人握手时手臂互不交叉，例如时，一共有4个人，以1、2、3、4表示，握手两人用一条线连结，共有2种方式，如图所示.记一次握手中，共有对相邻的两人握手，当时，的数学期望 .    题型3 两点分布 例3-1（2025·天津·模拟预测）有个相同的球，分别标有数字，，，，，从中有放回地随机取次，每次取个球记为这个球中至少被取出次的球的个数，则的数学期望 例3-2随机变量服从两点分布，其分布列如下表所示： 0 1 则（   ） A． B． C． D．或 例3-3（2025·天津·模拟预测）已知随机变量X，Y均服从伯努利分布，且X，Y的取值为0或1.若，且，则 . 方法技巧 两点分布的4个特点 (1)两点分布中只有两个对应结果，且两结果是对立的； (2)两点分布中的两结果一个对应1，另一个对应0； (3)由互斥事件的概率求法可知，已知P(X＝0)(或P(X＝1))，便可求出P(X＝1)(或P(X＝0))； (4)在有多个结果的随机试验中，如果我们只关心一个随机事件是否发生，就可以利用两点分布来研究它． 【变式训练3-1】下列随机事件中的随机变量 服从超几何分布的是（    ）． A．将一枚硬币连抛 3 次，记正面向上的次数为 B．盒中有 4 个白球和 3 个黑球，每次从中摸出 1 个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为 C．某射手的射击命中率为 0.8 ，现对目标射击 1 次，记命中的次数为 D．从 7 男 3 女共 10 名学生干部中随机选出 5 名学生干部，记选出女生的人数为 【变式训练3-2】下列说法正确的有 ． ①已知随机变量，，满足，且服从正态分布，则 ②已知随机变量服从正态分布，且，则 ③已知随机变量服从二项分布，则 ④已知随机变量服从两点分布，且，，令，则 题型4 利用定义求离散型随机变量的均值 例4-1已知随机变量X的分布列如表，则的值为 . X 1 2 3 4 P 例4-2已知随机变量的分布列如下表，且． 1 2 3 若，则（    ） A． B． C． D． 方法技巧 求随机变量的均值关键是写出分布列，一般分为四步：(1)确定X的可能取值；(2)计算出P(X＝k)；(3)写出分布列；(4)利用E(X)的计算公式计算E(X)． 【变式训练4-1】在两个大小相同，距离不同的区域内进行投掷沙包的比赛，每人至多投3次．具体比赛规则如下：在距离较远的区域内投一次特制沙包，投进得5分，没投进不得分；在距离较近的区域内投两次普通沙包，每投进一次得3分，没投进不得分，且得分高于5分则获得相应奖励，若前两次均投进或均未投进，都停止比赛．已知甲同学在距离较远的区域内投中沙包的概率是，在距离较近的区域内投中沙包的概率是，且每次是否投进互不影响． (1)若甲同学先投特制沙包，求他投掷2次就停止该项比赛的概率； (2)为使获得奖励的概率最大，甲同学应先投哪种沙包； (3)为使投中沙包累计得分的期望最大，甲同学应先投哪种沙包． 【变式训练4-2·变载体】某校科技节进行答题竞赛，满分100分，现得到全校学生成绩的频率分布直方图如图所示： (1)求的值； (2)以每一组数据的中间值为代表，估计本次成绩的平均值； (3)若采用分层按比例抽样的方法从成绩在的同学中抽取8名同学的成绩进行失分分析，如果从抽到的8名同学中不放回抽取3份试卷，记得到分数在内的人数为随机变量，求的分布列和数学期望． 0 1 2 3 【变式训练4-3】设为随机变量，从边长为1的正方体12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱异面时，；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离，则数学期望（    ） A． B． C． D． 0 1 题型5 离散型随机变量均值的性质 例5-1已知随机变量的分布列为，则 . 例5-2已知随机变量，则（   ） A． B． C． D． 方法技巧 离散型随机变量性质有关问题的解题思路 若给出的随机变量Y与X的关系为Y＝aX＋b，a，b为常数，一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b求E(Y)．也可以利用X的分布列得到Y的分布列，关键是由X的取值计算Y的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E(Y)．【变式训练5-1】某次期末数学考试共9道单项选择题（每个题有4个选项），某同学全都不会做，记该同学做对的题目数为，且服从二项分布，则以下说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练5-2】下列说法不正确的是（ ） A．在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好 B．若随机变量，且，则 C．若随机变量，则方差 D．若随机变量，满足，则 【变式训练5-3】已知盒中有个白球和个黑球，一次性不放回地任取个球，记是摸到黑球的个数，则 ，若变量，则 ． 题型6 求离散型随机变量的方差 例6-1一批产品根据质量指标分为正品和次品，且次品率为，随机抽取1件，定义则随机变量的方差 . 例6-2（2025·天津·模拟预测）已知某个群体中对某活动持满意态度的人数比例为，从该群体中随机抽取10人，设这10人中持满意态度的人数为，随机变量，则 ． 方法技巧 求离散型随机变量的方差的类型及解决方法 (1)已知分布列型(非两点分布)：直接利用定义求解，先求均值，再求方差． (2)已知分布列是两点分布：直接套用公式D(X)＝p(1－p)求解． (3)未知分布列型：求解时可先借助已知条件及概率知识求得分布列，然后转化成(1)中的情况．【变式训练6-1】已知随机变量的分布列为： 1 2 3 当取最小值时， ， . 【变式训练6-2】现有三枚质地均匀的骰子，分别为红色､绿色和蓝色.同时抛掷这三枚骰子，已知这三枚骰子朝上面的点数之和为15，设红色骰子掷出的点数为，绿色骰子掷出的点数为，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-3】（2025·天津·二模）下列结论中，正确的选项个数是（   ） （1）对具有线性相关关系的变量x、y，且回归方程为，若样本点的中心为，则实数m的值是 （2）若随机变量，，则 （3）若随机变量，，满足，则， （4）根据分类变量X与Y成对样本数据，计算得到，依据小概率值的独立性检验，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型7 均值与方差的综合应用 例7-1（2025·天津·模拟预测）甲同学参加数学、物理2门课程的考试，假设甲同学在这2门课程考试中取得优秀成绩的概率分别是，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立. (1)求甲同学2门课程均未取得优秀成绩的概率； (2)求甲同学取得优秀成绩的课程数的分布列及均值. 例7-2（2025·天津和平·调研）下列说法不正确的是（    ） A．若随机变量，则 B．若随机变量，则 C．若随机变量，则 D．若随机变量，则 方法技巧 (1)均值体现了随机变量取值的平均大小，在两种产品相比较时，只比较均值往往是不恰当的，还需比较它们的取值的离散程度，即通过比较方差，才能准确地得出更恰当的判断． (2)离散型随机变量的分布列、均值、方差之间存在着紧密的联系，利用题目中所给出的条件，合理地列出方程或方程组求解，同时也应注意合理选择公式，简化问题的解答过程． 【变式训练7-1】某超市拟定于周年庆当天举办一次有奖促销活动，顾客一次消费满500元可参加一次抽奖活动，规则如下：有甲、乙两个不透明的箱子，甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），获得抽奖机会的顾客先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，规定从乙箱中取出的球是红球的顾客中奖，可获得100元返金券，则抽奖顾客中奖的概率为 ；据以往消费记录估计当天约有800位顾客抽奖，记中奖人数为，则 . 【变式训练7-2】某社团共有12名成员，其中高一男生2人，女生4人，高二男生3人，女生3人．现从中随机抽选2人参加数学知识问答． (1)若逐个抽选，求恰好第一个抽选的是男生的概率； (2)若恰好抽选了 1名男生与1名女生，求这2人都是高二学生的概率； (3)若逐个抽选，求在第一次抽选到男生的条件下第二次也抽到男生的概率； (4)若恰好抽选了1名高一学生与1名高二学生，记抽选出来的男生与女生的人数之差的绝对值为，求的分布列与均值． 【变式训练7-3】投掷均匀的骰子，每次投得的点数为1或2时得1分，投得的点数为3，4，5，6时得2分，独立重复投掷一枚骰子若干次，将每次得分加起来的结果作为最终得分，则下列说法正确的是（    ） A．投掷2次骰子，最终得分的期望为 B．设投掷次骰子合计得分恰为分的概率为，则 C．设投掷次骰子合计得分恰为分的概率为，则 D．设最终得分为分的概率为，则 1．（2007·天津·高考真题）已知甲盒内有大小相同的3个红球和4个黑球，乙盒内有大小相同的5个红球和4个黑球.现从甲、乙两个盒内各任取2个球. (1)求取出的4个球均为红球的概率； (2)求取出的4个球中恰有1个红球的概率. 2．（2006·天津·高考真题）某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且每次射击的结果互不影响． (1)求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率（用数字作答）； (2)求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率（用数字作答）； (3)设随机变量表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求的分布列． 3．（2013·天津·高考真题）一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4.从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）. （1）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率. （2）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列. 4．（2008·天津·高考真题）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为. （Ⅰ）求乙投球的命中率； （Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为，求的分布列和数学期望. 5．（2012·天津·高考真题）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏. （Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率； （Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率； （Ⅲ）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望. 6．（2018·天津·高考真题）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查. （I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ （II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查. （i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望； （ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率. 7．（2017·天津·高考真题）从甲地到乙地要经过个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，． （）设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和均值． （）若有辆车独立地从甲地到乙地，求这辆车共遇到个红灯的概率． （Ⅱ）解：设表示第一辆车遇到红灯的个数，表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为 . 所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为. 8．（2025·天津·高考真题）小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0．5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0．4，6圈的概率为0．6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0．6，6圈的概率为0．4．小桐一周跑11圈的概率为 ；若一周至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望 9．（2005·天津·高考真题）某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去200例类似项目开发的实施结果： 投资成功 投资失败 192次 8次 则该公司一年后估计可获收益的期望是 （元）． 1．一批产品共100件，其中有5件次品，现在从中任取10件检查，求取到次品件数X的分布列（精确到0.001）. 2．设随机变量X的分布列为． (1)求常数a的值； (2)求和． 3．（1）下面是某同学求得的离散型随机变量X的分布列． X −1 0 1 P 试说明该同学的计算结果是否正确． （2）设是一个离散型随机变量，其分布列为： −1 0 1 P ①求q的值； ②求，． 4．设随机变量X的分布列为，k=1，2，3，4，其中c为常数，求的值． 5．全班有40名学生，某次数学作业的成绩如下： 分数 0 1 2 3 4 5 人数 0 1 3 12 20 4 现从该班中任选一名学生，用X表示这名学生的数学作业成绩，求随机变量X的分布列． 6．已知离散型随机变量X有概率分布，．若，其中a，b为常数，求． Y P 7．某商场为促销组织了一次幸运抽奖活动．袋中装有18个除颜色外其余均相同的小球，其中8个是红球，10个是白球．抽奖者从中一次抽出3个小球，抽到3个红球得一等奖，抽到2个红球得二等奖，抽到1个红球得三等奖，抽到0个红球不得奖．求得一等奖、二等奖和三等奖的概率． 8．鱼塘中只有80条鲤鱼和20条草鱼，每条鱼被打捞的可能性相同．捞鱼者一网打捞上来4条鱼，计算： (1)其中有1条鲤鱼的概率； (2)4条都是鲤鱼的概率． 9．为了监控生产某种零件的一条生产线的生产过程，零件尺寸检验员每天需从该生产线上随机抽取一批零件，并测量其尺寸（单位：cm），然后根据尺寸标准判断这条生产线是否正常． 假设这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布． (1)假设生产线的生产状态正常，记为一天内抽取的16个零件中尺寸在之外的零件数，求及的数学期望． (2)一天内抽检的零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． ①试说明上述监控生产过程的方法的合理性． ②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得，，其中为抽取的第个零件的尺寸，． 用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查．剔除之外的数据，用剩下的数据估计和（结果精确到，其中若随机变量 服从正态分布，则，，）． 10．某人欲投资10万元，有两种方案可供选择．设X表示方案一所得收益（单位：万元），Y表示方案二所得收益（单位：万元）．其分布列分别为： X −2 8 P 0.7 0.3 Y −3 12 P 0.7 0.3 假定同期银行利率为1.75%，该人征求你的意见，你通过分析会得到怎样的结论呢？ 11．某厂一批产品的正品率是98%，检验单位从中有放回地随机抽取10件，计算： (1)抽出的10件产品中平均有多少件正品； (2)抽出的10件产品中正品数的方差和标准差． 12．一袋中装有50个白球，45个黑球，5个红球，现从中随机抽取20个球，求取出的红球个数的数学期望． 13．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.3，由于两种保险作用类似，因而没有人同时购买．设各车主购买保险相互独立，用X表示该地100位车主中甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的数学期望． 14．甲击中目标的概率是p，如果击中，得1分，否则得0分．用X表示甲的得分，计算随机变量X的数学期望． 15． 袋中有形状、大小完全相同的3个球，编号分别为1，2，3.用表示取出的2个球中的最大号码，有放回地从袋中取两次，每次取1个球 (1)写出的分布列； (2)求的均值与方差. 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 离散型随机变量及其分布列、数字特征 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 4 知能解码 4 知识点1 离散型随机变量的分布列 4 知识点2 离散型随机变量的均值与方差 5 题型破译 7 题型1 离散型随机变量的判断 7 题型2 求离散型随机变量的分布列 9 题型3 两点分布 13 题型4 利用定义求离散型随机变量的均值 16 题型5 离散型随机变量均值的性质 20 题型6 求离散型随机变量的方差 23 题型7 均值与方差的综合应用 26 04真题溯源·考向感知 30 05课本典例·高考素材 37 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）离散型随机变量的分布列 （2）离散型随机变量的均值与方差 （3）两点分布 单选题 多选题 填空题 解答题 2025年天津卷，第13题,5分 考情分析： 本节内容是天津高考卷的必考内容，特别是填空题中，更是经常出现．随着计算机技术和人工智能的发展，概率统计逐步成为应用最广泛的数学内容之一．这部分内容作为高考数学的主干内容之一，设题稳定，难度中档，分值为5分。 复习目标： 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念． 2.理解并会求离散型随机变量的数字特征 知识点1 离散型随机变量的分布列 1．随机变量 随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应随机试验的某一个随机事件． 定义：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量． 2．离散型随机变量 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量，通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值. 3.随机变量和函数的关系 随机变量的定义与函数的定义类似，这里的样本点ω相当于函数定义中的自变量，而样本空间Ω相当于函数的定义域，不同之处在于Ω不一定是数集． 4．离散型随机变量的分布列 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和 (1)离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为 x1，x2，…，xn ，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称为分布列． (2)可以用表格来表示X的分布列，如下表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 还可以用图形表示，如下图直观地表示了掷骰子试验中掷出的点数X的分布列，称为X的概率分布图． 5．离散型随机变量的分布列的性质 (1)pi≥0，i＝1，2，…，n；(2) p1＋p2＋…＋pn＝1. 6．两点分布 对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X＝如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列如表所示 X 0 1 P 1－p p 我们称X服从两点分布或0－1分布． 自主检测某公园有甲、乙两个相邻景点，原拟定甲景点内有2个A班同学和2个B班同学；乙景点内有2个A班同学和3个B班同学，后由于某种原因，甲、乙两个景点各有一个同学交换景点观光，则甲景点恰有2个A班同学的概率为 ；甲景点A班同学数X的数学期望为 ． 【答案】 【详解】（1）甲、乙两景点各有一个同学交换后，甲景点恰有2个A班同学有两种情况： 互换的是A班同学，此时甲景点恰有2个A班同学的事件记为， ， 互换的是B班同学，此时甲景点恰有2个A班同学的事件记为， ， 所以甲景点恰有2个A班同学的概率. （2）由题知X的取值可能为， ，，， . 故答案为：；. 知识点2 离散型随机变量的均值与方差 1．离散型随机变量的均值或数学期望 正确地求出离散型随机变量的分布列是求解期望的关键一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…xnpn＝xipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称为期望．均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平． 2．两点分布的期望 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p； 3．离散型随机变量的均值的性质 设X的分布列为P(X＝xi)＝ pi，i＝1，2，…，n.一般地，下面的结论成立：E(aX＋b)＝aE(X)＋b． 4．离散型随机变量的方差、标准差 正确求解随机变量的方差的关键是正确求解分布列及其期望值 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 考虑X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2 ，…，(xn－E(X))2 ，因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度，我们称 D(X)＝(x1－E(X))2 p1 ＋(x2－E(X))2 p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝ (xi－E(X))2pi 为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X)． 5．几个常见的结论 (1)D(aX＋b)＝a2D(X)． (2)若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)． 自主检测某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，再次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5、0.6、0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6、0.5、0.75；则第一次烧制后恰有一件产品合格的概率为 ；经过前后两次烧制后，合格工艺品的件数为X，则随机变量X的期望为 . 【答案】 0.38 0.9 【详解】分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件，，， 设表示第一次烧制后恰好有一件合格， 则 ； 经过前后两次烧制后，甲合格的概率为，乙合格的概率为，丙合格的概率为， 则每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为， 所以，所以． 故答案为：0.38；0.9． 题型1 离散型随机变量的判断 例1-1甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则表示（　　） A．甲赢三局 B．甲赢两局 C．甲、乙平局两次 D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次 【答案】D 【详解】甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分， 则有两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次． 故选：D. 例1-25件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是（    ） A．取到产品的件数 B．取到正品的概率 C．取到次品的件数 D．取到次品的概率 【答案】C 【详解】对于A，5件产品中有3件次品，从中任取2件，取到产品的件数是一个常量不是变量， BD也是一个定值，而C中取到次品的件数可能为0、1、2是随机变量. 故选：C 方法技巧 判断离散型随机变量的方法 (1)明确随机试验的所有可能结果． (2)将随机试验的结果数量化． (3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，如能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是． 【变式训练1-1】某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为，则“”表示的试验结果是（    ） A．第5次击中目标 B．第5次末击中目标 C．前4次未击中目标 D．第4次击中目标 【答案】C 【分析】利用离散型随机变量的定义进行判断即可. 【详解】因为该人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为， 因为，所以表示该人射击了5次，前4次都没有击中目标，且第5次可能击中目标也可能没有击中目标，所以选项A、B、D错误；选项C正确. 故选：C. 【变式训练1-2】现有7张卡片，分别写上数字1，2，3，4，5，5，6，从这7张卡片中随机抽取3张，记所取卡片上数字的最大值为X，则= ． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出随机试验的基本事件总数，再求出的事件所含基本事件数即可计算作答. 【详解】从这7张卡片中随机抽取3张的试验有个基本事件， 其中的事件所含基本事件数为， 所以. 故答案为： 【变式训练1-3】从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，. （1）记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求，的概率； （2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率. 【答案】（1），；（2） 【详解】解：（1）由题意可知，. （2）设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数， 则所求事件的概率为 ， 所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为． 题型2 求离散型随机变量的分布列 例2-1在某次世界乒乓球锦标赛的团体比赛中，中国队将对阵韩国队．比赛实行5局3胜制，根据以往战绩，中国队在每一局中获胜的概率都是． (1)求中国队以的比分获胜的概率； (2)设事件“韩国队先胜第一局”，设事件“中国队获得最终的胜利”，求； (3)假设全场比赛的局数为随机变量，在韩国队先胜第一局的前提下，求的分布列和数学期望． 【答案】(1)(2)(3)分布列见解析， 【详解】（1）设中国队以的比分获胜的事件为， 则. （2）在韩国队先胜第一局的前提下，中国队获得最终的胜利有2种情况： ①中国队连胜3局，此时的概率为：； ②中国队在2到4局中胜2局，再胜第5局， 此时概率为：； 所以. （3）由题意知， 则， ， ， 所以的分布列为： 3 4 5 则. 例2-2巴东一中组织庆五一教职工篮球活动，我们年级有10名教职工参加，其中有6名理科教师、4名文科教师，为活动的需要，要从这10名教师中随机抽取3名教职工去买比赛服装. (1)已知10名教师中有2名班主任，求抽取的3名中至少有1名班主任的概率； (2)设表示抽取的3名教师中文科教师的人数，求的分布列及数学期望. 【答案】(1)(2)分布列见解析，期望为 【详解】（1）由于10名教师中有2名班主任，则10名教师中有8名不是班主任， 若抽取的3名中没有班主任，则有种抽法，从10名教师中随机抽取3名教职工的方法有种， 故抽取的3名中至少有1名班主任的概率为 （2）的所有可能取值有：0，1，2，3， 故的分布列为： 0 1 2 3 故期望为： 方法技巧 求离散型随机变量分布列的步骤 (1)首先确定随机变量X的取值； (2)求出每个取值对应的概率； (3)列表对应，即为分布列． 【变式训练2-1】袋子A和B中都装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出1个红球的概率是，从B中摸出1个红球的概率为p. (1)若A，B两个袋子中的球数之比为1：2，将A，B中的球装在一起后，从中摸出1个红球的概率是，求p的值； (2)从A中有放回地摸球，每次摸出1个，有3次摸到红球即停止. ①求恰好摸5次停止的概率； ②记5次之内（含5次）摸到红球的次数为，求随机变量X的分布列及数学期望. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）设袋子A中有个球，则袋子B中有个球，利用古典概型的概率公式求得. （2）①利用相互独立事件的概率公式即可求解； ②利用独立重复试验的概率公式分别计算概率，写出分布列，求出数学期望； 【详解】（1）设袋子A中有个球，则袋子B中有个球. 由，得 . （2）①从中有放回地摸球，属于独立重复实验，所以概率 ②由题意可得：随机变量的取值为. ； ； ； . 的分布列是： 0 1 2 3 . 【变式训练2-2·变考法】甲、乙两人进行象棋比赛，赛前每人有3面小红旗.一局比赛后输者需给赢者一面小红旗，若是平局不需要给小红旗，当其中一方无小红旗时，比赛结束，有6面小红旗者最终获胜，根据以往的两人比赛结果可知，在一局比赛中甲胜的概率为0.5，乙胜的概率为0.4． (1)若第一局比赛后甲的小红旗个数为X，求X的分布列和数学期望； (2)若比赛一共进行五局，求第一局是乙胜的条件下，甲最终获胜的概率（结果保留两位有效数字）． 【答案】(1)分布列见解析，期望为3.1； (2)0.48 【分析】（1）求出X的可能取值和对应的概率，得到分布列，并求出数学期望； （2）设出事件，并计算出对应事件的概率，利用条件概率公式进行求解. 【详解】（1）X的可能取值为2,3,4， ，，， 故分布列如下： 2 3 4 0.4 0.1 0.5 数学期望为； （2）设比赛一共进行五局，第一局是乙胜为事件， 比赛一共进行五局，甲最终获胜为事件， 则事件表示第一局乙胜，剩下四局均为甲胜， 其中事件包含三种情况，①第二，三，四局中，乙胜一局，平两局，第五局乙胜， ②第二，三局中，乙胜一局，甲胜一局，第四，五局乙胜，③第二，三，四，五局甲胜， 则， 其中， 故 【变式训练2-3】有个人围坐在一个圆桌边上，每人都越过对面与另外一人握手，若要求所有人握手时手臂互不交叉，例如时，一共有4个人，以1、2、3、4表示，握手两人用一条线连结，共有2种方式，如图所示.记一次握手中，共有对相邻的两人握手，当时，的数学期望 .    【答案】 【分析】确定时6个人共有的握手方法，确定Y的值，求出分布列，根据期望公式，即可求得答案. 【详解】当时，共有6人围坐在圆桌旁，不妨按顺时针方向标记为， 用表示i和j握手， 若1和2握手，则6人共有两种握手方法，即和； 若1和6握手，则6人共有两种握手方法，即和； 若1和4握手，则6人共有一种握手方法，即， 故当时，共有5种握手方法； 由题意可知Y的取值可能为， 时，握手方式为：和以及， 此时； 则时，握手方式有2种，此时； 故Y的分布列为： Y 2 3 P 则， 故答案为： 题型3 两点分布 例3-1（2025·天津·模拟预测）有个相同的球，分别标有数字，，，，，从中有放回地随机取次，每次取个球记为这个球中至少被取出次的球的个数，则的数学期望 【答案】 【分析】根据题意对于每个标号，记为，利用对立事件与独立事件的概率公式求得，进而利用数学期望的性质求得. 【详解】箱中有个标号为的球，有放回地取三次，记为三次抽取中至少被取出一次的不同球的个数， 对于每个标号，记为如：表示三次抽取中至少出现过一次标号表示三次抽取中从未出现标号， 则可表示为所有的和，即， 由于每个小球都相同，则每个的期望相同，且服从两点分布， 则， 每次未抽到的概率为，三次均未抽到的概率为， ， 则． 故答案为：. 例3-2随机变量服从两点分布，其分布列如下表所示： 0 1 则（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】由概率之和为1即可列方程求解. 【详解】由题意，解得或（舍去）. 故选：B. 例3-3（2025·天津·模拟预测）已知随机变量X，Y均服从伯努利分布，且X，Y的取值为0或1.若，且，则 . 【答案】 【分析】根据已知及全概率公式、互斥事件和对立事件概率求法，分别求出、的概率，即可得. 【详解】因为随机变量X，Y均服从分布，且， 所以①， ②， 由，即， 则有③， 将③代入①可得：， 将③代入②可得：， 由， 则， 所以. 故答案为： 方法技巧 两点分布的4个特点 (1)两点分布中只有两个对应结果，且两结果是对立的； (2)两点分布中的两结果一个对应1，另一个对应0； (3)由互斥事件的概率求法可知，已知P(X＝0)(或P(X＝1))，便可求出P(X＝1)(或P(X＝0))； (4)在有多个结果的随机试验中，如果我们只关心一个随机事件是否发生，就可以利用两点分布来研究它． 【变式训练3-1】下列随机事件中的随机变量 服从超几何分布的是（    ）． A．将一枚硬币连抛 3 次，记正面向上的次数为 B．盒中有 4 个白球和 3 个黑球，每次从中摸出 1 个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为 C．某射手的射击命中率为 0.8 ，现对目标射击 1 次，记命中的次数为 D．从 7 男 3 女共 10 名学生干部中随机选出 5 名学生干部，记选出女生的人数为 【答案】D 【分析】由超几何分布的定义分别判断各个选项即可. 【详解】对于A，将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数服从二项分布，A不是； 对于B，盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，第一次摸出黑球时的总次数不是超几何分布，B不是； 对于C，某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为服从两点分布，C不是； 对于D，从 7 男 3 女共 10 名学生干部中随机选出 5 名学生干部，记选出女生的人数服从超几何分布，D是. 故选：D 【变式训练3-2】下列说法正确的有 ． ①已知随机变量，，满足，且服从正态分布，则 ②已知随机变量服从正态分布，且，则 ③已知随机变量服从二项分布，则 ④已知随机变量服从两点分布，且，，令，则 【答案】①②④ 【分析】命题①，根据条件，利用期望的运算性质，即可求解；命题②，根据条件，利用正态分布的对称性，即可求解；命题③，根据条件，利用二项分布的概率计算公式，即可求解；命题④，根据条件，利用，即可求解. 【详解】对于命题①，因为服从正态分布，所以， 又，即，所以，故命题①正确， 对于命题②，因为随机变量服从正态分布，且， 所以，故命题②正确， 对于命题③，因为随机变量服从二项分布，所以，故命题③错误， 对于命题④，因为，由，得到，所以，故命题④正确， 故答案为：①②④. 题型4 利用定义求离散型随机变量的均值 例4-1已知随机变量X的分布列如表，则的值为 . X 1 2 3 4 P 【答案】 【分析】根据分布列可求得随机变量的数学期望， 进而可求出方差.再利用公式即可求得答案. 【详解】由随机变量的分布列可得的数学期望， 所以的方差， 所以， 所以. 故答案为:. 例4-2已知随机变量的分布列如下表，且． 1 2 3 若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由数学期望公式求，再根据数学期望的性质建立方程，求解即得参数值. 【详解】由， 因，则， 解得：． 故选：A. 方法技巧 求随机变量的均值关键是写出分布列，一般分为四步：(1)确定X的可能取值；(2)计算出P(X＝k)；(3)写出分布列；(4)利用E(X)的计算公式计算E(X)． 【变式训练4-1】在两个大小相同，距离不同的区域内进行投掷沙包的比赛，每人至多投3次．具体比赛规则如下：在距离较远的区域内投一次特制沙包，投进得5分，没投进不得分；在距离较近的区域内投两次普通沙包，每投进一次得3分，没投进不得分，且得分高于5分则获得相应奖励，若前两次均投进或均未投进，都停止比赛．已知甲同学在距离较远的区域内投中沙包的概率是，在距离较近的区域内投中沙包的概率是，且每次是否投进互不影响． (1)若甲同学先投特制沙包，求他投掷2次就停止该项比赛的概率； (2)为使获得奖励的概率最大，甲同学应先投哪种沙包； (3)为使投中沙包累计得分的期望最大，甲同学应先投哪种沙包． 【答案】(1) (2)甲同学先投特制沙包或普通沙包均可 (3)甲同学应先投普通沙包 【分析】（1）根据相互独立事件的概率乘法公式即可求解， （2）分别求解两种情况下的概率，即可比较大小作答， （3）利用相互独立事件的概率公式求解分布列，即可由期望公式计算大小，比较作答. 【详解】（1）记“甲同学先投特制沙包，投掷2次就停止该项比赛”为事件A，有以下两种情况： ①甲同学第一次投掷特制沙包投中，第二次投掷普通沙包投中，停止比赛； ②甲同学第一次投掷特制沙包未投中，第二次投掷普通沙包未投中，停止比赛， 故． （2）记甲同学先投特制沙包，并获得奖励的概率为， 则． 记甲同学先投普通沙包，并获得奖励的概率为，则 ． 因为，所以为使获得奖励的概率最大，甲同学先投特制沙包或普通沙包均可． （3）记甲同学先投特制沙包累计得分为X，则X的所有可能取值为0，3，5，6，8， ， ， ， ， ， ． 记甲同学先投普通沙包累计得分为Y， 则Y的所有可能取值为0，3，6，8， ， ， ， ， 故， 因为， 所以为使投中沙包累计得分的期望最大，甲同学应先投普通沙包． 【变式训练4-2·变载体】某校科技节进行答题竞赛，满分100分，现得到全校学生成绩的频率分布直方图如图所示： (1)求的值； (2)以每一组数据的中间值为代表，估计本次成绩的平均值； (3)若采用分层按比例抽样的方法从成绩在的同学中抽取8名同学的成绩进行失分分析，如果从抽到的8名同学中不放回抽取3份试卷，记得到分数在内的人数为随机变量，求的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析；期望为 【分析】（1）利用频率分布直方图的性质，即可求解； （2）利用频率分布直方图，结合平均数的求法，即可求解； （3）先求出样本中三段分数的人数，再求出的可取值及对应概率，即可得分布列，再由期望的计算公式，即可求解. 【详解】（1）根据题意有：，解得：. （2）若以每一组数据的中间值为代表，估计本次考试的平均成绩为： . （3）根据频率分布直方图可知，全校同学中成绩在，，各段的同学人数比例为，所以样本中三段分数的同学人数为1人，3人，4人 所以随机变量的可取值为0，1，2，3 ，， ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 . 【变式训练4-3】设为随机变量，从边长为1的正方体12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱异面时，；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离，则数学期望（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出的所有值，分别求解其概率，结合期望公式可得答案. 【详解】由题意正方体中两条平行的棱间的距离为1或． 正方体共12条棱中任取两条，共有种取法， 其中相交的有种，平行且距离为的有种， 其余的是异面或距离为1的平行线，共有36种， ，，， 分布列为： 0 1 ． 故选：D． 题型5 离散型随机变量均值的性质 例5-1已知随机变量的分布列为，则 . 【答案】18 【分析】根据所给的随机变量的分布列，写出各个变量对应的概率，根据分布列中各个概率之和是1，把所有的概率表示出来相加等于1，得到关于a的方程，解方程求得a的值，求出相应的期望值，再利用期望公式和性质可求得结果 【详解】由分布列的性质可得，解得， 所以， 故. 故答案为：18. 例5-2已知随机变量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正态分布性质结合数学期望及方差性质计算判断各个选项. 【详解】因为随机变量，则，A选项错误；C选项错误； ，B选项正确； ，D选项错误； 故选：B. 方法技巧 离散型随机变量性质有关问题的解题思路 若给出的随机变量Y与X的关系为Y＝aX＋b，a，b为常数，一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b求E(Y)．也可以利用X的分布列得到Y的分布列，关键是由X的取值计算Y的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E(Y)．【变式训练5-1】某次期末数学考试共9道单项选择题（每个题有4个选项），某同学全都不会做，记该同学做对的题目数为，且服从二项分布，则以下说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二项分布的期望和方差性质计算可判断AB选项，再由期望值性质可判断C选项，由二项分布定义可求出对应概率可判断D选项. 【详解】对于A，因为服从二项分布，所以，即A正确； 对于B，由二项分布可得，因此B正确； 对于C，易知，即C正确； 对于D，显然，可知D错误. 故选：D 【变式训练5-2】下列说法不正确的是（ ） A．在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好 B．若随机变量，且，则 C．若随机变量，则方差 D．若随机变量，满足，则 【答案】D 【分析】根据决定系数的概念判断A；根据正态分布的对称性判断B；根据二项分布的方差公式判断C；根据期望的性质判断D. 【详解】对于A，决定系数越大，说明模型拟合的效果越好，故A正确； 对于B，随机变量，则， 则，故B正确； 对于C，因为随机变量，则方差，故C正确； 对于D，因为，所以，故D错误. 故选：D. 【变式训练5-3】已知盒中有个白球和个黑球，一次性不放回地任取个球，记是摸到黑球的个数，则 ，若变量，则 ． 【答案】 【分析】利用组合计数原理、古典概型的概率公式以及对立事件的概率公式可求出的值，求出的值，结合期望的性质可求出的值. 【详解】由题意可得， 由题意可知，随机变量的可能取值有、、， 则，，， 所以， 因为，故. 故答案为：；. 题型6 求离散型随机变量的方差 例6-1一批产品根据质量指标分为正品和次品，且次品率为，随机抽取1件，定义则随机变量的方差 . 【答案】 【分析】先由两点分布求出随机变量的均值，然后利用方差计算公式求出方差即可. 【详解】由题意， 则. 故答案为：. 例6-2（2025·天津·模拟预测）已知某个群体中对某活动持满意态度的人数比例为，从该群体中随机抽取10人，设这10人中持满意态度的人数为，随机变量，则 ． 【答案】3.6 【分析】判断出随机变量服从二项分布，利用二项分布的方差公式求出，再由方差性质公式即可计算求出. 【详解】设这10人中持满意态度的人数为，则由题意可知， 则， 已知随机变量，所以. 故答案为： 方法技巧 求离散型随机变量的方差的类型及解决方法 (1)已知分布列型(非两点分布)：直接利用定义求解，先求均值，再求方差． (2)已知分布列是两点分布：直接套用公式D(X)＝p(1－p)求解． (3)未知分布列型：求解时可先借助已知条件及概率知识求得分布列，然后转化成(1)中的情况．【变式训练6-1】已知随机变量的分布列为： 1 2 3 当取最小值时， ， . 【答案】 6 2 【分析】先由分布列的性质结合基本不等式的乘1法求出，再由期望和方差公式可得. 【详解】由题意可得，即， ， 当且仅当即时取等号， 所以，. 故答案为：6；2. 【变式训练6-2】现有三枚质地均匀的骰子，分别为红色､绿色和蓝色.同时抛掷这三枚骰子，已知这三枚骰子朝上面的点数之和为15，设红色骰子掷出的点数为，绿色骰子掷出的点数为，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】列举出当时的所有结果，利用古典概率及条件概率公式求解判断BC；利用期望、方差的定义计算判断CD. 【详解】设蓝色骰子掷出的点数为，同时抛掷这三枚骰子，在的条件下，出现的 结果有：，共10个， 对于A，等价于，只有1个结果，， ，，A错误； 对于B，的结果有，， 的结果有，，B错误； 对于C，的可能取值为，， 因此，C正确； 对于D，，同理， ，D错误. 故选：C 【变式训练6-3】（2025·天津·二模）下列结论中，正确的选项个数是（   ） （1）对具有线性相关关系的变量x、y，且回归方程为，若样本点的中心为，则实数m的值是 （2）若随机变量，，则 （3）若随机变量，，满足，则， （4）根据分类变量X与Y成对样本数据，计算得到，依据小概率值的独立性检验，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】（1）运用回归方程性质，样本点中心在回归直线上，利用此性质列方程求解参数； （2）运用正态分布特点，正态曲线有对称轴，对称区间概率相等，据此计算概率； （3）运用随机变量期望和方差的运算性质，根据公式计算随机变量线性变换后的期望和方差； （4）运用独立性检验知识，通过比较值与临界值判断两个变量是否有关联。 【详解】（1）已知回归方程，样本点的中心一定在回归直线上， 将样本点中心代入回归方程可得：， 解得：； （2）因为随机变量，所以正态曲线关于对称 与关于对称，所以 那么； （3）根据期望与方差的性质，（为常数） 可得：，； （4）因为，所以不能判断与有关系. 总上所述：（1）、（2）正确， 故选：B 题型7 均值与方差的综合应用 例7-1（2025·天津·模拟预测）甲同学参加数学、物理2门课程的考试，假设甲同学在这2门课程考试中取得优秀成绩的概率分别是，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立. (1)求甲同学2门课程均未取得优秀成绩的概率； (2)求甲同学取得优秀成绩的课程数的分布列及均值. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）由独立事件的乘法公式可得； （2）由题意得的可能取值，利用独立事件的乘法公式依次求出相应的概率，列出分布列，再由公式得到期望. 【详解】（1）设甲同学2门课程均未取得优秀成绩为事件， 则事件的概率. （2）由题意得的可能取值为0，1，2 故的分布列如下所示： 0 1 2 则随机变量的均值为. 例7-2（2025·天津和平·调研）下列说法不正确的是（    ） A．若随机变量，则 B．若随机变量，则 C．若随机变量，则 D．若随机变量，则 【答案】C 【分析】利用二项分布的性质求解判断AB；利用正态分布的性质求解判断CD. 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得，B正确； 对于C，由，得，C错误； 对于 D，由，得，D正确. 故选：C 方法技巧 (1)均值体现了随机变量取值的平均大小，在两种产品相比较时，只比较均值往往是不恰当的，还需比较它们的取值的离散程度，即通过比较方差，才能准确地得出更恰当的判断． (2)离散型随机变量的分布列、均值、方差之间存在着紧密的联系，利用题目中所给出的条件，合理地列出方程或方程组求解，同时也应注意合理选择公式，简化问题的解答过程． 【变式训练7-1】某超市拟定于周年庆当天举办一次有奖促销活动，顾客一次消费满500元可参加一次抽奖活动，规则如下：有甲、乙两个不透明的箱子，甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），获得抽奖机会的顾客先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，规定从乙箱中取出的球是红球的顾客中奖，可获得100元返金券，则抽奖顾客中奖的概率为 ；据以往消费记录估计当天约有800位顾客抽奖，记中奖人数为，则 . 【答案】 / 240 【分析】由已知从甲箱中随机取出2个球有三种情况，放入乙箱后，分别计算其概率，即可求解；由已知可得，根据二项分布期望的计算公式求解即可. 【详解】顾客从甲箱中随机取出2个球，可能情况分别为2个红球，1个红球和1个黑球，2个黑球， 若从甲箱中取出2个红球放入乙箱，则乙箱中有3个红球和3个黑球， 则从乙箱中随机取出1个球，取出的是红球的概率为， 若从甲箱中取出1个红球和1个黑球放入乙箱，则乙箱中有2个红球和4个黑球， 则从乙箱中随机取出1个球，取出的是红球的概率为， 若从甲箱中取出2个黑球，放入乙箱，则乙箱中有1个红球和5个黑球， 则从乙箱中随机取出1个球，取出的是红球的概率为， 所以中奖的概率为； 每位顾客是否中奖相互独立，且中奖概率为，所以， 所以. 故答案为：；. 【变式训练7-2】某社团共有12名成员，其中高一男生2人，女生4人，高二男生3人，女生3人．现从中随机抽选2人参加数学知识问答． (1)若逐个抽选，求恰好第一个抽选的是男生的概率； (2)若恰好抽选了 1名男生与1名女生，求这2人都是高二学生的概率； (3)若逐个抽选，求在第一次抽选到男生的条件下第二次也抽到男生的概率； (4)若恰好抽选了1名高一学生与1名高二学生，记抽选出来的男生与女生的人数之差的绝对值为，求的分布列与均值． 【答案】(1)(2)(3)(4)分布列见解析； 【分析】（1）利用古典概型概率公式计算求解； （2）判断所求为条件概率，利用条件概率公式即可求解； （3）采用缩小样本空间的方法，利用古典概型概率公式计算即得； （4）列出所有符合的组合情况，计算的分布列与均值即可. 【详解】（1）若逐个抽选，恰好第一个抽选的是男生的概率为男生在成员总人数中所占的比率，即； （2）记事件为恰好抽选了 1名男生与1名女生，事件为这2人都是高二学生.由题知男生总共5人，女生总共7人. 则，由条件概率可得： . （3）对于“在第一次抽选到男生的条件下第二次也抽到男生”的概率，可采用缩小样本空间的方法， 计算从去掉1个男生后的4个男生中抽取1人的方法数，除以从去掉1个男生后的11人中抽取1人的方法总数的比值， 即得其概率为. （4）因为恰好抽选了1名高一学生与1名高二学生，可能的情况包含“1名高一男学生与1名高二男学生” 、 “1名高一男学生与1名高二女学生”、 “1名高一女学生与1名高二男学生”、“1名高一女学生与1名高二女学生”. 抽选出来的男生与女生的人数之差的绝对值为，则的可能取值为0和2. 则，， 则的分布列为： 0 1 则均值为. 【变式训练7-3】投掷均匀的骰子，每次投得的点数为1或2时得1分，投得的点数为3，4，5，6时得2分，独立重复投掷一枚骰子若干次，将每次得分加起来的结果作为最终得分，则下列说法正确的是（    ） A．投掷2次骰子，最终得分的期望为 B．设投掷次骰子合计得分恰为分的概率为，则 C．设投掷次骰子合计得分恰为分的概率为，则 D．设最终得分为分的概率为，则 【答案】D 【分析】由离散型随机变量的分布列求解数学期望即可判断选项A；投掷次，得分为分，则只有一次投掷得2分，求出，然后利用错位相减法求和即可判断选项B；计算出，即可判断选项C；最终得分，前一次要么是分，要么是分，所以，即可判断选项D. 【详解】对于A，投掷2次可能的取值为2，3，4，，， ，，故A错误； 对于B，投掷次，得分为分，则只有一次投掷得2分， ， 所以， 设， 则， 所以， 所以， 则，故B错误； 对于C，， ，故C错误； 对于D，投掷骰子一次要么得1分，要么得2分， ∴最终得分，前一次要么是分，要么是分， 故，故D正确； 故选：D. 1．（2007·天津·高考真题）已知甲盒内有大小相同的3个红球和4个黑球，乙盒内有大小相同的5个红球和4个黑球.现从甲、乙两个盒内各任取2个球. (1)求取出的4个球均为红球的概率； (2)求取出的4个球中恰有1个红球的概率. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）若“取出的4个球均为红球”，则从甲、乙两个盒内各任取2个球均为红球，结合独立事件的概率乘法公式运算求解；（2）若“取出的4个球中恰有1个红球”，则有两种可能：“甲盒内任取2个球中有1个红球，乙盒内任取2个球中没有红球”和“甲盒内任取2个球中没有红球，乙盒内任取2个球中有1个红球”，结合独立事件的概率乘法公式运算求解. 【详解】（1）记“从甲盒内任取2个球中有个红球”为事件，“从乙盒内任取2个球中有个红球”为事件， 则，， 故取出的4个球均为红球的概率. （2）取出的4个球中恰有1个红球的概率. 2．（2006·天津·高考真题）某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且每次射击的结果互不影响． (1)求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率（用数字作答）； (2)求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率（用数字作答）； (3)设随机变量表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求的分布列． 【答案】(1)；(2)；(3)分布列见解析. 【分析】(1)利用独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式求解；(3)利用独立重复试验概率公式求出前3次中恰好击中两次的概率，再由概率乘法公式求所求事件的概率；(3)先确定随机变量的可能取值，再求其取各值的概率，由此可得其分布列. 【详解】（1）设事件该射手第次射击，击中目标为，，则，所以， 事件射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标可表示为，因为事件，，互斥，所以 又事件相互独立，所以 ； （2）事件射手第3次击中目标时，恰好射击了4次等于事件前3次中恰好击中两次目标且第四次击中目标，又各次击中目标的概率为， 所以前3次中恰有两次击中目标的概率为，第四次击中目标的概率为， 所以事件射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率； （3）由已知的取值有，，，，，， 又，，，，， 所以随机变量的分布列为： 3 4 5 … … … … 3．（2013·天津·高考真题）一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4.从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）. （1）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率. （2）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列. 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】（1）先计算不含编号为3的卡片的概率，再用得到答案. （2）随机变量X的可能取值为：，计算概率得到分布列. 【详解】（1）不含编号为3的卡片的概率，故. （2）随机变量X的可能取值为：. ；； ；. 分布列为： 4．（2008·天津·高考真题）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为. （Ⅰ）求乙投球的命中率； （Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为，求的分布列和数学期望. 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）的分布列为 0 1 2 3 的数学期望 【详解】试题分析：对于问题（I）由题目条件并结合间接法，即可求出乙投球的命中率；对于问题（II），首先列出两人共命中的次数的所有可能的取值情况，再根据题目条件分别求出取各个值时所对应的概率，就可得到的分布列． 试题解析：（I）设“甲投球一次命中”为事件，“乙投球一次命中”为事件. 由题意得解得或（舍去），所以乙投球的命中率为. （II）由题设知（I）知，，，， 可能取值为 故， ， 的分布列为 考点：1、概率；2、离散型随机变量及其分布列. 5．（2012·天津·高考真题）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏. （Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率； （Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率； （Ⅲ）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望. 【答案】（1）（2）（3） 【详解】解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为.设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件(i＝0,1,2,3,4)，则 （Ⅰ）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率 （Ⅱ）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则， 由于与互斥，故 所以，这4个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为 （Ⅲ）ξ的所有可能取值为0,2,4.由于与互斥，与互斥，故 ， ． 所以ξ的分布列是 ξ 0 2 4 P 随机变量ξ的数学期望 考点：1.离散型随机变量的期望与方差；2.相互独立事件的概率乘法公式；3.离散型随机变量及其分布列． 6．（2018·天津·高考真题）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查. （I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ （II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查. （i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望； （ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率. 【答案】（Ⅰ）从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）答案见解析；（ii）． 【详解】分析：（Ⅰ）由分层抽样的概念可知应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人． （Ⅱ）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．且分布列为超几何分布，即P（X=k）=（k=0，1，2，3）．据此求解分布列即可，计算相应的数学期望为． （ii）由题意结合题意和互斥事件概率公式可得事件A发生的概率为． 详解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2， 由于采用分层抽样的方法从中抽取7人， 因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人． （Ⅱ）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3． P（X=k）=（k=0，1，2，3）． 所以，随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 随机变量X的数学期望． （ii）设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”； 事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”， 则A=B∪C，且B与C互斥， 由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)， 故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=． 所以，事件A发生的概率为． 7．（2017·天津·高考真题）从甲地到乙地要经过个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，． （）设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和均值． （）若有辆车独立地从甲地到乙地，求这辆车共遇到个红灯的概率． 【答案】(1)见解析；（2）. 【详解】试题分析：表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数, 的所有可能取值为0,1,2,3.分别求出相应的概率值，列出随机变量的分布列并计算数学期望，表示第一辆车遇到红灯的个数，表示第二辆车遇到红灯的个数，这2辆车共遇到1个红灯就是包括第一辆遇到1次红灯且第2辆没遇上和第一辆没遇上红灯且第2辆遇上1次红灯两个事件的概率的和. 试题解析：（Ⅰ）解：随机变量的所有可能取值为0,1,2,3. ， ， ， . 所以，随机变量的分布列为 0 1 2 3 随机变量的数学期望. （Ⅱ）解：设表示第一辆车遇到红灯的个数，表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为 . 所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为. 8．（2025·天津·高考真题）小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0．5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0．4，6圈的概率为0．6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0．6，6圈的概率为0．4．小桐一周跑11圈的概率为 ；若一周至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望 【答案】 【分析】先根据全概率公式计算求解空一，再求出概率根据二项分布数学期望公式计算求解. 【详解】设小桐一周跑11圈为事件A，设第一次跑5圈为事件，设第二次跑5圈为事件， 则； 设运动量达标为事件，， 所以，； 故答案为：； 9．（2005·天津·高考真题）某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去200例类似项目开发的实施结果： 投资成功 投资失败 192次 8次 则该公司一年后估计可获收益的期望是 （元）． 【答案】4760 【分析】设可获收益为x万元，先求出投资成功与失败的概率和收益，再计算收益的期望即得. 【详解】设可获收益为x万元，如果成功，x的取值为5×12%，如果失败，x的取值为， 一年后公司成功的概率估计为＝，失败的概率估计为＝， 所以一年后公司收益的期望为（元）. 故答案为：4760. 1．一批产品共100件，其中有5件次品，现在从中任取10件检查，求取到次品件数X的分布列（精确到0.001）. 【答案】答案见解析 【分析】根据古典概型运算公式进行求解即可. 【详解】由题意可知： ，，， ，，， 次品件数X的分布列为： 2．设随机变量X的分布列为． (1)求常数a的值； (2)求和． 【答案】(1)(2)， 【分析】（1）根据概率之和为1列出方程，求出a的值； （2）在（1）的基础上，求出和的值. 【详解】（1）由题意得，解得. （2）由（1）知，， 可得， 3．（1）下面是某同学求得的离散型随机变量X的分布列． X −1 0 1 P 试说明该同学的计算结果是否正确． （2）设是一个离散型随机变量，其分布列为： −1 0 1 P ①求q的值； ②求，． 【答案】（1）不正确；（2），． 【分析】（1）根据分布列中所有概率和是否为1进行判断; （2）由概率和为1求得，再根据分布列求相应概率． 【详解】（1）因为，因此分布列中计算结果错误； （2）由解得（舍去）， 所以，． 4．设随机变量X的分布列为，k=1，2，3，4，其中c为常数，求的值． 【答案】 【分析】利用离散型随机变量分布列的性质求得c，再利用求解. 【详解】解  由离散型随机变量分布列的性质可知 ， 所以． 解得． 所以， ． 5．全班有40名学生，某次数学作业的成绩如下： 分数 0 1 2 3 4 5 人数 0 1 3 12 20 4 现从该班中任选一名学生，用X表示这名学生的数学作业成绩，求随机变量X的分布列． 【答案】答案见解析 【分析】根据古典概率公式求，然后可得分布列. 【详解】解：由题意可得，， ，， ，． 因此，随机变量X的分布列是 X 0 1 2 3 4 5 P 0 0.025 0.075 0.3 0.5 0.1 6．已知离散型随机变量X有概率分布，．若，其中a，b为常数，求． 【答案】 【分析】根据已知写出Y的分布列，应用离散随机变量期望的求法求即可. 【详解】由于X是离散型随机变量，那么Y也是离散型随机变量． 因为，， 所以Y的分布列为 Y P 于是 ． 7．某商场为促销组织了一次幸运抽奖活动．袋中装有18个除颜色外其余均相同的小球，其中8个是红球，10个是白球．抽奖者从中一次抽出3个小球，抽到3个红球得一等奖，抽到2个红球得二等奖，抽到1个红球得三等奖，抽到0个红球不得奖．求得一等奖、二等奖和三等奖的概率． 【答案】得一等奖的概率约为0.0686，得二等奖的概率约为0.3431，得三等奖的概率约为0.4412． 【分析】由题意，用X表示抽到的红球数，则，根据超几何分布的概率公式得解. 【详解】解：从18个小球中抽取3个时，有种等可能的结果，用X表示抽到的红球数， 则，则 P（得一等奖）． P（得二等奖）． P（得三等奖）． 因此，得一等奖的概率约为0.0686，得二等奖的概率约为0.3431，得三等奖的概率约为0.4412． 8．鱼塘中只有80条鲤鱼和20条草鱼，每条鱼被打捞的可能性相同．捞鱼者一网打捞上来4条鱼，计算： (1)其中有1条鲤鱼的概率； (2)4条都是鲤鱼的概率． 【答案】(1)(2) 【分析】根据题意得到服从于超几何分布，从而得到相应的概率. 【详解】（1）用X表示被打捞的4条鱼中鲤鱼的条数，则服从于超几何分布，即， 因此； （2）． 9．为了监控生产某种零件的一条生产线的生产过程，零件尺寸检验员每天需从该生产线上随机抽取一批零件，并测量其尺寸（单位：cm），然后根据尺寸标准判断这条生产线是否正常． 假设这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布． (1)假设生产线的生产状态正常，记为一天内抽取的16个零件中尺寸在之外的零件数，求及的数学期望． (2)一天内抽检的零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． ①试说明上述监控生产过程的方法的合理性． ②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得，，其中为抽取的第个零件的尺寸，． 用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查．剔除之外的数据，用剩下的数据估计和（结果精确到，其中若随机变量 服从正态分布，则，，）． 【答案】(1), (2)①说明见解析；②需要，， 【分析】（1）根据题意及正态分布的性质可知尺寸在之外的概率为，而，进而可求出的数学期望; （2）①根据出现尺寸在之外的零件的概率分析即可；②计算，，剔除之外的数据，算出剩下数据的平均数，即为的估计值，剩下数据的样本方差，即为的估计值. 【详解】（1）根据题意及正态分布的性质可知抽取的一个零件的尺寸在之内的概率为， 所以零件的尺寸在之外的概率为， 所以， 所以， 的数学期望. （2）①由（1）可知如果生产状态正常，一个零件尺寸在之外的概率仅有， 一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在之外的零件的概率仅有，发生的概率很小， 因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况， 需要对当天的生产过程进行检查， 因此上述监控生产过程的方法是合理的. ②由，得的估计值，的估计值， 由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在，即之外， 因此需要对当天的生产过程进行检查， 剩下数据的平均数为，因此的估计值为， 因为， 所以剩下数据的样本方差为， 因此的估计值为. 10．某人欲投资10万元，有两种方案可供选择．设X表示方案一所得收益（单位：万元），Y表示方案二所得收益（单位：万元）．其分布列分别为： X −2 8 P 0.7 0.3 Y −3 12 P 0.7 0.3 假定同期银行利率为1.75%，该人征求你的意见，你通过分析会得到怎样的结论呢？ 【答案】答案见解析 【分析】利用离散型随机变量的期望和方差求解. 【详解】解 ：由期望和方差的计算公式，得 （万元）， （万元）， ， ． 由于同期银行利率为1.75%，所以若将10万元存入银行，可得利息（无风险收益）（万元）．从期望收益的角度来看，两种投资方案都可以带来额外的收益，但都要冒一定的风险．方案一的期望收益小于方案二，但方案一的风险也小于方案二．所以，如果想稳赚而不冒任何风险，就选择存入银行；如果想多赚点又不想风险太大就选择方案一；如果想多赚又不怕风险就选择方案二． 11．某厂一批产品的正品率是98%，检验单位从中有放回地随机抽取10件，计算： (1)抽出的10件产品中平均有多少件正品； (2)抽出的10件产品中正品数的方差和标准差． 【答案】(1)9.8件(2)0.196；0.44 【分析】根据正品率是98%，是有放回的随机抽样，得到X服从二项分布求解. 【详解】（1）解：因为正品率是98%， 所以任取一件产品时，得到正品的概率为0.98． 用X表示抽得的正品数，由于是有放回的随机抽样， 所以X服从二项分布． 则， 因此抽出的10件产品中平均有9.8件正品． （2）由X服从二项分布， 则， 标准差． 12．一袋中装有50个白球，45个黑球，5个红球，现从中随机抽取20个球，求取出的红球个数的数学期望． 【答案】1 【分析】由题设可得服从超几何分，根据公式可求数学期望. 【详解】袋中球的总数为， 根据题意可知，随机抽取的20个球中红球的个数服从超几何分布， 即． 因为，，，所以． 13．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.3，由于两种保险作用类似，因而没有人同时购买．设各车主购买保险相互独立，用X表示该地100位车主中甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的数学期望． 【答案】20 【分析】先求出两种保险都不购买的概率，再根据公式可求数学期望. 【详解】设A表示甲、乙两种保险都不购买， 则． 由于各车主购买保险相互独立， 根据题意可知，100位车主中甲、乙两种保险都不购买的车主数X服从二项分布， 即X~B． 所以． 14．甲击中目标的概率是p，如果击中，得1分，否则得0分．用X表示甲的得分，计算随机变量X的数学期望． 【答案】 【分析】先求出X的分布列，从而可求其数学期望. 【详解】的充分必要条件是击中目标，所以． 是的对立事件，所以． 于是． 15． 袋中有形状、大小完全相同的3个球，编号分别为1，2，3.用表示取出的2个球中的最大号码，有放回地从袋中取两次，每次取1个球 (1)写出的分布列； (2)求的均值与方差. 【答案】(1) 1 2 3 (2)； 【分析】（1）由题意得出的可能取值，再由概率公式计算得到相应的概率值，写出分布列即可； （2）结合（1）由期望与方差公式求解即可. 【详解】（1）题意知的可能取值为1，2，3， 当时，有一种情况； 当时，有，，三种情况； 当时，有，，，，五种情况； 则，，， 所以的分布列： 1 2 3 （2）的均值为：， 方差为. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $