第03讲 直线与圆（复习讲义）（天津专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第03讲 直线与圆 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 4 知能解码 4 知识点1 圆的定义和圆的方程 4 知识点2 点与圆的位置关系判断 4 知识点3 直线与圆的位置关系判断 5 题型破译 6 题型1 圆的方程 6 题型2 点与圆的位置关系 7 题型3 与圆有关的轨迹问题 8 题型4 直线与圆相交 9 题型5 直线与圆相切、相离 10 04真题溯源·考向感知 11 05课本典例·高考素材 12 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）圆的定义和圆的方程 （2）点与圆的位置关系判断 （3）直线与圆的位置关系判断 单选题 多选题 填空题 解答题 2025年天津卷，第12题,5分 2024年天津卷，第12题,5分 2023年天津卷，第12题,5分 考情分析： 本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给给出圆，要求解出圆的弦长、切线与最值相关问题。设题稳定，难度中档，分值为5分 复习目标： 1.理解、掌握圆的方程的概念，能够求解圆的标准方程与一般方程 2.能掌握直线与圆的位置关系 3.具备数形结合的思想意识，会借助几何图形，解决直线与圆的位置关系 4.会解切线方程与弦长问题。 知识点1：圆的定义和圆的方程 1、平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆． 2、圆的四种方程 （1）圆的标准方程：，圆心坐标为（a，b），半径为 （2）圆的一般方程：，___________为，半径 （3）圆的直径式方程：若，则以线段AB为___________的圆的方程是 （4）圆的参数方程： ①的参数方程为（为参数）； ②的参数方程为（为参数）． 自主检测圆关于直线对称的圆的方程为（　　） A． B． C． D． 知识点2：点与圆的位置关系判断 （1）点与圆的位置关系： ①点P在圆外； ②点P在圆上； ③点P在圆内． （2）点与圆的位置关系： ①点P在___________； ②点P在圆上； ③点P在圆内． 自主检测已知圆，则“点在圆外”是“点在圆外”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 知识点3：直线与圆的位置关系判断 （1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系） 圆心到直线的距离，则： 直线与圆___________，交于两点，； 直线与圆___________； 直线与圆___________ （2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数） 由，消元得到一元二次方程，判别式为，则： 直线与圆___________； 直线与圆___________； 直线与圆___________． 【常用结论】 关于圆的切线的几个重要结论 （1）过圆上一点的圆的切线方程为． （2）过圆上一点的圆的切线方程为 （3）过圆上一点的圆的切线方程为 （4）求过圆外一点的圆的切线方程时，应注意理解 ①所求切线一定___________； ②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于的方程，求出值．若求出的值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意． 自主检测已知关于的方程有两个相异实根，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 题型1 圆的方程 例1-1圆的面积（　　） A．有最小值 B．有最大值 C．没有最值 D．为定值 例1-2（2025·天津武清·模拟预测）若直线经过圆的圆心，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 方法技巧 【变式训练1-1】“关于x，y的方程：表示圆”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练1-2】已知A、B是圆C：上的两点，且，点O为坐标原点，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C． D． 【变式训练1-3】（2025·天津·调研）在平面直角坐标系中，点的坐标为，圆，点为轴上一动点.现由点向点发射一道粗细不计的光线，光线经轴反射后与圆有交点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型2 点与圆的位置关系 例2-1（2025·天津·联考）“”是“点在圆外部”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例2-2若直线与圆相离，则点（   ） A．在圆O外 B．在圆O内 C．在圆O上 D．与圆O的位置关系不确定 方法技巧 （1）点与圆的位置关系： ①点P在圆外；②点P在圆上； ③点P在圆内． （2）点与圆的位置关系： ①点P在圆外；②点P在圆上； ③点P在圆内． 【变式训练2-1】已知圆上所有点都在第二象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】（2025·天津·二模）已知直线，圆，则“点在圆C外”是“直线l与圆C相交”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式训练2-3·变载体】（2025·天津·二模）已知圆，点在直线上，若圆上存在两点，使得，则点的横坐标的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型3 与圆有关的轨迹问题 例3-1（2025·天津·调研）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A．( B． C． D． 例3-2已知动点与两个定点，的距离之比为2，那么直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 方法技巧 求与圆有关的轨迹问题的四种方法 (1) 直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解(2)定义法：根据圆的定义列方程求解 （3）几何法：利用圆的几何性质得出方程求解 (4)代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解 【变式训练3-1】在□中，，设点E为AB上靠近A点的四等分点，F在BC上运动，连接EF ，在平面内取点 G (G 在直线 EF 右侧)，使得， 连接EG 、FG， 且△EFG的面积为 ，连接DG，则DG 的最小值为（    ）    A．12 B．8 C．13 D．7 【变式训练3-2】已知，，，，，则的最大值为（    ） A． B．4 C． D． 【变式训练3-3】平面内到两个定点距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆，该圆又被称为阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是关于点的阿波罗尼斯圆，其方程为，为定点，且，若点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型4 直线与圆相交 例4-1（2025·天津·调研）已知圆，直线l与圆C相切，且在坐标轴上的截距的绝对值相等，这样的直线l有（   ） A．3条 B．4条 C．5条 D．6条 例4-2圆与直线的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定的 方法技巧 （1）研究直线与圆的相交问题，应牢牢记住三长关系，即半径长、弦心距和半径之间形成的数量关系 （2）弦长问题 ①利用垂径定理：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法 ②利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长 ③利用弦长公式：设直线，与圆的两交点，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长： 【变式训练4-1】已知实数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】已知圆C：，直线l：，若直线l与圆C交于A，B两点，且满足，则实数m的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-3·变载体】（2024·天津静海·模拟预测）已知圆与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（    ） A． B． C．5 D． 题型5 直线与圆相切、相离 例5-1（2025·天津武清·一模）从点向圆引切线，则切线长的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 例5-2已知点，线段为的一条直径．设过点且与相切的两条直线的斜率分别为，则（　　） A． B． C． D． 方法技巧 关于圆的切线的几个重要结论 （1）过圆上一点的圆的切线方程为． （2）过圆上一点的圆的切线方程为 （3）过圆上一点的圆的切线方程为 【变式训练5-1】《测圆海镜》是元代李治所著的中国古代数学著作，其中介绍了与直角三角形斜边相切的旁切圆问题．已知在中，，，，点在第一象限，直线的方程为，圆与延长线、延长线及线段都相切，则圆的标准方程为 ． 【变式训练5-2】一束光线从点发出，经直线上的点处反射后与圆相切于点，则光程长 ． 【变式训练5-3】过圆上的一动点作圆的两条切线，则圆内不在任何切点弦（两个切点之间的线段称为切点弦）上的点形成的区域的面积为 ． 1．（2025·天津·高考真题），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则 ． 2．（2024·天津·高考真题）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为 ． 3．（2023·天津·高考真题）已知过原点O的一条直线l与圆相切，且l与抛物线交于点两点，若，则 ． 4．（2005·天津·高考真题）给出下列三个命题： ①若，则； ②若正整数m和n满足，则； ③设为圆上任一点，圆以为圆心且半径为1．当时，圆与圆相切． 其中假命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（2007·天津·高考真题）设椭圆的左、右焦点分别为，，A是椭圆上的一点，，原点O到直线的距离为． (1)证明； (2)求使得下述命题成立：设圆上任意点处的切线交椭圆于两点，则． 6．（2006·天津·高考真题）若半径为1的圆分别与y轴的正半轴和射线相切，则这个圆的方程为 ． 7．（2022·天津·高考真题）若直线被圆截得的弦长为，则的值为 ． 1．与圆及圆都外切的圆的圆心在（    ） A．椭圆上 B．双曲线上的一支上 C．抛物线上 D．圆上 2．如图，已知动圆M与两个定圆和分别外切，则动圆圆心M的轨迹是什么图形？    3．某同学在完成“已知圆与圆相交于A，B两点，求直线AB的方程”的题目时，发现了一个现象：求得的公共弦AB（即两个圆相交时，两个交点的连线）所在直线的方程恰好与两个圆的方程相减消掉二次项，后所得的方程一样．由此，他提出了一个猜想：对于两个圆与，直线就是两个圆的公共弦所在直线的方程． 你认为他的猜想对吗？请说明理由． 4．已知圆，圆．试求为何值时，两圆： (1)相切； (2)相交； (3)外离； (4)内含． 5．已知圆与圆外切，并且与直线相切于点，求圆的方程． 6．河道上有一座圆拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面9m，拱圈内水面宽22m．一条船在水面以上部分高6.5m，船顶部宽4m，可以通行无阻．近日水位暴涨了2.7m，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞．试问：船身应该降低多少？（精确到0.1m,参考数据）      又圆心在轴上，故可设， 因为，所以，解得，则 所以圆拱桥所在圆的方程为， 7．已知点到两个定点，的距离之比为2，求x，y满足的关系式，并指出满足条件的点M所构成的曲线． 8．已知 的三个顶点为，，，求外接圆的方程． 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 直线与圆 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 4 知能解码 4 知识点1 圆的定义和圆的方程 4 知识点2 点与圆的位置关系判断 5 知识点3 直线与圆的位置关系判断 5 题型破译 7 题型1 圆的方程 7 题型2 点与圆的位置关系 10 题型3 与圆有关的轨迹问题 13 题型4 直线与圆相交 17 题型5 直线与圆相切、相离 20 04真题溯源·考向感知 24 05课本典例·高考素材 27 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）圆的定义和圆的方程 （2）点与圆的位置关系判断 （3）直线与圆的位置关系判断 单选题 多选题 填空题 解答题 2025年天津卷，第12题,5分 2024年天津卷，第12题,5分 2023年天津卷，第12题,5分 考情分析： 本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给给出圆，要求解出圆的弦长、切线与最值相关问题。设题稳定，难度中档，分值为5分 复习目标： 1.理解、掌握圆的方程的概念，能够求解圆的标准方程与一般方程 2.能掌握直线与圆的位置关系 3.具备数形结合的思想意识，会借助几何图形，解决直线与圆的位置关系 4.会解切线方程与弦长问题。 知识点1：圆的定义和圆的方程 1、平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆． 2、圆的四种方程 （1）圆的标准方程：，圆心坐标为（a，b），半径为 （2）圆的一般方程：，圆心坐标为，半径 （3）圆的直径式方程：若，则以线段AB为直径的圆的方程是 （4）圆的参数方程： ①的参数方程为（为参数）； ②的参数方程为（为参数）． 自主检测圆关于直线对称的圆的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出已知圆的圆心关于直线的对称点即所求圆的圆心，两圆半径相同，得到所求圆. 【详解】由，得圆心为，半径， 设圆心关于直线的对称点为， 则 解得 故所求圆的方程为． 故选：C. 知识点2：点与圆的位置关系判断 （1）点与圆的位置关系： ①点P在圆外； ②点P在圆上； ③点P在圆内． （2）点与圆的位置关系： ①点P在圆外； ②点P在圆上； ③点P在圆内． 自主检测已知圆，则“点在圆外”是“点在圆外”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】依据点与圆的位置关系推断出点到圆心距离与半径的关系，进而判断充分性与必要性. 【详解】点到圆心距离. 点到圆心距离. 先判断充分性. 因点在圆外，故，即，故，即点在圆外. 故“点在圆外”是“点在圆外”的充分条件. 再判断必要性. 因点在圆外，故，但不能判断与的大小关系. 故“点在圆外”不是“点在圆外”的必要条件. 综上，“点在圆外”是“点在圆外”的充分不必要条件. 故选：. 知识点3：直线与圆的位置关系判断 （1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系） 圆心到直线的距离，则： 直线与圆相交，交于两点，； 直线与圆相切； 直线与圆相离 （2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数） 由，消元得到一元二次方程，判别式为，则： 直线与圆相交； 直线与圆相切； 直线与圆相离． 【常用结论】 关于圆的切线的几个重要结论 （1）过圆上一点的圆的切线方程为． （2）过圆上一点的圆的切线方程为 （3）过圆上一点的圆的切线方程为 （4）求过圆外一点的圆的切线方程时，应注意理解 ①所求切线一定有两条； ②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于的方程，求出值．若求出的值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意． 自主检测已知关于的方程有两个相异实根，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】问题转换成直线与半圆的交点个数，即可求解. 【详解】不妨令， 则由得， 直线经过定点， 如图，当直线与半圆相切时， ， 当直线与半圆恰有两个公共点时符合题意， 数形结合可知，的取值范围为．    故选：A 题型1 圆的方程 例1-1圆的面积（　　） A．有最小值 B．有最大值 C．没有最值 D．为定值 【答案】A 【分析】将圆的方程化为标准形式，即可确定半径的最值，进而判断各项的正误. 【详解】方程可化为， 当时，圆的最小半径为1，此时最小为，但无最大值. 故选：A 例1-2（2025·天津武清·模拟预测）若直线经过圆的圆心，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线过圆心得到，再结合乘“1”法即可求解. 【详解】由，可得圆心坐标， 因为直线过圆心， 所以，即， 所以 （当且仅当，即）取等号， 所以的最小值为， 故选：B 方法技巧 【变式训练1-1】“关于x，y的方程：表示圆”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据方程表示圆求出参数的取值范围，再由充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若表示圆，则，解得或， 故“关于x，y的方程：表示圆”是“”的必要不充分条件． 故选：A 【变式训练1-2】已知A、B是圆C：上的两点，且，点O为坐标原点，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】确定圆C的圆心和半径，进而确定点H在以C为圆心，半径为1的圆上，结合向量的模的几何意义以及圆的性质，即可求得答案. 【详解】由于，即为， 故圆C的圆心为，半径为2， 设H为的中点，则，结合，得, 即点H在以C为圆心，半径为1的圆上；    又，则 而， 故的最小值为，则的最小值为， 故选：D 【变式训练1-3】（2025·天津·调研）在平面直角坐标系中，点的坐标为，圆，点为轴上一动点.现由点向点发射一道粗细不计的光线，光线经轴反射后与圆有交点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知确定圆关于对称的圆的圆心为，半径为1，根据反射光与圆有交点，即直线与对称圆有交点，应用点线距离公式列不等式求参数范围. 【详解】由题设，圆心，半径， 所以关于对称的圆的圆心为，半径为1， 而，要使光线经轴反射后与圆有交点， 只需，可得， 所以，则， 所以. 故选：D 题型2 点与圆的位置关系 例2-1（2025·天津·联考）“”是“点在圆外部”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由点在圆外结合二次方程表示圆的条件可将“点在圆外部”化为，据此可得答案. 【详解】因点在圆外部， 则，即， 解得：. 注意到是的真子集， 则由“”不能得到“点在圆外部”， 由“点在圆外部”可得到“”， 即“”是“点在圆外部”的必要不充分条件. 故选：B 例2-2若直线与圆相离，则点（   ） A．在圆O外 B．在圆O内 C．在圆O上 D．与圆O的位置关系不确定 【答案】B 【分析】根据已知直线与圆相离，得到圆心到直线的距离大于半径，进行计算求解. 【详解】由题意，圆的圆心为，半径.直线到圆心的距离为，根据相离条件，即，整理得，这表明点到原点的距离的平方小于4，即点在圆内部. 故选：B. 方法技巧 （1）点与圆的位置关系： ①点P在圆外；②点P在圆上； ③点P在圆内． （2）点与圆的位置关系： ①点P在圆外；②点P在圆上； ③点P在圆内． 【变式训练2-1】已知圆上所有点都在第二象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简圆的表达式，得出圆心坐标和半径，利用所有点都在第二象限，即可得出的取值范围. 【详解】由题意， 在圆中，， ∴圆心坐标为，半径为3．    ∵圆上所有点都在第二象限， ∴，解得． 故选：C. 【变式训练2-2】（2025·天津·二模）已知直线，圆，则“点在圆C外”是“直线l与圆C相交”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用充要条件的定义，结合点与圆的位置、点到直线的距离公式求解判断. 【详解】由点在圆C外，得，则圆心C到直线l的距离， 因此直线l与圆C相交，即“点在圆C外”是“直线l与圆C相交”的充分条件； 由直线l与圆C相交，得圆心C到直线l的距离，则， 因此点在圆C外，即“点在圆C外”是“直线l与圆C相交”的必要条件， 所以“点在圆C外”是“直线l与圆C相交”的充要条件. 故选：C 【变式训练2-3·变载体】（2025·天津·二模）已知圆，点在直线上，若圆上存在两点，使得，则点的横坐标的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断出与相离，根据圆的性质以及勾股定理，设点的坐标为，从而得到不等式，求出答案. 【详解】由题意可得圆心，到的距离为， 故与相离， 根据圆上存在两点使得，即三点共线， 且，其中最大值为圆的直径2，故的最大值为1， 过作， 设，则， 故, 由于，故 设点的坐标为，则有， 求得. 故选：D． 题型3 与圆有关的轨迹问题 例3-1（2025·天津·调研）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A．( B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，由，得到，代入圆方程即可求解. 【详解】设，，由，得， 所以， 又因为点在圆上， 所以，即. 故选：B 例3-2已知动点与两个定点，的距离之比为2，那么直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用直接法求点的轨迹，过点作圆的切线，连接，利用对称即可得出直线的斜率范围 【详解】设动点，则，化简得， 所以点的轨迹为圆， 如图，过点作圆的切线，连接，则，， 所以，同理，则直线的斜率范围为 故选：C 方法技巧 求与圆有关的轨迹问题的四种方法 (1) 直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解(2)定义法：根据圆的定义列方程求解 （3）几何法：利用圆的几何性质得出方程求解 (4)代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解 【变式训练3-1】在□中，，设点E为AB上靠近A点的四等分点，F在BC上运动，连接EF ，在平面内取点 G (G 在直线 EF 右侧)，使得， 连接EG 、FG， 且△EFG的面积为 ，连接DG，则DG 的最小值为（    ）    A．12 B．8 C．13 D．7 【答案】D 【分析】先根据几何关系分析出点在圆上运动，再利用点到圆心的距离减去半径即可得到DG 的最小值. 【详解】作，垂足为，在上右侧取点，使得， 由于，，点E为AB上靠近A点的四等分点， 则，，，， 由于，则， 在直角中，可得， 由，可得， 作，垂足为，则在直角中，， 所以，点与点重合，所以， 取中点，则， 所以点在以为圆心，6为半径的圆上， 分别过点，点作的垂线，垂足为，， 则，，， ，， 所以的水平距离为12，垂直距离为5，可得， 当共线且按照此顺序排列时，的最小值为， 故选：D.    【变式训练3-2】已知，，，，，则的最大值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】设，，，，，将题干翻译成对应点的轨迹，再根据平面几何知识即可求解. 【详解】如图：不妨设，，，，， 又，即， 也即动点到两定点的距离之和等于，故点的轨迹为线段， 又因，即，即， 故点的轨迹是以点为圆心，半径为1的圆， 而， 当且仅当为的延长线与圆的交点时等号成立（即图中的或处）， 故要求的最大值，只需求的最大值，由图可知，当与或重合时最大， 此时，故的最大值为. 故选：D      【变式训练3-3】平面内到两个定点距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆，该圆又被称为阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是关于点的阿波罗尼斯圆，其方程为，为定点，且，若点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设由题意结合阿波罗尼斯圆定义确定，可得，即可求出Q点坐标，结合平面图形性质即可求得答案.另解：阿波罗尼斯圆中定点未知，需根据“两定点和圆心三点共线”及“性质3的相似比”求出点坐标． 【详解】由动点的轨迹是关于的阿氏圆知点在轴上，设，， 所以．又，所以． 由动点的轨迹是，可知，整理得． 所以，解得，所以． 又,， 所以， 当三点共线时等号成立． 另解：由题意可得圆是关于定点的阿波罗尼斯圆，且，则， 根据点，阿氏圆的圆心三点共线可知点在轴上，且， 可知点的坐标为，所以， 由图形可知，当点位于或时取得最小值，且最小值为． 故选：C 题型4 直线与圆相交 例4-1（2025·天津·调研）已知圆，直线l与圆C相切，且在坐标轴上的截距的绝对值相等，这样的直线l有（   ） A．3条 B．4条 C．5条 D．6条 【答案】B 【分析】根据题意，分直线过原点和直线不过原点，两种情况讨论，设出直线的方程，结合直线与圆的位置关系，列出方程，即可求解. 【详解】由圆，可得圆心，半径为， （1）若直线过原点且与圆C相切时，设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离为， 令，可得，解得，即切线方程为和； （2）若直线不过原点且与圆C相切时，要使得直线在坐标轴上的截距的绝对值相等， 则直线的斜率分别为或， 当时，设直线的方程为，其中 则圆心到直线的距离为，令，可得， 解得或（舍去），即切线方程为； 当时，设直线的方程为，其中 则圆心到直线的距离为，令，可得， 解得或（舍去），即切线方程为， 综上可得，满足条件的切线方程共有4条. 故选：B. 例4-2圆与直线的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定的 【答案】A 【分析】求出圆心到直线距离，进而判断位置关系. 【详解】圆圆心到直线的距离， 所以圆与直线的位置关系是相交. 故选：A 方法技巧 （1）研究直线与圆的相交问题，应牢牢记住三长关系，即半径长、弦心距和半径之间形成的数量关系 （2）弦长问题 ①利用垂径定理：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法 ②利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长 ③利用弦长公式：设直线，与圆的两交点，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长： 【变式训练4-1】已知实数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，运用转化思想，把问题转化为直线与圆有公共点问题，结合点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】设， 问题可转化为直线与圆有公共点． 由，得，所以的取值范围为， 故选：A 【变式训练4-2】已知圆C：，直线l：，若直线l与圆C交于A，B两点，且满足，则实数m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先得到圆心和半径，根据求出，故点C到直线l的距离为，利用点到直线距离公式得到方程，求出. 【详解】根据题意，圆C的圆心为，半径为4，直线l：， 因为，其中，所以， 解得，可得， 所以点C到直线l的距离为，则， 可得（舍）或. 故选：D. 【变式训练4-3·变载体】（2024·天津静海·模拟预测）已知圆与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（    ） A． B． C．5 D． 【答案】C 【分析】先求出双曲线的渐近线方程，根据圆的方程得出圆心和半径，利用点到直线距离公式求出圆心到渐近线的距离，再利用相切关系得出圆心到直线的距离等于半径构造方程求出的关系，结合离心率公式求解． 【详解】    双曲线的渐近线为，即， 由圆的方程得圆心为， 圆心到渐近线的距离， 又圆与双曲线渐近线相切，圆半径， ，解得， ． 故选：C． 题型5 直线与圆相切、相离 例5-1（2025·天津武清·一模）从点向圆引切线，则切线长的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】可知点在直线上，根据题意利用勾股定理求切线长，结合圆的性质求最小值. 【详解】圆的圆心为，半径， 点在直线上， 则圆心到直线的距离， 可知直线与圆相离， 设其中一个切点为A， 则切线长， 所以切线长的最小值为. 故选：C. 例5-2已知点，线段为的一条直径．设过点且与相切的两条直线的斜率分别为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据可得圆心和半径，进而根据点到直线的距离公式，结合相切即可求解. 【详解】由于点，线段为的一条直径，故圆心,即，圆的半径为, 由题意可知两条切线的斜率均存在，故设切线方程为， 由相切可得，化简可得， 故是方程的两个根，故 故选：D 方法技巧 关于圆的切线的几个重要结论 （1）过圆上一点的圆的切线方程为． （2）过圆上一点的圆的切线方程为 （3）过圆上一点的圆的切线方程为 【变式训练5-1】《测圆海镜》是元代李治所著的中国古代数学著作，其中介绍了与直角三角形斜边相切的旁切圆问题．已知在中，，，，点在第一象限，直线的方程为，圆与延长线、延长线及线段都相切，则圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】利用图形确定圆心在的角平分线所在直线上，且在直线上方，列方程即可求圆心坐标与半径. 【详解】由题意可知,直线的方程为， 所以直线的方程为， 联立直线和的方程可以得到：，所以, 由圆与延长线、延长线都相切，可知圆心在的角平分线所在直线上．设，由题意，点在直线上方，故， 由直线和圆相切得到：，解得，所以， 圆的半径，所以，所以圆的标准方程为．    故答案为：． 【变式训练5-2】一束光线从点发出，经直线上的点处反射后与圆相切于点，则光程长 ． 【答案】 【分析】求出点关于直线的对称点，将问题转化为求，最后利用切线长公式计算即可. 【详解】如图，设点关于直线的对称点， 则，解得，即， 圆心，半径， 则． 故答案为： 【变式训练5-3】过圆上的一动点作圆的两条切线，则圆内不在任何切点弦（两个切点之间的线段称为切点弦）上的点形成的区域的面积为 ． 【答案】/ 【分析】方法一，设是切点弦，连接交于，由求得点到直线的距离，进而求出区域面积；方法二，设点，则，“留一代一”求得切点弦方程，求出点到直线的距离，进而求出区域面积. 【详解】 方法一：如图所示，是切点弦，连接交于，若圆内的点不在任何切点弦上，则该点到圆的圆心的距离应小于，这些点构成了以原点为圆心，半径为的圆的内部． 连接，由题意知，，， 则，所以，则原点到直线的距离为定值， 故切点弦始终与圆相切，在圆内不与切点弦相交的区域面积为． 方法二：如图所示，弦即为点所对应的切点弦，设点，则，弦所在直线方程为． 因为原点到直线的距离为， 故圆内不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为． 故答案为：. 1．（2025·天津·高考真题），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则 ． 【答案】2 【分析】先根据两点间距离公式得出，再计算出圆心到直线的距离，根据弦长公式列等式求解即可. 【详解】因为直线与轴交于，与轴交于，所以，所以， 圆的半径为，圆心到直线的距离为， 故，解得； 故答案为：2. 2．（2024·天津·高考真题）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为 ． 【答案】/ 【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求及的方程，从而可求原点到直线的距离. 【详解】圆的圆心为，故即， 由可得，故或（舍）， 故，故直线即， 故原点到直线的距离为， 故答案为： 3．（2023·天津·高考真题）已知过原点O的一条直线l与圆相切，且l与抛物线交于点两点，若，则 ． 【答案】 【分析】根据圆和曲线均关于轴对称，不妨设切线方程为，，即可根据直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系解出． 【详解】易知圆和曲线均关于轴对称，不妨设切线方程为，， 所以，解得：，由解得：或， 所以，解得：． 当时，同理可得． 故答案为：． 4．（2005·天津·高考真题）给出下列三个命题： ①若，则； ②若正整数m和n满足，则； ③设为圆上任一点，圆以为圆心且半径为1．当时，圆与圆相切． 其中假命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题应对每个命题作出准确判断，①考查不等式性质，通分对分子做差判断正负即可；②用基本不等式判断；③考查两圆的位置关系，关键是找出点P（x1，y1）与点Q（a，b）的位置关系. 【详解】解：①a≥b＞﹣1时，由于a（1+b）﹣b（1+a）＝a﹣b≥0，故≥成立，所以①为真命题； ②由基本不等式可知：，当且仅当时，等号成立，所以②为真命题； ③中P（x1，y1）为圆O1：x2+y2＝9上任一点，（a﹣x1）2+（b﹣y1）2＝1表示P（x1，y1）Q（a，b）两点间的距离为1，又圆O2以Q（a，b）为圆心且半径为1，所以圆O2与圆O1有公共点，但不一定相切.故③是假命题. 故选：B 5．（2007·天津·高考真题）设椭圆的左、右焦点分别为，，A是椭圆上的一点，，原点O到直线的距离为． (1)证明； (2)求使得下述命题成立：设圆上任意点处的切线交椭圆于两点，则． 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）设，代入椭圆方程得，求出直线的方程，利用 原点O到直线的距离可得答案； （2）求出圆上任意点处的切线方程为，时，圆上任意点都在椭圆内，可设，联立切线方程和椭圆方程利用韦达定理得到和，若， 求出，在区间内此方程的解为，再由得，可得答案． 【详解】（1）由题设及，，不妨设， 所以，，解得，从而， 直线的方程为，整理得， 原点O到直线的距离为，将代入整理得， 即； （2）当时， 设圆上任意点处的切线的斜率为，则， ，所以，所以经过点处的切线方程为， 即， 当时，切线方程为或满足上式，所以 圆上任意点处的切线方程为， 当时，圆上任意点都在椭圆内，故此圆在点处的切线必交椭圆于两点个不同的点，因此是方程组 即的解， 当时，由得代入得，即， 于是， ， 若，则， 所以，由得，在区间内此方程的解为， 当时，必有，同理可得在区间内此方程的解为， 另一方面，时，， 从而，综上所述，使得命题成立， 6．（2006·天津·高考真题）若半径为1的圆分别与y轴的正半轴和射线相切，则这个圆的方程为 ． 【答案】 【分析】设圆心坐标，根据题意结合点到直线的距离运算求解. 【详解】由题意可设圆心， ∵圆与射线相切，则，解得或（舍去）， 即圆心为，故圆的方程为. 故答案为：. 7．（2022·天津·高考真题）若直线被圆截得的弦长为，则的值为 ． 【答案】 【分析】计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可得出关于的等式，即可解得的值. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离为， 由勾股定理可得，因为，解得. 故答案为：. 1．与圆及圆都外切的圆的圆心在（    ） A．椭圆上 B．双曲线上的一支上 C．抛物线上 D．圆上 【答案】B 【分析】根据两圆方程得出两圆的圆心坐标和半径，判断出两圆的位置关系，再利用与两圆都外切的位置关系得出圆心距离所满足的等量关系，结合圆锥曲线的定义即可得出答案. 【详解】由圆可知，圆心，半径， 圆化为标准方程， 圆心，半径， 因此圆心距，所以两圆相离， 设与两圆都外切的圆的圆心为，半径为， 则满足，所以， 即圆心的轨迹满足到两定点距离之差为定值，且定值小于两定点距离， 根据双曲线定义可知，圆心的轨迹是某一双曲线的左支， 即圆心在双曲线的一支上. 故选：B. 2．如图，已知动圆M与两个定圆和分别外切，则动圆圆心M的轨迹是什么图形？    【答案】答案见详解 【分析】就两圆半径的大小关系分类讨论，再根据曲线的定义可得相应的轨迹. 【详解】设圆的半径为，圆的半径为，动圆的半径为， 因为动圆M与两个定圆和分别外切，故，， 若，则，故的轨迹为的中垂线. 若，则， 故的轨迹为以、为焦点的双曲线的右支. 若，则， 故的轨迹为以、为焦点的双曲线的左支. 3．某同学在完成“已知圆与圆相交于A，B两点，求直线AB的方程”的题目时，发现了一个现象：求得的公共弦AB（即两个圆相交时，两个交点的连线）所在直线的方程恰好与两个圆的方程相减消掉二次项，后所得的方程一样．由此，他提出了一个猜想：对于两个圆与，直线就是两个圆的公共弦所在直线的方程． 你认为他的猜想对吗？请说明理由． 【答案】错误，理由见解析 【分析】根据两圆位置关系讨论，即可得出答案. 【详解】若两圆相交，显然联立两个圆得到方程组的解都是两个圆的方程相减消掉二次项，后所得的方程的解， 即两个公共点都满足方程，此时两个圆的方程相减消掉二次项，后所得的方程即为两个圆的公共弦所在直线的方程； 若两圆相切或相离，此时两圆没有交线， 但是两个圆的方程相减消掉二次项，后仍然得到一条直线的方程，显然此时的直线不是公共弦所在直线的方程. 故猜想错误. 4．已知圆，圆．试求为何值时，两圆： (1)相切； (2)相交； (3)外离； (4)内含． 【答案】(1)或 (2) (3) (4) 【分析】根据两圆方程可确定圆心和半径，根据两圆位置关系可得圆心距和两圆半径之间的关系，由此可构造方程或不等式求得结果. 【详解】（1）由圆方程知：圆心，半径； 由圆方程知：圆心，半径； 若两圆内切，则，即，又，； 若两圆外切，则，即，又，； 若两圆相切，则或. （2）若两圆相交，则，即， 又，，即当时，两圆相交. （3）若两圆外离，则，即    ， 又，，即当时，两圆外离. （4）若两圆内含，则，即， 又，，即当时，两圆内含. 5．已知圆与圆外切，并且与直线相切于点，求圆的方程． 【答案】或 【分析】假设圆方程，根据两圆圆心距等于半径之和、点在圆上和圆心与切点连线与切线垂直可构造方程组求得结果. 【详解】由圆的方程知：圆心，半径为； 设圆的方程为：，则圆心为，半径为， 则，解得：或， 圆的方程为：或. 6．河道上有一座圆拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面9m，拱圈内水面宽22m．一条船在水面以上部分高6.5m，船顶部宽4m，可以通行无阻．近日水位暴涨了2.7m，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞．试问：船身应该降低多少？（精确到0.1m,参考数据）    【答案】0.4m 【分析】建立坐标系，确定圆的方程，再令，即可求得通过桥洞，船身至少应该降低多少． 【详解】以正常水位时河道中央为原点，过点垂直于水面的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 如图所示，则，，三点的坐标分别为，，，   又圆心在轴上，故可设， 因为，所以，解得，则 所以圆拱桥所在圆的方程为， 当时，， ，因为水位暴涨了， 所以船身要降低，才能顺利地通过桥洞． 7．已知点到两个定点，的距离之比为2，求x，y满足的关系式，并指出满足条件的点M所构成的曲线． 【答案】，为以点为圆心，4为半径的圆. 【分析】根据给定条件，结合两点间距离公式列出方程，再化简并指出曲线作答. 【详解】依题意，点M满足，而，， 于是，化简整理，得， 反之，当x，y满足时，即， 则，因此，即点M到A，B的距离之比为2， 所以x，y满足的关系式为； 由，得， 所以满足条件的点M所构成的曲线为以点为圆心，4为半径的圆. 8．已知 的三个顶点为，，，求外接圆的方程． 【答案】 【分析】根据圆的一般式列方程求解. 【详解】设所求圆的方程为, 因为点，，在所求的圆上， 所以，解得， 故所求圆的方程是． 2 / 50 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $