重难点培优01 直线与圆题型分类（复习讲义）（天津专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

重难点培优01 直线与圆题型分类 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 3 题型一 直线与圆的位置关系判断或求参（★★） 3 题型二 求圆的切线方程（★★★） 7 题型三 与切线长有关的问题（★★★★） 11 题型四 切点弦及弦长问题（★★★★★） 14 题型五 圆上的点到直线的距离求最值（★★★★） 17 03 实战检测・分层突破验成效 21 检测Ⅰ组 重难知识巩固 21 检测Ⅱ组 创新能力提升 30 一、直线与圆的位置关系 1、几何法判断直线与圆的位置关系： 直线与圆，圆心到直线的距离 （1）直线与圆相离无交点； （2）直线与圆相切只有一个交点； （3）直线与圆相交有两个交点. 2、代数法判断直线与圆的位置关系： 联立直线方程与圆的方程，得到，通过解的个数来判断： （1）当时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交； （2）当时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切； （3）当时，直线与圆没有交点，直线与圆相离； 二、直线与圆相交时的弦长求法： 1、几何法：利用圆的半径，圆心到直线的距离，弦长之间的关系， 整理出弦长公式为： 2、代数法：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长； 3、弦长公式法：设直线与圆的交点为，，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得到弦长 三、直线与圆相切时的切线问题 1、求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程。 （1）若点在圆上（即为切点），则过该点的切线只有一条； （2）若点在圆外，过该点的切线有两条，此时应注意切线斜率不存在的情况 【注意】过圆内一点，不能作圆的切线。 2、求过圆上一点的切线方程 法一：先求出切点与圆心的连线斜率， 若不存在，则结合图形可直接写出切线方程； 若，则结课图形可直接写出切线方程； 若存在且，则由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式写出切线方程。 法二：若不存在，验证是否成立； 若存在，设点斜式方程，用圆心到直线的距离等于半径列方程，解出方程即可。 3、过圆外一点的圆的切线方程 法一：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即 由圆心到直线的距离等于半径，即可求出的值，进而写出切线方程； 法二：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即 代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由，求得，切线方程即可求出。 四、与圆的切线相关的结论 1、过圆上一点的圆的切线方程为； 2、过上一点的圆的切线方程为 3、过外一点作圆的两条切线，切点分别为， 则切点弦所在直线方程为： 4、若圆的方程为， 则过圆外一点的切线长为. 5、圆心的三个重要几何性质： （1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上； （2）圆心在某一条弦的中垂线上； （3）两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。 题型一 直线与圆的位置关系判断或求参 【技巧通法·提分快招】 联立直线方程与圆的方程，得到，通过解的个数来判断： （1）当时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交； （2）当时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切； （3）当时，直线与圆没有交点，直线与圆相离； 1．（2025·天津蓟州·调研）已知直线与圆，点， ①若点在圆上，则直线与圆相切   ②若点在圆内，则直线与圆相交 ③若点在圆外，则直线与圆相离   ④若点在直线上，则直线与圆相切 则上述说法正确的是 ． 【答案】①④ 【分析】圆心到直线的距离， 结合直线与圆的位置关系相应条件判断即可. 【详解】圆心到直线的距离， 对于①，若点在圆上，则，所以，直线与圆相切，故①正确； 对于②，若点在圆内，则，所以，直线与圆相离，故②错误； 对于③，若点在圆外，则，所以，直线与圆相交，故③错误； 对于④，若点在直线上，则，即， 所以，直线与圆相切，故④正确. 故答案为：①④. 2．（2025·天津北辰·期中）若圆上仅有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】与已知直线平行且到它的距离等于1的两条直线，分别与圆相交、相离即可得的取值范围． 【详解】作与直线平行，且到直线的距离等于1的两条直线， 圆的圆心为原点， 原点到直线的距离为， 两条平行线中与圆心距离较远的一条到原点的距离为， 较近的一条到原点的距离为， 又圆上有2个点到直线的距离为1， 两条平行线中与圆心较近的与圆有2个公共点， 与圆心较远的直线与圆无交点即可，如图，    由此可得圆的半径， 故选：B 3．（2025·天津北辰·期中）已知直线和圆. (1)求圆的圆心、直径; (2)求证：无论为何值，直线总与圆有交点; (3)为何值时，直线被圆截得的弦最短?并求出最短弦长度. 【答案】(1)圆心，直径10； (2)证明见解析； (3)当时，直线被圆截得的弦最短，弦长为. 【分析】（1）化圆的方程为标准形式求出圆心和直径. （2）利用直线经过的定点在圆内可证结论成立. （3）设圆心到直线的距离为，直线被圆截得的弦为，根据弦长公式可知最大即时，弦长最短，由此可求得结果. 【详解】（1）圆， 所以圆的圆心，直径10. （2）由，得， 由，解得，因此直线经过定点， 而，即定点在圆内， 所以无论为何值，直线总与圆有交点. （3）设圆心到直线的距离为，直线被圆截得的弦为， 则，且当最大值时，弦长最小， 而，当且仅当时，取最大值， 取最小值，又直线的斜率，则，， 所以当时，直线被圆截得的弦最短，弦长为. 4．（2025·天津·期中）已知直线与圆，若点为直线上的一个动点，下列说法正确的序号是 . ①直线与圆相离 ②圆关于直线对称的圆的方程为 ③若点为圆上的动点，则的取值范围为 ④过点的圆的最短弦长为 ⑤圆与圆C的公共弦所在直线方程与垂直 【答案】①③④ 【分析】根据圆心到直线的距离即可求解判断①②③；利用圆的性质求出最短弦长判断④；利用相交两圆的性质求解判断⑤. 【详解】对于①，圆的圆心，半径为， 点到直线的距离为，直线l与圆C相离，①正确； 对于②，设圆C关于直线l对称的圆的圆心为，则， 解得，所求圆的圆心为，圆C关于直线l对称的圆的方程为，②错误； 对于③，圆上的点Q到直线的最小距离为，的取值范围为，③正确； 对于④，点在圆内，它到圆心的距离， 所以过点的圆的最短弦长为，④正确； 对于⑤，圆的圆心，半径， ，则圆与圆相交，直线为圆与圆的公共弦垂直， 而，的斜率为， 所以线与不平行，则公共弦所在直线方程与不垂直，⑤错误， 所以正确的序号是①③④. 故答案为：①③④ 5．（2025·天津武清·期中）给出下列命题： （1）直线与线段相交，其中，，则实数的取值范围是； （2）若点关于直线的对称点为，则的坐标为； （3）圆上恰有3个点到直线的距离为1． 其中正确的命题有 ．（把所有正确的命题的序号都填上） 【答案】（2）（3） 【分析】对于（1）：根据直线斜率公式以及图象分析判断；对于（2）根据中点和垂直关系分析判断；对于（3）根据点到直线的距离公式结合圆的性质分析判断. 【详解】（1）直线过定点，则，， 由图象可知：直线与线段AB相交，则，故（1）不正确； （2）假设点关于直线的对称点为， 则的中点坐标为， 此时，即中点在直线上， 又因为，直线的斜率是2，相乘等于， 可知与直线垂直， 所以假设成立，故（2）正确； （3）圆的圆心为，半径， 圆心C到直线l的距离为， 与直线l距离为1的两条直线一条与圆相交，一条与圆相切， 因此圆上有个点到直线的距离为，（3）正确； 故答案为：（2）（3）． 题型二 求圆的切线方程 【技巧通法·提分快招】 法一：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即 由圆心到直线的距离等于半径，即可求出的值，进而写出切线方程； 法二：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即 代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由，求得，切线方程即可求出。 1．（2025·天津南开·开学考试）已知的左焦点为上一动点，射线与交于点，点在的切线与点在的切线交于点，求证：点的横坐标为定值. 【答案】证明见解析 【分析】方法一：先将直线的方程表示出来，联立直线方程组即可求出点的横坐标为0. 方法二：设，根据已知条件列出等式，然后求得直线的方程，最后联立方程组即可得到结果. 【详解】法一：设，令 则，，联立方程解得 因有①， 将代入①得（因）代入（）得 法二：设，令 则①代入得 又，则，代入①得② ，将②代入得，整理得 ③，又④，联立③④得 因，故 2．（2025·天津河西·一模）已知抛物线上位于第一象限内的点到抛物线的焦点的距离为5，过点作圆的切线，切点为，则 ． 【答案】 【分析】先根据抛物线的定义求出点的坐标，再将圆的方程化为标准方程，得到圆心坐标和半径，最后根据切线的性质，利用勾股定理求值. 【详解】在抛物线中，，则，所以焦点，准线方程为． 设点，根据抛物线的定义，可得， 解得．把代入，得， 因为，所以，即． 圆，圆心为，半径， 故． 故答案为：． 3．（2025·天津·期末）已知圆C 直线l过点，若直线l与圆C相切，则直线l的方程为 . 【答案】或 【分析】利用圆心到直线的距离等于半径求解. 【详解】当切线的斜率存在时，可设直线：， 即， 圆心到直线的距离为，解得， 故直线的方程为； 当直线的斜率不存在时，直线：，圆心到直线的距离为1，符合题意； 所以直线l的方程为或. 故答案为：或. 4．（2025·天津西青·期末）已知圆的方程为：. (1)若直线与圆C相交于两点，且，求实数的值； (2)过点作圆C的切线，求切线方程. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）由圆的方程可得圆心与半径，利用点到直线距离公式以及弦长公式，可得答案； （2）利用分类讨论思想，分斜率存在与不存在两种情况，根据切线的判定，结合点到直线距离公式，可得答案. 【详解】（1）圆的方程为：，则圆的圆心为，半径为2， 直线与圆相交于，两点，且， 圆心到直线的距离， ，，解得或. （2）由已知得，点在圆外， 切线的斜率不存在时，直线，与圆相切； 切线的斜率存在时，可设切线为，即， 由切线的定义可知，，解得， 故切线方程为； 综上所述，切线方程为或. 5．（2025·天津河北·期末）设F是双曲线（，）的右焦点，O为坐标原点，过F作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为H，若的内切圆与x轴切于点B，且，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出，由，通过运算得到，再利用之间的关系得到关于的方程，解出即可. 【详解】双曲线的渐近线方程为：，即， 到渐近线的距离为， ，则直角三角形的内切圆的半径， 如图，设三角形的内切圆与切于，则，， 可得，， 即，则， 所以， 由，，，. 故选：A. 题型三 与切线长有关的问题 【技巧通法·提分快招】 若圆的方程为， 则过圆外一点的切线长为. 1．（2025·天津河西·期末）已知点在抛物线上，过点作圆的切线，若切线长为，则点到的准线的距离为 . 【答案】 【分析】设，结合圆的切线的性质可得，解出即可得点横坐标，再利用抛物线定义即可得解. 【详解】设，由切线定义可得， 化简得，即，则， 抛物线焦点坐标为，， 由抛物线定义可得点到的准线的距离等于， 即点到的准线的距离为. 故答案为：. 2．（2025·天津南开·期中）已知点P在圆上，点则下列叙述错误的是（   ） A．当最小时 B．当最大时， C．点P到直线AB的距离小于7 D．点P到直线AB的距离大于1 【答案】C 【分析】首先判断点与圆的位置关系并确定圆心、半径，再数形结合确定取最值时对应线段长度，利用圆心到定直线距离求圆上点到定直线距离范围判断各项正误. 【详解】由，， 所以都在圆外，且,圆心为，半径为3，如图所示， 若与圆分别相切于，显然直线，且时最小， 结合图知，此时，A对； 根据切线关于对称，时最大，此时也成立，B对； 由题意，，则到直线AB的距离， 所以点P到直线AB的距离的范围为，而，则C错，D对.    故选：C 3．（2025·天津滨海新·调研）已知点P是圆C: 上的动点，点，则线段中点的轨迹方程是 ；若直线，为直线上的动点，过点作轨迹的切线，切点为A、B，设轨迹的圆心为，当四边形的面积最小时，面积为 . 【答案】 【分析】（1）设，，则，代入中，求出的轨迹方程；的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，数形结合得到四边形的面积最小，只需最小，由点到直线距离可得的最小值为，求出的最小值，得到面积最小值. 【详解】设，，则，解得， 则，将其代入中得，， 化简得， 的轨迹为以为圆心，1为半径的圆， 因为⊥，⊥，且与全等，， 故四边形的面积最小，只需最小即可， 由勾股定理得，故只需最小， 圆心到的距离， 故的最小值为，的最小值为， 则面积最小值为 故答案为：； 4．（2024·天津北辰·三模）过抛物线的焦点作圆：的两条切线，切点分别为，若为等边三角形，则的值为 . 【答案】4 【分析】 由抛物线的性质，结合直线与圆的位置关系求解． 【详解】 如图， 过抛物线的焦点F作圆C：的两条切线，切点分别为M，N，又△FMN为等边三角形， 则在直角三角形MCF中，，， 又C(2,0)，，又， 则，即，则p＝4． 故答案为：4． 5．（2025·天津·期末）已知圆，直线，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为 . 【答案】 【分析】根据圆的性质，得到四边形面积，结合圆的弦长公式，即可求解. 【详解】如图所示，由圆，可得圆心，半径为， 则四边形面积， 要使得四边形面积的最小值，只需最小， 由圆心到直线的距离为， 所以四边形面积的最小值为. 故答案为：. 题型四 切点弦及弦长问题 【技巧通法·提分快招】 几何法：利用圆的半径，圆心到直线的距离，弦长之间的关系， 整理出弦长公式为： 弦长公式法：设直线与圆的交点为，，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得到弦长 1．（2025·天津·期中）已知：，直线：，为上的动点，过点作的切线，，切点为，，当最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由四边形PAMB等面积法将求的最小值转化为求的最小值，即：当时，取得最小值；联立与l的方程可求得点P坐标；再由点P，点M求出以PM为直径的圆的方程；两圆方程之差即为（公共弦）AB所在的直线方程. 【详解】的方程为： ① 可化为：，则圆心M（1，1），半径为2. 点M到直线l的距离为 ∴直线l与相离，则如图所示，连接AM，BM. ∴要求的最小值，只需求的最小值. ∴当时，取得最小值，即：取得最小值. ∴ ∴ 即： 联立 解得 ∴ ∵， ∴A，B也在以PM为直径的圆上. 又∵以PM为直径的圆的方程为： （或用圆的标准方程求解为：） 即： ② ∴②-①得： 故选：D. 2．（2024·天津和平·二模）过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则点到直线的距离为 ． 【答案】 【分析】根据圆的切线长定理，可知 ,设则的长度就是点到直线的距离，在中，利用相似三角形，得到比例式，可以求出,进而求出． 【详解】连接 设因为是圆的两条切线,所以 ,则,显然相似于 所以点到直线的距离为． 3．（2025·天津·一模）已知圆心位于抛物线焦点处的圆，与直线相交于、两点，且，则圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】求出抛物线的焦点坐标，并求出圆心到直线的距离，结合勾股定理可求出圆的半径长，即可得出所求圆的标准方程. 【详解】易知抛物线的焦点为，且点到直线的距离为， 故圆的半径为， 因此，所求圆的标准方程为. 故答案为：. 4．（2025·天津·期末）已知，直线恒过定点，圆的圆心与点关于直线对称，直线与圆相交于两点，且，则圆的半径为 ． 【答案】 【分析】根据题意，由直线过定点可得点的坐标，从而可得点的坐标，再由圆的弦长公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】直线的方程可化为， 令，解得，所以点的坐标为， 又圆的圆心与点关于直线对称，则， 设圆的方程为， 且圆的圆心到直线的距离为， 又，则. 即圆的半径为. 故答案为：. 5．（2025·天津·期末）已知直线．圆心为的圆经过和的交点． (1)求圆的方程； (2)经过点的直线与圆交于M，N两点，且，求的方程 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）求出交点坐标，进而得到半径，得到圆的标准方程； （2）由垂径定理得到圆心到直线的距离，利用点到直线距离公式求出答案. 【详解】（1）联立，解得， 因为圆心为的圆经过和的交点，所以圆的半径为， 所以圆的方程为． （2）①当斜率存在时，设直线的方程为， 设圆心到直线的距离为， 则由垂径定理得， 解得， 即，解得， 故直线的方程为，即， ②当斜率不存在时，直线的方程为，满足， 所以直线的方程为或. 题型五 圆上的点到直线的距离求最值 【技巧通法·提分快招】 步骤如下： 第一步：求算圆心到直线的距离 第二步：若求最大则用距离加半径，若求最小值则用距离减半径 若题干涉及的直线为动直线，先求定点，研究圆心到定点的距离然后利用数形结合处理 1．（2025·天津河东·期末）已知a，b，c成等差数列，直线与圆交于A，B两点，则的最小值为（   ） A．1 B．3 C．4 D． 【答案】C 【分析】结合等差数列性质将代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解. 【详解】因为成等差数列，所以，， 代入直线方程得， 即，令，得， 故直线恒过，设，该点在圆内， 画出直线与圆的图形，由图可知，当时，最小， ，，此时. 故选：C. 2．（2024·天津和平·三模）已知圆以点为圆心，且与直线相切，则满足以上条件的圆的半径最大时，圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】先求得直线过定点，圆的半径最大时，即为圆心和点的距离，即可求得半径，进而求得圆的标准方程. 【详解】直线，可化为， 所以，解得，所以直线过定点， 当与直线垂直时，圆的半径最大，半径为， 所以圆的标准方程为. 故答案为：. 3．（2025·天津北辰·期末）已知直线，圆，表示函数的图象. (1)写出圆的圆心坐标； (2)求圆被直线截得的弦长； (3)若点P在圆上，点Q在N上，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据圆的标准方程，即可求得圆心坐标； （2）根据题意，结合直线与圆的弦长公式，即可求解； （3）根据题意，先求得的最小值，结合圆的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由圆，可得圆心坐标为. （2）解：由（1）知圆心坐标为，半径为， 可得圆心到直线的距离为， 又由圆的弦长公式，可得弦长为. （3）解：由圆心，设是函数图象上任意一点，则， 则， 当时，可得，所以的最小值.    4．（2024·天津·期末）直线：与圆：交于、两点，点为中点，直线：与两坐标轴分别交于、两点，则面积的最大值为（    ） A． B．9 C．10 D． 【答案】D 【分析】，过定点，，，由垂径定理易知，所以点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，计算出点到的最大距离为，据此即可求出面积的最大值. 【详解】因为圆：，所以， 因为：，即，所以过定点， 直线：，令，则；令，则， 则，，，作出图象如图所示： 因为为中点，所以，所以点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆， 所以点到的最大距离为， 所以面积的最大值为. 故选：D. 5．（2025·天津西青·模拟预测）已知圆与圆相交于两点，直线，点在直线上，点在圆上，则下列说法正确的个数是（    ） ①直线的方程为      ②线段的长为 ③的最小值是2                                  ④从点向圆引切线，切线长的最小值是 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①将两圆方程作差后整理即可得到公共弦的方程；②利用弦长公式求解；③依据时取得最小值进行求解；④依据时由P向圆作切线所得切线长最小进行求解. 【详解】对于①，直线AB的方程为， 整理得，故①正确； 对于②，圆O的圆心到直线AB的距离，圆O的半径， 所以，故②错误； 对于③，圆M的方程可化为，圆心，半径. 圆心M到直线l的距离， 当时取得最小值，此时，故③正确； 对于④，从点P向圆M引切线，设其中一个切点为D， 则切线， 所以当最小时，切线长最短. 由③可知，故，故④正确. 故选：C 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．（2025·天津红桥·模拟预测）已知圆：，直线：. (1)求圆的圆心及半径； (2)求直线被圆截得的弦的长度. 【答案】(1)圆心，半径 (2) 【分析】（1）将圆的方程化为圆的标准方程，即可求解； （2）首先求出圆心到直线的距离，再根据勾股定理计算即可求解. 【详解】（1）圆：的标准方程为：， ∴圆的圆心为，半径为. （2）由（1）可知：圆的圆心为，半径为. 取弦中点，连接，，如图所示. 由圆的性质可知，. ∴圆心到直线：的距离.    在中，，∴， 即直线被圆截得的弦的长度为. 22．（2025·天津·二模）已知圆，抛物线，斜率大于的直线与圆和抛物线都相切，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】设直线的方程为，将该直线方程与抛物线的方程联立，由以及圆心到直线的距离等于圆的半径，可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出直线的方程. 【详解】设直线的方程为，联立可得， 因为直线与抛物线相切，可得①， 又直线与圆相切，得，整理得②， 联立①②，得，或． 当时，得，不符合题意；当时，得（负值舍去）， 故直线的方程为． 故答案为：． 3．（2025·天津·二模）已知直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由，可得出圆心到直线的距离满足，由此可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围. 【详解】由题意可知，圆是圆心为坐标原点，半径的圆，直线方程为，如图， 圆心到直线的距离为， 由于， ，即，即，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为： 4．（2025·天津·二模）已知椭圆的离心率为，点P为椭圆上的动点，过点P作椭圆的切线，与圆交于A，B两点，线段AB长度的最小值为2. (1)求椭圆的方程； (2)求证：直线OA，OB斜率乘积为定值（其中O为坐标原点）. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）由离心率得，设点，将椭圆方程化为，利用导数的几何意义求出切线方程，再由圆的弦长公式求出弦长，进而求出即可. （2）利用（1）中信息求出直线与圆的方程，联立求出两根的积即可推理得证. 【详解】（1）由椭圆的离心率为，得，解得， 椭圆方程为，圆化为圆， 设，则，当时，由，得， 求导得，直线的斜率； 当时，由，得，求导得， 直线的斜率， 因此当时，直线的方程为，整理得， 当时，点，直线的方程为，点，直线的方程为， 满足，于是对任意点，直线的方程为， 圆的圆心到直线距离， 而圆的半径为，，当且仅当时取等号， 因此，解得，所以椭圆方程为，即. （2）由（1）知，圆的方程为，直线方程为， 由消去得，设， 则，消去得， 则， 当时，点分别为圆与轴的交点，的斜率一个为0，一个不存在； 当时，的斜率都存在且不为0，斜率乘积为为定值. 5．（2025·天津南开·二模）已知抛物线的焦点为，倾斜角为的直线过点．若与相交于两点，则以为直径的圆被轴截得的弦长为 ． 【答案】 【分析】首先求出抛物线方程及直线的方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理得到，再由抛物线的定义、中点公式求圆的半径和圆心横坐标，最后应用几何法求弦长. 【详解】因为抛物线的焦点为， 所以，解得，则抛物线， 直线的方程为，由， 则，显然， 所以，故， 所以以为直径的圆的圆心的纵坐标为，半径为， 故以为直径的圆被轴截得的弦长为. 故答案为： 6．（2025·天津红桥·二模）已知直线与圆 相切，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直线和圆相切，由圆心到直线距离等于半径列方程可得结果. 【详解】将圆化为标准方程， 可得圆心，半径， 依题意可知圆心到直线的距离为， 又，解得. 故选：D 7．（2025·天津河西·二模）已知抛物线的焦点为，圆：，过点作直线与圆交于两点，且为的中点，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】求出抛物线焦点坐标和圆心坐标，依题意可得，求得直线的斜率为可得其方程. 【详解】易知抛物线的焦点为， 将圆化为标准方程，圆心，半径，如下图所示： 若为的中点，结合圆的性质可知， 易知，所以直线的斜率为， 因此直线的方程为，即. 故答案为： 8．（2025·天津河东·二模）轴，轴上的截距分别为的直线与圆交于两点，则的值为 . 【答案】 【分析】根据条件，得直线方程为，再利用圆的弦长公式，即可求解. 【详解】由题知直线方程为，即， 又圆的标准方程为， 所以圆的圆心为，半径为， 则到直线的距离为， 所以， 故答案为：. 9．（2025·天津和平·一模）已知直线经过抛物线的焦点，直线与圆相交于、两点，且，则实数的值等于（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据直线过抛物线的焦点求出的值，利用勾股定理求出圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式可得出关于的等式，解之即可. 【详解】易知抛物线的焦点为，且直线经过点，则，可得， 所以，直线的方程为，即， 圆的圆心为，半径为， 由题意可知，圆心到直线的距离为， 由点到直线的距离公式可得，即，解得或. 故选：C. 10．（2025·天津·一模）已知圆的方程为．当圆的面积最小时，直线与圆相切，则的值为 ． 【答案】 【分析】先求得圆面积最小时圆的半径，然后根据点到直线的距离等于半径列方程求得. 【详解】依题意，圆的方程为， 所以，所以圆心为，半径为， 所以当时，半径最小，圆的面积最小，且半径的最小值为， 此时圆心到直线的距离为 或（舍去）. 故答案为： 11．（2025·天津·模拟预测）已知过抛物线C：的焦点F作斜率为正数的直线n交抛物线的准线l于点P，交抛物线于A，B（A在线段PF上），，则以线段AB为直径的圆被y轴截得弦长为 【答案】 【分析】设，，联立抛物线并应用韦达定理，结合得、，进而得到，应用抛物线定义求、中点为的横坐标，最后应用几何法求弦长即可. 【详解】由题意，可得如下示意图，，令，，    联立，则，显然，则，， 联立，则，可得，结合，则，即， 所以，可得， 又，故圆的半径为4， 若中点为，则， 所以以线段AB为直径的圆被y轴截得弦长为. 故答案为： 12．（2024·天津和平·二模）过直线上的点P作圆C：的两条切线，，当直线，关于直线对称时，点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线和圆的位置关系、两直线的交点等知识求得正确答案. 【详解】圆的圆心为， 直线关于直线对称时，与直线垂直， 所以直线的方程为， 由解得，所以. 故选：A. 13．（2024·天津南开·二模）过圆C：上的点作圆C切线l，则l的倾斜角为 . 【答案】150° 【分析】根据两直线垂直和得到直线l的斜率，从而得到l的倾斜角. 【详解】由题意得，直线与直线l垂直， 因为，故l的斜率为， 故l的倾斜角为150° 故答案为：150° 14．（2024·天津滨海新·三模）已知圆的圆心与抛物线的焦点关于直线对称，直线与相交于两点，且，则圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】根据抛物线标准方程求出其焦点坐标，根据对称关系求出圆心坐标，根据垂径定理求出圆的半径即可得到答案. 【详解】依题意可知抛物线的焦点为， 圆的圆心与抛物线的焦点关于直线对称， ∴圆心坐标为， 设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d， 则， 又∵，∴ 则圆的标准方程为． 故答案为：． 15．（2024·天津武清·模拟预测）已知直线与圆C：相交于A，B两点，且，则实数 . 【答案】 【分析】利用弦长公式和点到直线距离公式列方程求解即可. 【详解】根据题意，圆， 即，其圆心为，半径， 若，则圆心到直线即的距离， 又由圆心到直线的距离， 则有，解可得：. 故答案为：. 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．（2025·天津·二模）已知、分别为椭圆的左、右焦点，过点向圆引切线交椭圆于点（在轴上方），若的面积为，则椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明即为椭圆的上顶点,再根据面积列出的等式求离心率即可. 【详解】如图，    设圆与轴切于点，与切于点，设椭圆与轴正半轴交于点， 下面证明重合， 设， , ，而， 与重合，即点是短轴的端点， ，， 则，所以， 故选：C. 2．（2024·天津·模拟预测）已知，动圆经过原点，且圆心在直线上．当直线的斜率取最大值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用两点间斜率公式，结合基本不等式可解. 【详解】由题意可得，，直线的斜率为． 因为， 当且仅当，即时，等号成立，所以， 即当直线的斜率取最大值时，，所以，故． 故选：B． 3．（2024·天津·二模）已知抛物线，圆，为圆外一点，过点作圆的两条切线，，直线与抛物线交于点，，直线与抛物线交于点，，若，则（    ） A．16 B．8 C．4 D．1 【答案】C 【分析】由题意设出过点且与圆相切的切线方程，从而可用表示，进一步联立圆的切线方程（）与抛物线方程，结合韦达定理、同理思想以及即可得解. 【详解】由题意，且都与抛物线有两个不同的交点，所以， 故设过点且与圆相切的切线方程为，即， 由题意得，整理得，（*）， 设直线的斜率分别为，则是方程（*）的两个实根， 故， 由，得， 因为，，，， 所以， 所以 . 故选：C. 4．（2025·天津·调研）已知点在圆上运动，且，若点的坐标为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意可知为圆直径，设， 利用向量运算可得，由此即可求出答案. 【详解】因为，所以为圆直径， 设，则， 所以, 故， 所以当 时，，， 故 故答案为：. 5．（2025·天津·模拟预测）已知直线与圆交于两点，以线段为直径作圆，该圆的面积的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意可得直线过定点，当直线过圆心时最大，当直线与垂直时最小，进而可求出结果. 【详解】直线可化为， 所以直线过定点， 圆可化为， 圆心，半径， 设圆心到直线的距离为， 则， 所以当，即直线过圆心时，最大，则， 所求圆面积最大，为， 当最大时，即直线与垂直时最小，则, 所求圆面积最小，为， 所求圆面积取值范围为， 故答案为：. 6．（2024·天津·模拟预测）单位圆中，为一条直径，为圆上两点且弦长为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题设，再根据数量积坐标运算计算即可. 【详解】解：如图，由弦长为，可得， 不妨设， 则， 所以 . 故答案为：. 7．（2024·天津·三模）已知，，对于平面内一动点，轴于点M，且，，成等比数列． (1)求点P的轨迹C的方程； (2)已知过点A的直线l与C交于M，N两点，若，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点点距离，结合等比中项即可化简求解， （2）联立直线与曲线的方程，根据韦达定理可得，即可利用向量数量积的坐标运算求解. 【详解】（1）由题意可得，则，，， 由于，，成等比数列，所以， 即， 故点P的轨迹C的方程为 （2）由（1）知点P的轨迹C的方程为：当或， 当时，，如图； 由题意可知直线有斜率，设方程为， 联立， 则，故, 联立， 则，故, , 解得， 故直线方程为 8．（2025·天津·模拟预测）已知点，动点M满足，点M的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的轨迹方程； (2)曲线C上任意一点N（不同于A，B）和点A，B的连线分别与y轴交于P，Q两点，O为坐标原点求证：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）结合，由向量的坐标运算化简即可求解曲线C的轨迹方程； （2）设，分别由点斜式求出直线和直线的方程，令可求，相乘即可求证. 【详解】（1）设点，因为，所以，化简得，所以曲线的轨迹方程为； （2）设点， 则直线的方程为，令得，所以， 直线的方程为，令得，所以， 所以． 9．（2024·天津·模拟预测）已知圆与圆关于直线对称，且点，在圆上， （1）判断圆与圆的位置关系； （2）设为圆上任意一点，.，与不共线，为的平分线，且交于，求证与的面积之比为定值. 【答案】（1）两圆相离；（2）证明见解析. 【解析】（1）先求得点关于直线对称点的坐标，可得圆的方程，再根据圆心距大于两圆的半径之和，可得两圆相离. （2）设，则，可得.设点，求得和的值，可得的值，即为与的面积之比. 【详解】（1）由于点，关于直线对称点，， 故圆的方程为：. 把点，在圆上，可得， 故圆的方程为：. 可得圆，，， 根据，故两圆相离. （2）设， 则， . 设点， 则. ； ； ， ， 即. 10．（2025·天津·模拟预测）已知动圆和定圆外切，和定直线相切. （1）求该动圆圆心的轨迹的方程； （2）过点的直线与交于两点，在曲线上存在一点，使得为定值，求出点的坐标. 【答案】（1），（2）存在，点. 【分析】(1)由已知可得：点G的轨迹是到定点C（2，0）的距离和到直线L：x=-2的距离相等的点的集合．由抛物线的定义可知：点P的轨迹是抛物线．求出即可． (2)设出直线的方程为: ,联立两方程得，设设，得出韦达定理，设，表示出，由恒成立的思想可得出定点坐标. 【详解】(1)由圆可得：圆心，半径． 设所求动圆圆心为，过点作垂直于直线：，为垂足． 则，可得． 因此可得：点的轨迹是到定点的距离和到直线的距离相等的点的集合, 由抛物线的定义可知：点的轨迹是抛物线，定点为焦点，定直线是准线．∴抛物线的方程为：． ∴该动圆圆心的轨迹的方程是 ． (2) 存在定点的坐标为，理由如下， 设直线的方程为: ,由得，，整理得， 设，则， 设，则，， ∴ ∴当时，为定值，此时点， 所以在曲线上存在一点，使得为定值，此时点的坐标为. 34 / 38 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优01 直线与圆题型分类 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 3 题型一 直线与圆的位置关系判断或求参（★★） 3 题型二 求圆的切线方程（★★★） 4 题型三 与切线长有关的问题（★★★★） 5 题型四 切点弦及弦长问题（★★★★★） 5 题型五 圆上的点到直线的距离求最值（★★★★） 6 03 实战检测・分层突破验成效 7 检测Ⅰ组 重难知识巩固 7 检测Ⅱ组 创新能力提升 8 一、直线与圆的位置关系 1、几何法判断直线与圆的位置关系： 直线与圆，圆心到直线的距离 （1）直线与圆相离无交点； （2）直线与圆相切只有一个交点； （3）直线与圆相交有两个交点. 2、代数法判断直线与圆的位置关系： 联立直线方程与圆的方程，得到，通过解的个数来判断： （1）当时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交； （2）当时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切； （3）当时，直线与圆没有交点，直线与圆相离； 二、直线与圆相交时的弦长求法： 1、几何法：利用圆的半径，圆心到直线的距离，弦长之间的关系， 整理出弦长公式为： 2、代数法：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长； 3、弦长公式法：设直线与圆的交点为，，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得到弦长 三、直线与圆相切时的切线问题 1、求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程。 （1）若点在圆上（即为切点），则过该点的切线只有一条； （2）若点在圆外，过该点的切线有两条，此时应注意切线斜率不存在的情况 【注意】过圆内一点，不能作圆的切线。 2、求过圆上一点的切线方程 法一：先求出切点与圆心的连线斜率， 若不存在，则结合图形可直接写出切线方程； 若，则结课图形可直接写出切线方程； 若存在且，则由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式写出切线方程。 法二：若不存在，验证是否成立； 若存在，设点斜式方程，用圆心到直线的距离等于半径列方程，解出方程即可。 3、过圆外一点的圆的切线方程 法一：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即 由圆心到直线的距离等于半径，即可求出的值，进而写出切线方程； 法二：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即 代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由，求得，切线方程即可求出。 四、与圆的切线相关的结论 1、过圆上一点的圆的切线方程为； 2、过上一点的圆的切线方程为 3、过外一点作圆的两条切线，切点分别为， 则切点弦所在直线方程为： 4、若圆的方程为， 则过圆外一点的切线长为. 5、圆心的三个重要几何性质： （1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上； （2）圆心在某一条弦的中垂线上； （3）两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。 题型一 直线与圆的位置关系判断或求参 【技巧通法·提分快招】 联立直线方程与圆的方程，得到，通过解的个数来判断： （1）当时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交； （2）当时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切； （3）当时，直线与圆没有交点，直线与圆相离； 1．（2025·天津蓟州·调研）已知直线与圆，点， ①若点在圆上，则直线与圆相切   ②若点在圆内，则直线与圆相交 ③若点在圆外，则直线与圆相离   ④若点在直线上，则直线与圆相切 则上述说法正确的是 ． 2．（2025·天津北辰·期中）若圆上仅有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·天津北辰·期中）已知直线和圆. (1)求圆的圆心、直径; (2)求证：无论为何值，直线总与圆有交点; (3)为何值时，直线被圆截得的弦最短?并求出最短弦长度. 4．（2025·天津·期中）已知直线与圆，若点为直线上的一个动点，下列说法正确的序号是 . ①直线与圆相离 ②圆关于直线对称的圆的方程为 ③若点为圆上的动点，则的取值范围为 ④过点的圆的最短弦长为 ⑤圆与圆C的公共弦所在直线方程与垂直 5．（2025·天津武清·期中）给出下列命题： （1）直线与线段相交，其中，，则实数的取值范围是； （2）若点关于直线的对称点为，则的坐标为； （3）圆上恰有3个点到直线的距离为1． 其中正确的命题有 ．（把所有正确的命题的序号都填上） 题型二 求圆的切线方程 【技巧通法·提分快招】 法一：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即 由圆心到直线的距离等于半径，即可求出的值，进而写出切线方程； 法二：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即 代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由，求得，切线方程即可求出。 1．（2025·天津南开·开学考试）已知的左焦点为上一动点，射线与交于点，点在的切线与点在的切线交于点，求证：点的横坐标为定值. 2．（2025·天津河西·一模）已知抛物线上位于第一象限内的点到抛物线的焦点的距离为5，过点作圆的切线，切点为，则 ． 3．（2025·天津·期末）已知圆C 直线l过点，若直线l与圆C相切，则直线l的方程为 . 4．（2025·天津西青·期末）已知圆的方程为：. (1)若直线与圆C相交于两点，且，求实数的值； (2)过点作圆C的切线，求切线方程. 5．（2025·天津河北·期末）设F是双曲线（，）的右焦点，O为坐标原点，过F作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为H，若的内切圆与x轴切于点B，且，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 题型三 与切线长有关的问题 【技巧通法·提分快招】 若圆的方程为， 则过圆外一点的切线长为. 1．（2025·天津河西·期末）已知点在抛物线上，过点作圆的切线，若切线长为，则点到的准线的距离为 . 2．（2025·天津南开·期中）已知点P在圆上，点则下列叙述错误的是（   ） A．当最小时 B．当最大时， C．点P到直线AB的距离小于7 D．点P到直线AB的距离大于1 3．（2025·天津滨海新·调研）已知点P是圆C: 上的动点，点，则线段中点的轨迹方程是 ；若直线，为直线上的动点，过点作轨迹的切线，切点为A、B，设轨迹的圆心为，当四边形的面积最小时，面积为 . 4．（2024·天津北辰·三模）过抛物线的焦点作圆：的两条切线，切点分别为，若为等边三角形，则的值为 . 5．（2025·天津·期末）已知圆，直线，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为 . 题型四 切点弦及弦长问题 【技巧通法·提分快招】 几何法：利用圆的半径，圆心到直线的距离，弦长之间的关系， 整理出弦长公式为： 弦长公式法：设直线与圆的交点为，，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得到弦长 1．（2025·天津·期中）已知：，直线：，为上的动点，过点作的切线，，切点为，，当最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·天津和平·二模）过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则点到直线的距离为 ． 3．（2025·天津·一模）已知圆心位于抛物线焦点处的圆，与直线相交于、两点，且，则圆的标准方程为 ． 4．（2025·天津·期末）已知，直线恒过定点，圆的圆心与点关于直线对称，直线与圆相交于两点，且，则圆的半径为 ． 5．（2025·天津·期末）已知直线．圆心为的圆经过和的交点． (1)求圆的方程； (2)经过点的直线与圆交于M，N两点，且，求的方程 题型五 圆上的点到直线的距离求最值 【技巧通法·提分快招】 步骤如下： 第一步：求算圆心到直线的距离 第二步：若求最大则用距离加半径，若求最小值则用距离减半径 若题干涉及的直线为动直线，先求定点，研究圆心到定点的距离然后利用数形结合处理 1．（2025·天津河东·期末）已知a，b，c成等差数列，直线与圆交于A，B两点，则的最小值为（   ） A．1 B．3 C．4 D． 2．（2024·天津和平·三模）已知圆以点为圆心，且与直线相切，则满足以上条件的圆的半径最大时，圆的标准方程为 ． 3．（2025·天津北辰·期末）已知直线，圆，表示函数的图象. (1)写出圆的圆心坐标； (2)求圆被直线截得的弦长； (3)若点P在圆上，点Q在N上，求的最小值. 4．（2024·天津·期末）直线：与圆：交于、两点，点为中点，直线：与两坐标轴分别交于、两点，则面积的最大值为（    ） A． B．9 C．10 D． 5．（2025·天津西青·模拟预测）已知圆与圆相交于两点，直线，点在直线上，点在圆上，则下列说法正确的个数是（    ） ①直线的方程为      ②线段的长为 ③的最小值是2                                  ④从点向圆引切线，切线长的最小值是 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．（2025·天津红桥·模拟预测）已知圆：，直线：. (1)求圆的圆心及半径； (2)求直线被圆截得的弦的长度. 22．（2025·天津·二模）已知圆，抛物线，斜率大于的直线与圆和抛物线都相切，则直线的方程为 ． 3．（2025·天津·二模）已知直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是 . 4．（2025·天津·二模）已知椭圆的离心率为，点P为椭圆上的动点，过点P作椭圆的切线，与圆交于A，B两点，线段AB长度的最小值为2. (1)求椭圆的方程； (2)求证：直线OA，OB斜率乘积为定值（其中O为坐标原点）. 5．（2025·天津南开·二模）已知抛物线的焦点为，倾斜角为的直线过点．若与相交于两点，则以为直径的圆被轴截得的弦长为 ． 6．（2025·天津红桥·二模）已知直线与圆 相切，则（   ） A． B． C． D． 7．（2025·天津河西·二模）已知抛物线的焦点为，圆：，过点作直线与圆交于两点，且为的中点，则直线的方程为 . 8．（2025·天津河东·二模）轴，轴上的截距分别为的直线与圆交于两点，则的值为 . 9．（2025·天津和平·一模）已知直线经过抛物线的焦点，直线与圆相交于、两点，且，则实数的值等于（    ） A． B． C．或 D．或 10．（2025·天津·一模）已知圆的方程为．当圆的面积最小时，直线与圆相切，则的值为 ． 11．（2025·天津·模拟预测）已知过抛物线C：的焦点F作斜率为正数的直线n交抛物线的准线l于点P，交抛物线于A，B（A在线段PF上），，则以线段AB为直径的圆被y轴截得弦长为 12．（2024·天津和平·二模）过直线上的点P作圆C：的两条切线，，当直线，关于直线对称时，点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 13．（2024·天津南开·二模）过圆C：上的点作圆C切线l，则l的倾斜角为 . 14．（2024·天津滨海新·三模）已知圆的圆心与抛物线的焦点关于直线对称，直线与相交于两点，且，则圆的标准方程为 ． 15．（2024·天津武清·模拟预测）已知直线与圆C：相交于A，B两点，且，则实数 . 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．（2025·天津·二模）已知、分别为椭圆的左、右焦点，过点向圆引切线交椭圆于点（在轴上方），若的面积为，则椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 2．（2024·天津·模拟预测）已知，动圆经过原点，且圆心在直线上．当直线的斜率取最大值时，（    ） A． B． C． D． 3．（2024·天津·二模）已知抛物线，圆，为圆外一点，过点作圆的两条切线，，直线与抛物线交于点，，直线与抛物线交于点，，若，则（    ） A．16 B．8 C．4 D．1 4．（2025·天津·调研）已知点在圆上运动，且，若点的坐标为，则的取值范围是 . 5．（2025·天津·模拟预测）已知直线与圆交于两点，以线段为直径作圆，该圆的面积的取值范围为 . 6．（2024·天津·模拟预测）单位圆中，为一条直径，为圆上两点且弦长为，则的取值范围是 . 7．（2024·天津·三模）已知，，对于平面内一动点，轴于点M，且，，成等比数列． (1)求点P的轨迹C的方程； (2)已知过点A的直线l与C交于M，N两点，若，求直线l的方程． 8．（2025·天津·模拟预测）已知点，动点M满足，点M的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的轨迹方程； (2)曲线C上任意一点N（不同于A，B）和点A，B的连线分别与y轴交于P，Q两点，O为坐标原点求证：为定值． 9．（2024·天津·模拟预测）已知圆与圆关于直线对称，且点，在圆上， （1）判断圆与圆的位置关系； （2）设为圆上任意一点，.，与不共线，为的平分线，且交于，求证与的面积之比为定值. 10．（2025·天津·模拟预测）已知动圆和定圆外切，和定直线相切. （1）求该动圆圆心的轨迹的方程； （2）过点的直线与交于两点，在曲线上存在一点，使得为定值，求出点的坐标. 11 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $